2010-2011下学期高二数学期中考试题

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北京市西城区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案

2025届高二第二学期期中数学试题（答案在最后）一、单选题1.在等差数列{}n a 中，若45615aa a ++=，则28a a +=（）A.6B.10C.7D.5【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=，代入可得55a =，而要求的值为52a ，代入可得．【详解】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=所以45615a a a ++=，即5315a =，55a =，故28522510a a a +==⨯=，故选：B ．2.已知数列{}n a 的通项公式为n a ＝n 2－n －50，则－8是该数列的()A.第5项B.第6项C.第7项D.非任何一项【答案】C 【解析】【分析】令8n a =-，解出正整数n 即为数列的第几项.【详解】由题意，令8n a =-，解得7n =或6-（舍），即为数列的第7项.故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的应用，熟练掌握数列的基本性质，n 为数列的项数.3.《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织420尺布，则第2天织的布的尺数为A.16329B.16129C.8115D.8015【答案】A【解析】【详解】设公差为d ,由题意可得：前30项和30S =420=30×5+30292⨯d ,解得d =1829.∴第2天织的布的尺数=5+d =16329.故选A.4.如图，函数y＝f(x)在A，B 两点间的平均变化率等于()A.-1B.1C.-2D.2【答案】A 【解析】【分析】根据平均变化率的概念求解.【详解】易知()13f =，()31f =，因此()()31131f f -=--，故选A【点睛】求平均变化率的一般步骤：①求自变量的增量△x=x 2-x 1，②求函数值的增量△y=f （x 2）-f （x 1），③求函数的平均变化率()()2121f x -f x y =x x -x ∆∆.5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若22a =，5646a a a +=，则5(a =)A.4B.10C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程关系求出公比即可．【详解】由6546a a a +=得260q q +-=，解得2q =，从而352216a a =⋅=．故选C ．【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用，建立方程关系求出公比是解决本题的关键．6.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（）A.12B.13C.14D.15【答案】B【解析】【分析】由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.【详解】将5月剩余的30天依次编号为1，2，3⋅⋅⋅30，因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；+++=，所以李明需要配送的天数为1050217-=.所以整个5月李明不用去配送的天数是301713故选：B.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.7.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A.fB.C. D.【答案】D 【解析】【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.8.已知等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3q 等于（）A.1B.12-C.12-或1 D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，代由等比数列的前n 项和公式化简即得所求【详解】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，由等比数列的前n 项和公式有()()()9631112111111a q a q a q q q q---=+---，化简得9632q q q =+，又0q ≠，所以6321q q =+解得312q =-或31q =（舍），故312q =-，故选：B.9.等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则(0)f '=A.62 B.92 C.122 D.152【答案】C 【解析】【分析】将函数看做x 与()()()128x a x a x a --⋅⋅⋅-的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x =可求得()1280f a a a '=⋅⋅⋅；根据等比数列性质可求得结果.【详解】()()()()128f x x a x x a x a --⋅''=⎡⋅-⎤⎣⎦⋅()()()()()()128128x a x a x a x a x a x a x x ''=+--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-()()()()()()128128x x a x a x a x a x a x a --⋅⋅⋅---⋅⋅'=+⎡⎤-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅()1280f a a a '∴=⋅⋅⋅又18273645a a a a a a a a ===()()441218082f a a '∴===本题正确选项：C【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.10.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是()A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1[,2]2 D.1[,1]2【答案】A 【解析】【分析】根据f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），令x ＝n ，y ＝1，可得数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围．【详解】∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），∴令x ＝n ，y ＝1，得f （n ）•f （1）＝f （n +1），即()()11n n f n a a f n ++==f （1）12=，∴数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，∴a n ＝f （n ）＝（12）n ，∴S n 11122112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-1﹣（12）n ∈[12，1）．故选A ．【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．二、填空题（共5小题；共10分）11.已知{}n a 是等差数列，若171,13a a ==，则4a =_______.【答案】7【解析】【分析】根据等差数列的性质，直接计算结果.【详解】1742a a a +=，所以17472a a a +==.故答案为：712.已知函数2()42f x x x =-+，且0()2f x '=，那么0x 的值为_____．【答案】3【解析】【分析】求导得()24f x x '=-，进而由0()2f x '=可得结果.【详解】由2()42f x x x =-+得()24f x x '=-，则00()242f x x '=-=，解得03x =.故答案为：3.13.n S 是正项等比数列{}n a 的前n 和，318a =，326S =，则1a =______．公比q =______．【答案】①.2②.3【解析】【分析】讨论公比q 的取值，联立方程组即可解出答案.【详解】当1q =时，333S a ≠，不满足题意，故1q ≠；当1q ≠时，有()2131181261a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解之得：123a q =⎧⎨=⎩.故答案为：2；3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题.熟练掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式是解本题的基础.14.将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为_________.【答案】1【解析】【分析】由题可得该方盒的容积()32424+36V x x x x =-，03x <<，利用导数判断其单调性可求出最值.【详解】由题可得03x <<，可知该方盒的底面是一个边长为62x -，则该方盒的容积()()23262424+36V x x x x x x =-⋅=-，03x <<，()()()21248+361213V x x x x x '∴=-=--，则当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 单调递增，当()1,3x ∈时，()0V x '<，()V x 单调递减，∴当1x =时，()()max 116V x V ==，故当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为1.故答案为：1.15.小明用数列{a n }记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k ＝1，当第k 天没下过雨时，记a k ＝﹣1（1≤k ≤31）；他用数列{b n }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b k ＝1，当预报第k 天没有雨时，记b k ＝﹣1（1≤k ≤31）；记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a 2b 2+…+a 31b 31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为_____；若a 1b 1+a 2b 2+…+a k b k＝m ，则气象台预报准确的天数为_____（用m ，k 表示）.【答案】①.28②.2m k +【解析】【分析】根据题意得到a k b k ＝1表示第k 天预报正确，a k b k ＝﹣1表示第k 天预报错误，从而得到2m kx +=，根据25m =得到该月气象台预报准确的的总天数.【详解】依题意，若1k k a b =（131k ≤≤），则表示第k 天预报正确，若1k ka b =-（131k ≤≤），则表示第k 天预报错误，若1122k ka b a b a b m +++=⋯，假设其中有x 天预报正确，即等式的左边有x 个1，()k x -个1-，则()x k x m --=，解得2m kx +=，即气象台预报准确的天数为2m k+；于是若1122313125a b a b a b ++⋯=+，则气象台预报准确的天数为3125282+=.故答案为：28，2m k+.【点睛】本题考查数列的实际应用，考查化归与转化的能力，属于中档题.三、解答题16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =-，424S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值．【答案】（1）211n a n =-（2）25-【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组求解可得；（2）利用通项公式确定数列的负数项，可得5S 最小，然后由求和公式可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由条件得11254624a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得192a d =-⎧⎨=⎩，所以()921211n a n n =-+-=-．【小问2详解】由（1）知211n a n =-，令2110n a n =-≤，得 5.5n ≤，所以数列{}n a 的前5项和5S 是n S 的最小值，即()()51min 5105921025n S S a d ==+=⨯-+⨯=-．17.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，1901BAC AB BB ∠=︒==，，直线1B C 与平面ABC 成30︒的角．（1）求三棱锥11C AB C -的体积；（2）求二面角1B B C A --的余弦值．【答案】（1）6（2）33【解析】【分析】（1）根据侧棱与底面垂直可得130B CB ∠=，由此求得底面三角形各边长；根据线面垂直的判定可证得AB ⊥平面1ACC ，得到三棱锥11B ACC -的高为11A B ；利用等体积法1111C AB C B ACC V V --=，根据三棱锥体积公式求得结果；（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，根据二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】（1）三棱柱为直三棱柱1BB ∴⊥平面ABC ，1AA ⊥底面ABC 1B C ∴与底面ABC 所成角为1B CB ∠130B CB ∴∠=11AB BB ==BC ∴=AC ∴=1AA ⊥ 底面ABC ，AB ⊂平面ABC 1AB AA ∴⊥又90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，1,AA AC ⊂平面1ACC ，1AA AC A= AB ∴⊥平面1ACC ，又11//AB A B 11A B ∴⊥平面1ACC 1111111111113326C AB C B ACC ACC V V S A B --∆∴==⋅=⨯=（2）以A为原点，可建立如图所示空间直角坐标系则()0,1,0B ，()10,1,1B，)C，()0,0,0A )1,0BC ∴=-，()10,0,1BB = ，()10,1,1AB =，)AC =设平面1BB C 的法向量()1111,,n x y z =11111100BC n y BB n z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令11x =，则1y =，10z=()1n ∴=设平面1AB C 的法向量()2222,,n x y z =12222200AB n y z AC n ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令21y =，则21z =-，20x =()20,1,1n ∴=-121212cos ,3n n n n n n ⋅∴<>==二面角1B B C A --为锐角∴二面角1B B C A --的余弦值为3【点睛】本题考查立体几何中三棱锥体积的求解、空间向量法求解二面角的问题；求解三棱锥体积的常用方法为等体积法，将所求三棱锥转化为高易求的三棱锥，结合三棱锥体积公式求得结果.18.已知函数()3f x x ax b =++的图象是曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 相切于点()1,3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的递增区间；（3）求函数()()23F x f x x =--在区间[]0,2上的最大值和最小值．【答案】（1）()33f x x x =-+；（2）,3⎛-∞- ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）()F x 的最大值为2，最小值为2-【解析】【分析】（1）将切点坐标代入切线方程可得k ，根据切点处的导数等于切线斜率可得a ，再将切点坐标代入曲线方程即可求得曲线方程；（2）求导，解不等式()0f x '>即可；（3）求导，解方程()0F x '=，然后列表求极值，比较极值和端点函数值大小即可得解.【小问1详解】因为切点为()1,3，所以13k +=，得2k =．因为()23f x x a ='+，所以()132f a ='+=，得1a =-．则()3f x x x b =-+．由()13f =得3b =．所以()33f x x x =-+．【小问2详解】由()33f x x x =-+得()231f x x ='-．令()2310f x x -'=>，解得3x <-或3x >．所以函数()f x的递增区间为,3∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，,3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．【小问3详解】()()323,33F x x x F x x '=-=-，令()2330F x x -'==，得1211x x =-=，．列表：x 0()0,11()1,22()F x '-0+()F x 0递减极小值递增2因为()()()12,00,22F F F =-==，所以当[]0,2x ∈时，()F x 的最大值为2，最小值为2-．19.已知函数()ln f x x x a =--．（1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）证明：若()f x 有两个零点1x ，2x ，则121x x <．【答案】（1）(],1∞-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，分别解不等式()0f x '>，()0f x '<即可；（2）设12x x <，结合（1）可知1201x x <<<，构造函数()()1g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用导数判断单调性即可得()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合()f x 在()0,1上单调递减即可得证.【小问1详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,∞+，解()10x f x x -'=>得1x >，解()10x f x x-'=<得01x <<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()min 11f x f a ==-，又()0f x ≥，所以10a -≥，解得1a ≤，所以a 的取值范围为(],1∞-．【小问2详解】不妨设12x x <，则由（1）知1201x x <<<，2101x <<，构造函数()()112ln g x f x f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则()()22211210x g x x x x-=+-=≥'，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以当1x >时，()()10g x g >=，即当1x >时，()1f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，又()f x 在()0,1上单调递减，所以12101x x <<<，即121x x <．20.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b ω+=>>过点(2,0)A -，且2a b =.（1）求椭圆ω的方程；（2）设O 为原点，过点(1,0)C 的直线l 与椭圆ω交于P ，Q 两点，且直线l 与x 轴不重合，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于M ，N 两点.求证：||||OM ON ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得2a =，进而得出1b =，即可得出椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存在时，可得1||||=3OM ON ⋅，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线AP 的方程，可表示出M 坐标，同理表示出N 的坐标，进而利用韦达定理可求出||||OM ON ⋅.【详解】解：（1）因为椭圆ω过点(2,0)A -，所以2a =.因为2a b =，所以1b =.所以椭圆ω的方程为2214x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =.不妨设此时3(1,2P ，(1,)2Q -，所以直线AP的方程为2)y x =+，即M .直线AQ 的方程为(2)6y x =-+，即(0,)3N -.所以1||||=3OM ON ⋅.当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=.依题意，0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+.又直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令0x =，得点M 的纵坐标为1122M y y x =+，即112(0,)2y M x +.同理，得222(0,)2y N x +.所以||||=OM ON ⋅12124(2)(2)y y x x ++212124(1)(1)(2)(2)k x x x x --=++2121212124[()1]2()4k x x x x x x x x -++=+++2222222224484(1)41414416+44141k k k k k k k k k --+++=-+++22222224(44841)44+16164k k k k k k k --++=-++221236k k =13=.综上，||||OM ON ⋅为定值，定值为13.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.21.约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数()0m m ≠得到的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为m 的倍数，称m 为a 的约数．设正整数a 共有k 个正约数，即为1a ，2a ，L ，1k a -，()12k k a a a a <<⋅⋅⋅<．（1）当4k =时，若正整数a 的k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值；（2）当4k ≥时，若21a a -，32a a -，L ，1k k a a --构成等比数列，求正整数a 的所有可能值；（3）记12231k k A a a a a a a -=+++ ，求证：2A a <．【答案】（1）8a =（答案不唯一）；（2）12k a a -=，中2a 为质数；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义得11a =，然后取公比为2即可得8a =；（2）根据约数定义分析其规律，然后化简3212112k k k k a a a a a a a a -----=--可得232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，由2a 是整数a 的最小质因数可得232a a =，进而可得公比，然后可求a ；（3）利用()11i k ia a a i k +-=≤≤变形得22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+，然后利用裂项相消法结合放缩放即可得证.【小问1详解】由题意可知，11a =，当4k =时,正整数a 的4个正约数构成等比数列，取公比为2得：1，2，4，8为8的所有正约数，即8a =．【小问2详解】根据约数定义可知，数列{}n a 中，首尾对称的两项之积等于a ，即()11i k i a a a i k +-=≤≤，所以11a =，k a a =，12k a a a -=，23k a a a -=，因为4k ≥，依题意可知3212112k k k k a a a a a a a a -----=--，所以3222123aa a a a a a a a a a --=--，化简可得()()2232231a a a a -=-，所以232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，因为3a *∈N ，所以3221a a a a *-∈-N ，因此可知3a 是完全平方数．由于2a 是整数a 的最小质因数，3a 是a 的因子，且32a a >，所以232a a =，所以，数列21a a -，32a a -，L ，1k k a a --的公比为2322222121a a a a a a a a --==--，所以2132a a a a --，，L ，1k k a a --为21a -，222a a -，L ，1222k k a a ---，所以()124k a a k -=≥，其中2a 为质数．【小问3详解】由题意知1i k i a a a +-=（1i k ≤≤），所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=+++ ，因为21121212111a a a a a a a a -≤=-，L ，1111111k k k k k k k ka a a a a a a a -----≤=-，所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+212112111k k k k a a a a a a a ---⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭2212231111111111k k k a a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫≤-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为11a =，k a a =，所以1111ka a -<，所以22111k A a a a a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，即2A a <．【点睛】关键点睛：本题关键在于根据约数定义分析其性质，抓住11,k a a k ==，()11i k i a a a i k +-=≤≤，以及2a 为质数即可求解.。

