湖南省湘西州吉首一中2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析
吉州区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
吉州区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则()()210x f x f x -<--的解集为（ ）A ．()11-，B ．()()11-∞-+∞，，C ．()1-∞-，D ．()1+∞，2． 已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1yx x a y e -++= 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.1[,]e eB.2(,]e eC.2(,)e +∞D.21(,)e e e+【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力． 3． 设a ＞0，b ＞0，若是5a 与5b的等比中项，则+的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．1D ．4． 全称命题：∀x ∈R ，x 2＞0的否定是（ ）A ．∀x ∈R ，x 2≤0B ．∃x ∈R ，x 2＞0C ．∃x ∈R ，x 2＜0D ．∃x ∈R ，x 2≤05． P 是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为（ ）A ．aB ．bC ．cD ．a+b ﹣c6． 利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k ＞5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为（ ）P （K 2＞k ） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.7081.3232.072 2.7063.8415.0246.6357.879 10.828A ．25%B ．75%C ．2.5%D ．97.5%7． 方程1x -= ）A ．一个圆B ． 两个半圆C ．两个圆D ．半圆 8． sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）A ．0B ．C ．D ．19． 执行如图所示的程序框图，若a=1，b=2，则输出的结果是（ ）A ．9B ．11C ．13D ．1510．已知抛物线28y x =与双曲线2221x y a-=的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5MF =，则该双曲线的渐近线方程为A 、530x y ±=B 、350x y ±=C 、450x y ±=D 、540x y ±=11．设命题p ：函数y=sin （2x+）的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于y 轴对称；命题q ：函数y=|2x ﹣1|在[﹣1，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（ ） A ．p 为假 B ．￢q 为真 C ．p ∨q 为真 D ．p ∧q 为假 12．在中，角、、所对应的边分别为、、，若角、、依次成等差数列，且，,则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2二、填空题13．f （x ）=x （x ﹣c ）2在x=2处有极大值，则常数c 的值为 ．14．已知集合，若3∈M ，5∉M ，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为 15．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】函数()3f x x x =-+的单调增区间是__________．16．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形．17．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x1，x2，…，x90和y1，y2，…，y90，在90组数对（x i，y i）（1≤i≤90，i∈N*）中，经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为．18．无论m为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过定点．三、解答题19．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．20．某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的回归方程=x+，根据表中数据已经正确算出=0.6，试求出的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲现从该零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品都有质量问题，而3月份的产品都没有质量问题．记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X ，求X 的分布列和数学期望．21．（本题满分15分）正项数列}{n a 满足121223+++=+n n n n a a a a ，11=a ． （1）证明：对任意的*N n ∈，12+≤n n a a ；（2）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的*N n ∈，32121<≤--n n S ．【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.22．设函数f （x ）=x 2e x ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）若当x ∈[﹣2，2]时，不等式f （x ）＞m 恒成立，求实数m 的取值范围．23．（本小题满分12分）△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知k sin B ＝sin A ＋sin C （k 为正常数），a ＝4c .（1）当k ＝54时，求cos B ；（2）若△ABC 面积为3，B ＝60°，求k 的值．24．（本小题满分13分）设1()1f x x=+，数列{}n a 满足：112a =，1(),n n a f a n N *+=∈．（Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n a a λλ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为等比数列；（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．）吉州区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1． 【答案】B 【解析】试题分析：由()()()()()212102102x x x f x f x f x f x --<⇒⇒-<--，即整式21x -的值与函数()f x 的值符号相反，当0x >时，210x ->；当0x <时，210x -<，结合图象即得()()11-∞-+∞，，．考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 2． 【答案】B【解析】3． 【答案】B 【解析】解：∵是5a 与5b的等比中项， ∴5a •5b=（）2=5，即5a+b =5， 则a+b=1，则+=（+）（a+b ）=1+1++≥2+2=2+2=4，当且仅当=，即a=b=时，取等号，即+的最小值为4，故选：B【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．4． 【答案】D【解析】解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：∃x∈R，x2≤0．故选D．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．5．【答案】A【解析】解：如图设切点分别为M，N，Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a．由圆的切线性质PF1﹣PF2=F I M﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，∴F2Q=c﹣a，OQ=a，Q横坐标为a．故选A．【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．6．【答案】D【解析】解：∵k＞5、024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1﹣0.025=97.5%的把握认为“X和Y有关系”，故选D．【点评】本题考查独立性检验的应用，是一个基础题，这种题目出现的机会比较小，但是一旦出现，就是我们必得分的题目．7．【答案】A【解析】试题分析：由方程1x-=221x-=，即22(1)(1)1x y-++=，所以方程表示的轨迹为一个圆，故选A.考点：曲线的方程.8．【答案】C【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°=cos45°cos15°+sin45°sin15°=cos（45°﹣15°）=cos30°=．故选：C．【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9．【答案】C【解析】解：当a=1时，不满足退出循环的条件，故a=5，当a=5时，不满足退出循环的条件，故a=9，当a=9时，不满足退出循环的条件，故a=13，当a=13时，满足退出循环的条件，故输出的结果为13，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．【答案】Ａ【解析】：依题意，不妨设点M在第一象限，且Mx0，y0，由抛物线定义，|MF|＝x0＋p2，得5＝x0＋2.∴x0＝3，则y20＝24，所以M3，26，又点M在双曲线上，∴32a2－24＝1，则a 2＝925，a＝35，因此渐近线方程为5x±3y＝0. 11．【答案】C【解析】解：函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度得到y=sin（2x+）的图象，当x=0时，y=sin=，不是最值，故函数图象不关于y轴对称，故命题p为假命题；函数y=|2x﹣1|在[﹣1，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数．故命题q为假命题；则￢q为真命题；p∨q为假命题；p∧q为假命题，故只有C判断错误，故选：C12．【答案】C【解析】因为角、、依次成等差数列，所以由余弦定理知，即，解得所以，故选C答案：C二、填空题13．【答案】6．【解析】解：f（x）=x3﹣2cx2+c2x，f′（x）=3x2﹣4cx+c2，f′（2）=0⇒c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4，令f′（x）＞0⇒x＜或x＞2，f′（x）＜0⇒＜x＜2，故函数在（﹣∝，）及（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减，∴x=2是极小值点．故c=2不合题意，c=6．故答案为6【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用待定系数法求函数解析式．14．【答案】222,02,0x x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩【解析】试题分析：令0x <，则0x ->，所以()()()2222f x x x x x -=---=+，又因为奇函数满足()()f x f x -=-，所以()()220f x x x x =--<，所以()y f x =在R 上的解析式为222,02,0x x x y x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩。
湖南省双峰县第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案
湖南省双峰县双峰一中2017-2018学年高二第一次月考数学（理科）试题一、选择题（60分）1．设p ：对x e R x x ln ,>∈∀+，则p ⌝为（ ） A ．00ln ,0x e R x x <∈∃+ B ．x e R x x ln ,<∈∀+ C ．00ln ,0x e R x x ≤∈∃+ D ．x e R x x ln ,≤∈∀+ 2．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = A.-1 B.0 C.1 D.63．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是 ( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定4．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是（ ）A．[]6,1- D5．数列{}n a 满足122,1,a a ==并且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+--=≥⋅⋅。
则数列的第100项为（ ） A ．10012 B ．5012 C ．1100 D ．1506．当0,0>>y x ，191=+yx 时，y x +的最小值为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．167．如图所示，C ，D ，B 三点在地面上的同一直线上，DC a =，从,C D 两点测得A 点的仰角分别为β，()ααβ>，则A 点离地面的高为 （ ） A ．()sin sin sin a αβαβ- B ．()sin sin cos a αβαβ-C ．()cos cos sin a αβαβ- D ．()sin cos cos a αβαβ-8．下列函数中，最小值为2的是（ ） A ．1y x x=+B ．33x x y -=+C ．()1lg 01lg y x x x =+<<D ．1πsin 0sin 2y x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭9．在ABC ∆中,sin 2cos cos cos 2sin sin A C AA C A+=-是角,,A B C 成等差数列的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件10．若不等式0214<++x x 和不等式022>-+bx ax 的解集相同，则a 、b 的值为 A ．a =﹣8，b =﹣10 B ．a =﹣4，b =﹣9 C ．a =﹣1，b =9 D ．a =﹣1，b =211．下列中，假是（ ）A ．“π是函数sin y x =的一个周期”或“2π是函数cos y x =的一个周期”B ．“0m >”是“函数()()2log 1f x m x x =+≥不存在零点”的充分不必要条件C ．“若a b ≤，则221a b ≤-”的否D ．“任意()0,a ∈+∞，函数x y a =在定义域内单调递增”的否定12．已知函数()y f x =的定义域的R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f xy =+成立，若数列{}n a 满足11()1()1n nf a f a +=+，（*n N ∈），且1(0)a f =，则下列结论成立的是（ ）A ．20132016()()f a f a >B ．20142015()()f a f a >C ．20162015()()f a f a <D ．20142015()()f a f a < 二、填空题（20分）1345,A ∠则14．求与椭圆229545x y +=有共同的焦点，且经过点M （2，错误！未找到引用源。
[推荐学习]2017-2018学年高二数学上学期第一次月考试题(含解析)
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南阳市一中2017年秋期高二第一次月考数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1. 等差数列{a n}中，，a2 +a5+a8 =33，则a6的值为（）A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】B【解析】等差数列中，故答案选2. 若{a n}是等比数列，已知a4a7=－512，a2+a9=254，且公比为整数，则数列的a12是（）A. －2048B. 1024C. 512D. －512【答案】A【解析】由等比数列性质可得，且公比为整数，联立解得又故答案选3. 在中，，则等于（）A. B. 或 C. D.【答案】B【解析】在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，又，所以或。
选B。
4. 数列1，，，……，的前n项和为 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】数列，的前项和点睛：在数列求和的过程中先找出通项，本题中的通项需要先进行化简，然后裂项形如：，然后运用裂项求和的方法求出结果。
当遇到通项含有分式的时候，可以思考是否能用裂项的方法解答。
5. △ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】成等差数列，,平方得,又的面积为，且故由,得由余弦定理解得又为边长，故答案选点睛：根据等差中项的性质可得运用平方求得边长的数量关系，再根据面积公式求出的值，代入余弦定理求得结果6. 已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( )A. 15B. 17C. 19D. 21【答案】B【解析】试题分析：，所以前8项的和为考点：等比数列性质7. 在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为( )A. B. 2 C. D. 4【答案】B【解析】试题分析：,故选B.考点：解三角形.8. 设是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论错误的是( )A. B. C. D. 和均为的最大值【答案】C【解析】试题分析：由得，又，所以，故B正确；同理由得，因为，故A正确；而C选项即，可得,由结论，显然C错误；因为与均为的最大值，故D正确，故选C.考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和.9. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（）A. 直角三角形B. 等腰或直角三角形C. 不能确定D. 等腰三角形【答案】B【解析】∵，∴，由正弦定理得，∴,∵,∴，∴，故。
