新高考数学之劣构问题
专题13 结构不良题(三角函数与解三角形)(解析版)
1 专题13 结构不良题（三角函数与解三角形）
结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。
一、题型选讲
题型一 、研究三角形是否存在的问题
例1、【2020年新高考全国Ⅰ
卷】在①ac =sin 3c A =
，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，且sin A B =，6
C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】方案一：选条件①． 由6C π=
和余弦定理得2222a b c ab +-=．
由sin A B =
及正弦定理得a ．
222
=b c =．
由①ac =
1a b c ==．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =．
方案二：选条件②． 由6C π=
和余弦定理得2222a b c ab +-=．
由sin A B =
及正弦定理得a ．
222
=b c =，6B C π==，23
A π=． 由②sin 3c A =
，所以6c b a ===．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c =
方案三：选条件③． 由6C π=
和余弦定理得2222a b c ab +-=．
由sin A B =
及正弦定理得a ．
222
=b c =．。
2022届新高考数学二轮复习新题型专项之结构不良题(4)
2022届新高考数学二轮复习新题型专项之结构不良题（4）1.在①2122232123log 1log 1log 1log 12n n na a a a ++++=++++，②()()1122,0n n n n n a S a S a +++=+>，③147n n a a +=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知数列{}n a 的前n 项和为1,2n S a =，_________，求n S 的表达式. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.2.在①记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21,n n S n n a +=+②1225,n n a a n +=-+③记数列{}n a 的前n 项和为,n S 且133222n n S n a +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.已知数列{}n a 满足11,a =-__________. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若2πsin,2n n n b a =求数列{}n b 的前100项和100.T3.在①22,a b =②23,a b =③62,a b =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数n 存在，求出n 的最小值或最大值，若不存在，说明理由.设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 的前n 项和n S =4421,______,,n a b -=记11,n n n c a a +=设数列{}n c 的前n 项和为,n T 问是否存在最小的或最大的正整数n 使得1?5n T >4.在①32525,6a a a b =+=；②23432,3b a a b =+=；③34529,8S a a b =+=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上（填序号），并解答.已知等差数列{}n a 的公差为(1)d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11,a b d q ==，__________.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 注：选择多个条件分别解答时，按第一个解答计分.5.在①π,2A C =+②5415cos ,c a A -=③ABC 的面积3S =这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，且_________，____________， 求c.6.在①b =sin sin 2sin B C A +=，③10bc =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出ABC △的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由. 问题：是否存在ABC △它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3sin()sin 2B CA B c ++=，3a =，__________？7.在①2sin cos cos cos a C B C C =；②5cos 45c B b a +=；③(2)cos cos b a C c A -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足__________. （1）求sin C ；（2）已知5a b +=，ABC △ABC △的边AB 上的高h .8.在①2cos cos b c Ca A-=，②cos cos cos cos C A B B A +=，③2sin cos (2)sin b A B c b B =-这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且_______. (1)求A ；(2)若6a =，求ABC △面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.答案以及解析1.答案：若选①：因为2122232123log 1log 1log 1log 12n n na a a a ++++=++++，所以当2n 时，2122232112311log 1log 1log 1log 12n n n a a a a ---++++=++++.两式相减，可得21log 12n n a =+，则2log 12n a n +=，故2log 21n a n =-， 故212,2n n a n -=，经验证12a =也符合该式， 故212(1)112224n n n n a --+-===⋅，则()2121422143n n n S +--==-.若选②：因为0n a >，所以等式两边同时除以1n n a a +， 得11220n n n nS S a a ++++-=， 故数列2n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公差为0的等差数列，即常数列.所以11222n n S S a a ++==，即22n n S a +=，（1） 由2222S a +=，得24a =，所以1122(2)n n S a n --+=.（2）由（1）-（2）得122n n n a a a -=-，即12(2)n n a a n -=，故1222n n n a -=⋅=， 经验证12a =也符合该式，则()12122212n n n S +⨯-==--.若选③，因为147n n a a +=-，故177433n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以数列73n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13-为首项，4为公比的等比数列，故171433n n a --=-⨯，即171433n n a -=-⨯. 则011717171444333333n n S -=-⨯+-⨯++-⨯ ()01177714443333n -⎛⎫=+++-⨯+++ ⎪⎝⎭741399n n =-+.2.答案：(1)方案一：选条件①.因为()21,n n S n n a +=+所以()211(1)(1)1n n S n n a ++++=++， 两式相减得12,n n na na n +-=所以1 2.n n a a +-=又11,a =-所以数列{}n a 是首项为1,-公差为2的等差数列， 所以12(1)2 3.n a n n =-+-=- 方案二：选条件②.由1225,n n a a n +=-+得[]1(21)2(23)n n a n a n +--=--， 所以[][]211(21)2(23)2(25)n n n a n a n a n +---=--=--==()1210n a +=，所以2 3.n a n =- 方案三：选条件③.由题意得133222n n S n a +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故当2n 时153,2,22n n S n a -⎛⎫ ⎪⎭-=-⎝两式相减得1(21)(23)(2),n n n a n a n +-=-所以1221231n na a a n n +===--， 又1213222S a =--，所以21a =，所以1(2),23na n n =-则23(2)n a n n =-， 又11a =-符合上式，所以2 3.n a n =-(2)由2πsin2n n n b a =得，当()*2n k k =∈N 时,0n b =， 当()*43n k k =-∈N 时，2n n b a =，当()*41n k k =-∈N 时，2n n b a =-，所以()()()22222210013579799T a a a a a a =-+-++-()()()()()()1313575797999799a a a a a a a a a a a a =-++-+++-⋅+()135994a a a a =-++++()1994502100(1195)19400.a a +=-⨯⨯=-⨯-+=- 3.答案：由数列{}n b 的前n 项和21n n S =-得， 当2n 时，1121n n S --=-， 故11222n n n n b --=-=，又111211b S ==-=，符合上式， 设等差数列{}n a 的公差为d .若选条件①，则112,38a d a d +=+=， 解得13,1d a ==-， 所以34n a n =-， 所以1111(34)(31)33431n c n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，所以1111131225n T ⎡⎛⎫⎛⎫=-+-++⎪ ⎪⎢-⎝⎭⎝⎭⎣111,3431315n n n ⎤⎫-=->⎪⎥---⎭⎦无解，故不存在最小的整数n ，使得15n T >. 若选条件②，则114,38a d a d +=+=， 解得12a d ==， 则2n a n =， 所以111122(1)41n c n n n n ⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭， 所以111114223n T ⎡⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣1111111414(1)5n n n n n ⎤⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎥+++⎝⎭⎝⎭⎦， 解得4,n >故存在最小的正整数5n =使得15n T >.若选条件③，则1152,38a d a d +=+=， 解得117,3,a d ==-所以203n a n =-， 所以1(320)(317)n c n n =--111,3320317n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭所以1111131714320317n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++-= ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦111131731717(317)5n n n -⎛⎫--=>⎪-⨯-⎝⎭，解得2892895.16 5.67,5651n ≈<<≈故不存在最小的或最大的正整数n 使得15n T >. 4.答案：方案一：选条件①.（1）3252115,6,,,1a a a b a b d q d =+===>， 11125,256,a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩或125,6512a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）， 11,2.b q =⎧∴⎨=⎩1111(1)21,2n n n n a a n d n b b q --∴=+-=-==. （2）结合（1）得11211(21)22n n n n c n ---⎛⎫==-⨯ ⎪⎝⎭，则2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①-②得211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦1111221112(21)3(23)12212n n nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦+⨯--⨯=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭.方案二：选条件②.（1）2343112,3,,,1b a a b a b d q d =+===>， 12112,253,a d a d a d =⎧∴⎨+=⎩112,256,a d a d d =⎧∴⎨+=⎩ 解得11,2a d =⎧⎨=⎩或11,2a d =-⎧⎨=-⎩（舍去），11,2.b q =⎧∴⎨=⎩1(1)21n a a n d n ∴=+-=-，1112n n n b b q --==. （2）同方案一. 方案三：选条件③.（1）3452119,8,,,1S a a b a b d q d =+===>， 1113239,2278,a d a d a d ⨯⎧+=⎪∴⎨⎪+=⎩ 解得11,2a d =⎧⎨=⎩或121,838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去），11,2,b q =⎧∴⎨=⎩1(1)21n a a n d n ∴=+-=-，1112n n n b b q --==. （2）同方案一.5.答案：方案一：选条件①②.因为5415cos ,3c a A b -==，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=. 因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin .B A A = 因为sin 0A >，所以43cos ,sin 55B B ===.因为π,π,2A C A B C =+++=所以π2,2B C =-所以π3cos 2cos sin 25C B B ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以21cos21sin 25C C -==. 因为(0,π)C ∈，所以sin C =. 在ABC △中，由正弦定理得3sin 53sin 5b Cc B===方案二：选条件①③.因为1sin 3,32S ab C b ===，所以sin 2a C =.因为π,π,2A C A B C =+++=所以π2.2B C =-在ABC 中，由正弦定理得π3sin sin 3cos 2,πsin cos2sin 22C b A C a B CC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭ 所以3sin cos 2,cos2C CC=即3sin24cos2C C =.因为π0π,20π,A C C ⎧<=+<⎪⎨⎪<<⎩所以π0,02π,2C C <<<<所以sin20,C >所以cos20.C > 又22sin 2cos 21,C C +=所以3cos25C =， 所以21cos21sin ,25C C -==所以sin C =. 在ABC △中，由正弦定理得3sin sin sin 53sin cos 2sin 252b Cb C b Cc BC C π=====⎛⎫- ⎪⎝⎭方案三：选条件②③.因为5415cos ,3,c a A b -==所以545cos ,c a b A -= 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos ,C A B A -= 因为sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin B A A =. 因为sin 0A >，所以43cos ,sin 55B B ===.