2010—2011学年度第二学期期中(高二数学理科)试卷及答案

2010—2011学年度第一学期期中考试高二数学（理科） 2011.4试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.把答案填在题后括号内.）１.向量)6,3(=对应的复数是（）A .i 63+B .i 36+C .i 33+D .i 66+ ２.满足条件||||z i =+34的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（）A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆３.菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等，以上三段论推理中错误的是（）Ａ．大前提Ｂ．小前提Ｃ．推理形式D ．大小前提及推理形式４.若质点M 按规律t t s 23-=运动，则3=t 秒时的瞬时速度为（）A .7B .11C .25D .29５.对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足0)()2(≥'-x f x ，则必有（）A )2(2)3()1(f f f <+B )2(2)3()1(f f f ≥+C )2(2)3()1(f f f ≤+D )2(2)3()1(f f f >+6．曲线6sin 2+=x y 在4π=x 处的切线的倾斜角是（）A .4πB .4π-C .43πD .43π-7．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）Ａ. 72 Ｂ．36 Ｃ．12 D ．08．函数216x xy +=的极大值为（） A .2B .3C .4D .59．曲线x y 4=和x x y 232-=所围成图形的面积（）A ．2B ．4C ．6D ．810．定义在R 上的函数)(x f 满足：)2()2(x f x f -=+,若方程0)(=x f 有且只有三个不等实根，且0是其中之一，则方程的另外两个根必是（） A .2-，2 B . 1-，4 C .1，1- D . 2，4 11．已知整数按如下规律排成一列：)1,1(、)2,1(、)1,2(、)3,1(、)2,2(、)1,3(、)4,1(、)3,2(、)2,3(、)1,4(、……则第60个数对是（）Ａ．)1,10( Ｂ．)10,2( Ｃ．)7,5( Ｄ．)5,7(12．设函数xx x f )21(log )(21-=，xx x f 21(log )(212-=的零点分别为21,x x ，则（）Ａ．1021<<x x Ｂ．121=x x Ｃ．2121<<x x Ｄ．221≥x x第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．）13．设C z ∈，且i z i 34)21(+=+（i 为虚数单位），则_______=z ，=||z . 14. 用反证法证明命题“如果b a >，那么33b a >” 时，应假设 . 15.函数x x y ln -=的单调减区间为 .16.曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 . 17.若三角形内切圆半径是r ，三边长为,,,c b a 则有三角形面积r c b a S )(21++=.根据类比思想，若四面体内切球半径是R ，四面体四个面的面积是,,,,4321S S S S 则四面体的体积=V .18．已知函数cx bx x x f ++=23)(的图象如图所示，则=+2221x x .三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 19．（本题9分）已知复数)1(216)2(2i imm i z ----+=. （Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是:①实数； ②虚数；③纯虚数；（Ⅱ）在复平面内，若复数z 所对应的点在第二象限，求m 的取值范围. 解：20．（本题9分）（Ⅰ）已知0>a 0,0>>c b ,求证:abc b a c c a b c b a 6)()()(222222≥+++++. 证明：（Ⅱ）已知3≥a ，求证：321---<--a a a a .证明：21. （本题9分）已知数列}{n a 满足nn a a a a -==+21,11.（Ⅰ）依次计算5432,,,a a a a ；（Ⅱ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明. 解：22．（本题9分）将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比（强度系数为k ，0 k ）．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应是多少？解：dx横梁断面图已知函数,)(2ax e x x f =其中e a ,0≥为自然对数的底数.(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)求函数)(x f 在区间]0,1[-上的最大值. 解：已知三次函数),,()(23R c b a cx bx ax x f ∈++=.（Ⅰ）若函数)(x f 过点)2,1(-且在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ，求函数)(x f的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若]2,3[,21-∈∀x x ，都有t x f x f ≤-|)()(|21，求实数t 的最小值；（Ⅲ）当11≤≤-x 时，1|)(|≤'x f ，试求a 的最大值，并求a 取得最大值时)(x f 的表达式. 解：2010—2011学年度第二学期期中考试参考答案高二数学（理科） 2011.4一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共60分.）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）13.i +2，5 14.33b a ≤ 15.)1,0( 16.221e17.)(314221S S S S R V +++= 18．38三、解答题（本大题共6小题，共60分．）19．（本题9分）已知复数)1(216)2(2i imm i z ----+=. （Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是:①实数； ②虚数；③纯虚数；（Ⅱ）在复平面内，若复数z 所对应的点在第二象限，求m 的取值范围. 解：（Ⅰ）)1(2)1(3)2(2i i m i z --+-+=i m m m m )23()232(22+-+--=. …………………………………1分①当0232=+-m m 时，即1=m 或2=m 时，复数z 为实数. …………2分②当0232≠+-m m 时，即1≠m 且2≠m 时，复数z 为虚数. …………3分③当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或，即21-=m 时，复数z 为纯虚数. …………………………………………5分（Ⅱ）若复数z 所对应的点在第二象限，则⎪⎩⎪⎨⎧>+-<--023023222m m m m . …………7分解得⎪⎩⎪⎨⎧><<<-21221m m m 或，所以121<<-m .所以， m 的取值范围)1,21(-. …9分20．（本题9分）（Ⅰ）已知0>a 0,0>>c b ,求证:abc b a c c a b c b a 6)()()(222222≥+++++ 证明：因为0,222>≥+a bc c b ， …………………………………………1分所以abc c b a 2)(22≥+. …………………………………………2分同理abc c a b 2)(22≥+.abc b a c 2)(22≥+. …………………………………………………3分所以abc b a c c a b c b a 6)()()(222222≥+++++. ……………………4分（Ⅱ）已知3≥a ，求证：321---<--a a a a证明：要证321---<--a a a a ，只需证明213-+-<-+a a a a ， ……………………5分两边平方得212323232-⋅-+-<-⋅+-a a a a a a ，……6分只需证明213-⋅-<-⋅a a a a ， …………………………7分两边平方得23322+-<-a a a a ，…………………………………8分即20<，所以原不等式成立 ……………………………………9分 21. （本题9分）已知数列}{n a 满足nn a a a a -==+21,11.（Ⅰ）依次计算5432,,,a a a a ；（Ⅱ）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明解：（Ⅰ）因为n n a a -=+211，所以a a -=212， a a a 2323--=，aa a 34234--=， ………………3分（Ⅱ）猜想：an n a n n a n )1()2()1(-----=. ……………………………5分证明：①当1=n 时， a a =1显然成立.， ………………………………6分②假设k n =时，a k k a k k a k )1()2()1(-----=，……………………………7分当1+=k n 时，ak k a k k a a k k )1()2()1(21211------=-=+ ])2()1[(])1([2)1(a k k a k k a k k --------= kak a k k -+--=)1()1(.…………8分故当1+=k n 时，结论成立.由①、②可知，对N n ∈，都有a n n a n n a n )1()2()1(-----=成立. . …………19分 22．（本题9分）将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比（强度系数为k ，0>k ）．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应是多少？解：设断面高为h ，则222x d h -=．横梁的强度函数2)(xh k x f ⋅=， d x 横梁断面图所以)()(22x d x k x f -⋅= ，d x <<0． ……………………………3分所以)3()(22x d k x f -⋅='．令0)(='x f 解得d x 33±=（舍负）． ……5分当d x 330<<时，0)(>'x f ；当d x d <<33时，0)(<'x f ． ……6分因此，函数)(x f 在定义域),0(d 内只有一个极大值点d x 33=．………………7分所以)(x f 在d x 33=处取最大值，就是横梁强度的最大值． ……………8分即当断面的宽为d 33时，横梁的强度最大． ……………………9分 23．（本题10分）已知函数,)(2ax e x x f =其中e a ,0≥为自然对数的底数．(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)求函数)(x f 在区间]0,1[-上的最大值．解：(Ⅰ).)2()(ax e ax x x f +=' ……………………………………………………1分 ①当0=a 时，令)(x f '=0, 得0=x ．若0>x 则0)(>'x f ,从而)(x f 在),0(+∞上单调递增；若0<x 则0)(<'x f ,从而)(x f 在)0,(-∞上单调递减． ………………3分 ②当0>a 时,令0)(='x f ,得0)2(=+ax x ,故0=x 或a x 2-=． ………4分若a x 2-<,则0)(>'x f ，从而)(x f 在)2,(a --∞上单调递增； ………5分若,02<<-x a 则0)(<'x f ，.从而)(x f 在)0,2(a -)上单调递减；……6分若0>x ，则0)(>'x f ，从而)(x f ),0(+∞上单调递增． ……………7分 (Ⅱ)①当0=a 时, )(x f 在区间]0,1[-上的最大值是1)1(=-f . …………8分 ②当20<<a 时, )(x f 在区间]0,1[-上的最大值是a e f -=-)1(.………9分 ③当2≥a 时, )(x f 在区间]0,1[-上的最大值是224)2(e a a f =-．………10分 24．（本题14分）已知三次函数),,()(23R c b a cx bx ax x f ∈++=．（Ⅰ）若函数)(x f 过点)2,1(-且在点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ，求函数)(x f的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若]2,3[,21-∈∀x x ，都有t x f x f ≤-|)()(|21，求实数t 的最小值；（Ⅲ）当11≤≤-x 时，1|)(|≤'x f ，试求a 的最大值，并求a 取得最大值时)(x f 的表达式.解：（Ⅰ）∵函数)(x f 过点)2,1(-，∴2)1(=-+-=-c b a f ， ①……………1分又c bx ax x f ++='23)(2，函数)(x f 点))1(,1(f 处的切线方程为02=+y ， ∴⎩⎨⎧='-=0)1(2)1(f f ，即⎩⎨⎧=++-=++0232c b a c b a ， ②……………3分由①和②解得3,0,1-===c b a ，故 x x x f 3)(3-=． ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）33)(2-='x x f ，令0)(='x f ，解得1±=x ， ……………5分 ∵2)2(,2)1(,2)1(,18)3(=-==--=-f f f f ， …………………………6分 ∴在区间[]3,2-上max ()2f x =，min ()18f x =-， …………………………7分 ∴对]2,3[,21-∈∀x x ，都有20|)()(|21≤-x f x f ，∴20≥t ，从而t 的最小值为20． ………………………………………8分（Ⅲ）∵c bx ax x f ++='23)(2，则 ⎪⎩⎪⎨⎧++='+-=-'='c b a f c b a f c f 23)1(23)1()0(，可得)0(2)1()1(6f f f a '-'+-'=．……………10分 ∵当11≤≤-x 时，1|)(|≤'x f ，∴1|)1(|≤-'f ，1|)0(|≤'f ，1|)1(|≤'f ． ∴4|)0(|2|)1(||)1(||)0(2)1()1(|||6≤'+'+-'≤'-'+-'=f f f f f f a ． ∴32≤a ，故a 的最大值为32． …………………………………………………12分当32=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧=++='=+-=-'=='1|22||)1(|1|22||)1(|1|||)0(|c b f c b f c f ，解得1,0-==c b ．∴a 取得最大值时x x x f -=332)(． …………………………………………14分。

