复合函数的知识的总结及例的题目

复合函数问题一、复合函数定义：设y=f<u>的定义域为A,u=g<x>的值域为B,假如A ⊇B,如此y 关于x 函数的y=f ［g<x>］叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量.二、复合函数定义域问题：<1>、f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D,即x D ∈,所以f 的作用X 围为D,又f 对g x ()作用,作用X 围不变,所以D x g ∈)(,解得x E ∈,E 为[]f g x ()的定义域.例1.设函数f u ()的定义域为〔0,1〕,如此函数f x (ln )的定义域为_____________. 解析：函数f u ()的定义域为〔0,1〕即u ∈()01，,所以f 的作用X 围为〔0,1〕 又f 对lnx 作用,作用X 围不变,所以01<<ln x 解得x e ∈()1，,故函数f x (ln )的定义域为〔1,e 〕例2. 假如函数f x x ()=+11,如此函数[]f f x ()的定义域为______________. 解析：先求f 的作用X 围,由f x x ()=+11,知x ≠-1即f 的作用X 围为{}x R x ∈≠-|1,又f 对f<x>作用所以f x R f x ()()∈≠-且1,即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11()即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪1111,解得x x ≠-≠-12且故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 〔2〕、[]f g x ()的定义域,求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D,即x D ∈,由此得g x E ()∈,所以f 的作用X 围为E,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以x E E ∈，为f x ()的定义域.例3. f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，,如此函数f x ()的定义域为_________. 解析：f x ()32-的定义域为[]-12，,即[]x ∈-12，,由此得[]3215-∈-x ， 所以f 的作用X 围为[]-15，,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以[]x ∈-15，即函数f x ()的定义域为[]-15，例4. f x x x ()lg 22248-=-,如此函数f x ()的定义域为-------解析：先求f 的作用X 围,由f x x x ()lg 22248-=-,知x x 2280-> 解得x 244->,f 的作用X 围为()4，+∞,又f 对x 作用,作用X 围不变,所以x ∈+∞()4，,即f x ()的定义域为()4，+∞〔3〕、[]f g x ()的定义域,求[]f h x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D,即x D ∈,由此得g x E ()∈,f 的作用X 围为E,又f 对h x ()作用,作用X 围不变,所以h x E ()∈,解得x F ∈,F 为[]f h x ()的定义域.例5. 假如函数f x()2的定义域为[]-11，,如此f x (log )2的定义域为____________.解析：f x()2的定义域为[]-11，,即[]x ∈-11，,由此得2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，f 的作用X 围为122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥,又f 对log 2x 作用,所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，,解得[]x ∈24，即f x (log )2的定义域为[]24，评注：函数定义域是自变量x 的取值X 围〔用集合或区间表示〕f 对谁作用,如此谁的X 围是f 的作用X 围,f 的作用对象可以变,但f 的作用X 围不会变.利用这种理念求此类定义域问题会有"得来全不费功夫〞的感觉,值得大家探讨.三、复合函数单调性问题〔1〕引理证明函数))((x g f y =.假如)(x g u =在区间b a ,(〕上是减函数,其值域为<c,d>,又函数)(u f y =在区间<c,d>上是减函数,那么,原复合函数))((x g f y =在区间b a ,(〕上是增函数.证明：在区间b a ,(〕内任取两个数21,x x ,使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(〕上是减函数,所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间<c,d>上是减函数,所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <, 故函数))((x g f y =在区间b a ,(〕上是增函数. 〔2〕．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定.为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为："同向得增,异向得减〞或"同增异减〞. 〔3〕、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ确定函数的定义域；ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =. ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ假如两个函数在对应的区间上的单调性一样〔即都是增函数,或都是减函数〕,如此复合后的函数))((x g f y =为增函数；假如两个函数在对应的区间上的单调性相异〔即一个是增函数,而另一个是减函数〕,如此复合后的函数))((x g f y =为减函数.〔4〕例题演练例1、 求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间,并用单调定义给予证明解：定义域 130322-<>⇒>--x x x x 或单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 如此---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为如此当1>a 时,假如1>x ,∵1232--=x x u 为增函数,∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. 