空间力系及重心

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《空间力系全》课件

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• 空间力系概述 • 空间力系的平衡 • 空间力系的合成与分解 • 空间力系的矩心和重心 • 空间力系的实例分析
PART 01
空间力系概述
空间力系的概念
空间力系是指作用在物体上的力系，其作用点分布在三维空间中
空间力系平衡的条件可以通过力的合成和分解来满足，即通过改变力的方向或大小，使得所有力的矢量和为零。
空间力系平衡的实例
地球同步卫星
地球同步卫星绕地球运行时，受到地球的引力和向心力，这两个力相互抵消，使卫星保持相对静止在地球上空。
天平
天平两端受到的力矩和重力矩相互抵消，使得天平保持平衡状态。
01
空间力系平衡是指物体在空间中受到的力相互抵消，使物体保持相对静止或匀速直线运动的状态。
02
空间力系平衡的概念是建立在牛顿运动定律的基础上的，即当一个物体受到的合外力为零时，它将保持静止或匀速直线运动。
空间力系平衡的条件
空间力系平衡的条件是物体所受的合外力为零。具体来说，就是空间中所有力的矢量和为零。
监测预警
通过实时监测空间力系的变化情况，及时发现异常情况并采取相应措施，确保工程安全。
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定义
空间力系的重心是各质量元构成的平行多边形的质心。
计算公式
空间力系重心的位置可以通过计算各质量元的面积或体积，然后求和并除以总质量，得到空间力
系重心的位置。

工程力学第三章空间力系与重心重点

课时授课计戈I 」第三章空间力系与重心掌握力在空间直角坐标系上的投影的计算掌握力对轴的矩的计算掌握空间力系的平衡条件掌握重心的概念空间力系的平衡条件力对轴的矩的计算第三章空间力系与重心第一节力在空间直角坐标系上的投影第二节力对轴的矩第三节空间力系的平衡条件第四节物体的重心课本教学方法课堂教学授课日期2011.10.22 1044-3目的要求教学过程：复习：1、复习约束与约束反力概念。

2、复习物体受力图的绘制。

课:第三章空间力系与重心第一节力在空间直角坐标系上的投影1. 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解若已知力F 与正交坐标系Oxyz 三轴间的夹角分别为a 、p 、丫，如图4-1所示，则力在三个轴上的投影等于力F 的大小乘以与各轴夹角的余弦, 即X=F cos a Y=W cos p Z=F cos 丫当力F 与坐标轴Ox Oy 间的夹角不易确定时，可把力 F 先投影到坐标平面Oxy 上，得到力F 砂，然后再把这个力投影到x 、y 轴上。

在图4-2 中, 已知角丫和卩，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为(4-1)O图4一1書Zjr乙ZX=F sin 丫 COS 0 Y=F sin 丫 sin W Z=F cos 丫若以人、人、人表示力F 沿直角坐标轴X 、y 、z 的正交分量，以i 、 j 、k分别表示沿X 、y 、z 坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则图4-2 戸=人+尸$+巧=为+Y +Zk由此，力F 在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系可表示为人=X ，人=Y ，人=zk(4-4)如果己知力F 在正交轴系Oxyz 的三个投影，则力F 的大小和方向余弦为F =J 护+尸+0 £ cos( F , i)= F(4-5)例：图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力 E 的作用。

已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角)P 和压力角a ，试求力E 沿x 、y 和z 轴的分力。

第六章重心

S
S
理论力学电子教案：张建辉制作
理论力学：第一章静力学
第6节空间汇交力系和空间力偶系
6.3确定刚体重心的几种方法
1 对于匀质、具有对称性的刚体,重心在对称轴、对称面、或对称中心上.采用查表法
(参见书中简单几何形体的形心,注意坐标轴向)
2 求形状复杂的物体的重心时，可采用组合法或实验法。 (1)分割法：可将物体分割为几个简单形状的物体，而这些简单形状物体的重心是易于确定或是已知的，则整个物体重心可用坐标公式求出。
在力学和工程技术问题中，物体的重心位置具有重要意义，例如高速旋转机械的均衡运转．飞机的稳定飞行都会涉及重心的问题．因此，在机械、航空、水利或土建等的设计中，以及有些静力学计算中都常需确定物体重心的位置。
理论力学电子教案：张建辉制作
理论力学：第一章静力学
第6节空间汇交力系和空间力偶系
6.1 平行力系中心
第6节空间汇交力系和空间力偶系
例6· 2 半径为R的圆面有一圆孔,孔的半径为r，两圆中心的距离OO1＝a，求图形的重心位置。解: 将图形看作由两部分组成，取坐标系OXY 如图所示，它们的面积和重心坐标分别为:
理论力学电子教案：张建辉制作
理论力学：第一章静力学
第6节空间汇交力系和空间力偶系
理论力学：第一章静力学
第6节空间汇交力系和空间力偶系
第六章重心
内容:
⑴ 本章首先从平行力系中心导出重心和形心坐标的普遍公式． ⑵ 然后着重从工程应用的角度来讨论重心和形心的求法．
理论力学电子教案：张建辉制作
理论力学：第一章静力学
第6节空间汇交力系和空间力偶系
重心的概念: 在地球表面附近的物体，每一微小部分都受到重力的作用，由于物体与地球中心间的距离远大于物体各部分间的距离，因而各部分所受的重力,通常可认为组成空间平行力系。这个由物体各部分重力组成的空间平行力系的合力的作用点就是物体的重心。