因为1sin 3,2S ac B ==所以10.ac =(i)在ABC △中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2225.a c +=(ii)由(i)(ii)解得c =c = 6.答案：方案一：选条件①. 因为3sin()sin,3,2B C A B c a ++==所以sin()sin 2B Ca A B c ++=， 由正弦定理可得sin sin()sin sin2B CA ABC ++=， 又π,A B C ++=所以πsin sin sin sin sin sin 222B C A A C C C +⎛⎫==-= ⎪⎝⎭sin cos 2A C ， 因为sin 0,C ≠ 所以sin cos ,2A A =即2sin cos cos 222A A A=， 因为cos0,2A ≠所以1sin 22A =， 又(0,π),A ∈故π26A =，即π3A =.因为3,b a ==所以由正弦定理,sin sin a b A B =得3πsin 3=解得1sin ,2B =因为b a <，所以π6B =，所以π2C =.所以ABC △的面积12S ab ==方案二：选条件②. 因为3sin()sin,3,2B C A B c a ++==所以sin()sin 2B Ca A B c ++=， 由正弦定理可得sin sin()sin sin,2B CA ABC ++= 又π,A B C ++=所以πsin sin sin sin sin sin 222B C A A C C C +⎛⎫==-= ⎪⎝⎭sin cos 2A C ， 因为sin 0C ≠，所以sin cos2A A =，即2sin cos cos ,222A A A=因为cos 0,2A ≠所以1sin 22A =， 又(0,π),A ∈故π,26A =即π3A =. 因为sin sin 2sin ,B C A +=所以由正弦定理得6b c +=， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即229b c bc +-=，联立得229,6b c bc b c ⎧+-=⎨+=⎩化简得9,6bc b c =⎧⎨+=⎩解得3b c ==，所以ABC △的面积1sin 2S bc A == 方案三：选条件③. 因为3sin()sin ,3,2B C A B c a ++==所以sin()sin 2B C a A B c ++=， 由正弦定理可得sin sin()sin sin,2B C A A B C ++= 又π,A B C ++=所以πsin sin sin sin sin sin 222B C A A C C C +⎛⎫==-= ⎪⎝⎭sin cos 2A C ， 因为sin 0C ≠，所以sin cos2A A =，即2sin cos cos 222A A A =， 因为cos 0,2A ≠所以1sin 22A =， 又(0,π),A ∈故π,26A =即π3A =. 由余弦定理得2222cos ,a b c bc A =+-即229b c bc +-=，联立得229,10b c bc bc ⎧+-=⎨=⎩消去c ， 并整理得42191000,b b -+=此时2(19)4100390,∆=--⨯=-<故方程无实数根，所以选条件③时问题中的三角形不存在.7.答案：（1）选择条件①：因为2sin cos cos cos a C B C C =，所以由正弦定理得2sin sin cos cos cos A C C B C B C =，即sin sin (sin cos sin cos )A C C C B B C =+，即sin sin sin A C C A =.又(0,π)sin 0A A ∈⇒≠，所以sin tan C C C =⇒ 由π(0,π)3C C ∈⇒=.所以πsin sin3C ==. 选择条件②：因为5cos 45c B b a +=，由正弦定理得5sin cos 4sin 5sin C B B A +=，即5sin cos 4sin 5sin()5sin cos 5cos sin C B B B C B C B C +=+=+， 得sin (45cos )0B C -=.在ABC △中，(0,π)B ∈，所以sin 0B ≠， 所以4cos 5C =.又(0,π)C ∈，所以3sin 5C =. 选择条件③：因为(2)cos cos b a C c A -=，所以由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=， 所以2sin cos sin()sin B C A C B =+=.因为(0,π)B ∈，所以1sin 0cos 2B C ≠⇒=. 又(0,π)C ∈，所以π3C =，所以sin C . （2）选择条件①：由正弦定理得π243c ==. 由余弦定理得2222π2cos ()3163c a b ab a b ab =+-=+-=， 所以2()1633a b ab +-==. 于是得ABC △的面积11sin 22S ab C ch ==，所以3sin 24ab C h c ===. 选择条件②：由正弦定理得325c == 由余弦定理得2222181922cos ()525c a b ab C a b ab =+-=+-=， 所以21925433()251890ab a b ⎡⎤=+-⨯=⎢⎥⎣⎦， 于是得ABC △的面积11sin 22S ab C ch ==，所以sin 4333905ab C h c ==⨯=. 选择条件③：同选择条件①.8.答案：(1)方案一：选条件①. 由正弦定理可知，22sin sin cos sin cos b c B C C a A A --==， 即2sin cos cos sin sin cos B A C A C A ⋅=⋅+⋅， 即2sin cos sin()B A A C ⋅=+.π,2sin cos sin A C B B A B +=-∴⋅=，1sin 0,cos 2B A ≠∴=. 又π(0,π),3A A ∈∴=. 方案二：选条件②. 由cos cos cos cos C A B B A +=，得cos()cos cos cos A B A B B A -++=，整理得sin sin cos A B B A .(0,π),sin 0B B ∈∴≠，tan A ∴ 又π(0,π),3A A ∈∴=. 方案三：选条件③.由2sin cos (2)sin b A B c b B =-及正弦定理得， 2sin sin cos (2sin sin )sin B A B C B B =-，(0,),sin 0B B π∈∴≠，2sin cos 2sin sin A B C B ∴=-.π,sin sin()sin cos cos sin A B C C A B A B A B ++=∴=+=+， 2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A B A B A B B ∴=+-， 1sin 0,cos 2B A ≠∴=， π(0,π),3A A ∈∴=.(2)由π3A =可得1sin 2A A ==. 由6a =及余弦定理可得22236a b c bc ==+-， 由基本不等式得222b c bc +，36bc ∴.ABC ∴△的面积1sin 932S bc A ==(当且仅当6b c ==时取等号)， ABC ∴△面积的最大值为。
劣构型高考数学专题训练
劣构型高考数学专题训练1．已知集合{}24A x x =<<，15B x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭．(1)求A B ⋂；(2)若集合{}1C x a x a =<<+，在①A C A ⋃=；②x C ∈是x A ∈的充分条件，这两个条件中任选一个作为条件，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．2．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．①与直线4350x y -+=垂直；②直线的一个方向向量为(4,3)a =-；③与直线3420x y ++=平行．已知直线l 过点(1,2)P -，_________________．(1)求直线l 的一般方程；(2)若直线l 与圆225x y +=相交于P ，Q ，求弦长PQ ．3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,0n a a =>，再从以下三个条件中，任意选择一个，并解决下面两个问题．①11n n S a +=-；②1ln ln 2ln n n a a +-=；③221120n n n n a a a a ++--=．(1)求数列{}n a 的通项公式，(2)若数列{}n b 满足21log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．4．在①高一或高二学生的概率为1114；②高二或高三学生的概率为47；③高三学生的概率为314这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.已知某高中的高一有学生600人，高二有学生500人，高三有学生a 人，若从所有学生中随机抽取1人，抽到___________.(1)求a 的值；(2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人是高三学生的概率.5．如图，在△ABC 中，D 是AC 边上一点，∠ABC 为钝角，∠DBC=90°．(1)证明：cos sin 0ADB C ∠+=；(2)若AB =2BC =，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD 的面积．①sin 14ABC ∠=；②AC 3AD =．6．二次函数()f x 满足()01f =，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，完成下面问题.条件①：()()12f x f x x +-=；条件②：不等式()4f x x <+的解集为()1,3-.(1)求()f x 的解析式；(2)在区间[]1,1-上，函数()f x 的图象总在一次函数2y x m =+图象的上方，试确定实数m 的取值范围；(3)设当[],2x t t ∈+()R t ∈时，函数()f x 的最小值为()g t ，求()g t .7．已知等比数列{}n b 的各项都为正数，123b =，3827b =，数列{}n a 的首项为1，且前n 项和为n S ，再从下面①②③中选择一个作为条件，判断是否存在m *∈N ，使得n *∀∈N ，n n m m a b a b ≤恒成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．①()211n n a S n -=≥；②()2112n n n a a a n +-⋅=≥，214a =；③()112n n a a n --=≥．8．已知函数()2cos 24)2f x x x πωωω⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭(1)求()0f 的值；(2)若()023f x =，且052,123x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再从下面①②③中选取一个作为条件，求012f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．①函数的一个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭；②函数图象过点,212π⎛⎫-- ⎪⎝⎭；③两条相邻对称轴间的距离为2π．9．在“①()y f x =图象的一条对称轴是直线π8x =；②(0)2f =-；③()y f x =的图象关于点7π(,0)8成中心对称”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作出详细解答.设函数()sin(2)(π0)f x x ϕϕ=+-<<，求函数()y f x =的单调递增区间.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.10．在△ABC 中，已知2AB =，4AC =，角A 的平分线AD 与BC 交于点D 且43AD =．(1)求AB AC ⋅uu u r uuu r的值；(2)若___，求cos APB ∠．①0PA PB PC ++= ，②PA PB PC == ，③PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，请从这三个条件任选一个，补充到上面问题的横线中解答．11．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形A 1ACC 1是边长为4的正方形，3AB =，点D 为BB 1中点．再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．(1)求证：AB ⊥平面A 1ACC 1；(2)求直线BB 1与平面A 1CD 所成角的正弦值；(3)求点B 到平面A 1CD 的距离．条件①：1AB AA ⊥；条件②：5BC =；条件③：平面ABC ⊥平面A 1ACC 1．12．①2x =是函数()f x 的一个极值点；②()f x '的一个零点为1x =．从这两个条件中任意选择一个作为题中的条件，并作出解答．已知函数()242ln 3f x ax x x =+-的导函数为()f x '，且________．(1)求a 的值；(2)求函数()f x 的单调区间．注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．13．在下列两个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；问题：已知二项式1nx ⎫⎪⎭，若______，求：(1)展开式中二项式系数最大的项；(2)展开式中所有的有理项；14．在①(ln 3)2f '=；②()f x 的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为0；③()f x 的递减区间为(0,ln 2)，这三个条件中任选一个补充在下面的问题（1）中，并加以解答．已知21()e (2)e 22=-++x xf x a ax ．(1)若_________，求实数a 的值；（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）(2)若a ∈R ，讨论函数()f x 的单调性．15．如图，在四棱锥A BCDE -中，侧棱AB ⊥平面BCDE ，底面四边形BCDE 是矩形，4AB BE ==，点P 、M 分别为棱AE 、AC 的中点，点F 在棱BE 上．(1)若13BF BE =，求证：直线//BM 平面PCF ；(2)若2BC =，从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．①平面ADE 与平面ABC 的交线为直线l ，l 与直线CF ；②二面角P CF E --注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分．16．已知数列{}n a 的前n 项和是n A ，数列{}n b 的前n 项和是n B ，若314A =，12n n a a +=，*N n ∈．再从三个条件：①221n B n n =-+；②12n n n B B b ++=+，120b =；③2222log n n b a =-，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）定义：,,a a ba b b a b ≤⎧*=⎨>⎩．记n n n c a b =*，求数列{}n c 的前100项的和100T ．17．在锐角ABC 中，6A π=，BC =D 、E 分别是边AB 、AC 上的点.且2DE =，再从条件①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求：条件①：AB =cos 14B =；条件③：3EC =.（1）sin C 的值；（2）BDE ∠的大小；（3）四边形BCED 的面积.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，离心率12e =，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：①椭圆C 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭；②以点1F 为圆心，3为半径的圆与以点2F 为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上（只能．．从①②中选择一个作为已知）(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点2F 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，点N 关于x 轴的对称点为N '，且2F ，M ，N '三点构成一个三角形，求证：直线MN '过定点，并求2F MN '△面积的最大值.参考答案：1．