江西省吉安市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年 高二数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.命题“存在0x R ∈，020x ≤”的否定是（ ）A ．不存在0x R ∈，020x > B ．存在0x R ∈，020x ≥C ．对任意的x R ∈，20x≤D ．对任意的x R ∈，20x>2.已知直线l ：20ax y a +--=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ） A ．1B ．1-C ．2-或1-D ．2-或13.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a ⊥b 的是（ ） A ．a α⊥，//b β，αβ⊥ B ．a α⊥，b β⊥，//αβ C ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，//b β，αβ⊥4.设a R ∈，则“4a =”是“直线1l ：830ax y +-=与直线2l ：20x ay a +-=平行”的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5.与圆1O ：224470x y x y ++-+=和圆2O ：22410130x y x y +--+=都相切的直线条数是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16.直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A ．110B ．25C ．10D ．27.如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图，已知''4O B =，且△ABO 的面积为16，过'A 作'''A C x ⊥轴，则''A C 的长为（ ）A ．BC ．D ．18.过点(1,1)M 的直线与椭圆22143x y +=交于A ，B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（ ） A ．4370x y +-=B ．3470x y +-=C ．3410x y -+=D ．4310x y --=9.已知点(,)P x y 是直线40kx y ++=（0k >）上一动点，PA 是圆C ：2220x y y +-=的一条切线，A 为切点，若PA 长度的最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B C D ．210.若圆2244100x y x y +---=上至少有3个不同的点，到直线l ：y x b =+的距离为b 取值范围为（ ）A ．(2,2)-B ．[]2,2-C ．[]0,2D ．[2,2)-11.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．8D 12.如图，焦点在x 轴上的椭圆2221(0)3x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于A 点，△1APF 的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，若1||4FQ =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．14B ．12C ．4D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若直线20mx y ++=与线段AB 有交点，其中(2,3)A -，(3,2)B ，则实数m 的取值范围是 ．14.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是 ．15.设M 为椭圆221259x y +=上的一个点，1F ，2F 为焦点，1260F MF ∠=︒，则△12MF F 的面积为 ． 16.给出下列四个命题： ①已知3(,)|32y M x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{}(,)|20N x y ax y a =++=且M N =∅，则6a =-；②已知点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则以AB 为直径的圆的方程是1212()()()()0x x x x y y y y --+--=；③22221x y a b+=（a b ≠）表示焦点在x 轴上的椭圆；④已知抛物线22(0)y px p =>的焦点弦AB 的两端点坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12124y y x x =-． 其中的真命题是 ．（把你认为是真命题的序号都填上）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线30x y -=上，圆心在直线30x y -=上，且被直线y x =截得的弦长为C 的方程．18.命题p ：x R ∀∈，210ax ax +-<，命题q ：3101a +<-． （1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若“q ⌝”是“[],1a m m ∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 19.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点M ，N 分别为线段1A B ，1AC 的中点． （1）求证：//MN 平面11BB C C ；（2）若D 在边BC 上，AD ⊥1DC ，求证：MN AD ⊥．20.已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． （1）若3AF FB =，求直线AB 的斜率；（2）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==，BC =2PA =，点M 在PD 上．（1）求证：AB PC ⊥；（2）若二面角M AC D --的大小为45︒，求BM 与平面PAC 所成角的正弦值．22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，(1,0)D 为线段2OF 的中点，且2250AF BF +=．（1）求椭圆E 的方程；（2）若M 为椭圆E 上的动点（异于点A ，B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P ，Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ，试问是否存在常数λ，使得120k k λ+=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．吉安一中2016—2017学年度上学期期中考试高二数学试卷（理科）答案 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DDCABCABDBBD二、填空题13.54(,][,)23-∞-+∞ 14.2②④ 三、解答题17.解：设圆心为(3,)t t ，半径|3|r t =，令|d ==，而222r d =-，22927t t -=，1t =±，0a <时，只需240a a ∆=+<即可，解得40a -<<，故p 为真时，(4,0]a ∈-，关于命题q ：3101a +<-，解得21a -<<， 命题“p 或q ”为假命题，即p ，q 均为假命题，则4a ≤-或1a ≥．（2）非q ：2a ≤-或1a ≥， ∴3m ≤-或1m ≥．19. 证明：（1）如图，连接1AC ．在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 为平行四边形， 又因为N 为线段1AC 的中点， 所以1AC 与1AC 相交于点N ，即1AC 经过点N ，且N 为线段1AC 的中点， 因为M 为线段1A B 中点， 所以//MN BC ，又MN ⊄平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ， 所以//MN 平面11BB C C ．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， 又AD ⊂平面ABC ，所以1CC AD ⊥，因为AD ⊥1DC ，1DC ⊂平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，111CC DC C =，所以AD ⊥平面11BB C C ，又BC ⊂平面11BB C C ，所以AD BC ⊥， 又由（1）知，//MN BC ，所以MN AD ⊥．20.解析：（1）依题意可设直线AB ：1x my =+，将直线AB 与抛物线联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩整理得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由韦达定理得12124,4,y y m y y +=⎧⎨=-⎩∵3AF FB =，∴123y y =-，整理得213m =． （2）12122||||2OACB AOB S S OF y y ∆==⋅⋅-12||y y =-=4=≥，当0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值为4.21.（1）证明：取BC 中点E ，连结AE ，则AD EC =，//AD EC ，所以四边形AECD 为平行四边形，故AE BC ⊥，又AE BE EC ===45ABC ACB ∠=∠=︒， 故AB AC ⊥，又AB PA ⊥，AC PA A =，所以AB ⊥平面PAC ，故有AB PC ⊥．（2）如图建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A，B -，C ，(0,0,2)P ，设PM PD λ=,2)λ=-（01λ≤≤），易得,22)M λ-， 设平面AMC 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则11220,22(22)0,n AC n AM yz λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令y =x =21z λλ=-，即12(2,)1n λλ=--． 又平面ACD 的一个法向量为2(0,0,1)n =，1212122|||||cos ,|cos 45||||n nn n n n λ⋅<>===︒⋅，解得12λ=， 即M ，(BM =-，而AB =-是平面PAC 的一个法向量，设直线BM 与平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,BM AB θ=<>==． 故直线BM 与平面PAC所成的角的正弦值为9．22.解：（1）∵2250AF BF +=，∴225AF F B =，∵5()a c a c +=-，化简得23a c =，点(1,0)D 为线段2OF 的中点， ∴2c =，从而3a =，b =1(2,0)F -，故椭圆E 的方程为22195x y +=． （2）存在满足条件的常数λ，47λ=-． 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，33(,)P x y ，44(,)Q x y ，则直线MD 的方程为1111x x y y -=+， 代入椭圆方程22195x y +=，整理得2112115140x x y y y y --+-=， ∵11131(1)5y x y y x -+=-，∴13145y y x =-，从而131595x x x -=-，故点1111594(,)55x y P x x ---． 同理，点Q 2222594(,)55x y x x ---． 因为三点M 、1F 、N 共线，所以121222y yx x =++，从而1221122()x y x y y y -=-，从而1234121221121212123412121244555()7()759594()4()455y y y y x x x y x y y y y y k k x x x x x x x x x x -----+--=====--------， 故21407k k -=，从而存在满足条件的常数λ，47λ=-．。
2017年湖南省湘西州中考数学试题及参考答案(word解析版)
2017年湖南省湘西州中考数学试题及参考答案与解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．2017的相反数是．2．如图所示，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1=130°，则∠2=．3．分解因式：a2﹣3a=．4．2016年12月18日张吉怀高铁开工，全程约246000m，高铁开通后，将进一步加快三地之间的交流，促进经济发展．其中246000用科学记数法表示为．5．如图所示，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，垂足为E，已知AB=6，OE=4，则直径CD=有意义的x的取值范围是．67．掷两枚质地均匀的相同硬币，出现两枚都是正面朝上的概率为．8．用科学计算器按如图所示的操作步骤，若输入的数值是3，则输出的值为（精确到0.1）二、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的字母填在括号里）9．下列运算中错误的是（）A．3x2﹣2x2=x2B．a2•a3=a5C=D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b210．习总书记提出“足球进校园”后，我们湘西自治州积极响应号召，把颠足球纳入了九年级体育达标测试．在今年5月份体育达标测试中，某小组7名同学的颠足球个数如下：60，57，102，75，36，60，42，这组数据的众数和中位数分别是（）A．60，57 B．57，60 C．60，75 D．60，6011．已知点P（2，3），则点P关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（﹣3，2）12．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．13．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边可能是（）A．2 B．7 C．10 D．1214．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2﹣4x+3=0 B．x2+2x+1=0 C．x2+4=0 D．3x2﹣5x+8=015．反比例函数kyx=（k＞0），当x＜0时，图象在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．一个正方体的平面展开图如图所示，则原正方体上，与“爱”相对面上的汉字是（）A．美B．丽C．湘D．西17．如图所示，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是（）A．OA=OC B．∠ABC=∠ADC C．AB=CD D．AC=BD18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）如图所示，则下列6个代数式：ac，abc，2a+b，a+b+c，4a﹣2b+c，b2﹣4ac，其中值大于0的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5三、解答题（本大题共8小题，共78分）19．（6分）计算：（﹣1）2017+（π﹣3.14）0﹣2cos60°20．（6分）解不等式组()21253x xx x-+⎧⎪⎨-⎪⎩≤＞2，并把解集在数轴上表示出来．21．（8分）如图所示，在四边形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，AE=CF ，BE=DF ．求证：（1）△ABE ≌△CDF ；（2）四边形ABCD 是平行四边形．22．（8分）如图所示，一次函数y 1=x+b （b 为常数）的图象与反比例函数22y x=的图象都经过点A （2，m ）．（1）求点A 的坐标及一次函数的解析式；（2）根据图象直接回答：在第一象限内，当x 取何值时y 1＜y 2．23．（8分）为了深化教育改革，某校计划开设四个课外兴趣活动小组：音乐、体育、美术、舞蹈，学校要求每名学生都自主选择其中一个兴趣活动小组，为此学校采取随机抽样的方式进行了问卷调查，对调查结果进行统计并绘制了如下统计表． 选择课程 音乐 体育 美术 舞蹈 所占百分比a30%bc根据以上统计图表中的信息，解答下列问题：（1）本次调查的总人数为 人；其中a= %；b= %；c= %； （2）请把条形图补充完整；（3）若该校共有学生1000名，请估计该校选择“美术”的学生有多少人．24．（8分）某校为创建“书香校园”，现有图书5600册，计划创建大小图书角共30个．其中每个小图书角需图书160册，大图书角所需图书比小图书角的2倍少80册．问该校创建的大小图书角各多少个？25．（12分）如图，已知抛物线2y x bx =++x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（﹣3，0） （1）求b 的值及点B 的坐标；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）一动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度向点B 运动，同时动点Q 从点B 出发，以每秒1个单位的速度向点C 运动（当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动），设运动时间为t 秒，当t 为何值时△PBQ 与△ABC 相似？26．（22分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，P 为AB 延长线上的一点，PC 切⊙O 于点C ，AD ⊥PC ，垂足为D ，弦CE 平分∠ACB ，交AB 于点F ，连接AE ． （1）求证：∠CAB=∠CAD ； （2）求证：PC=PF ；（3）若tan ∠ABC=32，AE=PC 的长．参考答案与解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．2017的相反数是 ． 【知识考点】相反数．【思路分析】根据相反数的意义求解即可． 【解答过程】解：2017的相反数是﹣2017， 故答案为：﹣2017．【总结归纳】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．。
