--信号与系统课程设计论文

滨江学院

课程论文连续时间LTI系统的时域分析

课程信号与系统

院系电子工程系

专业电子信息工程

学生姓名范以文

学号20112305907

基于 MATLAB 的连续时间LTI 系统的时域分析

一、课程目的

学习MATLAB 语言的编程方法与熟悉MATLAB 的指令； 编程实现卷积积分或卷积和，零输入响应，零状态响应；

学会用 MATLAB 对信号进行分析求解系统零状态响应，冲激响应，阶跃响应的方法； 撰写课程设计论文，用信号处理基本理论分析结果。

二、基本要求：

掌握连续时不变信号处理的基本概念、基本理论和基本方法； 学会 MATLAB 的使用，掌握 MATLAB 的程序设计方法；

三、课程内容与步骤：

①求解系统的零输入响应; ②求解系统的零状态响应; ③求解系统的全响应; ④分析系统的卷积；

⑤画出它们的图形. 下面以具体的微分方程为例说明利用MATLAB 软件分析系统的具体方法.

1．连续时间系统的零输入响应

描述n 阶线性时不变（LTI ）连续系统的微分方程为：

已知y 及各阶导数的初始值为y(0),y (1)(0)，… y (n-1)(0)， 求系统的零输入响应。 建模

当LIT 系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的其次解（即令微分方程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）

其中

p 1,p 2,…,p n 是特征方程a 1λn +a 2λn-1+…+a n λ+a n =0

的根，它们可以用root(a)

语句求得。各系数 由y 及其各阶导数的初始值来确定。对此有

………………………………………………………………………………………

1121111n n m n n m m n n m d y d y dy d u du a a a a y b b b u dt

dt dt dt dt -++-++?????++=+????++1212()n p t p t p t n y t C e C e C e =++????+120n C C C y ++????+=11220

n n p C p C p C Dy ++????+=111111220n n n n n n p C p C p C D y ----++????+=

写成矩阵形式为: P 1n-1C 1+ P 2n-1C 2+…+ P n n-1C n =D n-1

y 0

10122011111

20111n n n n n n n C y p p p C Dy p p p C D y ----???

??????

??????????????

?=???????????????

??????

即 V ?C=Y 0 其解为：C=V\Y 0 式中

V 为范德蒙矩阵，在matlab 的特殊矩阵库中有vander 。

以下面式子为例：

y(0_)=1,y(0_)=5；

MATLAB 程序：

a=input('输入分母系数a=[a1,a2,...]=');

n=length(a)-1;

Y0=input('输入初始条件向量 Y0=[y0,Dy0,D2y0,...]='); p=roots(a);V=rot90(vander(p));c=V\Y0'; dt=input('dt=');te=input('te='); t=0:dt:te;y=zeros(1,length(t)); for k=1:n y=y+c(k)*exp(p(k)*t);end plot(t,y);grid

xlabel('t') ;ylabel('y'); title('零输入响应');

程序运行结果：

用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入 a=[1,5,4] Y0=[1,5] dt=0.01 te=6

结果如下图：根据图可以分析零输入响应，它的起始值与输入函数无关，只与它的初始状态值有关，其起始值等于y(0_)的值。随着时间的推移，最后零输入响应的值无限的趋近于0。

1211112111n n n n n p p p V p p p ---????????????=?????????

[]

12n C C C C =???1000n C y Dy D y -??=?????

''''()5()4()2()4()

y t y t y t f t f t ++=-

t

y

零输入响应

2．卷积的计算

连续时间信号1()f t 和2()f t 的卷积运算可用信号的分段求和来实现，即：

1212120

()()*()()()lim

()()k f t f t f t f t f t d f k f t k ττ∞

∞

-∞

?→=-∞

==-=?-???∑

?