(1){}34A B x x ⋂=≤<(2)[]2,3【分析】（1）根据分母不为零且偶次方根的被开方数非负得到不等式组，即可求出集合B ，再根据交集的定义计算可得；（2）根据所选条件得到C A ⊆，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围.【详解】（1）∵15y x =-，∴3050x x -≥⎧⎨-≠⎩，∴3x ≥且5x ≠，∴1{|35B x y x x x ⎧⎫=+=≥⎨⎬-⎩⎭且5}x ≠，又{}24A x x =<<，∴{}34A B x x ⋂=≤<；（2）若选①A C A ⋃=，则C A ⊆，∵{}1C x a x a =<<+且1a a +>，∴C ≠∅，∴214a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴23a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[]2,3；若选②x C ∈是x A ∈的充分条件，则C A ⊆，∵{}1C x a x a =<<+且1a a +>，∴C ≠∅，∴214a a ≥⎧⎨+≤⎩，∴23a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[]2,3．2．(1)3450x y ++=(2)4【分析】（1）根据直线与直线的平行或垂直关系于斜率的关系求解；（2）利用直线被圆截得的弦长公式求解.【详解】（1）选①：因为直线4350x y -+=的斜率为143k =，因为直线4350x y -+=与直线l 垂直，所以直线l 的斜率为34k =-，依题意，直线l 的方程为32(1),4y x +=--即3450x y ++=.选②：因为直线的一个方向向量为(4,3),a =-所以直线l 的向量为34k =-，依题意，直线l 的方程为32(1),4y x +=--即3450x y ++=.选③：因为3420x y ++=的斜率为34k =-，又因为直线l 与3420x y ++=平行，所以直线l 的斜率为34k =-，依题意，直线l 的方程为32(1),4y x +=--即3450x y ++=.（2）圆225x y +=的圆心(0,0)O 到直线3450x y ++=的距离为1d ==,所以4PQ ==.3．(1)选①②③答案均相同，12n n a -=(2)选①②③答案均相同，12n n T n +=⋅【分析】（1）选①，由11n n n S S a ++-=得出n S 的递推关系，确定{1}n S +是等比数列，求出n S 后再求n a ；选②，由对数的性质得出数列{}n a 是等比数列，从而得通项公式；选③，由已知式变形可得数列{}n a 是等比数列，从而得通项公式；（2）用借位相减法求和．(1)选①，11n n S a +=-；11n n n S S S +=--，112(1)n n S S ++=+，又11112S a +=+=，所以{1}n S +是等比数列，公比为2，11222n n n S -+=⨯=，所以21n n S =-，2n ≥时，112n n n n a S S --=-=，而a 1=1符合，综上，12n n a -=；选②，1ln ln 2ln n n a a +-=，即1ln ln 2ln ln(2)n n n a a a +=+=，所以12n n a a +=，又11a =，所以{}n a 是等比数列，公比为2，所以12n n a -=；选③，221120n n n n a a a a ++--=，11(2)()0n n n n a a a a ++-+=，因为0n a >，所以12n n a a +=，而11a =，所以{}n a 是等比数列，公比为2，所以12n n a -=；(2)选①②③均相同：由（1）得122log 2(1)2n n nn b n +==+⋅，则22232(1)2nn T n =⨯+⨯+++⨯ 231222322(1)2n n n T n n +=⨯+⨯++⨯++⨯ ，两式相减得123114(12)22222(1)24(1)212n n n n n T n n -++--=⨯++++-+⨯=+-+⨯- 12n n +=-⨯，所以12n n T n +=⋅．4．(1)300(2)35【分析】（1）若选①，则由题意可得6005001160050014a +=++，从而可求出a 的值，若选②，则由题意可得50046005007a a +=++，从而可求出a 的值，若选③，则由题意可得360050014a a =++，从而可求出a 的值，（2）根据分层抽样的定义可求得抽取的6人中，高一有4人，高三有2人，然后利用列举法列出这6人中任取2人的所有情况，再找出抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况，最后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】（1）选①.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高二学生的概率为600500110011600500110014a a +==+++，解得300a =，所以a 的值为300.选②.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高一或高三学生的概率为500500460050011007a a a a ++==+++，解得300a =，所以a 的值为300.选③.依题意，从所有学生中随机抽取1人，抽到高三学生的概率为360050014a a =++，解得300a =，所以a 的值为300.（2）第一步：求出抽取的6人中高一､高三学生的人数由（1）知，高一､高三学生人数比为2：1，所以抽取的6人中，高一有4人，高三有2人.第二步：列出从抽取的6人中任取2人的所有情况高一的4人记为a ，b ，c ，d ，高三的2人记为A ，B ，则从这6人中任取2人的所有情况为{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，A }，{a ，B }，{b ，c }，{b ，d }，{b ，A }，{b ，B }，{c ，d }，{c ，A }，{c ，B }，{d ，A }，{d ，B }，{A ，B }，共15种.第三步：列出至少有1人是高三学生的情况抽取的2人中至少有1人是高三学生的情况有{a ，A }，{a ，B }，{b ，A }，{b ，B }，{c ，A }，{c ，B }，{d ，A }，{d ，B }，{A ，B }，共9种.第四步：根据古典概型的概率公式得解至少有1人是高三学生的概率为93155=.5．(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；（2）选①，根据同角三角形的平方关系，得出cos ABC ∠，再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的定义，结合三角形的面积公式即可求解；选②，设出AD ，根据勾股定理，得出BD ，结合已知条件得出AD ，BD ，CD ，利用锐角三角函数的定义，得出角C ，进而得出角ADB ∠，再利用三角形的面积公式即可求解．（1）解：因为90ADB C ∠=︒+，所以cos cos 90sin ()ADB C C ∠=︒+=-，故cos sin 0ADB C ∠+=；（2）选①，sin 14ABC ∠=．因为90ABC ∠>︒，所以cos ABC =∠在ABC 中，由余弦定理可得6AC =，由正弦定理可得14sin C =所以sin C =因为角C 为锐角，故60C =︒，在Rt CBD △中，因为2BC =，所以tan 2tan 60BD BC C ==︒=又sin sin(90)cos 14ABD ABC ABC =-=∠-=∠∠︒，所以11sin 2214ABD BD A B BD S A =⨯=⨯∠⨯= 选②，AC 3AD =，设AD x =，则2DC x =，在Rt CBD △中，BD =由（1）cos sin 0ADB C ∠+=2202x x =，解得2x =，即2,4AD BD CD ===，在Rt CBD △中，tan 902BD C C BC ===︒<<︒，所以60C =︒，所以6090150ADB C DBC ∠=+∠=︒+︒=︒，所以111sin 2222ABD AD BD AD S B =⨯=⨯⨯⨯⨯∠= 6．(1)()21f x x x =-+(2){}1m m <-(3)()22333,2331,42211,2t t t g t t t t t ⎧++<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩【分析】（1）若选①，设()2f x ax bx c =++()0a ≠，根据条件代入列出关系式，求解即可.若选②，设()2f x ax bx c =++()0a ≠，求出1c =，原题可转为已知一元二次不等式的解集求系数，根据一元二次方程与不等式的关系即可求得；（2）可推得231m x x <-+在[]1,1-上恒成立.令()231h x x x =-+，只需()min m h x <即可.根据二次函数的单调性求出最小值即可；（3）()21f x x x =-+对称轴为12x =.讨论区间与对称轴的关系，结合二次函数的单调性，即可求得二次函数在闭区间上的最小值.【详解】（1）若选①：由已知可设，()2f x ax bx c =++()0a ≠.则()()()2111f x a x b x c +=++++()22ax a b x a b c =+++++，所以，()1()2f x f x ax a b +-=++，又()()12f x f x x +-=，()01f =.所以2201a a b c =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，解得111a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以()21f x x x =-+；若选②：由已知可设，()2f x ax bx c =++()0a ≠.则()01f c ==，所以1c =，()21f x ax bx =++由()4f x x <+，可得214ax bx x ++<+，即()2130ax b x +--<的解集为()1,3-.所以，-1和3是方程()2130ax b x +--=的两个根，由韦达定理可得11323133b a a -⎧-+=-=⎪⎪⎨-⎪-⨯==-⎪⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，所以()21f x x x =-+.（2）由题意可得，[]1,1x ∈-时，都有212x x x m -+>+成立.即231m x x <-+在[]1,1-上恒成立.令()231h x x x =-+，只需()min m h x <即可.因为()23524h x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在[]1,1-上单调递减，所以()()min 11h x h ==-，所以实数m 的取值范围为{}1m m <-.（3）()21f x x x =-+对称轴为12x =.当122t +<，即32t <-时，()21f x x x =-+在[],2t t +上单调递减，()()()()22222133g t f t t t t t =+=+-++=++；当122t t ≤≤+，即3122t -≤≤时，()2111312224g t f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；当12t >时，()21f x x x =-+在[],2t t +上单调递增，()2()1g t f t t t ==-+.综上所述，()22333,2331,42211,2t t t g t t t t t ⎧++<-⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩.7．若选①：不存在；若选②：存在1m =；若选③：存在2m =或3m =【分析】由等比数列通项公式可求得公比q ，进而得到n b ；若选①，利用n a 与n S 关系可推导证得{}n a 为等比数列，从而求得n a ，由此可得1423nn n a b ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，结合指数函数单调性可确定数列{}n n a b 为递增数列，由此可得结论；若选②，由等比中项定义可确定数列{}n a 为等比数列，由此可求得n a ，从而得到146nn n a b ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，结合指数函数单调性可确定数列{}n n a b 为递减数列，由此可得结论；若选③，由等差数列定义可确定{}n a 为等差数列，由此可求得n a ，从而得到23nn n a b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，采用作差法可求得数列{}n n a b 的单调性，从而确定m 的取值.【详解】设等比数列{}n b 的公比为()0q q >，23149b q b == ，23q ∴=，23nn b ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭；若选条件①，当2n ≥时，1122n n n n a S a S ---=-，则1122n n n n n a a S S a ---=-=，12n n a a -∴=，又11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a -\=；12142323n nn n n a b -⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1423xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ 在R 上单调递增，∴数列{}n n a b 为递增数列，没有最大值，∴不存在m *∈N ，使得n n m m a b a b ≤恒成立；若选条件②，()2112n n n a a a n +-⋅=≥ ，11a =，214a =，∴数列{}n a 为等比数列，∴数列{}n a 的公比为2114a a =，114n n a -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭；11221444336n n nn n n n a b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；146xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ 在R 上单调递减，∴数列{}n n a b 为递减数列，1123n n a b a b ∴≤=，即存在1m =，使得n n m m a b a b ≤恒成立；若选条件③，()112n n a a n --=≥ ，()112n n a a n -∴-=≥，又11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，n a n ∴=，23nn n a b n ⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭；设n n n c a b =，则()111223213333n n n n n nc c n n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅--⋅=⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴当3n <时，10-->n n c c ；当3n =时，10n n c c --=；当3n >时，10n n c c --<；12345c c c c c ∴<=>>>⋅⋅⋅，∴存在2m =或3m =，使得n n m m a b a b ≤恒成立.8．(1)3-【分析】(1)先根据降幂公式和辅助角公式化简，然后直接求值可得；(2)根据所选条件，利用相应性质可求得ω，然后由()023f x =，结合和差公式可得.【详解】（1）())2sin22cos 1sin22f x x x x xωωωω=--=-2sin 23x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()02sin 3f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（2）选①：263k ππωπ⋅-=，则()13Z k k ω=+∈，因为04ω<<，则1ω=选②：sin 163ππω⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，因为04ω<<，则,633πππωπ⎛⎫--∈-- ⎪⎝⎭故632πππω--=-，1ω=选③：22T π=，故22T ππω==，则1ω=因为()0022sin 233f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以01sin 233x π⎛⎫-=⎪⎝⎭因为052,123x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以02,32x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故0cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭0002sin 22sin 212636f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11232323⎛⎫=⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭9．