假如31-<x ,∵1232--=x x u 为减函数.∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数.当10<<a 时,假如1>x ,如此)123(log )(2--=x x x f a 为减函数,假如31-<x ,如此)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.例3、.y=a log <2-xa >在［0,1］上是x 的减函数,求a 的取值X 围. 解：∵a ＞0且a ≠1当a ＞1时,函数t=2-xa >0是减函数由y=a log <2-xa >在［0,1］上x 的减函数,知y=a log t 是增函数, ∴a ＞1由x ∈［0,1］时,2-xa ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2当0<a<1时,函数t=2-xa >0是增函数由y=a log <2-xa >在［0,1］上x 的减函数,知y=a log t 是减函数, ∴0<a<1由x ∈［0,1］时,2-xa ≥2-1＞0, ∴0<a<1 综上述,0<a<1或1＜a ＜2例4、函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f 〔a 为负整数〕的图象经过点R m m ∈-),0,2(,设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0(<p p 使得)(x F 在区间)]2(,(f -∞上是减函数,且在区间)0),2((f 上是减函数？并证明你的结论. ［解析］由0)2(=-m f ,得02)3(2=-+--a m a am , 其中.0,≠∈a R m ∴0≥∆即09232≤--a a , 解得.37213721+≤≤-a ∵a 为负整数,∴.1-=a∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ,即.1)(2+-=x x f 242221)1()]([)(x x x x f f x g +-=++--==, ∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F 假设存在实数)0(<p p ,使得)(x F 满足条件,设21x x <,∴].12)()[()()(2221222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ,当)3,(,21--∞∈x x 时,)(x F 为减函数,∴0)()(21>-x F x F ,∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<-<x x ,∴182221>+x x , ∴11612)(2221-->-++-p p x x p ,∴.0116≥--p ①当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F∵02221>-x x ,∴11612)(2221--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ②由①、②可知161-=p ,故存在.161-=p 一．指数函数与对数函数．同底的指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数；〔二〕主要方法：1．解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域；2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1还是小于1,要注意对底数的讨论； 3．比拟几个数的大小的常用方法有：①以0和1为桥梁；②利用函数的单调性；③作差． 〔三〕例题分析：例1．〔1〕假如21a b a >>>,如此log bba,log b a ,log a b 从小到大依次为； 〔2〕假如235x y z ==,且x ,y ,z 都是正数,如此2x ,3y ,5z 从小到大依次为； 〔3〕设0x >,且1x x a b <<〔0a >,0b >〕,如此a 与b 的大小关系是〔〕 〔A 〕1b a <<〔B 〕1a b <<〔C 〕1b a <<〔D 〕1a b <<解：〔1〕由21a b a >>>得b a a <,故log b ba<log b a 1<<log a b ．〔2〕令235x y z t ===,如此1t >,lg lg 2t x =,lg lg 3t y =,lg lg 5tz =,∴2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y ⋅--=-=>⋅,∴23x y >； 同理可得：250x z -<,∴25x z <,∴325y x z <<．〔3〕取1x =,知选〔B 〕．例2．函数2()1x x f x a x -=++(1)a >,求证：〔1〕函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；〔2〕方程()0f x =没有负数根． 证明：〔1〕设121x x -<<,如此1212121222()()11xx x x f x f x a a x x ---=+--++ 121212*********()11(1)(1)x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+-=-+++++,∵121x x -<<,∴110x +>,210x +>,120x x -<,∴12123()0(1)(1)x x x x -<++； ∵121x x -<<,且1a >,∴12x xa a <,∴120x x a a -<,∴12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数； 〔2〕假设0x 是方程()0f x =的负数根,且01x ≠-,如此000201xx a x -+=+,即00000023(1)31111x x x ax x x --+===-+++, ① 当010x -<<时,0011x <+<,∴0331x >+,∴03121x ->+,而由1a >知01x a <, ∴①式不成立；当01x <-时,010x +<,∴0301x <+,∴03111x -<-+,而00x a >, ∴①式不成立．综上所述,方程()0f x =没有负数根．例3．函数()log (1)xa f x a =-〔0a >且1a ≠〕．求证：〔1〕函数()f x 的图象在y 轴的一侧；〔2〕函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．