07第七讲 信息融合 状态估计-卡尔曼滤波
卡尔曼滤波的融合原理
卡尔曼滤波的融合原理
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种基于贝叶斯估计理论的递归最优线性最小方差滤波器，它在信号处理和控制工程领域中广泛应用，尤其擅长于多传感器数据融合以及动态系统的状态估计。
其融合原理可以简化表述如下：
1.预测阶段：
1.利用系统的动态模型，根据上一时刻的状态估计值及其协方差矩
阵，结合当前时刻的系统输入（如果有），通过状态转移方程预测下一时刻的状态和相应的预测误差协方差矩阵。
2.更新阶段：
1.当新的观测数据可用时，通过观测模型计算出一个预测与实际观测
之间的残差（即所谓的卡尔曼增益K）。
2.卡尔曼增益是基于预测误差协方差和观测噪声的协方差之比确定
的，它反映了对预测的信任度和对观测的信任度的相对权重。
3.使用这个增益来调整预测状态，得到一个更加准确的状态估计，也
就是将预测结果与实际测量值进行加权融合。
4.同时更新后验状态误差协方差矩阵，以反映新信息被融合后的不确
定性。
整个过程的关键在于如何最优地结合来自系统动力学模型预测的信息（先验信息）与从传感器获取的实时观测信息（后验信息）。
由于假定噪声项服从高斯分布，卡尔曼滤波能够找到一种数学上的最优解，使得状态估计具有最小均方误差。
在实际应用中，这种融合方法非常强大且灵活，可以处理连续时间或离散时间的线性系统，对于非线性系统则可通过扩展如扩展卡尔曼滤波等方法来近似处理。
卡尔曼滤波_卡尔曼算法
卡尔曼滤波_卡尔曼算法1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的技术，通过融合传感器测量值和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。
它的应用十分广泛，特别在导航、图像处理、机器人技术等领域中发挥着重要作用。
在现实世界中，我们往往面临着各种噪声和不确定性，这些因素会影响我们对系统状态的准确估计。
卡尔曼滤波通过动态调整系统状态的估计值，可以有效地抑制这些干扰，提供更加精确的系统状态估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统模型的预测和传感器测量值之间的线性组合，来计算系统状态的最优估计。
通过动态地更新状态估计值，卡尔曼滤波可以在对系统状态的准确估计和对传感器测量值的实时响应之间进行平衡。
卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：预测和更新。
在预测步骤中，通过系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的系统状态。
在更新步骤中，将传感器测量值与预测值进行比较，然后根据测量误差和系统不确定性的权重，计算系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波具有很多优点，例如它对传感器噪声和系统模型误差具有鲁棒性，可以提供较为稳定的估计结果。
此外，卡尔曼滤波还可以有效地处理缺失数据和不完全的测量信息，具有较高的自适应性和实时性。
尽管卡尔曼滤波在理论上具有较好的性能，但实际应用中还需考虑诸如系统模型的准确性、测量噪声的特性等因素。
因此，在具体应用中需要根据实际情况进行算法参数的调整和优化，以提高估计的准确性和可靠性。
通过深入理解卡尔曼滤波的原理和应用，我们可以更好地应对复杂环境下的估计问题，从而在实际工程中取得更好的效果。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和算法步骤，以及其在不同领域的应用案例。
希望通过本文的阅读，读者们可以对卡尔曼滤波有一个全面的了解，并能够在实际工程中灵活运用。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将围绕卡尔曼滤波和卡尔曼算法展开论述。
首先，我们会在引言部分对卡尔曼滤波和卡尔曼算法进行简要概述，介绍其基本原理和应用领域。
卡尔曼滤波方法
次提出的一种估计方法。之所以称为滤波，是因为它是一 种排除随机干扰，提高检测精度的一种手段。
• KF是基于最小方差准则推导出来的一种线性滤波器。 • KF是一种时域递推算法，根据上一状态的估计值和当前
