3chapter1(1)多元函数的概念、极限与连续
高数多元函数概念极限连续PPT课件
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
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说 明
（1）定义中 PP0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限
lim f ( x, y);
注：n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U(P0 , ) P | PP0 | , P Rn
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
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二、多元函数的概念
1. 引例 • 圆柱体的体积
• 定量理想气体的压强
r h
• 三角形面积的海伦(秦九韶)公式
b
(p abc)
a
2
c
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定义3
设n元函数 f (P)的定义域为点集
D,
P0是其聚点且
P0
D
，如果
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称n元函数 f (P )在点P0处连续.
设 P0是函数 f (P )的定义域的聚点，如果 f (P ) 在点 P0处不连续，则称 P0是函数 f (P )的间断点.
说
(1) 间断点的判别与一元函数类似。
{( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
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5. n维空间
设n为取定的一个自然数，我们称 n元数组 ( x1, x2 ,, xn )的全体为 n维空间，而每个 n 元数组( x1 , x2 ,, xn )称为 n维空间中的一个 点，数 xi称为该点的第i 个坐标.
Ch7-1 多元函数的基本概念
多元函数的极限与连续课件
第8章 多元函数微分法及其应用
2
8.1 多元函数的极限与连续
8.1 多元函数的极限与连续
function of many variables
平面点集 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 小结 思考题 作业
3
8.1 多元函数的极限与连续
一、平面点集
建立了坐标系的平面称为坐标面. 二元有序 实数组(x, y)的全体, 即
是区域吗? 是区域.
x y0 y x y0
•
E {( x, y) x 0, y 0}
不是区域. 因为不连通. 连结两点的任何折线都与 y轴相交, 相交点不属于E.
y
O•
x
O
x
10
8.1 多元函数的极限与连续
有界集 总可以被包围在一个以原点为中心、半径适当 大的圆内的区域, 称此区域为 有界集.否则称为 无界 集 (可伸展到无限远处的区域 ).
U (P0 , ) {( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 }
它是以P0为中心、以 为半径的开圆 (“开”意味着
不包括边界), 也称为点P0的邻域, y 几何表示
有时简记为 U (P0 ).
. P0
注 ① 将邻域去掉中心,
称之为 去心邻域. U (P0 , )
O
x
的几U全一何(②a体元表,点函也示)表称数可示之中将为:邻以与点域P点0P的为a0距邻概中离 域念心.小的: 于 某个的矩一形切内点(不x的算全周体界.)
(2) 外点 如果存在点P的某个邻域 U(P),
使U(P)∩E = ,则称P为E的 外点.(P2 )
E
• P2
(3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点,
多元函数的概念二元函数的极限和连续性课件
1 1 12
8
多元函数的概念、定义域
类似地，可以定义三元函数 u f ( x,y,z) 以及n元函 数 u f ( x1,x2 , , xn )
多于一个自变量的函数统称为多元函数
同一元函数一样，定义域和对应规律是二元函数定义 的两要素。对于以算式表示的二元函数 z f ( x, y) 其定义域就是使式子有意义的自变量的变化范围 一组概念： 1.区域：全部xy坐标平面或由曲线所围成的部分平面 常用字母D表示 2.边界：围成区域的曲线称为该区域的边界 3.开区域：不包括边界的区域 4.闭区域：连同边界在内的区域
13
二元函数的几何意义
思考： 一元函数一般表示平面上的一条曲线；对于二元 函数，在空间直角坐标系中一般表示曲面
