大整数乘法

大整数乘法
我们知道，计算机分配固定大小的内存空间来表达一个整数，这里研究的大整数指的
是在计算机能够表达的整数范围内的整数，那些大的超过计算机整数表达范围要用其
它方式，比如数组，来表示的不在本文算法研究之列。

这篇文章研究的是用分治法解决大整数乘法问题。
要求两个位数为n的整数A和B的乘积AxB。如果用普通的乘法的话，要用n2次乘法
和n-1次加法，所以时间复杂度是O(n
2
)。

如果把A分解成A=a*10
n/2
+b

把B分解成B=c*10
n/2
+d

那么AxB=( a*10
n/2+b)x(c*10n/2+d)=ac*10n+(ad+bc)*10n/2
+bd

= ac*10n+((a+b)(c+d)-ac-bd)*10n/2+bd
这样的话是3次乘法6次加法，当然，可以递归计算ac,bd,(a+d)(c+d)
由此可以产生下面递推公式：
T(n)=3T(n/2)+bn; n>1
T(n)=d; n=1
b d是大于0的常量。
根据主定理T(n)=n
1.59
(1.59=log23)

算法实现：
//大整数乘法
public class Multiplication {

/**
* @param args
*/

public long mutiply(long a ,long b){
long n=getDigitsNum(a); //位数
if(n<4) return a*b;

long al=a%(int)Math.pow(10, n/2);//每个数字分成两部分
long au=a/(int)Math.pow(10, Math.ceil(n/2));
long bl=b%(int)Math.pow(10, n/2);
long bu=b/(int)Math.pow(10, Math.ceil(n/2));
long ac=mutiply(au,bu); //ac
long bd=mutiply(al,bl); //bd
long abcd=mutiply(au+al,bu+bl); //(a+b)*(c+d)
long r=ac*(long)Math.pow(10, 2*(n/2))+(abcd-ac-
bd)*(long)Math.pow(10, n/2)+bd;

return r;
}

//计算位数,a与b的位数必须相等。时间复杂度是O(n)
public int getDigitsNum(long a){
int i=0;
while(a>0){
i++;
a=a/10;
}
return i;
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
long a=1683527,b=1528719;
long result=new Multiplication().mutiply(a, b);
System.out.println(a*b);
System.out.println(result);
}
}