第十一届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初一
第十一届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题人教版
第十一届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛试题一、填空。
1．计算：2．图1a是一个长方形，其中阴影部分由一副面积为1的七巧板拼成（如图1b），那么这个长方形的面积是（）。
3．有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜者得3分，负者得0分，如果踢平，两队各得1分。
现在甲、乙和丙分别得7分、1分和6分，已知甲和乙踢平，那么丁得（）分。
4．图2中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。
连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。
现在从结点A向结点B传递信息，那么单位时间内传递的最大信息量是（）。
5．先写出一个两位数62，接着在62右端写这两个数字的和为8，得到628，再写末两位数字2和8的和10，得到62810，用上述方法得到一个有2006位的整数：628101123……，则这个整数的数字之和是（）。
6．智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多同学。
老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级的人数应该是（）人。
7．如图3所示，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之和为10500，则线段AB的长度是（）。
8．100个非0自然数的和等于2006，那么它们的最大公约数最大可能值是（）。
二、解答下列各题，要求写出简要过程。
（每题10分，共40分）9．如图4，圆O中直径Ab与CD互相垂直，AB＝10厘米。
以C为圆心，CA为半径画弧AEB。
求月牙形ADBEA（阴影部分）的面积？10．甲、乙和丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8：6：5，它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬行，当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行。
问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次？（包括结束时刻）。
11．如图5，ABCD是矩形，BC＝6cm，AB＝10cm，AC和BD是对角线。
初中竞赛数学第十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初一第一试(含答案)
第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题初一年级 第一试（时间：2018年4月9日上午10：00—11：30）一、选择题:（每小题6分，共60分）1、已知a 、b 都是有理数，且|a|=a ，|b|≠b ，则ab=（ ）（A ）负数; （B ）正数; （C ）负数或零; （D ）非负数2、如图，数轴上每个刻度为1个单位长，点A 对应的数为a ，B 对应的数为b ，且b-2a=7，那么数轴上原点的位置在( )（A ）A 点; （B ）B 点; （C ）C 点; （D ）D 点。
3、下列说法正确的是（ ）（A ）-a 的相反数是a; （B ）-a 的倒数是-1a; （C ）-a 的绝对值是a; （D ）-a 2一定是负数; 4、大于353-⎛⎫ ⎪⎝⎭而不大于(-3)2的整数总共有（ ） （A ）12个; （B ）13个; （C ）14个; （D ）15个。
5、有8个编号分别是①至⑧的球，其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两面三刀个球，用天平称了3次：第一次：①+②比③+④重；第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻；第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重，则两个轻球的编号分别为（ ）（A ）①③; （B ）②④; （C ）⑥⑧; （D ）④⑤。
6、如图，AB ∥CD 则下列等式成立的是（ ） （A ）B F D E G ∠+∠+∠=∠+∠ （B ）E F G B D ∠+∠+∠=∠+∠（C ）F G D E B ∠+∠+∠=∠+∠ （D ）B E F D G ∠+∠+∠=∠+∠7、点P 为线段MN 上任意一点，点Q 为NP 的中点，若MQ=6，则MP+MN 为（ ）（A ）8． （B ）10。
（C ）12 （D ）不确定8、已知p+2q=0，(q ≠0)，则123p p p q q q-+-+-=（ ）（A ）4; （B ）6; （C ）3; （D ）4或6。
9．若abcd 表示一个四位数，且ab dc =，如1331，2552，则abcd 称为四位对称数，将这样的四作画数由小到大排列起来，第12个四位对称数是（ ）（A ）2442 （B ）2112 （C ）2332 （D ）222210、若A 、B 、C 、D 、E 五名运动员进行乒乓球单循环赛（即每两人赛一场），比赛进行一段时间后，进行过的场次数与队员的对照统计表如下：A C B那么与E （A ）A 和B （B ）B 和C （C ）A 和C （D ）A 和D二、填空题:（每小题6分，共90分）11、请将2、2、11、11这四个数用加减乘除四则运算以及括号组成结果为24的算式（每个数有且只能用一次）： 。
华杯赛决赛第13~16届(初一组)试题及答案
y 的, 而当 y 1时, 由第一个等式得到 2x 1, 所以 x 1 .