选择①、③：函数()y f x =的单调递增区间为π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；选择②：当π4ϕ=-时，函数()y f x =的单调递增区间为π3ππ,π,88Z k k k ⎡⎤-+⎢⎥⎦∈⎣；当3π4φ=-时，函数()y f x =的单调递增区间为π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【分析】根据函数的对称轴、对称中心及特殊点求解函数解析式，然后整体代换法求解函数的递增区间即可.【详解】选择①：因为π8x =是函数()y f x =的图象的对称轴，所以πsin(2)18ϕ⨯+=±，所以πππ,Z 42k k ϕ+=+∈，即ππ,Z 4k k ϕ=+∈.因为π0ϕ-<<，所以3π4φ=-，因此3π()sin(2)4f x x =-，由题意得π3ππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈，所以π5πππ,Z 88k x k k +≤≤+∈，所以函数()3πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.选择②：因为(0)2f =，所以sin 2ϕ=-，因为π0ϕ-<<，所以π4ϕ=-或3π4φ=-，当π4ϕ=-时，π()sin(2)4f x x =-，由题意得πππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈，所以π3πππ,Z 88k x k k -≤≤+∈，所以函数π()sin(24f x x =-的单调递增区间为π3ππ,π,88Z k k k ⎡⎤-+⎢⎥⎦∈⎣.当3π4φ=-时，3π()sin(24f x x =-，由题意得π3ππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈，所以π5πππ,Z 88k x k k +≤≤+∈，所以函数3π()sin(2)4f x x =-的单调递增区间为π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.选择③：因为()y f x =的图象关于点7π(,0)8成中心对称，所以7π2π,Z 8k k ϕ⨯+=∈，所以7ππ,Z 4k k ϕ=-+∈，因为π0ϕ-<<，所以3π4φ=-，因此3π()sin(2)4f x x =-，由题意得π3ππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈，所以π5πππ,Z 88k x k k +≤≤+∈，所以函数3π()sin(2)4f x x =-的单调递增区间为π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.10．(1)4AB AC ⋅=-(2)若选①，1cos 2APB ∠=；若选②，11cos 14APB ∠=；若选③，cos APB ∠【分析】（1）根据角平分线的性质求出点D 的位置，再利用平面向量求模的方法求解；（2）对3个条件逐一分析，找出点P 的几何意义，建立坐标系求解.【详解】（1）∵AD 平分角A ，由角平分线定理∴2CD ACDB AB==，∴2CD DB = ，设AD AB AC λμ=+，则()()1,1CD AD AC AB AC DB AB AD AB ACλμλμ=-=+-=-=-- ，()()1212AB AC AB AC λμλμ∴+-=-- ，2212λλμμ=-⎧⎨-=-⎩，解得21,33λμ==，∴2133AD AB AC =+ ，222414999AD AB AC AB AC =++⋅ ，164144169999AB AC =⨯+⨯+⋅，解得4AB AC ⋅=-；（2）由1cos 2AB AC A AB AC ⋅==- 及0πA <<，得2π3A =，如图，建立平面直角坐标系xAy ，则()0,0A ，(B -，()4,0C ．选①，显然条件0PA PB PC ++=表示点P 为ABC 的重心，则AC 的中点()2,0D，(3,BD =，设(),P x y ，根据重心的几何性质有()1,2,1,3PD BD x y ⎛=--= ⎝⎭，1,x y ∴==，则重心1,3P ⎛ ⎝⎭，1,3PA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2,3PB ⎛=- ⎝⎭ ；2213cos 2PA PBAPB PA PB-∠==；选②，显然条件表示ABC 的外接圆的圆心，则P 在直线2x =上，可设()2,P y，由PA PB ==3y=，∴2,3P ⎛⎝⎭，2,3PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,3PB ⎛=-- ⎝⎭ 所以46113cos 14PA PB APB PA PB+∠==；选③，由条件PA PB PB PC PC PA ==可得：()()0,0PA PC PB PC PB PA -=-= ，0,0CA PB AB PC ==，即点P 是ABC 的垂心，过B 点作AC 的垂线，则垂线方程为=1x -，垂心P 在直线=1x -上，可设()1,P y -，则()1,PA y =-，(5,BC = ，由PA BC ⊥，得50PA BC ⋅=+= ，∴y =，∴1,3P ⎛-- ⎝⎭，1,3PA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，0,3PB ⎛= ⎝⎭，403cos 14PA PBAPB PA PB∠==；11．(1)证明见解析(2)22(3)11【分析】（1）考虑选择条件①②和选择条件②③，根据勾股定理得到AB AC ⊥，再根据线线垂直或面面垂直得到证明.（2）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，计算给点坐标，平面1ACD 的一个法向量为()2,3,3n =，再根据向量夹角公式得到答案.（3）直接利用点到平面的距离公式计算得到答案.【详解】（1）若选择条件①②：4,3,5AC AB BC ===，故222BC AC AB =+，故AB AC ⊥.又1AB AA ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11AAC C ，故AB ⊥平面11AAC C .若选择条件②③：4,3,5AC AB BC ===，故222BC AC AB =+，故AB AC ⊥.平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，平面ABC ⋂平面11A ACC AC =，AB ⊂平面ABC ，故AB ⊥平面11AAC C .若选择条件①③：不能确定,AB AC 的角度，故BC 的长度不能确定，不能得到后面的结论，求不出夹角和距离，故不能选择（2）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,4)A ，()13,0,4B ，1(0,4,4)C ，()3,0,2D ，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则11440320n AC y z n A D x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令2x =，则3,3y z ==，所以()2,3,3n =，()10,0,4BB = ，设直线1BB 与平面1ACD 所成角为θ，则111||sin |cos ,|22||||BB n BB n BB n θ⋅===.所以直线BC 与平面11A BC所成角的正弦值为22.（3）()0,0,2BD =，点B 到平面A 1CD的距离为11BD n d n⋅== 12．(1)a ＝－13(2)()f x 的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是()0,1，(2,)+∞．【分析】由题可得()4223f x ax x'=+-.（1）若选①，则()20f '=，可得a ；若选②，则()10f '=，可得a ；（2）由（1）结果结合()f x '正负性可得()f x 的单调区间．【详解】（1）()4223f x ax x'=+-.若选①，则()21242033f a a '=+-=⇒=-；若选②，则()41122033f a a '=+-=⇒=-；（2）由（1）可得()()()221242333x x f x x x x---'=-+-=.()001f x x <⇒<<'或2x >⇒()f x 在()0,1，(2,)+∞上单调递减；()012f x x '>⇒<<⇒()f x 在(1,2)上单调递增.则()f x 的单调递增区间是(1,2)，单调递减区间是()0,1，(2,)+∞．13．(1)32420T x -=-(2)31T x =，315T =，3515T x -=，67T x-=【分析】（1）利用二项展开式的性质求出6n =，再求展开式中二项式系数最大的项；（2）设第1r +项为有理项，()63216C 1rr r r T x-+=-，求出0,2,4,6r =即得解；【详解】（1）选①，由()0121C C C 1222n n n n n n -++=++=，得6n =（负值舍去）．选②，令1x =，可得展开式中所有项的系数之和为0．由01C C C 0264n nn n n +++-== ，得6n =．由61x ⎫⎪⎭可得()63216C 1r r r r T x -+=-，由6n =得展开式的二项式系数最大为36C ，则展开式中二项式系数最大的项为()33332246C 120T xx--=-=-．（2）因为06r ≤≤，r ∈N ，63Z 2r-∈，所以0,2,4,6r =，则有理项为03316C T x x ==，2036C 15T x ==，43356C 15T x x --==，66676C T xx --==.14．(1)条件选择见解析，1a =(2)答案见解析【分析】（1）利用求导数的值，导数的几何意义，导数研究函数的单调性等知识求解参数a 的值；（2）根据含参函数单调性的讨论进行分类讨论.【详解】（1）()()2()e (2)e 2e 2e '=-++=--x x x x f x a a a 选条件①则(ln 3)(32)(3)21f a a '=--=∴=选条件②则(0)(12)(1)01f a a '=--=∴=选条件③则依题意0和ln 2是()()()20x xf x e e a '=--=的两个根1a ∴=（2）()()2()e (2)e 2e 2e '=-++=-- x x x xf x a a a 则可以分以下几种情况讨论：①当0a ≤时，令()0f x '>即ln 2x >，令()0f x '<即ln 2x <；()f x ∴在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增；②当02a <<时，令()0f x '>即ln 2x >或ln x a <，令()0f x '<即ln ln 2a x <<；()f x ∴在(,ln ),(ln 2,)a -∞+∞上单调递增，在(ln ,ln 2)a 上单调递减；③当2a =时，()2()e 20'=-≥x f x ，()f x ∴在R 上单调递增；④当2a >时，令()0f x '>即ln x a >或ln 2x <，令()0f x '<即ln 2ln x a<<()f x ∴在(,ln 2),(ln ,)a -∞+∞上单调递增，在(ln 2,ln )a 上单调递减；综上所述：①当0a ≤时，()f x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增；②当02a <<时，()f x 在(,ln ),(ln 2,)a -∞+∞上单调递增，在(ln ,ln 2)a 上单调递减；③当2a =时，()f x 在R 上单调递增；④当2a >时，()f x 在(,ln 2),(ln ,)a -∞+∞上单调递增，在(ln 2,ln )a 上单调递减．15．(1)证明见解析(2)条件选择见解析，证明见解析【分析】（1）取AP 的中点N ，连接BN 、MN ，证明出平面//BMN 平面PCF ，利用面面平行的性质可证得结论成立；（2）若选①，分析可知异面直线l 与CF 所成的角即为BCF ∠，由cos BCF ∠=结合勾股定理可求得BF 的长，然后以点B 为坐标原点，BC 、BE、BA 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角P CF E --的余弦值；若选②，以点B 为坐标原点，BC 、BE、BA 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设BF m =，利用空间向量法可求得m 的值，分析可知异面直线l 与CF 所成的角即为BCF ∠，求出BCF ∠的余弦值即可.【详解】（1）证明：如下图所示，取AP 的中点N ，连接BN 、MN ，因为M 、N 分别为AC 、AP 的中点，所以，//MN PC ，因为MN ⊄平面PCF ，PC ⊂平面PCF ，所以，//MN 平面PCF ，又因为13BF NPBE NE==，所以，//BN PF ，因为BN ⊄平面PCF ，PF ⊂平面PCF ，所以，//BN 平面PCF ，因为MN BN N ⋂=，MN 、BN ⊂平面BMN ，故平面//BMN 平面PCF ，因为BM ⊂平面BMN ，所以，//BM 平面PCF .（2）证明：若选①作为已知条件，平面ADE 与平面ABC 的交线为直线l ，作出直线l 如图，由于//BC DE ，BC ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以，//BC 平面ADE ，因为BC ⊂平面ABC ，平面ABC ⋂平面ADE l =，所以，//l BC ，所以，异面直线l 与CF 所成的角即为BCF ∠，因为BC BE ⊥，则2cos BC BCF CF CF ∠==CF =，故1BF ==，以点B 为坐标原点，BC 、BE、BA 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0C 、()0,4,0E 、()0,2,2P 、()0,1,0F ，()2,1,0FC =- ，()0,1,2FP =，设平面PCF 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1111112020n FC x y n FP y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，可得()11,2,1n =-，易知平面BCD 的一个法向量为()20,0,1n = ，则121212cos ,6n n n n n n ⋅==--⋅，由图可知，二面角P CF E --为锐角，故二面角P CF E --的余弦值为6；若选②为已知条件，以点B 为坐标原点，BC 、BE、BA 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设BF m =，则()2,0,0C 、()0,,0F m 、()0,2,2P ，()2,,0FC m =-，()0,2,2FP m =- 。
3--新高考数学之劣构问题
[ 解析] : 核心素养：数学抽象 数学运算
解：选②：q 1 , 不存在.--答题格式！ 2
若q
1 2
,
an
a1q n 1
48 ( 1 )n1. 2
Sn
a1(1 qn ) 1 q
48[1 ( 1 )n ] 2
1 1
96 96 ( 1 )n 2
示例4
示例4：2020山东潍坊二模
现在给出三个条件：①a 2；②B ；③c 3b.
4 试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定ABC， 并以此为依据，求ABC的面积. 在ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c，? ， ,
且满足a sin C 3 c cos A,求ABC的面积. 3
从①q 2，②q 1 ，③q 2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 2
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
[ 解析] : 核心素养：数学抽象 数学运算
作答1：将所选条件填入空中！--答题卡格式？？？
作答2：
解：选①：q 2, 存在.--答题格式！ 理由如下：--答题格式！
b5
81，是否存在k，使得Sk
Sk 1且Sk 1
Sk
？
2
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
[ 解析] : 核心素养：逻辑推理 方案3： 若选③S5 25，a5 1，an 2n 11， 当k 4时，a5 0，a6 0.
