2016届高考数学一轮复习 题组层级快练64(含答案解
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练10(含解析)
题组层级快练(十)1．(2015·四川泸州一诊)2lg2－lg 125的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 2lg2－lg 125＝lg(22÷125)＝lg100＝2，故选B.2．(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4答案 D解析 原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.3．(2015·石家庄一模)已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c答案 A解析 因为312>1,0<log 1312<1，c ＝log 213<0，所以a >b >c ，故选A.4．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为( ) A ．[4,5] B ．[4，112]C ．[4，132]D ．[4,7]答案 B解析 y ＝f (x )＋f (x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f (x )＋f (x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x ≤2，从而4≤y ≤112.5．(2014·四川文)已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c答案 B解析 由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c,5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a，∴dc ＝a ，故选B. 6．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 C 解析 由x ∈(e －1,1)，得－1<ln x <0，a －b ＝－ln x >0，a >b ，a －c ＝ln x (1－ln 2x )<0，a <c ，因此有b <a <c ，选C.7．若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( ) A ．(1a，b )B ．(10a,1－b )C ．(10a，b ＋1)D ．(a 2,2b )答案 D解析 当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2,2b )在函数y ＝lg x 图像上． 8．设log b N ＜log a N ＜0，N ＞1，且a ＋b ＝1，则必有( ) A ．1＜a ＜b B ．a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a D ．b ＜a ＜1答案 B解析 ∵0＞log a N ＞log b N ⇒log N b ＞log N a ，∴a ＜b ＜1.9．若0<a <1，则在区间(0,1)上函数f (x )＝log a (x ＋1)是( ) A ．增函数且f (x )>0 B ．增函数且f (x )<0 C ．减函数且f (x )>0 D ．减函数且f (x )<0答案 D解析 ∵0<a <1时，y ＝log a u 为减函数，又u ＝x ＋1增函数，∴f (x )为减函数；又0<x <1时，x ＋1>1，又0<a <1，∴f (x )<0.选D.10．函数f (x )＝2|log2x |的图像大致是( )答案 C解析 ∵f (x )＝2|log2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，∴选C.11．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a答案 A解析 ∵a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，∴a ＞b .又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，∴b ＞c .故a ＞b ＞c .选A.12．若0＜a ＜1，则不等式1log a x＞1的解是( ) A ．x ＞a B ．a ＜x ＜1 C ．x ＞1 D ．0＜x ＜a答案 B解析 易得0＜log a x ＜1，∴a ＜x ＜1.13．若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则x ∈________，a ∈________. 答案 (1，＋∞) (1，＋∞)14．若log a (a 2＋1)＜log a 2a ＜0，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (12，1)解析 ∵a 2＋1＞1，log a (a 2＋1)＜0，∴0＜a ＜1. 又log a 2a ＜0，∴2a ＞1，∴a ＞12.∴实数a 的取值范围是(12，1)．15．若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a ＝________. 答案 2解析 f (x )＝log a (x ＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x ≤1，则1≤x ＋1≤2. 当a >1时，0＝log a 1≤log a (x ＋1)≤log a 2＝1，∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2≤log a (x ＋1)≤log a 1＝0，与值域是[0,1]矛盾． 综上，a ＝2.16．(2015·广东韶关调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 a >1解析 如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像，其中a 表示直线在y 轴上的截距，由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．17．设函数f (x )＝|lg x |，(1)若0<a <b 且f (a )＝f (b )．证明：a ·b ＝1； (2)若0＜a ＜b 且f (a )＞f (b )．证明：ab ＜1. 答案 略解析 (1)由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b .∴ab ＝1. (2)由题设f (a )＞f (b )，即|lg a |＞|lg b |.上式等价于(lg a )2＞(lg b )2，即(lg a ＋lg b )(lg a －lg b )＞0，lg(ab )lg ab ＞0，由已知b ＞a ＞0，得0＜a b＜1.∴lg a b＜0，故lg(ab )＜0.∴ab ＜1.18．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围． 答案 (1){x |－1<x <1} (2)奇函数 (3){x |0<x <1}解析 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求定义域为{x |－1<x <1}． (2)f (x )为奇函数．证明如下： 由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．(3)由f (x )>0，得log a (x ＋1)－log a (1－x )>0. ∴log a (x ＋1)>log a (1－x )．又a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，x ＋1>1－x ，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}．若a >0且a ≠1，x >y >0，n ∈N *，则下列各式：①(log a x )n ＝n log a x ；②(log a x )n ＝log a x n；③log a x ＝－log a 1x ；④n log a x ＝1n log a x ；⑤log a x n＝log a n x ；⑥log ax －y x ＋y ＝－log a x ＋yx －y.其中正确的有________．答案③⑤⑥。
2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练17Word版含答案
题组层级快练(十七)(第一次作业)1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝1或－1或0 D ．x ＝0答案 C解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得 x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．2．(2013·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图像是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 答案 C解析 ∵x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如右图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．3．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )答案 C解析 由f (x )在x ＝－2处取得极小值可知， 当x <－2时，f ′(x )<0，则xf ′(x )>0； 当－2<x <0时，f ′(x )>0，则xf ′(x )<0； 当x >0时，xf ′(x )>0.4．若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0 答案 D解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b＝0.5．若函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜12答案 A解析 f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0. ∴b ＞0.f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的取值范围为0＜b ＜1.6．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对 答案 A解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37，选A.7．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2,4] 答案 C解析 f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意； 当0<a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a (x ＋1a )(x －1a)，f (x )在[－1,1]上为减函数， f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意； 当a >1时，f (－1)＝－a ＋4≥0，且f (1a )＝－2a＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4. 8．若函数f (x )＝e －x ·x ，则( )A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )＝－e －x ·x ＋12x ·e －x ＝e －x (－x ＋12x )＝e －x ·1－2x2x . 令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f (12)＝1e ·12＝12e.9．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________. 答案 －23 －16解析 y ′＝ax ＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－23，b ＝－16.10．若f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＋b ＝________. 答案 －7解析 由x ＝1时，f (x )有极值10知，f (1)＝10，f ′(1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16， 得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)．当x ∈(－113，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故当x ＝1时，f (x )为极小值．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，即x ＝1时，不取极值，a ＝－3，b ＝3应舍去．所以a ＋b ＝－7.11．若f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 答案 6解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， ∵f (x )在x ＝2处有极大值， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f ′(x )<0 (x >2)，f ′(x )>0 (x <2).解得c ＝6.12．(2015·保定调研卷)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值 解析 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx(x >0)，又f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3. (2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x >0.则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 13．(2015·郑州一模)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在[1，a ]上的最大值；(3)设函数g (x )＝f (x )－bx ，在(2)的条件下，若函数g (x )恰有3个零点，求实数b 的取值范围．答案 (1)a ≤0 (2)－6 (3)b >－7且b ≠－3 解析 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即 3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立． 则必有a3≤1，且f ′(1)＝－2a ≥0.∴a ≤0.(2)依题意，f ′(－13)＝0，即13＋23a －3＝0，∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x .令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.则当x 变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表：∴f (x )在(3)函数g (x )有3个零点⇔方程f (x )－bx ＝0有3个不相等的实根． 即方程x 3－4x 2－3x ＝bx 有3个不等实根． ∵x ＝0是其中一个根，∴只需满足方程x 2－4x －3－b ＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b )>0，－3－b ≠0.∴b >－7且b ≠－3. 故实数b 的取值范围是b >－7且b ≠－3. 14．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围． 答案 (1)极小值点为x 1＝32，极大值点为x 2＝12 (2)(0,1]解析 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.又当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况如下表：∴x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．结合(1)与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，得0<a ≤1.即实数a 的取值范围是(0,1]．15．(2014·福建)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x .答案 (1)a ＝2，极小值为f (ln2)＝2－ln4 (2)略 解析 (1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2.当x＜ln2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4，f(x)无极大值．(2)令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x，由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)＞0，故g(x)在R上单调递增．又g(0)＝1＞0，因此，当x＞0时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜e x.。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练8(含解析)