湖南省株洲十八中2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年湖南省株洲十八中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且仅有一个正确答案，请选出并涂在机读卡上）1．下列中正确的是（）A．经过不同的三点确定一个平面B．一点和一条直线确定一个平面C．四边形一定是平面图形D．梯形一定是平面图形2．下列中正确的个数是（）（1）若直线a不平行于平面α且a⊄α，则α内不存在与a平行的直线（2）若直线a∥b，且a∥α，则b∥α（3）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α（4）若平面α与平面β相交，则他们有无穷个公共点．A．0 B．1 C．2 D．33．平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无穷多条直线都与β平行B．直线a∥α，a∥β且a⊄α，a⊄βC．直线a⊂α，b⊂β且a∥β，b∥αD．α内的任意直线都与β平行4．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）A．6 B．3 C．12 D．65．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．186．设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β7．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图（或称正视图）为（）A． B．C．D．8．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）A ．B ．C ．D ．9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA⊥平面ABC ，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O 的表面积是（ ）A ．6πB ．8πC ．9πD ．16π11．在正四面体P ﹣ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（ ）A ．BC∥平面PDFB ．DF⊥平面PAEC ．平面PDE⊥平面ABCD ．平面PDF⊥平面PAE12．如图，在四形边ABCD 中，A D∥BC，AD=AB ，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB 沿BD 折起，使CD⊥平面ABD ，构成三棱锥A ﹣BCD ．则在三棱锥A ﹣BCD 中，下列结论正确的是（ ）A ．AD⊥平面BCDB ．AB⊥平面BCDC ．平面BCD⊥平面ABCD ．平面ADC⊥平面ABC二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）13．如图，长方体的三个面的对角线AD′=a，A′B=b，AC=c ，则长方体的对角线AC′= ．14．如图在三棱锥P ﹣ABC 中，PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，PA=1，PB=2，PC=2，则该棱锥外接球的体积为 ．15．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则定点P在底面的投影是底面△ABC的心．16．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或者n⊥β②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线．④若α∩β=m，m∥n且n⊄α，n⊄β，则n∥β以上说法正确的序号为．三、解答题（共6个小题，17题10分，18、19、20、21、22各12分，共70分．写出必要的解答、证明和运算过程）17．如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3（Ⅰ）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣A1的大小．18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1．（1）求异面直线A1B1与BD所成角的大小；（2）∠B1AB=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M是AA1的中点，N是BB1的中点．求证：面MDB1∥面ANC．21．如图，边长为2的正方形ABCD中，（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．求证：A′D⊥EF（2）当BE=BF=BC时，求三棱锥A′﹣EFD的体积．22．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：（1）B1D⊥平面A1BC1（2）记B1D与平面A1BC1的交点H，求A1B1与平面A1BC1所成角的余弦值．2015-2016学年湖南省株洲十八中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且仅有一个正确答案，请选出并涂在机读卡上）1．下列中正确的是（）A．经过不同的三点确定一个平面B．一点和一条直线确定一个平面C．四边形一定是平面图形D．梯形一定是平面图形【考点】平面的基本性质及推论．【分析】利用公理三及推论求解．【解答】解：经过不共线的三点确定一个平面，故A错误；直线与直线外一点确定一个平面，故B错误；四边形有可能是空间四边形，故C错误；因为梯形中有一组对边平行，故梯形一定是平面图形，故D正确．故选：D．2．下列中正确的个数是（）（1）若直线a不平行于平面α且a⊄α，则α内不存在与a平行的直线（2）若直线a∥b，且a∥α，则b∥α（3）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α（4）若平面α与平面β相交，则他们有无穷个公共点．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的定义，分类，及几何特征，逐一分析四个答案的真假，可得答案．【解答】解：（1）若直线a不平行于α，且a⊄α，则a与α相交，∴α内不存在与a平行的直线，∴正确；（2）直线a∥直线b，且a∥平面α，则直线b∥平面α或直线b在平面α内，故不正确；（3）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故不正确；（4）平面与平面相交成一条直线，因此它们有无限个公共点，正确，故选：C．3．平面α与平面β平行的条件可以是（）A．α内有无穷多条直线都与β平行B．直线a∥α，a∥β且a⊄α，a⊄βC．直线a⊂α，b⊂β且a∥β，b∥αD．α内的任意直线都与β平行【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】在A|B、C中，平面α与平面β平行或相交；在D中，由面面平行的判定定理得平面α与平面β平行．【解答】解：在A中，α内有无穷多条直线都与β平行，则平面α与平面β平行或相交，故A错误；在B中，直线a∥α，a∥β且a⊄α，a⊄β，则平面α与平面β平行或相交，故B错误；在C中，直线a⊂α，b⊂β且a∥β，b∥α，则平面α与平面β平行或相交，故C错误；在D中，α内的任意直线都与β平行，由面面平行的判定定理得平面α与平面β平行，故D正确．故选：D．4．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）A．6 B．3C．12 D．6【考点】斜二测法画直观图．【分析】画出△OAB的直观图，根据数据求出直观图的面积．【解答】解：△O′A′B′是水平放置的△OA B的直观图，所以：S△OAB==12故选C．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．6．设l是直线，α，β是两个不同的平面（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误【解答】解：A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确；C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；D，若α⊥β，l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D故选 B7．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图（或称正视图）为（）A． B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图的定义知，此物体的主视图应该是一个正方形，在作三视图时，能看见的线作成实线，被遮住的线作成虚线，由此规则判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，由于只是截去了两个角，此切割不可能使得正视图成为梯形．故A 不对；对于B，正视图是正方形符合题意，线段AM的影子是一个实线段，相对面上的线段DC1的投影是正方形的对角线，由于从正面看不到，故应作成虚线，故选项B正确．对于C，正视图是正方形，符合题意，有两条实线存在于正面不符合实物图的结构，故不对；对于D，正视图是正方形符合题意，其中的两条实绩符合斜视图的特征，故D不对．故选B．8．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据几何体的三视图确定几何体的形状是解决本题的关键，可以判断出该几何体是圆锥，下面细上面粗的容器，判断出高度h 随时间t 变化的可能图象． 【解答】解：该三视图表示的容器是倒放的圆锥，下面细，上面粗， 随时间的增加，可以得出高度增加的越来越慢．刚开始高度增加的相对快些．曲线越“竖直”，之后，高度增加的越来越慢，图形越平稳． 故选B ．9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】设圆柱底面积半径为r ，求出圆柱的高，然后求圆柱的全面积与侧面积的比． 【解答】解：设圆柱底面积半径为r ，则高为2πr ， 全面积：侧面积=：（2πr ）2=．故选A ．10．已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA⊥平面ABC ，AB⊥BC，DA=AB=BC=，则球O 的表面积是（ ）A ．6πB ．8πC ．9πD ．16π 【考点】球的体积和表面积．【分析】由已知AB⊥BC及DA⊥平面ABC，说明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球的直径就是CD，求出CD，即可求出球的表面积．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=BC=，∴△ABC的外接圆的直径为AC，且AC==，由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，∴CD为球的直径，CD==3，∴球的半径R=，∴S球=4πR2=9π．故选C11．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面PAE【考点】棱锥的结构特征．【分析】由D F∥BC，能证明BC∥平面PDF；由已知推导出AE⊥BC，PE⊥BC，从而BC⊥平面PAE，进而DF⊥平面PAE；由已知得平面PAE⊥平面ABC，从而平面PDE与平面ABC不垂直；由DF⊥平面PAE，推导出平面PDF⊥平面PAE．【解答】解：∵在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确；∵AB=AB=PB=PC，E是BC中点，∴AE⊥BC，PE⊥BC，∵AE∩PE=E，∴BC⊥平面PAE，∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确；∵DF⊥平面PAE，DF⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，∵平面PAE∩平面PDE=PE，且PE与平面ABC不垂直，∴平面PDE与平面ABC不垂直，故C错误；∵DF⊥平面PAE，且DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAE，故D正确．故选：C．12．如图，在四形边ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使CD⊥平面ABD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A﹣BCD中，下列结论正确的是（）A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCDC．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，推出AB⊥平面ADC，可得平面ABC⊥平面ADC．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC．故选D．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）13．如图，长方体的三个面的对角线AD′=a，A′B=b，AC=c，则长方体的对角线AC′=．【考点】棱柱的结构特征．【分析】AB=x，BC=y，AA′=z，则a2=y2+z2，b2=x2+z2，c2=x2+y2，由此能求出长方体的对角线AC′．【解答】解：设长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=x，BC=y，AA′=z，∵长方体的三个面的对角线AD′=a，A′B=b，AC=c，∴a2=y2+z2，b2=x2+z2，c2=x2+y2，∵长方体的对角线AC′=，∴长方体的对角线AC′=．故答案为：．14．如图在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，PA=1，PB=2，PC=2，则该棱锥外接球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的体积公式，可算出棱锥外接球的体积．【解答】解：以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为=3，∴球直径为3，半径R=，因此，棱锥外接球的体积为πR3=．故答案为：．15．在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则定点P在底面的投影是底面△ABC的垂心．【考点】直线与平面垂直的判定．【分析】由PB⊥PA，PB⊥PC，可证PB⊥平面PAC，可得PB⊥AC，又PO⊥AC，可证AC⊥平面PB，即可证明AC⊥BO，同理可证明AO⊥BC，从而可证O为垂心．【解答】证明：设O是P在面ABC上的投影，∵PB⊥PA，PB⊥PC，∴PB⊥平面PAC，∴PB⊥AC，①又∵O是P在面ABC上的射影，则PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC，②由①②可得：AC⊥平面PB，∴AC⊥BO，同理可以证明：AO⊥BC，∴O是△ABC的垂心．故答案为：垂．16．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列说法①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或者n⊥β②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线．④若α∩β=m，m∥n且n⊄α，n⊄β，则n∥β以上说法正确的序号为②④．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据题意，以此分析选项有：①此考查的是：平面与平面垂直的性质定理．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，当n⊂α时，n⊥β；当n⊂β时，n⊥α；②考查平面与平面平行的性质；③此考查的是：直线与平面垂直的定义．m不垂直于α，但是m可以垂直于α内的无数条平行直线；④根据直线与平面平行的判定定理可知：n∥α且n∥β．【解答】解：①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，当n⊂α时，n⊥β；当n⊂β时，n⊥α．故错误；②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，利用平面与平面平行的性质，可得m∥n，正确；③m可以垂直于α内的无数条平行直线，但是m不一定垂直于α．故错误．④根据直线与平面平行的判定定理可知：n∥α且n∥β．故正确．故答案为：②④三、解答题（共6个小题，17题10分，18、19、20、21、22各12分，共70分．写出必要的解答、证明和运算过程）17．如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=2，CC1=3（Ⅰ）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣A1的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D，根据梯形中位线定理及平行四边形判定定理，可得四边形ODC1C是平行四边形，进而OC∥C1D，根据线面平行的判定定理，可得OC∥平面A1B1C1．（Ⅱ）以B1为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量和平面AA1C1C的一个法向量，代入向量夹角公式，求出二面角B﹣AC﹣A1平面角的余弦值，进而可得二面角B﹣AC﹣A1的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D则OD∥BB1∥CC1因为O是AB的中点，所以则四边形ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D，C1D⊂平面C1B1A1且OC⊄平面C1B1A1，则OC∥平面A1B1C1…6′（Ⅱ）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系，则A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），∴，，设是平面ABC的一个法向量，则则，得：取x=﹣z=1，显然，为平面AA1C1C的一个法向量则，结合图形可知所求二面角为锐角所以二面角B﹣AC﹣A1的大小是30°…12′18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1．（1）求异面直线A1B1与BD所成角的大小；（2）∠B1AB=60°，求三棱锥B1﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）确定∠ABD为异面直线A1B1与BD所成角，即可得出结论；（2）在Rt△B1BA中，AB=1，∠B1AB=60°，求出B1B，利用V=求出三棱锥B1﹣ABC的体积．【解答】解：（1）∵A1B1∥AB，∴∠ABD为异面直线A1B1与BD所成角，∵ABCD为矩形，AB=AD，∴∠ABD=45°，∴异面直线A1B1与BD所成角为45°；（2）在Rt△B1BA中，AB=1，∠B1AB=60°，∴B1B=，∴三棱锥B1﹣ABC的体积V===．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）要证直线EF∥平面PCD，只需证明EF∥PD，EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD 即可．（2）连接BD，证明BF⊥AD．说明平面PAD∩平面ABCD=AD，推出BF⊥平面PAD；然后证明平面BEF⊥平面PAD．【解答】证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M是AA1的中点，N是BB1的中点．求证：面MDB1∥面ANC．【考点】平面与平面平行的判定．【分析】根据面面平行的判定定理即可证明．【解答】证明：连结MN，∵M是AA1的中点，N是BB1的中点，∴MN/CD，且MN=CD，则四边形MNCD为平行四边形，则DM∥CN，又AM∥B1N，AM=B1N，则四边形AMB1N为平行四边形，∴AN∥MB1，∵DM∩MB1=M，∴面MDB1∥面ANC．21．如图，边长为2的正方形ABCD中，（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．求证：A′D⊥EF（2）当BE=BF=BC时，求三棱锥A′﹣EFD的体积．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A'D⊥A'F且A'D⊥A'E，所以A'D⊥平面A'EF．结合EF⊂平面A'EF，得A'D⊥EF；（2）由勾股定理的逆定理，得△A'EF是以EF为斜边的直角三角形，而A'D是三棱锥D﹣A'EF 的高线，可以算出三棱锥D﹣A'EF的体积，即为三棱锥A'﹣DEF的体积．【解答】解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，∴A'D⊥A'F，A'D⊥A'E，∵A'E∩A'F=A'，A'E、A'F⊆平面A'EF．∴A'D⊥平面A'EF．又∵EF⊂平面A'EF，∴A'D⊥EF．（2）由四边形ABCD为边长为2的正方形故折叠后A′D=2，A′E=A′F=，EF=则cos∠EA′F==则sin∠EA′F=故△EA′F的面积S△EA′F=•A′E•A′F•sin∠EA′F=由（1）中A′D⊥平面A′EF可得三棱锥A'﹣EFD的体积V=××2=．22．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：（1）B1D⊥平面A1BC1（2）记B1D与平面A1BC1的交点H，求A1B1与平面A1BC1所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连结B1D1，推导出B1D1⊥A1C1，DD1⊥A1C1，从而A1C1⊥B1D，同理B1D⊥A1B，由此能证明B1D⊥平面A1BC1．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A1B1与平面A1BC1所成角的余弦值．【解答】证明：（1）连结B1D1，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1C1D1是正方形，∴B1D1⊥A1C1，又DD1⊥面A1B1C1D1，∴DD1⊥A1C1，A1C1⊥面D1DB1，∴A1C1⊥B1D，同理可证B1D⊥A1B，又A1C1∩A1B=A1，∴B1D⊥平面A1BC1．（2）连结A1H、BH、C1H，由A1B1=BB1=C1B1，得A1H=BH=C1H，∴点H是△A1BC1的外心，又△A1BC1为正三角形，∴H是△A1BC1的中心，∴H为△A1BC1的重心，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，A1（1，0，1），B1（1，1，1），B（1，1，0），C1（0，1，1），=（0，1，0），=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣1），设平面A1BC1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，1），设A1B1与平面A1BC1所成角为θ，cosθ===，∴A1B1与平面A1BC1所成角的余弦值为．2016年6月14日。
