相似的性质(2)
4.7 相似三角形的性质(一) (2)
A'
B
D E
C B ' D 'E '
C'
1 1 AD (1)若 BAD BAC , B ' A ' D ' B ' A ' C '，则 等于 A' D ' 3 3 多少？ AE 1 1 (2)若 BE BC , B ' E ' B ' C ' ，则 A ' E ' 等于多少？ 3 3
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对 应中线的比都等于相似比.
3.如果把角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等 分线、…n等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n 等分线，那么它们也具有特殊关系吗？ 如图，已知△ABC∽△ ABC, △ABC与△ ABC 的相似 比为 k .
A
（3）你能得到哪些结论？ A
B
A'
D E
C B ' D 'E '
C'
相似三角形对应角的n等分线的比,对应边的n等 分线的比都等于相似比.
1.已知△ABC∽△ A′B′C′，BD和B′D′是它们 AC 3 的对应中线， ，B′D′=4cm,求BD的长. AC 2 解：∵ △ABC∽△ A′B′C′ AC BD ∴ AC BD
1.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比 例建造了模型房梁A′B′C′ CD和C ′D ′分别 是它们的立柱.
相似三角形的性质2
例1:如图，
（1）矩形DEFC是Rt△ABC的内接矩形， 已知DE＝18，BC＝48，AD＝6，求EF的长.
（2）若四边形DEFC是正方形，
BC=48，AC=16，求正方形边长。
A
E
D
B
F
C
例2： 如图，矩形DEFG是△ABC的内接矩 形，AH是△ABC的高， AH与GF交于点K，已 知GF＝18，BC＝48，EF＝10，求AK的长.
S1
s1 ( DE )2 1 s1 s2 FG 4
S2
s1
( DE )2 1
S3
s1 s2 s3 BC 9
例6 如图， △ABC 中，DE ∥ BC， S△ADE=2, S△ABC =9, AD=x, S△BDE= y, 试将ｙ表示为 ｘ的函数.
AD AD
求证： AD BE
AD BE
例4： 在△ABC中，DE∥BC，DE和AB相交于点D，和
AC相交于E （1）DE＝2，BC＝5，S四边形DBCE＝20, 求 S△ADE
（2）BD＝4，S△ADE∶S四边形DECB＝2∶3，求AD.源自52 x20
x
2
2
x 20 5
x BC=48 GF=18 EF=10
解 设：AK=x，∵四边形DEFG是矩形 ∴ GF∥BC
∴ △AGF∽△ABC，又∵AK⊥GF，AH⊥BC ∴ AK GF
AH BC
∵四边形DEFG是矩形 ，AH⊥BC
∴ KH=EF=10，AH=10+x，又∵GF=18，BC=48
x 18 x 10 48
相似三角形的性质2
B
D
kx· ky=
1 2
1 2
k2xy
A’
S△A'B'C'= C’
x· y
B’
D'
S△ABC =k2 S△A'B'C'
你能得出什么结 论呢？
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 反之，相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根
我来试一试：
• 1.相似三角形对应边的比为3∶5 ,那么相 似比为___________,对应角的角平分线的 比为 ______, 周长的比为 _____, 面积的比 为_____。
例5:如图在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD：BC=2:5 对角线AC、BD相交于点O，则 S△AOD： S△BOC： S△AOB等于（ D ） A、2:5:2 B、4:25:2 C、2:25:4 D、4:25:10
B A O D
C
练习：如图，线段AB、CD相交于点O， AD∥OP∥CB，AO:OB=1:2, S△AOD=1,则S△AOP等于 A、2 C、 2 √ 3 B、4 D、4 3
D O A P
B
C
例6：如图，正方形ABCD的边长为15cm，点F是 BC边上的一点，（与点B、C不重合）。EF⊥AF 交CD于点E，令BF=x，CE=y，试求y与x之间的函 数关系式，并求出自变量x的取值范围。
解：∵四边形ABCD是正方形 ∴∠C=∠B=90°，AB=BC=15cm 3 ∴∠2+∠3=90°， ∵ EF⊥AF， ∴∠AEF=90° E 2 ∴∠2+∠1=90° 1 C B F ∴∠1=∠3 ∴△CEF∽△BFA ∴ CE CF ,即 y 15 x ∵点F在BC边上，且异于B、C BF BA x 15 ∴x的取值范围是0<x<15
