第六章 光路计算和像差理论

6.2 光路计算

二、 光线经过平面时的光路计算
在光路计算中会遇到平面 r = ∞的情况，这时候不能用球面公式来 计算，需要另外一套公式： I=-U,U’=-I’,所以有计算公式组：

上式可以写作：
L' L tan U sin U cos U ' n 'cos U ' L L tan U ' cos U sin U ' n cos U
第六章 光线的光路计算及像差理论



6.1 概 述 6.2 光路计算 6.3 轴上点的球差 6.4 彗差及正弦差 6.5 像散及场曲 6.6 畸 变 6.7 色 差 6.8 波像差
6.1

概
述
一、 基本概念 实际的光学系统都是以一定的宽度的光束对具有一定大小 的物体进行成像，由于只有近轴区才具有理想光学系统性质， 故不能成完善像，就存在一定的像差。
6.3
轴上点的球差
L ' L ' l '
显然实际像与理想像之间存在着沿轴的差异，就把 实际像点与理想像点的偏移为球差，用δL'表示：
6.3


轴上点的球差
式中Δy'表示弥散斑半径。
2、垂轴球差
垂轴球差Δy’的表示形式为：
y ' L ' tan U ' ( L ' l ') tan U '
回忆： 第一和第二近轴光分别用来计算 系统的哪些参数？
6.2 光路计算
（二） 实际光线的光路计算
1、轴上点公式（也分有限远及无限远）：
Lr sin I sin U r n sin I ' sin I n' U ' U I I ' L' r r sin I ' sin U '
回忆： 什么叫理想（完善）像？ 完善成像的条件？ 理想像的位置？
1、像差定义：实际像与理想像之间的差异。
2、 几何像差的分类: 1）单色像差：光学系统对单色光成像时所产生的像差。 球差、彗差、像散、场曲、畸变 注意： 2）色差：不同波长成像的位置及大小都有所不同。 一共7种 位置色差：体现不同色光的成像位置的差异 几何像差！ 倍率色差：体现不同色光的成像大小的差异。
其中的第一项称为初级球差，第二项为二级球差，第三项三级球差，以此 类推。。。注意，除了第一项初级球差，后面的球差统称“高级球差”！ 初级球差的大小与结构参数r、d、n密切相关，而高级球差的数值则 相对固定不变，所以校正球差的过程实际就是改变初级球差，让它和后面 的高级球差等大反号，“平衡”掉后面的高级球差！ 像差校正的 基本思想！
6.2 光路计算

对于近轴光也有相应的公式：
6.2 光路计算


三、平行平板的光路计算
前面说过，平行平板不用对两个面分别计算，只要求出平移的 位移ΔL’就可以了。
平移量：
1 L ' d 1 n
6.2 光路计算


四、 轴外点细光束的光路计算公式
当轴外点以细光束成像时，为了更准确的表示像差的大小，我们常用二 个互相垂直的平面子午面与弧矢面来分别表征光束的结构。 弧矢面：垂直于子午面并且经过主光线的平面。 当物体发出的子午面的光束与弧矢面的光束经过系统时，它们各自所成 的像点并不重合，即存在像散。
例题1
对边缘光校正球差，即h hm， Lm ' 0时, 上式应有A1 A2。 h 2 h 4 这时候有 L ' A2 h h m m 为求极大值，将上式对h求导，并令导数为0，即 代回到 Lm ' 0时的级数展开式，有 L0.707 ' A2 4 h d L ' 0, 求得h m 0.707hm dh 2
6.2 光路计算

一、 子午面内的光线的计算
子午面：轴外点与光轴构成的平面。 （一） 近轴光计算
1、轴上点近轴光的光路计算（第一近轴光） 对于单个折射面，当物在有限远时，我们采用的公式如下：
式子为单个折射面有限远情况， 若为远限远，则有： l = −∞，
6.2 光路计算
前面是单个折射面的计算公式，由于系统由多个 折射面构成，要想计算出最终的结果还必须用到由 前一折射面到后一折射面的过渡公式。