题组层级快练(八)1．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (4)＝f (1)，则( ) A ．f (2)>f (3) B ．f (3)>f (2) C ．f (3)＝f (2)D ．f (3)与f (2)的大小关系不确定 答案 C解析 ∵f (4)＝f (1)，∴对称轴为52，∴f (2)＝f (3)．2．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝－x 2－x －1 B ．f (x )＝－x 2＋x －1 C ．f (x )＝x 2－x －1 D ．f (x )＝x 2－x ＋1答案 D解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a x ＋2＋b x ＋＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x .故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.故选D.3.如图所示，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像，则|OA |·|OB |等于( )A.caB ．－c aC ．±c aD ．无法确定答案 B解析 ∵|OA |·|OB |＝|OA ·OB |＝|x 1x 2|＝|c a |＝－c a(∵a <0，c >0)．4．(2015·上海静安期末)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5)答案 C解析 二次函数f (x )＝－x 2＋4x 的图像是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f (x )＝－5，结合图像可知m 的取值范围是[－1,2]．5．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )答案 C6．(2015·山东济宁模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c x ≤，2 x ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．4B ．2C ．1D ．3答案 D解析 由解析式可得f (－4)＝16－4b ＋c ＝f (0)＝c ，解得b ＝4.f (－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2x ，2 x 又f (x )＝x ，则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2. 当x >0时，x ＝2，综上可知有三解．7．二次函数f (x )的二次项系数为正数，且对任意的x ∈R 都有f (x )＝f (4－x )成立，若f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，则实数x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－2,0)D ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)答案 C解析 由题意知，二次函数的开口向上，对称轴为直线x ＝2，图像在对称轴左侧为减函数．而1－2x 2<2,1＋2x －x 2＝2－(x －1)2≤2，所以由f (1－2x 2)<f (1＋2x －x 2)，得1－2x 2>1＋2x －x 2，解得－2<x <0.8．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，则实数b 的取值范围是( )A ．－1<b <0B ．b >0C ．b <－1或b >2D ．不能确定答案 C解析 由f (1－x )＝f (1＋x )，得对称轴方程为x ＝1＝a2.∴a ＝2，f (x )在[－1,1]上是增函数． ∴要使x ∈[－1,1]，f (x )>0恒成立．只要f (x )min ＝f (－1)＝b 2－b －2>0，∴b >2或b <－1.9．(2015·上海虹口二模)函数f (x )＝－x 2＋4x ＋1(x ∈[－1,1])的最大值等于________． 答案 4解析 因为对称轴为x ＝2∉[－1,1]，所以函数在[－1,1]上单调递增，因此当x ＝1时，函数取最大值4.10．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )<0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－4,0]11．设函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝________. 答案 612．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a ]，并且函数f (x )的最大值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥5解析 ∵f (x )的对称轴为x ＝3，要使f (x )在[1，a ]上f (x )max ＝f (a )，由图像对称性知a ≥5. 13．已知y ＝(cos x －a )2－1，当cos x ＝－1时，y 取最大值，当cos x ＝a 时，y 取最小值，则实数a 的范围是________．答案 0≤a ≤1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1.14．若函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上的最小值是2，最大值是3，则实数m 的取值范围是________．答案 [1,2]解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋2≥2， ∴x ＝1∈[0，m ]．∴m ≥1.① ∵f (0)＝3，而3是最大值．∴f (m )≤3⇒m 2－2m ＋3≤3⇒0≤m ≤2.② 由①②知：1≤m ≤2，故应填[1,2]．15．在函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，若a ，b ，c 成等比数列且f (0)＝－4，则f (x )有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．答案 大 －3解析 ∵f (0)＝c ＝－4，a ，b ，c 成等比，∴b 2＝a ·c ，∴a <0.∴f (x )有最大值，最大值为c －b 24a＝－3.16．函数f (x )＝x 2＋2x ，若f (x )>a 在区间[1,3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________；②恒成立，则a 的取值范围为________．答案 a <15 a <3解析 ①f (x )>a 在区间[1,3]上恒有解，等价于a <[f (x )]max ，又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝3时，[f (x )]max ＝15，故a 的取值范围为a <15.②f (x )>a 在区间[1,3]上恒成立，等价于a <[f (x )]min ，又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝1时，[f (x )]min ＝3，故a 的取值范围为a <3.17．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 答案 (1)最小值－1，最大值35 (2)a ≤－6或a ≥4(3)单调递增区间(0,6]，单调递减区间[－6,0]解析 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.(3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0].∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．18．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，设f (x )＝x 的两个实根为x 1，x 2. (1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求实数a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f (x )的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1. 答案 (1)a ＝2－12(2)略 解析 (1)若b ＝2，则f (x )＝ax 2＋2x ＋1. 由f (x )＝x ，得ax 2＋2x ＋1＝x . 即ax 2＋x ＋1＝0.由|x 2－x 1|＝2，得(x 2－x 1)2＝4. ∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.∴(1a )2－41a ＝4，得a ＝2－12(a >0)．(2)由f (x )＝x ，得ax 2＋bx ＋1＝x . 即ax 2＋(b －1)x ＋1＝0. 设g (x )＝ax 2＋(b －1)x ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧g ，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b －1<0，16a ＋4b －3>0.画出点(a ，b )的平面区域知该区域内有点均满足2a －b >0.从而2a >b ，∴x 0＝－b2a>－1.1．(2013·浙江)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0答案 A解析 由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b2a ＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，∴f (x )先减后增，∴a >0，选A.2．已知f (x )是二次函数，且函数y ＝ln f (x )的值域为[0，＋∞)，则f (x )的表达式可以是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2＋2x ＋2 C ．y ＝x 2－2x ＋3 D ．y ＝－x 2＋1答案 B解析 由题意可知f (x )≥1.3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3] D ．(1,3)答案 B解析 由题可知f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]．即－b 2＋4b －3>－1，解得2－2<b <2＋ 2.4．对一切实数x ，若不等式x 4＋(a －1)x 2＋1≥0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥－1 B ．a ≥0 C ．a ≤3 D ．a ≤1答案 A解析 令t ＝x 2≥0，则原不等式转化为t 2＋(a －1)t ＋1≥0，当t ≥0时恒成立． 令f (t )＝t 2＋(a －1)t ＋1，则f (0)＝1>0. (1)当－a －12≤0即a ≥1时，恒成立． (2)当－a －12>0即a <1时，由Δ＝(a －1)2－4≤0，得－1≤a ≤3. ∴－1≤a <1，综上：a ≥－1.5．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________. 答案 9或25 解析 y ＝8(x －m －116)2＋m －7－8·(m －116)2，∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·(m －116)2＝0，∴m ＝9或25.6．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________. 答案 1解析 ∵y ＝|(x －1)2－t －1|，∴对称轴为x ＝1.若－t －1<0，即t >－1时，则当x ＝1或x ＝3时为最大值，即|1－2－t |＝t ＋1＝2或9－6－t ＝2，得t ＝1；若－t －1≥0，即t ≤－1时，则当x ＝3时为最大值，即9－6－t ＝2，t 无解．故得t ＝1.7．(2015·北京丰台期末)若f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，其中a ≤b ≤c ，对于下列结论：①f (b )≤0；②若b ＝a ＋c2，则∀x ∈R ，f (x )≥f (b )；③若b ≤a ＋c2，则f (a )≤f (c )；④f (a )＝f (c )成立的充要条件为b ＝0.其中正确的是________．(请填写序号)答案 ①②③解析 f (b )＝(b －a )(b －b )＋(b －b )(b －c )＋(b －c )·(b －a )＝(b －c )(b －a )，因为a ≤b ≤c ，所以f (b )≤0，①正确；将f (x )展开可得f (x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ac ，又抛物线开口向上，故f (x )min＝f (a ＋b ＋c3)．当b ＝a ＋c2时，a ＋b ＋c3＝b ，所以f (x )min ＝f (b )，所以②正确；f (a )－f (c )＝(a －b )(a －c )－(c －a )(c －b )＝(a －c )(a ＋c －2b )，因为a ≤b ≤c ，且2b ≤a ＋c ，所以f (a )≤f (c )，③正确；因为a ≤b ≤c ，所以当f (a )＝f (c )时，即(a －c )(a ＋c －2b )＝0，所以a ＝b ＝c 或a ＋c ＝2b ，故④不正确．8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解析 (1)∵f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，∴f (x )在[1，a ]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1－2a ＋5＝a ，f a ＝a 2－2a 2＋5＝1.解得a ＝2.(2)∵f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2. 又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，即(6－2a )－(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3. 又a ≥2，∴2≤a ≤3.。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练47(含解析)