相似三角形的性质(2)
4.7 相似三角形的性质（2）学案（命题人：余长伟 吴久灵） 教学思路（纠错栏）☆ 巩固基础 ☆ 1.已知∆ABC ∽∆DEF ，若AB=2，DE=7，则C ∆ABC :C ∆DEF =______，S ∆ABC :S ∆DEF =______. 2.已知∆ABC ∽∆DEF ，若AB=2，DE=7，S ∆DEF =6，则S ∆ABC =______. 3.已知四边形ABCD 与四边形A’B ’C ’D ’相似，且相似比为3：5，若四边形ABCD 的面积等于2，则四边形A ’B ’C ’D ’的面积等于_______；若四边形A ’B ’C ’D ’的周长等于28，则四边形ABCD 的周长等于_______. 4.已知两个相似三角形的一对对应边分别长为32cm 和12cm ． （1）若它们的周长差为40cm ，求这两个三角形的周长. （2）若它们的面积差为500cm 2，求这两个三角形的面积. ☆ 拔高提升 ☆ 1.如图，DE ∥BC ，AB=30m ，BD=18m ，△ABC 的周长为80m ，面积为100m 2，求△ADE 的周长和面积. 2.如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ：BC=3：5，求 （1）S △AOD ：S △BOC 的值；（2）S △AOB ：S △AOD 的值． B A E CD 班级：_____________ 姓名：_____________ 小组：_____________教学思路☆达标检测☆（纠错栏）1.如图，在∆ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，且DE//BC.（1）若AD：DB=1：1，则S∆ADE:S四边形DBCE等于多少？（2）若S∆ADE=S四边形DBCE，则DE：BC，AD:DB各等于多少？2.如图，把∆ABC沿AB边平移到∆A’B’C’的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是∆ABC面积的一半，若AB=4，则此三角形移动的距离AA’是多少？3.有一个矩形花地，它的长是3m，宽是2.5m，现在想把它扩大些，但是要保持形状不变，如果它的长扩大0.6m，那么矩形的面积增加多少？。
相似三角形的性质(2)
相似三角形的性质（2）一填空题1.若两个三角形的相似比为1∶4，则这两个三角形对应角平分线的比为____；周长比为____；面积比为____2.两个相似三角形对应中线之比为2∶3，它们面积之差等于9cm2，则这两个三角形的面积分别是_______3.△ABC∽△A′B′C′，周长比为2∶2，BC边上的中线长是52，则B′C′边上的中线长是____4.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE是斜边AB的中线，若CD=4，AD=2，则CE=____，DE=_______5.CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，BC=15，BD=9，则AB=____，AD=____，CD=____6.一个三角形各边的比为2∶5∶4，和它相似的三角形的周长为132 cm，则这个三角形的各边长分别为_______7.四边形ABCD，AD∥BC，AC、BD相交于点O，AD／BC=0.5，则△BOC周长是△AOD周长的___倍，S△BOC=___S△AOD8.如图，EF∥BC，若△AEF与△ABC的面积比是1∶2，则AE／AB=____，△AEF与△ABC的周长比是_______9.如图，边长为10cm的等边三角形ABC，内接正方形DEFG，则正方形DEFG的边长等于_______10.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E， BE∶ED=1∶3，AB=5cm，则AC=_______11.如图，△ABC中，DE∥BC，高AM交DE于N，若S△ADE∶S四边形BDEC=4∶5，AM=12 cm，则AN=_______cm.12.如图，在△ABC中，EF∥BC，四边形EBCF的面积比△AEF的面积大91cm2，EF=6 cm，BC=10 cm，则梯形BCFE 的面积是______二选择题1.△ABC三边长为3:4:5，与它相似的△DEF最短边为6，则△DEF的周长是（）A.12 B.18 C.24 D.362.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC∶BC=1∶2，则AD∶DB=（）A.1∶2 B.1∶2 C.1∶5 D.1∶43.