第5章空间力系、重心和形心

r F2
)
工程力学电子教案
(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。
=
=
F1 F1 F2
=
=
F2 F3 F3
工程力学电子教案
力偶矩矢是自由矢量力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。
工程力学电子教案
300
Fx 0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
Fy 0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
Fz 0
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos30 P 0
M y Miy M 2 80N m M z Miz M1 M4 sin 45o M5 sin 45o 193.1N m
工程力学电子教案
例5-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直于 z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力. 解：取整体为研究对象，主动力为两个力偶，由于力偶只能用力偶来平衡，轴承A、B处的约束力也应形成力偶，故受力图如图所示。

(rrA

rrB )
r F

r M
工程力学电子教案
（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。
=
=
=
r M
r (FR
,
r FR

工程力学第6章空间力系重心

载荷F。钢丝OA和OB所构成的
平面垂直于铅直平面Oyz，并与
该平面相交于 OD ，而钢丝 OC
则沿水平轴y。已知OD与轴z间
的夹角为 β ，又 ∠ AOD =
∠BOD = α，试求各钢丝中的
拉力。
空间汇交力系
例题4
A
D
Bz F3
F2 αα β
x
O
yC F1
解：取O点为研究对象，受
力分析如图所示，这些力构成了空间共点力系。
F
空间汇交力系
例题4
力F2与x轴之间的夹角为 90o － α ，故它在该轴上的投影为：
F2x F2 cos (90o ) F2 sin
空间汇交力系
例题4
DB z
A
F' F3
F2 αα β
x
O
yC F1
列平衡方程
Fx 0， F2 sin F3 sin 0 Fy 0,
例题3
Fx
Fz
6-4 空间力系的平衡方程
空间力系的平衡方程为：
Fx 0, mx (F ) 0 Fy 0, my (F ) 0 Fz 0, mz (F ) 0
空间汇交力系
例题4
如图所示为空气动力天平
上测定模型所受阻力用的一个
悬挂节点O，其上作用有铅直
Fz 0,
FAz FBz (F3 F4 ) cos 30 (F1 F2 ) 0
Mx 0, FAZ 0.25 m FBZ 1.25 m (F3 F4) cos 30 0.75 m 0
M y 0, (F1 F2 ) 0.4 m (F3 F4 ) 0.2 m 0 Mz 0, FAx 0.25 m FBx 1.25 m (F3 F4 )sin 30 0.75 m 0

工程力学上—空间力系

1）悬挂法
2）称重法
TG
60
5m G
TH
C
D
YA 20kN ZA 69kN
60
45
ZA
A
45 YA
5m y
P
H XA
例4 用六根杆支撑正方形板ABCD如图所图示计解，，板: 以建水的板立平自为如力重研图，P究坐求沿对标各水象。杆平，的方受内向力力作如。用在PA点S，A6 不S5B5B1
6
C
4
S4 S1
4.6 重心
4.6.1平行力系中心
平行力系中心是平行力系合力通过的一个点。平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关, 而与各平行力的方向无关。称该点为此平行力系的中心。
4.6.2 重心
重力是地球对物体的吸引力, 如果将物体由无数的质点组成, 则重力便构成空间汇交力系。由于物体的尺寸比地球小得多, 因此可近似地认为重力是个平行力系, 这力系的合力就是物体的重量。不论物体如何放置, 其重力的合力的作用线相对于物体总是通过一个确定
求两绳的拉力和支座A的约
束反力。
2m
z
B
60
G
C
D
3m 2m
45 A
P
60
45
y
Hx
解: 以立柱和臂杆组成的系统为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标系。
列平衡方程:
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Y 0 : YA TH cos 60 cos 45 TG cos 60 cos 45 0
对于均质物体、均质板或均质杆，其重心坐标分别为:
xdV