二元函数的 几何意义？
14
二元函数的几何意义
如图，定义域D就是曲面 在xy面上的投影区域
15
二元函数的几何意义
例如，x2 y2 z2 a2表示 的曲面为球心在原点，半径 为a的球面（见右图）
而z a2 x2 y2 表示 的为上半球面
z
o
y
x
z a2 x2 y2 表示 的是下半球面
16
二元函数的极限
二元函数的极限定义 设函数z f ( x, y)在点p0( x0 , y0 )的某一领域内有定义 （点p0可以除外）如果当点p( x, y)无限地接近p0( x0, y0 )
时，恒有 f ( p) A (是指任意地小的正数)，则称
A为函数z f ( x, y)当( x, y) ( x0, y0 )时的极限，记为
lim f (P)=A,
P P0
多元函数的概念与极限
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§8.1 多元函数的概念与极限
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设
称点集
为点
的
邻域。
称为点
的
空心邻域。
一 平面上的点集
1 邻域
01
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02
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2 区域
（1）内点与开集
设
若
使得
则称点
是
开区域连同它的边界
一起称为闭区域。
将开区域与闭区域统称为区域。
3 有界点集
有界闭区域
二 多元函数的定义
定义1 设
称映射
为二元函数，记为
其中
为定义域。
注：
类似可以定义三元函数
n元函数
三 多元函数的极限定义2 设在点的某个空心邻域
内有定义，
有
若
使得当
时，
则称
是
当
趋于
时
的极限，
记为
或
或
（此极限也称为二重极限）
是
区域
上的连续函数。
注：多元初等函数在其定义域上是连续的。
例如：
（1）
在圆周
上不连续，
其它地方都连续。
（2）
在原点处不连续，
其它地方都连续。
（3）
在整个
平面上连续。
有界闭区域上连续函数的性质：
定理1（最值定理）
有界闭区域上连续函数可以在
该区域上取得最大值与最小值。
定理2（介值定理）
有界闭区域上连续函数可以在
注：定义中
趋于
的方式是任意的。
多元函数的极限与连续性
的极限为A。记为
或
也可记为
或
设有二元函数 ，点
那么，就称当(x,y) → (x0,y0)时，二元函数f (x,y)在点(x0,y0)
的极限为A。记为
或
上述定义可以用“ ”语言精确描述如下：
由具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四
则运算和复合运算得到的二元函数，称为二元初等函数
一切二元初等函数在其定义区域内都是连续的。
例如, 函数ຫໍສະໝຸດ 上间断.例5 求下列极限
解：
(1) 因为 是初等函数，且在点
有定义，则
(2) 因为 而
例4 讨论极限 是否存在.
解：让点 沿着直线 趋于原点，这时有
显然，当k取不同的值时，上式右端的结果不同，所以该
极限不存在！
二重极限
二、多元函数的连续性
定义2 设函数 的定义域为D,点 ,如果
证明：函数f (x,y)的定义域为
当 时，显然
故 必无限
接近于0，因此，由定义1，有
二重极限是一元函数极限的推广，有关一元函数极限的某些性质和运算法则，可以直接类推到二重极限。
例2 求极限
解： 例3 求极限 解：
在原点连续，故
有界闭区域上的连续多元函数具有以下性质：
01
性质1 (最值性定理) 有界闭区域上的多元连续函数存在最大值和最小值。
02
推论 (有界性) 有界闭区域上的多元连续函数是有界函数。
03
性质2 (介值性定理) 有界闭区域上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
04
内容小结
在讨论二重极限时，如果点P(x,y)仅以某些特殊方式( 例如，沿着某定直线或某定曲线 ) 趋于P0(x0 ,y0)时，即使函数 f (x,y) 趋于某一确定的值，我们仍不能确定函数的极限存在。但反之，如果当P(x,y)以不同方式趋于P0 (x0 ,y0)时， f (x,y) 趋于不同的值，则可断定函数的极限不存在。
多元函数的基本概念课件
曲面积分是计算曲面上的函数值累积的 数学工具，分为第一类曲面积分和第二 类曲面积分。
曲线积分和曲面积分在物理、工程等领 域有广泛应用，如计算力矩、功等物理 量。
06 多元函数的应用
在物理中的应用
热力学
多元函数可以用来描述热力学中的状态方程，如压力、温度和体 积之间的关系。
多元函数的基本概念课件
目录
• 多元函数的定义与表示 • 多元函数的极限与连续性 • 多元函数的导数与微分 • 多元函数的极值与最值 • 多元函数的积分 • 多元函数的应用