△ABC中，DE∥BC，AD∶DB=2∶3，则S△ADE：S四边形DECB为（）A.2∶3 B.4∶15 C.4∶21 D.4∶174.地图上1cm2面积表示实际面积400m2，该地图比例尺是（）A.1∶400 B.1∶4000 C.1∶200 D.1∶20005.△ABC的三条中位线长分别为3cm，4cm，5cm，则△ABC面积为（）A.144cm2 B.48cm2 C.24cm2 D.12cm26.已知△ABC∽△A′B′C′，AB∶A′B′=2∶3，且S△ABC+S△A′B′C′=91 cm2，则△ABC的面积为（）A.28 cm2B.273／5 cm2C. 182／5 cm2D.63 cm27.如图，DE∥FG∥BC，AD=DF=FB，则S1∶S2∶S3等于（）A.1∶1∶1 B.1∶3∶5 C.1∶2∶3 D.1∶4∶98.如图，△ABC中，DE∥BC，且S△ADE∶S△ABC=1∶2，则AD∶BD是（）A.1∶2B.1∶2C. 2∶(2－1)D.(2+2)∶19.如图，平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE∶EB=1∶2，DE与AC交于点F，S△AEF=6 cm2，则S△CDF是（）A.12 cm2B.24 cm2C.54 cm2D.15 cm210.如图，EF是梯形ABCD的中位线，且S△ABD∶S△BCD=2∶3，则S四边形AEFD∶S四边形BCFE等于（）A.2∶3B.4∶9C.9∶11D.5∶911.如图，DE∥FG∥BC，DE，FG把△ABC的面积三等分，DE=2 cm ，则BC的长为（）A.18cmB.6cmC.23cmD.32cm12.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，BM⊥CE于M，则S△BMC是S正方形ABCD的（）A.1／3B. 1／4C. 1／5D. 1／6三解答题1.如图，△ABC中，DE∥BC，AD=10，AD∶AB=1∶2，AB=5BC／4，求DE的长2.如图，四边形DEFG是正方形，DE=2cm，AM⊥BM，垂足为M，AM=5cm，求△ABC的面积3.如图， AD是Rt△ABC斜边BC上的高，若BD=16cm，CD=9cm，求AB，AC和AD的长4.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若S四边形DBCE=2S△ADE，求DE∶BC5.如图，已知，在△ABC的AB，AC边上各取一点D，E，使3AD=BD，3AE=EC，设BE，CD的交点为P，求证：S△PBC= 16S△PDE6.如图，ABCD中四边形，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB＝1:9，求S△DOC:S△BOC7.如图，□ABCD中，E为AB的中点，△BEF的面积为1cm2，求□ABCD的面积8.如图，正方形ABCD中，AB＝1，G为DC中点，E为BC上任一点，（E点与点B、点C不重合）设BE＝x，过E 作GA平行线交AB于F，设AFEC面积为y，写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。
初中数学人教版九年级下册 27.2.2相似三角形的性质 课件(共30张PPT)
第二十七章 相似
素养目标
1.掌握相似三角形中相应线段的比等于相似比；
2.掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等 于相似比的平方； 3.感受几何命题的合理性，培养学生发现问题、解 决问题的能力.
复习巩固 相似三角形的判定方法有哪些？
①定义：对应边 成比例 ，对应角 相等 的两个三角形相似； ② 平行于三角形一边的直线与另外两边相交所构成的三角形 与原三角形相似； ③三边 成比例 的两个三角形相似； ④两边 成比例 且夹角 相等 的两个三角形相似； ⑤两角分别 相等 的两个三角形相似； ⑥一组直角边和斜边 成比例 的两个直角三角形相似.
形的面积比是( D )
A.1 : 3
B.1: 4
C.1 : 6
D.1: 9
解析：两个相似三角形的相似比是1: 3， 则这两个相似三角形的面积比是1: 9 ，故选：D.
练习 4 若△ABC ∽△DEF 且面积比为 49 : 25 ，则△ABC 与
△DEF 的周长之比为( C )
A. 49 : 25
B. 7 : 25
C. 7 : 5
D. 5 : 7
解析：∵△ABC∽△DEF 且面积比为 49 : 25 ， ∴△ABC 和△DEF 的相似比为 7 : 5 ， ∴△ABC 和△DEF 的周长比为 7 : 5 . 故选：C.