湖南省长沙一中2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析
湖南省长沙一中2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合M={1，2}，N={1，2，3}，P={x|x=ab，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为（）A．3B．4C．5D．62．（5分）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设p 是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）3．（5分）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=（）A．B．C．D．4．（5分）复数m（3+i）﹣（2+i）（m∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n后，输出的S∈（31，72），则n的值为（）A．5B．6C．7D．86．（5分）已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C． f（x1）＞0，f （x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞07．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．8．（5分）已知x，y∈R，且p：x＞y，q：x﹣y+sin（x﹣y）＞0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知A（1，0），点B在曲线G：y=ln（x+1）上，若线段AB与曲线M：y=相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a，则（）A．a=0 B．a=1 C．a=2 D．a＞2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则sin（+α）=．12．（5分）已知4a=，lgx=a，则x=．13．（5分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．14．（5分）已知，，均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）的最大值是．15．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2014项的值是；数列{b n}中，第2014个值为1的项的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x+a，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．17．（12分）已知圆内接四边形ABCD的边AB=1，BC=3，CD=DA=2．（Ⅰ）求角C的大小和BD的长；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积及外接圆半径．18．（12分）某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量n （件）（n∈N+，且1≤n≤98）的关系表如下：n 1 2 3 4 (98)p (1)又知每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失元（a＞0）．（1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量n（件）的一种函数关系式；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？（≈1.73）．19．（13分）数列{a n}满足：a1=1，a2=2，a n+2=（1+）a n+sin2，n∈N+．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，S n=b1+b2+…+b n，证明：S n＜2（n∈N+）．20．（13分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）与一等轴双曲线相交，M是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点F1，F2，双曲线的焦点是椭圆的顶点A1，A2，△MF1F2的周长为4（+1）．设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．21．（13分）已知x=a、x=b是函数f（x）=lnx+﹣（m+2）x（m∈R）的两个极值点，若≥4．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）求f（b）﹣f（a）的最大值．湖南省长沙一中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合M={1，2}，N={1，2，3}，P={x|x=ab，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为（）A．3B．4C．5D．6考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：首先，根据a∈M，b∈N，逐一对a，b的取值情形进行讨论，然后，求解x=ab的取值情形．解答：解：当a=1，b=1时，x=1；当a=1，b=2时，x=2；当a=1，b=3时，x=3；当a=2，b=1时，x=2；当a=2，b=2时，x=4；当a=2，b=3时，x=6；根据集合的元素满足互异性，得P={1，2，3，4，6}共5个元素．故选C．点评：本题重点考查集合中的元素性质，集合的列举法表示等，属于容易题．2．（5分）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．设p 是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（）A．p∨q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）考点：复合．专题：简易逻辑．分析：“至少有一位队员落地没有站稳”表示“甲落地没有站稳”与“乙落地没有站稳至少一个发生”．解答：解：设p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则“至少有一位队员落地没有站稳”表示￢p与￢q至少一个发生，即￢p与￢q至少一个发生，表示为（￢）p∨（￢q）．故选：D点评：本题考查用简单表示复合的非，属于基础题3．（5分）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则=（）A．B．C．D．考点：向量的加法及其几何意义．专题：计算题．分析：利用平行四边形法则做出向量，再进行平移，利用向量相等的条件，可得．解答：解：设，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对角线对应的向量即为向量，由和长度相等，方向相同，∴，故选C．点评：本题考查向量的加法及其几何意义，向量相等的条件，利用向量相等的条件是解题的关键．4．（5分）复数m（3+i）﹣（2+i）（m∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义，即可得到结论．解答：解：m（3+i）﹣（2+i）=3m﹣2+（m﹣1）i，对应的坐标为（3m﹣2，m﹣1），当时，即，此时不等式无解，即复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选：B．点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算即可得到结论，比较基础．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入某个正整数n后，输出的S∈（31，72），则n的值为（）A．5B．6C．7D．8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到输出的S∈（31，72），确定跳出循环的k值，从而确定判断框的条件，可得答案．解答：解：由程序框图知：第一次循环S=1+0=1，k=2；第二次循环S=1+2×1=3，k=3；第三次循环S=1+2×3=7，k=4；第四次循环S=1+2×7=15，k=5；第五次循环S=1+2×15=31．k=6；第六次循环S=1+2×31=63，k=7；第七次循环S=1+2×63=127，k=8．∵输出的S∈（31，72），∴跳出循环的k值为7，∴判断框的条件为k＞6．故选：B．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．6．（5分）已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＞0，f（x2）＞0 C． f（x1）＞0，f （x2）＜0 D．f（x1）＜0，f（x2）＞0考点：函数零点的判定定理．专题：计算题．分析：已知x0是的一个零点，可令h（x）=，g（x）=﹣，画出h（x）与g（x）的图象，判断h（x）与g（x）的大小，从而进行求解；解答：解：∵已知x0是的一个零点，x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），可令h（x）=，g（x）=﹣，如下图：当0＞x＞x0，时g（x）＞h（x），h（x）﹣g（x）=＜0；当x＜x0时，g（x）＜h（x），h（x）﹣g（x）=＞0；∵x1∈（﹣∞，x0），x2∈（x0，0），∴f（x1）＞0，f（x2）＜0，故选C；点评：此题主要考查指数函数的图象及其性质，解题的过程中用到了分类讨论的思想，这是2015届高考的热点问题，是一道基础题；7．（5分）若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答：解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评：本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．8．（5分）已知x，y∈R，且p：x＞y，q：x﹣y+sin（x﹣y）＞0，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：构造函数f（t）=t+sint，利用导数研究函数的单调性，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：令t=x﹣y，设f（t）=t+sint，则f′（t）=1+cost≥0，于是函数f（t）在R上是单调递增函数，若x＞y，即x﹣y＞0时，因为函数f（t）在R上是单调递增函，所以当t＞0，有f（t）＞f（0）成立，而f（0）=0+sin0=0，即有当x﹣y＞0，有x﹣y+sin（x﹣y）＞0成立，即充分性成立；若x﹣y+sin（x﹣y）＞0时，即t+sint＞0，即是f（t）＞f（0）（因为f（0）=0，由函数f（t）在R上是单调递增函，所以由f（t）＞f（0）得t＞0，即是x﹣y＞0，即必要性成立，综上所述：p是q的充要条件．故选：C．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，构造函数，利用函数的单调性是解决本题的关键．9．（5分）当实数x，y满足时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．解答：解：由约束条件作可行域如图，联立，解得C（1，）．联立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．要使1≤ax+y≤4恒成立，则，解得：1≤a≤．∴实数a的取值范围是．故选：C点评：本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．10．（5分）已知A（1，0），点B在曲线G：y=ln（x+1）上，若线段AB与曲线M：y=相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a，则（）A．a=0 B．a=1 C．a=2 D．a＞2考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由定义，可先设点B的坐标，再由点A，B的坐标表示出中点的坐标，由中点坐标在曲线M上，建立关于x的方程，研究此方程有几个根，即可得出a的值解答：解：设点B（x，ln（x+1）），则点A，B的中点的坐标是（，），由于此点在曲线M：y=上，故有=，即ln（x+1）=，此方程的根即两函数y=ln（x+1）与y=的交点的横坐标，由于此二函数一为增函数，一为减函数，故两函数y=ln（x+1）与y=的交点个数为1，故符合条件的关联点仅有一个，所以a=1故选：B．点评：本题考查函数图象的对称性，方程的根与相应函数交点个数的关系，考查了转化思想，数形结合的思想，解答本题的关键是如何入手，二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）11．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则sin（+α）=．考点：同角三角函数间的基本关系；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：利用任意角的三角函数的定义可求得cosα=﹣，再利用诱导公式即可求得答案．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴cosα==﹣，∴sin（+α）=cosα=﹣，故答案为：．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．12．（5分）已知4a=，lgx=a，则x=．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：先对4a=两边取对数，求出a的值，再根据对数的运算性质计算即可，解答：解：∵4a=，∴a=log4=﹣∵lgx=﹣=lg，∴x=．故答案为：点评：本题主要考查对数运算性质，属于基础题．13．（5分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可．解答：解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0，1）．点评：本题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力．14．（5分）已知，，均为单位向量，且满足•=0，则（++）•（+）的最大值是2+．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先将已知等式展开，得到（++）•（+）=2+•（2+），再利用向量的数量积转为关于向量夹角的式子，求最值．解答：解：∵，，均为单位向量，且满足•=0，∴（++）•（+）=2+•+2•+2+•=2+•（2+）=2+||•|2+|cos＜，2+＞=2+cos＜，2+＞，∴当cos＜，2+＞=1时，（++）•（+）的最大值是2+．故答案为：2+．点评：本题考查了向量的数量积的定义以及运用，当向量的夹角为0°时，数量积最大．15．（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前而两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n}为“斐波那契数列”．若把该数列{a n}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n}，在数列{b n}中第2014项的值是3；数列{b n}中，第2014个值为1的项的序号是4027．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列，得到余数构成是数列是周期数列，即可得到结论．解答：解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，即新数列{b n}是周期为6的周期数列，b2014=b235×6+4=b4=3，在每一个周期内，含有3个1，2014=671×3+1，∴第2014个值为1是项，位于第672个周期内的第一个1，则671×6+1=4027，故答案为：3；4027点评：本题主要考查数列的应用，利用条件推导数列为周期数列是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2sin2x+a，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）首先，利用二倍角公式，化简函数解析式，然后，利用周期公式确定该函数的最小正周期；（Ⅱ）令f（x）=0，然后，结合三角函数的图象与性质进行求解．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x+a﹣1=2sin（2x+）+a﹣1，∴T==π，∴函数f（x）的最小正周期为π．