有限元第三章
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有限元法基本原理及应用第3章重庆大学龙雪峰
有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
• 4．整体分析和有限元方程求解 • 由已知的单元刚度矩阵和等效节点载荷列阵组装成整个结 构的整体刚度矩阵和载荷列阵，得到一个由总体刚度矩阵 [K]、总载荷向量{F}和整体节点位移向量{δ}表示的平衡方 程式：[K] {δ}＝{F}。引进位移边界条件后求解得到整体节 点位移向量。 • 有限元离散方程是一个代数方程组，代入边界条件处理以 后的刚度矩阵是一个正定的对称稀疏方阵，这样一个代数 方程组可以用高斯消元法、三角分解法、波前法和雅可比 迭代法等多种方法求解。
a) 四边形薄板单元 b) 三角形薄板单元 图3.5 薄板单元
有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
• 3.2.4 多面体单元 • 对于实体结构就要用三维多面体单元进行分析，如机 床工作台、机械基础件等等。常用的三维多面体单元 有四节点四面体单元和八节点六面体单元，六面体单 元有规则六面体和不规则六面体， 如图3.6 所示。为 了提高精度也有八节点四面体单元和二十节点六面体 单元。
有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
• 在有限元分析中一般都采用多项式作为插值函数，多项式 的项数由所选取的单元和单元的节点数决定，如对于平面 三节点三角形单元有如下插值函数
3.1
• 式中的上标e 表示单元，而对 于图3.10 所示六节点三角形单 元则有如下插值函数
3.2
有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
• 3.2.3 薄板弯曲单元和薄板单元 • 板壳结构是工程上经常采用的一类结构形式，其特点是在 一个方向上的尺度远小于另外两个方向的，通过一定的弹 性力学假设，简化为特殊的二维结构，即便于解析方法求 解也给有限元分析带来了很大的方便。这类结构通常有压 力容器、舰船外壳，体育馆屋顶，建筑物楼板等等。 • 薄板弯曲单元通常也有三角形单元和四边形单元两种，矩 形单元为后者的特殊形式，通常三角形单元有三个节点， 四边形单元有四个节点。主要承受横向载荷和绕水平轴的 弯矩。 • 如果挠度与板厚相比是小量时，板的中面应变可以忽略不 及，如图3.4 所示单元的每个节点有三个自由度，这样的 单元一般称为薄板弯曲单元。
有限元的分析过程(第三章)22
0 0 0 L 1 1 0 L
c ( x [ x , x ])
n i i i 0 L
2-1
0 L 1 2 3
其中 ( x [ x , x ]) 为所采用的基底函数，它定义在全域 [ x , x ]上， c , c , c ...
i 0 L
为展开的系数。 第二种是基于子域 [ x , x ] 上的分段展开形式，若采用线性函数,有
上式中的
为节点位移，
为节点力，可以看出，图2-9
分别就单元①、②、③写出了各自的节点力，如对于节点2，即写出了单元①中节 点力 ，又给出了单元②中节点2的节点力 可以看出，在单元组装后，实
3有限元分析的基本流程：
际上只需要合成后的节点力； 因此，今后只需要对各个单元的刚度系数按对应节点位移的位置进行组装，
【典型例题】2.1(1) 一个一维函数的两种展开方式的比较
设有一个一维函数 f ( x), x [ x , x ] ，分析它的展开与逼近形式。
0 L
解答：首先考虑基于全域的展开形式，如采用傅立叶级数展开，则有:
f ( x) c ( x [ x , x ]) c ( x [ x , x ]) ...
4有限元分析的特点：
有限元分析的最大特点就是标准化和规范化，这种特点使
得大规模分析和计算成为可能，当采用了现代化的计算机以及 所编制的软件作为实现平台时，则复杂工程问题的大规模分析 就变为了现实。 实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元，这就需 要我们构建起各种各样的具有代表性的单元，一旦有了这些单 元，就好像建筑施工中有了一些标准的预制构件(如梁、楼板
综合分段函数描述的优势和问题，只要采用功能完善 的软件以及能够进行高速处理的计算机，就可以完全发挥 “化繁为简”策略的优势，有限元分析的概念就在于此。
c ( x [ x , x ])
n i i i 0 L
2-1
0 L 1 2 3
其中 ( x [ x , x ]) 为所采用的基底函数，它定义在全域 [ x , x ]上， c , c , c ...