2 评分参考: 1) (1)之前给 2 分; 2) (1)和(2)各给 4 分.
三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程）
1 k
4k 2 9
4k
2
9
,
其中,
对于有理数
x,
x= x x.
所以有1 k2
,
9
1
1
k
4k 9
2
0.
当 k 取不同整数时, 1 k 4k 2 的情况如下表: 9
k
2
1
0
=1
=2
xy 0 . 因此, 三个相等的式子只有两种可能:
(1) x y xy x . 由后一等式得到, y 1或 y 1, 而 y 1是不可能的, 因为 y
此时由第一个等式得到 x 1 x , 矛盾. 当 y 1 时, 由第一个等式得到 x 1 x , 即 2x 1 , 所以 x 1 .
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）
第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 决赛试卷（初一组）
（建议考试时间：2008 年 4 月 19 日 10:00～11:30）
一、填空（每题 10 分，共 80 分）
1. 某地区 2008 年 2 月 21 日至 28 日的平均气温为-1℃，2 月 22 日至 29 日的平
枚围棋
第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）
第11届华杯赛初赛试题详细解答
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小学组）（时间2006年3月18日10：00～11：00）注意：1、因为是平时练习，所以每个题中间留有空格，以便写详细的解题过程， 考试的时候也是要有过程的，只是过程写在草稿纸上！2、对华杯赛初赛历届考过的所有题型一定要熟悉，相关公式、结论一定 要背诵！一、选择题 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内（每小题6分）.1. 如图1所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折压平，得到小正方形ABCD . 取AB 的中点M 和BC 的中点N ，剪掉MBN 得五边形AMNCD . 则将折迭的五边形AMNCD 纸片展开铺平后的图形是（ ）.【考点与分析】答案选D.几何图形折叠、翻转、展开图，这题最保守的做法是，按照题意操作得到图形，考试的时候也可以撕草稿纸来操作！这题可以用还原法--倒推！！由第3个图，及对称性得解。
2．2008006共有（ ）个质因子. (A) 4 （B ） 5 （C ） 6 （D ） 7【考点与分析】答案选C .数论计数：计算质因数个数，注意本题是求质因数的个数，不是因素的个数。
关键是分解质因素，这种大数如果用短除法就弱爆了。
先分析2008006这个数，很明显，奇数位数字和=6+2=8=偶数位数字和，因此2008006能同时被7、11、13整除，而7×11×13=1001，因此2008006=7×11×13×2006=7×11×13×2×1003，难道1003是质数吗？1003附近是322=1024，分解1003也就是要找能够整除1003的小于图132的质数，结果找到17,1003=17×59，因此2008006=2×7×11×13×17×59，有6个质因子。
第华罗庚杯赛决赛初一组试题及答案
x 2 n⎪第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初一组） （时间: 2016 年 3 月 12 日 10:00～11:30）一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）1. 已知 n 个数 x 1, x 2 , , x n , 每个数只能取 0, 1, -1中的一个. 若x 1 + x 2 + + x n = 2016 , 则 2015 1 + x 2015 + + x 2015 的值为 .2. 某停车场白天和夜间两个不同时段的停车费用的单价不同．张明 2 月份白天 的停车时间比夜间要多 40% , 3 月份白天的停车时间比夜间要少 40% . 若 3 月 份的总停车时间比 2 月份多 20% , 但停车费用却少了 20% , 那么该停车场白 天时段与夜间时段停车费用的单价之比是 .3. 在 9⨯ 9 的格子纸上, 1⨯1 小方格的顶点叫做格点. 如右图, 三角形 ABC 的三个顶点都是格点. 若一个格点 P 使得三角 形 PAB 与三角形 PAC 的面积相等, 就称 P 点为“好点”. 