题组层级快练(四十七)1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”“索”的“因”应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0答案 C 解析b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.2．(2015·浙江名校联考)设a ＝lg2＋lg5，b ＝e x(x <0)，则a 与b 的大小关系为( ) A ．a >b B ．a <b C ．a ＝b D ．a ≤b答案 A解析 ∵a ＝lg2＋lg5＝lg10＝1，而b ＝e x <e 0＝1，故a >b . 3．要证明a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0答案 D解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0. 4．若实数a ，b 满足a ＋b <0，则( ) A ．a ，b 都小于0 B ．a ，b 都大于0C ．a ，b 中至少有一个大于0D ．a ，b 中至少有一个小于0 答案 D解析 假设a ，b 都不小于0，即a ≥0，b ≥0，则a ＋b ≥0，这与a ＋b <0相矛盾，因此假设错误，即a ，b 中至少有一个小于0.5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定答案 C解析 要比较P ，Q 的大小关系，只要比较P 2，Q 2的大小关系，只要比较 2a ＋7＋2aa ＋7与2a ＋7＋2a ＋3a ＋4的大小，只要比较aa ＋7与a ＋3a ＋4的大小，即比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小， 只要比较0与12的大小，∵0<12，∴P <Q .6．已知函数f (x )满足：f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，f (1)＝2，则f 21＋f 2f 1＋f 22＋f 4f 3＋f 23＋f 6f 5＋f 24＋f 8f 7＝( )A ．4B ．8C ．12D ．16答案 D解析 根据f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，得f (2n )＝f 2(n )． 又f (1)＝2，则f n ＋1f n＝2.由f 21＋f 2f 1＋f 22＋f 4f 3＋f 23＋f 6f 5＋f 24＋f 8f 7＝2f 2f 1＋2f 4f 3＋2f6f5＋2f 8f 7＝16. 7．已知a >0，b >0，如果不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b 恒成立，那么m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7答案 B解析 ∵a >0，b >0，∴2a ＋b >0.∴不等式可化为m ≤(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2(b a ＋a b )．∵5＋2(b a ＋ab)≥5＋4＝9，即其最小值为9，∴m ≤9，即m 的最大值等于9.8．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为________．答案 18 解析 S 11＝11a 1＋a 112＝11a 6，由S 11为定值，可知a 6＝a 1＋5d 为定值．设4a 2＋a 10＋a n ＝24，整理得a 1＋n ＋126d ＝4，可知n ＝18.9．(2015·江苏盐城一模)已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.答案 略解析 ∵x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.10．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3.(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．答案 (1)略 (2)成立，证明略解析 (1)证明：x 是正实数，由均值不等式，得x ＋1≥2x ，x 2＋1≥2x ，x 3＋1≥2x 3.故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)． (2)解：若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立． 由(1)知，当x >0时，不等式成立； 当x ≤0时，8x 3≤0，而(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立． 11．已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)， (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明f (x )＝0没有负实数根． 答案 (1)略 (2)略解析 (1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0，所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0.又因为x 1＋1>0，x 2＋1>0， 所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1 ＝x 2－2x 1＋1－x 1－2x 2＋1x 2＋1x 1＋1＝3x 2－x 1x 2＋1x 1＋1>0.于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0. 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. 又0<ax 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾． 故f (x )＝0没有负实数根．12．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1(m ∈N *)成等差数列，试判断S m ，S m ＋2，S m ＋1是否成等差数列，并证明你的结论．答案 q ＝1时，不成等差数列；q ＝－12时，成等差数列 证明略解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (a 1≠0，q ≠0)， 若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1. ∴2a 1qm ＋1＝a 1qm －1＋a 1q m.∵a 1≠0，q ≠0，∴2q 2－q －1＝0. 解得q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，∵S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，∴2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1.∴当q ＝1时，S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列． 当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．下面给出证明：证法一：∵(S m ＋S m ＋1)－2S m ＋2 ＝(S m ＋S m ＋a m ＋1)－2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2) ＝－a m ＋1－2a m ＋2＝－a m ＋1－2a m ＋1q ＝－a m ＋1－2a m ＋1(－12)＝0，∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.∴当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．证法二：∵2S m ＋2＝2a 1[1－－12m ＋2]1＋12＝43a 1[1－(－12)m ＋2]， 又S m ＋S m ＋1＝a 1[1－－12m]1＋12＋a 1[1－－12m ＋1]1＋12＝23a 1[2－(－12)m －(－12)m ＋1] ＝23a 1[2－4(－12)m ＋2＋2(－12)m ＋2] ＝43a 1[1－(－12)m ＋2]， ∴2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1.∴当q ＝－12时，S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．13．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求实数a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．答案 (1)单调递减区间(0,1)，单调递增区间(1，＋∞) (2)当0<x <1时，g (x )>g (1x )；当x >1时，g (x )<g (1x)(3)0<a <e解析 (1)由题设知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x，∴g ′(x )＝x －1x 2.令g ′(x )＝0，得x ＝1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调减区间； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间．因此x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g (x )的最小值为g (1)＝1. (2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －12x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)；当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此h (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0， 即g (x )>g (1x)；当x >1时，h (x )<h (1)＝0， 即g (x )<g (1x)．(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a，即ln a<1，从而得0<a<e.。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练17(含解析)
题组层级快练(十七)(第一次作业)1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )A．x＝1 B．x＝－1C．x＝1或－1或0 D．x＝0答案 C解析∵f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又当x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．2．(2013·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0答案 C解析∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如右图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C 不正确．3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是( )答案 C解析由f(x)在x＝－2处取得极小值可知，当x<－2时，f′(x)<0，则xf′(x)>0；当－2<x<0时，f′(x)>0，则xf′(x)<0；当x>0时，xf′(x)>0.4．若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0答案 D解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.5．若函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜12答案 A解析 f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0. ∴b ＞0.f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的取值范围为0＜b ＜1.6．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对答案 A解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37，选A.7．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2,4]答案 C解析 f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意； 当0<a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a (x ＋1a)(x －1a)，f (x )在[－1,1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当a >1时，f (－1)＝－a ＋4≥0，且f (1a)＝－2a＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4.8．若函数f (x )＝e －x·x ，则( ) A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )＝－e －x·x ＋12x·e －x ＝e －x(－x ＋12x )＝e －x·1－2x 2x . 令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f (12)＝1e·12＝12e. 9．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________. 答案 －23 －16解析 y ′＝a x＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝－16.10．若f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＋b ＝________. 答案 －7解析 由x ＝1时，f (x )有极值10知，f (1)＝10，f ′(1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16， 得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)．当x ∈(－113，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故当x ＝1时，f (x )为极小值．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，即x ＝1时，不取极值，a ＝－3，b ＝3应舍去．所以a ＋b ＝－7.11．若f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 答案 6解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， ∵f (x )在x ＝2处有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f x x ，fxx解得c ＝6.12．(2015·保定调研卷)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值 解析 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx(x >0)，又f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3.(2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x >0. 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－x －x ＋x.当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 13．