（Ⅱ）令f（x）=0，即2sin（2x+）+a﹣1=0，则a=1﹣2sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴﹣1≤1﹣2sin（2x+）≤3，∴若f（x）有零点，则实数a的取值范围是．点评：本题重点考查了二倍角公式、三角恒等变换公式，三角函数的图象与性质等知识，考查比较综合，属于中档题．17．（12分）已知圆内接四边形ABCD的边AB=1，BC=3，CD=DA=2．（Ⅰ）求角C的大小和BD的长；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积及外接圆半径．考点：余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）连结BD，由于A+C=180°，则cosA=﹣cosC，在△BCD中，和在△ABD中分别应用余弦定理即可求得BD和角C；（Ⅱ）由于A+C=180°，则sinA=sinC，由四边形ABCD的面积为S△ABD+S△BCD，应用面积公式，即可得到面积，再由正弦定理，得到比值为外接圆的直径，即可得到半径．解答：解：（Ⅰ）连结BD，由于A+C=180°，则cosA=﹣cosC，由题设及余弦定理得，在△BCD中，BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC，…①在△ABD中，BD2=AB2+DA2﹣2AB•DAcosA=5+4cosC，…②由①②得，故C=60°，则．（Ⅱ）由于A+C=180°，则sinA=sinC，由（Ⅰ）的结果及题设，可知四边形ABCD的面积=．由正弦定理，可得四边形ABCD的外接圆的半径．点评：本题考查余弦定理以及应用，三角形的面积公式及正弦定理中的比值为外接圆的直径，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量n （件）（n∈N+，且1≤n≤98）的关系表如下：n 1 2 3 4 (98)p (1)又知每生产一件正品盈利a元，每生产一件次品损失元（a＞0）．（1）将该厂日盈利额T（元）表示为日产量n（件）的一种函数关系式；（2）为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？（≈1.73）．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）由题意可知p=（1≤n≤98，n∈N+）．日产量n件中，正品（n﹣pn）件，从而可得日盈利额函数；（2）求出日产量函数，利用基本不等式，即可求得结论．解答：解：（1）由题意可知p=（1≤n≤98，n∈N+）．日产量n件中，正品（n﹣pn）件，日盈利额T（n）=a（n﹣pn）﹣pn=a（n﹣）（1≤n≤98，n∈N+）．（2）=3+n﹣（a＞0）=103﹣≤103﹣2≈68.4，当且仅当100﹣n=，即n=100﹣10≈82.7，而n∈N+，且＜，故当n=83时，取得最大值，即T取得最大值．点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，根据题意列出函数关系式，并考查利用基本不等式求最值，属于中档题．19．（13分）数列{a n}满足：a1=1，a2=2，a n+2=（1+）a n+sin2，n∈N+．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，S n=b1+b2+…+b n，证明：S n＜2（n∈N+）．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知结合a n+2=（1+）a n+sin2，n∈N+，得到当n=2k﹣1（k∈N+）时，a2k+1﹣a2k﹣1=1．当n=2k（k∈N+）时，a2k+2=2a2k．然后分别利用等差数列和等比数列的通项公式求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式代入b n=，利用错位相减法求出S n=b1+b2+…+b n，放缩证得S n＜2（n∈N+）．解答：（Ⅰ）解：∵a1=1，a2=2，∴由题设递推关系式有，．一般地，当n=2k﹣1（k∈N+）时，，即a2k+1﹣a2k﹣1=1．∴数列{a2k﹣1}是首项为1公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k．当n=2k（k∈N+）时，，∴数列{a2k}是首项为2公比为2的等比数列，因此．故数列{a n}的通项公式为；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，于是，…①从而，…②①﹣②得=．∴．故有S n＜2．点评：本题考查了等差关系和等比关系的确定，考查了错位相减法去数列的和，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．20．（13分）如图，椭圆=1（a＞b＞0）与一等轴双曲线相交，M是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点F1，F2，双曲线的焦点是椭圆的顶点A1，A2，△MF1F2的周长为4（+1）．设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；（Ⅲ）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．考点：圆锥曲线的综合．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意知，确定椭圆离心率，利用椭圆的定义得到又2a+2c=4（+1），解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；（Ⅱ）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果；（Ⅲ）设直线AB的方程为y=k（x+2），则可求出直线CD的方程为y=（x﹣2），联立直线和椭圆方程，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．解答：（Ⅰ）解：由题意知，椭圆离心率为=，得a=c，又2a+2c=4（+1），所以可解得a=2，c=2，所以b2=a2﹣c2=4，所以椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点坐标为（±2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为；（Ⅱ）证明：设点P（x0，y0），则k1=，k2=，∴k1•k2==，又点P（x0，y0）在双曲线上，∴，即y02=x02﹣4，∴k1•k2==1；（Ⅲ）解：假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，则由（II）知k1•k2=1，∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=（x﹣2），y=k（x+2）与椭圆方程联立，消y得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由韦达定理得，x1+x2=，x1•x2=，∴|AB|=|x1﹣x2|=，同理|CD|=∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，∴λ===∴存在常数λ=，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．点评：本题考查椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．21．（13分）已知x=a、x=b是函数f（x）=lnx+﹣（m+2）x（m∈R）的两个极值点，若≥4．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）求f（b）﹣f（a）的最大值．考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求出函数的定义域，接着求出函数的导数，由于x=a、x=b是函数f（x）=lnx+﹣（m+2）x（m∈R）的两个极值点，所以x=a、x=b是f′（x）的2个根，根据导数的特点和≥4可判断a，b是2个正值；（2）把f（b）﹣f（a）的表达式求出来，利用导数求其最大值．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．由题意得：x=a、x=b是方程x2﹣（m+2）x+1=0的两个不等正根，且a＜b，∴⇒m＞0且a+b=m+2，ab=1．…3分设，则t≥4，，易知函数在故实数m的取值范围是．…6分（Ⅱ）∵，所以=．构造函数（其中t≥4），则，所以函数h（t）在[4，+∞）上单调递减，于是有．故f（b）﹣f（a）的最大值为．…13分．点评：本题主要考查导数的综合应用，利用导数判断函数的单调性、求其最值，属于中档题．。
湖南省湘西州凤凰县华鑫实验中学2017-2018学年高二上学期8月月考数学(文)试题 Word版含解析
2017-2018学年湖南省湘西州凤凰县华鑫实验中学高二（上）8月月考数学试卷（文科）一、选择题（共10题，每题5分，共50分．）1．已知M={y|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（1，1），（﹣1，1）} B．{1} C．[0，1]D．2．函数f（x）=2sinxcosx是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数3．△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．4．若函数f（sinx）=cos2x，则f（cos15°）的值为（）A．B．﹣C．﹣D．5．已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（）A．B． C． D．46．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．48 B．72 C．12 D．247．执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的Ⅱ值为（）A．4 B．16 C．256 D．655368．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（1，）D．（e，+∞）9．在区间[0，2]上随机取一个数x，sin x的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2|x|﹣1，则函数F（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数是（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题（共5题，每题5分，共25分．）11．有人收集了春节期间平均气温x（℃）与某取暖商品销售额y（万元）的有关数据（x，y）分别为：（﹣2，20），（﹣3，23），（﹣5，27），（﹣6，30），根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程y=bx+a的系数b=﹣2.4，则预测平均气温为﹣8℃时该商品的销售额为万元．12．已知tan=2，则tanα的值为；的值为．13．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围是．14．在△ABC中，cos2=（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则cos=．15．给出定义：若m﹣＜x（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个：①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]；②函数y=f（x）在[﹣，]上是增函数；③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；④函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称．其中正确的序号是．三、解答题（共6题．16-18题，每题12分；19-21题，每题13分．共75分）16．（12分）该试题已被管理员删除17．（12分）（2014•徐州三模）在△ABC中，已知C=，向量=（sinA，1），=（1，cosB），且．（1）求A的值；（2）若点D在边BC上，且3=，=，求△ABC的面积．18．（12分）（2014春•路南区校级期末）已知向量，，若函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若，求f（x）的最大值及相应的x值；（3）若x∈[0，π]，求f（x）的单调递减区间．19．（13分）（2014春•彭州市校级期中）已知甲船正在大海上航行．当它位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．（供参考使用：tan41°=）．（1）试问乙船航行速度的大小；（2）试问乙船航行的方向（试用方位角表示，譬如北偏东…度）．20．（13分）（2012秋•凉州区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCd是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB；（3）求二面角A﹣BC﹣P的大小．21．（13分）（2015春•泰安校级期中）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有＞0．（Ⅰ）证明f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0（Ⅲ）若f（x）≤t2﹣2at+1对∀x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．2015-2016学年湖南省湘西州凤凰县华鑫实验中学高二（上）8月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每题5分，共50分．）1．已知M={y|y=x2}，N={y|x2+y2=2}，则M∩N=（）A．{（1，1），（﹣1，1）} B．{1} C．[0，1]D．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先化简两个集合，再利用两个集合的交集的定义求出M∩N．解答：解：∵M={y|y=x2}═{y|y≥0}，N={y|x2+y2=2}={y|﹣≤y≤}，∴M∩N={y|y≥0}∩={y|﹣≤y≤}={y|≥y≥0}，故选D．点评：本题考查两个集合的交集的定义以及求函数的值域的方法，确定两个集合中元素的取值范围是解题的关键和难点．2．函数f（x）=2sinxcosx是（）A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为π的偶函数考点：二倍角的正弦．分析：本题考查三角函数的性质f（x）=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数．解答：解：∵f（x）=2sinxcosx=sin2x，∴f（x）为周期为π的奇函数，故选C点评：本题是最简单的二倍角的应用，几个公式中应用最多的是余弦的二倍角公式，它有三种表现形式，要根据题目的条件选择合适的，这几个公式要能正用、逆用和变形用，正弦的二倍角公式应用时最好辨认．3．△ABC中，已知a=x，b=2，B=60°，如果△ABC 有两组解，则x的取值范围（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．考点：正弦定理．专题：计算题．分析：△ABC 有两组解，所以asinB＜b＜a，代入数据，求出x的范围．解答：解：当asinB＜b＜a时，三角形ABC有两组解，所以b=2，B=60°，设a=x，如果三角形ABC有两组解，那么x应满足xsin60°＜2＜x，即．故选C．点评：本题是基础题，考查三角形的应用，计算能力，注意基本知识的应用，是解题的关键，常考题型．4．若函数f（sinx）=cos2x，则f（cos15°）的值为（）A．B．﹣C．﹣D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：已知等式右边利用二倍角的余弦函数公式化简确定出f（x），将x=cos15°代入计算即可求出值．解答：解：∵f（sinx）=cos2x=1﹣2sin2x，∴f（x）=1﹣2x2，则f（cos15°）=1﹣2cos215°=﹣（2cos215°﹣1）=﹣cos30°=﹣．故选：C．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．已知与均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（）A．B． C． D．4考点：向量的模；平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题．分析：由题意并且结合平面数量积的运算公式可得：=，再根据=可得答案．解答：解：因为与均为单位向量，它们的夹角为60°，所以=．又因为=，所以=．故选A．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握平面向量数量积的运算性质与公式，以及向量的求模公式，此题属于基础题主要细心的运算即可得到全分．6．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．48 B．72 C．12 D．24考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中三视图可得该几何体为一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面积和高后，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中三视图可得该几何体为一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积S=×6×6=18，其高h==4，故该几何体的体积V==24，故选：D．点评：本题考查的知识点是由三视图，求体积，其中根据已知分析出几何体的形状是解答的关键．7．执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的Ⅱ值为（）A．4 B．16 C．256 D．65536考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的a的值，当a=256时，满足条件log3a＞4，输出a的值为256．解答：解：执行程序框图，有a=2，b=2不满足条件log3a＞4，有a=4；不满足条件log3a＞4，有a=16不满足条件log3a＞4，有a=256此时，满足条件log3a＞4，输出a的值为256．故选：C．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基本知识的考查．8．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2）B．（2，3）C．（1，）D．（e，+∞）考点：二分法求方程的近似解．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：直接通过零点存在性定理，结合定义域选择适当的数据进行逐一验证，并逐步缩小从而获得最佳解答．解答：解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点．又∵f（2）﹣ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0∴f（2）•f（3）＜0，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3）．