江苏省南京师范大学附属实验学校2011-2012学年高二下学期期中考试数学(理)试题(无答案)

南京师范大学附属实验学校2011-2012学年高二下学期期中考试数学（理）试题一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．某工厂生产的产品用传送带将其送入包装车间之前，质检员每隔10分钟从传送带某一位置取一件产品检验，则这种抽样方法是_________2．某校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本，适合的抽样方法为_________．3.如图是两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图，从图中可以看出，的水平更高。

4.已知算法如图：若输入值x=-2,则输出值y=_________5.如图所示的伪代码，输出结果中，c=_____________6．掷一颗骰子，事件A 表示“小于4的奇数点出现”，则事件A 发生的概率为_________．7. 在500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_____________8.某种彩色电视机的一等品率为90%，二等品率为8%，次品率为2%，某人买了一台该种彩色电视机，这台电视机是正品（一等品或二等品）的概率为____________9..现有高中一年级学生4名，高中二年级学生5名，高中三年级学生3名，从每个年级的学生中各选1人参加夏令营，有________种不同的选法.10.已知A,B,C,D 四点，其中任意三点不在一条直线上，从中取出两点作直线，共能作出 ______条直线13562567862102362245848乙甲11. 5个人站成两排，前排2人，后排3人，共有_______种排法.12.某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有_______种.13. 如图是一次数学考试成绩的样本频率分布直方图，样本容量n=300．若成绩在60分以上（含60分）为及格，则样本中本次考试及格人数是________________.14．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等吗，劣于齐王的中等马，田忌的下等吗劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜.若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率________二、解答题（本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本题14分）如图，在边长为cm 25的正方形中挖去边长为cm 23的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？ 16．（本题14分） 3名女生，2名男生排成一排（1）两名男生相邻的不同排法共有多少种？（2）任意两名女生不相邻的概率是多少？ 17．（本题15分）甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽取10个，它们的尺寸分别为（单位：mm ）：用哪台机床加工这种零件较合适．18.（本题满分15分）在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按照5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图）。

湖北省部分重点中学2010-2011学年度下学期期中联考高二理科数学试题

湖北省部分重点中学2010-2011学年度下学期期中联考高二数学试卷（理科）参考答案与评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1—5 BCDAA 6—10 DABCD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 242e e ----14. 32 15. (,1)(0,1)-∞-三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）解：根据题意，力F 所做的功为 1221(1)W x dx x dx =++⎰⎰ …………… 4分3322111(10)[22(11)]322=-+∙+-∙+176J =……………11分答：力F 所作的功为176J ． ……………12分17．（本小题满分12分）解：由12z z =得2cos 43sin m m θλθ=⎧⎨-=+⎩ …………… 4分消去m 得24cos 3sin λθθ=--24(1sin )3sin θθ=---233(sin )24θ=-+…………… 9分∵ 1sin 1θ-≤≤，∴ 17λ≤≤ ……………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）把直线的参数方程的对应坐标代入曲线方程并化简得26210t t +-=…2分设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则1213t t +=-，1216t t =-………4分∴ 线段A B的长为12AB t =-3== ……6分（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得Q 对应的参数为122t t +16=-， ……8分∴ 点(1,3)P -到线段A B 中点Q 的距离为163P Q == …………12分19．（本小题满分12分）解：设切点()()20,0020P x x x -+>由22y x =-+得'2y x =- ∴02l k x =-∴l 的方程为：()()200022y x x x x --+=-- …………3分令0y =得20022x x x +=，令0x =得202y x =+三角形的面积为()220021222x S xx +=∙+ ，00x > …………6分令()())2200020322'0043xx S x x x-+==⇒=> …………8分当00'03x S <<<，；当0'03x S >>，∴03x =时，22m in (2122393S +⎛⎫=∙+=⎪⎪⎭， …………10分此时3l k =-，切点433⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故l的方程为380y +-= …………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） ()(2)2(22)x x x f x e x a e e x a ---'=--+=--- ……… 3分当22a x +<时，()0,f x '>当22a x +>时，()0,f x '< ……… 5分∴ ()f x 在2)2,(a +∞-上是增函数，在2(2,)a ++∞上是减函数．……… 6分（Ⅱ）方程()1f x =即(2)x x a e -=，∴2x a x e =- ……… 7分记1()2,[,2]2x g x x e x =-∈，则1()2,[,2]2x g x e x '=-∈当1ln 22x <<时，()0g x '>；当ln 22x <<时，()0g x '< ……… 9分而1()12g =->2(2)4g e =-，(ln 2)2ln 22g =-， ……… 12分∴ 12ln 22a -≤<- ……… 13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）∵()22ln ah x x x x =++，其定义域为()0 +∞，， ………1分 ∴()2212a h x xx'=-+，()0 x ∈+∞，………2分 ∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=∵0a >，∴a = ………4分经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a =……… 5分（Ⅱ）对任意的[]11x e ∈，，都存在[]21x e ∈，使得()1f x <()2g x成立等价于m ax ()f x <m ax ()g x ……… 6分当x ∈［1，e ］时，()110g x x '=+>，∴ 函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数，∴()max ()1g x g e e ==+ ……… 7分()()()2221x a x a a f x xx+-'=-=，[]1,x e ∈，0a >①当01a <≤时，x ∈［1，e ］，()()()20x a x a f x x+-'=≥，∴函数()2af x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2max af x f e e e==+2ae e+<1e +即m ax()f x <m ax ()g x 恒成立，满足题意； ……… 9分②当1<a <e 时，若1x a ≤<，则()()()20x a x a f x x+-'=<，若a x e <≤，则()()()20x a x a f x x+-'=>∴函数()2af x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数，而()211f a =+， ()2af e e e=+)a ()1f ＜()f e 即1a <<()()2maxafx f e e e==+，2ae e+<1e +即m ax()f x <m ax ()g x 恒成立；)b ()()1f f e ≥a e ≤≤时，()()2max 11f x f a ==+此时，()()max max f x g x ≥，不合题意； ……… 12分 ③当a e ≥时，x ∈［1，e ］，()()()20x a x a f x x+-'=≤，∴函数()2af x x x=+在[]1e ，上是减函数， ∴()()2max 11f x f a ==+此时，()()max max f x g x >，不合题意； ……… 13分综上知，a 的取值范围为(0,． ……… 14分。

2010-2011学年度第二学期期中考试高二数学(理)试卷

C. 2 D. 3
2 2 4. 已知复数 z (m 4) (m m 6)i 是纯虚数，则实数 m=（
B. 2
5. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时，应假设（ A. 三内角都不大于 60° B. 三内角都大于 60° C. 三内角至多有一个大于 60° D. 三内角至多有两个大于 60 6. 设函数 y f ( x ) 的导函数 y f ' ( x ) 的图象如图所示，则 f(x)的解析式可能是（ A. y a
）
3 2 10. 函数 f (x) ax bx cx d 的图象如图所示，且 f(x)在 x x 0 与 x=2 处取得极值，则 f (1) f (1) 的值一
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2010-2011 学年度第二学期期中考试高二数学（理）试卷
（试卷满分：150 分 A卷一、选择题（每题 5 分，共 60 分） 1. 计算： A. 0 考试时间：120 分钟）
本卷满分：100 分

