电路分析_ 动态元件_ 电容元件_
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第四章 动态电路.ppt
例4−2 四个电容器并联，其中两个电容器的电容均为0.2 μF，耐压均为500 V，另两个电容器的电容均为0.6 μF， 耐压均为300 V，求电容组总电容和耐压值。
解 并联电容组的总电容为 C=C1+C2+C3+C4=0.2+0.2+0.6+0.6=1.6 μF 并联电容组的耐压值等于各电容器耐压值中最小者，所以电
四、电容元件的连接
电容的基本连接方式有串联、并联。
1. 电容的并联
如图4−6 所示，电容并联时具有以下几个特点：
（1）各元件端电压相等，等于电路两端总电压，即U1= U2= U3= U。
（2）电容器组储存的总电量等于各电容器储存电量之和。 即
其中
q=q1 +q 2+q3
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（2）电容元件上电流与电压变化率成正比，即电容元件是 动态元件。
实际上当电容上电压发生变化时，自由电荷并没有通过两极 间的绝缘介质，只是当电压升高时，电荷向电容器的极板上 聚集，形成充电电流；当电压降低时，电荷离开极板，形成 放电电流。电容器交替进行充电和放电，电路中就有了
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故
q1=q=6×10−4 C
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第二节 电容元件
思考题：将C1的容量改为6 μF，重解上题。
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第二节 电容元件
电容元件就是反映实际电容器这种物理现象的电路模型。即 理想电容器应该是一种电荷与电压相约束的器件，用C 表， 电容元件的图形符号如图4−4 所示。
想一想：使用220V 交流电源的电气设备和电子仪器，金属 外壳和电源之间都有良好的绝缘，但是有时候用手触摸外壳 仍会感到“麻手”，用试电笔测试时，氖管发光，这是为什 么？
解 并联电容组的总电容为 C=C1+C2+C3+C4=0.2+0.2+0.6+0.6=1.6 μF 并联电容组的耐压值等于各电容器耐压值中最小者，所以电
四、电容元件的连接
电容的基本连接方式有串联、并联。
1. 电容的并联
如图4−6 所示，电容并联时具有以下几个特点：
（1）各元件端电压相等，等于电路两端总电压，即U1= U2= U3= U。
（2）电容器组储存的总电量等于各电容器储存电量之和。 即
其中
q=q1 +q 2+q3
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（2）电容元件上电流与电压变化率成正比，即电容元件是 动态元件。
实际上当电容上电压发生变化时，自由电荷并没有通过两极 间的绝缘介质，只是当电压升高时，电荷向电容器的极板上 聚集，形成充电电流；当电压降低时，电荷离开极板，形成 放电电流。电容器交替进行充电和放电，电路中就有了
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故
q1=q=6×10−4 C
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第二节 电容元件
思考题：将C1的容量改为6 μF，重解上题。
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第二节 电容元件
电容元件就是反映实际电容器这种物理现象的电路模型。即 理想电容器应该是一种电荷与电压相约束的器件，用C 表， 电容元件的图形符号如图4−4 所示。
想一想：使用220V 交流电源的电气设备和电子仪器，金属 外壳和电源之间都有良好的绝缘，但是有时候用手触摸外壳 仍会感到“麻手”，用试电笔测试时，氖管发光，这是为什 么？
电路讲义第六章_new
f (t ) f (0 ) e
t
2）一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 3） 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数τ，其中RC 电路τ=RC , RL 电 路τ=L/R ，R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 4） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