那 么在这张格子纸上共有 个“好点”.4. 设正整数 x , y 满足 xy - 9x - 9y = 20, 则 x 2 + y 2 = .5. 甲、乙两队修建一条水渠．甲先完成工程的三分之一, 乙后完成工程的三分 之二, 两队所用的天数为 A ; 甲先完成工程的三分之二, 乙后完成工程的三分 之一, 两队所用天数为 B ; 甲、乙两队同时工作完成的天数为 C . 已知 A 比 B 多 5, A 是 C 的 2 倍多 4. 那么甲单独完成此项工程需要 天.6. 已知 x + y + z = 5 , 1 + 1 + 1 = 5 , xyz = 1, 则 x 2 + y 2 + z 2 = . x y z7. 关于 x , y 的方程组⎧ 1 x + y = a ⎨ 2 ⎪⎩| x | - y = 1只有唯一的一组解, 那么 a 的取值为 .总分 密封线内请勿答题学校____________姓名_________参赛证号8.右图是一个骰子的展开图, 每个面是一个单位正方形. 用 四个骰子粘成一个 2⨯ 2⨯1的长方体放到桌面上, 要求每 两个粘在一起的面上的“点数”相同．长方体放到桌面上 的六个面分别记为上、下、左、右、前、后六个面, 两个 长方体不同是指对应六个面的“点”的拼图不同. 不考虑长方体的旋转, 共 可以粘出种不同的长方体二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 在恰有三条边相等的四边形中, 有两条等长的边所夹的内角为直角. 若从 该直角顶点引出的对角线恰好把这个四边形分成两个等腰三角形, 求该直 角所对的角的度数.10. 围着一张可以转动的圆桌, 均匀地放着 8 把椅子, 在桌子上对着椅子放有 8个人的名片. 这 8 个人入座后, 将圆桌顺时针转动, 第一次转 45︒ , 从第二 次开始, 每次转动比上一次多转 45︒ . 每转动一次, 当某人对着自己的名片 时, 取走自己的名片. 如果入座时谁都没有对着自己的名片, 那么桌子至少 转多少度才能保证所有入座可能的情况下 8 个人都拿到了自己的名片?11. 两张 8 ⨯12 的长方形纸片重叠地放置, 有一个顶点重合, 尺寸如右图所示. 问图中阴影部分的面积是多少？12. 证明: 对任何非零自然数 n , 1212323-++n n n ，都是整数, 并用 3 除余 2。
第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷初一组答案及详细解析
第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组）一、填空（每题10分，共80分） 1、计算：=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯-3553134217685.17130998-解析：3576306113999820171315130130⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、“b 的相反数与a 的差的一半的平方”的代数表达式为 。
解析：2222⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b a b 或3、规定符号“⊕”为选择两数中较大者，规定符号“⊙”为选择两数中较小者，例如：3⊕5=5，3⊙5=3，则解析：400.726001271211211367⨯==+ 已知 5-=-n m ，1322=+n m ，那么 44n m += 97 。
解析：4、22224422222()(5)6,()(6)()()2=m n m n m n m n m n m n -=-→⨯=-⨯=-+=+-代入数据，原式975、用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图1，从正面看这个立体，如图2，则这个立体的表面积最多是 48 。
图1（从上向下看） 图2（从正面看）解析：从两个视图可知，该立体的排布最多如图所示，则表面积最多为48 6、满足不等式|13|22|1|3+>--n n n 的整数n 的个数是 5 。
解析：n-1=0 则n=1， 3n+1=0 则n=-1/3当n-1>=0时，n>=1， 3(n-1)-2n>2(3n+1)，5n<-5 ，n<-1, 则n 无解当-1/3<n<1时，3(1-n)-2n>2(3n+1)，3-5n>6n+2，n<1/11 ,则-1/3<n<1/11…（1） 当n<=-1/3时,3(1-n)-2n>2(-3n-1),n>-5,则-5<n<=-1/3…（2） 由（1）、（2）得:-5<n<1/11,则整数n 的个数是: n=-4.-3.-2.-1.0共5个7、某年级原有学生280人，被分为人数相同的若干个班。