目前题型三：
前两种结合！！！
所以VABC的面积S 1 bc sin A 6 3． 2
新高考数学之劣构试题---示例
劣构问题，亦称为定义不良问题。
这类问题是以真实世界为情境的，存在多种对立的、矛盾的观点看法，有多种解决方法。
其解决方法的形成不可能依靠某种具体的决策制定过程。
劣构问题的主要特点是：（1）问题的构成部分存在未知或某种程度的不可知、可操控的参数/变量很少、目标界定含糊不清或缺少限定；（2）有多种解决方法、途径和多种评价解决方法的标准，甚至无解；（3）因为不同的情境使然，没有原型的案例可供参考；（4）不能确定哪些概念、规则和原理对形成 解决方案来说 是必须的，并将它们组织起来；（5）没有一般性的规则或原理可套用，在确定恰当的行动方面没有明确的方法；（6）需要学习者表达个人对问题的观点或信念，因而解决问题的过程是一种独特的人际互动过程；（7）需要学习者对问题作出判断，并说明理由。
劣构问题，是今年新高考山东正在探索的问题，北京也在探索，今年以三角为背景命题可能性较大！目前题型一：条件矛盾，考察逻辑推理，排除不良条件！示例1：西城区2018-2019学年高一下学期期末考试 1.已知ABC △同时．．满足下列四个条件中的三个： ① π3A =； ② 2cos 3B =-； ③ 7a =； ④ 3b =． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求ABC △的面积．解：（Ⅰ）ABC △同时满足①，③，④． ………… 3分—答题要点！！！ 理由如下：若ABC △同时满足①，②，则因为 21cos 32B =-<-，且(0,π)B ∈，所以 2π3B >． 所以 πA B +>，矛盾．所以ABC △不能同时满足①，②． ………… 3分所以ABC △只能同时满足③，④． ………… 1分 因为 a b >，所以 A B >，故ABC △不满足②． ………… 2分故ABC △满足 ①，③，④．（Ⅱ）因为 2222cos a b c bc A =+-， …………1分 所以 222173232c c =+-⨯⨯⨯． 解得 8c =或5c =-（舍）． ………… 2分所以△ABC 的面积1sin 2S bc A == …………2分 考察：逻辑推理及分析与可决问题的能力！示例2：山东省德州市2019-2020学年高三上学期期末已知,,a b c ，分别为ABC ∆内角,,A B C ，的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①cos 3B =-；②2cos 22cos 12A A +=；③a =b = （Ⅰ）满足有解三角形的序号组合有哪些（Ⅱ）在（Ⅰ）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）【答案】（1）①，③，④或②，③，④；（2 【解析】 【分析】（Ⅰ）由①可求得cos B 的值，由②可求出角A 的值，结合题意得出A B π+>，推出矛盾，可得出①②不能同时成为ABC ∆的条件，由此可得出结论；（Ⅱ）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积.【详解】（Ⅰ）由②2cos 22cos 12AA +=得，22cos cos 10A A +-=， 解得1cos 2A =或cos 1A =-（舍），所以3A π=，因为1cos 2B =<-，且()0,B π∈，所以23B π>，所以A B π+>，矛盾.所以ABC ∆不能同时满足①，②.故ABC ∆满足①，③，④或②，③，④； （Ⅱ）若ABC ∆满足①，③，④，因为2222cos b a c ac B =+-，所以28623c c =++⨯，即2420c c +-=.解得2c =.所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==若ABC ∆满足②，③，④由正弦定理sin sin a b A B=sin 2B =，解得sin 1B =，所以c =ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==【点睛】本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题. 示例3：自编！已知()()sin (||)2A x f x πωϕϕ+<=同时．．满足下列四个条件中的三个： ①π()16f =； ②()()sin (||)2A x f x πωϕϕ+<=的图像可以由sin cos x x y -=得图像平移得到； ③相邻两条对称轴之间距离为2π； ④ 最大值为2． （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；（Ⅱ）若曲线()y f x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，求m 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）由②sin cos )4x x y x π-=-=若函数()()sin (||)2A x f x πωϕϕ+<=的图像可以由sin cos x x y -=得图像平移得到，则()()sin (||))2f x A x x πωϕϕϕ=+<=+由③相邻两条对称轴之间距离为2π，可得：()f x 的周期为π，2ω=与②矛盾； ④ 最大值为2与②矛盾；故只能舍弃条件②. 所以这三个条件是①③④（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：()2sin()6x f x π=-对称轴满足：262x k πππ-=+，k Z ∈，得32kx ππ=+，k Z ∈， 1k =-时，6x π=-，0k =时，3x π=，1k =时，56x π=.又()f x 对称轴只有一条在[]0,m 上， ∴5,36m ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 目前题型二：条件不唯一，多方案解题，答案一致（也有可能不一致）！条条大路通罗马，给学生多样选择性，哪个条件熟悉选哪个，便于得分！--类似语文高考作文！引例1：西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷对于双曲线,给出下列三个条件: ①离心率为2;②一条渐近线的倾斜角为30; ③ 实轴长为8,且焦点在x 轴上.写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________．【答案】2211648x y -=,答案不唯一【解析】 【分析】根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出,,a b c ，即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程． 【详解】若选择①③，所以2,28c ea a，解得4,8a c，所以222228448b c a ，因为焦点在x 轴上，所以双曲线的标准方程为2211648x y-=．若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．故答案为：2211648x y -=，答案不唯一．引例2：北京高考数学网测17题.已知{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为n S ，满足312a =， ．是否存在正整数k ，使得2020k S >若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①2q =， ②12q =， ③2q =-这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
专题13 结构不良题(三角函数与解三角形)-高考数学微专题复习(新高考地区专用)
专题13 结构不良题（三角函数与解三角形）结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。
一、题型选讲题型一 、研究三角形是否存在的问题例1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】方案一：选条件①．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =．由①ac =1a b c ==．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 方案二：选条件②．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =，6B C π==，23A π=．由②sin 3c A =，所以6c b a ===．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c = 方案三：选条件③．由6C π=和余弦定理得2222a b c ab +-=．由sin A B =及正弦定理得a ．222=b c =．由③c =，与b c =矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．例2、（2021年徐州联考）在①cos cos 2c B b C +=，②πcos()cos 2b Cc B -=，③sin cos B B +条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求ABC △的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π6A =，______________，4b =？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】选择①：由余弦定理可知，222222cos cos 222a c b a b c c B b B c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，……4分由正弦定理得，sin sin 1b A B a ==，又(0,π)B ∈，所以π2B =，…………………6分所以ABC △是直角三角形，则c =ABC △的面积12S ac ==…10分 选择②：由正弦定理得，πsin cos()sin cos 2B C C B -=，即sin sin sin cos B C C B =， 又(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，所以sin cos B B =，即tan 1B =， 又(0,π)B ∈，所以π4B =．……………………………………………………………4分由正弦定理得，sin sin b Aa B==，…………………………………………………6分所以ABC △的面积1ππsin )sin()2246S ab C A B ==+=+=+.…10分 选择③：因为πsin cos )4B B B ++=πsin()14B +=， 又(0,π)B ∈，所以ππ5π(,)444B +∈，所以ππ42B +=，即π4B =．…………………4分由正弦定理得，sin sin b Aa B==，…………………………………………………6分所以ABC △的面积1ππsin )sin()2246S ab C A B ==+=+=+.…10分 题型二、运用正余弦定理研究边、角及面积例3、【2020年高考北京】在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 7a c C A C C ==∴=11sin (118)8222S ba C ==-⨯⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin 816A B ∴====由正弦定理得：6sin sin a b a A B === （Ⅱ）91sin sin()sin cos sin cos 8161684C A B A B B A =+=+=+⨯=11sin (116)622S ba C ==-⨯=例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .【解析】 选择①：113sin 2sin 2224ABC S AB BC ABC BC π∆=⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅=所以BC = 由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠482220⎛=+-⨯⨯= ⎝⎭所以AC ==选择②设BAC CAD θ∠=∠=，则04πθ<<，4BCA πθ∠=-，在ABC ∆中sin sin AC ABABC BCA =∠∠，即23sin sin 44AC ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭所以sin 4AC πθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭在ACD ∆中，sin sin AC CD ADC CAD=∠∠，即4sin sin 6AC πθ=所以2sin AC θ=.所以2sin sin 4πθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得2sin cos θθ=， 又04πθ<<，所以sin 5θ=，所以2sin AC θ==例5、（湖北黄冈高三联考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.【解析】（1）选①，由正弦定理得，∵，即，∵，∴，∴，∴. ··········································5分选②，∵，，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴. ·················································5分 选③，∵，由已知结合正弦定理可得， ∴，∴，∵，∴. ·················································5分 （2）∵，即，∴，解得，当且仅当时取等号，b a =2sin tan b A a B =()()sin sin sin ac A c A B b B -++=ABC A B C a b c B 4a c +=ABC ABC sin sin B A =sin 0A ≠cos 1B B -=π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0πB <<ππ5π666B -<-<ππ66B -=π3B =2sin tan b A a B =sin 2sin cos a Bb A B =sin 2sin sin sin cos BB A A B=⋅sin 0A ≠1cos 2B =()0,πB ∈π3B =()()sin sin πsin A BC C +=-=()22a c a cb -+=222a cb ac +-=2221cos 222a cb ac B ac ac +-===()0,πB ∈π3B =()22222cos 3163ba c ac B a c ac ac =+-=+-=-2316acb =-221632a c b +⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭2b ≥2a c ==∴，周长的最小值为6，此时的面积. ··········10分 例6、（2021年南京金陵中学联考）现给出两个条件：①2c －3b ＝2a cos B ，②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，________． (1)求A ；(2)若a ＝3－1，求△ABC 周长的最大值．【解析】若选择条件①2c －3b ＝2a cos B ．(1)由余弦定理可得2c －3b ＝2a cos B ＝2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得c 2＋b 2－a 2＝3bc ，………2分可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32．…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． …………………………………………………………5分 (2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得(3－1)2＝b 2＋c 2－2bc ·32，………6分即4－23＝b 2＋c 2－3bc ＝(b ＋c )2－(2＋3)bc ，亦即(2＋3)bc ＝(b ＋c )2－(4－23)， 因为bc ≤(b ＋c )24，当且仅当b ＝c 时取等号， 所以(b ＋c )2－(4－23)≤(2＋3)×(b ＋c )24，解得b ＋c ≤22，…………………………………………………………8分 当且仅当b ＝c ＝2时取等号． 所以a ＋b ＋c ≤22＋3－1，即△ABC周长的最大值为22＋3－1．…………………………………………………10分 若选择条件②(2b －3c )cos A ＝3a cos C ． (1)由条件得2b cos A ＝3a cos C ＋3c cos A ，由正弦定理得2sin B cos A ＝3(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin(A ＋C )＝3sin B ．………2分 因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，…………………………………………………3分 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π6． (2)同上例7、（2020·全国高三专题练习（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小； （2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC 的面积.min 2b =ABCABC 1sin 2S ac B ==【答案】（1）6A π=；（2）见解析【解析】（1）因为()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-， 又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得()())b a b a c c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 222b c A bc bc a +===-， 因为0A π<<， 所以6A π=.（2）方案一：选条件①和②.由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin ab B A ==由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222222cos4c c π=+-⨯，解得c =所以ABC 的面积11sin 2122S ac B ==⨯⨯=. 方案二：选条件①和③.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222433b b b =+-，则24b =，所以2b =.所以c =，所以ABC 的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=题型三、考查三角函数的图像与性质例8、（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x 图象关于原点对称；②向量()3sin ,cos 2m x x ωω=，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）若02πθ<<，且sin 2θ=，求()f θ的值； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间． 【解析】解：方案一：选条件① 由题意可知，22T ππω==，1ω∴= ()()1sin 22f x x ϕ∴=+，()1sin 226g x x πϕ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，又函数()g x 图象关于原点对称，,6k k Z πϕπ∴=+∈，2πϕ<，6πϕ∴=，()1sin 226f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，（1）0,sin 2πθθ<<=，4πθ∴=，()4f f πθ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12sin 23π=4=； （2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤，∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间为275,,,6363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．方案二：选条件②()113sin ,cos 2,cos ,24m x x n x ωωω⎛⎫== ⎪⎝⎭，()f x m n ∴=⋅1cos cos 24x x x ωωω=+112cos 222x x ωω⎫=+⎪⎪⎝⎭1sin 226x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又22T ππω==，1ω∴=，()1sin 226f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，（1）0,sin 2πθθ<<=，4πθ∴=，()4f f πθ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12sin 23π=4=； （2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤，∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间为275,,,6363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．方案三：选条件③()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos sin cos cos sin 664x x x ππωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭211cos cos 24x x x ωω=+-12cos 24x x ωω=+112cos 2222x x ωω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭1sin 226x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又22T ππω==，1ω∴=，()1sin 226f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，（1）0,sin 22πθθ<<=，4πθ∴=，()4f f πθ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12sin 23π==； （2）由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令0k =，得263x ππ≤≤，令1k =，得7563x ππ≤≤.∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间为275,,,6363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．二、达标训练1、（2021年江苏连云港联考）已知有条件①(2)cos cos b c A a C -=, 条件②45cos 2cos 2=+⎪⎭⎫⎝⎛+A A π;请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的题目．在锐角△ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为a , b,c , a =7, b +c =5, 且满足．(1) 求角A 的大小； (2) 求△ABC 的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）【解析】（1）选择条件①()2cos cos b c A a C -=,…………………………………1分 法1：由正弦定理得()2sin sin cos sin cos B C A A C -=, ………2分所以()2sin cos sin sin B A A C B =+=,………………………3分 因为sin 0B ≠, 所以1cos 2A =………………………………4分 又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,…………………5分 所以3A π=. ………………………………………………………6分法2：由余弦定理得()222222222b c a a b c b c abc ab+-+--=，……2分 化简得222b c a bc +-=………………………………………3分则2221cos 22b c a A bc +-==， ………………………………4分又π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,……………………5分 所以3A π=. ………………………………………………6分（1）选择条件②25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭………………………………………1分 法3：因为cos sin 2A A π⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A += ……………2分因为22sin cos 1A A +=，所以251cos cos 4A A -+=…………3分化简得21cos 02A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得1cos 2A =, ………………………4分 又()0,A π∈,………………………5分 所以3A π=. ……………………………………………………6分 （2）由余弦定理2222cos3a b c bc π=+-, ……………………………7分 得()273b c bc =+-，…………………………………………………8分所以()2763b c bc bc +-=⇒=， ……………………………10分于是ABC ∆的面积11sin 62222S bc A ==⨯⨯=．………12分 2、（2021年泰州高三期中）在①a=√2,②S=C 2 cosB ， ③C=π3这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.问题:在∆A BC 中，内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,面积为S ，√3bcosA=acosC+ccosA ，b=1,____________，求 c 的值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
高考数学结构不良型试题的探索与研究
高考数学结构不良型试题的探索与研究摘要：结构不良试题在2020年全国新课程I、Ⅱ（即山东卷、海南卷）首次出现，结构不良试题是在结构良好试题的基础上，将部分已知条件弱化，学生需先进行选择，然后解答，这对学生思维能力培养有着良好的导向作用。
关键词：结构不良；素养导向；高考题1 结构不良高考试题出现的背景“中国高考评价体系”，为高考内容改革指明了方向，为各学科制定命题标准提供了重要依据。
高考评价体系总体框架是“一核四层四翼”，其中“一核”为考查目的，即立德树人、服务选才、引导教学；“四层”为考查内容，即核心价值、学科素养、关键能力、必备知识；“四翼”为考查要求，即基础性、综合性、应用性、创新性。
结构不良试题是针对结构良好试题而言的，结构良好问题有明确的已和条件和要达到的目标，有确定的计算方法。
结构不良问题一般有三类：①已知条件明确，目标要求不明确；②已知条件不明确，目标要求明确；③已知条件与目标要求均不明确。
2020新高考数学结构不良试题的引入，增强了试题条件的开放性，引导学生更加注重思维的灵活性及策略选择。
结构不良试题具有很好的开放性，对数学理解能力、数学探究能力的考查能够起到积极的作用。
2 结构不良试题分析例1：（2020新高考ⅠⅡ）在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.问题:是否存在 ,它的内角的对边分别为且,______？【分析】本题从试题的情境设置来说为课程学习情境，基础知识为三角函数与解三角形内容，所考查的必备知识为正弦定理，余弦定理；在基础性的层次方面考查了学生理性思维能力。
学生要对条件进行选择，然后进行解答，无论选择哪一个条件，题目最终有自己的答案，要么存在符合条件的三角形，要么不存在，二者必居其一，故学生要相信自己，从自己所选条件出发，达到理想的彼岸。
题目考查了逻辑推理，数学运算的学科素养。
解决路径：从已知条件出发，有两种方案，一是角化边利用余弦定理，得出三边的长度关系，然后再利用选择的条件进行分析判断和求解；二是利用诱导公式，两角和差公式，通过转化，得出角度之间的关系，然后进行分析判断和求解。
新高考题型：结构不良题(三角)(精选50题)
条件① b 3
3，a
2
；条件②：
a
2，A
4
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
12．在 ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B,C 的对边．若 b c 2, cos C 2 7 ，再从 7
条件①与②中选择一个作为已知条件，完成以下问题：
（1）求 b, c 的值； （2）求角 A 的值及 ABC 的面积．
2
③ a sin
B
b sin
2 3
A
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 2a b 2c ，______求 A 和
C．
8．已知函数 f (x) sin x 3 cos x 0 .