状态的观测值推出当前状态，不需存储大量的历史数据， 便于计算机实现。
xˆk xˆk K( yk yˆk )
Px, k Px, k KPy, k K T
27
Xˆ k|k Xˆ k k1 Kk Z~k k1
测量更新 /修正
方差估值 Pk k [I Kk Hk ]Pk k1
7
3.5 卡尔曼滤波的结构图
上述递推公式，称为卡尔曼滤波器。实际上，卡尔曼 滤波器也是一个系统，其结构框图如下：
Zk + -
+
Kk
+
Z k|k 1
当前估计值
Xˆ k
14
3.7 联邦卡尔曼滤波
• 卡尔曼滤波最成功的工程应用是设计运载体的高精度组合
导航系统。为了与联邦滤波方法相区别，将普通的卡尔曼
滤波称为集中卡尔曼滤波。
• 由于对导航精度要求的提高，导航设备越来越多。另一方
面，现代系统向大系统和复杂系统的方向发展。这种情况
下采用集中式卡尔曼实现组合导航，存在两个问题：
yˆ
k
W (m) i
i
k|k 1
i0
2n
Py, k
Wi
(c)
[
i k|k
1
yˆ k
][
i k|k 1
yˆk ]T
07第七讲 信息融合 状态估计-卡尔曼滤波
观测模型由下式给出：
z(k)=cx(k)+v(k) 式中：c——测量因子； v(k)——E(·)=0，D(·)=σ2n的白噪声。 最优递推估值器的信号和观测模型如图所示。
32
W (k－ 1 )
＋ ＋
∑
x(k)
c
∑
z(k)
a
z－ 1
V(k)
最优递推估值器的信号和观测模型
33
2、标量卡尔曼滤波器
a(k)=a［1-cb(k)］
最后有递归估值器：
ˆ (k ) aX ˆ (k 1) b(k )[z(k ) acX ˆ (k 1)] X
34
b(k)为滤波器增益
2 2 1 b(k ) cP ( k )[ c P ( k ) 1 1 n]
其中,
2 2 P ( k ) a P ( k 1 ) 1 w
如果它大于或等于1， 该滤波器就不稳定了。
16
式中， zk与非递归情况相同； a是一个小于 1的滤波器加权系数，
k时刻的输出：
yk=ak-1z1+ak-2z2+…+azk-1+zk
将zk中的信号和噪声分开，并代入，有输出 k 1 ak yk x a k i ni 1 a i 1
19
1. 最优非递归估计
非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
ˆ hi zi X
i 1 2 2 ˆ P E[( X x ) ] E[( hi zi x ) ] i 1 m
m
20
对 m 个参数逐一求导，令等于零，在均值为零的白噪声的
情况下，可得到最小均方误差和估计：
均方误差
1 2 P ( k ) n b( k ) c
状态估计之kalman滤波
Π
其中：
Π
进而：
2012/6/6
Π
8
5.1 卡尔曼滤波
● 针对随机线性时不变离散系统，用状态方程描述如下：
⎧ X k = Φk ,k −1 X k −1 + Γ k ,k −1Wk −1 状态(转移)方程 ⎨ 观测方程 ⎩Zk = Hk X k + Vk
ˆ E ⎡ba T ⎤ = E ⎡ ( I − K k H k )Wk −1 ( X k −1 − X k −1 ) T ΦkT ( I − K k H k ) T ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
T E ⎡bc T ⎤ = E ⎡( I − K k H k )Wk −1VkT K k ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆ E ⎡ca T ⎤ = E ⎡ K kVk ( X k −1 − X k −1 )T ΦkT ( I − K k H k )T ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ E ⎡cb T ⎤ = E ⎡ K kVkWkT ( I − K k H k )T ⎤ -1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2012/6/6
3
5.1 卡尔曼滤波
从观测到的信号中估计出状态的估值，并且希望 估值与状态的真实值的误差越小越好，即要求有：
ˆ x(t ) − x(t ) = min
因此存在最优估计问题，这就是卡尔曼滤波。 如何去估计状态值是一个非常重要的问题，卡尔 曼滤波通常用当前时刻输出测量值和前一时刻的 状态估计值去估计当前时刻的状态值。