【例6-5】 电路中开关SW闭合已久， t=0时SW断开，试求电流 iL(t)，t0。
diL (t ) d u L (t ) L dt dt
C R ） (1) i 的大小取决于 u 的变化率, 与 u 的大
1 1 t uc (t ) ic d uc (t 0 ) ic d C C t0
1 t 1 t iL (t ) u L d iL (t 0 ) u L d L L t0
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
跳变（跃变）：
换路定则：
当 i C 和 u L 为有限值时，状态变量电容电压 u C 和电感电流 i L 无跳变， 即有 u C ( 0 )
u C ( 0 ) ； i L (0 ) i L (0 ) ；
过渡过程：动态电路的特点是，当电路状态发生改变后（换 路后）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态，这个 变化过程称为电路的过渡过程。
§6-1 动态电路的方程及其初始条件
基本概念：
动态电路：含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 一阶电路：用一阶微分方程描述的电路（或只含一个独立 的动态元件的电路）
换路：电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电 路参数变化； 若换路在t=0时刻进行，则换路前的最终时刻记为t=0- ；换 路后最初时刻记为t=0+ ；换路经历的时间为0-～0+ ；
《电路分析》第单元精讲
t 0.5s,t 4s u( t ) u( t ) 1 t idξ t C 0.5s t 1s 如 ： 0.5s t 1s t 1s t 2s uc ( t ) uc ( 0.5 ) 2 10d 0.5 2s t 4s U 20t - 10 电压波形如图4-3(c)所示 15
线性电容的q~u 特性是过原点的直线 C= q/u
8
第四章 动态电路
2、线性电容的电压、电流关系： u, i 取关联参考方向 i + u – + – C
t u( t ) 1 i( ξ )dξ C
22:37:56
dq du i C dt dt
微分形式
积分形式
通常假设 t = t0 为计时起始时刻，上式可写为：
10A i ( t ) - 2.5A 0
0.5s t 1s 2s t 4s 其它
14
第四章 动态电路
10
is /A
10+U
22:37:56
uc /V
-2.5 0 1
2
3
4
U
2 0 1 ( c)
3
(b)
t/s
4 t/s
由积分形式的伏安关系可求得各时段的电压
U U 20t - 10 uc ( t ) U 10 U 20 - 5t
第四章 动态电路
3. 电容的储能
22:37:56
du p ui u C dt t t du 1 2 1 2 1 2 WC Cu dξ Cu (ξ ) Cu ( t ) Cu ( ) dξ 2 2 2 若u ( ) 0 1 2 1 2 Cu ( t ) q (t ) 0 2 2C
第五章 电容元件与电感元件.
1 2
Li2
1 ψ2 2L
结论
(1) 元件方程是同一类型；
(2) 若把 u-i，q- ，C-L互换,可由电容元件
的方程得到电感元件的方程；
(3) C 和 L称为对偶元件, 、q等称为对偶
元素。
电容器和电感器的模型
电容器模型（按照近似程度分） 0 级模型：不考虑损耗和产生的磁场。 I 级模型：考虑损耗不考虑产生的磁场。 II级模型：考虑损耗和产生的磁场。
i
i dq
dt
+
+ dq =Cduc
uc
C
–
–
i C duc dt
uc(
t
)
1 C
t
i
t
dt
uc
(
t
0
)
1 C
t
t 0
i
t
dt
例 5-1 5-2
2. 线性电容的充、放电过程
u,i i u
o
ωt
i ii i
+ u
+u
u
u
- -++
(1) u>0，du/dt>0，则i>0，q , 正向充电(电流流向正极板)；
1 2
Li 2 (t 2)
1 2
Li 2 (t1)
wL( t2 ) wL( t1 )
