初中函数图像与性质

函数的定义

一、自变量与应变量

在数学中，通常我们用 x来表示 y 的式子描述函数解析式。那么y随着 x 变化而变化，则我们把 x 叫做自变量，y叫做应变量，即y是 x 函数。

一次函数的图像及性质

一、一次例函数定义

形如 y kx b k 0 这样的函数叫一次函数。

二、正比例函数

当一次函数 y kx b k0 中 b 0时， y kx k0 叫正比例函数。

三、正比函数性质

1、正比例函数图像为恒过坐标原点0, 0 和点 0 , b 的直线。且与y轴的截距是 b ，与 y 轴的交点坐标为0, b 。

2、当k0 时，正比例y kx 的函数图像过一、三象限，

y随 x的增大而增大。

3、当k0 时，正比例y kx 的函数图像过二、四象限，

y随 x的增大而减小。

四、一次函数图像及性质

1、当k0， b 0时，一次函数y kx b 的图像

过一、二、三象限。

2、当k0， b 0时，一次函数y kx b 的图像

过一、三、四象限。

3、当k0， b0时，一次函数y kx b 的图像

过一、二、四象限。

4、当k 0，b0时，一次函数y kx b 的图像

过二、三、四象限。

五、一次函数图像与坐标轴围成的三角形面积公式

设一次函数 y kx b k0 与坐标轴所围成的三角形为AOB 则 S AOB为多少？

11b b 2

六、用函数的观点看不等式

设两个一次函数 y1 k1 x b1和 y 2k2 x b2的交点

为点 x0 , y 0，如图可知y1 k1 x

y 2k 2 x b2（ 1）当x x o时，y1y 2；

x0 , y 0

（ 2）当x x o时，y1y 2；

（ 3）当x x o时，y1y 2。

反比例函数图像及性质

一、反比例函数定义

形如 y k

0这样的函数叫反比例函数。k 叫比例系数k为常数。

二、反比例函数的图像

反比例函数图像为双曲线。

三、反比例函数的性质

2、当k0 时，反比例函数 y k的图像分布在一、三象限。

3、当k0 时，反比例函数 y k的图像分布在二、四象限。

四、反比例函数图像上的点。

点 p x 0, y 0在反比例函数 y k

0 的图像上x 0 y 0k

五、反比例函数图像上图形面积与比例系数k 的关系

y y

A C B

O B x O A x

、在k中如上图所示k2、在k中如上图所示S

四边形 OABC 1y S OAB y

x2x

O x D

B C

O B C x

3、在 y中如上图所示S ABC

k4、在y中如上图所示S OAB

OCD

二次函数图像及性质

一、二次函数定义

形如 y ax 2bx c a0这样的函数

叫做二次函数。

二、二次函数的图像

二次函数的图像是抛物线。如右图所示O x

三、二次函数的性质

1、二次函数y ax 2bx c a0的图像恒过点0 , c ，且与y轴的截距为 c ；

2、当a0 时，二次函数y ax 2bx c a0的图像抛物线开口向上，且有最

小值；

o x

3、当a 0时，二次函数y ax2bx c a 0 的图像抛物线开口向上，且有最

大值；y

o x

4、二次函数y ax2bx最值为 y 4 ac b

c a

0的对称轴为直线 x

2 a 4 a

四、二次函数的形式

1、三点式：已知二次函数图像上三点，求函数解析式如下

已知点 A x1 , y1、 B x2, y2、 C x3, y3在一个二次函数图像上，则求该二次函数

解析式。

解：设这个二次函数解析式为y ax 2bx c ，

A x1 , y1 C x3 , y3

把题中三点分别代入解析式得

ax2bx 1c y a

B x, y2

ax2bx 2c y 解得b2

ax2bx 3c y

然后把 a 、 b、 c 的值分别带入假设的解析式中，此题得解。

2、两点式：已知二次函数图像与x 轴的两个交点，

求函数解析式如下

x 已知二次函数图像与x 轴的交点分别为点 A x1 ,0 A x 1, 0o

与点 B x 2 ,0 ，求函数解析式如下

B x 2 , 0解：设这个二次函数解析式为y a x x1x x2，然后利用多项式乘法展开后合并同类项，降幂排列的 y ax2x2x ax 1 x 2，通常考出两点式的题型，