ˆ ˆ = Φk ( X k −1 − X k −1 ) − K k H k Φ k ( X k −1 − X k −1 ) + Wk −1 − K k H kWk −1 − K kVk
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的强大工具，它在许多领域都有着广泛的应用，包括航空航天、自动控制、金融领域等。
本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和应用，并探讨其在状态估计模型中的重要性。
首先，让我们了解一下卡尔曼滤波的基本原理。
卡尔曼滤波是一种递归的状态估计方法，它通过将系统的动态模型和测量模型结合起来，不断地更新对系统状态的估计。
卡尔曼滤波的核心思想是利用系统的动态模型来预测下一个时刻的状态，然后利用测量值来修正这一预测，从而得到对系统真实状态的更准确估计。
在实际应用中，卡尔曼滤波通常用于处理带有噪声的传感器数据，以及对系统状态进行估计。
例如，在飞行器导航系统中，卡尔曼滤波可以用来估计飞行器的位置和速度，从而实现精确的导航控制。
在自动驾驶汽车中，卡尔曼滤波可以用来融合来自不同传感器的数据，以实现对车辆位置和周围环境的准确估计。
除了在航空航天和自动控制领域的应用外，卡尔曼滤波在金融领域也有着重要的应用。
例如，它可以用来对金融市场的波动进行
预测，从而帮助投资者做出更明智的决策。
总之，卡尔曼滤波是一种强大的状态估计方法，它在许多领域
都有着广泛的应用。
通过结合系统动态模型和测量模型，卡尔曼滤
波可以对系统状态进行准确的估计，从而为实际应用提供了重要的
支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解卡尔曼滤波的原理和应用，并在实际工程中加以应用。
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波是一种用于状态估计的强大工具，它在许多现代科
学和工程领域中都得到了广泛的应用。
这种滤波器能够从一系列不
完全、噪声干扰的测量中，估计出系统的真实状态。
它的应用范围
包括但不限于航空航天、导航、无人机、自动控制系统和金融领域。
卡尔曼滤波的核心思想是通过将先验信息（系统的动态模型）
和测量信息（传感器测量）进行融合，来估计系统的真实状态。
它
能够有效地处理测量噪声和模型不确定性，并且能够提供对系统状
态的最优估计。
卡尔曼滤波的工作原理是通过不断地更新系统状态的估计值，
以使其与实际状态尽可能接近。
它通过两个主要步骤实现这一目标，预测和更新。
在预测步骤中，根据系统的动态模型和先验信息，估
计系统的下一个状态。
在更新步骤中，根据测量信息，修正先前的
状态估计，以获得最优的系统状态估计。
卡尔曼滤波的优势在于它能够在计算复杂度相对较低的情况下，提供对系统状态的最优估计。
它还能够有效地处理非线性系统，并
且能够适应不同类型的测量噪声。
总的来说，卡尔曼滤波是一种强大的状态估计工具，它在许多现代应用中都发挥着重要作用。
通过将先验信息和测量信息进行融合，它能够提供对系统状态的最优估计，为科学和工程领域的研究和应用提供了重要的支持。
卡尔曼滤波PPT课件
• k＝1， (2) 0.5000H，(2) 0.500Sˆ(02)， 0.4762 Sˆ(1) 0.4048 X (2)
• k＝2， (3) 0.4048H，(3)
(4)
H (4)
• k＝3， (5) 0.3824H，(5)
• k＝4， (6) 0.3768H，(6)
0.404Sˆ(83) ， 0.4941Sˆ(2) 0.3824 X (3)
其中
，
尔曼滤波器的稳态
和
X(k) C(k)S(k) w(k)
S信(k号) 和A噪(k声)S统(k计独1立) 。w求1卡(k 1)
。
A 0.8 C 1
Q(k
)
2 w1
0.36
R(k) var(w(k)) 1
H(k) ε(k )
第22页/共32页
（5）
ε(k )
ε(k) 0.64ε(k 1) 0.36 H(k) 0.64ε(k 1) 1.36
第19页/共32页
初始条件为Sˆ(1) 0, (0) 1 ，k＝0开始
观测，利用等式（4），（5）进行递推得：
(0)
H (0)
Sˆ (0) X (0)
• k＝0， (1) 1.0000H，（1） 1.000Sˆ(01)， 0.4Sˆ(0) 0.5X (1)