故选：B．点评：本题考查的是零点存在的大致区间问题．在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、函数零点存在性定理的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．9．在区间[0，2]上随机取一个数x，sin x的值介于0到之间的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：求出sin x的值介于0到之间的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．解答：解：由0＜sin x＜，得2kπ＜x＜2kπ+，或2kπ+＜x＜2kπ+π，k∈Z，即4k＜x＜4k+或4k+＜x＜4k+2，k∈Z，∵x∈[0，2]，∴当x=0时，0＜x＜或＜x＜2，则sin x的值介于0到之间的概率为=，故选：A．点评：本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据三角函数的图象和性质求出的等价范围是解决本题的关键．10．已知函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2|x|﹣1，则函数F（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数是（）A．9 B．10 C．11 D．12考点：根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：在坐标系中画出两个函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象，分析两个图象交点的个数，进而可得函数F（x）=f（x）﹣|lgx|的零点个数．解答：解：∵函数F（x）=f（x）﹣|lgx|的零点，即为函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象的交点，又∵函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2|x|﹣1，在同一坐标系中画出两个函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象，如下图所示：由图可知：两个函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象共有10个交点，故函数F（x）=f（x）﹣|lgx|有10个零点，故选：B．点评：本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数．二、填空题（共5题，每题5分，共25分．）11．有人收集了春节期间平均气温x（℃）与某取暖商品销售额y（万元）的有关数据（x，y）分别为：（﹣2，20），（﹣3，23），（﹣5，27），（﹣6，30），根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程y=bx+a的系数b=﹣2.4，则预测平均气温为﹣8℃时该商品的销售额为34.6万元．考点：根据实际问题选择函数类型．专题：概率与统计．分析：求出样本平均数，代入解得a，即可得到结论．解答：解：∵数据（x，y）分别为：（﹣2，20），（﹣3，23），（﹣5，27），（﹣6，30），∴平均数=，=，即样本中心为（﹣4，25），∵线性回归方程y=bx+a的系数b=﹣2.4，∴y=﹣2.4x+a，∵回归方程过点（﹣4，25），代入解得a=15.4，则回归方程为y=﹣2.4x+15.4，当x=﹣8时，y=﹣2.4×（﹣8）+15.4=34.6（万元），故答案为：34.6点评：本题主要考查线性回归方程的求解和应用，根据回归方程过样本数据中心（）是解决本题的关键．12．已知tan=2，则tanα的值为﹣；的值为．考点：二倍角的正切．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用二倍角公式的正切公式求得tanα，再利用同角三角函数的基本关系求得的值．解答：解：∵已知tan=2，则tanα===﹣．===，故答案为：﹣；．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的正切公式的应用，属于基础题．13．在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围是．考点：解三角形．专题：计算题．分析：由已知C=2B可得A=180°﹣3B，再由锐角△ABC可得B的范围，由正弦定理可得，．从而可求解答：解：因为锐角△ABC中，若C=2B所以A=180°﹣3B∴∴30°＜B＜45°由正弦定理可得，∵∴故答案为：点评：本题主要考查了三角形的内角和定理，正弦定理在解三角形的应用．属于基础试题．14．在△ABC中，cos2=（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则cos=．考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式求得cosC=0，可得C为直角，再根据cos=cos=sin求得结果．解答：解：在△ABC中，∵cos2=，∴==•+，∴1+cosA=+1，∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC=0，又sinA≠0，∴cosC=0，∴C为直角，∴cos=cos=sin=sin=，故答案为：．点评：本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．15．给出定义：若m﹣＜x（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．下列关于函数f（x）=|x﹣{x}|的四个：①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[0，]；②函数y=f（x）在[﹣，]上是增函数；③函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1；④函数y=f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称．其中正确的序号是①③④．考点：的真假判断与应用．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：此题是新定义，首先理解好什么是“m叫做离实数x最近的整数”，然后根据函数f （x）=|x﹣{x}|的表达式画出其图象，就可以判断出正确是①②④．解答：解：①∵m﹣＜x（其中m为整数），∴，∴0，∴函数f（x）=|x﹣{x}|=|x﹣m|的值域为[0，]．②由定义知：当时，m=﹣1，∴f（﹣）=|﹣﹣（﹣1）|=；当时，m=0，∴f（x）=|x﹣0|=|x|，故f（x）在上不是增函数，所以②不正确．③由得，∴{x+1}={x}+1=m+1，∴f（x+1）=|（x+1）﹣{x+1}|=|x﹣{x}|=f（x），所以函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1．④由②可知：在时，f（x）=|x|关于y周对称；又由③可知：函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为1，∴函数f（x）的图象关于直线x=（k∈Z）对称．故答案为①③④．点评：此题是新定义，综合考查了函数的值域、单调性、周期性及对称性．理解好新定义的含义及画出函数f（x）=|x﹣{x}|的图象是做好本题的关键．三、解答题（共6题．16-18题，每题12分；19-21题，每题13分．共75分）16．（12分）该试题已被管理员删除17．（12分）（2014•徐州三模）在△ABC中，已知C=，向量=（sinA，1），=（1，cosB），且．（1）求A的值；（2）若点D在边BC上，且3=，=，求△ABC的面积．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（1）由两向量的坐标及两向量垂直，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，根据C的度数，利用内角和定理表示出B，代入得出的关系式中计算即可求出A的度数；（2）设||=x，由3=，得||=3x，由A的度数与C度数相等，可得出||=3x，B=，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与BC的长，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（1）∵=（sinA，1），=（1，cosB），且⊥，∴sinA+cosB=0，又C=，A+B+C=π，∴sinA+cos（﹣A）=0，即sinA﹣cosA+sinA=sin（A﹣）=0，又0＜A＜，∴A﹣∈（﹣，），∴A﹣=0，即A=；（2）设||=x，由3=，得||=3x，由（1）知A=C=，∴||=3x，B=，在△ABD中，由余弦定理，得13=9x2+x2+3x2，解得：x=1，∴AB=BC=3，则S△ABC=BA•BC•sinB=×3×3×sin=．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）（2014春•路南区校级期末）已知向量，，若函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若，求f（x）的最大值及相应的x值；（3）若x∈[0，π]，求f（x）的单调递减区间．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据向量的数量积和三角函数的恒等变形即可化为f（x）=，再根据求周期的公式T=即可求出；（2）根据x的取值范围求出2x﹣的范围，求出使six取得最大值的x的值，即使函数f（x）取得最大值的x的值；（3）根据函数y=sinx的图象知，在区间上单调递减，只要把f（x）中的看做一个整体求出即可．解答：解：∵向量，，∴===．（1）由上面f（x）的表达式可知：f（x）的最小正周期==π；（2）当时，，∴当，即时，，f（x）取得最大值；（3）当x∈[0，π]时，，由y=sinx的图象知，在区间上单调递减，而（k∈Z）=，由，解得．∴f（x）的单调递减区间为．点评：熟练掌握数量积的运算和三角函数的恒等变形及三角函数的单调性是解题的关键．19．（13分）（2014春•彭州市校级期中）已知甲船正在大海上航行．当它位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．（供参考使用：tan41°=）．（1）试问乙船航行速度的大小；（2）试问乙船航行的方向（试用方位角表示，譬如北偏东…度）．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：（1）利用余弦定理，计算乙船运动到B处的距离，即可求出乙船航行速度的大小；（2）利用正弦定理，可求乙船航行的方向．解答：解：（1）设乙船运动到B处的距离为t海里．则t2=AC2+AB2﹣2AB•AC•cos120°=102+202﹣2×10×20×=700，∴t=10．∴乙船航行速度为10÷2=海里/小时；（2）设∠ACB=θ，则，则sinθ=，∴θ=41°．∴乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B处求援．点评：本题主要考查了余弦定理的应用和正弦定理．作为解三角形常用的余弦和正弦定理公式，平时应熟练记忆．20．（13分）（2012秋•凉州区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCd是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB；（3）求二面角A﹣BC﹣P的大小．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据△ABD为等边三角形且G为AD的中点，则BG⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，根据面面垂直的判定定理可知BG⊥平面PAD；（2）根据△PAD是等边三角形且G为AD的中点，则AD⊥PG，且AD⊥BG，PG∩BG=G，满足线面垂直的判定定理，则AD⊥平面PBG，而PB⊂平面PBG，根据线面垂直的性质可知AD⊥PB；（3）证明∠PBG是二面角A﹣BC﹣P的平面角，即可求得结论．解答：（1）证明：∵△ABD为等边三角形且G为AD的中点，∴BG⊥AD又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BG⊥平面PAD（2）证明：∵△PAD是等边三角形且G为AD的中点，∴AD⊥PG∵AD⊥BG，PG∩BG=G，∴AD⊥平面PBG，PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB；（3）解：∵AD⊥PB，AD∥BC，∴BC⊥PB，∵BG⊥AD，AD∥BC，∴BG⊥BC，∴∠PBG是二面角A﹣BC﹣P的平面角，在直角△PBG中，PG=BG，∴∠PBG=45°，∴二面角A﹣BC﹣P的平面角是45°．点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及空间中直线与直线之间的位置关系，考查面面角，同时考查了空间想象能力、划归与转化的思想，属于中档题．21．（13分）（2015春•泰安校级期中）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有＞0．（Ⅰ）证明f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0（Ⅲ）若f（x）≤t2﹣2at+1对∀x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则，由已知，可比较f（x1）与f（x2）的大小，由单调性的定义可作出判断；（Ⅱ）利用函数的奇偶性可把不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），在由单调性得x2﹣1＜3x ﹣3，还要考虑定义域；（Ⅲ）要使f（x）≤t2﹣2at+1对∀x∈[﹣1，1]恒成立，只要f（x）max≤t2﹣2at+1，由f（x）在[﹣1，1]上是增函数易求f（x）max，再利用关于a的一次函数性质可得不等式组，保证对a∈[﹣1，1]恒成立；解答：解：（Ⅰ）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则，∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0，由已知，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数；（Ⅱ）∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且在[﹣1，1]上是增函数，∴不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），∴，解得；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）在[﹣1，1]上是增函数，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1，要使f（x）≤t2﹣2at+1对∀x∈[﹣1，1]恒成立，只要t2﹣2at+1≥1⇒t2﹣2at≥0，设g（a）=t2﹣2at，对∀a∈[﹣1，1]，g（a）≥0恒成立，∴，∴t≥2或t≤﹣2或t=0．点评：本题考查抽象函数的单调性、奇偶性，考查抽象不等式的求解，可从恒成立问题，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．。
湖南省张家界市第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案
张家界一中2017-2018学年上学期高二第一次月考数学试卷命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组（满分150分，时量120分钟） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“存在实数x ，使1x >”的否定是 ( C )A ．对任意实数x ，都有1x >B ．不存在实数x ，使1x ≤C ．对任意实数x ，都有1x ≤D ．存在实数x ，使1x ≤ 2．已知命题2:20p x x --<，:1q x <，则p 是q 的 ( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分，又不必要条件3. 一中生物园有平地和山地共120亩,现在估计平均亩产量,先用分层抽样的方法共抽取10 亩进行调查,如抽出的山地是平地的2倍多1亩,则生物园的平地与山地的亩数分别是( C ) A. 45,75 B.40,80 C. 36,84 D. 30,904. 函数2()2(1)2f x x a x =--+在(]4-∞，上单调递减，则实数a 的取值范围是（ D ）A ．3a ≤- B.3a ≥- C.a ≤5 D.a ≥55.右程序框图表示的算法的功能是 ( B )A ．求和264222S =+++ B ．求和2641222S =++++ C ．求和2651222S =++++D ．以上均不对6. 当0a ≠时，函数+y ax b =和a x y b =的图象只可能是下列中的 （ A ）7. 已知00200a b a b >>+=，， ，则lg lg a b +的最大值为 （ C ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 108．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 （ B ）A ．1BC ．D ．39．已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且s i n s i n s i n a b Ca c A B-=-+，则B =（ C ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．34π10．在区间[]21-，任取两个实数x y ，，则0x y +>概率为 （ A ） A ．29 B ．49 C ．12 D ．7911．若定义运算aa b a b ba b<⎧⊕=⎨≥⎩，则函数()212log log f x x x =⊕的值域是 （ B ）A. (]1-∞-，B. (]0-∞，C. [)0+∞，D. [)1+∞，12.方程2310ax x --=至少有一个负数根，则实数a 的取值范围是 （ C ）A. 94⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， B. 94⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， C. 94⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， D. [)0+∞，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省吉安一中2017-2018学年高二上学期第一次段考数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年江西省吉安一中高二（上）第一次段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为（）A．（0，2），2 B．（2，0），4 C．（﹣2，0），2 D．（2，0），22．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=43．