i 0 L
为展开的系数。 第二种是基于子域 [ x , x ] 上的分段展开形式，若采用线性函数,有
上式中的
为节点位移，
为节点力，可以看出，图2-9
分别就单元①、②、③写出了各自的节点力，如对于节点2，即写出了单元①中节 点力 ，又给出了单元②中节点2的节点力 可以看出，在单元组装后，实
3有限元分析的基本流程：
际上只需要合成后的节点力； 因此，今后只需要对各个单元的刚度系数按对应节点位移的位置进行组装，
【典型例题】2.1(1) 一个一维函数的两种展开方式的比较
设有一个一维函数 f ( x), x [ x , x ] ，分析它的展开与逼近形式。
0 L
解答：首先考虑基于全域的展开形式，如采用傅立叶级数展开，则有:
f ( x) c ( x [ x , x ]) c ( x [ x , x ]) ...
4有限元分析的特点：
有限元分析的最大特点就是标准化和规范化，这种特点使
得大规模分析和计算成为可能，当采用了现代化的计算机以及 所编制的软件作为实现平台时，则复杂工程问题的大规模分析 就变为了现实。 实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元，这就需 要我们构建起各种各样的具有代表性的单元，一旦有了这些单 元，就好像建筑施工中有了一些标准的预制构件(如梁、楼板
综合分段函数描述的优势和问题，只要采用功能完善 的软件以及能够进行高速处理的计算机，就可以完全发挥 “化繁为简”策略的优势，有限元分析的概念就在于此。
结构分析的有限元法-第三章
式中
H 1 u B A yH v
(3.32)
而
H 0 u H 0 v 0 0 0 0 1 0 0 2 0 6x
(3.33)
单元刚度矩阵
再次应用式(2.70)，并进行一系列的积分运算，可以得出单元刚度矩阵的显式如下：
l
K
e
E d A B B d x
0 1 l
Av
1
2 l
0 0 1 l 2 1 l
(3.21)
MATLAB不仅可以进行数值运算，也能进行符号运算。如式(3.20)中的矩 阵Au和Av的求逆运算，我们可以在MATLAB的命令窗口下输入 >> syms L >> Au = [ 1 0 1 L ] ; >> Av = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 L L^2 L^3 0 1 2*L 3*L^2] ; 第一句是定义符号变量L，后面定义两个矩阵Au和Av。然后我们再输入下 面求逆的命令 >> inv(Au) ans = 0 1 1 [ 1, 0] Au [ -1/L, 1/L] 1 l 1 l >> inv(Av) ans = 0 0 1 [ 1, 0, 0, 0] 0 1 0 1 [ 0, 1, 0, 0] A v 2 2 3 l 2 l 3 l [ -3/L^2, -2/L, 3/L^2, -1/L] 3 2 3 1 l 2 l [ 2/L^3, 1/L^2, -2/L^3, 1/L^2] 2 l
根据材料力学的有关知识，我们可以立刻写出杆单元的结点位移与结点力 之间的关系为
FNi EA l (u i u j ) FNj EA l (u j u i )
第三章 有限元法的基本原理15
第三章 有限元法的基本原理
虚功方程的矩阵表达形式
{δ }* T {F} = ∫∫∫{ε }* T {σ}dxdydz
结点力：
⎧ fix ⎫
⎪ ⎪
fiy
⎪ ⎪
应力：
⎧σ x ⎫
⎪⎪σ
y
⎪ ⎪
{F
}
=
⎪ ⎨ ⎪
fiz f jx
⎪ ⎬ ⎪
{σ
}
=
⎪⎪⎨⎪στ xz
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎪ ⎪ ⎩
f jy #
⎪ ⎪ ⎭
⎡*
⎤
⎢ ⎢
*
⎥ ⎥
⎢
*⎥
⎢ ⎣
*⎥⎦
单位体积上的惯性力
⎧u1x ⎫
{ } { } { p} = ρ δ
F= ma
=
ρ
⎨⎩⎧uuxy
⎫ ⎬ ⎭
=
ρ
[
N
]
⎨⎪⎪⎪uu12yx
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
ρ
[
N
]
⎪⎩ # ⎪⎭
δi
e
惯性力
{
}f
e m
=
∫∫ [ N
]T
{
p} tdxdy
=
∫∫[N ]T
⎪⎪u3
x
⎪ ⎪
⎢1 ⎢
x3
⎪⎩u3y ⎪⎭ ⎢⎣
y1 1 x1
y2 1 x2
y3 1 x3
⎤ ⎧β1 ⎫
y1
⎥ ⎥
⎪ ⎪
β2
⎪ ⎪
y2
⎥ ⎥ ⎥
⎪⎪ ⎨ ⎪
β3 β4
⎪⎪ ⎬ ⎪
y3
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎪ ⎪ ⎩⎪
β5 β6
⎪ ⎪ ⎭⎪
虚功方程的矩阵表达形式
{δ }* T {F} = ∫∫∫{ε }* T {σ}dxdydz
结点力：
⎧ fix ⎫
⎪ ⎪
fiy
⎪ ⎪
应力：
⎧σ x ⎫
⎪⎪σ
y
⎪ ⎪
{F
}
=
⎪ ⎨ ⎪
fiz f jx
⎪ ⎬ ⎪
{σ
}
=
⎪⎪⎨⎪στ xz
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎪ ⎪ ⎩