第6章_空间力系

标量
M z ( F ) M o ( Fxy )
22
x
正负规定：符合右手螺旋法则
4 性质 1）力的作用线与矩轴相交或平行，则力对该轴的矩为零。
2）力沿作用线移动，则力对某轴矩不变。
23
5 合力矩定理
M z ( FR ) M z ( Fi )
空间力系合力对某一轴之矩等于力系中各力系各分力对同一轴之矩的代数和。
b
x F c
M x (F ) 0 M y ( F ) F c 12.5Nm M z ( F ) F a 20Nm
M x ( F ) [ M o ( F )]x M y ( F ) [ M o ( F )]y M z ( F ) [ M o ( F )]z
F , cos F 'R
Y
F , cosg F 'R
Z
根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:
[ M O ( Fi )]x M x ( Fi ) M Ox ; [ M O ( F )] y M y ( F ) M Oy ; [ M O ( F )]z M z ( F ) M Oz
G + FOA· sin = 0

FOA = -6.25kN (压)

O
y
Fx =0 FOB· sin - FOC· sin = 0 FOB= FOC
A
z
11
G
Fy =0
-2FOB· cos - FOA· cos = 0 cos = cos
D B
x 320 FOA
C
FOC
FOB = - FOA / 2

第三章空间力系-重心形心

Ai xi xC Ai
Ai yi yC Ai
<2>负面积法：方法与分割法同，只是除去的面积看作负值。
第三章空间力系
例1: 已知：Z 形截面，尺寸如图，求：该截面的形心位置。
解：(1)组合法: 将该截面分割为三部分，
取Oxy直角坐标系，如图
x1 1.5 cm , y1 4.5 cm , A1 3.0 cm2
机械设备中高速旋转的构件，如电机转子、砂轮、飞轮等，都要求
它的重心位于转动轴线上，否则就会使机器产生剧烈的振动，甚至引起破坏，造成事故。因此，重心与平衡稳定、安全生产有着密切的关
系。另一方面，有时也利用重心的偏移形成振源来制造振动大夯机、
混凝土捣实机等，从而满足了生产上的需要。因此，重心应为有关工程技术人员所必备的知识之一。
yc
A y ;
A
第三章空间力系
二、重心的求法：
1、简单几何形状物体的重心(对称法）若均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，不难看出，该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。简单形状均质物体的重心就是它的几何形状的形心。
第三章空间力系
2、实验法如物体的形状复杂或源自量分布不均匀， A第三章空间力系
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重心和形心的概念
重心任何物体都可视为由许多微小部分所组成，每一微小部分上都作用一个指向地球中心的力，这些引力原本应是一空间汇交力系，但由于地球的半径比所研究物体的尺寸大得多，故可认为这些力为一空间平行力系(如图)。此力系的合力G为物体的重力，并称重力的作用点C为物体的重心。对刚体而言，物体的重心是一个不变的点。形心物体几何形状的中心点称为形心。

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32
第六章空间力系及重心
一、内容提要
1、空间力对点之矩和对轴之矩

1）空间力对点之矩是矢量，且FrFmo)(
2）空间力对轴之矩是一代数量，其正负号按右手螺旋规则确定，大小有两
种计算方法：
（a）先将力投影到垂直于轴的平面上，然后按平面上力对点之矩计算，即

)()(yzoZFmFm

(b)若已知力在坐标轴上的投影Fx、Fy和FZ及该力的作用点的坐标x、y、z，
则力对各坐标轴的矩可表示为

)(Fm
x
yFz-zFy

)(Fm
y
zFx-xFz

)(Fm
z
xFy-yF

3) 力对点之矩和力对轴之矩的关系（力矩关系定理）：

xox
FmFm)]([)(

yoy
FmFm)]([)(

zoz
FmFm)]([)(
4）特殊情况当力与轴平行或相交（即力与轴共面）时，力对轴之矩等于
零。
2、空间任意力系的简化、合成
1）空间任意力系的简化、力系的主矢与主矩

主矢R/=Fi, 主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。
主矩Mo=mo(F), 主矩的大小和转向一般与简化中心的位置有关。
2）空间任意力系的合成结果
33