练习 5 已知两个相似三角形的周长比为 2 : 3 ，若较大三角形的面
积等于18 cm2 ，则较小三角形的面积等于(A )
BC · AD k· k k2 .
BD
C
S△A'B'C' 1 B 'C'· A' D ' B 'C ' A' D '
相似形的概念与性质
相似形的概念与性质相似形是几何学中的一个重要概念，它在形状、大小及比例等方面与另一图形相似。
相似形的研究对于几何学的发展起到了重要的推动作用。
本文将探讨相似形的概念与性质，以及其应用。
一、相似形的定义相似形是指两个或更多个图形，在形状上相似，但大小可能不同。
形状相似意味着它们的内部角度相等，并且相应边的比值相等。
以两个三角形为例，如果它们的内部角度相等，并且对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
比如，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作∆ABC∼∆DEF。
二、相似形的性质1. 内部角度相等相似形的最重要性质之一是内部角度相等。
两个相似的图形的对应角度始终相等。
例如，在相似三角形∆ABC与∆DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 边长比例相等另一个重要的性质是边长比例相等。
对于两个相似的图形，它们对应边的比值始终相等。
在∆ABC与∆DEF中，我们有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 面积比例相等相似形的面积比例也是相等的。
如果两个图形相似，那么它们的面积比例等于相应边的比例的平方。
在∆ABC与∆DEF中，我们有S(∆ABC)/S(∆D EF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2。
三、相似形的应用1. 测量不规则图形的面积相似形的性质可以应用于测量不规则图形的面积。
通过将不规则图形划分为许多相似的简单形状，然后计算各个相似形的面积，最后将它们相加，我们可以得到整个不规则图形的近似面积。
2. 设计和建筑相似形的概念在设计和建筑领域也得到广泛应用。
设计师和建筑师可以利用相似形的性质来保持设计的对称性和美感。
使用相似形理论可以确保建筑物的各个部分在形状和比例上是一致的。
3. 地图制作在地图制作中，相似形也发挥了重要的作用。
地图上的各种地物和地区通过相似形来表示，使得地图更加准确和易读。
四、总结相似形作为几何学的一个重要概念，具有多样的性质与应用。
相似三角形的性质 (1)(2)
2:1 （2）与（1）的相似比＝________________， 4:1 （2）与（1）的面积比＝________________; 3:1 （3）与（1）的相似比＝________________， （3）与（1）的面积比＝________________. 9:1 从上面可以看出当相似比＝k时，面积比＝______ k2
面积比为4:1
←→
BACK
课堂练习(2)
3、把 一个三角形变成和它相似的三角形，则如 果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为原 来的_____________倍； 10000 如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为 原来的_______________倍。 10
4、已知△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。 （1）若△ABC的周长为24cm，则△A′B′C′的周长为 18 cm； （2）若△ABC的面积为32 cm2 ，则△A′B′C′的面积 18 2。 为 cm
边：对应边成比例
角：对应角相等
问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值= BACK
相似三角形对应边上的高
有什么关系呢？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。 则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得 △A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 B′ △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD 与A′ D′有什么关系？ B (2)如右图两个相似三角形相似比 为k，则对应边上的高有什么关系 呢？__________ 说说你判断的理由是什么？ △A D C ∽△A′D′C′ ___________ D′
A′
C′
说说你判断的理由是什么？ ___________ △A E C ∽△A′E′C′
23.3相似三角形的性质(2)
