6.3不等式的性质和证明

{ 解: 设 an }的公比为q, {bn }的公差为d,则
试
a3 = a1q , b3 = b1 + 2d = a1 + 2d
2
故由
a3 = b3
a1q 2 = a1 + 2d ∴ 2d = a1 (q 2 − 1). 得
Q a1 ≠ a3 = a1q 2 ,∴ q 2 ≠ 1. 又
故
b5 − a5 = (a1 + 4d ) − a1q 4 = a1 + 2a1 (q 2 − 1) − a1q 4 = − a1 (q 2 − 1) 2 < 0
3)加强函数与方程思想在不等式中的应用训练,不等式,函数, 3)加强函数与方程思想在不等式中的应用训练,不等式,函数, 加强函数与方程思想在不等式中的应用训练 方程三者密不可分,相互联系,互相转化. 方程三者密不可分,相互联系,互相转化.如参数的取值范围问 题. 4)在不等式的证明中,加强化归思想的复习, 4)在不等式的证明中,加强化归思想的复习,证不等式的过程 在不等式的证明中 是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程 ,既要基础知 以要分析问题和解决问题的能力 问题和解决问题的能力,证明不等式是高考考查同 识,以要分析问题和解决问题的能力 证明不等式是高考考查同 学们代数推理能力的重要素材,因此要重视 因此要重视. 学们代数推理能力的重要素材 因此要重视 利用函数f(x)=x+a/x(a>0)的单调性解决有关最值问题是近几 利用函数 的单调性解决有关最值问题是近几 年高考 的热点. 的热点 2.加强不等式的应用 加强不等式的应用: 加强不等式的应用 高考中除单独考查不等式的试题外,常在一些函数 数列,立几 常在一些函数,数列 立几, 高考中除单独考查不等式的试题外 常在一些函数 数列 立几 解几和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识.要加强不等 解几和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识 要加强不等 式的应用能力,是提高解综合题能力的关键 提高应用意识,总结 是提高解综合题能力的关键.提高应用意识 式的应用能力 是提高解综合题能力的关键 提高应用意识 总结 不等式的应用规律,如在实际问题应用中 如在实际问题应用中,主要有构造函数求最 不等式的应用规律 如在实际问题应用中 主要有构造函数求最 值等方法,求最值时要注意等号成立的条件 避免不必要的错误. 求最值时要注意等号成立的条件,避免不必要的错误 值等方法 求最值时要注意等号成立的条件 避免不必要的错误
a1 , a2 ,..., an ∈ R +,且 1.如果 如果 且
a1 + a2 + ... + an 叫做这 n 个 n
不等式的证明: 不等式的证明
比较法: 一.比较法 比较法 (1)差比法 要证 差比法:要证 差比法 要证a>b, 只须证 a-b>0. (2)商比法 要证 商比法:要证 商比法 要证a>b,b>0,只须证 a/b>1. 只须证 步骤:作差 步骤 作差 变形 判断差式的正负 判断商式与1的大小 的大小. 作商 变形 判断商式与 的大小 注意:差比法 差比法变形主要是分解多个因式的积 注意 差比法变形主要是分解多个因式的积 (商)或多个式子的平方和 必须分解彻底 或多个式子的平方和,必须分解彻底 商 或多个式子的平方和 必须分解彻底. 商比法变形主要是通过适当放大或适当缩小 从而利用不等式的传递性判断与1的大小 的大小. 从而利用不等式的传递性判断与 的大小 处理绝对值:(*)由定义讨论去掉绝对值符 处理绝对值 由定义讨论去掉绝对值符 利用平方去掉绝对值符号.如 号,(**)利用平方去掉绝对值符号 如: a > b ⇔ a > b 利用平方去掉绝对值符号
∴ b5 < a 5
说明:通过 与 的关系 的关系,把 表示,是 说明 通过d与q的关系 把 a5 与 b5 都用a1与 q表示 是解题的关键 通过 表示
3、绝对值小于的数的集合为S，在S中定义一种运算*， a+b a*b= 使得 1 + ab ，求证：如a,b∈Ｓ则a*b ∈Ｓ．
证明： 证明
a,b∈S ∴-1<a<1, -1<b<1. a+b 2 (a + b) 2 − (1 + ab) ∴( ) −1 = 1 + ab (1 + ab) 2
2 ≤ µ ≤ 4,1 ≤ ν ≤ 2
a + b = µ 由 a − b = ν
∴ 4a − 2b = 4
µ +ν
2
µ + ν 解得 a = 2 b = µ − ν 2
−2
µ −ν
2
= 2µ + 2ν − µ +ν = µ + 3ν
而
2 ≤ µ ≤ 4,3 ≤ 3 ≤ 6, ν
