第三章傅里叶变换
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第三章――傅里叶变换周期信号的傅里叶级数分析
第三章 傅里叶变换3.1周期信号的傅里叶级数分析（一） 三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若()f t 的周期为1T ，角频率112T πω=，频率111f T =，傅里叶级数展开表达式为()()()0111cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞==++⎡⎤⎣⎦∑各谐波成分的幅度值按下式计算()0101t T t a f t dt T +=⎰()()0112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰()()01012sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰其中1,2,n =⋅⋅⋅狄利赫里条件：（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00t T t f t dt +⎰等于有限值。
（二） 指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即()()11jn tnn f t F n eωω∞=-∞=∑其中()011011t T jn tn t F f t e dt T ω+-=⎰ 其中n 为从-∞到+∞的整数。
（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系（1） 偶函数由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则()()01112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==⎰所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。
（2） 奇函数由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则()0100110t T t a f t dt T +==⎰()()010112cos 0t T n t a f t n t dt T ω+==⎰ 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项（3） 奇谐函数（()12T f t f t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭）半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。
第三章傅里叶变换的性质.ppt
0
f (t)奇函数：X ()
f (t)sin tdt 2
f (t)sin tdt
0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。
1 T
(t
T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T
F(
j )
2
2T
(1
cosT )
4
2T
sin
2 (T
2
)
TSa2 (T
2
)
第三章第1讲
12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t
1 2
(e
j0 t
e
j0 t
)
sin
0t
1 2j
(e
j0 t
信号与系统第三章傅里叶变换
a0
F f t F
f t
0
t
2
2
f
(at)
1 |a|
F
a
F
2
2
f t
0
t
4
4
F
4
4
时域中压缩
频域中扩展，时域中扩展
频域中压缩
（实例：录音：慢录快放，时间短、频带宽
t
f
t
1
t T1
0 t T1
F
2T1 sincT1
f t sinWt F
t
f t W sin cWt
W /
/W
/W
0
F
j
1
0
W W
F
t
1 F j
-W 0 W ω
1 X1 j
F j ea t e j tdt
0
eat e j t dt e at e j t dt
0
1 1
a j a j
F
j
2a
a2 2
ea t
a
0F
a
2
2a
2
f
t
1
0
2
2 f t F j e j td
交换 t ,
2 f
F
jt e j t dt
1F 2 2
f (t) 1
信号与系统第三章：傅里叶变换
bn
n1
sin(n1t)
其中
an
,
bn
称为傅里叶系数，
1
2
T
。
16
傅里叶系数如何求得
Ci
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
t2
t1
i
2
(
t
)dt
1 Ki
t2 t1
f
(t
)
i
(t
)dt
式中： Ki
t2
t1
i
2
(t
)dt
an
2 T
T
2 T
f (t) cos(n1t)dt
2
a0 2
,
1 T
0 T
2
(1)
cos(n1t
)dt
2 T
T
2 0
cos(n1t
)dt
23
0
T
1
n1
2 T
sin(n1t
)
T 2
2 T
1
n1
sin(n1t
)
2 0
1
2
T
an
0
n 0,1, 2,3,L
24
bn
2 T
T
2 T
f (t) sin(n1t)dt
2
2 T
0 T
2
(1)
sin(n1t
)dt
2 T
T
2 0
26
T
T
0
T/ 2
t
0
T/ 2
t
(a)基波
(b)基波+三次谐波
0
T/ 2
Tt
第三章 离散傅里叶变换及其快速算法
~ ~ 设周期序列 x 1( n) 和 x 2 ( n) 的周期均为N，且：
~ X 1(k ) DFS[~1(n)], x
~ X 2(k ) DFS[~2(n)]; x
~3(n) a~1(n) b~ 2(n) （a，b均为常数） x x 如果： x
则有： ~ ~ ~ ~1(n) b~2(n)] aX 1(k ) bX 2(k ) X 3(k ) DFS[ax x
1 2
③周期卷积满足交换律。 同理可得： 如果： ~(n) ~1(n) ~ 2(n) y x x
则有：
1 N 1 ~ ~ 1 ~ ~ ~ Y (k ) DFS[ ~1(n) ~ 2(n)] X 1(l ) X 2(k l ) X 1(k ) * X 2(k ) x x N l 0 N
~(n) 1 x N ~(k) j N kn ...(3.2.1a) x e
k 0 N 1 2
两边 e
N 1
j
2 nr N
并从n=0～N-1求和得：
N 1 N 1 2 2 ~ j ( k r ) n ~(n) j N nr 1 x e X(k)e N N n 0 k 0 n 0 N 1 1 N 1 j 2N ( k r ) n ~ X(k)[ e ] （交换右边求和次序） N n 0 k 0 ~ X(r)
~ ~ kn X 1(k ) X 2(k )W N
k 0 k ( nmr ) N
N 1
W
]
~1(m) ~ 2(n m lN ) x x
m 0
1 N
W
k 0
N 1