ε(k令) H(K)C(k) ε(k) ε(k，)C(k) τ H(k) τ H(k)[C(k) ε(k)C(k) τ R(k)]H(k) τ
代入上C式(化k简)ε：(k)C(k) τ R(k) SSτ U ε(k)C(k) τ
ε(k ) ε(k) H(K)U τ (6-U68H) (k) τ H(k)SS τ H(k) τ
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1. 最优非递归估计
非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
ˆ hi zi X
i 1 2 2 ˆ P E[( X x ) ] E[( hi zi x ) ] i 1 m
m
20
对 m 个参数逐一求导，令等于零，在均值为零的白噪声的
情况下，可得到最小均方误差和估计：
相应的估计误差
i 1 i 1
k 1
k 1
1 2 P (k ) n k b
22
1 2 P (k 1) n (k 1) b
由b=ζ2n/ζ2x及hi(k)=1/（k+b），有
hi (k ) hi (k 1)
所以有
P (k )
2 n
bk bk 1
但经常要对信号的未来值进行预测，特别是在控制系统中。根
据预测提前时间的多少，把预测分成1步、2步、…、 m步预测，
通常把1步预测记作
ˆ (k 1/ k ) X
。预测的步数越多， 误差
越大。 这里讨论1步预测问题。
信号模型和观测模型同前：
x(k ) ax(k 1) w(k 1) z(k ) cx(k ) v(k )
5
卡尔曼滤波器
卡尔曼滤波器的应用:
通信、雷达、导航、自动控制等领域；
航天器的轨道计算、雷达目标跟踪、生产过程的自 动控制等。
6
卡尔曼滤波器的应用特点
对机动目标跟踪中具有良好的性能；
为最佳估计并能够进行递推计算；
只需当前的一个测量值和前一个采样周期的预测 值就能进行状态估计。
7
卡尔曼滤波器的局限性
ˆ k 1 X ˆ k bk 1(Zk 1 X ˆk) X
25
最优递归估计器
递推公式
bk 1 ^ X k 1 Xk zk 1 1 bk 1 bk
^
26
最优递归估计器
递推公式
X k 1 X k bk 1 ( zk 1 X k )
27
^
^
^
ˆ 应满足 ： 递推开始时的初始条件 X 0
ij
m
P
13
2 n
m
结论
①估计值 是用m X个采样值的平均值作为被 估参量x的近似值； ②估值器的均方误差随着m的增加而减少；
^
③该估值器是一个无偏估值器。
m 1 ˆ E ( X ) E ( x ni ) E ( x) x0 m i 1
14
2、递归估值器
由于 │ a│ ＜ 1 ，故随着 k 值的增加， yk 趋近于 x/(1-a) 。这样，如 果以(1-a)yk作为x的估计值，
ˆ k (1 a) yk X
则
17
ˆ k (1 a k ) x (1 a ) a k i ni X
i 1
k
此时信号x和估值之间只差一个噪声项。当k值较大时， 估值的均方误差
ˆ )2 ] E[( x X 0 0 ˆ X 0
2 ˆ0 ˆ 0 E ( x) ，这时的 P 以使 X 为最佳值。 解之，得 X x
如果E(x)=0，可从零开始递推运算，即
ˆ0 0 X
1 b0 b
2 x 2 n
28
三、标量卡尔曼滤波器－时变信号
主要作用： 对掺杂有噪声的随机信号进行线性估计1 1－a ˆ X k
＋
a
a为滤波器的加权系数，a<1。
15
递归数字滤波器是一种带有反馈的滤波器，它有无限的脉
冲响应，有阶数少的优点， 但其暂态过程较长。关于信号和噪
声的基本假设与非递归情况相同。上图给出的一阶递归滤波器 输入输出信号关系如下：
yk ay k 1 zk z k x nk
i 1
k 1
将第一项同时乘、除一个bk，则
k 1 b bk 1 ˆ k 1 ˆ X k 1 bk zi bk 1zk 1 X k bk 1zk 1 bk i 1 bk
24
最后有
或
1 b k ˆ ˆ X k 1 Xk zk 1 1 bk 1 bk
37
根据前一节， 有一步线性预测递推公式：
ˆ (k 1/ k ) a(k ) X ˆ (k / k 1) (k ) z(k ) X
其中，a(k)和β(k)可以通过使均方预测误差最小来确定。预测的 均方误差可表示为