a x 1

a 的值会很容易求出。

3、顶点式：已知二次函数的对称轴与最值求二次函数解析式如下

已知二次函数的对称轴为直线x h ，y

最值 ( 最大值或者最小值 ) 为k。则它

的解析式为 y a x h 2

k ，这种题o x

h , k

型中 a 的也很容易求出。

4、顶点式的变形考法，也就是通常常考内容，利润问题和最值问题。解决这类

问题时，一般分为 3 个步骤 :

（1）列出二次函数解析式

（2）把这个二次函数解析式配方成顶点式的形式

（3）根据顶点式直接可以写出当x h时，

○1当 a0 时，y min k ；○2当a0 时， y max k ；

求两个函数图像的交点

求两个函数图像交点的题型，通常都是把这两个函数解析式联立成方程组，

然后解次方程组，求得的方程组的对应x 的值与相应y的值，正好就构成两个函数图像的其中一个交点的坐标。

归纳为：方程组的解就是图像的交点，图像的交点就是方程组的解。

必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质

必修4正弦函数和余弦函数的图像与性质例1 用五点法做出下列函数的图像 11(1)2sin ,[0,2];(2)cos(),[,]666 y x x y x x ππππ=-∈=+∈- 例2 求下列函数的定义域和值域 (1)lgsin ;(2)y x y == 练：求函数sin ()log (12cos )x f x x =+的定义域。例3 已知函数()y f x =的定义域是1 [0,]4 ，求下列函数的定义域 221(1)(cos );(2)(sin )2 f x f x - 例4 求下列函数的最大值与最小值 22(1)2sin();(2)2cos 5sin 4;42(3)3cos 4cos 1,[,]33 y x y x x y x x π ππ=--=+-=-+∈

例5 设1 sin sin 3x y +=，求2sin cos M x y =-的最小值和最大值例6 求下列函数的值域 2cos 2sin cos (1);(2)2cos 11sin x x x y y x x ==++ 例7已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图象不可能是（） A ． B ． C ． D ．例8 求下列函数的周期。 (1)|sin ||cos |;(2)cos |2|(3)cos()6y x x y x y x π =+==-- 例9 判断函数7())2f x x π =+的奇偶性例10 判断函数()lg(sin f x x =+的奇偶性

例11求函数1sin 2 x y π-=的单调区间提升训练题 1.下列四个函数的图像中关于y 轴对称的是（） .sin ;.cos ;.1sin ;.cos()2 A y x B y x C y x D y x π ==-=-=- 2.函数sin 2x y =的单调增区间是（） 3.[2,2]();.[2,2]()2222 .[2,2]();.[2,2]()A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z π πππππππππππππ- +∈++∈-∈+∈ 3．下列函数中是奇函数的是（） .|sin |;.sin(||);.sin ||;.sin ||A y x B y x C y x D y x x =-=-== 4.sin()3y x π =-的单调减区间是（） 55.[,]();[2,2]()666677.[,]();.[2,2]();6666A k k k Z B k k k Z C k k k Z D k k k Z ππππππππππππππππ-+ ∈-+∈--∈--∈ 5.函数2cos 3cos 2y x =-+的最小值为______________________ 6．函数|sin |2x y =的最小正周期____________________ 7.cos1,cos2,cos3的大小关系____________________ 8．函数3cos 1cos 2 x y x += +的值域是____________________