第十届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初一组决赛试卷与解答
第十届全国”华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题:初一组一. 填空(每题10分,共80分)1.①计算: 22111134413(12)(0.5)(2)22412433⎡⎤-⨯-÷-÷⨯-⨯--=⎣⎦ . ②已知: 0abc ≠且0a b c ++=,则a b b c c a a b b c c a++= . 2.m 和n 均不为零, 233x y 和2235m nx y ++-是同类项,则322332233395369m m n mn n m m n mn n -++=+-+ . 3.由于浮力的作用,金放在水里秤量和它的重量比较,在水中的”重量”会减少119;银放在水里秤量和它的重量相比较,在水中的”重量”会减少110.某个只含有金银成分的古文物,重量是150克,在水中秤量,”重量”是141克,则古文物中金占 %.(精确到1%)4.图1是几何学中非常著名的美丽的轴对称的图形,它有 条对称轴.5.甲加工一种零件,乙加工另一种零件.甲用A 型机器需要6小时才能完成任务,用B 型机器效率降低60%;乙用B 型机器需要10小时才能完成任务,用A 型机器效率提高20%.如果甲用A 型机器,乙用B 型机器同时开始工作,中途某一时刻交换使用机器,甲和乙同时完成任务.则甲完成任务所用的时间是 小时.6.一个直角三角形三条边的长度是3,4,5.如果分别以各边为轴旋转一周,得到三个立体,那么三个立体中最大的体积和最小的体积的比是 .7.一列自然数0,1,2,3……，2005，……，2024.第一个数是0,从第二个数开始,每一个都比它前一个大1,最后一个是2004.现在将这列自然数排成以下数表:3 8 15 (1)2 7 14 (4)5 6 13 …… 9 10 11 12 ………… …… …… …… ……规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第 行和第 列。
8。
(31)635m x x -=-是关于x 的方程，为确保该方程的解是负整数，m 能取的最大 值 。
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 决赛试卷（初一组）
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初
一组）
满涛
【期刊名称】《时代数学学习：7年级》
【年(卷),期】2006(000)012
【总页数】5页(P19-23)
【作者】满涛
【作者单位】南京大学
【正文语种】中文
【中图分类】G4
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“华罗庚金杯”少年数学邀请赛(口试)试题1-10届
华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题第01届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题1. 这是七巧板拼成的正方形，正方形边长20厘米，问七巧板中平行四边形的一块（如右图中阴影部分）的面积是多少？2．从所有分母小于10的真分数中，找出一个最接近0.618的分数。
3．有49个小孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同，请你挑选出若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，你最多能挑选出多少个小孩子？4．有一路公共汽车，包括起点和终点站共有15个车站，如果有一辆车，除终点到站外，每一站上车的乘客中，恰好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？5．正方形的树林每边长1000米，里面有白杨树和榆树，小明从树林的西南角走入树林，碰见一株白杨树就往正北走，碰见一株榆树就往正东走，最后他走了东北角上，问：小明一共走了多少米的距离？6．自然数按从小到大的顺序排成螺旋形，在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯……问拐第二十个弯的地方是哪一个数？第02届华罗庚金杯少年数学邀请赛口试试题1、如下图是一个对称的图形，黑色部分面积大还是阴影部分面积大？2、你能不能将自然数1到9分别填入右面的方格中，使得每个横格中的三个数之和都是偶数？3、司机开车按顺序到五个车站接学生到学校（如下图），每个站都有学生上车，第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半，车到学校时，车上最少有多少学生？4、如图中五个正方形的边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。