（1）当 1 时，求 f ( π ) 的值； 6
9．在① tanB 2tanC ，② 3b2 a2 12 ，③ b cos C 2c cos B 三个条件中任选一个，
补充在下面问题中的横线上，并解决该问题.
问题：已知 ABC 的内角 A, B, C 及其对边 a, b, c ，若 c 2 ，且满足___________.求 ABC 的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
（2）当函数 f (x) 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 π 时， 2
. 从①②③中任选
一个，补充到上面空格处并作答.①求 f (x) 在区间[0, π ] 上的最小值；②求 f (x) 的单调 2
递增区间；③若 f (x) 0 ，求 x 的取值范围.注：如果选择多个问题分别解答，按第一
个解答计分.
问题：在 ABC 中，角 A 、B 、C 对应的边分别为 a 、b 、c ，若 a c 1，___________， 求角 B 的值和 b 的最小值.
新高考数学人教版一轮复习课件：解题思维4 高考中结构不良试题的提分策略
,
2
又a1,ak,Sk+2成等比数列,所以(k+2)(k+3)=2k2,
解得k=6或k=-1,又k∈N*,所以k=6.
2
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7
1
(Ⅱ)∵cosA=- ,A∈(0,π),∴sin
7
由正弦定理
=
,得sin
sin sin
4 3
A= .
7
4 3
sin 7× 7
C=
=
8
=
3
.
2
1
1
3
由(Ⅰ)知b=11-a=3,∴S△ABC= absinC= ×8×3× =6
2
2
2
3.
1
A=- ,
7
若选择条件②.
1
π
(Ⅰ)∵cosA= ,∴A∈(0, ),sin
(1+3−2)
-3×
2
9 2 3
=- n + n,
2
2
9
3
9 2 3
2
2
当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=- (n-1) + (n-1)+(3n-2) = n - n-2,
2
2
2
2
9 2
3
− + , = 2,∈N ∗ ,
所以Tn=൞9 2 3 2
2 − −2, = 2−1,∈N∗ .
2
2
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高考数学技巧04 结构不良问题解题策略(精讲精练)(解析版)
技巧04结构不良问题解题策略【命题规律】结构不良问题是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，主要以解答题为主，应适度关注．【核心考点目录】核心考点一：三角函数与解三角形核心考点二：数列核心考点三：立体几何核心考点四：函数与导数核心考点五：圆锥曲线【真题回归】1．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为的直线与过Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解析】（1）右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=b =，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =．∴C 的方程为：2213y x -=；（2）由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3344,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k k x y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM的斜率为直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==--,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3yy +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤-+=⎣⎦,解得P的横坐标：100x y x ⎛⎫=+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=-⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎫-=++-=--⎪--⎭∴03x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283kx ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.2．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ，而,,NK MK K NK MK =⊂ 平面MKN ，故平面//MKN 平面11BCC B ，而MN ⊂平面MKN ，故//MN 平面11BCC B ，（2）因为侧面11BCC B 为正方形，故1CB BB ⊥，而CB ⊂平面11BCC B ，平面11CBB C ⊥平面11ABB A ，平面11CBB C ⋂平面111ABB A BB =，故CB ⊥平面11ABB A ，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，因为AB ⊂平面11ABB A ，故NK AB ⊥，若选①，则AB MN ⊥，而NK AB ⊥，NK MN N = ，故AB ⊥平面MNK ，而MK ⊂平面MNK ，故AB MK ⊥，所以1AB BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则0n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =-- ，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯ .若选②，因为//NK BC ，故NK ⊥平面11ABB A ，而KM ⊂平面MKN ，故NK KM ⊥，而11,1B M BK NK ===，故1B M NK =，而12B B MK ==，MB MN =，故1BB M MKN ≅ ，所以190BB M MKN ∠=∠=︒，故111A B BB ⊥，而1CB BB ⊥，CB AB B ⋂=，故1BB ⊥平面ABC ，故可建立如所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,2,0,1,1,0,0,1,2B A N M ，故()()()0,2,0,1,1,0,0,1,2BA BN BM ===，设平面BNM 的法向量为(),,n x y z =，则00n BN n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，从而020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1z =-，则()2,2,1n =-- ，设直线AB 与平面BNM 所成的角为θ，则42sin cos ,233n AB θ===⨯ .3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点①21,222e a b a <≤>；②10,22a b a <<≤．【解析】(1)由函数的解析式可得：()()'2xf x x e a =-，当0a ≤时，若(),0x ∈-∞，则()()'0,f x f x <单调递减，若()0,x ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增；当102a <<时，若()(),ln 2x a ∈-∞，则()()'0,f x f x >单调递增，若()()ln 2,0x a ∈，则()('0,f x f x <单调递减，若()0,x ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增；当12a =时，()()'0,f x f x ≥在R 上单调递增；当12a >时，若(),0x ∈-∞，则()()'0,f x f x >单调递增，若()()0,ln 2x a ∈，则()()'0,f x f x <单调递减，若()()ln 2,x a ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增；(2)若选择条件①：由于2122e a < ，故212a e <≤，则()21,010b af b >>=->，而10f e b b ⎛⎛=--+< ⎝⎝，而函数在区间(),0∞-上单调递增，故函数在区间(),0∞-上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22ln 21ln 22a a a a a >--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22ln 2ln 2a a a a =-⎡⎤⎣⎦()()ln 22ln 2a a a =-⎡⎤⎣⎦，由于2122e a < ，212a e <≤，故()()ln 22ln 20a a a -≥⎡⎤⎣⎦，结合函数的单调性可知函数在区间()0,∞+上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件②：由于102a <<，故21a <，则()01210f b a =-≤-<，当0b ≥时，24,42e a ><，()2240f e a b =-+>，而函数在区间()0,∞+上单调递增，故函数在区间()0,∞+上有一个零点.当0b <时，构造函数()1xH x e x =--，则()1x H x e '=-，当(),0x ∈-∞时，()()0,H x H x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()00H =，故()0H x ≥恒成立，从而有：1x e x ≥+，此时：()()()()22111x f x x e ax b x x ax b =---≥-+-+()()211a x b =-+-，当x >()()2110a x b -+->，取01x ，则()00f x >，即：()00,10f f ⎫<+>⎪⎪⎭，而函数在区间()0,∞+上单调递增，故函数在区间()0,∞+上有一个零点.()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22ln 21ln 22a a a a a ≤--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()22ln 2ln 2a a a a =-⎡⎤⎣⎦()()ln 22ln 2a a a =-⎡⎤⎣⎦，由于102a <<，021a <<，故()()ln 22ln 20a a a -<⎡⎤⎣⎦，结合函数的单调性可知函数在区间(),0∞-上没有零点.综上可得，题中的结论成立.4．（2021·北京·统考高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ∠；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC的周长为4+条件③：ABC【解析】（1）2cos c b B = ，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =，2sin 2sin32B π∴=，23C π= ，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得sin 21sin 2c Cb B===与c =矛盾，故这样的ABC 不存在；若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2sin 6a b R R π===，22sin3c R π==，则周长24a b c R ++=+=+解得2R =，则2,a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：；若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211sin 2224ABC S ab C a ==⨯，解得a =则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：5．（2021·全国·统考高考真题）已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解析】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b-=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二]：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d =-，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N 恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a ==．所以213a a =．选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+=，)1n =+=所以是等差数列.选②③作条件证明①：[方法一]：定义法(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b-=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列.[方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a ====也为等差数列，所以公差1d ==()11n d =+-=21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意.【方法技巧与总结】1、灵活选用条件，“牵手”解题经验对于试题中提供的选择条件，应该逐一分析条件考查的知识内容，并结合自身的知识体系，尽量选择比较有把握的知识内容，纳入自己熟悉的知识体系中．因此，条件的初始判断分析还是比较重要的，良好的开端是成功的一半嘛！2、正确辨析题设，开展合理验证对于条件组合类问题，初始状态更加的不确定，最关键的步骤在于对选项的条件进行组合后验证，应从多个角度，考虑多种可能性的组合，这个分析过程对思维的系统性、灵活性、深刻性和创造性的考查提出了新的要求，所以需要更加细致地完成这个验证过程．3、全面审视信息，“活”学结合“活”用数学必备知识是学科理论的基本内容，是考查学生能力与素养的有效途径和载体，更是今后生活和学习的基础．数学基础知识是数学核心素养的外显表现，是发展数学核心素养的有效载体．“活”的知识才是能力，“活”的能力才是素养．我们在学习中要重视对教材内容的理解与掌握，夯实必备知识，并在此基础上活学活用，提高思维的灵活性，才能更好地应对高考数学中考查的开放性、探究性问题．【核心考点】核心考点一：三角函数与解三角形【典型例题】例1．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数2()cos cos )sin f x x x x x =+-.(1)求函数f (x )的单调递增区间和最小正周期；(2)若当ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式.(),f x m ≥求实数m 的取值范围.请选择①恒成立，②有解，两条件中的一个，补全问题(2)，并求解.注意：如果选择①和②两个条件解答，以解答过程中书写在前面的情况计分.【解析】（1）222()cos cos )sin cos cos sin f x x x x x x x x x=+-=+-π2cos 22sin(2)6x x x =+=+．所以函数()f x 的最小正周期πT =．由πππ2π22π,Z 262k x k k -+++∈，解得ππππ,Z 36k x k k -++∈ ．所以函数()f x 的单调增区间为ππ[π,π],Z 36k k k -++∈，（2）若选择①由题意可知，不等式()f x m 恒成立，即min ()m f x ．因为ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2366x + ．故当π7π266x +=，即π2x =时，()f x 取得最小值，且最小值为1π2f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以1m - ，实数m 的取值范围为(],1-∞-．若选择②由题意可知，不等式()f x m 有解，即max ()m f x ．因为ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2366x + ．故当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以2m，实数m 的取值范围(],2-∞．例2．（2022春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，若ABC 同时满足下列四个条件中的三个：①a =2b =；③sin sin sin ++=-B C a c A b c ；④21cos sin sin 24-⎛⎫-= ⎪⎝⎭B C B C ．(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？(2)请在（1）所有组合中任选一组，求对应ABC 的面积．