k ( nmr ) N
1, r (n m) lN 0, r (n m) lN
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
信号与系统(郑君里第二版)讲义第三章 傅里叶变换
t0
⎧0 ⎪T cos(mω1t )cos(nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪2 ⎩T1
m≠n m=n≠0 m=n=0
∫
∫
t0 +T1
t0
0 ⎧ ⎪T sin (mω1t )sin (nω1t )dt = ⎨ 1 ⎪ ⎩2
m≠n m=n≠0
t0 +T1
t0
sin (mω1t )cos(nω1t )dt = 0 ，对于所有的 m 和 n
n =1
⎧ ⎪d 0 = a 0 ⎪ 2 2 ⎨d n = a n + bn ⎪ an ⎪θ n = arctan bn ⎩
n = 1,2,3,L n = 1,2,3,L
三、虚指数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t ) 可以分解为
f (t ) =
n =−∞
∑ Fe
n
∞
jnω1t
傅里叶系数：
Fn = 1 t0 +T1 f ( t ) e − jnω1t dt ∫ t 0 T1
f (t )
E 2
−
T1 2
0
T1 2
t
奇函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = an = 0
4 bn = T1
Fn = −
∫ f (t )sin (nω t )dt
1
T1 2 0
1 π jbn ， ϕ n = − 2 2
6
奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含 有正弦项。 3、奇谐函数（半波对称函数） 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变 化，即满足 ⎛ T ⎞ f (t ) = − f ⎜ t ± 1 ⎟ 2⎠ ⎝ 这样的函数称为半波对称函数或称为奇谐函数。 奇谐函数的傅里叶级数展开式的系数为： a0 = 0 an = bn = 0 （ n 为偶数） （ n 为奇数）
第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
信号课件第三章傅里叶变换
• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
第三章 傅里叶变换
P=a
2 0
1 2
n 1
an2 bn2
c02
1 2
cn2
n 1
n
Fn
2
；
3、一个特别的性质： e jn e jn
3.1.3 函数的对称性与傅里叶系数的关系
1、波形对称分类：（1）、整周期对称，例如偶函数和奇函数，其可决定级数中只可能含有余弦项或正弦项；（2）半 周期对称，例如奇谐函数，其可决定级数中只可能含有偶次项或奇次项。 2、对称条件： （1）、偶函数：若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足 f(t)=f(-t),此时 f(t)是偶函数，偶函数的 Fn 为实数。在偶函 数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。 （2）奇函数：若波形相对于纵坐标是反对称的，即满足 f(t)=-f(-t),此时 f(t)是奇函数，奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数 的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含有正弦项。虽然在奇函数上加以直流成分，它不再是奇函数，但在它的 级数中仍然不会含有余弦项。 （3）寄谐函数：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，此时波形并不发生变化，即满足：
n2 1 2
) cos n1t
基波和偶次谐波频率分量。谐波幅度以 1 规律收敛。 n2
其中1
=
2 T1
；其频谱只包含直流、
3.2.5 周期全波余弦信号
1、周期全波余弦信号的傅里叶级数为：
f
(t)
2E
4E 3
cos(1t)
4E 15
cos(21t)
4E 35
cos(31t)
2E
4E
1n 1
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的；
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例子
以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数对 原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差。 解：其傅里叶级数表达式为：
2E 1 1 f (t ) = cos( w1t ) − cos( 3 w1t ) + cos( 5 w1t ) + L π 3 5
f (t )
E 2
− T1 4 T1 4
ϕ n = −90o
其傅里叶级数三角展开式中 仅含正弦项，
0
− E 2
t
其傅里叶级数指数展开式中 F (nω1 )为纯虚函数。
是一奇函数
其傅里叶级数表达式为：
E 1 1 f (t ) = sin( w1t ) − sin( 2 w1t ) + sin( 3 w1t ) + L π 2 3
π
0
w1 3w1
nw1
Байду номын сангаас
w
二、指数形式的傅里叶级数
1、指数形式的傅里叶级数的形式
2π 设f(t)为任意周期信号（周期 T1 , 角频率ω1 = ） T1
则其可展开为指数形式的傅里叶级数
f (t ) =
n =−∞
∑ F (nω )e
1
∞
jnω1t
2.指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系 指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系
（3）奇谐函数信号（半波对称函数 ） ）奇谐函数信号（
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于 奇谐函数信号 该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：
T1 f (t ) = − f (t ± ) 2
2 n 2 n
a0 = 0
n为偶，an = bn = 0 4 T1 n为奇，an = ∫ 2 f (t ) cos(nω1t )dt T1 0 4 T1 bn = ∫ 2 f (t ) sin(nω1t )dt T1 0
第三章 傅里叶变换
本章的主要内容：
1、引言 2、周期信号的傅里叶级数分析 3、典型周期信号的傅里叶级数 4、傅里叶变换 5 5、典型非周期信号的傅里叶变换 6、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 7、傅里叶变换的基本性质 8、卷积特性（卷积定理） 9、周期信号的傅里叶变换 10、抽样信号的傅里叶变换 11、抽样定理