一次函数图像和性质的教案

14.2.2一次函数的图象和性质教材分析在函数教学中，我们不仅要在教会函数知识上下功夫，而且还应该追求解决问题的“常规方法”——基本函数知识中所蕴含的思想方法，要从数学思想方法的高度进行函数教学。在函数的教学中，应突出“类比”的思想和“数形结合”的思想。 1．注重“类比教学” 在函数教学中我们期望的是通过对前面知识的学习方法的传授，达到对后续知识的学习产生影响，使学生达到举一反三，触类旁通的目的，让学生顺利地由“ 学会” 到“ 会学” ，真正实现“ 教是为了不教” 的目的． 2.注重“数学结合”的教学数形结合的思想方法是初中数学中一种严重的思想方法。数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使繁复问题简单化，抽象问题详尽化，它兼有数的严格与形的直观之长。（1）让学生经历绘制函数图象的详尽过程。（2）切莫急于呈现画函数图象的简单画法。（3）注意让学生体会研究详尽函数图象规律的方法。知识技能目标1、理解直线y=kx+b与y=kx之间的位置关系;2、会选择两个适合的点画出一次函数的图象；3、掌握一次函数的性质.过程与方法目标1、通过研究图象，经历知识的归纳、探究过程；培养学生观察、比较、概括、推理的能力；2、通过一次函数的图象总结函数的性质，体验数形结合法的应用，培养推理及抽象思维能力。情感态度目标1、通过画函数图象并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简短美；2、在探究一次函数的图象和性质的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。教学重点一次函数的图象和性质。

函数图像及性质

1．某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A 、B 两种共50辆货车运往外地．已知一辆A 种货车的运费需0.5万元，一辆B 种货车的运费需0.8万元．（1）设A 种货车为x 辆，运输这批货物的总运费为y 万元，试写出y 与x 的关系表达式；（2）若一辆A 种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B 种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨．按此要求安排A ，B 两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请设计出来；（3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？【答案】（1）y 0.3x 40=-+（2）共有三种方案，见解析（3）A 种货车为22辆，B 种货车为28辆，总运费最少是33.4万元【解析】解：（1）设A 种货车为x 辆，则B 种货车为（50＋x ）辆。根据题意，得 y 0.5x 0.8(50x)=+-，即 y 0.3x 40=-+。（2）根据题意，得 9x 6(50x)360 3x 8(50x)290 +-≥??+-≥?，解这个不等式组，得20x 22≤≤。 ∵x 是整数，∴x （3）由（1∵k=－0.3＜0，∴一次函数y 0.3x 40=-+的函数值随x 的增大而减小。 ∴x 22=时，y 有最小值，为y 0.3224033.4=-?+=（万元）。 ∴选择方案三：A 种货车为22辆，B 种货车为28辆，总运费最少是33.4万元。（1）设A 种货车为x 辆，则B 种货车为（50－x ）辆，则表示出两种车的费用的和就是总费用，据此即可求解。（2）仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，两种车的运载量必须不超过360吨，290吨，据此即可得到一个关于x 的不等式组，再根据x 是整数，即可求得x 的值，从而确定运输方案。（3）运费可以表示为x 的函数，根据函数的性质，即可求解。 2．.某私营服装厂根据2011年市场分析，决定2012年调整服装制作方案，准备每周（按120工时计算）制作设每周制作西服x 件，休闲服y 件，衬衣z 件。（1）请你分别从件数和工时数两个方面用含有x,y 的代数式表示衬衣的件数z, （2）求y 与x 之间的函数关系式。（3）问每周制作西服、休闲服、衬衣各多少件时，才能使总收入最高？最高总收入是多少？【答案】（1）z=360－x －y （2）y=360－3x （3）每周生产西服30件，休闲服270件，衬衣60件时，总收入最高，最高总收入是690百元【解析】解：（1）从件数方面：z=360－x －y ，从工时数方面：由 21x+31y+41z=120整理得：z=480－2x －4 3 y 。

余弦函数图像和性质练习含答案

课时作业10 余弦函数、正切函数的图象与性质(一) 时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．函数f (x )＝cos(2x －π 6)的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 解析：本题考查三角函数的周期． T ＝ 2π 2 ＝π. 余弦型三角函数的周期计算公式为2π ω (ω>0)．答案：B 2．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π 3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6 D ．9 解析：将f (x )向右平移π3个单位长度得g (x )＝f (x －π 3)＝ cos[ω(x －π3)]＝cos(ωx －π3ω)，则－π 3 ω＝2k π， ∴ω＝－6k ，又ω>0，∴k <0，当k ＝－1时， ω有最小值6，故选C.