2
2
| x 3 1 |dx源自＝（）B. －43
19 C. 2
D. 16 ）
2. 已知点 P 是曲线 y x 2x 1 上的一点，过点 P 的切线 l 平行于直线 y 2x 3 ，则切线 l 的方程是（
） [1,) (1,) (,1] (,1) A. B. C. D. 9. f (x )是定义在(0, ) 上的可导函数，且满足 xf ' ( x ) f ( x ) 0 ，对任意正数 a，b，若 a<b，则必有（ A. af (b) bf (a ) C. af (a ) bf (b) 定（） B. bf (a ) af (b) D. bf (b) af (a )

2010学年度第二学期高二数学期中考试试卷及答案

2010学年度第二学期高二数学期中考试试卷一、填空题（每题3分，共36分）：1．化简2)1(42i i ++（其中i 是虚数单位）的结果是i -2 2．已知),(,2R b a i b ai ∈++是某实系数一元二次方程的两个根，则=+b a 13．设O 是正方体1111D C B A ABCD -底面ABCD 的中心，则直线O B 1和D D 1的位置关系是相交4．以直线032=+x 为准线的抛物线的标准方程是x y 62=5．双曲线222=-y x 的焦点坐标是)0,2(±6．已知椭圆121022=-+-m y m x 的长轴在y 轴上，若焦距为4，则=m 8 7．若直线a 和平面α相交，则直线a 和平面α所成角的范围是]2,0(π 8．设复数z 满足12=+-i z ，则z 的最小值为15-9．设P 是双曲线11222=-y x 上一点，21,F F 是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则21F PF ∆的面积是 1210．设抛物线x y 82=内一点P （2,3），Q 是抛物线上一点，则QF PQ -的最大值是 311．已知复数R b a bi a z ∈+=,(且)0≠b ，若bz z 42-是实数，则有序实数对),(b a 可以是 )1,2( （符合b a 2=且0≠b 即可） 12．对于非零实数b a ,，以下四个命题都成立：①01≠+aa ； ②2222)(b ab a b a ++=+；③若b a =，则b a ±=；④若ab a =2，则b a =那么，对于非零复数b a ,，仍然成立的命题的序号是 ②④二、选择题（每题4分，共16分）：13．若复数i x x z )1()1(2-+-=为纯虚数，则实数x 的值为（ B ）（A ）1± （B ）1- （C ）1 （D ）014．设n m l ,,均为直线，其中n m ,在平面α内，则“α⊥l ”是“m l ⊥且n l ⊥”的（ A ）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分条件又非必要条件15．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的半径是（ B ）（A ）a （B ）b （C ）ab （D ）22b a +16．如图，过正方体1AC 的顶点A 作平面BD A 1的垂线。

贵州省卓越联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含答案)

贵州省卓越联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．若曲线在处的切线方程为，则（）A ．B ．C ．1D ．22．高二某班级4名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有（）A ．54B ．12C ．8D ．813．高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一-排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．理论上，小球落入2号容器的概率是多少（）A．B ．C ．D ．4．在的展开式中含项的系数是（）A ．B ．C ．240D ．605．由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（）A ．120种B ．144种C ．48种D ．24种6．用半径为1的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，当容器的容积最大时，（）()y f x =1x =23y x =-()1f '=3-1-13141215()6112x x x ⎛⎫ ⎝+⎪⎭-3x 192-160-αα=ABCD7．乒乓球，被称为中国的“国球”。

河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（时间：120分钟，分值150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列函数的求导正确的是（）A. B.C. D.2. 设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为（）A. 0B.C. 2D. 33. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望E(Y)等于（）012A. B. C. D.4. 函数的大致图像是（）A. B.C. D.5. 为了培养同学们的团队合作意识，在集体活动中收获成功、收获友情、收获自信、磨砺心志，2023年4月17日，石家庄二中实验学校成功举办了首届“踔厉奋发新征程，勇毅前行赢未来”25公里远足活动. 某班()22x x'-=-()2e2ex x'=()cos cos sinx x x x x'=-()()122xx x-'=⋅()e xf x a b=+()πcos2xg x c=+()02P，+ab cπX Y21Y X=-YXP1613a43835373()(1)ln1f x x x=+-现有5名志愿者分配到3个不同的小组里协助班主任摄影，记录同学们的青春光影，要求每个人只能去一个小组，每个小组至少有一名志愿者，则不同的分配方案的总数为（）A 120B. 150C. 240D. 3006. 的展开式中的系数为（）A B. 17C. D. 137. 设，，，则（）A. B. C. D. 8. 若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 展开式中最大的系数为10. 已知函数，下列说法正确的有（）A. 若，，则函数F (x )有最小值B. 若，，则过原点可以作2条直线与曲线相切C. 若，且对任意，恒成立，则D. 若对任意，任意，恒成立，则的最小值是11 已知函数，若且，则有（）...()632x x ⎛- ⎝6x 17-13-35ln 23a =253e 5b =1c =c b a >>a b c >>a c b >>c a b>>()()23ln 12ln x a x ax x x--=a 224e 104e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，224e 114e 4e ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，()224e 10114e 4e ⎛⎫+⋃ ⎪-⎝⎭，，()224e 1014e 4e ⎧⎫+⋃⎨⎬-⎩⎭，()62601262a a x a x a x =+++⋯+3360a =-()()2202461351a a a a a a a +++-++=(6612622a a a ++⋯+=--2a ()()()2e 114ax F x m x m =++++0m =1a =-1m =-0a ≠()y F x =0a =m ∈R ()0F x >11x -<<R m ∈0x >()0F x ≥a 2e()()y f x x =∈R ()0f x >()()0f x xf x '+>A. 可能是奇函数或偶函数B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 为弘扬我国古代“六艺文化”，某夏令营主办方计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”，“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有______种排法.13. 某校辩论赛小组共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为，则抽到2名男生的概率为_____________.14. 若，使得成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围是_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，（1）求的值；（2）求其展开式中所有的有理项．16. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．（1）如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；（2）若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．17. 已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意恒成立，求的最大整数值.18. 张强同学进行三次定点投篮测试，已知第一次投篮命中的概率为，第二次投篮命中的概率为，前的()f x ()()11f f -<ππ42x <<()()cos22sin e cos x f x f x >()()01f >35[]0,2x ∃∈()1eln e e 1ln xa a x x a --+≥-+e 2.71828= a nx ⎛- ⎝a b 32a b +=n 5343222()ln f x x x x =+()f x ()()1k x f x -<1x >k 1312两次投篮是否命中相互之间没有影响.第三次投篮受到前两次结果的影响，如果前两次投篮至少命中一次，则第三次投篮命中的概率为，如果前两次投篮均未命中，则第三次投篮命中的概率为.（1）求张强同学三次投篮至少命中一次的概率；（2）记张强同学三次投篮命中的次数为随机变量，求的概率分布.19. 设定义在R 上的函数．（1）若存在，使得成立，求实数a 的取值范围；（2）定义：如果实数s ，t ，r 满足，那么称s 比t 更接近r ．对于（1）中的a 及，问：和哪个更接近？并说明理由．石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】B 【6题答案】2315ξξ()()e xf x ax a =-∈R [)01,x ∈+∞()0e f x a <-s r t r -≤-1x ≥ex1e x a -+ln x【答案】C 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】##【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）4 （2）【16题答案】【答案】（1）（2）【17题答案】【答案】（1）极小值，无极大值为1441100.121e,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦42135,54,81T x T x T x-===377122e --（2）3【18题答案】【答案】（1）；（2）答案略.【19题答案】【答案】（1）（2）比更接近，理由略1115e a >ex1e x a -+ln x。

湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含解析)

