中科大傅里叶光学

第三章：标量衍射理论基础
历史引言 数学预备知识 平面屏幕衍射的基尔霍夫理论 平面屏幕衍射的瑞利-索末非理论 瑞利-索末非理论推广到非单色波情形 平面波的角谱 在边界上的衍射
1：历史引言
光的波动理论形成 *惠更斯原理 *惠更斯——菲涅尔原理
n
dΣ Q
S
Σ(波前)
·
θ r
dU ( p ) • p
U ( p) =
A exp( jkr21 ) 可用在P 上均匀分布U ( P )来代替 1 1 r21
1 cos(n, r01 ) − cos(n, r21 ) exp( jkr01) U (P ) = ∫∫U (P )[ ]ds 0 1 jλ 2 r01 ∑
3.3：菲涅耳-基尔霍夫衍射公式 和惠更斯-菲涅耳原理
振幅为A的点源照明孔径 点源和观察点距屏的距离 >> λ
A exp( jkr21 ) ， U (P ) = 1 r21 1 1 k >> ，k >> r01 r21
exp( jkr01 ) ∂G ( P ) 1 exp( jkr01 ) 1 = cos(n , r01 )( jk − ) ≅ jk cos(n , r01 ) ∂n r01 r01 r01
2 2
∂ 表示在S上每一点沿向外的法线方向上的偏微商。 ∂n
空间一点上的复扰动U可借助格林定理这一数学关系式来计算。

应用格林定理注意：
1、积分域V中,U \ G \ 及其一阶 \ 二阶导数 连续、单值，才能使用格林定理 2、曲面S为任意,S要人为地巧妙选择。 选巧 → 易，选不巧 → 难
3、一般用U ( p)代表光扰动(复振幅), G ( p )称格林函数(点源产生的场)
ε →0
→ −4π U ( P0 )
ε →0
+4π jkε e jkε U ( P0 )
→0
∴⇒U (P ) 0 1 ∂U exp( jkr01 ) ∂ exp( jkr01 ) = ∫∫{ [ ] −U [ ]}ds 4π S ∂n r01 ∂n r01
该积分表示式称为亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理: 光场中任一点P0的U ( P0 )可用包围着P0点的任意封闭 曲面S面上波动的一阶导数和边界值来表示
U ( P ) = U ( P )e − iϕ ( p ) → 复振幅
U ( P ) → 实振幅
U ( P, t )满足标量波动方程
1 ∂2 ∇ U ( P, t ) − 2 2 U ( P, t ) = 0 c ∂t
2
U ( P)满足不含时的helmholtz方程
( ∇ 2 + k 2 )U ( P ) = 0
在 S 上内单值、连续 G ( p )应满足 : G点源产生的场,也是波动 ,满足 H .E . 可人为地巧妙选择
应用G.L.来解决衍射问题面临两个选择：
⎧ 封闭曲面S ⇒ 给解决方法留下余地 ⎨ ⎩格林函数G ( p)
⎧ 基尔霍夫的G ( p) G ( p)的选择 ⇒ ⎨ ⎩瑞利-索末菲的G ( p)
∂U ( P0 ) e jkε ∂U ∂G e jkε 1 ∴ ∫∫ (G −U − U ( P0 ) )ds = 4πε 2 [ ( − jk )]ε →0 ∂n ∂n ∂n ε ε ε Sε
∂U ( P0 ) jk ε = 4π ⋅ε ⋅ e ∂n
ε →0
→0
−4π U ( P0 ) ⋅ e
jk ε
基尔霍夫解决之道：（G，S）
1 、 格林函数G的选取 ：为
有P0 点向外发散的单位振 幅的球面波（即自由空间 的格林函数）。在任意一 点P1上G之值为：
exp( jkr01 ) G( P ) = 1 r01
用格林定理 : 积分域,U \ G \ 及其一阶 \ 二阶导数单值连续
G( P )在空间各点都连续, G( P0 ) → ∞奇点, How to do ? 1
2.3：亥姆霍兹和基尔霍夫的积分定理
1、衍射理论中的主要问题： 令观察点为P0 ,S是包围着P0的任一封闭曲面,如S上的U ( P )已知 1 ?U ( P0 )或者说P0的光扰动如何用S上的U ( P )来表示 ? 1
基尔霍夫的衍射理论是建立在一 个积分定理的基础之上的，该积 分定理把齐次波动方程在 任意一 点的解 用包围这一点的任意封闭 曲面上的方程的解及其一阶微商 之值表示出来
1)基尔霍夫边界条件使结果大为简化 2) 两边界条件中没有一条是严格正确的，屏幕的存在必然在一定程度上干扰场 3) 屏幕后面的阴影也不可能完全为零，场总要扩展到屏幕后几个波长的距离 4) 既对U又对U法向导数同时过多施加边界条件 5) 如果孔径的限度比波长大很多，边缘上的精细效应可放心地忽略不计，并用 这两个边界条件得出和实验符合的很好的结果
该只用于单个点光源照明时，通常称为菲-基衍射公式