(2015·郑州一模)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在[1，a ]上的最大值；(3)设函数g (x )＝f (x )－bx ，在(2)的条件下，若函数g (x )恰有3个零点，求实数b 的取值范围． 答案 (1)a ≤0 (2)－6 (3)b >－7且b ≠－3 解析 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即 3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立． 则必有a3≤1，且f ′(1)＝－2a ≥0.∴a ≤0.(2)依题意，f ′(－13)＝0，即13＋23a －3＝0，∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x .令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.则当x 变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表：∴f (x )在(3)函数g (x )有3个零点⇔方程f (x )－bx ＝0有3个不相等的实根． 即方程x 3－4x 2－3x ＝bx 有3个不等实根． ∵x ＝0是其中一个根，∴只需满足方程x 2－4x －3－b ＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋＋b ，－3－b ≠0.∴b >－7且b ≠－3.故实数b 的取值范围是b >－7且b ≠－3. 14．设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围． 答案 (1)极小值点为x 1＝32，极大值点为x 2＝12 (2)(0,1]解析 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax＋ax22.(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.又当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况如下表：∴x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．结合(1)与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，得0<a ≤1.即实数a 的取值范围是(0,1]．15．(2014·福建)已知函数f (x )＝e x－ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x.答案(1)a＝2，极小值为f(ln2)＝2－ln4 (2)略解析(1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a.又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2.当x＜ln2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4，f(x)无极大值．(2)令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x，由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)＞0，故g(x)在R上单调递增．又g(0)＝1＞0，因此，当x＞0时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜e x.。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练19(含解析)
题组层级快练(十九)1.函数f (x )的图像如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 答案 B解析 f ′(2)，f ′(3)是x 分别为2,3时对应图像上点的切线斜率，f (3)－f (2)＝f－f 3－2，∴f (3)－f (2)是图像上x 为2和3对应两点连线的斜率，故选B.2．(2015·赣州模拟)函数y ＝x 2e x的图像大致为( )答案 A解析 因为y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝x (x ＋2)e x ，所以当x <－2或x >0时，y ′>0，函数y ＝x 2e x为增函数；当－2<x <0时，y ′<0，函数y ＝x 2e x为减函数，排除B ，C ，又y ＝x 2e x>0，所以排除D ，故选A.3．设底面为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V答案 C4.如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000米2，鱼塘前面要留4米的运料通道，其余各边为2米宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为( )A ．长102米，宽5 00051 米B ．长150米，宽66米C ．长、宽均为100米D ．长150米，宽2003米答案 D解析 设鱼塘长、宽分别为y 米，x 米，依题意xy ＝10 000. 设占地面积为S ，则S ＝(3x ＋8)(y ＋6)＝18x ＋80 000x＋30 048，令S ′＝18－80 000x 2＝0，得x ＝2003，此时y ＝150. 5．(2015·南昌一模)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈(－π2，π2)满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是( )A.2f (－π3)<f (－π4)B.2f (π3)<f (π4)C ．f (0)>2f (π3)D ．f (0)>2f (π4) 答案 A解析 由f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0知(f x cos x )′>0，所以g (x )＝f x cos x 在(－π2，π2)上是增函数，所以g (－π3)<g (－π4)，即f －π3－π3<f －π4－π4，即2f (－π3)<f (－π4)，所以A 正确．同理有g (π3)>g (π4)，即fπ3cos π3>f π4cos π4，得2f (π3)>f (π4)，所以B 不正确；由g (π3)>g (0)，即f π3cosπ3>fcos0，得f (0)<2f (π3)，所以C 不正确；由g (π4)>g (0)，即fπ4cosπ4>f cos0，得f (0)<2f (π4)，所以D 不正确．故选A.6．(2015·绵阳市高三诊断性考试)已知f (x )＝|x |e x (x ∈R )，若关于x 的方程f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( )A ．(1e，2)∪(2，e)B ．(1e，1)C ．(1，1e ＋1)D ．(1e，e)答案 C解析 依题意，由f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0，得f (x )＝1或f (x )＝m －1.当x <0时，f (x )＝－x e －x，f ′(x )＝(x －1)e －x<0，此时f (x )是减函数．当x >0时，f (x )＝x e －x，f ′(x )＝－(x －1)e －x，若0<x <1，则f ′(x )>0，f (x )是增函数；若x >1，则f ′(x )<0，f (x )是减函数．因此，要使关于x 的方程f 2(x )－mf (x )＋m －1＝0恰好有4个不相等的实数根，只要求直线y ＝1，直线y ＝m －1与函数y ＝f (x )的图像共有四个不同的交点．注意到直线y ＝1与函数y ＝f (x )的图像有唯一公共点，因此要求直线y ＝m －1与函数y ＝f (x )的图像共有三个不同的交点，结合图像可知，0<m －1<1e ，即1<m <1＋1e ，则实数m 的取值范围为(1,1＋1e)，选C.7．(2015·江西七校一联)定义域为R 的连续函数f (x )，对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，且其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0，则当2<a <4时，有( )A ．f (2a)<f (2)<f (log 2a ) B ．f (2)<f (2a)<f (log 2a ) C ．f (log 2a )<f (2a)<f (2) D ．f (2)<f (log 2a )<f (2a)答案 D解析 ∵对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，∴x ＝2是f (x )的对称轴．又∵(x －2)f ′(x )>0，∴当x >2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又∵2<a <4，∴1<log 2a <2.4<2a<16；由f (2＋x )＝f (2－x )，得f (x )＝f (4－x )．∴f (log 2a )＝f (4－log 2a )．由1<log 2a <2，得－2<－log 2a <－1.∴2<4－log 2a <3.∴2<4－log 2a <2a .∴f (2)<f (4－log 2a )<f (2a )，即f (2)<f (log 2a )<f (2a)，故选D.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 当x <2时，f ′(x )＝3(x －2)2>0，说明函数在(－∞，2]上单调递增，函数的值域是(－∞，1)，函数在[2，＋∞)上单调递减，函数的值域是(0,1]．因此要使方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则0<k <1.9．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．(其中，e 为自然对数的底数)． 答案 (1)单调递增区间为(0，a )，单调递减区间为(a ，＋∞) (2)a ＝e 解析 (1)因为f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，所以f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－x －a x ＋ax.由于a >0，所以f (x )的单调递增区间为(0，a )，单调递减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]上单调递增，要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立．只要⎩⎪⎨⎪⎧f ＝a －1≥e－1， ①f ＝a 2－e 2＋a e≤e 2， ②由①得a ≥e；由②得a ≤e.因此a ＝e.故当e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立时，实数a 的值为e. 10．(2013·北京理)设l 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 答案 (1)y ＝x －1 (2)略解析 (1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln xx2. 所以f ′(1)＝1.所以l 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x 2.当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减； 当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增． 所以g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线l 的下方．11．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )在x ＝1处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．答案 (1)0 (2)54＋ln2≤b <2解析 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝1－1x ＋a. 由题意，得f ′(1)＝0，即1－11＋a ＝0，∴a ＝0.(2)由(1)得f (x )＝x －ln x .∴f (x )＋2x ＝x 2＋b ，即x 2－3x ＋ln x ＋b ＝0. 设g (x )＝x 2－3x ＋ln x ＋b (x >0)，则 g ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x＝x －x －x.令g ′(x )＝0，得x 1＝12，x 2＝1.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：又g (12)＝b －54－ln2，g (2)＝b －2＋ln2，∵方程f (x )＋2x ＝x 2＋b 在[12，2]上恰有两个不相等的实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧g 12，g ，g，即⎩⎪⎨⎪⎧b －54－ln2≥0，b －2<0，b －2＋ln2≥0，解得54＋ln2≤b <2.12．(2014·浙江文)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a >0)，若f (x )在[－1,1]上的最小值记为g (a )． (1)求g (a )；(2)证明：当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4.答案 (1)g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1(2)略解析 (1)因为a >0，－1≤x ≤1，所以 ①当0<a <1时，若x ∈[－1，a ]，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ，f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1，a )上是减函数； 若x ∈[a,1]，则f (x )＝x 3＋3x －3a ，f ′(x )＝3x 2＋3>0，故f (x )在(a,1)上是增函数． 所以g (a )＝f (a )＝a 3.②当a ≥1时，有x ≤a ，则f (x )＝x 3－3x ＋3a ，f ′(x )＝3x 2－3<0，故f (x )在(－1,1)上是减函数，所以g (a )＝f (1)＝－2＋3a .综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 3，0<a <1，－2＋3a ，a ≥1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (a )． ①当0<a <1时，g (a )＝a 3.若x ∈[a,1]，则h (x )＝x 3＋3x －3a －a 3，h ′(x )＝3x 2＋3，所以h (x )在(a,1)上是增函数，所以h (x )在[a,1]上的最大值是h (1)＝4－3a －a 3，且0<a <1，所以h (1)≤4.故f (x )≤g (a )＋4.若x ∈[－1，a ]，则h (x )＝x 3－3x ＋3a －a 3，h ′(x )＝3x 2－3，所以h (x )在(－1，a )上是减函数，所以h (x )在[－1，a ]上的最大值是h (－1)＝2＋3a －a 3.令t (a )＝2＋3a －a 3，则t ′(a )＝3－3a 2>0， 知t (a )在(0,1)上是增函数．所以t (a )<t (1)＝4， 即h (－1)<4.故f (x )≤g (a )＋4.②当a ≥1时，g (a )＝－2＋3a ， 故h (x )＝x 3－3x ＋2，h ′(x )＝3x 2－3.此时h (x )在(－1,1)上是减函数，因此h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝4. 故f (x )≤g (a )＋4.综上，当x ∈[－1,1]时，恒有f (x )≤g (a )＋4.13．(2014·北京理)已知函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求证：f (x )≤0；(2)若a <sin x x <b 对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．