证明：〔1〕由10x a ->得：1x a >,∴当1a >时,0x >,即函数()f x 的定义域为(0,)+∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧； 当01a <<时,0x <,即函数()f x 的定义域为(,0)-∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧． ∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧；〔2〕设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点,且12x x <,如此直线AB 的斜率1212y y k x x -=-,1122121log (1)log (1)log 1x x x a a a x a y y a a a --=---=-,当1a >时,由〔1〕知120x x <<,∴121x x a a <<,∴12011x xa a <-<-,∴121011x xa a -<<-,∴120y y -<,又120x x -<,∴0k >； 当01a <<时,由〔1〕知120x x <<,∴121x x a a >>,∴12110x xa a ->->, ∴12111x xa a ->-,∴120y y -<,又120x x -<,∴0k >． ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0．同步练习〔二〕同步练习：1、函数)x (f 的定义域为]1,0[,求函数)x (f 2的定义域.答案：]1,1[-2、函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-,求)x (f 的定义域. 答案：]9,3[-3、函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-,求|)1x 2(|f -的定义域.答案：)23,1()0,21(⋃- 4、设()x x x f -+=22lg,如此⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为〔 〕A.()()4,00,4 -B.()()4,11,4 --C.()()2,11,2 --D.()()4,22,4 --解：选C.由202x x +>-得,()f x 的定义域为{}|22x x -<<.故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩,解得()()4,11,4x ∈--.故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4--5、函数)(x f 的定义域为)23,21(-∈x ,求)0)(()()(>+=a ax f ax f x g 的定义域.［解析］由,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-.232,2321,2321,2321a x a ax a a x ax 〔1〕当1=a 时,定义域为}2321|{<<-x x ； 〔2〕当a a 2323>,即10<<a 时,有221a a ->-, 定义域为}232|{a x a x <<-；〔3〕当a a 2323<,即1>a 时,有221aa -<-,定义域为}2321|{ax a x <<-.故当1≥a 时,定义域为}2321|{a x a x <<-；当10<<a 时,定义域为}.232|{a x a x <<-［点评］对于含有参数的函数,求其定义域,必须对字母进展讨论,要注意思考讨论字母的方法. 练习二〔5〕同步练习：1．函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕的单调递减区间是〔 〕A ．〔－∞,1〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,23〕D ．〔23,＋∞〕 解析：先求函数定义域为〔－o ,1〕∪〔2,＋∞〕,令t 〔x 〕＝x 2＋3x ＋2,函数t 〔x 〕在〔－∞,1〕上单调递减,在〔2,＋∞〕上单调递增,根据复合函数同增异减的原如此,函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕在〔2,＋∞〕上单调递减．答案：B2找出如下函数的单调区间.〔1〕)1(232>=++-a a y x x ； 〔2〕.2322++-=x x y答案：<1>在]23,(-∞上是增函数,在),23[+∞上是减函数. 〔2〕单调增区间是]1,1[-,减区间是]3,1[.3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y xa 且的单调性.答案：,1>a 时),0(+∞为增函数,01>>a 时,)0,(-∞为增函数. 4．求函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的定义域、值域和单调区间．解：由μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4＞0,解得x ＞4或x ＜1,所以x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,当x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋,所以函数的值域是R ＋．因为函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕是由y＝31log μ〔x 〕与μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4复合而成,函数y ＝31log μ〔x 〕在其定义域上是单调递减的,函数μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4在〔－∞,25〕上为减函数,在［25,＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域与复合函数单调性,y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的增区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间,即〔－∞,1〕；y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的减区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4为增函数的区间,即〔4,＋∞〕． 变式练习 一、选择题1．函数f 〔x 〕＝)1(log 21－x 的定义域是〔 〕A ．〔1,＋∞〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,2〕D ．]21(， 解析：要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0,所以⎪⎩⎪⎨⎧≥0)1(log 0121－＞－x x 解得1＜x ≤2．答案：D2．函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕的单调递减区间是〔 〕A ．