wL ( t 2 ) wL ( t1 )元件充电，吸收能量
wL ( t 2 ) wL ( t1 )元件放电，释放能量
五、电感电流不能跃变（连续性）
电感 L 储存的磁场能量
wL
第04章动态电路的分析
5103 t t
V
5103 t
1.1e
A
第4章
动态电路分析
宁波职业技术学院信息学院电子教研室
(4)画出uC, uR, i的曲线如图:
（5） 当 t 1ms 10 3 s 时
uC 220 (1 e uR 220 e i 1.1e
5103 103
由KVL有: uR+uL=Us。 根据元件的伏安关系得
di iL R L U s dt L diL Us iL R dt R
故
t
uC (60 s ) 10 2 10 3 e
60 120
8576V 8.6k V
600 120
uC (600 s ) 10 2 10 3 e
95 .3V
第4章
动态电路分析
宁波职业技术学院信息学院电子教研室
二、 RL电路的零输入响应
由KVL得
uR u L 0
换路瞬间等效电路
第4章
动态电路分析
宁波职业技术学院信息学院电子教研室
根据KVL, uR=uC=Ri, 而i=-C(duC/dt)(式中负号表明iC与
uC的参考方向相反)。将i=-C(duC/dt)代入uC=Ri得
duC RC uc 0 dt uC Ae pt RCpAe pt Ae pt 0 ( RCp 1) Ae pt 0 RCp 1 0 p 1 RC
t RC
由换路定律知： uC(0+)=uC(0-)=U0, 即 将A=U0代入上式，得
uC Ae pt Ae
U0 Ae
0 RC
动态电路的时域分析 课件
1A + u _
iC
iL
5Ω 10Ω
t=0 +
+
C uC L uL
_
_
(a) 动态电路
图2.2.2 例2.2.2电路图
27
5.2 换路定则及其初始条 件
iC
iL
iC(0+)
iL(0+)
1A + u _
5Ω 10Ω 1A +
5Ω
10Ω
− d
2
≥0
无源 器件
电容存储的能量只与当前时间电容两端的电压值有关
电容的电压反映了其存储能量的大小，将电压称为电容的状 态变量。
6
5.1.1 电容元件
电容元件小结
1
uC(t) = uC(t0 ) + C
t
t0 iC( )d
iC
(t
)
=
C
duC (t dt
)
wC (t )
=
1 2
C
uC2 (t )
开关K闭合。试求各元件电流、电压初始值。
i1 3kΩ
t=0
US
+ u1 −
+
iC +
i2 +
_10V 10μF
uC 2kΩ u2
_
_
(a)
解： t<0时电路已达稳态，电容相当于开路．
uC (0− ) = US = 10V uC (0+ ) = uC(0− ) = 10V
20
5.2 换路定则及其初始条
第5章 动态电路的时域分析
第5章 动态电路的时域分析
• 5.1 电容元件与电感元件 • 5.2 换路定则及其初始条件 • 5.3 一阶电路零输入响应 • 5.4 一阶电路零状态响应 • 5.5 一阶电路完全响应 • 5.6 三要素法求一阶电路响应 • 5.7二阶电路
第五章 动态元件与动态电路
dt
2 u (0 (0) u L (0) 15(V) u R (0) u )R u) (0 )u C0 C (0 L
C L
i(0) 10(A)
u R (0) 15 R 1.5() i(0) 10 duC (3)由 u C (t ) u R (t ) u L (t )和i (t ) C 得 C 1(F) dt 1 故R 1.5 L H C 1F 2
i C u
duc ic (t ) C dt
i L u
diL u L (t ) L dt
x(t)
激励
动态 电路
y(t)
响应
w(t) 储能（状态）
稳态
C开路 u c (0 ) L短路 i L (0 )
过渡过程
换路 (t=0)
y x (t ) y(0 ) e
RC
t
稳态 (t )
5-1
电容元件
在外电源作用下，正负电极上分别带上等量异号 电荷，撤去电源，电极上的电荷仍可长久地聚集 下去，是一种储存电能的部件。
定义：在任意时刻t，能以q-u关系表征 其特性的二端元件。
线性非时变电容元件
q
0
数学描述
q C i
u
q= Cu
u
单位: 库仑=法拉×伏特 (C) (F) (V)
5-2
iL和uc可以代表电路的状态
稳态电路
电路的结构参数不变，激励方式不变（均为直流或 恒定幅度和相位的周期信号），这种条件维持足够长时间后， 电路中动态元件——电容和电感的能量或者达到稳定，或者 交换速率达到稳定。