如果只求当t = n ?（n 为整数）时f (t )的值f (n ?) ，则上式可得：

1212()()()()[()]k k f n f k f t k f k f n k ∞

∞

=-∞

=-∞

?=

?-???=??-?∑

∑

式中的

12()[()]k f k f n k ∞

=-∞

??-?∑

实际上就是连续时间信号1()f t 和2()f t 经等时间间隔 均匀抽样

的离散序列1()f k ?和2()f k ?的卷积和。当?足够小时，()f n ?就是卷积积分的结果——连续时间信号f (t )的较好数值近似。

建模

下面是利用MATLAB 实现连续信号卷积的通用程序conv()，该程序在计算出卷积积分的数值近似的同时，还绘制出f (t )的时域波形图。应注意，程序中是如何设定f (t )的时间长度。

MATLAB 程序：

f1=input('输入函数f1='); f2=input('输入函数f2='); dt=input('dt='); y=conv(f1,f2);

plot(dt*([1:length(y)]-1),y);grid on; title('卷积');

xlabel('t'); ylabel('f1*f2')

输入以下数据：

f1=sin(3*t) f2=cos(3*t+2) dt=0.01 得出图形如下：

024

681012

卷积

t

f 1*f 2

3．连续时间系统零状态响应的数值计算

我们知道，LTI 连续系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述，

()

(

)0

()()N

M

i j i j i j a y t b f

t ===∑∑

例如，对于以下方程:

''''''''''''32103210()()()()()()()()a y t a y t a y t a y t b f t b f t b f t b f t +++=+++可用3

2

1

3[

,

,

,

]

,[,,,],a a a a a b b b b b ==输入函数()u f t =，得出它的冲击响应h ，再根据LTI

系统的零状态响应y （t ）是激励u （t ）与冲击响应h （t ）的卷积积分。

注意，如果微分方程的左端或右端表达式中有缺项，则其向量a 或b 中的对应元素应为零，不能省略不写，否则出错。

求函数的零状态响应

及初始状态

'(0)(0)0zs zs y y --==。输入函数()sin(3*)cos(2*)f t t t =+。

建模

先求出系统的冲击响应，写出其特征方程

2540λλ++=

求出其特征根为p 和p ，及相应的留数r ，r ；则冲击响应为

1212

()p t p t h t re r e =+ 输入y （t ）可用输入u （t ）与冲击响应h （t ）的卷积求得。

''''()5()4()2()4()

y t y t y t f t f t ++=-

a=input('输入分母系数a=[a1,a2,...]=');

b=input('输入输入信号系数b=[b1,b2,...]=');

dt=input('dt=');te=input('te=');

t=0:dt:te;

u=input('输入函数u=');

te=t(end);

dt=te/(length(t)-1);

[r,p,k]=residue(b,a);

h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(1)*t);

subplot(2,1,1),plot(t,h);grid

title('冲击函数');

y=conv(u,h)*dt;

subplot(2,1,2),

plot(t,y(1:length(t)));grid

title('零状态响应');

程序运行结果

执行这个程序，取a=[1,5,4] b=[2,4] dt=0.01 te=6

=+

sin(3*)cos(2*)

u t t

得出图形如下：

由于初始状态为零，所以零状态的起始值也为零，即h(t)包含了连续系统的固有特性，与系统的输入无关。只要知道了系统的冲激响应，即可求得系统在不同输入时产生的输出。因此，求解系统的冲激响应h对进行连续时间系统的分析具有非常重要的意义

冲击函数

零状态响应

4．连续时间系统的全响应计算

上面通过对LTI 系统函数的描述，我们可以得知：如果在系统的初始状态不为零，在激励f （t ）的作用下，LTI 系统的响应称为全响应，它是零输入响应和零状态响应之和，即

()()()zi zs y t y t y t =+

故可先求出零输入响应和零状态响应，再把两者相加，得到全响应。但简单的相加可能由于零输入与零状态的矩阵不同而不能的出正确的结果，这就需要对矩阵进行截取，使它们的阶数相同。

例如，对于以下方程：

初始值为：y(0_)=1,y(0_)=5； 输入函数为：

()sin(3*)cos(2*)f t t t =+

求它的全响应。

建模

先根据零输入响应的求法，得出零输入响应y1（t ）。再根据零状态响应的求法，得出零状态响应y2（t ）。最后，全响应y 等于零输入响应y1（t ）加上零状态响应y2（t ），得出全响应。

MATLAB 程序：

a=input('输入分母系数a=[a1,a2,...]='); n=length(a)-1;