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

这对共轭点都在球心的同一侧，所以实物成虚像，或者是虚物成实像。 二者的简单关系：
n ' L ' nL
6.3
轴上点的球差
U ' I ,U I '
sin U ' sin I n ' L sin U sin I ' n L '

用一只眼来看上面的字母，会 发现有一个特别黑，其他是灰色的。 换一个方向看，发现最黑的字母 变化了。人眼也有像散！
6.2 光路计算

像散光束成像原理
6.2 光路计算
轴外细光束的计算公式：
杨氏公式：
子午像点位置：
弧矢像点位置：
式中，IZ为主光线的入射角；I’Z为主光 线的折射角。 当主光线经过球心，即Iz = Iz' =0时，有：
6.3


轴上点的球差
三、球差的级数展开
球差是半孔径角U或光线入射高度h的函数。将其按级数展开，并且 考虑到它的轴对称性，有：
L ' A1h2 A2 h4 A3h6 ...... L ' a1U 2 a2U 4 a3U 6 ......
因为h改变符号时，球差大小不变，所以以上展开式不含奇次方项；U等于 0时球差为0，所以不含常数项；因为是球差是轴上点像差，与视场无关， 所以不含含y的项。

其中
其中SI称为初级球差分布系数，也叫第一塞德尔（Seidel）和数。
6.3


轴上点的球差
五、 单个折射面的三对无球差点（如何消球差？）
1、三对齐明点（不晕点）：根据书p112公式6.18 ，有： 1）当L=0时，即物位于顶点处，此时 L'= 0 ，即物、像位于顶点处； 2）当sinI −sinI’＝0时，此时有：I=I’=0，即相当于入射光线与球面 法线相重合，此时物点与像点均位于曲率中心（折射面球心）处； 3）当sinI’－sinU＝0，或I’=U。此时：
6.2 光路计算
2、轴外点的近轴光计算（第二近轴光）：
第二近轴光：指由物体边缘发出，并通过入瞳中心的光线。
仍用近轴光路公式计算，只不过为了区别起见，所有的量都应注 下角标z，以表示是轴外点近轴光而不是第一近轴光。实际上一般对 5个特殊视场（入瞳中心与物点的连线与光轴的夹角）的物点进行计 算，分别为： 0.3、0.5、0.707、0.85、1.0。
6.3

轴上点的球差
正透镜：产生负球差； 负透镜：产生正球差
二、 球差校正
这是由透镜本身结构特性决定的，所 以，单个透镜不能校正球差。但若是 正负透镜组合，就可以实现球差的校 正。
6.3

轴上点的球差

所谓的消球差一般只是能使某一孔径带的球差为0， 而不能使各个孔径带全部为0，一般对边缘光孔径校 正球差，而此时一般在0.707口径有最大的剩余球差， 大小约为边缘光高级球差的-1/4。 当边缘口径的球差不为0时，如果存在负球差称为 “校正不足”，如果存在正球差，称为“校正过度”。
由于轴上点发出的光束是轴对称的，所以子午面内的球差只计算上半 部分即可，计算上部分的孔径光线为：0.3、0.5、0.707、0.85、1.0。 每一条光线对应一个球差值，如果把不同 孔径所对应的球差值全部计算出来，并且 将它们绘制成图，就称此图为球差曲线， 球差曲线非常直观的表达了系统球差的大 小，通过球差曲线可以非常形像地对球差 进行表征。
6.1
3、 像差产生的原因
概
述
在第一章我们曾讲过近轴光／实际光的光路计算公式。
并且说明这二组公式最大的 区别是对于近轴光：是用弧 度值取代正弦值而得 到的。即 sin I≈ i。
但实际上这一取代并不是完全精确的，它存在着一定的误差量值，因 为它们仅仅是近似相等，从而导致实际与理想之间存在差异。这就是 像差产生的原因。
n n ' n n' t' t r n ' n n ' n s r s'
此时，像散为0
6.3