源频率相同的正弦量。
稳态时，状态变量 uC 和 iL 保持为常数或者均为与电
电路分析第六章资料
本任务由小灯泡、二极管、电容、电阻组成。需要开 灯时，只要用手指摸一下触摸电极，电灯自动开启点亮， 然后小灯泡逐渐变暗，延时1min左右后会自动熄灭。该操 作简单，实用节能。
《电路分析》
综合项目6 电容的充放电
项目必备知识
6.1.1 动态元件 1．电容元件
电容是一种能储存电荷的元件，电容元件是电容的理想化模型， 电容所带电量Q与电容两极板间的电压U的比值，称为电容的电容量， 用C表示。C= Q ，电容量表征导体在单位电压作用下储存电荷的能力， 是由电容本身的U 性质(如导体大小、形状、相对位置及电介质)决定的， 与电容是不是带电无关。
应电动势。根据电磁感应定律和线圈的绕向，如果电
压的参考正极性指向参考负极性的方向与产生它的磁
通的参考方向符合右手螺旋定则时，也就是在电压和
电流关联参考方向下，则有
《电路分析》
u d L di
dt dt
(6-8)
综合项目6 电容的充放电
在此电感元件中，磁链Y和感应电压u均由流经本 电感元件的电流所产生，此磁链感应电压分别称为自 感磁链和自感电压。由公式可知，自感电压大小正比 于电流的变化率。
《电路分析》
综合项目6 电容的充放电
电容的伏安关系还可写成：
u(t)
1 C
0
i( ∞
)d
1 C
t
0 i(
)d
u(0)
1 C
t
0
i(
)d
(6-3)
式中，u(0)是在t=0 时刻电容已积累的电压，称为 初始电压；而后一项是在t=0以后电容上形成的电压， 它体现了在0～t的时间内电流对电压的贡献。
由此可知：在某一时刻t，电容电压u不仅与该时 刻的电流i有关，而且与t以前电流的全部历史状况有关。 因此，电容是一种记忆元件，有“记忆”电流的作用。
《电路分析》
综合项目6 电容的充放电
项目必备知识
6.1.1 动态元件 1．电容元件
电容是一种能储存电荷的元件，电容元件是电容的理想化模型， 电容所带电量Q与电容两极板间的电压U的比值，称为电容的电容量， 用C表示。C= Q ，电容量表征导体在单位电压作用下储存电荷的能力， 是由电容本身的U 性质(如导体大小、形状、相对位置及电介质)决定的， 与电容是不是带电无关。
应电动势。根据电磁感应定律和线圈的绕向，如果电
压的参考正极性指向参考负极性的方向与产生它的磁
通的参考方向符合右手螺旋定则时，也就是在电压和
电流关联参考方向下，则有
《电路分析》
u d L di
dt dt
(6-8)
综合项目6 电容的充放电
在此电感元件中，磁链Y和感应电压u均由流经本 电感元件的电流所产生，此磁链感应电压分别称为自 感磁链和自感电压。由公式可知，自感电压大小正比 于电流的变化率。
《电路分析》
综合项目6 电容的充放电
电容的伏安关系还可写成：
u(t)
1 C
0
i( ∞
)d
1 C
t
0 i(
)d
u(0)
1 C
t
0
i(
)d
(6-3)
式中，u(0)是在t=0 时刻电容已积累的电压，称为 初始电压；而后一项是在t=0以后电容上形成的电压， 它体现了在0～t的时间内电流对电压的贡献。
由此可知：在某一时刻t，电容电压u不仅与该时 刻的电流i有关，而且与t以前电流的全部历史状况有关。 因此，电容是一种记忆元件，有“记忆”电流的作用。
电容元件与电感元件
第六章 电容元件与电感元件
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 §6-7
电容元件 电容元件的伏安关系 电容电压的连续性质和记忆性质 电容元件的储能 电感元件 电感元件的VAR 电容与电感的对偶性 状态变量
§6-2 电容元件的伏安关系
采用关联参考方向如图所示，则有 （1）微分形式
3、电容的记忆性质：电容电压对电流有记忆作用。
1 t uc (t ) ic ( )d C 它表明，在任一时刻t，电容电压uc是此时刻以前
的电流作用的结果，它“记载”了已往的全部历史，
所以称电容为记忆元件。相应地，电阻为无记忆元件。 1 t0 1 t uc (t ) ic ( )d ic ( )d C C t0 1 t uc (t0 ) ic ( )d C t0 只要知道电容的初始电压和t≥0时作用于电容的 电流，就能确定t≥0时的电容电压。
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第六章 电容元件与电感元件