f jy #
⎪ ⎪ ⎭
⎡*
⎤
⎢ ⎢
*
⎥ ⎥
⎢
*⎥
⎢ ⎣
*⎥⎦
单位体积上的惯性力
⎧u1x ⎫
{ } { } { p} = ρ δ
F= ma
=
ρ
⎨⎩⎧uuxy
⎫ ⎬ ⎭
=
ρ
[
N
]
⎨⎪⎪⎪uu12yx
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
ρ
[
N
]
⎪⎩ # ⎪⎭
δi
e
惯性力
{
}f
e m
=
∫∫ [ N
]T
{
p} tdxdy
=
∫∫[N ]T
⎪⎪u3
x
⎪ ⎪
⎢1 ⎢
x3
⎪⎩u3y ⎪⎭ ⎢⎣
y1 1 x1
y2 1 x2
y3 1 x3
⎤ ⎧β1 ⎫
y1
⎥ ⎥
⎪ ⎪
β2
⎪ ⎪
y2
⎥ ⎥ ⎥
⎪⎪ ⎨ ⎪
β3 β4
⎪⎪ ⎬ ⎪
y3
⎥ ⎥ ⎥⎦
⎪ ⎪ ⎩⎪
β5 β6
⎪ ⎪ ⎭⎪
有限元分析法第3章 杆单元
提示： 1）本例中单元应力的计算采用了材料力学中的方法,与采 用有限元单元应力公式 E EBd 的结果相同。 2）对锥形杆，单元截面积可用平均值。 3）求应力之前需要求出节点位移——有限元位移法。
第三章
杆单元
§ 3 –1
习题2：
一维等截面杆单元
已知：
求：杆两端的支反力
解
第三章 杆单元
u2
v2 u3 v3
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
将单元1，2的刚度方程扩张到系统规模（6阶）， 相加后引入节点平衡条件：
第三章
杆单元
§ 3 –2
0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0
u1 v1 u2
v2
1 1 1 1 EA 1 1 1 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1
第三章 杆单元
§ 3 –2
单元2：2-3
135，l
按公式计算杆应力：
二维空间中的杆单元
得：
0 E 2 L 0 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 1 L 2 EA P 2A 1 P2
P 1 E 2 L P2 1 1 1 1 2 ( P1 P2 ) 2 L 2 EA 0 2 A 0
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
节点位移向量的坐标变换：
~ d i Tdi
第三章
杆单元
§ 3 –2
二维空间中的杆单元
第3章 有限元方法的一般步骤
单元全部结点力： 单元全部结点力： 单元e中的虚位移： 单元 中的虚位移： 中的虚位移 单元e中的虚应变： 单元 中的虚应变： 中的虚应变 结点力虚功： 结点力虚功： 虚应变能： 虚应变能：
{ε } = [ B]{δ } e ∗ e T δV = ({δ } ) {F } δU = ∫∫∫ { } {σ }dxdydz ε
§3.3 单元刚度矩阵的建立
§3.3.1 虚位移原理 虚位移：在某瞬时，质点系在约束允许的条件下， 虚位移：在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的 任何微小的位移，称为该质点系的虚位移。如 任何微小的位移，称为该质点系的虚位移。
O
x
ϕ
δϕ
y
r δr
M ( x, y )
A r δrA
O
δϕ
r B δrB
0 L L L L L 0 L L L L L 1 L L L L L 0 L L L L L M M M M M M M M M M M M M M M M M M
0 k2,2 n −1 0 k4,2 n −1 M M M
§3.2 选择单元的位移函数
结构离散化后，要用单元内结点的位移通过插值来 获得单元内各点的位移。在有限元法中，通常都是假定 单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式 的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常 数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元 的类型而定。
§3.2.1 位移函数的多项式形式
3 F1 + lAγ 2 −3 0 0 u1 3 3 2 0 u2 ( 2 + 2 )lAγ EA − 3 3 + 2 − 2 = − 2 2 + 1 − 1 u3 ( 2 + 1 )lAγ l 0 −1 0 0 1 u4 2 2 1 lAγ 2
有限元教案_第三章 ANSYS
May. 2008 ANSYS Software 25
网格划分 (续)
对同一模型，采用不同的智能网格级别 进行网格划分时所得到的网格
May. 2008
ANSYS Software
26
网格划分 (续)
人工调整网格控制
Objective
由于结构形状的多样性，在许多情况下，由缺省单元尺 寸或智能尺寸使产生的网格并不合适？ 例如：应力集中和奇异点的模型或者梯度变化大的部位
ANSYS Software
9
单元属性(续)
常用单元的形状
单元种类
点 (质量)
.