〔－∞,1〕B ．〔2,＋∞〕C ．〔－∞,23〕D ．〔23,＋∞〕 解析：先求函数定义域为〔－o ,1〕∪〔2,＋∞〕,令t 〔x 〕＝x 2＋3x ＋2,函数t 〔x 〕在〔－∞,1〕上单调递减,在〔2,＋∞〕上单调递增,根据复合函数同增异减的原如此,函数y ＝21log 〔x 2－3x ＋2〕在〔2,＋∞〕上单调递减． 答案：B3．假如2lg 〔x －2y 〕＝lg x ＋lg y ,如此xy的值为〔 〕 A ．4B ．1或41 C ．1或4D ．41错解：由2lg 〔x －2y 〕＝lg x ＋lg y ,得〔x －2y 〕2＝xy ,解得x ＝4y 或x ＝y ,如此有x y ＝41或y x ＝1．答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件,即x －2y ＞0,所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ． 答案：D4．假如定义在区间〔－1,0〕内的函数f 〔x 〕＝a 2log 〔x ＋1〕满足f 〔x 〕＞0,如此a 的取值X 围为〔 〕 A ．〔0,21〕B ．〔0,1〕 C ．〔21,＋∞〕D ．〔0,＋∞〕 解析：因为x ∈〔－1,0〕,所以x ＋1∈〔0,1〕．当f 〔x 〕＞0时,根据图象只有0＜2a ＜l,解得0＜a ＜21〔根据本节思维过程中第四条提到的性质〕． 答案：A 5．函数y ＝lg 〔x－12－1〕的图象关于〔 〕 A ．y 轴对称B ．x 轴对称 C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝lg 〔x －12－1〕＝x x －＋11lg ,所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝xx －＋11lg 的函数都为奇函数． 答案：C 二、填空题y ＝a log 〔2－ax 〕在［0,1］上是x 的减函数,如此a 的取值X 围是__________．解析：a ＞0且a ≠1⇒μ〔x 〕＝2－ax 是减函数,要使y ＝a log 〔2－ax 〕是减函数,如此a ＞1,又2－ax ＞0⇒a ＜x2〔0＜x ＜1〕⇒a ＜2,所以a ∈〔1,2〕． 答案：a ∈〔1,2〕7．函数f 〔x 〕的图象与g 〔x 〕＝〔31〕x的图象关于直线y ＝x 对称,如此f 〔2x －x 2〕的单调递减区间为______．解析：因为f 〔x 〕与g 〔x 〕互为反函数,所以f 〔x 〕＝31log x如此f 〔2x －x 2〕＝31log 〔2x －x 2〕,令μ〔x 〕＝2x －x 2＞0,解得0＜x ＜2．μ〔x 〕＝2x －x 2在〔0,1〕上单调递增,如此f ［μ〔x 〕］在〔0,1〕上单调递减； μ〔x 〕＝2x －x 2在〔1,2〕上单调递减,如此f ［μ〔x 〕］在［1,2〕上单调递增． 所以f 〔2x －x 2〕的单调递减区间为〔0,1〕． 答案：〔0,1〕8．定义域为R 的偶函数f 〔x 〕在［0,＋∞］上是增函数,且f 〔21〕＝0, 如此不等式f 〔l og 4x 〕＞0的解集是______．解析：因为f 〔x 〕是偶函数,所以f 〔－21〕＝f 〔21〕＝0．又f 〔x 〕在［0,＋∞］上是增函数,所以f 〔x 〕在〔－∞,0〕上是减函数．所以f 〔l og 4x 〕＞0⇒l og 4x ＞21或l og 4x ＜－21．解得x ＞2或0＜x ＜21．答案：x ＞2或0＜x ＜21三、解答题9．求函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的定义域、值域和单调区间．. 解：由μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4＞0,解得x ＞4或x ＜1,所以x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,当x ∈〔－∞,1〕∪〔4,＋∞〕,｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋,所以函数的值域是R ＋．因为函数y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕是由y ＝31log μ〔x 〕与μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4复合而成,函数y ＝31log μ〔x 〕在其定义域上是单调递减的,函数μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4在〔－∞,25〕上为减函数,在［25,＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域与复合函数单调性,y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的增区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4也为减函数的区间,即〔－∞,1〕；y ＝31log 〔x 2－5x ＋4〕的减区间是定义域内使y ＝31log μ〔x 〕为减函数、μ〔x 〕＝x 2－5x ＋4为增函数的区间,即〔4,＋∞〕． 10．设函数f 〔x 〕＝532＋x ＋xx 2323lg ＋－, 〔1〕求函数f 〔x 〕的定义域；〔2〕判断函数f 〔x 〕的单调性,并给出证明；〔3〕函数f 〔x 〕的反函数f －1〔x 〕,问函数y ＝f －1〔x 〕的图象与x 轴有交点?假如有,求出交点坐标；假如无交点,说明理由．解：〔1〕由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0,解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－23＜x ＜23． 〔2〕令μ〔x 〕＝532＋x ,随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数； x x 2323＋－＝－1＋x236＋随着x 增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数． 又y ＝lg x 在定义域内是增函数,根据复合单调性可知,y ＝x x 2323lg ＋－是减函数,所以f 〔x 〕＝532＋x ＋x x 2323lg ＋－是减函数． 〔3〕因为直接求f 〔x 〕的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．设函数f 〔x 〕的反函数f －1〔x 〕与工轴的交点为〔x 0,0〕．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知,f 〔x 〕与y 轴的交点是〔0,x 0〕,将〔0,x 0〕代入f 〔x 〕,解得x 0＝52．所以函数y ＝f －1〔x 〕的图象与x 轴有交点,交点为〔52,0〕.。