问：白色部分面积与阴影部分面积之比是多少？5、用1、2、3、4、5这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中是偶数多还是奇数多？6、7、将右边的硬纸片沿虚线折起来，便可作成一个正方体，问：这个正方体的2号面对面是几号面？（如下图）8、下面是一个11位数，它的每三个相邻数之和都是20，你知道打“？”的数字是几？9、有八张卡片，右图分别写着自然数1到8，从中取出三张，要使这三张卡片上的数字之和为9，问有多少种不同的取法？第03届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试1．一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道红条，如右图阴影所示部分，红条宽都是2厘米．问：这条手帕白色部分的面积是多少？2．伸出你的左手，从大拇指开始如图所示的那样数数字，1，2，3，……，问：数到1991时，你数在那个手指上？3．有3个工厂共订300份吉林日报，每个工厂订了至少99份，至多101份．问：一共有多少种不同的订法？4．图上有两条垂直相交的直线段AB、CD，交点为E（如下图）．已知：DE=2CE，BE=3AE．在AB和CD上取3个点画一个三角形．问：怎样取这3个点，画出的三角形面积最大？5．如下图中有两个红色的圆，两个蓝色的圆，红色圆的直径分别是1992厘米和1949厘米，蓝色圆的直径分别是1990厘米和1951厘米．问：红色二圆面积大还是蓝色二圆面积大？6．在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来（如下图），填在这个方格中，例如a=5＋3=8．问：填入的81个数字中，奇数多还是偶数多？7．能不能在下式：1□2□3□4□5□6□7□8□9=10的每个方框中，分别填入加号或减号，使等式成立？8．把一个时钟改装成一个玩具钟（如右图），使得时针每转一圈，分针转16圈，秒针转36圈．开始时3针重合．问：在时针旋转一周的过程中，3针重合了几次？（不计起始和终止的位置）．9．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分成3组，分别计算各组数的和．已知这3个和互不相等，且最大的和是最小的和的2倍．问：最小的和是多少？10.这是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不能在同一条棋盘线上．问：共有多少种不同的放法（如下图）？11.这是两个圆，它们的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90％（如右图）．问：大圆的面积是多少？12.有一根1米长的木条，第一次去掉它的，第二次去掉余下木条的；第三次又去掉第二次余下木条的，等等；这样一直下去，最后一次去掉上次余下木条的．问：这根木条最后还剩下多长？13.这是一个楼梯的截面图（如下图），高2.8米，每级台阶的宽和高都是20厘米．问：此楼梯截面的面积是多少？14.请找出6个不同的自然数，分别填入6个括号中，使这个等式成立．第04届华罗庚金杯少年数学邀请赛团体决赛口试1．2×3×5×7×11×13×17这个算式中有七个数连乘，请回答：最后得到的乘积中，所有数位上的数字和是多少？请讲一讲你是怎样算的？2．这是一个中国象棋盘（图中小方格都是相等的正方形，“界河”的宽等于小正方形边长），黑方有一个“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一个，红方有两个“相”，它们只能在8，9，10，11，12， 13，14中的两个位置．问：这三个棋子（一个“象”和两个“相”）各在什么位置时，以这三个棋子为顶点构成的三角形的面积最大？3．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种形状的短管（加工损耗忽略不计）问：剩余部分的管子最少是多少厘米？4．乙两人同时从A出发向B行进，甲速度始终不变，乙在走前面路程时，速度为甲的2倍，而走后面路程时，速度是甲的，问甲、乙二人谁选到B？请你说明理由。
第21届华杯赛决赛答案_初一