. . . .
线性
面 (薄壳, 二维实体, 轴对称实体)
.. . .. ...
二次
. .. . . . ..
线性 ANSYS Software
线(弹簧，梁，杆)
体(三维实体)
. . . ..... . .. . . . .. .
材料性质
要定义材料属性 : Main Menu: Preprocessor > Material Properties > -Structural>Linear>Isotropic
May. 2008
ANSYS Software
7
单元属性(续)
1. ..... 2. ..... 3. ..... Procedure
2.设定网格密度控制.
3.保存 DB, 然后执行网格划分.
May. 2008
ANSYS Software
22
网格划分 (续)
单元尺寸.
Objective
ANSYS网格划分中有许多不同的单元尺寸控制方式: • • • • “Smart Sizing”-智能网格; 总体（“Global”） 单元尺寸; 指定的线/面上的单元分割数及间距控制; 层网格划分 - 在壁面附近划分较密的的网格 (适于模拟 CFD 边界层及电磁分析中的 skin effects); • 网格细化 - 在制定区域细化网格 (并不清除已经划好的).
网格划分 (续)
对同一模型，采用不同的智能网格级别 进行网格划分时所得到的网格
May. 2008
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26
网格划分 (续)
人工调整网格控制
Objective
由于结构形状的多样性，在许多情况下，由缺省单元尺 寸或智能尺寸使产生的网格并不合适？ 例如：应力集中和奇异点的模型或者梯度变化大的部位
ANSYS Software
9
单元属性(续)
常用单元的形状
单元种类
点 (质量)
.
. . . .
线性
面 (薄壳, 二维实体, 轴对称实体)
.. . .. ...
二次
. .. . . . ..
线性 ANSYS Software
线(弹簧，梁，杆)
体(三维实体)
. . . ..... . .. . . . .. .
材料性质
要定义材料属性 : Main Menu: Preprocessor > Material Properties > -Structural>Linear>Isotropic
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7
单元属性(续)
1. ..... 2. ..... 3. ..... Procedure
2.设定网格密度控制.
3.保存 DB, 然后执行网格划分.
May. 2008
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22
网格划分 (续)
单元尺寸.
Objective
ANSYS网格划分中有许多不同的单元尺寸控制方式: • • • • “Smart Sizing”-智能网格; 总体（“Global”） 单元尺寸; 指定的线/面上的单元分割数及间距控制; 层网格划分 - 在壁面附近划分较密的的网格 (适于模拟 CFD 边界层及电磁分析中的 skin effects); • 网格细化 - 在制定区域细化网格 (并不清除已经划好的).