【解析】（1）对于③，()22212π,0,223b c a c a c b B B a b c ac π+++-=⇒=-∈∴=-；对于④，()()1cos 11sin sin cos 2sin sin 242B C B C B C B C +--=⇒--=-，即()1cos 2B C +=-，且π,0,,πA B C A B C ++=<<，则π3A =，故③，④不能同时存在，则满足有解三角形的序号组合为①②③，①②④．（2）选①②③：2π2,3a b B ===时，由余弦定理：22221cos22a c b B ac +-=⇒-=整理得：210c -=且0c >，则2c =，ABC ∴ 的面积为31sin 28ABCSac B == ．选①②④：π2,3a b A ===时，由余弦定理：2222143cos 224b c a c A bc c+-+-=⇒=，整理得：2210c c -+=，则1c =，ABC ∴ 的面积1sin 22ABC S bc A = 例3．（2022春·浙江·高二期中）在①(sin sin )()(sin sin )c A C a b A B -=-+，②2cos 2b A a c +=，222sin B a c b =+-三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．(1)求角B 的大小；(2)如图所示，当sin sin A C +取得最大值时，若在ABC 所在平面内取一点D （D 与B 在AC 两侧），使得线段2,1DC DA ==，求BCD △面积的最大值．【解析】（1）若选①(sin sin )()(sin sin )c A C a b A B -=-+，由正弦定理得，()()()c a c a b a b -=-+，整理得222a c b ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，又0πB <<，所以π3B =；若选②2cos 2b A a c +=，由余弦定理得222222b c a b a c bc+-+=，化简得222a c b ac+-=所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，又0πB <<，所以π3B =；222sin B a c b =+-，sin 2cos B ac B =，化简得tan B =0πB <<，所以π3B =；（2）由（1）得2π3AC +=，故2π03A <<，所以2π3πsin sin sin sin sin 326A C A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由ππ5π666A <+<，所以当ππ62A +=即π3A =时，sin sin A C +令,ACD ADC θα∠=∠=，AB AC BC a ===，在ACD 中由正弦定理可得，1sin sin a θ=，所以sin sin a αθ=，由余弦定理可得22221221cos 54cos a αα=+-⨯⨯⨯=-，所以()2222222cos 1sin sin a a a a θθθ=-=-()22254cos sin cos 4cos 42cos ααααα=--=-+=-，因为1,2DA DC ==，可得π02θ<<，所以cos 2cos a θα=-，1π12sin cos sin 232BCD S a a θθθ⎛⎫=⨯⨯⨯+=+ ⎪⎝⎭)1π2cos sin sin 1+23ααα⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭当且仅当ππ=32α-即5π=6α时,等号成立，所以BCD △．核心考点二：数列【典型例题】例4．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，再从条件①､条件②､条件③选择一个作为已知，求：(1)数列{}n a 的通项公式；(2)设()*241n nb n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T .条件①248,24S S ==；条件②2355,18a a a =+=；条件③163,48a S ==.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】（1）设等差数列{}n a 首项1a ，公差d ，选条件①：由已知28S =，424S =得2121412341284624S a a a d S a a a a a d =+=+=⎧⎨=+++=+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，故3(1)221n a n n =+-⨯=+，选条件②：由已知2355,18a a a =+=，得2135152618a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，3(1)221n a n n =+-⨯=+，选条件③：由已知163,48a S ==，则1666()482a a S +==，所以1612516a a a d +=+=，解得2d =，即3(1)221n a n n =+-⨯=+，综上所述，数列{}n a 的通项公式为21n a n =+（2）由(1)问的结论代入22441111(21)1(1)1n n b a n n n n n ===--+-++，则12311111122311n n n T b b b b n n n =++++=-+-++-=++ ，所以数列{}n b 的前n 项和1n nT n =+.例5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）设数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为.n S (1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求{}n a 的通项公式；①2n n S a =-；②23342161，=+=+S a S a ；(2)在（1）的条件下，若31n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T 【解析】（1）设等比数列的公比为q ，0q ≠，若选①，1112a S a ==-，11a =，2n ≥时，()11122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，可得12n n a a -=，112n n a q a -==，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；若选②，23342161，=+=+S a S a ，所以12312342161，+=+++=+a a a a a a a ，可得3342161++=+a a a ，所以12q =，11a =，112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）31311321122n n n n b a ----===，13112++=n n b ，所以311332112122n n n n b b ++-==，所以{}n b 是公比为312首项为12的等比数列，故131432331111114122 (112227212)n n n n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+++==- ⎪⎝⎭-.例6．（2022春·福建·高三校联考阶段练习）从①n b =()()11nn n n b a a +=-+；③2n n nb a =三个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列{}n a ，{}n b 满足0n a >，且11a =，11n n n n a a a a ++-=，______，求数列{}n b 的前n 项和n S .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解析】因为11,1n n n n n a a a a a ++-=>，所以1111n na a +-=，又因为11a =，所以111a =，所以1n n a =，1n a n=.选①：nb===，所以...1n S =，选②：()()()111111nn n n nb a a n n +⎛⎫=-+=-+ ⎪+⎝⎭，所以()()11111111122311n n nS n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++++-+=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，选③：22nn n nb n a ==⋅，所以32222...223n n S n ⨯++⨯+⋅=+，41232222232...n n S n +=+⨯+⨯++⋅，两式相减，可得()()()12112122222212212n n n n n n n n S n +++-=⋅-+++=⋅-=-+- 核心考点三：立体几何【典型例题】例7．（2022春·云南楚雄·高三校考阶段练习）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD E 为棱PB 中点，2,3PA AD CD BC ====，PC =､条件②这两个条件中选择一个作为已知．条件①：AB =条件②：BC 平面PAD ．(1).求证：BC CD ⊥；(2).求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．【解析】（1）如图，连接AC ，因PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则PA AC ⊥.又2PC PA ==，则AC =注意到2AD DC ==，则ADC △为等腰直角三角形，其中π4ACD ∠=，π2ADC ∠=.若选条件①，由余弦定理可得，22222cos AC BC AB ACB AC BC +-∠===⋅，结合ACB ∠为三角形内角，得4ACB π∠=，又π4ACD ∠=，则π2BCD ∠=，即BC CD ⊥.若选条件②，因BC 平面PAD ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面PAD AD =，则BC AD ∥，又π2ADC ∠=，则π2BCD ∠=，即BC CD ⊥.（2）若选条件①，由（1）可得BCD ∠=π2ADC ∠=，则BC AD ∥，故建立以A 为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系（x 轴所在直线与DC 平行）又23，PA AD CD BC ====，AB =则()()()()000210220020,,，,,，,,，,,A B C D -，()1002112,,，,,P E ⎛⎫-⎪⎝⎭.则1112,,AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,2,2DP =-，()2,0,0DC =uuu r .设平面PCD 法向量为(),,n x y z = ，则0220200n DP z y x n DC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ .取()0,1,1n =，又设AE 与平面PCD 所成角为θ，则6sin cos ,n AEθn AEn AE⋅====⋅.即直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为26若选条件②，由（1）可得BC AD ∥，故建立以A 为坐标原点，如下图所示空间直角坐标系（x 轴所在直线与DC 平行）因π2BCD ∠=，则4ACB π∠=，则由余弦定理可得222π2cos4AB AC CB AC CB =+-⋅⋅AB ⇒=又23，PA AD CD BC ====，则()()()()000210220020,,，,,，,,，,,A B C D -，()1002112,,，,,P E ⎛⎫-⎪⎝⎭.则1112,,AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,2,2DP =-，()2,0,0DC =uuu r .设平面PCD 法向量为(),,n x y z = ，则0220200n DP z y x n DC ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩.取()0,1,1n =，又设AE 与平面PCD 所成角为θ，则sin cos ,n AEθn AEn AE⋅====⋅即直线AE 与平面PCD所成角的正弦值为6.例8．（2022春·新疆伊犁·高二校考期中）从①AB ⊥BC ；②直线SC 与平面ABCD 所成的角为60°；③△ACD 为锐角三角形且三棱锥S ﹣ACD 的体积为2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，SA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为AB ，SC 的中点．(1)求证：直线EF ∥平面SAD ；(2)若SA ，AD ＝2，_______，求平面SBC 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值．【解析】（1）取SD 的中点M ，连接MF ，AM ，∵F 为SC 的中点∴MF ∥CD ，MF ＝12CD ，∵四边形ABCD 是菱形，E 为AB 的中点，∴AE ∥CD ，AE ＝12CD ，∴MF ∥AE ，MF ＝AE ，∴四边形AEFM 为平行四边形，∴EF ∥AM ，∵EF ⊄平面SAD ，AM ⊂平面SAD ，∴EF ∥平面SAD ．（2）选择条件①：∵SA ⊥平面ABCD ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AD ，因为,AD BC AB BC ⊥∥，所以AB ⊥AD ，故以A 为原点，AB ，AD ，AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），S （0，0，，∴BC ＝（0，2，0），SC ＝（2，2，﹣，CD＝（﹣2，0，0），设平面SBC 的法向量为(,,)m x y z =，2002200y m BC m x y m SC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨⎨+-=⎪⋅=⎪⎩⎩，同理可得，平面SCD的法向量为n =，11cos ,224m n m n m n ⋅〈〉===⨯⋅，故平面SBC 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值为14．选择条件②：连接AC ，∵SA ⊥平面ABCD ，∴∠SCA 为直线SC 与平面ABCD 所成的角，即∠SCA ＝60°，∵SA =，∴AC ＝2，∴△ABC 为等边三角形，取BC 的中点N ，连接AN ，以A 为原点，AN ，AD ，AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），B1，0），C1，0），D （0，2，0），S （0，0，，∴BC ＝（0，2，0），SC1，﹣，CD1，0），设平面SBC 的法向量为(,,)m x y z =，200(2,0,1)00y m BC m y m SC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨+-=⋅=⎪⎩，同理可得，平面SCD的法向量为n =，3cos ,5m n m n m n⋅〈〉===⋅故平面SBC 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值为35．选择条件③：∵VS ﹣ACD ＝13SA •S △ACD ＝13SA •sin 2AD CD ADC ⋅∠＝13⨯22sin 2ADC ⨯∠＝2，∴sin ∠ADC＝2，∵∠ADC ∈（0，π2），∴∠ADC ＝π3，∴AC ＝2，∴△ABC 为等边三角形，取BC 的中点N ，连接AN ，以A 为原点，AN ，AD ，AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），B1，0），C1，0），D （0，2，0），S （0，0，，∴BC ＝（0，2，0），SC1，﹣，CD1，0），设平面SBC 的法向量为(,,)m x y z =，200(2,0,1)00y m BC m y m SC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⇒=⎨+-=⋅=⎪⎩ ，同理可得，平面SCD的法向量为n=，3cos,5m nm nm n⋅〈〉===⋅故平面SBC与平面SCD所成锐二面角的余弦值为35．例9．（2022春·四川遂宁·高二遂宁中学校考期中）从①2BG GC=，②G是PB的中点，③G 是PBC的内心.三个条件中任选一个条件，补充在下面问题中，并完成解答.在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，且1PD=，AB=2AD=，E，F分别为PC，BD的中点.(1)判断EF与平面PAD的位置关系，并证明你的结论；(2)若G是侧面PBC上的一点，且________，求三棱锥G DEC-的体积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【解析】（1）//EF平面PAD，理由如下：如下图所示，连接AC，因为四边形ABCD为矩形，且点F为BD的中点，则点F为AC的中点，又因为E为PC的中点，所以EF PA∥，∵EF⊂/平面PAD，PA⊂平面PAD，∴//EF平面PAD；（2）∵四边形ABCD为矩形，则BC CD⊥，∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC PD⊥，∵CD PD D=，∴BC⊥平面PCD.