雅礼教育集团2024年上期期中考试高二数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知{1,2,3,4,5,6},{2,4,5}U A ==，{1,3,5}B =，则()U A B = ð（）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{2,4,6}D ．{2,4}2．复数z 满足(2i)3i z +=-，则||z 等于（）A ．1BC ．2D ．43．“01k <<”是“方程2212x y k-=表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数24(1)()log (1)x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，则((1))f f =（）A ．0B ．1C ．2D ．45．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且满足244,22a S ==，则5S =（）A ．65B ．55C ．45D ．356．有5名志愿者去定点帮扶3位困难老人，若要求每名志愿者都要帮扶且只帮扶一位老人，每位老人至多安排2名志愿者帮扶，则不同的安排方法共有（）A ．180种B ．150种C ．90种D ．60种7．关于函数3()31f x x x =-+，下列说法正确的是（）①()f x 有两个极值点②()f x 的图象关于原点对称③()f x 有三个零点④()f x 在(1,1)-上单调递减A ．①④B ．②④C ．①③④D ．①②③8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为C 上一点，满足12PF PF ⊥，以C 的短轴为直径作圆O ，截直线1PF，则C 的离心率为（）ABC ．23D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．设m ，n 为不重合的两条直线，,αβ为不重合的两个平面，下列命题正确的是（）A ．若m α∥且n α∥，则m n ∥B ．若m α⊥且n α⊥，则m n ∥C ．若m α∥且m β∥，则αβ∥D ．若m α⊥且m β⊥，则αβ∥10．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论正确的有（）A ．函数()y f x =的最小正周期为πB ．将函数()y f x =的图象右移3π个单位后，得到一个奇函数C ．56x π=是函数()y f x =的一条对称轴D ．5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =的一个对称中心11．定义域为R 的函数()f x ，对任意,,()()2()()x y f x y f x y f x f y ∈++-=R ，且()f x 不恒为0，则下列说法正确的是（）A ．(0)0f =B ．()f x 为偶函数C ．若(1)0f =，则()f x 关于(1,0)中心对称D ．若(1)0f =，则02412()4048i f i ==∑三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知平面向量(2,1),(4,)a b x =-=- ，若b 与()a b +共线，则实数x =______．13．()2312(1)x x ++的展开式中3x 的系数为______．（用数字作答）14．若函数()2ln f x x ax x =-+在区间()1,e 上单调递增，则a 的取值范围是______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数()2cos 2f x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）a ，b ，c 分别为ABC △内角A ，B ，C 的对边，已知()1f A =，1b =，ABC △ABC △的周长．16．（15分）如图，已知多面体FABCDE 的底面ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥底面ABCD ，DE AF ∥，且22FA DE ==．（1）证明：CD ⊥平面ADEF ；（2）求四棱锥C ADEF -的体积；（3）求平面FCE 与平面FAB 所成角的余弦值．17．（15分）2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占45，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示。