1 c0 = a0 = 0, cn = a ＋b , Fn = cn 2 b ϕ n = − arctg n an
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
− T1 2
f (t )
E 2
−
T1 2
0
− E 2
0
− E 2
T1 2
t
T1 2
t
sin( w1t)
E 2
n= n =1
c0 = d 0 = a 0 其 中 c n = d n = a n2 + b n2 b a ϕ n = − a rctg n , θ n = a rctg n an bn
3、傅里叶级数展开的充分条件
傅里叶级数存在的充分条件： 周期信号f(t)须满足“狄利克雷”(Dirichlet)条件，即
2.傅里叶级数的系数求解 傅里叶级数的系数求解 (1)偶函数信号 偶函数信号
4 T1 1)偶函数信号：an = ∫ 2 f (t ) cos(nω1t )dt T1 0
( f (t ) =
f (−t ) ) bn = 0
例如：周期三角波信号
an cn = an , Fn = F− n = 2 ϕn = 0
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
第一节 引言
傅里叶分析发展史
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。 • 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产
• •
•
•
生的。 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。 1822年法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768-1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理， 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。 论基础。 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
• 但傅里叶分析始终有着极其广泛的应用，它是研究其他变换方
•
• • •
•
•
法的基础。而且出现了”快速傅里叶变换（FFT）”它给傅里 叶分析这一数学工具增添了新的生命力。 傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中， 而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关 数学、物理和工程技术领域中得到广泛的应用。 本章讨论的路线： 本章讨论的路线： 傅里叶级数正交函数——傅里叶变换，建立信号频谱的概念； 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里叶分 析方法的应用。 对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级数或傅里叶变 换；傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。 最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，并介绍抽样定 理，抽样定理奠定了数字通信的理论基础。
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
5、幅度谱、相位谱 幅度谱、
频谱图：
cn c0
c1 c2
cn ~ nω1 信号的幅度谱
ϕn ~ nω1 信号的相位谱
c3
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
nw1
w
0
w1
ϕn
3w1
包络线”。
周期信号的主要特点： 具有离散性、谐波性、收敛性
Fn
nw1
w
− nw1
− w1 0 w1
ϕn π
幅度谱与相位谱合并
c0 1 c 1 21 c2 2
nw1 − nw1
−π
0
w
− nw1
− w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。 负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性 周期信号的功率特性 —时域和频域能量守恒定理 时域和频域能量守恒定理
一周期内仅有限个间断点； 一周期内仅有限个极值； t0 +T1 一周期内绝对可积， ∫t0 f (t ) dt < ∞
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
4、基波、谐波 基波、
2π 通常把频率为： f1 = T1 = 称为基波。 w1 2π 频率为：2 f1 = 2T1 = 2 × 称为二次谐波。 w1 2π 称为三次谐波。 频率为： 3 f1 = 3T1 = 3 × w1
1 t0 +T1 − jnω1t 记 → dt 复函数：F (nω1 ) Fn = T ∫t0 f (t )e 1 其中 ( n = −∞ ~ ∞ ) 直流分量：F0 = c0 = a0
当n > 0时，Fn = Fn 1 1 an − jbn ) F−n = F−n e jϕn = (an + jbn ) e 2( 2 1 2 1 2 其中 Fn = a n + bn = cn 2 2 ϕ n = ϕ n (三角函数形式）
f (t )
其傅里叶级数三角展开式中 仅含直流项和余弦项，
E
其傅里叶级数指数展开式中 F ( nω1 )为实函数。
− T1 2
0
T1 2
t
其傅里叶级数表达式为：
是一偶函数
E 4E 1 1 f (t ) = + 2 cos(w1t ) + cos(3w1t ) + cos(5w1t ) + L 2 π 9 25
T1 T1 为了积分方便，通常取积分区间为： ~ T1或 − 0 ~ 2 2
三角函数集是一组完备函数集。
2、另一种三角函数形式的傅里叶级数
f(t)展开为常用形式
f (t ) = c0 + ∑ cn cos(nω1t + ϕ n ) 或
n =1 ∞ ∞
f (t ) = d 0 + ∑ d n sin( nω1t + θ n )
第二节 周期信号的傅里 叶级数分析
一、三角函数形式的傅里叶级数 三角函数形式的傅里叶级数 1、一种三角函数形式的傅里叶级数
2π 设f(t)为任意周期信号（周期 T1 , 角频率ω1 = ） T1
则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数
f (t ) = a0 + ∑ [ an cos( nω1t ) + bn sin(nω1t ) ]
t
2E cos(5w1t ) 5π
2E − cos(3w1t) 3π
有限项傅里叶级数： S N (t ) = a0 + ∑ [ an cos(nω1t ) + bn sin( nω1t ) ]
n =1 N
1 t0 +T1 2 方均误差：E n = ε (t ) = ∫ ε N (t )dt T1 t0