轴上点的球差
一、 球差定义及表示方法
1、沿轴球差 由实际光线的光路计算公式知，当物距L为定值时，像距L’与入射 高度h及孔径角U有关，随着孔径角的不同，像距L’是变化的，即如 图所示：轴上点A点发出的光束，对于光轴附近的光用近轴光路计算 公式，像点为A’ 0（看作高斯像点），对于实际光线采用实际光计算 公式，成像于A’ 1 （实际像）。
6.1
概
述
二、像差谱线的选择――主要取决于接收器的光谱特性
进行像差校正时，只能校正某一波长的单色像差，对于不同的 接收器件像差谱线的选择有很大的区别。 1、目视光学系统：一般选择D光或e光校正单色像差，对F , C 光校正色差。 2、普通照相系统(胶片）：一般对F光校正单色像差，对D, G '校正 色差。 3、近红外光学系统：一般对C光校正单色像差，对d, A '校正色差。 4、对特殊光学系统（激光）：只对使用波长校正单色像差。
n sin I n' n' sin I sin I ' n sin I ' n Lr n n' sin U L r 物点位置（根据公式1.9） n' r n n ' L ' r n n' sin U ' L ' r 像点位置（根据公式1.11） n r n'
6.3


轴上点的球差
L '初 A
hm
三、球差的级数展开
在绘制球差曲线的时候，我们通常把纵坐标取为（h/hm),所以初级 2 球差可以表示为： h
所以刚才求最大剩余球差的过程可以描述如下： 只考虑二级的高级球差，所以有： 2 4
L ' A1
h h A 2 h h m m
当物位于无限远时，以计算三条光线为例（实际要算11条）， 分别为：上光线a，主光线z，下光线b，如图：
6.2 光路计算

当物位于有限远时，h为入瞳半高度；y为物高。
6.2 光路计算
对于轴外点，我们要计算多少条光线呢？


由于轴外点发出的光不是相对于光轴对称的，所以主光 线上、下的光线并不相对光轴对称（和光轴相交于一 点），所以上下光线必须分别计算：口（孔）径±0.3、 ± 0.5、 ± 0.707、 ± 0.85、 ± 1.0；加上主光线至 少应计算11条光线。 再考虑 5个视场：0.3、0.5、0.707、0.85、1.0。计算 总数达55条！ 如此庞大的计算量幸而而已借助计算机和程序的力量， 才使光学设计工作变得快捷！
6.3


轴上点的球差
四、 球差分布公式
由于光学系统是由多个光组构成，而每一个折射面都将对整个系统的 球差有所贡献，而整个系统的球差值就是各个折射面产生的球差传递 到系统像空间后相加而成的，故称每个折射面对系统总球差的贡献量 值叫球差分布。 所谓的球差分布式是指构成系统的每个面对球差的贡献。其形式为： 其中S－为每个面上的球差分布系数 若在近轴区内，
6.2 光路计算
光路计算分类：
轴上点近轴光路计算（物在有限远，无限远）: (物体发出，经过入瞳边缘的光线） 可以求得高斯像点、基点位置、焦距等。 近轴光路计算 轴外点近轴光路计算 （物体边缘发出，经过入瞳中心的光线）： 1、子午面内光路计算 可以求得出瞳位置、理想像高等。 轴上点，一般取5个孔径： 求得实际像点的位置，对应像差； 实际光路（远轴）计算 轴外点，一般取5个视场,每个视场11个孔径： 求得实际像高，对应像差。 2、沿主光线的细光束光路计算：子午/弧矢场曲、像散 3、子午面外空间光线的光路计算：全面分析系统质量，软件设计
6.2 光路计算
实际光的过渡公式：
以上介绍了实际光轴上点的计算公式，对于光轴上的点而言，由 于其出射光束的对称性，对称于光轴，故只需计算光轴上面的某些光 线或计算光轴下面的某些光线即可。这些需要计算的特殊口径分别为 0.3、0.5、0.707、0.85、1.0 。
6.2 光路计算

2、对于轴外点：