答案 (1)略 (2)a 的最大值为2π，b 的最小值为1解析 (1)证明：由f (x )＝x cos x －sin x ，得f ′(x )＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .因为在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上f ′(x )＝－x sin x <0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减．从而f (x )≤f (0)＝0.(2)当x >0时，“sin x x >a ”等价于“sin x －ax >0”；“sin xx<b ”等价于“sin x －bx <0”．令g (x )＝sin x －cx ，则g ′(x )＝cos x －c .当c ≤0时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．当c ≥1时，因为对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，g ′(x )＝cos x －c <0， 所以g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，从而g (x )<g (0)＝0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．当0<c <1时，存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2使得g ′(x 0)＝cos x 0－c ＝0.g (x )与g ′(x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的情况如下表：因为g (x )在区间[0，x 0]上是增函数，所以g (x 0)>g (0)＝0.进一步，“g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立”当且仅当g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1－π2c ≥0，即0<c ≤2π. 综上所述，当且仅当c ≤2π时，g (x )>0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立；当且仅当c ≥1时，g (x )<0对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立．所以，若a <sin x x <b 对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1.。
【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练69含答案
【⾼考调研】2016届⾼三理科数学⼀轮复习题组层级快练69含答案题组层级快练(六⼗九)1．到两定点A (0,0)，B (3,4)距离之和为5的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．AB 所在的直线 C ．线段AB D ．⽆轨迹答案 C解析∵|AB |＝5，∴到A ，B 两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB .2．若点P 到点F (0,2)的距离⽐它到直线y ＋4＝0的距离⼩2，则P 的轨迹⽅程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y 答案 C解析由题意知P 到F (0,2)的距离⽐它到y ＋4＝0的距离⼩2，因此P 到F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，所以P 的轨迹⽅程为x 2＝8y .3．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹⽅程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3) C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析∵|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，∴|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.∴点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．⼜B 是三⾓形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹⽅程为x 24＋y 23＝1，且y ≠0.4．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线答案 D解析连接MF ，由中垂线性质，知|MB |＝|MF |.即M 到定点F 的距离与它到直线x ＝－1距离相等．∴点M 的轨迹是抛物线．∴D 正确．5．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( )A ．双曲线B ．⼀个圆C ．两个圆D ．两条抛物线答案 C解析由|PF 1|＋|PF 2|＝4a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得到|PF 1|＝3|PF 2|或|PF 2|＝3|PF 1|，所以是两个圆．6．经过抛物线y 2＝2px 焦点的弦的中点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．直线答案 A解析点差法 k AB ＝2p y 1＋y 2＝2p 2y＝k MF ＝yx －p 2化简得抛物线．7．(2015·北京朝阳上学期期末)已知正⽅形的四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，点D ，E 分别在线段OC ，AB 上运动，且|OD |＝|BE |，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹⽅程是( )A ．y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)B ．x ＝y (1－y )(0≤y ≤1)C ．y ＝x 2(0≤x ≤1)D ．y ＝1－x 2(0≤x ≤1) 答案 A解析设D (0，λ)，E (1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD 的⽅程为x ＋yλ＝1(0≤x ≤1)，线段OE 的⽅程为y ＝(1－λ)x (0≤x ≤1)，联⽴⽅程组x ＋y λ＝1，0≤x ≤1，y ＝(1－λ)x ，0≤x ≤1，(λ为参数)，消去参数λ得点G 的轨迹⽅程为y ＝x (1－x )(0≤x ≤1)，故A 正确．8．(2015·衡⽔调研卷)双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)实轴的两个顶点为A ，B ，点P 为双曲线M 上除A ，B 外的⼀个动点，若QA ⊥P A 且QB ⊥PB ，则动点Q 的运动轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 C解析 A (－a,0)，B (a,0)，设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a ，k AQ ＝yx ＋a ，k BQ＝y x －a ，由QA ⊥P A 且QB ⊥PB ，得k AP k AQ ＝y 0x 0＋a ·y x ＋a ＝－1，k BP k BQ ＝y 0x 0－a ·y x －a＝－1.两式相乘即得轨迹为双曲线．9．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满⾜AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹⽅程________．答案 x 2＋14y 2＝1解析设A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9.⼜C (x ，y )，则由AC →＝2CB →，得(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )．即x －a ＝－2x ，y ＝2b －2y ，即?a ＝3x ，b ＝32y ，代⼊a 2＋b 2＝9，并整理，得x 2＋14y 2＝1.10．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平⾏四边形MONP ，则点P 的轨迹⽅程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析设直线⽅程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由?y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，联⽴得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.y ＝y 1＋y 2＝4kk2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．11．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹⽅程为________．答案 (x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)解析⽅法⼀：直接法．设A (x ，y )，y ≠0，则D (x 2，y2)．∴|CD |＝(x 2－5)2＋y 24＝3. 化简，得(x －10)2＋y 2＝36.由于A ，B ，C 三点构成三⾓形，所以A 不能落在x 轴上，即y ≠0. ⽅法⼆：定义法．如图，设A (x ，y )，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E .∵|CD |＝3，∴|AE |＝6，则E (10,0)，∴A 到E 的距离为常数6.∴A 的轨迹为以E 为圆⼼，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36.⼜A ，B ，C 不共线，故A 点纵坐标y ≠0，故A 点轨迹⽅程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．12．已知抛物线y 2＝nx (n <0)与双曲线x 28－y 2m＝1有⼀个相同的焦点，则动点(m ，n )的轨迹⽅程是________．答案 n 2＝16(m ＋8)(n <0)解析抛物线的焦点为(n 4，0)，在双曲线中，8＋m ＝c 2＝(n4)2，n <0，即n 2＝16(m ＋8)(n <0)．13.如图所⽰，直⾓三⾓形ABC 的顶点坐标A (－2,0)，直⾓顶点B (0，－22)，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．(1)求BC 边所在直线⽅程；(2)M 为直⾓三⾓形ABC 外接圆的圆⼼，求圆M 的⽅程；(3)若动圆N 过点P 且与圆M 内切，求动圆N 的圆⼼N 的轨迹⽅程．答案 (1)y ＝22x －22 (2)(x －1)2＋y 2＝9 (3)49x 2＋45y 2＝1 解析 (1)∵k AB ＝－2，AB ⊥BC ，∴k CB ＝22.∴BC ：y ＝22x －2 2. (2)在上式中，令y ＝0，得C (4,0)．∴圆⼼M (1,0)．⼜∵|AM |＝3，∴外接圆的⽅程为(x －1)2＋y 2＝9. (3)∵P (－1,0)，M (1,0)，∵圆N 过点P (－1,0)，∴PN 是该圆的半径．⼜∵动圆N 与圆M 内切，∴|MN |＝3－|PN |，即|MN |＋|PN |＝3.∴点N 的轨迹是以M ，P 为焦点，长轴长为3的椭圆．∴a ＝32，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝54. ∴轨迹⽅程为49x 2＋45y 2＝1.14．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的⽅程； (2)讨论轨迹C 的形状．答案 (1)x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1) (2)略解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ. 整理，得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．(2)①当λ>0时，轨迹C 为中⼼在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)；②当－1<λ<0时，轨迹C 为中⼼在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)；③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆⼼，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)；④当λ<－1时，轨迹C 为中⼼在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． 15．(2014·福建⽂)已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离⽐它到直线y ＝－3的距离⼩2. (1)求曲线Γ的⽅程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发⽣变化？证明你的结论．答案 (1)x 2＝4y (2)线段AB 长度不变，证明略思路 (1)由题意判断曲线是抛物线，⽤定义求曲线⽅程；(2)先求出切线⽅程，联⽴⽅程得出A ，M 的坐标，⽤勾股定理表⽰AB 的长度．解析⽅法⼀：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意⼀点，依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的⽅程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由(1)知抛物线Γ的⽅程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20.由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0.所以切线l 的⽅程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由 y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A 12x 0，0. 由y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M 12x 0＋6x 0，3. ⼜N (0,3)，所以圆⼼C14x 0＋3x 0，3，半径r ＝12|MN |＝14x 0＋3x 0. ∴|AB |＝|AC |2－r 2 ＝12x 0－14x 0＋3x 02＋32－14x 0＋3x 02＝ 6. 所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．⽅法⼆：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意⼀点，则|y －(－3)|－(x －0)2＋(y －1)2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上⽅，所以y >－3. 所以(x －0)2＋(y －1)2＝y ＋1. 化简，得曲线Γ的⽅程为x 2＝4y . (2)同⽅法⼀．16．(2014·湖北)在平⾯直⾓坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离⽐它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的⽅程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有⼀个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．