辽宁省大连市第八中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023－2024学年度大连市第八中学下学期高二年级期中考试数学试题一．选择题（共10小题）1．函数22ln y x x =-的单调增区间是（）A ．()0,1B ．[)1,+∞C ．(],1-∞-和()0,1D ．()1,0-和[)1,+∞2．用数学归纳法证明“22n n >对于0n n ≥的正整数n 都成立”时，第一步证明中的初始值0n 应取（）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知等差数列{}n a 的公差为2，若125,,a a a 成等比数列，则1a 的值为（）A ．1B ．3C ．5D ．74．设随机变量X 服从正态分布()22,N σ且(4)0.9P X <=，则(02)P X <<=（）A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.95．已知甲同学从学校的2个科技类社团，4个艺术类社团，3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（）A ．35B ．613C ．12D ．346．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望()E ξ=（）A ．37B ．47C ．1021D ．11217．已知等差数列{}n a 的前n 项和为581037,2,26n S a a a a a +=-+=-，则满足10n n S S +<的值为（）A ．14B ．15C ．16D ．178．已知π34ln3,3π,4lnπa b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c b a<<B ．b c a<<C ．b a c<<D ．a b c<<二．多选题（共3小题）9．丹麦数学家琴生（Jensen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()(),f x f x ''在(),a b 上的导函数为()f x ''，若在(),a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”，以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的是（）A ．()sin cos f x x x =+B ．()ln 2f x x x =-C ．()321f x x x =-+-D ．()xf x xe-=-10．已知由样本数据()(),1,2,3,,10i i x y i = 组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ3y x =-+，且4x =．剔除一个偏离直线较大的异常点()5,1--后，得到新的回归直线经过点()6,4-．则下列说法正确的是（）A ．相关变量,x y 具有正相关关系B ．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C ．剔除该异常点后的回归直线方程经过点()5,1-D ．剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变小11．已知数列{}n a 满足：()2*12n n n a a a n Nλ+=++∈，其中R λ∈，下列说法正确的有（）A ．当152,4a λ==时，1n a n ≥+B ．当1,4λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，数列{}n a 是递增数列C ．当2λ=-时，若数列{}n a 是递增数列，则()()1,31,a ∈-∞-+∞D ．当13,0a λ==时，1211112223n a a a +++<+++ 三．填空题（共3小题）12．函数()()28xf x x e =-的极小值点为______．13．已知数列{}n a 满足*111,,12n n n a a a n N a +==∈+，则101a =______．14．某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．若甲、乙两人每局获胜的概率分别为12,p p ，且满足1243p p +=，每局之间相互独立．记甲、乙在n 轮训练中训练过关的轮数为X ，若()16E X =，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为______．四．解答题（共5小题）15．乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男4056女总计24100（1）补全22⨯列联表，并判断我们能否有99%的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？（2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为13，女乒乓球爱好者获胜的概率为14，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．()2P kχ≥0.050.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.828参考公式：()()()()22() ,n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++．16．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()1n n b n a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*n N ∈使得154n n T a λ≥+成立，求λ的取值范围．17．设函数()()23xx axf x a R e+=∈（I ）若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点(1,f （1））处的切线方程；（II ）若()f x 在[)3,+∞上为减函数，求a 的取值范围．18．某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如图频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数；（2）群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包．小明是该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率．（3）在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏．规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，每个红包发出后，所有人都参与抢红包．第一个红包由群主发．根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢到“手气最佳”的概率为14；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为12．设前n 轮中群主发红包的次数为X ，第n 轮由群主发红包的概率为n P ．求n P 及X 的期望()E X ．19．若数列{}n x 满足：存在等差数列{}n c ，使得集合{}*n n x c n N +∈∣元素的个数为不大于()*k k N ∈，则称数列{}n x 具有()Q k 性质．（1）已知数列{}n a 满足()*11ππ2,2cossin 22n n n n a a a n N +==+++∈．求证：数列πcos2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列，且数列{}n a 有Q （3）性质；（2）若数列{}n a 有()1Q k 性质，数列{}n b 有()2Q k 性质，证明：数列{}n n a b +有()12Q k k 性质；（3）记n T 为数列{}n f 的前n 项和，若数列{}n T 具有()Q k 性质，是否存在*m N ∈，使得数列{}n f 具有()Q m 性质？说明理由．2023－2024学年度大连市第八中学下学期高二年级期中考试数学试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】B2．【解答】解：用数学归纳法证明“22n n >对于0n n ≥的正整数n 都成立”时，当1n =时，1221>；当2n =时，2222=；当3n =时，3223<；当4n =时，4224=；当5n =时，5225>．故选：D ．3．【解答】解：等差数列{}n a 的公差d 为1252,,,a a a 成等比数列，2215a a a ∴=，则()()211128a a a +=+，可得11a =．故选：A ．4．【解答】解：对于①，随机变量X 服从二项分布333611156,,(3)122216B P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①正确；对于②，随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(4)0.9P X <=，则(4)0.1P X ≥=，1(02)(24)(4)0.42P X P X P X <<=<<=-≥=，②正确；对于③，依题意，1344444C 3(),()44A PB P AB ⨯==，则()242()()4279P AB P A B P B ===⨯∣，③错误；对于④，(23)2()3,(23)4()E X E X D X D X +=++=，④正确，所以说法正确的有①②④故选：C ．5．【解答】解：根据题意，设事件A 为“所报的两个社团中仅有一个是艺术类”，事件B 为“所报两个社团中有一个是体育类”，则1145295(A)9C C P C ⋅==，114329123(),369C C P AB C ===则()3()()5P AB P B A P A ==∣．故选：A ．6．【解答】解：由题意，ξ可能取值为0，1，2，252710(0)21C P C ξ===，11522710(1)21C C P C ξ===，22271(2)21C P C ξ===，101014()0122121217E ξ=⨯+⨯+⨯=．故选：B ．7．【解答】解：因为等差数列{}n a 中，5810372,26a a a a a +=-+=-，所以1112112182826a d a da d +=--⎧⎨+=-⎩，解得129,4a d =-=，所以2(1)294231(312)2n n n S n n n n n -=-+⨯=-=-，故15n ≤时，0,16n S n <时，0n S >，所以1415160,0,0S S S <<>，则满足10n n S S +<时，15n =．故选：B ．8．【解答】解：π34ln 34ln 34π3π,4ln π12ln π123πa c π==>>==>>，即,a b c b >>，对于a ，c 的大小：构造函数ln ()x f x x =，则21ln ()x f x x '-=，当(0,)x e ∈时，()0,()f x f x '>在(0,)e 上单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0,()f x f x '<在(,)e +∞上单调递减，3()(3)e f f ππ>>∴< ，即3π3πln πln 3,3ln πln 3ln πln 3,4ln π4ln 33ππ<∴<∴<∴<，即c a <，综上，b c a <<．故选：B ．二．多选题（共3小题）9．【解答】解：对于A ，由()sin cos f x x x =+，得()cos sin f x x x '=-，则()sin cos (sin cos )f x x x x x ''=--=-+，π0,,sin 0,cos 0,()(sin cos )0,2x x x f x x x ''⎛⎫∈∴>>=-+<∴ ⎪⎝⎭此函数是凸函数；对于B ，由()ln 2f x x x =-，得1()2f x x '=-，则21()f x x''=-，210,,()0,2x f x x π''⎛⎫∈∴=-<∴ ⎪⎝⎭此函数是凸函数；对于C ，由3()21f x x x =-+-，得2()32f x x '=-+，则()6f x x ''=-，0,,()60,2x f x x π''⎛⎫∈∴=-<∴ ⎪⎝⎭此函数是凸函数；对于D ，由()xf x xe-=-，得()xx f x exe '--=-+，则()(2)x x x x f x e e xe x e ''----=+-=-，π0,,()(2)0,2x x f x x e ''-⎛⎫∈∴=->∴ ⎪⎝⎭此函数不是凸函数．故选：ABC ．10．【解答】解：由回归直线方程的斜率为－1，知变量x ，y 具有负相关关系，A 错误；剔除一个偏离直线较大的异常点(5,1)--后，拟合程度变大，故样本相关系数的绝对值变大，B 正确；回归直线方程为ˆ3yx =-+，且4x =，则1y =-，剔除一个偏离直线较大的异常点(5,1)--后，得到新的410511015,199x y ⨯+-⨯+====-，故剔除该异常点后的回归直线方程经过点(5,1)-，C 正确；新的回归直线经㳡点(6,4)-，列方程组ˆˆ15ˆˆ46b a b a ⎧-=⨯+⎪⎨-=⨯+⎪⎩，解得ˆˆ14,3a b ==-，故剔除该异常点后的回归直线方程为ˆ314yx =-+，斜率由－1变成－3，所以剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变大，D 错误．故选：BC ．11．