第21届华杯赛决赛答案_初一其次十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初一组）一、填空题（每小题 10 分, 共80分）二、解答下列各题（每小题 10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 【答案】?135, ?45【解答】在恰有三条边相等的四边形中, 三条相等的边相邻, 不妨设为AD BC AB ==. 若直角顶点引出的对角线恰好把四边形分成两个等腰三角形,则有两种情况.图9-1 图9-2（1）如图9-1所示, 直角顶点A 引出的对角线AC 分成的两个等腰三角形中,BC AB =, AC AD =.在等腰三角形ABC 中, 由于AC BC AB ==, 所以三角形ABC 为等边三角形. 进而?=∠=∠60CAB BCA , ?=∠30DAC .在等腰三角形ACD 中,()?=∠-?=∠7518021DAC ACD , 所以?=∠135BCD .（2）如图9-2所示, 直角顶点A 引出的对角线AC 分成的两个等腰三角形中,BC AB =, CD AC =.取AD 的中点E , 连接CE , 则AD CE ⊥. 所以CE AB //.过B 作CE BF ⊥于F , 则四边形ABFE 为矩形. 所以BC AD BF 2121==. 在直角三角形BCF 中, 由于BF BC 2=, 所以?=∠30BCE . 由于BC AB =, 所以ACE BCA ∠=∠. 得?=∠=∠15ACE BCA . 最终, ?=∠45BCD .10. 【答案】1260【解答】依据题目的设定, 第一次转?45, 从其次次开头, 每次转动比上一次多转?45, 所以从第1次到第k 次共转了??+?45)1(2k k . 要想保证每个人都拿到本人的名片, 则需要每个人至少与桌子上的卡片位置对上一次．从某个人名片开头顺时针记每张名片对应的椅子位置为第0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7号. 第k 次转动后, 0位置的名片对应的椅子位置的号数为)1(214545)1(21+?=?+?k k k k除以8的余数．可以看出, 前7次旋转, 第0号名片所处的位置各不相同, 并且都不在0卡片的起始位置, 因而由抽屉准绳, 0卡片的仆人肯定可以拿到本人的卡片．由对称性,旋转七次, 全部的人都拿到了卡片．当旋转次数小于7时, 第0号名片在第4号位置上没有停留过, 假如第0号的名片上的人正好坐在第4号位置上, 则这个人就拿不到本人的名片．所以旋转的度数为12604528=?．11. 【答案】54【解答】如右图将堆叠部分标上字母, 连接AC . 由于12=AD , 178=-=CD , 所以ACD ?的面积6=, 145112222=+=AC .又8=AB , 所以81641458222=-=-=AC BC , 9=BC .因而ABC ?的面积369821=??.所以四边形ABCD 的面积42366=+=.因而阴影部分面积5442128=-?.12. 【证明】首先，有().1)12)(1(2111)1(2211)132(211)32(211212322323-++=-+++=-++=-++=-++n n n n n n n n n n n n n n n n 由于 )1(+n n 是偶数, 所以1212323-++n n n 是整数. 又 238)22)(12(218)22)(12(21)12)(1(21+-++=-++=-++n n n n n n n n n ,而)22)(12(2++n n n 是三个相继的整数的乘积, 是3的倍数, 是3和8的公倍数. 所以, 1212323-++n n n 被3除余2. 三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出具体过程）13. 【答案】40【解答】设正方形ABCD 的面积是a , 连接EF, 见右图, 则三角形BCF 的面积=三角形DFC 的面积4a =, 三角形BEF 的面积12214aa =?=, 三角形ECF 的面积6a =, 三角形BED 的面积6a =, 三角形FED 面积=三角形BED 的面积-三角形BEF 的面积12a =. 由共边定理,GF CFDFG DFC EGF ECF =??=??的面积的面积的面积的面积, 242126aa a =-, 得到: 40=a . 14. 【答案】125, 4【解答】设原来有N 人, 原来的队伍从左到右编号, 1, 2, , N , 则第一次报1的有132+-N 人, 他们的编号是, 132,,2,1,0,13+-=+N k k ; 其次次报1的有11+-mN 人, 他们的编号是 11,,2,1,0,1+-=+mN l ml .