Y0=input('输入初始条件向量 Y0=[y0,Dy0,D2y0,...]='); b=input('输入输入信号系数b=[b1,b2,...]='); u=input('输入函数u=');

dt=input('dt=');te=input('te='); t=0:dt:te;

p=roots(a);V=rot90(vander(p));c=V\Y0'; y1=zeros(1,length(t));

for k=1:n y1=y1+c(k)*exp(p(k)*t);end te=t(end);

dt=te/(length(t)-1); [r,p,k]=residue(b,a);

h=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(1)*t); y2=conv(u,h)*dt;

y=y1(1:length(t))+y2(1:length(t)); figure(1);

subplot(3,1,1),plot(t,y1),grid

xlabel('t'); ylabel('y1');title('零输入响应'); subplot(3,1,2),plot(t,y2(1:length(t)));grid xlabel('t');ylabel('y2');title('零状态响应');

''''()5()4()2()4()y t y t y t f t f t ++=-

subplot(3,1,3),plot(t,y),grid

xlabel('t'); ylabel('y');title('全响应响应');

程序运行结果

执行程序，取 a=[1,5,4] Y0=[1,5] b=[1,2,4] u=sin(3*t)+cos(2*t) dt=0.01 te=6

结果如下图：在零输入响应中任一时刻取值y1，在零状态响应的对应时刻取值y2，再在全响应的对应时刻取值

y 。可以得出：

y=y1+y2。

1

2

34

5

6

0.51.5

t

y 1

零输入响应

012

34

56

t

y 2

零状态响应

1

2

34

5

6

t

y

全响应响应

四、调试总结： 在matlab 语言中，用subplot 对图形进行分块，使几幅图同时显示在一个图像框里。 plot

用来绘制连续的函数图形。cnov 用来求卷积，再就是利用语句对不同阶的矩阵进行截取，使之相加，这点很重要，因为简单的零输入响应与零状态响应相加，可能由于阶数不同而无法得出结果，所以一定要使两者的阶数相同。

五、总结：

经过一个学期对《信号与系统》的学习与认知，让我逐步的走进这充满神秘色彩的学科。这门课程是以《高等数学》为基础，但它又不是一门只拘泥于数学推导与数学运算的学科，它更侧重与数学与专业的有机融合与在创造，是一门应用性很强的学科。

大家都知道学习是一个把书看厚然后再看薄、理解和总结的过程。下面我就来和大家分享一下我在学习信号与系统中的一些学习心得。

所谓学习一门学科，首先要知道它有什么用，然后才能有学习的兴趣和动力。所以让我们先来整体认识一下信号与系统。这门课是电气专业的基础，对后面的数字信号处理，滤波器设计都是十分重要的。它也给了我们一个学习的思想：无论什么问题，都可以把问题看作一个系统，有了输入，那么就会得到输出。那么输入和输出有什么关系呢？就需要我们学习了这门课程来掌握理解不同的输入对应怎样的输出，是怎样对应过去的。

信号与系统主要用到的知识有傅里叶变换（离散和连续)，拉普拉斯变换，z变换。其中，傅里叶变换是重中之重，学会了这个，另外两个就是一个举一反三的过程。

纵观一个系统的实现，其实就是：激励→零输入响应+零状态响应

在老师的帮助下我顺利的完成了这个课程，通过这次连续时间系统的时域分析课程设计，让我了解了关于MATLAB软件在连续信号时域处理方面的应用，MATLAB的仿真使我更加深入的了解了信号时域处理的过程，对我对数字信号处理的理解加深了一步。MATLAB拥有强大的数据仿真能力，在生产和研究中起着非常大的作用。

通过查阅大量的资料，我选择用矩阵计算的方法来求连续时间系统的零输入响应，卷积则是利用matlab中的conv语句求得，再根据LTI系统的零状态响应y（t）是激励u（t）与冲击响应h（t）的卷积积分，求得零状态响应，全响应则为零输入响应与零状态响应之和。

MATLAB语言是一种广泛应用于工程计算及数值分析领域的新型高级语言，Matlab功能强大、简单易学、编程效率高，深受广大科技工作者的欢迎。特别是Matlab还具有信号分析工具箱，不需具备很强的编程能力，就可以很方便地进行信号分析、处理和设计。通过与老师的交流和学习，让我学会了很多在课堂上没有理解的难点。同时也进一步加深了对Matlab 的理解和认识。

参考资料：

信号与线性系统分析（第4版）

主编：吴大正

MATLAB及在电子信息课程中的应用（第2版）

陈怀琛吴大正高西全编著