空间任意力系的合成结果
主矢主矩最后结果说明

0/RF
0OM
平衡

0OM
合力偶

此时主矩与简化中心

的位置无关

0/RF
0OM
合力

合力作用线通过简化

中心

0OM
/
R
F

┴OM
合力

合力作用线离简化中
心的距离为
RMdO

0OM
/
R
F

//OM
力螺旋

力系的中心轴通过简

化中心

/
R
F

与OM成


角

力螺旋

力系的中心轴离简化
中心的距离为
RMdOsin

3、空间任意力系的平衡

空间任意力系的平衡方程的基本形式为
0xF
，0yF，0ZF

0)(Fm
x
，0)(Fmy，0)(FmZ

2）几种特殊力系的平衡方程
（a）空间汇交力系的平衡方程的基本形式为

0xF
，0yF，0ZF

（b）空间平行力系，若力系中各力与轴平行，则0xF，0yF，
0)(Fm
Z
，其平衡方程的基本形式为：

0ZF
，0)(Fmx，0)(Fmy

（c）空间力偶系的平衡方程的基本形式为
0)(Fm
x
，0)(Fmy，0)(FmZ

4、本章根据合力矩定理推导了重心坐标公式。对于简单形状的均质物体，
其重心可用积分形式的重心坐标公式确定，或直接查表。至于复杂形状的均
质物体的重心，可采用分割法或负面积（负体积）法求得。
34

二、基本要求
1、会计算空间力对点之矩和力对轴之矩。
2、会分析空间任意力系的合成结果。
3、对空间单体的平衡问题，会选取合适的平衡方程形式及投影轴或取矩轴，
尽量做到一个方程求解一个未知数。
4、正确建立物体重心、质心、形心等概念，掌握几个基本公式的来由。
5、在不同情况下能选择恰当的方法求物体的重心。

三、典型例题分析
例题1 长方形的长、宽、高分别为a=4m，b=3m，c=5m，受力情形如图1
（a）所示。设F2=F3=F，F1=2F，试求（1）该力系向点O简化的结果；
（2）简化的最终结果。

解：
以简化中心O为原点，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz。
从图中几何关系有

2
2
cossin

，53sin，54cos

易得主矢与对点O的主矩在坐标轴上的投影分别为
0sinsincos21/FFFF
xRx

FFFFFyRy58coscoscos21/



图1
35

0sin31/FFFF
ZRZ


FcFaFMMxOx8cossin21



0sinsin21cFbFMM
yOy


FaFMMZOZ512sin2



即有 /RFFj6.1，
FkFiMO4.28
可知：主矢/RF方向沿y轴负向，对点O的主矩OM位于Oxz平面内，
故/RF┴OM。由空间力系简化的理论，该力系可进一步合成为一个合力，
设该合力的作用点为O/，则它距简化中心O的距离为

mmFMdOORO22.5//

例题2 边长为a的正方形水平薄板ABCD上作用有一力偶m，设该薄板由
六根直杆支持而处于平衡，如图2(a)所示。若不计板重及各杆自重，试求各
杆的内力。

图2
（a) （b)
36

解：
研究对象：取薄板ABCD为研究对象。
受力分析：该薄板共受六个力与一个力偶的作用。为解题方便，不妨设
各杆对板均为拉力。其受力图如图2b。
【解法】建立如图2b所示的空间直角坐标系Bxyz，这样取坐标系的目
的是使尽可能多的未知反力与坐标轴平行或相交，以使所列的力矩式平衡方
程尽可能简单。
首先取z轴为力矩轴，则有

0)(FM
Z
，045cos02aFM

可解得 MaF22
0)(FM
y
, 045sin021aFaF

解得aMFF02145sin
0xF
, 045coscos03F

解得 : 03F
0yF
, 045sincos45cos45cos030205FFF

解得 MaFF225
0)(FM
x
, 045sin056aFaF

解得 aMFF05645sin
0ZF
, 045sinsin45sin60543021FFFFFF

解得 04F
讨论 :本题解题过程中，采用了空间力系平衡方程的基本形式，即三投
影三力矩形式。事实上，与平面一般力系一样，为简便计算也可以减少平衡
方程中的投影方程式，而代以相同数目的力矩方程式。
37

如可用下列的三个力矩方程式代替上述三个投影方程。
0)(1FM
DD
，045cos05FM

0)(11FM
CD
，045cos1054aFaFaF

0)(FM
CD
，0sin45sin43021aFaFaFaF

可以解得与上述相同的结果。