两次都报1的人满足条件: 113+=+ml k .由于1),3(=m , 所以t l 3=, ??????-=m N t 31,,2,1,0 . 两次都报1的人的编号是 ??????-=+m N t mt 31,,2,1,0,13 , 共计有131+??????-m N 人．首先让第一次报1的人出列, 出列132+-N 人, 留下的人成2人相邻一组共有32-N 组和最左边一个一人组; 让其次次报1而第一次不报1的人出列, 出来 ??????---=-??????--+-m N m N m N m N 31113111 (人). 另一方面, 其次次出列的除了最左边一人外, 都是由一部分第一次留下的二人组中出来一人, 所以, 最终留下的一人组数就是其次次出列的人数减1, 即 1311-??????---m N m N . 由题设得202111=-??????---m N m N . ①第一次留下的32-N 个二人组中有??????---m N m N 311个组在其次次每组出列一人变成了一人组, 所以留下二人组的个数212032=--N , 即125=N .代入①得213124124=??????-m m . 所以213124324831243124124=??????+=??????+-m m m m m . 由于21324820≤≤m .所以4=m .。
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第十一届全国"华罗庚金杯"少年数学邀请赛
决赛试卷(初一组)
（红色字为参考答案）
(时间2006年4月22日10:00~l l :30〉
一、.填空
1、计算：243331(0.25)(2)3()5(2)168⎧
⎫⎡⎤⎡⎤---⨯-÷⨯-+÷-=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎩⎭（ 47 ） 2、当2m π=时，多项式31am bm ++的值是0，则多项式31452
a b ππ++=（ 5 ）
3、将若干本书分给几名小朋友,如果每人分4本书,就还余下20本书,如果每人分8本书,就剩有1名小朋友虽然分到了一些书,但是不足8本,则共有( 6 )名小朋友
4、图l 中的长方形ABCD 是由四个等腰直角三角形和一 个正方形EFGH 拼成.己知长方形ABCD 的面积为120
平方厘米,则正方形EFGH 的面积等于( 10 )平方厘米
5、满足方程|||x-2006|-1|+8|=2006的所有x 的和为( 4012 )
6、一个存有一些水的水池,有一个进水口和若干个口径相同的山水口,进水口每分钟进水3立方米.若同时打开进水口和三个出水口,池中水16分钟放完;若同时 打开进水口与五个出水口,池中水9分钟放完.池中原有水( 288 )立方米
7、已知1
20052006123420052006(1)24816222
k k k S +=-+-++-++- ，则小于S 的最大的整数是( 0 )
8.如图2,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数是:
,(1),,2,1,0,1,2,,1,n n n n ------
为了确保从这些点中可以取出2006个,其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n 的最小值是( 2005 )
二.解答下列各题,要求写出简要过程
9、如图3,ABCD 是矩形,BC=6cm,AB =10cm,AC 和
BD 是对角线.图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周,则阴影
部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?(z 取3.14) 解: ①设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立
体的体积是S,S 等于高为10厘米,底面半径是6厘米的
圆锥的体积减去2个高为5厘米,底面半径是3厘米的圆 锥的体积
. 图1图2n n-10-1-2-(n-1)
-n 图3
②即: S=13×26×10×π-2×13
×23×5×π=90π, 2S=180π=565.2(立方厘米).
答:体积是565.2立方厘米.
10、将21个整数10,9,8,,3,2,1,0,1,2,3,,8,9,10------
分为个数不相等的六组数,分别计算各组的平均值,那么这六个平均值的和最大是多少?
解:①分为个数不相等的6组,整数的个数分别为1、2、3、4、5、6.