【解答】解：对于选项A ，当152,4a λ==时，2215111042n n n n n a a a a a +⎛⎫-=++=++≥> ⎪⎝⎭，又因为12a =，所以11n n a a +>+，所以1211211n n n a a a a n n -->+>+>⋯>+-=+，故A 正确；对于选项B ，因为2211124n n nn n a a a a a λλ+⎛⎫-=++=++- ⎪⎝⎭，且1,4λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，所以10n n a a +-≥，当1 £¬1142a λ==-时，211,,02n n a a a +=-⋯-=，即1n n a a +=，所以数列{}n a 是常数列，故B 不正确；对于选项C ，因为数列{}n a 是递增数列，所以当*2,n n N ≥∈时，10n n a a -->，即()()()()221111222220 £¬n n n n n n n n a a a a a a a a ----+--+-=-++>所以120n n a a -++>，所以210a a ->，且2120a a ++>，即()2111220a a a +-->，且()21112220a a a +-++>，解得11a >或13a <-，故C 正确；对于选项D ，当0λ=时，()221211n n n n a a a a +=+=+-，结合13a =可知：2221324111,133,a a a a =-=>=->⋯，结合()()1112n n n n n n a a a a a a +---=-++可知数列{}n a 是递增数列，所以13n a a ≥=，所以()()12232n n n n a a a a ++=+≥+，即1232n n a a ++≥+，所以()1*1212122232,222n n n n n a a a n n N a a a ----+++⨯⨯⋯⨯≥≥∈+++，即()()1*1523232,3n n n a a n n N -+≥+=⨯≥∈，所以()*1312,253n nn n N a ≤⨯≥∈+，当1n =时，111312553a =≤⨯+，所以()*131253n n n N a ≤⨯∈+，于是可得：21211111131113313312225333510313n n n a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++⋯+≤++⋯+=<< ⎪+++⎝⎭-，故D 正确．故选：ACD ．三．填空题（共3小题）12．【解答】解：因为()(2)(4)x f x x x e '=-+，令()0f x '=，得2x =或4x =-，则()f x 在(,4),(2,)-∞-+∞上单调递增，在(4,2)-上单调递減，所以极小值点为2．13．【解答】11914．解：不妨设每一轮训练通过的概率为p ，则()()()2212122212212221211212121132p p p C p p p C p p p p p p p p p =+⋅-⋅+⋅⋅-=-++2222121212124832333p p p p p p p p =-+⨯=-+，此时212124029p p p p +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1223p p ==时，等号成立，易知函数2833y x x =-+开口向下，对称轴49x =，所以2221212848416033393927p p p p ⎛⎫<-+≤-⨯+⨯=⎪⎝⎭，又每局之间相互独立，记甲、乙在n 轮训练中训练过关的轮数为X ，所以~(,)X B n p ，所以2212128()3163E X np n p p p p ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭，解得2212121616278163327n p p p p =≥=-+，则甲、乙两人训练的轮数至少为27轮．四．解答题（共5小题）15．【解答】解：（1）依题意可得2×2列联表如下：乒乓球爱好者非乒乓球爱好者总计男401656女202444总计604010022100(40241620)16006.926 6.635,60404456231χ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯我们有99%的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；（2）由（1）得抽取的3人中40324020⨯=+人为男生，20314020⨯=+人为女生，则X 的可能取值为0，1，2，3，所以1222311232214(0),(1)33433343349P X P X C ==⨯⨯===⨯⨯⨯+⨯⨯=，2121312171111(2),(3),343343633436P X C P X ⎛⎫==⨯+⨯⨯⨯===⨯⨯= ⎪⎝⎭所以X 的分布列为：X 0123P1349736136所以147111()012339363612E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．16．【解答】解：（1）23n n S a +=，当1n =时，11a =，当2n ≥时，1123,23n n n n S a S a --+=+=，两式相减得：13(2)n n a a n -=≥，11(2)3n n a n a -=≥为非零定值，11a =，即{}n a 是以1为首项，公比13q =的等比数列，113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）11(1)(1)3n n n b n a n -⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以0231111112345(1)33333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，234111111112345(1),3333333n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减：23411111111111312(1)21(1)133********n nn n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++++⋯+-+=++-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，整理得1515314423n n T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭．153151.4243nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由154n n T a λ≥+得，故1524n λ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，即存在*n N ∈使15()24n f n λ⎛⎫≤-+= ⎪⎝⎭成立，由于随着n 增大，15()24f x n ⎛⎫=-+⎪⎝⎭的值在减小，故当1n =时，74λ≤-，故求λ的取值范围是7,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．17．【解答】解：()()222(6)33(6)()()x xxxx a e x ax e x a x aI f x e e '+-+-+-+==，()f x 在0x =处取得极值，(0)0f '∴=，解得0a =．当0a =时22336,(),()x xx x xf x f x e e '-+==，33(1),(1)f f e e '∴==，∴曲线()y f x =在点(1,f （1））处的切线方程为33(1)y x e e-=-，化为：30x ey -=；（II ）解法一：由（I ）可得：23(6)()xx a x a f x e'-+-+=，令2()3(6)g x x a x a =-+-+，由()0g x =，解得1266,66a a a a x x --+==．当1x x <时，()0g x <，即()0f x '<，此时函数()f x 为減函数；当12x x x <<时，()0g x >，即()0f x '>，此时函数()f x 为增函数；当2x x >时，()0g x <，即()0f x '<，此时函数()f x 为减函数．由()f x 在[3,)+∞上为减函数，可知：2636a x -+=≤，解得92a ≥-．因此a 的取值范围为：9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．解法二：由()f x 在[3,)+∞上为堿函数，()0f x '∴≤，可得2361x xa x -+≥-，在[3,)+∞上恒成立．令2223(1)136(),()01(1)x x x u x u x x x '⎡⎤--+-+⎣⎦==<--，()u x ∴在[3,)+∞上单调递减，9(3)2a u ∴≥=-．因此a 的取值范围为：9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．18．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得，红包金额的平均值为：5152535450.06650.05450.04050.03250.00859.0522222x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5；（2）由题可知，每个红包抢到10元以上金额的概率为(0.0400.0320.008)50.4++⨯=，且3次红包相互独立，由独立重复试验概率公式，至少两次抢到10元以上金额的概率为223333440.40.60.40.352125C C ⨯⨯+⨯==；（3）由题意，()1111111,14242n n n n P P P P P +==+-=-+，由1212545n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又12355P -=，所以25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以35为首项，14-为公比的等比数列，所以1231554n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，所以1231554n n P -⎛⎫=+⨯- ⎪⎝⎭，设k ξ为第k 轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，故k ξ服从两点分布：()()1,01,1,2,3k k k k P P P P k ξξ====-= ，所以()()101k k k k E P P P ξ=⨯+⨯-=，由已知123n X ξξξξ=++++ ，则()()()()()123123123()n n nE X E E E E E P P P P ξξξξξξξξ=++++=++++=++++ 1123212141.155525414nnn n ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+⨯=+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+19．【解答】解：（1）证明：设πcos 2n n n b a =+，因()*1ππ2cossin 22n n n n a a n N +=+++∈，所以11(1)πππ(1)πcos 2cos sin cos 2222n n n n n n n b a a ++++=+=++++πππ2cos sin sin 222n n n n a =+++-πcos 222n n n a b =++=+，又因11πcos 22b a =+=，所以πcos 2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为首项，以2为公差的等差数列，则πcos22n n a n +=，所以π2cos 2n n a n =-，取等差数列{}n q ，2n q n =-，则πcos2n n n q a +=-，因πcos 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是周期为4的数列，当()*4n k n N=∈时，πcos 12n =，当()*41n k k N =-∈时，πcos 02n =，当()*42n k k N=-∈时，πcos 12n =-，当43()n k k N =-∈时，πcos 02n =，所以{}*{1,1,0}n n a q n N+∈=-∣，即{}*nn aq n N+∈∣元素的个数为3，所以数列{}n a 具有(3)Q 性质．（2）证明：不妨记集合{}{}1*12,,,n n n k X a c n N x x x =+∈= ∣，其中11(1)ncc nd =+-，记集合{}{}2*12,,,n n nk Y b p n N y yy =+∈= ∣，其中12(1)n p p n d =+-，则n n i n j na b x c y p +=-+-()()111212(1)1,2,;1,2,,i j c p n d d x y i k j k ⎡⎤=-++-+++=⋯⋯=⋯⎣⎦，取等差数列{}()1112 £¬ £¬(1)n n M M c p n d d =++-+则n n n i j a b M x y ++=+，所以{}{}*121,2,,;1,2,,n n n i i a b M n N x y i k j k ++∈⊆+=⋯=⋯∣∣，因此由分步乘法计数原理n n n a b M ++的不同取值最多只有不超过12k k 个，故存在正整数12m k k =，使得数列{}n n a b +具有()12Q k k 性质．（3）不妨记集合{}*12{),,k n n k X T c n N x x x =+∈= ∣，其中11(1)n c c n d =+-，当2n ≥时，()()()1111n n n n n n n n n f T T T c T c c c ----=-=+-+--()()111,n n n n T c T c d --=+-+-取1n k d =，则{}n k 是等差数列，当2n ≥时，()(){}11,n n n n n n k f k T c T c x yx y X --+=+-+∈-∈∣，当1n =时，1111f d T d +=+，所以{}{}{}*11,n n kf k n NT d x yx y X +∈⊆+-∈ ∣∣，因为n n f k +的不同取值最多只有不超过21k +个，故存在正整数21m k =+使得数列{}n f 具有()Q m 性质，综上所述，若数列{}n f 的前n 项和{}n T 具有()Q k 性质，则存在正整数21m k =+，使得{}n f 也具有()Q m 性质．。