3．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π 2 的函数，若f (x )＝ ????? cos x ? ?? ?? －π2≤x ≤0，sin x 0

三角函数的图像与性质优秀教案

三角函数图像与性质复习教案目标： 1、掌握五点画图法，会画正余弦、正切函数图象以及相关的三角函数图象及性质。 2、深刻理解函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。重点：五点作图法画正余弦函数图象，及正余弦函数的性质，及一般函数) sin(?ω+=x A y 的图象。难点：一般函数)sin(?ω+=x A y 的图象与性质。【教案内容】 1、引入：有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。” 2、三角函数知识体系及回忆正余弦函数的概念和周期函数：正弦函数：余弦函数：周期函数：注意：最小正周期：一般函数)sin(?ω+=x A y 中：A 表示，ω表示及频率：，相位：。正切函数： 3、三角函数的图象：

值域:tan ;tan .2 2 22 x x x x x x π π π π < → →+∞>- →-→-∞当且时，当且时，单调性:对每一个k Z ∈，在开区间(,)22 k k π π ππ- +内，函数单调递增. 对称性:对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈，无对称轴。五点作图法的步骤：（由诱导公式画出余弦函数的图象）【例题讲解】

例1 画出下列函数的简图 (1)1sin y x =+[0,2]x π∈(2)cos y x =-[0,2]x π∈ (3)2sin y x =[0,2]x π∈ 例2 (1)方程lg sin x x =解得个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 (2)3[, ]22x ππ ∈- 解不等式3 sin 2 x ≥- 4([,])33x ππ∈- 例3已知函数()cos(2)2sin()sin()3 4 4 f x x x x π π π =-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122 ππ - 上的值域。例4已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的周期为π，且图象上一个最低点为2( ,2)3 M π -. (Ⅰ)求()f x 的解读式；（Ⅱ）当[0, ]12 x π∈，求()f x 的最值. 例5写出下列函数的单调区间及在此区间的增减性： (1)1tan()26 y x π=-；(2)tan(2)4y x π =-．【过手练习】 1、函数sin(2)3 y x π =+ 图像的对称轴方程可能是（） A ．6x π =- B ．12 x π =- C ．6x π = D ．12 x π = 2、已知函数)0)(sin(2>+=ωφωx y 在区间[0，2π]的图像如下，那么ω=（） A. 1 B. 2 C. 1/2 D. 3 1 3、函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为

五大基本初等函数性质及其图像

五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数函数称为幂函数。如，，，都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如 ,。但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。图1-1-2

图1-1-3 2.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。高等数学中常用的指数函数是时，即。以与为例绘出图形，如图1-1-4。图1-1-4 3.对数函数

函数称为对数函数，其定义域，值域。当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。与互为反函数。当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。以为例绘出图形，如图1-1-5。图1-1-5 4.三角函数有，它们都是周期函数。对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。

图1-1-6正弦函数图形图1-1-7余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8 图1-1-8 （３）余切函数，定义域，值域为，周期。在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。

图1-1-9 （４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。图1-1-10 （５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。

指数函数图像与性质的教案

§3.指数函数图像和性质一、教材分析教材的地位和作用函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质。一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。重难点分析教学重点：指数函数的图像、性质及其简单运用教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。二、教学目标分析知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。三、教法学法分析教法分析采用梳理—探究—训练的教学方法，充分利用多媒体辅助教学，通过学生的互动探究，教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受学法分析学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导；从学生原有知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。四、教学过程分析 1.创设情景，形成概念 2.发现问题，探究新知 3.深入探究，加深理解 4.强化训练，巩固双基 5.小结归纳，拓展深化 6.布置作业，升华提高

高中各种函数图像画法与函数性质

一次函数二次函数

反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质： 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

指数函数y=a x (a＞0，a≠1) 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数图象的与性质教学设计