②应当将数值大的分在整数个数少的组中.所以,可以如下分组:
第一组
10 第二组
9 8 第三组
7 6 5 第四组
4 3 2 1 第五组
0 -1 -2 -3 -4 第六组
-5 -6 -7 -8 -9 -10
③计算它们的平均值的和:
109876543210123456789101171234562
++++++----------+++++= 答:最大的和是1172。
11、当m =-5，-4，-3，-1，0，1，3，23，124，1000时,从等式(2m+1)x+(23M)y+1-5m =0 可以得到10个关于x 和y 的二元一次方程,问这10个方程有没有公共解?如果 有,求出这些公共解.
解:①分别取m =0和m =1,得到两个方程:
210340
x y x y ++=⎧⎨--=⎩ 先求两个方程的公共解,把它们看作二元一次方程组,解得:x =1,y =-1.
②把x=1,y =-1代入(2m+l)x+(2-3m)y+1-5m,值恒为0.此即意味着: 当m =-5,一4,一3,一1,0,1,3,23,124,1000时,(2m+l)x+(2-3m)y+l-5m=0成立所以, x=1,y =-1是对应的10个方程的的公共解.
答:这些方程的公共解是x=1,y =-1.
12、平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有一个角不超过36度,请说明理由. 解:①在平面上任取一点。
,过O 点作已知的5条直线的平行线12345,,,,l l l l l
②将O 为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角,这10个小角的 和恰等于3600,所以,至少有一个小角不超过360。
三.解答下列各题,要求写出详细过程
13.如图4,A 、B 和C 是圆周的三等分点,甲、乙、丙 三只蚂蚁分别从A 、B 、C 三个点同时出发,甲和乙 沿圆周逆时针爬行,丙顺时针爬行.己知甲、乙、 丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5,求出三只蚂蚁 所有的会合地点.
解: ①设圆周周长为3L,甲、乙、丙的速度分别为8ν、6ν、5ν;
θ10θ9θ8θ7θ6θ5θ4θ3θ2θ1l 5l 4
l 3l 2l 1
②甲第一次追上乙时爬行的时间=
862L L v v v =-， 甲第一次追上乙时爬行的路程=842L v L v
= 甲第k+1次追上乙时爬行的时间=322L kL v v
+, 甲第k+1次追上乙时爬行的路程=3()83(14)22L kL v L k L v v
+⨯=+⨯+ 因为3×(l+4k)L 是圆周周长的整数倍,所以,甲总在B 点追上乙 ③在时刻
322L kL v v +,丙爬行的路程=331()536()2222
L kL k v L kL L v v +⨯=++- 当k=1时,上式是3()5922L kL v L L v v +⨯=+。
因为丙是从C 出发顺时针爬行，所以 丙爬行至B 处,意味甲、乙、丙能够在B 点会合.
答:甲、乙、丙仅仅在B 处或合.
14、己知m ，n 都是正整数,并且
111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233A m m
=-+-+-+ ， 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233B n n
=-+-+-+ ①证明:12m A m +=，12
n B n += ②若126
A B -=
，求m 和n 的值. 解:①111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2233A m m
=-+-+-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2323m m
=---+++ 121341123232m m m m m m
-++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 同样,12n B n += ②由题设,
11111222226m n A B m n m n ++-=
-=-=，11113m n -=，111131313n m n n
+=+= 所以,1313n m n
=+， 1313(1313)131313131313n n m n n n +-⨯===-+++
即13+n 是13×13的因数,
13×13只有3个因数:1，13，132所以,
13+n=132, n=132-13=156, m=12.
求出正整数m,n 另一方法:使
11111222226m n A B m n m n ++-=-=-=，11113
m n -= 设m =K α, n=Kb, (α,b)=1, 代入上式,
11132b a Ka Kb Kab
--==
(b一α)和α,b都互质,一定整除K. 记
K
d
b a
=
-
是正整数, b a
>则有
11
13
dab
=
由上式和b >α,b=13, α=1,d=l 所以,K=12,m和n有唯一解m=13 n =156. 答:m=13n =156.
特别说明: 因给各题的解答未必唯一,上述解答仅供参考.。