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2010----2011高二第二次质量调研考试（数学试卷）
考试时间为120分钟满分为150分
命题人：高二数学组审核人：高二数学组
第Ⅰ卷（共80分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.
复数
1
i
的虚部是（）
.1.1..
A B C i D i
--
2. 4×5×6×……×(n－1)×n = ( )
(A)4
n
C(B)n!－3！(C)3-n n A(D)3-n n C
3.某商场经营的一种袋装的大米的质量服从正态分布N10
（，)
1.02（单位kg）.任选一袋这种大米，其质
量在9.8~10.2kg的概率为( )
(A)0.9544 (B)0.9566 (C)0.9455 (D)0.9046
4.某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病的是否有关，随机调查了一些中年人情况，具体数据如下表：
根据表中数据得到455
320
750
25
)
300
5
450
20
(
7752
⨯
⨯
⨯
⨯
-
⨯
⨯
=
k
≈15.968
因为K2≥10.828,则断定秃发与心脏病有关系,
(A)0.1 (B)0.05 (D)0.001
5、已知0
a>，不等式
1
2
x
x
+≥
，2
3
x
x
+≥
，3
27
4
x
x
+≥
，可推广为
1
+
≥
+n
x
a
x
n，则a的值为
A．2n B．n n C．2n D．23
2n-
6.若i+
=2
a，则16
16
16
15
15
16
3
3
16
2
2
16
1
16
1a
C
a
C
a
C
a
C
a
C+
-
+
-
+
- 的值为( )
(A)82
-(B)82(C)()16
3i-
(D)()16
3i+
7.在一个盒子中有大小一样的20
个球，其中10个红球，10个白球，则在第一个人摸出1个红球的条件下，
1
8.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y x
=和曲线
y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点
（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），
则所投的点落在叶形图内部的概率是( )
（A）
1
2
（B）
1
3
（C）
1
4
（D）
1
6
9、若
ln3
3
a=
，
ln5
5
b=
，
ln6
6
c=
，则（）
A．a b c
<<B．c b a
<<C．c a b
<<D．b a c
<<
8．设函数2
()()
f x
g x x
=+，曲线()
y g x
=在点(1,(1))
g处的切线方程为21
y x
=+，则曲线()
y f x
=在点
(1,(1))
f处切线的斜率为（）
A．4B．
1
4
-C．2D．
1
2
-
11．如图，用5种不同的颜色给图中的3个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻两格的颜色不同，
则不同涂色方法的种数为（）
（A）125 （B）80 （C）60 （D）13
12. 下列图象中，有一个是函数322
1
()(1)1(,0)
3
f x x ax a x a R a
=++-+∈≠的导函数()
f x
'的图象，则(1)
f-=
（）
A、
1
3
B、
1
3
-C、
3
5
D、
1
3
-或5
3
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上
13.设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下: 则q=
14．某班要从4名男生和2名女生中选派4人参加某项公益活动，如果要求至少有1名女生，那么不同的
选法种数为．（请用数字作答）
15. 6)
1
(
x
x-的展开式中的常数项是.（用数字作答）.
16.将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里放且只放1个
小球．则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)5名男生、2名女生站成一排照像：
⑴两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？
⑵两名女生要相邻，有多少种不同的站法？
⑶两名女生不相邻，有多少种不同的站法？
⑷女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？
18. (本小题满分12分)
在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛。

（Ⅰ）通过抽签将他们安排到1~4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；（Ⅱ）记1号、2号射箭运动员射箭的环数为ξ（ξ所有取值为0，1，2，3．．．，10）分别为1P 、2P ．根
0.05
②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．
19. （本题满分12分）
已知函数()f x =2
ax x b +在x ＝1处取得极值2． (1)求函数()f x 的解析式；
(2)实数m 满足什么条件时，函数()f x 在区间(,21)m m +上单调递增？
20. (本小题满分12分)
某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为
250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（Ⅱ）求η的分布列及期望E η．
21. (本小题满分10分)
在二项式n
x )22
1(+的展开式中，若第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项
式系数最大的项.
22. （本题满分12分）
已知数列{}n a 前n 项和为n S 且11=a ，)(*2N n a n S n n ∈=
（1）试求出1S ，2S ，3S ，4S ，并猜想n S 的表达式（2）证明你的猜想，并求n a 的表达式
2010----2011高二第二次质量调研考试（数学试卷）
1.考试时间为120分钟，满分为150分。

2.把答案写在指定的区域，考试结束后只上交答题卡。

题
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
12
选项
13 14___
15 16
三、解答题
17（本小题满分10分）
18（本小题满分12分）
19（本小题满分12分）
20（本小题满分12分）
21（本小题满分12分）
22（本小题满分12分）班级
姓名
考号。