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 §6-7
电容元件 电容元件的伏安关系 电容电压的连续性质和记忆性质 电容元件的储能 电感元件 电感元件的VAR 电容与电感的对偶性 状态变量
§6-6 电感元件的VCR
对上式从-∞到t进行积分，并设uc(-∞)=0，得
设t0为初始时刻。如果只讨论t≥t0的情况，上式可改写为
1 uc (t ) C
其中，
1 t ic ( )d C t0 ic ( )d 1 t uc (t0 ) ic ( )d C t0 1 t0 uc (t0 )＝ ic ( )d ( ) C －
1 2 WC (t ) Cuc (t ) 2
第5章 一阶动态电路分析
p为１式对应的特征方程的根。将２式代入１式可 得特征方程为 RCP+1=0
从而解出特征根为
则通解
1 p RC
6
uC Ae
t RC
３式
将初始条件uc(0+)=R0IS代入3式，求出积分常数A为
uC (0 ) A R 0 I S
将 uc (0 ) 代入３式，得到满足初始值的微分 方程的通解为
安培 伏特
库仑 秒 库仑 / 秒
故称τ为时间常数, 这样４、５两式可分别写为
uC uC (0 )e
t
t≥0 t≥0
i i (0 )e
t
1 由于 p 为负，故uc和 i 均按指数规律衰减， RC
它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及
R0 I S i (0 ) R
当t→∞时，uc和 i 衰减到零。
8
画出uc及i的波形如下图所示。
图 RC 电路零输入响应 电压电流波形图
9
由此可见，时间常数τ 是表示放电快慢 的物理量。时间常数越大，放电速度越慢； 反之，则放电越快。
定性地看，时间常数τ 与电阻R和电容C
的取值呈正比。当R增大时，放电电流减
小，电容放电时间增长；当C增大时，电
容电压相同的情况下存储的电荷量增大，
放电时间增长。
5.1.2 RL电路的零输入响应
10
一阶RL电路如图5-1-2(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电 路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即 iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以 在t≥0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中 产生电流和电压，如图5-1-2 (b)所示。由于t>0后，放电 回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所 以为零输入响应。
从而解出特征根为
则通解
1 p RC
6
uC Ae
t RC
３式
将初始条件uc(0+)=R0IS代入3式，求出积分常数A为
uC (0 ) A R 0 I S
将 uc (0 ) 代入３式，得到满足初始值的微分 方程的通解为
安培 伏特
库仑 秒 库仑 / 秒
故称τ为时间常数, 这样４、５两式可分别写为
uC uC (0 )e
t
t≥0 t≥0
i i (0 )e
t
1 由于 p 为负，故uc和 i 均按指数规律衰减， RC
它们的最大值分别为初始值 uc(0+)=R0IS 及
R0 I S i (0 ) R
当t→∞时，uc和 i 衰减到零。
8
画出uc及i的波形如下图所示。
图 RC 电路零输入响应 电压电流波形图
9
由此可见，时间常数τ 是表示放电快慢 的物理量。时间常数越大，放电速度越慢； 反之，则放电越快。
定性地看，时间常数τ 与电阻R和电容C
的取值呈正比。当R增大时，放电电流减
小，电容放电时间增长；当C增大时，电
容电压相同的情况下存储的电荷量增大，
放电时间增长。
5.1.2 RL电路的零输入响应
10
一阶RL电路如图5-1-2(a)所示，t=0- 时开关S闭合，电 路已达稳态，电感L相当于短路，流过L的电流为I0。即 iL(0-)=I0，故电感储存了磁能。在t=0时开关S打开，所以 在t≥0时，电感L储存的磁能将通过电阻R放电，在电路中 产生电流和电压，如图5-1-2 (b)所示。由于t>0后，放电 回路中的电流及电压均是由电感L的初始储能产生的，所 以为零输入响应。