答案 (1)y 2＝?4x ，x ≥0，0，x <0. (2)略思路 (1)根据两点间的距离公式及点到直线的距离公式列⽅程求解轨迹⽅程，注意分x ≥0，x <0两种情况讨论，最后写成分段函数的形式；(2)先求出直线l 的⽅程，然后联⽴直线l 与抛物线的⽅程，消去x ，得到关于y 的⽅程，分k ＝0，k ≠0两种情况讨论；当k ≠0时，设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)进⽽按Δ，x 0与0的⼤⼩关系再分情况讨论．解析 (1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1. 化简整理，得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的⽅程为y 2＝?4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)．依题意，可设直线l 的⽅程为y －1＝k (x ＋2)．由⽅程组?y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0. ①当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代⼊轨迹C 的⽅程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有⼀个公共点14，1. 当k ≠0时，⽅程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③若?Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1，或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有⼀个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有⼀个公共点．若 Δ＝0，x 0<0，或Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈－1，12，或－12≤k <0.即当k ∈?－1，12时，直线l 与C 1只有⼀个公共点，与C 2有⼀个公共点．当k ∈－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈－12，0∪?－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．若Δ>0，x 0<0，由②③解得－12.即当k ∈－1，－12∪0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有⼀个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上可知，当k ∈(－∞，－1)∪12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有⼀个公共点；当k ∈－12，0∪?－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈?－1，－12∪0，12时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练7(含解析)
题组层级快练(七)1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |答案 D解析 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B ，C ，由y ＝x |x |的图像可知当x >0时此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( ) A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x ) D ．x (1＋x )答案 B解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )． 3．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数答案 A解析 由f (x )是偶函数知b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx 是奇函数．4．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．2B ．1C ．0D ．－2答案 D解析 由f (x )为奇函数知f (－1)＝－f (1)＝－2.5．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x) D.12(e x －e －x ) 答案 D解析 由f (x )＋g (x )＝e x ，可得f (－x )＋g (－x )＝e －x.又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可得f (x )－g (x )＝e －x，则两式相减，可得g (x )＝e x －e－x2，选D.6．函数f (x )是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数7．若f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A．1 B．4C．3 D．2答案 B解析由f(2)＝0，得f(5)＝0.∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0，f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0.故f(x)＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个解．8．(2015·深圳一调)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(3)＝2，则f(2 015)的值为( )A．2 B．0C．－2 D．±2答案 A解析∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)．即f(x＋1)＝－f(x－1)．∴f(x＋2)＝－f(x)．∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴函数f(x)是周期函数，且周期为4.∴f(2 015)＝f(3)＝2.9．(2014·湖南理)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )A．－3 B．－1C．1 D．3答案 C解析用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝( )A．1 B．－1C.14D．－114答案 B11．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为________．12．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52)＝________.答案 －12解析 依题意，得f (－52)＝－f (52)＝－f (52－2)＝－f (12)＝－2×12×(1－12)＝－12.13．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图像关于________点对称． 答案 (0,1)解析 f (x )的图像是由y ＝x 3＋sin x 的图像向上平移一个单位得到的．14．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为________．答案 －415．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f (x )在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f (512)的大小关系是__________．答案 f (512)<f (－1)<f (4)解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数， ∴y ＝f (x )关于x ＝2对称．又y ＝f (x )在(－∞，2)上为增函数，∴y ＝f (x )在(2，＋∞)上为减函数，而f (－1)＝f (5)， ∴f (512)＜f (－1)＜f (4)．16．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数； ②f (x )关于直线x ＝1对称； ③f (x )在[0,1]上是增函数； ④f (x )在[1,2]上是减函数； ⑤f (2)＝f (0)．其中正确的序号是________． 答案 ①②⑤解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )．∴f (x )是周期为2的函数，①正确．f (x )关于直线x ＝1对称，②正确．f (x )为偶函数，在[－1,0]上是增函数，∴f (x )在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f (2)＝f (0)．因此③，④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．17．(2015·湖北八校)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，求：(1)f (0)与f (2)的值； (2)f (3)的值；(3)f (2 013)＋f (－2 014)的值．答案 (1)f (0)＝0，f (2)＝0 (2)f (3)＝－1 (3)1 解析 (2)f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－log 2(1＋1)＝－1.(3)依题意得，x ≥0时，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即x ≥0时，f (x )是以4为周期的函数． 因此，f (2 013)＋f (－2 014)＝f (2 013)＋f (2 014)＝f (1)＋f (2)．而f (2)＝－f (0)＝－log 2(0＋1)＝0，f (1)＝log 2(1＋1)＝1，故f (2 013)＋f (－2 014)＝1.18．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，求F (x )在(－∞，0)上的最小值．答案 －4解析 由题意知，当x >0时，F (x )≤8. ∵f (x )，g (x )都是奇函数，且当x <0时，－x >0. ∴F (－x )＝af (－x )＋bg (－x )＋2 ＝－af (x )－bg (x )＋2＝－[af (x )＋bg (x )＋2]＋4≤8. ∴af (x )＋bg (x )＋2≥－4.∴F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(－∞，0)上有最小值－4.1．已知f (x )是在R 上的奇函数，f (1)＝2，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (3)＝________；f (2 019)＝________.答案 0 0解析 在f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)中，令x ＝－3，得f (3)＝f (－3)＋f (3)，即f (－3)＝0. 又f (x )是R 上的奇函数，故f (3)＝0.即f (x ＋6)＝f (x )，知f (x )是周期为6的周期函数，从而f (2 019)＝f (6×336＋3)＝f (3)＝0. 2．若f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且x ∈[0,1)时f (x )为增函数，则不等式f (x )＋f (x －12)＜0的解集为________．答案 {x |－12＜x ＜14}解析 ∵f (x )为奇函数，且在[0,1)上为增函数，∴f (x )在(－1,0)上也是增函数． ∴f (x )在(－1,1)上为增函数．f (x )＋f (x －12)＜0⇔ f (x )＜－f (x －12)＝f (12－x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，－1＜12－x ＜1，x ＜12－x⇔－12＜x ＜14.∴不等式f (x )＋f (x －12)＜0的解集为{x |－12＜x ＜14}．。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练33(含解析)
题组层级快练(三十三)1．已知向量a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，则|a －b |的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 B解析 ∵a ＝(1，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，∴a －b ＝(0，sin θ－cos θ)． ∴|a －b |＝02＋θ－cos θ2＝1－sin2θ.∴|a －b |最大值为 2.故选B.2．在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则当(a ＋b )2＝(a －b )2时，该平行四边形为( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形 D ．以上都不正确答案 B解析 在平行四边形中，a ＋b ＝AB →＋AD →＝AC →，a －b ＝AB →－AD →＝DB →，∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|AC →|＝|DB →|，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B. 3．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 答案 D解析 由已知，AB →2＝AB →·AC →－AB →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →＋CB →)＋CA →·CB →＝AB →2＋CA →·CB →，∴CA →·CB →＝0.4．已知A ，B 是圆心为C 半径为5的圆上两点，且|AB →|＝5，则AC →·CB →等于( ) A ．－52B.52 C ．0 D.532答案 A解析 由于弦长|AB |＝5与半径相同，则∠ACB ＝60°⇒AC →·CB →＝－CA →·CB →＝－|CA →|·|CB →|·cos∠ACB ＝－5·5·cos60°＝－52.5．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 C解析 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin(C ＋π6)＝1，sin(C ＋π6)＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3，选C.6．设P 是曲线y ＝1x上一点，点P 关于直线y ＝x 的对称点为Q ，点O 为坐标原点，则OP →·OQ →＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 设P (x 1，1x 1)，则Q (1x 1，x 1)．∴OP →·OQ →＝(x 1，1x 1)·(1x 1，x 1)＝x 1·1x 1＋1x 1·x 1＝2.7．在△ABC 中，BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a·b ＝b·c ＝c·a ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形答案 D解析 因a ，b ，c 均为非零向量，且a·b ＝b·c ，得b·(a －c )＝0⇒b⊥(a －c )． 又a ＋b ＋c ＝0⇒b ＝－(a ＋c )，∴[－(a ＋c )]·(a －c )＝0⇒a 2＝c 2，得|a|＝|c|. 同理|b|＝|a|，∴|a|＝|b|＝|c|. 故△ABC 为等边三角形．8．(2015·辽宁五校协作体第一次联考)已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若平面上的三个不共线的向量OA →，OB →，OC →满足OB →＝a 1OA →＋a 2 014OC →，且A ，B ，C 三点共线，则S 2 014＝( )A ．