23.3相似三角形的性质（2）班级 小组 姓名 得分 基础知识 1.已知△ABC 与△A ′B ′C ′相似，且对应边之比为5:8,则△ABC 与△A ′B ′C ′的周长之比为 ，面积之比为 . 2.若△ABC ∽△DEF ，AB = 3，BC = 4，AC = 5，DE = 7.5则△DEF 的周长为 . 3.若△ABC ∽△A ′B ′C ′且相似比为1:4，且面积之差为60，则△ABC 与 △A ′B ′C ′的面积之和为 . 4.若两个相似三角形的面积之比为5:9，则这两个三角形的对应 中线之比是 ，周长之比是 . 5.如图，在△ABC 中，AD:DB = 1:2,DE ∥BC,若△ABC 的面积为9，则四 边形DBCE 的面积为 ；ABC ADE S S △△:= ；DBCE ADE S S 四边形△:= . 6.一个三角形的周长为m ，三边中点连接所组成的三角形的周长为 ，这两个三角形对应高之比为 . 7.把一个大三角形缩小成与它相似的小三角形，如果缩小到原来的91，则边长相应地缩小到原来的 . 8.已知△ABC 的三条边长分别为3㎝，4㎝，5㎝，△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的形状是 ，又知△A ′B ′C ′的最大边长为20㎝，那么△A ′B ′C ′ 的面积为 ，周长为 ，另两边长分别是 . 9.如图所示，D 、E 是AB 的三等分点，且DF ∥EG ∥BC ，则图中三部分图形的 面积321::S S S 等于（ ）. A 、1:2:3 B 、1:4:9 C 、1:3:5 D 、1:3:6 10.若△ABC ∽△DEF,它们的周长分别为4㎝和6㎝，那么下列一定成立的是（ ） A 、2AB = 3DE B 、2∠A = 3∠D C 、3AC = 2EF D 、3（AB+BC+AC ）= 2（DE+EF+DF ）11.如图，在△ABC 和△DEF 中，点G 、H 分别是BC 、EF 的中点.已知AB = 2DE ，AC = 2DF ，∠BAC = ∠EDF.（1）求△ABC 与△DEF 的面积比；（2）中线AG 和DH 的比是多少？拓展提高 12.如图，在平行四边形ABCD 中，AB:BC = 3:2，∠ABC 的平分线交AC 于E ，交AD 延长线于F ，已知△BEC 的周长为36，求△AEF 的周长.13.已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE:EB = 1:2.（1）求DC:AE 的值.（2）△AEF 与△CDF 是否相似，并说明理由.（3）若24㎝△ AEF S ，求CDF S △、AFD S △和ABCD S 平行四边形.14.如图所示，矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 12,AF:FD = 1:3，BF = 5，CE ⊥BF 于点E ，交AD 于G ，求△BCE 的周长.综合提高 15.已知，在△ABC 中，BF 和CE 是△ABC 的高，ABC S △=362㎝，AEF S △=42㎝，求AC AE 和ACEC .。
相似三角形的性质和判定2
相似三角形的性质和判定（二）导学案 姓名__________学习目标：1． 通过画图，知道有两个角对应相等的两个三角形相似。
2． 理解相似三角形的判定定理2，并能运用此定理判断相似三角形。
3． 经历两角相等的三角形相似的探索过程，进一步培养逻辑推理能力。
学习重点：相似三角形的判定定理2.学习难点：相似三角形的判定定理2的应用。
学习过程： 一、复习引入相似三角形的判定定理1，类似于全等三角形判定的哪个方法？其条件是怎样改变的？从全等三角形的判定ASA ，AAS 中，你能类似地联想，猜想相似的判定方法吗？ 二、自主探究1.探究相似三角形的判定定理2画△ABC ，使∠A=30°∠B=45°.再画△ABC ，使∠A=30°∠B=45°.观察这两个三角形相同吗？你能证明∠C=∠C ′吗？量出这两个三角形的三边，计算对应边是否对应成比例？由此你可以得出结论：_________________________________________________ 2、合作交流①等边三角形都相似吗？ ②等腰三角形都相似吗？③有一个角对应相等的两个直角三角形相似吗？ ④有一个锐角相等的两个直角三角形相似吗？3、新知应用：自主阅读教材P75例1和例2后，交流后说说解题思路并在黑板上板演证明过程。
4、继续探究相似三角形的性质如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作BC ，B ′C ′上的高AD ，A ′D ′，求证：''A D kAD.证明：ABCD E ABC DA’B’C归纳性质：（1）由本题可得出相似三角形对应高的比______________________________.(2) 由本题还可以得出相似三角形的面积的比_______________________. 三、应用提高如图，△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为D 。