注意：方程对点光源和观察点是对称的，因此在 P0的一个点源在P2所产 生的效果和一个同样强度的点源置于P2将在 P0上所产生的效果一样，叫 做亥姆霍兹互易定理。
将F-K衍射公式改写为如下形式：
exp( jkr01 ) U ( P0 ) = ∫∫ U ( P ) ds 1 r01 ∑
1 U ( P0 ) = 4π
∂U ∂G ∫∫ ( ∂n G − U ∂n )ds ∑
1 U ( P0 ) = 4π
exp( jkr01 ) ∂U ∫∫ r01 [ ∂n − jkU cos(n, r01 )]ds ∑
A exp[ jk (r21 + r01 )] cos(n, r01 ) − cos(n, r21 )) U ( P0 ) = [ ]ds ∫∫ jλ ∑ r21r01 2
RG = R e
jk R
Ω
∫
∂U RGR ( − jkU )d Ω ∂n
R
≤ 1, 积 分 常 量
∂U ∴ if : lim R ( − jkU ) = 0 → ∫∫ ds = 0 s2 R →∞ ∂n ∂U 3) lim R ( − jkU ) = 0 ↵ 索末菲辐射条件 R →∞ ∂n 即 : 实际U 扰动本身衰减要快, 和球面波衰减一样快
exp( jkR) ∂U 1 对球面波U = = ( jk − )U , ∂n R R
∂U e jkR lim R ( − jkU ) = U = →0 R →∞ ∂n R
索末菲辐射条件即要求实际U 本身衰减和球面波衰减一样快即可
若扰动趋于零的速度至少像发散球面波一样快，则此索末非辐射条件满足。 由于投射到孔径的扰动总是由一个球面波或者球面波的线性组合构成，可 以确信实际上这个要求总会满足，因此Ｓ２上的积分的贡献正好为零。
ＨＦ衍射理论
n
Q θ
r21
dΣ
θ0
U ( p) =
∫∫ dU ( p )
ikr01
r01
Σ
S
ikr21
dU ( p ) •p
ikr01
e Ae dU ( p ) = U (Q ) F (θ 0 , θ ) dΣ = r01 r21
e F (θ 0 , θ ) dΣ r01
Ae U ( p) = r21
3:平面屏幕衍射的基尔霍夫理论
具体的衍射问题，如何选择 巧妙的Ｓ面，使积分简化。 例：无限大的不透明屏幕上 的一个孔径所引起的衍射的 问题，如图所示，假定一个 波动从左面投射到屏幕和孔 径 Σ 上，求孔径后面一点P0 上的场Ｕ(P0)。
3.1：Ｓ曲面的选择
如图，令正好位于衍射屏幕后的平面S1与以观察点P0为中心、半径为R 的一个大球形罩S2连接起来构成封闭曲面：
∫∫ dU ( p )
衍射:不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的偏离现像
— Sommerfield
标量衍射理论(傅立叶光学＼信息光学，波动光学，近场光学，激光光学）
只考虑电场或磁场的一个横分量的标量振幅和行为，而 假定任何别的有关分量也具有相同的行为，可以用同样 的方式来独立处理。 电场\磁场的各个分量通过麦氏方程耦合起来,并不能独 立的处理。
∴U ( P0 ) 1 = 4π
∂U ∂G ∫∫S ( ∂n G − U ∂n )ds S1 + 2
exp( jkr01 ) S1上 : G = r01 exp( jkR ) S 2上 : G = R
S 2上的积分贡献为0
1) R ↑, U \ G ∝ 1 → 0 R ×
?
dS ∝ R
2
2)C有限, R → ∞
物理学惯用手法 → 挖洞
2、封闭曲面Ｓ的选取
S = S + Sε
'
S的法线向外 Sε的法线向内
３、积分定理
U ( P), G( P )光波动, 都应满足H .E.: 1 (∇2 + k 2 )U = 0 (∇2 + k 2 )G = 0
∴ ∫ ∫ ∫ (G∇2U − U ∇2G)dV = −∫ ∫ ∫ (GUk 2 − UGk 2 )dV ≡ 0
V' V'
∂U ∂G )dS = 0 w. → ∫∫ (G −U ∂n ∂n S'
∂U ∂G ∂U ∂G ∫∫ (G ∂n −U ∂n )ds = −∫∫ (G ∂n −U ∂n )ds S Sε
未选定
已选定
在S面上 :
exp( jkr01 ) G ( P1 ) = r01 ∂G ( P ) ∂G ( P ) 1 1 = cos(n , r01 ) ∂n ∂r01
ε
∂G ( Pε ) ∂G = cos(n , r01 ) ∂n ∂ε
对Sε 球面 : cos(n, r01 ) = −1
∂G 1 exp( jkε ) 1 exp( jkε ) = −( jk − ) = ( − jk ) ∂n ε ε ε ε
令ε → 0 : U ( Pε ) → U ( P0 )