1 007B ．1 006C ．2 012D ．2 014答案 A解析 因为OB →＝a 1OA →＋a 2 014OC →，又A ，B ，C 三点共线，所以a 1＋a 2 014＝1，∴S 2 014＝a 1＋a 2 0142×2 014＝1007.故选A.9．已知a ，b 是两个非零向量，给定命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：∃t ∈R ，使得a ＝t b ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 ∵|a ·b |＝|a ||b ||cos θ|＝|a ||b |， ∴θ＝0°或180°，即a ，b 共线． ∴∃t ∈R ，使得a ＝t b 成立． ∴p 是q 的充分条件．若∃t ∈R ，使得a ＝t b ，则a ，b 共线． ∴|a ·b |＝|a ||b |.∴p 是q 的必要条件． 综上可知，p 是q 的充要条件．10．(2015·保定模拟)若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案 B解析 OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|⇒|AB →＋AC →|2＝|AB →－AC →|2⇒AB →·AC →＝0，∴三角形为直角三角形，故选B.11．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且 |OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为原点，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D.6或－ 6答案 C解析 由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，得OA →⊥OB →. ∴点O 到AB 的距离d ＝2，即|－a |2＝2，解得a ＝±2. 12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝16x D ．y 2＝42x答案 B解析 如图所示，AF →＝FB →⇒F 为线段AB 中点，∵AF ＝AC ，∴∠ABC ＝30°.由BA →·BC →＝48，得BC ＝4 3.则AC ＝4.∴由中位线的性质有p ＝12AC ＝2.故抛物线的方程为y 2＝4x .故选B.13．已知向量i 和j 为互相垂直的单位向量，向量a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．答案 (－∞，－2)∪(－2，12)解析 ∵0<〈a ，b 〉<π2，∴0<cos 〈a ，b 〉<1，∴0<a ·b |a |·|b |<1，即0<1－2λ5·1＋λ2<1，解得λ<12且λ≠－2，∴λ的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，12)．14．(2013·新课标全国Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. 答案 2解析 方法一：AE →·BD →＝(AD →＋12AB →)·(AD →－AB →)＝AD →2－12AB →2＝22－12×22＝2.方法二：以A 为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A (0,0)，E (1,2)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)，则AE →·BD →＝(1,2)·(－2,2)＝1×(－2)＋2×2＝2.15．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线x －3y ＋10＝0上有一动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则PO →·PA →的最小值为________．答案 6解析 圆心O 到直线x －3y ＋10＝0的距离d ＝|10|12＋－2＝10>2，所以直线和圆相离．因为PA与圆O 相切，所以PA ⊥OA ，故PA →·AO →＝0.又PO →＝PA →＋AO →，所以PO →·PA →＝(PA →＋AO →)·PA →＝PA →2＋AO →·PA →＝PA →2. 又PA ⊥OA ，所以PA →2＝|PA →|2＝|PO →|2－|OA →|2＝|PO →|2－4.显然|PO →|的最小值为圆心O 到直线x －3y ＋10＝0的距离d ＝10，所以PO →·PA →的最小值为(10)2－4＝6.16．(2014·陕西文)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 答案 (1)2 2 (2)1解析 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)．∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n .两式相减，得m －n ＝y －x .令m －n ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.17．(2015·四川雅安中学)已知向量OP →＝(2cos(π2＋x )，－1)，OQ →＝(－sin(π2－x )，cos2x )，定义函数f (x )＝OP →·OQ →.(1)求函数f (x )的表达式，并指出其最大值和最小值；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝1，bc ＝8，求△ABC 的面积S .答案 (1)f (x )＝2sin(2x －π4)，最大，最小值分别为2，－ 2 (2)2 2解析 (1)∵f (x )＝OP →·OQ →＝(－2sin x ，－1)·(－cos x ，cos2x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，∴f (x )的最大值和最小值分别是2和－ 2. (2)∵f (A )＝1，∴sin(2A －π4)＝22. ∴2A －π4＝π4或2A －π4＝3π4.∴A ＝π4或A ＝π2.又∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π4.∵bc ＝8，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×22＝2 2.1．若△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量p ＝(a ＋b ，c )，q ＝(a －b ，c －a )，若|p ＋q |＝|p －q |，则角B 的大小是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 B解析 由|p ＋q |＝|p －q |，可得p 2＋2p ·q ＋q 2＝p 2－2p ·q ＋q 2，化简得p ·q ＝0.又由p ·q ＝(a ＋b ，c )·(a －b ，c －a )＝a 2－b 2＋c 2－ac ＝0，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.由B ∈(0，π)，可得B ＝60°，故选B.2．已知点A (－2,0)，B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线答案 D解析 ∵PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴PA →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6.3．设O 点在三角形ABC 内部，且有OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则三角形ABC 的面积与三角形AOC 的面积之比( )A ．2 B.32 C ．3D.53答案 C解析 联想三角形ABC 重心满足GA →＋GB →＋GC →＝0可延长OB 至E 使OE →＝2OB →，延长OC 至F 使OF →＝3OC →，则O 为三角形AEF 的重心从而S △AOC ＝13S △AOF ＝19S △AEF ， S △AOB ＝12S △AOE ＝16S △AEF ， S △BOC ＝13S △BOF ＝118S △AEF .∴S △ABC ＝S △AOC ＋S △AOB ＋S △BOC ＝13S △AEF .∴S △AOC ＝13S △ABC ，故选C.4．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．[0，π6]B ．[π3，π]C ．[π3，2π3]D ．[π6，π]答案 B解析 |a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－4a ·b ≥0，设向量a ·b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |≤14|a |212|a |2＝12，∴θ∈[π3，π]．。
2016届高考数学一轮复习 题组层级快练17(含解析)
题组层级快练(十七)(第一次作业)1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )A．x＝1 B．x＝－1C．x＝1或－1或0 D．x＝0答案 C解析∵f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又当x<－1时，f′(x)<0，当－1<x<0时，f′(x)>0，当0<x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．2．(2013·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0答案 C解析∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如右图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C 不正确．3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是( )答案 C解析由f(x)在x＝－2处取得极小值可知，当x<－2时，f′(x)<0，则xf′(x)>0；当－2<x<0时，f′(x)>0，则xf′(x)<0；当x>0时，xf′(x)>0.4．若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0答案 D解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.5．若函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜12答案 A解析 f (x )在(0,1)内有极小值，则f ′(x )＝3x 2－3b 在(0,1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0. ∴b ＞0.f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的取值范围为0＜b ＜1.6．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对答案 A解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37，选A.7．若函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2,4]答案 C解析 f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意； 当0<a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a (x ＋1a)(x －1a)，f (x )在[－1,1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当a >1时，f (－1)＝－a ＋4≥0，且f (1a)＝－2a＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4.8．若函数f (x )＝e －x·x ，则( ) A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )＝－e －x·x ＋12x·e －x ＝e －x(－x ＋12x )＝e －x·1－2x 2x . 令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f (12)＝1e·12＝12e. 9．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________. 答案 －23 －16解析 y ′＝a x＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝－16.10．若f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ＋b ＝________. 答案 －7解析 由x ＝1时，f (x )有极值10知，f (1)＝10，f ′(1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16， 得f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)．当x ∈(－113，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故当x ＝1时，f (x )为极小值．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，即x ＝1时，不取极值，a ＝－3，b ＝3应舍去．所以a ＋b ＝－7.11．若f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 答案 6解析 f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， ∵f (x )在x ＝2处有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f x x ，fxx解得c ＝6.12．(2015·保定调研卷)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值 解析 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx(x >0)，又f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3.(2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x >0. 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－x －x ＋x.当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 13．(2015·郑州一模)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝－13是函数f (x )的极值点，求函数f (x )在[1，a ]上的最大值；(3)设函数g (x )＝f (x )－bx ，在(2)的条件下，若函数g (x )恰有3个零点，求实数b 的取值范围． 答案 (1)a ≤0 (2)－6 (3)b >－7且b ≠－3 解析 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即 3x 2－2ax －3≥0在[1，＋∞)上恒成立． 则必有a3≤1，且f ′(1)＝－2a ≥0.∴a ≤0.(2)依题意，f ′(－13)＝0，即13＋23a －3＝0，∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x .令f ′(x )＝3x 2－8x －3＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.则当x 变化时，f ′(x )与f (x )变化情况如下表：∴f (x )在(3)函数g (x )有3个零点⇔方程f (x )－bx ＝0有3个不相等的实根． 即方程x 3－4x 2－3x ＝bx 有3个不等实根． ∵x ＝0是其中一个根，∴只需满足方程x 2－4x －3－b ＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋＋b ，－3－b ≠0.∴b >－7且b ≠－3.故实数b 的取值范围是b >－7且b ≠－3. 14．设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围． 答案 (1)极小值点为x 1＝32，极大值点为x 2＝12 (2)(0,1]解析 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax＋ax22.(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.又当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况如下表：∴x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．结合(1)与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，得0<a ≤1.即实数a 的取值范围是(0,1]．15．(2014·福建)已知函数f (x )＝e x－ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x.答案(1)a＝2，极小值为f(ln2)＝2－ln4 (2)略解析(1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a.又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2.当x＜ln2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4，f(x)无极大值．(2)令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x，由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)＞0，故g(x)在R上单调递增．又g(0)＝1＞0，因此，当x＞0时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜e x.。