课题：对数函数的图像和性质（第一课时）一、教材内容解析 1、“对数函数的图像与性质”是普通高中课程标准实验教科书必修1（北师大版）第三章“指数函数和对数函数”一章中的重点内容。此前，学生已对函数、定义域、值域等相关概念及函数的单调性、奇偶性、对称性等函数性质有了很深刻的了解和掌握。同时本节课又是在刚刚学习了对数函数的概念和对数函数与指数函数互为反函数的关系后，对对数函数的进一步深入学习。也是让学生进一步体会研究函数的方法，即“概念---图像---性质--应用”的过程。同时，为后面函数的学习做好铺垫。 2、“对数函数”是基本初等函数之一，对数函数的知识在其他章节和其他学科中有着广泛应用。同时，对数函数作为常用的数学模型在解决社会生活问题（统计、规划）中也有着广泛的应用。本节课的学习为学生进一步学习、参加生产和实际生活提供了必要的数学基本技能。同时，本节课对对数函数的性质研究不仅反映出对数函数与指数函数的关系，同时也蕴含了函数、数形结合等数学思想，也是高考的重点内容之一。二、学生学情分析 1、心理生理上：高一年级的学生已入校两个月，现处于相对稳定的时期，所以在学习情绪和学习态度上也相对稳定。加之，新入高一不久，学生渴望知识和学习的情绪也都空前高涨，主动积极，不畏艰难。 2、知识上：从初中到现在学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念、研究函数的方法有了一定的了解和掌握，加之对数函数与指数函数的关系学生已明白，可以通过类比的方法研究学习。三、教学目标设置（一）教学目标 1、知识与技能：掌握对数函数的图像与性质，并且在掌握性质的基础上能进行必要的应用。同时培养学生数形结合的思想及观察、分析、归纳的思维过程。

幂函数的图像性质和应用

幂函数分数指数幂正分数指数幂的意义是：m n a =0a >，m 、n N ∈，且1n >）负分数指数幂的意义是：m n a -= （0a >，m 、n N ∈，且1n >） 1、幂函数的图像与性质幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握n y x =，当11 2,1,,,323 n =±±±的图像和性质，列表如下．从中可以归纳出以下结论： ① 它们都过点()1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限． ② 11 ,,1,2,332a = 时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ③ 1 ,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数． ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

0n < 幂函数基本性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 规律总结 1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论； 2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． O x y O x y O x y

《指数函数图像及其性质》教学设计

《指数函数的图像与性质》教学设计一、教学目标 1．知识与技能掌握指数函数的图像、性质及其简单应用． 2．过程与方法通过学生自主探究，让学生总结指数函数的图像与性质. 3．情感、态度、价值观通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问、善于探索的思维品质．二、教学重难点教学重点：指数函数的图像与性质教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般的探索、概括指数函数的性质. 三、教学方法：自主探究式四、教学手段：多媒体教学五、教学过程：（一）创设情境 1、复习：（1）指数函数的定义；（2）指数函数解析式的特征。 2、导入：一般来说，函数的图像与性质紧密联系，图像可反映函数的性质,所以我们今天学习指数函数的图像与性质。（二）自主探究 1．画一画：用列表、描点、连线的作图步骤，画出指数函数x y 2=、x y ?? ? ??=21的

2．说一说：通过图像，分析x y 2=、x y ?? ? ??=21的性质； 3.比一比：x y 2=与y ??? ??=21的图像有哪些相同点，哪些不同点？ 4．想一想：在平面直角坐标系中画出函数3x y =、13x y ?? = ??? 的图像，试分析性质。 5．议一议：通过以上四个函数的图像和性质，归纳指数函数x a y =（1,0≠>a a 且）的图像和性质如下：

例2. （2 3例1.（1）

（四）当堂检测 1.课本第73页练习1 1. 2.解下列不等式： 11 (1)3;81 x -> 1(2)4230.x x +--> （五）课堂小结（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？（2）你学会了哪些数学思想方法？（六）布置作业必做题：课本77页，A 组.4,5，6 选做题：课本77页，B 组1，6. 六、教学反思

(完整版)幂函数的图像与性质(2)