2 2 ˆ P ( k 1 / k ) E [ e ( k 1 / k )] E [ x ( k 1 / k ) X ( k 1 / k )]
29
1、模型
1） 信号模型
设要估计的随机信号为由均值为 0，方差为ζ2w的白噪声激
励的一个一阶递归过程，即信号对时间变化满足动态方程：
x(k)=ax(k-1)+w(k-1) 式中，a——系统参数； w(k-1)——白噪声采样。
如果令x(0)=0，E［w(k)］=0， 则
30
0 k j Pw ( j ) E[ w(k ) w( j )] 2 w k j
均方误差
1 2 P ( k ) n b( k ) c
对于给定的信号模型和观测模型，上述一组方程便称为一 维标量卡尔曼滤波器，其结构如图所示。
35
z(k) ＋
∑ －
b(k)
＋
∑ ＋
ˆ (k ) X
c
a
z－ 1
标量卡尔曼滤波器结构
36
3、标量卡尔曼预测器
标量卡尔曼滤波是对掺杂有噪声的随机信号进行线性估计。
P (k 1)
2 n
bk 1 k b 1 bk k b 1 1 1 /(k b)
23
bk bk 1 1 bk
于是,
ˆ k 1 bk 1 zi X
i 1
k 1
分成二项：
ˆ k 1 bk 1 zi bk 1 zk 1 X
10
根据数字信号处理我们知道，所谓非递归数字滤波器是一
种只有前馈而没有反馈的滤波器，它的冲击脉冲响应是有限的，
在许多领域有着广泛的应用。
假定用zk表示观测值，
zk=x+nk
式中： x —恒定信号或称被估参量 nk —观测噪声采样 假定，E(x)=x0，D(x)=ζ2x，E(nk)=0，E(n2k)=ζ2n。
由前将递归估计的形式写成：
ˆ ( k ) a( k ) X ˆ (k 1) b(k ) z(k ) X
均方误差
ˆ (k ) x (k ))2 ] P (k ) E[( X ˆ (k 1) b(k ) z (k ) x (k ))2 ] E[(a (k ) X
分别对a(k)和b(k)求导，并令其等于0，求其最佳估计，得出 a(k)与b(k)的关系：
第七讲 状态估计—卡尔曼滤波
状态估计的主要内容
应用： 通过数学方法寻求与观测数据最佳拟合的状态 向量。 1、确定运动目标的当前位置与速度； 2、确定运动目标的未来位置与速度； 3、确定运动目标的固有特征或特征参数。
2
状态估计主要内容：位置与速度估计。
位置估计：距离、方位和高度或仰角的估计； 速度估计：速度、加速度估计。
该过程 称作一阶自回归过程。x(k)的均值和方差分别为：
E[ x(k )] 0 D[ x(k )] E[ x (k )] Px (0)
2 2 x 2 w
1 a
2
自相关函数
E[ x(k ) x(k j)] Px ( j) a Px (0)
| j|
31
2） 观测模型
卡尔曼滤波器解决运动目标或实体的状态估计问 题时，动态方程和测量方程均为线性。
8
一、数字滤波器作估值器
1、非递归估值器 2、递归估值器
9
1、非递归估值器
采样平均估值器：
z1 h1 z－ 1 z2 h2 z－ 1 z3 h3 ∑
ˆ X
…
z－ 1 hm
采用时域分析方法在掺杂有噪声的测量信号中 估计信号x。
观测模型由下式给出：
z(k)=cx(k)+v(k) 式中：c——测量因子； v(k)——E(·)=0，D(·)=σ2n的白噪声。 最优递推估值器的信号和观测模型如图所示。
32
W (k－ 1 )
＋ ＋
∑
x(k)
c
∑
z(k)
a
z－ 1
V(k)
最优递推估值器的信号和观测模型
33
2、标量卡尔曼滤波器
a(k)=a［1-cb(k)］
最后有递归估值器：
ˆ (k ) aX ˆ (k 1) b(k )[z(k ) acX ˆ (k 1)] X
34
b(k)为滤波器增益
2 2 1 b(k ) cP ( k )[ c P ( k ) 1 1 n]
其中,
2 2 P ( k ) a P ( k 1 ) 1 w
21
1 h1 h2 hm mb
2、由最优非递推估计导出递归估计
由前可知， 非递归估值器可以表示为
ˆ k hi zi hi (k ) zi X
i 1 i 1
k
k
条件与前面相同。对k+1次取样，相应的估计量
ˆ k 1 hi zi hi (k 1) zi X
1 a 2 2 ˆ P E [( X k x ) ] n 1 a
2 2 k 2 n
而一次取样的均方误差
P 1 E[( x nk x) ] E(n )
故上一结果的均方误差约为一次采样的（1-a）/（1+a）倍。