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题组层级快练(六十四)1．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝3，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左边一支 C ．双曲线右边一支 D ．一条射线答案 C解析 ∵|PM |－|PN |＝3<4，由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支． 又∵|PM |>|PN |，故点P 的轨迹为双曲线的右支．2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1答案 B解析 椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为(±3，0)．因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A ，C. 又双曲线x 22－y 2＝1经过点(2,1)，所以选B.3．(2015²济宁模拟)如图所示，正六边形ABCDEF 的两个顶点A ，D 为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是( )A.3＋1B.3－1C. 3D. 2答案 A解析 令正六边形的边长为m ，则有|AD |＝2m ，|AB |＝m ，|BD |＝3m ，该双曲线的离心率等于|AD |||AB |－|BD ||＝2m3m －m＝3＋1.4．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( )A.52B.32C.355 D.23答案 B解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为x a ±y b ＝0，焦点A (c,0)到直线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b 2＝53c ，则c 2－a 2＝59c 2，得e 2＝94，e ＝32，故选B.5．已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→²MF 2→＝0，|MF 1→|²|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 29－y 27＝1D.x 27－y 23＝1 答案 A解析 ∵MF 1→²MF 2→＝0，∴MF 1→⊥MF 2→.∴|MF 1→|2＋|MF 2→|2＝40.∵||MF 1→|－|MF 2→||＝2a ， ∴|MF 1→|²|MF 2→|＝20－2a 2＝2，∴a 2＝9，b 2＝1. ∴所求双曲线的方程为x 29－y 2＝1.6．已知双曲线mx 2－ny 2＝1(m >0，n >0)的离心率为2，则椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为( ) A.12 B.63 C.33D.233答案 B解析 由已知双曲线的离心率为2，得1m ＋1n1m＝2. 解得m ＝3n .又m >0，n >0，∴m >n ，即1n >1m.故由椭圆mx 2＋ny 2＝1，得y 21n＋x 21m＝1.∴所求椭圆的离心率为e ＝1n －1m1n ＝1n －13n 1n＝63. 7．(2014²山东理)已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析 椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ²a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.8．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1→²PF 2→的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 B解析 设点P (x 0，y 0)，依题意得，|F 1F 2|＝23＋1＝4，S △PF 1F 2＝12|F 1F 2||y 0|＝2|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又∵x 203－y 20＝1，∴x 20＝3(y 20＋1)＝6.∴PF 1→²PF 2→＝(－2－x 0，－y 0)²(2－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－4＝3. 9．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)答案 D解析 依题意，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e<2，e 2－2e －1<0，(e －1)2<2，所以1<e <1＋2，故选D.10．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.3. B.38 C.233D.433答案 D解析 设M (x 0，12p x 20)，y ′＝(12p x 2)′＝x p ，故在M 点处的切线的斜率为x 0p ＝33，故M (33p ，16p )．由题意又可知抛物线的焦点为(0，p 2)，双曲线右焦点为(2,0)，且(33p ，16p )，(0，p2)，(2,0)三点共线，可求得p ＝433，故选D.11．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．答案255解析 双曲线x 24－y 2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为y ＝±12x ，即x －2y ＝0和x ＋2y ＝0.故其顶点到渐近线的距离d ＝|±2|1＋4＝25＝255. 12．已知双曲线x 29－y 2a＝1的右焦点的坐标为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．答案 2x ±3y ＝0解析 ∵右焦点坐标是(13，0)， ∴9＋a ＝13，即a ＝4. ∴双曲线方程为x 29－y 24＝1.∴渐近线方程为x 3±y2＝0，即2x ±3y ＝0.13．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→²PF 2→的最小值为________．答案 －2解析 由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)． 设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，PA 1→²PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.∵x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图像的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，PA 1→²PF 2→取得最小值－2.14．P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为________．答案 a解析 如图所示，内切圆与三条边的切点分别为A ，B ，C ，由切线性质，得|F 1C |＝|F 1A |，|PC |＝|PB |，|F 2A |＝|F 2B|.由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 即(|PC |＋|CF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝2a . ∴|CF 1|－|BF 2|＝2a 即|F 1A |－|F 2A |＝2a . ∵|F 1A |＋|F 2A |＝2c ，∴|F 1A |＝a ＋c .∴A (a,0)．15．(2015²兰州高三诊断)若双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋eb的最小值为________． 答案263解析 由题意，可得k ＝b a ＝tan π3＝ 3.∴b ＝3a ，则a 2＝b 23，∴e ＝1＋b 2a2＝2. ∴a 2＋e b ＝b 23＋2b ＝b 3＋2b≥2b 3³2b ＝263. 当且仅当b 2＝6，a 2＝2时取“＝”．16．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→²MF 2→＝0； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积． 答案 (1)x 2－y 2＝6 (2)略 (3)6解析 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)方法一：由(1)可知，在双曲线中，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23.∴kMF 1²kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3.故kMF 1²kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→²MF 2→＝0.方法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )，∴MF 1→²MF 2→＝(3＋23)³(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M (3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0. ∴MF 1→²MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的边F 1F 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝6.17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．答案 3x 22－y 22＝1解析 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|²|PF 2|²cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|²|PF 2|. 即4c 2＝4a 2＋|PF 1|²|PF 2|. 又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|²|PF 2|²sin π3＝2 3. ∴|PF 1|²|PF 2|＝8. ∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴所求双曲线方程为3x 22－y22＝1.1．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为( )A. 5B.152C.102D.52答案 C解析 由双曲线的定义：|AF 1|－|AF 2|＝2a 和|AF 1|＝3|AF 2|，得|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a .在△AF 1F 2中，由勾股定理4c 2＝(3a )2＋a 2解出答案．2．(2013²全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析 ∵e ＝c a ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝54.∴a 2＝4b 2，b a ＝±12.∴渐近线方程为y ＝±12x .3．(2013²天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2 D ．3答案 C解析 设A 点坐标为(x 0，y 0)，则由题意，得S △AOB ＝|x 0|²|y 0|＝ 3.抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，所以x 0＝－p2，代入双曲线的渐近线的方程y ＝±b a x ，得|y 0|＝bp 2a.由⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝2，a 2＋b 2＝c 2，得b ＝3a ，所以|y 0|＝32p .所以S △AOB ＝34p 2＝3，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)． 4．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，求双曲线方程．答案x 236－y 264＝1或y 264－x 236＝1 解析 方法一：①当焦点在x 轴上时，设双曲线的方程为x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)，因渐近线的方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，∴⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，a 2＋b 2＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝8.∴双曲线的方程为x 236－y 264＝1.②当焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，因渐近线的方程为y ＝±43x ，并且焦点都在圆x 2＋y 2＝100上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝43，a 2＋b 2＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6.∴双曲线的方程为y 264－x 236＝1. 综上，双曲线的方程为x 236－y 264＝1或y 264－x 236＝1.方法二：设双曲线的方程为42²x 2－32²y 2＝λ(λ≠0)， 从而有(|λ|4)2＋(|λ|3)2＝100，解得λ＝±576.x2 36－y264＝1或y264－x236＝1.∴双曲线的方程为。