【知识结构】 1 ?有理数指数幕（1）幕的有关概念 m ①正数的正分数指数幕：a n v'a m (a 0,m> n N ,且n 1)；（三）幕函数 1、幕函数的定义形如y=x " （a € R ）的函数称为幕函数， m 1 1 a n m / ----- (a m n a a ②正数的负分数指数幕 0,m 、n N ,且n 1) ③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕没有意义注:分数指数幕与根式可以互化，通常利用分数指数幕进行根式的运算（2）有理数指数幕的性质 ①a f a s =a r+s (a>0,r 、s € Q ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s € Q)； ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r € Q);. 例2 （1）计算: 3 "3 4 o 5 [(38)3(56) . 2 1 1 (0.008) 3 (0.02) ' (0.32円 0.06250.25 4 1 a 3 8a 3b 2 2 (2)化简：4b 3 23 ab a 3 (a 3 23 b) . a 3 a 2 a 引Ja Va 变式: （1）（2007执信A ）化简下列各式（其中各字母均为正数） 2) 1 2 1 b 2 ( 3a?b 1) (4a? b 予.

其中x是自变量，a为常数注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幕函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。例1.下列函数中不是幕函数的是（） A. y Vx B. y X3 C y 2x D. y X1 例2.已知函数f x m2m 1 x 5m 3，当m为何值时，f x : （1）是幕函数；（2）是幕函数，且是0, 上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；变式已知幕函数y （m2 m 1）x m 2m 3，当x （0，g）时为减函数，则幕函数 y _______ - 2. 幕函数的图像幕函数y= x a的图象由于a的值不同而不同. a的正负：a> 0时，图象过原点和（1,1），在第一象限的图象上升； aV0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立;

高中各种函数图像画法与函数性质

一次函数（一）函数 1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。二次函数

二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--- 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+- 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-

正弦函数和余弦函数图像与性质

6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质一、复习引入 1、复习 (1)函数的概念在某个变化过程中有两个变量x 、y ,若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值,按照某个对应法则f ,y 都有唯一确定的实数值与它对应,则y 就就是x 的函数,记作 ()x f y =,D x ∈。 (2)三角函数线设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点(,)P x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与角α的终边(当α在第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于T 、规定:当OM 与x 轴同向时为正值,当OM 与x 轴反向时为负值; 当MP 与y 轴同向时为正值,当MP 与y 轴反向时为负值; 当AT 与y 轴同向时为正值,当AT 与y 轴反向时为负值; 根据上面规定,则,OM x MP y ==, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有: sin 1 y y y MP r α====; cos 1 x x x OM r α= ===; tan y MP AT AT x OM OA α= ===; 这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。二、讲授新课【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由. 1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:R x x y ∈=,sin ; (2)余弦函数:R x x y ∈=,cos 【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函数图象？ 2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 (1)[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像【方案1】——几何描点法步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点()x x sin ,; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。【方案2】——五点法步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标;

九年级下二次函数图像与性质教案

第1课时 26.1 二次函数一、阅读教科书二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题．三、知识点：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________．四、基本知识练习 1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3 2x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．（1）当m__________时，该函数为二次函数；（2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1 x 五、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)x m m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（） A ．y ＝x ＋1 2 B ． y ＝3 (x －1)2 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝1 x 2－x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值；（3）当y ＝－1 3时，x 的值．