下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；其中错误的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥侧面积是（）A．6B．4（+1）C．4D．85．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2，且b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知下列三个命题：①棱长为2的正方体外接球的体积为4π；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线x﹣y+1=0被圆（x﹣1）2+y2=4截得的弦长为2．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③7．圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．无穷等比数列{a n}中，“a1＞a2”是“数列{a n}为递减数列”的（）A．充分而不必要条件 B．充分必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件9．一个三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．36πD．64π10．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）A．﹣B．﹣C．D．11．已知圆的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B． C． D．12．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为．14．已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD=2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C﹣ABD的体积为．15．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM=BN≠，有以下四个结论：①AA1⊥MN，②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是（注：把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直角△ABC的顶点坐标A（﹣3，0），直角顶点B（﹣1，﹣2），顶点C在x轴上．（1）求点C的坐标；（2）求斜边的方程．18．如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．19．如图1是图2的三视图，三棱锥B﹣ACD中，E，F分别是棱AB，AC的中点．（1）求证：BC∥平面DEF；（2）求三棱锥A﹣DEF的体积．20．已知圆C：x2+（y﹣2）2=5，直线l：mx﹣y+1=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；（2）若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的长度．21．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证： +为定值．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．2016-2017学年江西省吉安一中高二（上）第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆x2+y2﹣4x=0的圆心坐标和半径分别为（）A．（0，2），2 B．（2，0），4 C．（﹣2，0），2 D．（2，0），2【考点】圆的标准方程．【分析】把圆的方程利用配方法化为标准方程后，即可得到圆心与半径．【解答】解：把圆x2+y2﹣4x=0的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，所以圆心坐标为（2，0），半径为=2故选D2．过点A （1，﹣1）、B （﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（）A．（x﹣3）2+（y+1）2=4 B．（x+3）2+（y﹣1）2=4 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=4 D．（x+1）2+（y+1）2=4【考点】圆的标准方程．【分析】先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，排除A，B选项；圆心在直线x+y﹣2=0上验证D选项，不成立．故选C．3．下列四个命题①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；其中错误的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】直线与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】对选项①④可利用正方体为载体进行分析，举出反例即可判定结果，对选项②③根据线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理进行判定即可．【解答】解：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立；故选B4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，该四棱锥侧面积是（）A．6B．4（+1）C．4D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先根据题意，把平面图转化为空间图形，进一步利用侧面积的公式求出结果．【解答】解：一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以：该四棱锥为为正四棱锥．其正（主）视图如图所示，则：下底面正方形的边长为2，四棱锥的高为2，四棱锥的侧面的高为：h=，则：四棱锥的侧面积：S=4×=4故选：C5．设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2，且b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．6．已知下列三个命题：①棱长为2的正方体外接球的体积为4π；②如果将一组数据中的每一个数都加上同一个非零常数，那么这组数据的平均数和方差都改变；③直线x﹣y+1=0被圆（x﹣1）2+y2=4截得的弦长为2．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据正方体与外接球的关系：正方体的对角线长即为球的直径，再由球的体积公式即可判断①；根据平均数和方差的公式即可判断②；根据直线与圆相交的弦长公式：a=2，先求出圆心到直线的距离d，应用公式即可判断③．【解答】解：①设正方体的外接球的半径为r，则2r=2，r=，则球的体积为==4，故①正确；②设一组数据为x1，x2，…，x n，它的平均数为a，方差为b，则另一组数据x1+c，x2+c，…，x n+c（c≠0），运用公式即可得，其平均数为a+c，方差为b，故②错；③圆（x﹣1）2+y2=4的圆心为（1，0），半径为2，直线x﹣y+1=0到圆的距离为=1，则直线被圆截得的弦长为2，故③正确．故正确的序号为①③．故选C．7．圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果．【解答】解：圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故答案为：3．8．无穷等比数列{a n}中，“a1＞a2”是“数列{a n}为递减数列”的（）A．充分而不必要条件 B．充分必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用数列的单调性、等比数列的性质、充要条件的判定方法即可判断出结论．【解答】解：若数列{a n}为递减数列，则a1＞a2．反之不成立：例如等比数列2，﹣1，，…，不是递减数列．∴“a1＞a2”是“数列{a n}为递减数列”的必要不充分条件．故选：C．9．一个三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且长度分别为1、、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为（）A．16πB．32πC．36πD．64π【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：所以球的直径是4，半径为2，球的表面积：16π故选A．10．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】根据反射定理可得圆心C（2，﹣1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，再由点P（﹣1，﹣3）也在入射光线上，利用斜率公式求得入射光线的斜率．【解答】解：根据反射定律，圆心C（2，﹣1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，再由点P（﹣1，﹣3）也在入射光线上，可得入射光线的斜率为=，故选：C．11．已知圆的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．B． C． D．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】圆C的圆心为C（4，0），半径r=1，从而得到点C到直线y=kx+2的距离小于或等于2，由此能求出k的最小值．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，∴整理得：（x﹣4）2+y2=1，∴圆心为C（4，0），半径r=1．又∵直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴点C到直线y=kx+2的距离小于或等于2，∴≤2，化简得：3k2+4k≤0，解之得﹣≤k≤0，∴k的最小值是﹣．故选：A．12．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A．B．C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm，蛋槽立起来的小三角形部分高度是，鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr2得到r=1cm，直径D=2cm，大于折好的蛋巢边长1cm，由此能求出鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离．【解答】解：蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm，蛋槽立起来的小三角形部分高度是，鸡蛋的半径根据已知的表面积4π=4πr2得到r=1cm，直径D=2cm，大于折好的蛋巢边长1cm，四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋槽的边长1cm，根据图示，AB段由三角形AB求出得：AB=，AE=AB+BE=，∴鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为3x﹣y﹣5=0．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式可得．【解答】解：∵直线x+3y+4=0的斜率为﹣，∴与直线x+3y+4=0垂直的直线斜率为3，故点斜式方程为y﹣1=3（x﹣2），化为一般式可得3x﹣y﹣5=0，故答案为：3x﹣y﹣5=0．14．已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD=2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连结BC，则三棱锥C﹣ABD的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】首先，根据直角三角形的性质，得到AD⊥平面BCD，然后，结合三棱锥的体积公式进行求解即可．【解答】解：∵AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC=C，∴AD⊥平面BCD，∵△BCD是正三角形，且边长为2，∴S=×2×=∴三棱锥C﹣ABD的体积V=×AD×S△BCD=×2×=∴三棱锥c﹣ABD的体积为：．故答案为：．15．如果对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A，那么点A的坐标是（﹣1，2）．【考点】恒过定点的直线．【分析】由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0，进而有x﹣2y+5=0且3x+y+1=0，由此即可得到结论．【解答】解：由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）=0∴x﹣2y+5=0且3x+y+1=0∴x=﹣1，y=2∴对任何实数k，直线（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k=0都过一个定点A（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM=BN≠，有以下四个结论：①AA1⊥MN，②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确结论的序号是①③（注：把你认为正确命题的序号都填上）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】过M作MO∥AB，交BB1于O，连接ON，利用线段等比例定理证明ON∥B1C1，根据线面垂直的判定定理证明BB1⊥平面OMN，又MN⊂平面OMN，可得AA1⊥MN，从而判断①正确；利用面面平行的判定定理可证平面A1B1C1D1∥平面OMN，从而得MN∥平面A1B1C1D1，从而判断③正确；根据M、N分别是AB1，BC1的中点时，可证MN∥A1C1，当M不是AB1的中点时，MN与A1C1异面，从而判断②④错误．【解答】解：过M作MO∥AB，交BB1于O，连接ON，∵AM=BN∴==，∴ON∥B1C1，∴BB1⊥OM，BB1⊥ON，OM∩ON=O，∴BB1⊥平面OMN，MN⊂平面OMN，∴BB1⊥MN，AA1∥BB1，∴AA1⊥MN，∴①正确；当M、N分别是AB1，BC1的中点时，取A1B1，B1C1的中点E，F，连接ME、NF，∵ME∥AA1，NF∥AA1，且ME=NF=AA1，∴四边形MNEF为平行四边形，∴MN∥EF，又EF∥A1C1，∴MN∥A1C1，当M不是AB1的中点时，MN与A1C1异面，∴②④错误；OM∥平面A1B1C1D1；ON∥平面A1B1C1D1，∴平面A1B1C1D1∥平面OMN，MN⊂平面OMN，∴MN∥平面A1B1C1D1；∴③正确．故答案是①③．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知直角△ABC的顶点坐标A（﹣3，0），直角顶点B（﹣1，﹣2），顶点C在x轴上．（1）求点C的坐标；（2）求斜边的方程．【考点】待定系数法求直线方程；直线的斜率．【分析】（1）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出直线BC的解析式，然后来求点C的坐标．（2）根据直角三角形斜边上的中点坐标和点O来求OB的方程．【解答】解：（1）依题意得，直角△ABC的直角顶点B（﹣1，﹣2），属于AB⊥BC，故k AB•k BC=﹣1．又因为A（﹣3，0），所以k AB==﹣，所以k BC=，所以直线BC的方程为：y+2=（x+1），即．因为直线BC的方程为，点C在x轴上，由y=0，得x=3，即C（3，0）．（2）由（1）得C （3，0）， 所以AC 的中点为（0，0），所以中线为OB （O 为坐标原点）的斜率k=2，所以直线OB 的方程为y=2．18．如图四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，∠ABC=90°，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，可求其表面积和体积．【解答】解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成： 圆台下底面、侧面和一半球面 S 半球=8π，S 圆台侧=35π，S 圆台底=25π．故所求几何体的表面积为：8π+35π+25π=68π由，所以，旋转体的体积为19．如图1是图2的三视图，三棱锥B ﹣ACD 中，E ，F 分别是棱AB ，AC 的中点．（1）求证：BC ∥平面DEF ； （2）求三棱锥A ﹣DEF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）根据E ，F 分别是AB ，AC 的中点得到EF ∥BC ，应用判定定理即得证．（2）由图1得CD⊥AB，BD⊥AD，BD⊥CD，得到BD⊥平面ACD．取AD的中点G，连接EG，求得，进一步计算体积．【解答】证明：（1）∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵BC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴BC∥平面DEF．…解：（2）∵如图1得CD⊥AB，BD⊥AD，BD⊥CD，又∵CD∩AD=D，∴BD⊥平面ACD．…取AD的中点G，连接EG，∵E是AB的中点，∴．∴EG⊥平面ACD，，∴．…20．已知圆C：x2+（y﹣2）2=5，直线l：mx﹣y+1=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；（2）若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的长度．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）根据直线l：mx﹣y+2﹣m=0，恒过D（1，2）点，点在圆C内部，可得结论；（2）求出圆心C（0，2）到直线mx﹣y+1=0的距离，代入圆的弦长公式，可得答案．【解答】解：（1）直线mx﹣y+1=0恒过定点（0，1），且点（0，1）在圆C：x2+（y﹣2）2=5的内部，所以直线l与圆C总有两个不同交点．（2）圆心C（0，2）到直线mx﹣y+1=0的距离d=，所以弦AB的长度=2=2．21．已知圆C：x2+y2+2x﹣3=0．（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证： +为定值．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）把圆C的方程化为标准方程，写出圆心和半径；（2）设出直线l的方程，与圆C的方程组成方程组，消去y得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系求出+的值．【解答】（1）解：圆C：x2+y2+2x﹣3=0，配方得（x+1）2+y2=4，则圆心C的坐标为（﹣1，0），圆的半径长为2；（2）证明：设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消去y得（1+k2）x2+2x﹣3=0，则有：，，所以为定值．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱锥的结构特征；直线与平面平行的性质．【分析】（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明平面MBD内的直线BD垂直平面PAD，即可证明平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）M点位于线段PC靠近C点的三等分点处，证明PA∥MN，MN⊂平面MBD，即可证明PA∥平面MBD．（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，说明PO为四棱锥P﹣ABCD的高并求出，再求梯形ABCD 的面积，然后求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD=4，，AB=8，∴AD2+BD2=AB2．∴AD⊥BD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD．又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD．（Ⅱ）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD．证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．又∵CM：MP=1：2，∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．∵MN⊂平面MBD，∴PA∥平面MBD．（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．又∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高．∴梯形ABCD的面积．故．2016年12月7日。