01 多元函数的定义与表示
定义与性质
定义
多元函数是指定义在两个或更多 个变量上的数学函数。例如，三 维空间中的函数f(x, y, z)定义了x 、y和z的每一个值对。
多元函数的最值
定义
多元函数的最值是指函数在某个 区域内的最大值和最小值。
求解方法
通过求导数找到可能的极值点， 然后通过比较这些点的函数值来
找到最大值和最小值。
应用
在优化问题中，最值的概念被用 来确定某个目标函数的最大或最
小值。
条件极值与无约束最值问题
定义
条件极值是指在满足某些约束条件下求函数的极值；无约束最值问 题则没有约束条件。
02
二重积分的计算通常通 过直角坐标系或极坐标 系进行。
03
04
二重积分可以应用于面 积、体积、质量等的计 算。
二重积分的计算公式为： ∫∫D f(x,y) dxdy，其中 D是积分区域。
三重积分
01
02
03
04
三重积分是计算三维空间区域 上的函数值累积的数学工具。
分析方法第十六章多元函数的极限与连续性概要
分析方法第十六章多元函数的极限与连续性概要第十六章多元函数的极限与连续性是数学分析中的重要概念之一、多元函数与一元函数不同，它们的自变量可以是多个变量。
因此，多元函数的极限与连续性的讨论需要引入多元的概念和方法。
本章主要分为三个部分：多元函数的极限、多元函数的连续性、多元函数的一致连续性。
接下来，将对这三个部分进行详细的概要分析。
1.多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量自一些点无限接近于给定点时，函数值接近于一些常数。
与一元函数类似，多元函数的极限也需要满足极限存在性和极限唯一性两个条件。
首先，要讨论多元函数的极限，需要引入点列的概念。
点列是指给定一个序列$x_n$，其中每个$x_n$均为函数的自变量，如果$x_n$收敛于给定点$(a,b)$，则函数$f(x_n)$在点$(a,b)$处的极限就是函数在该点的极限。
此外，还需要讨论曲面函数在特殊方向上的极限。
当自变量沿着特定方向逼近给定点时，函数的极限是否存在，如果存在则是多少。
2.多元函数的连续性多元函数的连续性是指函数在其中一点处的极限等于函数在该点的函数值。
与一元函数类似，多元函数的连续性也需要满足三个条件：函数在该点处定义、函数在该点处极限存在、函数在该点处极限等于函数值。
如果函数在定义域的每一个点均满足连续性条件，则称函数在定义域连续。
为了判断多元函数的连续性，可以通过分量函数的连续性进行判断。
具体来说，若多元函数的每个分量函数都是连续的，则多元函数在该点连续。
此外，还可以通过间断点的分类来分析函数在特定点的连续性。
3.多元函数的一致连续性一致连续性是连续性的一种更强的条件。
在多元函数中，一致连续性要求函数在整个定义域内的每一点都连续。
为了判断多元函数的一致连续性，可以使用函数值在一个闭区域上的上确界和下确界的性质进行证明。
在具体分析中，多元函数的一致连续性还可以通过函数的偏导数和导数的连续性来判断。
若函数的偏导数和导数均连续，则函数是一致连续的。
数学分析第十六章多元函数的极限与连续
数学分析第十六章多元函数的极限与连续数学分析第十六章介绍了多元函数的极限与连续的概念。
多元函数是指有多个自变量的函数，比如二元函数，有两个自变量，三元函数，有三个自变量，以此类推。
多元函数的极限与连续是研究多元函数性质的基础，对于优化理论、微分方程等领域都具有重要的应用价值。
本文将详细讨论多元函数的极限与连续的概念及其性质。
1.多元函数的极限：多元函数的极限与一元函数的极限类似，都是研究函数自变量趋于一些点时函数值的趋近情况。
对于二元函数f(x,y)，当点(x,y)趋于(x0,y0)时，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<，(x,y)-(x0,y0)，<δ时，有，f(x,y)-L，<ε，那么称函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限为L，记为lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=L。
类似地，对于三元函数，有lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)f(x,y,z)=L。
2.多元函数的极限的性质：与一元函数类似，多元函数的极限也具有唯一性、局部有界性和四则运算等性质。
具体而言，如果多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，则该极限唯一；如果多元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，则该函数在以点(x0,y0)为中心的邻域上有界；对于两个多元函数f(x,y)和g(x,y)，如果它们在点(x0,y0)处的极限分别存在，则它们的和、差、积和商（除数不为0）的极限也存在且相等。