一次函数图像及性质教案

一次函数的图像和性质教案 [教学目标] 1、通过实际问题，使学生感受一次函数、正比例函数的特点； 2、会用两点法画出正比例函数、一次函数的图像，并由图像得出函数的性质； 3、使学生初步认识数形结合思想； 4、使学生在对问题的研究过程中，体验数学活动的探索，获得成功的体验；[教学重点] 会用两点法画出一次函数、正比例函数的图像，并由图像得出函数的性质。[教学难点] 由函数图像得出函数的性质，及对函数性质的理解。 [教学方法] 1、创设情境：由实际问题抽象成数学问题，引入一次函数、正比例函数的概念 2、结合图像探索性质：包括正比例函数、一次函数的图像和性质 3、解决问题、巩固提高：包括新课环节后的练习、新课后的巩固练习 [学法] 以学生自主探索为主，动手实践画出函数图像。在归纳一次函数图像的性质时建议合作交流。 [学情分析] 1、八（1）班是平行班，基础薄弱，所以本节课以掌握基本知识为目的。 2、本节课之前仅仅开了一节课：函数概念及用描点法画函数图像，所以本节课的内容整合了用两点法画一次函数图像的图像及性质两个内容。3、在后续的新课学习中，我们会继续加深对一次函数图像性质的掌握和应用。[教学过程] 环节一：复习引入；环节二：探究新知，合作学习，一次函数和正比例函数的关系；环节三：两点法画一次函数；环节四：函数图像的性质；环节五：知识拓展。 ——一次函数的图像和性质第14章一次函数（二）姓名：_________ 时间：2017年月日（一）学习目标 1、了解一次函数、正比例函数的念。 2、会用两点法画出正比例函数、一次函数的图像，并由图像得出函数的性质（二）学习过程：环节一：复习引入 1、什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有什么关系？一般地，形如的函数，叫做正比例函数；

(完整版)幂函数图象及其性质

幕函数的图像与性质 1幕函数的定义形如y=x "(a € R )的函数称为幕函数，其中 x 是自变量，a 为常数注：幕函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幕函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。例题、(1).下列函数中不是幕函数的是( ) A . y 仮 B . y x 3 c . y 2x D . y x 1 答案：C 例2.已知函数f x m 2 m 1 x 5m 3，当m 为何值时，f x 图像是上升曲线。 (1)是幕函数; (2)是幕函数，且是 0, 上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数; (5) 是二次函数; 简解：(1) (2) (3) m 4 (4) m 5 (5) m 1 变式训练: 已知函数f x m 2 2m m 为何值时, 在第一象限内它的 2 小简解：m m 0 2 m 2m 3 解得：m 0 U 3, 小结与拓展：要牢记幕函数的定义，列出等式或不等式求解。 2.幕函数的图像幕函数y = x a 的图象由于a 的值不同而不同. a 的正负：a> 0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升; 在第一象限的图象下降，反之也成立； aV 0,图象不过原点,

1 注：在上图第一象限中如何确定 y=x 3, y=x 2, y=x , y x 2 , y=x -1方法：可画出x=x o ；当x o >l 时，按交点的高低，从高到低依次为 y=x 3, y=x 2, 当0

高中常见函数图像及基本性质

常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时；当k<0时奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周期性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b

反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k> 0时；当k< 0时周期性：无奇偶性：奇函数反函数：原函数本身补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数）（对比标准反比例函数，总结各项内容）二次函数一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0 a 时；当0

正余弦函数的图象与性质

精心整理正、余弦函数的图象与性质 [知识回顾] 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

原点的距离是()0 r r=>，则sin y r α=，cos x r α=，() tan0 y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT． 12、同角三角函数的基本关系： 222222

[考点例题精讲] 考点一：正余弦函数图象的应用例1 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合： 2 1 sin )1(≥ x 解：作出正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈?? ? ???++,265, 26 ππππ 2 1 cos )2(≤ x 解：作出余弦函数y=cos ，x ∈[0，2π]的图象：由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：Z k k k ∈?? ? ???++,235, 23 ππππ 考点二：求与正余弦函数有关的定义域问题例2求下列函数的定义域： (1)y ＝1+ x sin 1 (2)y ＝x cos 解：(1)由1＋sin x ≠0，得sin x ≠－1即x ≠2 3π ＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为｛x ｜x ≠ 23π ＋2k π，k ∈Z ｝ (2)由cos x ≥0得－2π ＋2k π≤x ≤2 π＋2k π(k ∈Z ) ∴原函数的定义域为［－2π＋2k π，2 π ＋2k π］(k ∈Z ) 方法小结：求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函单调性在2,22 2k k ππππ??-+??? ? ()k ∈Z 上是增函数；在32,22 2k k π πππ??++ ??? ? () k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2 x k k π π=+∈Z 对称中心(),02 k k π π?? +∈Z ?? ? 对称轴()x k k π=∈Z