用它来做同解变形,是非同解变形 上述解法为了求得 范围,多次 用它来做同解变形 是非同解变形,上述解法为了求得 范围 多次 是非同解变形 上述解法为了求得a,b范围 必然使所求范围扩大 因此是错误的 应用了这一性质 ,必然使所求范围扩大了,因此是错误的 因而用 必然使所求范围扩大了 因此是错误的.因而用 同向不等式相加法则”尽量只用一次. “同向不等式相加法则”尽量只用一次 正确解法:[解法一 解法一]待定系数法 正确解法 解法一 待定系数法 设 4a − 2b = α (a − b) + β (a + b)
算术平均数与几何平均数
,那么 那么 叫做这n个正数的 正数的算术平均数. n a1 a 2 ...a n 叫做这 个正数的几何平均数. 2.定理 如果a, b ∈ R ,那么a 2 + b 2 ≥ 2 ab (当且仅当 a=b 时,取“=” 定理:如果 定理 那么 当且仅当 取 号) a +b ≥ ab 推论:(二元均值不等式 如果a,b是正数 二元均值不等式)如果 是正数,那么 (当 推论 二元均值不等式 如果 是正数 那么 2 且仅当 a=b 时,取“=”号) 取 号 重点难点(1)二元均值不等式具有将 和式”转化为“积式” 二元均值不等式具有将“ 重点难点 二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将 积式”转化为“和式”的放缩功能. “积式”转化为“和式”的放缩功能 n>1 (2)创设应用均值不等式的条件 合理拆分项或配凑因式是常用的解 创设应用均值不等式的条件:合理拆分项或配凑因式 创设应用均值不等式的条件 合理拆分项或配凑因式是常用的解 题技巧,而拆与凑成因在于使等号能够成立 而拆与凑成因在于使等号能够成立. 题技巧 而拆与凑成因在于使等号能够成立 (3)“和定积最大 积定和最小”,即2个正数的和为定值 即可求其积最 和定积最大,积定和最小 即 个正数的和为定值 个正数的和为定值,即可求其积最 和定积最大 积定和最小” 大值;积为定值 则可求其和的最小值. 积为定值,则可求其和的最小值 大值 积为定值 则可求其和的最小值
二.双向性 (1)a − b > o ⇔ a > b 双向性: 双向性 (1)a
a − b = o ⇔ a = b, a − b < o ⇔ a < b (2)a > b ⇔ b < a (3) a > b, c > 0 ⇔ ac > bc (c > 0) (注意乘的数的正负) (4)a > b, c < 0 ⇔ ac < bc(c > 0) (5) a > b, c ∈ R ⇔ a + c > b + c
单向性: 一.单向性 单向性
不等式的性质:
(1)a > Байду номын сангаас, b > c ⇒ a > c
(传递性,注意找中间量)
(2)a > b, c > d ⇒ a + c > b + d (3)a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd (4))a > b > 0, n ∈ R+ ⇒ an > bn (注意条件为正)
2(a2 + b2 ) a + b a2 + 2ab + b2 a + b = − > − =0 4 2 4 2 ∴A < Q
∴H < G < A < Q
2.在等比数列{an }和{bn } 中, a1 = b1 > 0, a3 = b3 > 0, a1 ≠ a3 , 在等比数列 的大小. 比较 a5 和 b5 的大小
不等式
一.本章知识结构 本章知识结构 不 等 式 不等式的概念 不等式的性质 重要不等式 不等式的解法 不等式的证明 不等式的应用
高考复习建议: 二.高考复习建议 高考复习建议 1.重视数学思想方法的复习 重视数学思想方法的复习: 重视数学思想方法的复习 1) 解不等式时,要注意等价转化思想的训练.解不等式的过程是一 个的等价转化过程,通过等价转化可简化不等式(组),以快速,准 确求解. 2) 加强分类讨论的复习.在解不等式或证明不等式的过程中,如含 参数问题,一般要对参数进行分类讨论.要学会分析引起分类讨 论的原因,合理的分类,做到不重不漏.
α + β = 4 解得 α = 3 ∴ β =1 β − α = −2
= (α + β )a + (β −α)b
Q1 ≤ a − b ≤ 2
又
Q 2 ≤ a + b ≤ 4 ∴ 5 ≤ 3(a − b) + (a + b) ≤ 10
即
5 ≤ 4a − 2b ≤ 10
[解法二 换元法 解法二] 解法二 令 a +b = µ, a −b =ν, 则
则
5 ≤ µ + 3ν ≤ 10
∴ 5 ≤ 4a − 2b ≤ 10
[解法三 解法三] 解法三