3.多元函数的连续：多元函数的连续是指函数在各点的极限与该点的函数值相等。
对于二元函数f(x,y)，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<，(x,y)-(x0,y0)，<δ时，有，f(x,y)-f(x0,y0)，<ε，那么称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。
类似地，对于三元函数，有lim(x,y,z)→(x0,y0,z0)f(x,y,z)=f(x0,y0,z0)，则函数f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)处连续。
大三高等数学知识点总结
大三高等数学知识点总结一、多元函数的极限和连续1. 多元函数的极限多元函数的极限是指当自变量趋于某一点时，函数的取值趋于某一值。
在多元函数的极限中，我们要关注自变量的趋近路径，包括直线路径、抛物线路径、曲线路径等。
例如，对于二元函数$f(x,y)$，当点$(x,y)$沿着直线路径$(x,y)\to(a,b)$时，可以表示为$x=at+(1-t)a_0,\,y=bt+(1-t)b_0,\,t\to 0$，此时$f(x,y)$的极限记为$\lim_{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=A$。
当然，多元函数的极限还包括函数在某一点的单侧极限、无穷远处的极限等情况。
2. 多元函数的连续多元函数的连续是指在某一点处函数在该点的极限等于函数在该点的取值。
多元函数的连续包含了函数在某一点的左连续、右连续、绝对连续等情况。
在多元函数的连续中，我们需要关注函数是否在某一区域内连续，或者在边界上连续等情况。
这些都会涉及到函数在该区域内或边界上的收敛性和发散性。
二、多元函数的偏导数和全微分1. 多元函数的偏导数对于多元函数$f(x,y)$，偏导数是指在给定方向上的导数。
对于二元函数$f(x,y)$，偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$表示在$x$方向上的导数，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示在$y$方向上的导数。
偏导数的计算可以采用极限的定义，也可以采用求导数的方法。
同时，我们还需要关注偏导数的存在性和连续性等问题，这在一些特殊情况下会涉及到。
2. 多元函数的全微分多元函数的全微分是指在给定方向上的微分。
对于二元函数$f(x,y)$，全微分$df$表示在$(dx,dy)$方向上的微分。
全微分的计算可以通过对每个自变量求偏导数，然后进行线性组合得到。
在全微分中，我们需要关注微分的性质和应用，比如微分的可加性、不可加性等情况。
三、多元函数的微分学1. 多元函数的微分法对于多元函数$f(x,y)$，微分法主要包括了一元函数微分法、隐函数微分法、复合函数微分法等内容。
多元函数的概念、极限与连续
例2 求下列的定义域D，并描出D的图形．
1. z 4 x y
2 2
1
y
x y 1 2. z x y ln(x y 2)
2 2
解 1. D :
y 1＞0 2 2 2 2 1 x y 4 即定义域为 {( x, y) : 1＜x y 4}. y y x 2. D： x y 0 y=x+2
o
x
12
7. n 维空间
n 元有序数组 ( x1 , x2 ,L
n
, xn ) 的全体称为 n 维空间,
说明：(1) n维空间的记号为 R n ;
R R R K R ( x1 , x2 ,K , xn ) xk R, k 1,2,K , n
n 维空间中的每一个元素 ( x1 , x2 ,K , xn ) 称为空间中的 一个点,
对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界区域 , 否则称为 y 无界区域 . 例如：{( x, y ) | 1 x 2 y 2 4}.
是有界闭区域。
y
o
x
{( x , y ) | x y 0}
是无界开区域。
13
(2) n维空间中两点间距离公式
( x, y) = x y ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) K ( xn yn )
2 2
2
设两点为 P ( x1 , x2 ,, xn ), Q( y1 , y2 ,, yn ),
| PQ | ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) K ( xn yn )
P( x, y ) D， 变量 z按照一定的对应法则总有确定的值