有限元第三章 单元类型及单元刚度矩阵
1 1 ; 2
F i(1) (3) l F ξ j(2) x
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
l●二次杆单元l来自( x )( x l ) ( x 0 )( x ) 2 2 u ( x 0 )( x l ) u u(x) u1 2 3 l l l l ( )( l ) l( ) ( )( ) 2 2 2 2
l
( B D B dA )dx
l T 0 A 2
引入
Jz
0 l
( E y
A
N T N dA )dx
A
y dA
2
EJ
0
N T N dx z
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
单 元 刚 度 矩 阵
l (1 )
2( x l) x 2 1 ( l ) ( 3 2 ) l x l )
2
N 4 ( x l )(
l ( 1)
2
二、一维单元及其单元刚度阵
2.三次梁单元
根据平面梁弯曲变形公式（忽略剪切变形）
y
k
e
GJ l
1 1
1 1
Mn i(1) l Mn ξ j(2) x
二、一维单元及其单元刚度阵
1.杆单元
●二次杆单元 单元有三个节点，如图所示，端点编号为i、j, 三个节点依次为1、3、2。单元位移可以根据抛物 线插值（亦称三点两次拉氏插值）获得，即
同样令
0 x xi 1 x x j
e T l
k B D B dV
第三章有限元法基础通常将有限元法分为两大类变分法和加权余量法
第三章 有限元法基础通常将有限元法分为两大类：变分法和加权余量法。
两种方法的出发点不同，但最后都归结为：①离散化：用若干个子区域（即单元）代替整个连续区域，②算子解析方程，即偏微分方程转化为代数方程组：区域的物理性质可以用节点上有限个自由度来描述，再应用离散系统分析方法将其汇集在一起。
§3-1 算子方程及变分原理 3.1.1 算子的概念（1）静电场中，泊松方程 ρϕε-=∇⋅∇ 可以写为 ρϕ=L ，其中∇⋅-∇=εL 称为算子。
（2）稳态磁场中，双旋度方程 J A =⨯∇⨯∇μ1J LA =⇒（3）时变场中，波动方程 J H H 2⨯∇=-⨯∇⨯∇νννk J H ⨯∇=⇒νL3.1.2 泛函 1、泛函的概念泛函是函数空间H 中，函数到数的映像，如()()[]x y I x I =也可以说泛函是函数的函数，函数空间中的某一函数()x y 有一个I 值与之对应，变量I 就是D 空间的函数()x y 的泛函。
例如 求()x y 所表示的曲线长度及所围面积。
曲线长度 ()[]⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=2121x x dx dx dy x y I曲线所围面积 ()[]()⎰=21x x dx x y x y I不同的()x y ，有不同的I 与之对应，不同的 图3-1 求曲线长度及所围面积()[]x y I 构成了函数空间H 。
2、泛函连续若对于()x y 的微小改变，有泛函()[]x y I 的微小改变与之对应，就称泛函是连续的。
3、线性泛函若泛函满足 ()[]()[]x y cI x cy I = c 为常数 或 ()()[]()[]()[]x y I x y I x y x y I 2121+=+ 则称其为线性泛函。
4、函数的变分y δ泛函()[]x y I 的宗量()x y 的变分y δ是()x y 的微小增量 ()()x y x y y 1-=δ 5、泛函的变分I δ对于宗量()x y 的变分y δ，泛函的增量为()[]()[]()[]()[]y ,x y o y ,x y L I I I x y I y x y I I δδδδδδ+=+++=-+=∆ 32式中，()[]y x y L δ,是对y δ的线性泛函，是I ∆的主要部分，称为一阶（或一次）变分()[]y x y L I δδ,=()[]y x y o δ,是误差项。
有限元分析第三章
由此可知，两个主应力就是正应力的最大和最小 值。
过一点任意斜面的应力极值
再求切应力的极值。 将sx=s1，sy=s2 ，txy=0代入切应力公式（2－5）， 并利用两个方向余弦的平方和为1，得
由此可知，当 l2=0.5 ，s1≥s2 时，切应力的最大和 最小值如下，其作用平面的法线方向与x轴和y轴成 45°角：
3、研究的方法：有较大的区别。 虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但 是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。
材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而 要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽 然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而 不是精确的。 而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的， 因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论 也比较精确。所以，可以用弹性力学的解答来估计材料力学 解答的精确程度，并确定它们的适用范围。
n x y
平面AB上的切应力tn即为
上面所求的全应力P向切线方 向的投影： t n mpx lp y 或
2 2 2 t n px py s n
过一点任意斜面的主应力与主方向 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求
此斜面上的主应力s和应力主方向a ？ 设如图所示的斜面上切应 力为0，则该面上的全应力等 于正应力，也等于主应力， 于是有 p x s nl sl
t xy l (s y s )m 0
2 xy
s (s x s y )s (s xs y t ) 0
展开得平面问题的主应力特征方程：
s I1s I 2 0
2
I1 s x s y I 2 s xs y t