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2017-2018学年湖南省湘西州吉首一中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共12题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案，把正确答案填在答题卡上的相应位置）1．已知a，b∈R，则下列正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a≠|b|，则a2≠b22．若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或13．已知{a n}，{b n}都是等比数列，那么（）A．{a n+b n}，{a n•b n}都一定是等比数列B．{a n+b n}一定是等比数列，但{a n•b n}不一定是等比数列C．{a n+b n}不一定是等比数列，但}{a n•b n}一定是等比数列D．{a n+b n}，{a n•b n}都不一定是等比数列4．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（）A．（2，3）B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）C．（）D．（5．等比数列{a n}的各项均为正数，且a3a8+a4a7=18．则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log356．△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形7．若不等式x2+kx+1＜0的解集为空集，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）8．设M=2a（a﹣2），N=（a+1）（a﹣3），则有（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N9．在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．4510．已知数列a n=（n∈N*），则数列{a n}的前10项和为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，，则最小角为（）A．B．C．D．12．在△ABC中，a=80，b=100，A=30°，则B的解的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定二、填空题（共4题，每小题5分，共20分，把正确答案写在答题卡上的相应位置）13．在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=500，则a2+a8=．14．在△ABC中，A=60°，AB=1，AC=2，则S的值为．△ABC15．在三角形ABC中，若三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，a=1，c=4，B=45°，则sinC的值等于．16．等比数列{a n}中，a3=12，a5=48，那么a7=．三、解答题（共6个小题，每小题要写上步骤及相应的文字说明）17．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={x|x2﹣4x+3＞0}，求A∪B，A∩B．=4a n﹣3n+1，n∈N•．18．在数列{a n}中，已知a1=2，a n+1（1）设b n=a n﹣n，求证：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．19．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．20．已知数列{x n}的首项x1=3，通项（n∈N*．p，q为常数）且x1，x4，x5成等差数列，求p，q的值．21．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=3n+k（k为常数，n∈N*）．（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n和T n．22．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．2015-2016学年湖南省湘西州吉首一中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案，把正确答案填在答题卡上的相应位置）1．已知a，b∈R，则下列正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a≠|b|，则a2≠b2【考点】不等关系与不等式．【分析】举反例可排除ABD，至于C由不等式的性质平方可证．【解答】解：选项A，取a=﹣1，b=﹣2，显然满足a＞b，但不满足a2＞b2，故错误；选项B，取a=﹣1，b=﹣2，显然满足|a|＞b，但不满足a2＞b2，故错误；选项D，取a=﹣1，b=1，显然满足a≠|b|，但a2=b2，故错误；选项C，由a＞|b|和不等式的性质，平方可得a2＞b2，故正确．故选：C．2．若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1【考点】数列与函数的综合．【分析】根据a，b及c为等比数列，得到b2=ac，且ac＞0，然后表示出此二次函数的根的判别式，判断出根的判别式的符号即可得到二次函数与x轴交点的个数．【解答】解：由a，b，c成等比数列，得到b2=ac，且ac＞0，令ax2+bx+c=0（a≠0）则△=b2﹣4ac=ac﹣4ac=﹣3ac＜0，所以函数f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数是0．故选A．3．已知{a n}，{b n}都是等比数列，那么（）A．{a n+b n}，{a n•b n}都一定是等比数列B．{a n+b n}一定是等比数列，但{a n•b n}不一定是等比数列C．{a n+b n}不一定是等比数列，但}{a n•b n}一定是等比数列D．{a n+b n}，{a n•b n}都不一定是等比数列【考点】等比数列的性质．【分析】当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是两者互为相反数的数列，题目的和就不是等比数列，两个等比数列的积一定是等比数列．【解答】解：当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是两者互为相反数的数列，题目的和就不是等比数列，两个等比数列的积一定是等比数列，故选C．4．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（）A．（2，3）B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）C．（）D．（【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先根据不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，判断a＜0，从而求出a，b 值，代入不等式x2﹣bx﹣a＜0，从而求解．【解答】解：∵不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，∴a＜0，∴方程ax2﹣bx﹣1=0的两个根为﹣，﹣，﹣=﹣﹣，=，∴a=﹣6，b=5，∴x2﹣bx﹣a＜0，∴x2﹣5x+6＜0，∴（x﹣2）（x﹣3）＜0，∴不等式的解集为：2＜x＜3．5．等比数列{a n}的各项均为正数，且a3a8+a4a7=18．则log3a1+log3a2+…+log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的性质可得：a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=…==9．再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=…==9．则log3a1+log3a2+…+log3a10===10，故选：B．6．△ABC中，==，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【考点】正弦定理．【分析】由，利用正弦定理可得tanA=tanB=tanC，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：=，又，∴tanA=tanB=tanC，又A，B，C∈（0，π），∴A=B=C=，则△ABC是等边三角形．故选：D．7．若不等式x2+kx+1＜0的解集为空集，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】一元二次不等式的应用．【分析】由于不等式x2+kx+1＜0的解集为空集，可得△=k2﹣4≤0，解得即可．【解答】解：∵不等式x2+kx+1＜0的解集为空集，∴△=k2﹣4≤0，解得﹣2≤k≤2，∴k的取值范围是[﹣2，2]．故选：A．8．设M=2a（a﹣2），N=（a+1）（a﹣3），则有（）A．M＞N B．M≥N C．M＜N D．M≤N【考点】向量在几何中的应用．【分析】比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M﹣N的结果，判断结果的符号．【解答】解：∵M﹣N═2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3）=（a﹣1）2+2＞0，∴M＞N．故选A．9．在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（）A．40 B．42 C．43 D．45【考点】等差数列的性质．【分析】先根据a1=2，a2+a3=13求得d和a5，进而根据等差中项的性质知a4+a5+a6=3a5求得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，得d=3，a5=14，∴a4+a5+a6=3a5=42．故选B10．已知数列a n=（n∈N*），则数列{a n}的前10项和为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：数列a n==，∴S n=+…+==，∴S10=．故选：C．11．在△ABC中，，则最小角为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】比较三条边的大小，可得c边最小，得C为最小角．利用余弦定理算出cosC=，结合C为三角形的内角，可得C=，可得本题答案．【解答】解：∵在△ABC中，，∴c为最小边，可得C为最小角由余弦定理，得cosC===∵C为三角形的内角，可得C∈（0，π），∴C=，即为△ABC的最小角为．故选：B12．在△ABC中，a=80，b=100，A=30°，则B的解的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理得到sinB的值，然后因为B为三角形中的角即B∈（0，π），利用正弦函数的图象得到B满足条件的个数即可【解答】解：因为a=80，b=100，A=30°，根据正弦定理得：=，代入得到sinB=，由于B∈（0，π），所以B=arcsin或B=π﹣arcsin故选C二、填空题（共4题，每小题5分，共20分，把正确答案写在答题卡上的相应位置）13．在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=500，则a2+a8=200．【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=500，得到a5=100，则a2+a8=2a5=200．故答案为：200．14．在△ABC中，A=60°，AB=1，AC=2，则S的值为．△ABC【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算求值得解．【解答】解：∵△ABC中，A=60°，AB=1，AC=2，=AB•AC•sinA==．∴S△ABC故答案为：．15．在三角形ABC中，若三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，a=1，c=4，B=45°，则sinC的值等于．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理可得b，再利用正弦定理即可得出．【解答】解：b2=﹣2×=25，解得b=5．由正弦定理可得：=，解得sinC=．故答案为：．16．等比数列{a n}中，a3=12，a5=48，那么a7=192．【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质可知：a52=a3•a7，解得a7．【解答】解：在等比数列{a n}中，已知a3=12，a5=48由等比数列的性质可知：a52=a3•a7=12a7=482解得a7=192，故答案为：192．三、解答题（共6个小题，每小题要写上步骤及相应的文字说明）17．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={x|x2﹣4x+3＞0}，求A∪B，A∩B．【考点】交集及其运算；并集及其运算．【分析】先依据二次函数的性质及二次不等式的解法化简集合A，B，再求它们的交集和并集即可．【解答】解：∵x2﹣16＜0⇒﹣4＜x＜4，∴A={x|﹣4＜x＜4}，∵x2﹣4x+3＞0⇒x＞3或x＜1，∴B={x|x＞3或x＜1}，∴A∩B={x|﹣4＜x＜1或3＜x＜4}A∪B=R=4a n﹣3n+1，n∈N•．18．在数列{a n}中，已知a1=2，a n+1（1）设b n=a n﹣n，求证：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（1）确定数列{b n}是等比数列，则要证明是个不为0的定值，结合题干条件即可证，（2）首先根据（1）求出数列{b n}的通项公式，然后根据题干条件求得a n=b n+n=4n﹣1+n，结合等差数列和等比数列的求和公式即可解答．【解答】解：（1）∵，且b1=a1﹣1=1∴b n为以1为首项，以4为公比的等比数列，（2）由（1）得b n=b1q n﹣1=4n﹣1∵a n=b n+n=4n﹣1+n，∴=，19．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2﹣ac=b2，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，故cosB=，B=45°（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=故a=b×==1+∴c=b×=2×=20．已知数列{x n}的首项x1=3，通项（n∈N*．p，q为常数）且x1，x4，x5成等差数列，求p，q的值．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】根据x1=3，求得p，q的关系，进而根据通项x n=2n p+np（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．建立关于p的方求得p，进而求得q．【解答】解：∵x1=3，∴2p+q=3，①又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，∴3+25p+5q=25p+8q，②联立①②求得p=1，q=121．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=3n+k（k为常数，n∈N*）．（1）求k的值及数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）方法一：由题意可得解得a1，a2，a3．利用{a n}为等比数即列，可得，解得k，可得S n．当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1可得出．．由于数列{a n}是等比数列，可得方法二：当n=1时，a1=S1=3+k；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1q=，解得k，即可得到a n．，代入，得，再利用“错位相减法”即可得出．（2）将k及a n+1【解答】解：（1）方法一由题意可得，∴，又∵{a n}为等比数列，∴，即36=18（3+k），解得k=﹣1，∴．当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，，显然，n=1时也适合，∴．方法二当n=1时，a1=S1=3+k；当n≥2时，．∵数列{a n}是等比数列，∴，即，解得k=﹣1，∴．（2）将k=﹣1及，代入，得，∴①②①﹣②得：=，∴．22．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）由题意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出渔船甲的速度；（2）方法一：在△ABC中，直接利用正弦定理求出sinα．方法二：在△ABC中，利用余弦定理求出cosα，然后转化为sinα．【解答】解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC=122+202﹣2×12×20×cos120°=784．解得BC=28．所以渔船甲的速度为海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（2）方法1：在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，由正弦定理，得．即．答：sinα的值为．方法2：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，由余弦定理，得．即．因为α为锐角，所以=．答：sinα的值为．2016年11月6日。