∵E为PC的中点，则11112444DEC PCDS S CD PD==⋅=⨯=△△.选①：∵2BG GC = ，则G BC ∈，∴GC ⊥平面PCD ，且1233GC BC ==，112334318G DEC DEC V S GC -=⋅=⨯⨯△；选②：∵G 、E 分别为PB 、PC 的中点，∴GE BC ∥，且112GE BC ==，∵BC ⊥平面PCD ，∴GE ⊥平面PCD ，11133G DEC DEC V S GE -=⋅=⨯=△选③：设PBC 的内切圆切PC 于点H ，连接GH ，则GH PC ⊥，∵BC ⊥平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∴BC PC ⊥，在平面PBC 内，BC PC ⊥，GH PC ⊥，则GH BC ∥，∴GH ⊥平面PCD ，2PC ==，PB ==由等面积法可得()1122PBC S BC PC PC BC PB GH =⋅=++⋅△，所以，2BC PC GH BC PC PB ⋅==++所以，(11233412G DEC DEC V S GH -=⋅=⨯⨯=△.核心考点四：函数与导数【典型例题】例10．（2022·浙江·模拟预测）已知函数ln ()e xxf x a x-=+．(1)若1x =是()f x 的极值点，求a ；(2)若0x ，1x 分别是()f x 的零点和极值点，证明下面①，②中的一个．①当0a >时，2100ln 1x x x <-+；②当a<0时，10ln 21x x <-．注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分．【解析】（1）因为ln ()e xx f x a x -=+，所以21ln ()e xx f x a x --'=-+，若1x =是函数()f x 的极值点，则()01f '=，121ln1(1)e 01f a --'=-+=，即e a =，此时2121e ln ()x x xf x x --'-=，设21()1e ln x g x x x ---=，则121()2e1e xx g x x x x--+--'，(1)2g '=-，所以存在1m n <<，使得当(),x m n ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(),1x m ∈时，22()(1)()0g x g f x x x '=>=，()f x 单调递增，当()1,x n ∈时，22()(1)()0g x g f x x x'=<=，()f x 单调递减，所以当e a =时，1x =是()f x 的极值点.（2）选择①：因为01,x x 分别为()f x 的零点和极值点，所以0000000ln e ln ()e0,x x x x f x a a x x -=+==-，()111112211e 1ln 1ln ()e0,x x x x f x a a x x ---'=-+==，所以()1010210e ln 1e ln x x x x a x x --==.当0a >时，()1010210e ln 1e ln 0x x x x x x -=<，则01ln 0,ln 1x x <<，即0101,0e,x x <<<<因为200314x x -+≥，所以当13ln 4x <，即3410e x <<时，2100ln 1x x x <-+成立，当341e e x ≤<时，若10e x x ≤，则只需证明2000ln x x x <-，设()2e ln 1()x x k x x -=，则()3e ln 2ln 3(),x x x x x k x x --+'=设1()ln 2ln 3k x x x x x =--+，则12()ln k x x x '=-为增函数，且112(1)20,(e)10,ek k ''=-<=->所以存在唯一2(1,e)x ∈，使得12222()ln 0k x x x '=-=，当2(1,)∈x x 时，1()0k x '<，1()k x 单调递减，当2(,)x x ∈+∞时，1()0k x '>，1()k x 单调递增，故112224()()5()0k x k x x x ≥=-+>，所以()0k x '>，()k x 单调递增，所以10e x x ≤，则()100e 100222100e ln 1e ln e ln e x x x x x x x x x -=≤，等价于02+(1e)010e x x --≥.设2+(1e)1()e x m x x -=-，则[]2+(1e)()(1e)1exm x x -'=-+，当3410e e e x x ≤≤<时，若14e 1x -≤<时，(1e)10x -+<，()0m x '<，()m x 单调递减，所以当14e 1x -≤<，3e ()(1)e 10,m x m ->=->所以当341e e x ≤<时，10e e x x ≤<成立，设2()ln n x x x x =-+，则1()21n x x x'=-+，当01x <<时，()0n x '>，()n x 单调递增所以当01x <<时，()(1)0n x n <=，即22000100ln ,ln 1x x x x x x <-<-+成立，综上，若0x ，1x 分别是()f x 的零点和极值点，当0a >时，2100ln 1x x x <-+.选择②：因为01,x x 分别为()f x 的零点和极值点，所以0000000ln e ln ()e0,x x x x f x a a x x -=+==-，()111112211e 1ln 1ln ()e0,x x x x f x a a x x ---'=-+==，所以()1010210e ln 1e ln x x x x a x x --==.当0a <时，()1010210e ln 1e ln 0x x x x x x -=>，则01ln 0,ln 1x x >>，即011,>e,x x >若10e x x ≤，即101ln ln x x ≤+则只需证明002ln 2x x <-，设2()ln 2x x x h =-+，则1()2h x x'=-，当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以10()(1)0,ln 21h x h x x <=<-.若10e e x x >>，设2e ()(e)x x x x ϕ=>，则3(2)e ()0xx x xϕ-'=>，()ϕx 单调递增，所以()()10e x x ϕϕ>，所以()001e 101222010e ln 1e ln e (ln 1)e xx x x x x x x x --=>，02e 100ln e ln 1x x x x x +-<+，所以只需证明002e 000eln 121x x x x x +-+<-.设2e ()e ln 22x x u x x x x +-=-+，则[]2e ()ln (1e)ln 1e2x xu x x x x +-'=+-+-，当1x >时，[]2e ()(2e)ln 1e 2x x u x x +-'<-+-，当(2e)ln 10x -+≤时，即1e 2e x -≥时，()0u x '<，设[]2e ()(2e)ln 1e2x xv x x +-=-+-，则2e 2e ()(e 1)(e 2)ln 1e e x xv x x x +--⎡⎤'=+--+-⎢⎥⎣⎦，因为当1x >时，函数2e()(e 1)(e 2)ln 1e t x x x-=+--+-单调递增，所以当1e 21ex -<<时，11e 2e 211e 2e 22e 2e ()(e)(e 1)(e 2)ln e1e=0eet x t ------<=+--+-<，()0v x '<，()v x 单调递减，此时也有3e ()()(1)e 20u x v x v -'<<=-<，所以当1x >时，()u x 单调递减，()(1)0u x u <=，即当1e e x x >>时，10ln 21x x <-，综上，综上，若0x ，1x 分别是()f x 的零点和极值点，当0a <时，10ln 21x x <-.例11．（2022春·贵州铜仁·高三校考阶段练习）已知指数函数()f x 经过点11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.求：(1)若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称，且与直线1y kx =+相切，求k 的值；(2)对于实数a ，b ，且a b ¹()()f a f b a b -<-；②()()()()2f a f b f a f b a b -+<-.在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分）【解析】（1）设函数()xf x a =（a<0且1a ≠），因为指数函数()f x 经过点11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()111e f a --==，解得：e a =，则函数()e xf x =，又函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称，即函数()g x 与()f x 互为反函数，则()ln g x x =，设直线1y kx =+相切与函数()g x 的切点坐标为()00,ln x x ，由于()1g x x'=，则()()000001ln 1g x k x g x x kx ⎧==⎪⎨⎪==+⎩'，解得20e x =，故21e k =．（2）若选择①：不妨设a b >，则0a b ->()()f a f b a b-<-，e e a ba b -<-，即222e e e e e a b b aa b a ba b a b --+--==-，令2a bt -=，则0t >，不等式等价于2e e t t t -<-，即e e 20t t t --->在0t >上成立．令()e e 2x xh x x -=--（0x >），则()e e 220x x h x -'=+-≥=，当且仅当0x =时取等号，故函数()h x 在()0,∞+为增函数，所以()()00h xh >=e e a ba b-<-成立．综上：结论①得证.若选择②：不妨设a b >，则0a b ->，要证不等式()()()()2f a f b f a f b a b -+<-，即e e e e 2a b a ba b -+<-，即要证不等式()()2e 2e 1e e e 1a b a b a ba b e a b ----->=++，令t a b =-，则0t >，不等式等价于()2e 1e 1t tt ->+，即()2e 10e 1t tt -->+在0t >上恒成立，令()()2e 1e 1x x x x ϕ-=-+（0x >），则()()()()222e 14e10e1e1x xxxx ϕ-'=-=>++，即()x ϕ在()0,∞+为增函数，所以()()00ϕϕ>=x ，故不等式e e e e 2a b a ba b -+<-成立，综上：结论②得证.例12．（2022春·广东东莞·高三东莞市东华高级中学校考阶段练习）已知三个函数①()ln 1f x x =-，②()lg ,0<10=1+3,>105x x g x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩，③()42xh x =-．(1)请从上述三个函数中选择一个函数，根据你选择的函数画出该函数的图象（不用写作图过程），并写出该函数的单调递减区间(不必说明理由)；(2)把（1）中所选的函数记为函数()x ϕ，若关于x 的方程()0x k ϕ-=有且仅有两个不同的根，求实数k 的取值范围；(3)（请从下面三个选项中选一个作答）（i ）若（1）中所选①的函数时，有1234()()()()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，求1234x x x x +++的值；（ii ）若（1）中所选②的函数时，有123()()()g x g x g x ==，且123x x x <<，求123x x x ⋅⋅的取值范围；（iii ）若（1）中所选③的函数时，有12()()h x h x =，且12x x <，求1244x x +的值．【解析】（1）若选①，函数图象如下图所示：由图象可知函数的单调减区间为：(),0-∞和()1,2；若选②，函数图象如下图所示：由图象可知函数的单调减区间为：()0,1和()10,+∞；若选③，函数图象如下图所示：由图象可知函数的单调减区间为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）关于x 的方程()0x k ϕ-=有且仅有两个不同的根()y x ϕ⇔=与y k =的函数图象有两个不同的交点，若选①，根据函数()f x 图象可知，若()y x ϕ=与y k =的图象有两个交点，此时=0k ；若选②，根据函数()g x 图象可知，若()y x ϕ=与y k =的图象有两个交点，此时=0k 或=1k ；若选③，根据函数()h x 图象可知，若()y x ϕ=与y k =的图象有两个交点，此时02k <<；（3）（i ）若选①，如图所示：设()()()()()12340f x f x f x f x m m ====>，因为()y x ϕ=的图象关于=1x 对称，所以14,x x 关于=1x 对称，23,x x 关于=1x 对称，所以()()12341423224x x x x x x x x +++=+++=+=；（ii ）若选②，如图所示：设()()()()1230,1g x g x g x m ===∈，由图象可知：()1231lg lg 30,15x x x ==-+∈，123011015x x x <<<<<<，所以12lg lg x x -=，()310,15x ∈，所以12lg 0x x =，()310,15x ∈，所以121x x =，()310,15x ∈，所以123(10,15)x x x ∈；（iii ）若选③，如图所示：设()12()()0,2h x h x m ==∈，由图象可知：124242x x-=-，且120.5x x <<，所以122442x x -=-，所以12444x x +=．核心考点五：圆锥曲线【典型例题】例13．（2022春·辽宁大连·高二育明高中校考期中）①过1F 且垂直于长轴的直线与椭圆C 相交所得的弦长为3；②P 为椭圆C 上一点，12PF F △在上述两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左右焦点分别为1F ，2F ，上下顶点分别为1B ，2B ，短轴长为______.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点2F 的直线l 与C 交于不同的两点M ，N ，若12MN B F ⊥，试求1F MN △内切圆的面积.【解析】（1）依题意2b b ==，若选①：由22242222221,1c y c b y b a b a a ⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，2b y a =±，所以223b a =，所以222,13b a c ===，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.若选②：对于121212P F P F S F F y c y =⨯⨯=⨯△，当P y 最大，也即P 是椭圆的上下顶点时，三角形12PF F 的面积取得最大值为c b ⨯=所以1,2c a ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）得(()12120,1,0,01B F B F k ==-由于12MN B F ⊥，所以直线MN 的斜率为3，所以直线MN 的方程为)1y x =-，由()2213143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 并化简得2138320x x --=，644133217280∆=+⨯⨯=>，设()()1122,,,M x y N x y ，则1212832,1313x x x x +==-，所以4813MN =，()11,0F -到直线()13y x=-即10x -=的距离为10112d ---==，所以三角形1F MN 的面积为124213d MN ⨯⨯=，设三角形1F MN 的内切圆半径为r ，则124644,,21313a r r r ⨯⨯===，所以内切圆的面积为236ππ169r =.例14．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期中）已知椭圆C ：()22211x y a a+=>，,A B分别为椭圆的上下顶点，点Р为椭圆上异于点A 的任一点，若PA 的最大值仅在点Р与点B 重合时取到，在下列三个条件中能满足要求的条件有____________.条件①：过焦点且与长轴垂直的弦长为12；条件②：点P 与点B 不重合时，直线PA 与PB 的斜率之积为12-；条件③：1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，12F PF ∠的最大值是120°.(1)选出所有满足要求的条件，说明理由并求出此时的椭圆方程；(2)若过原点作与AP 平行的直线1l ，与BP 平行的直线2l ，1l ，2l 的斜率存在且分别与椭圆C 交于M N E G ，，，四点，则四边形MENG 的面积是否为定值?若为定值，求出该值；若非定值，求其取值范围.【解析】（1）由题知椭圆焦点在x 轴上，()()0,1,0,1A B -，因为点Р为椭圆上异于点A 的任一点，所以，设()000,,1P x y y ≠，即()2200211x y a a+=>，所以，PA ==选条件①，过焦点且与长轴垂直的弦长为12，所以，令x c =±得222221c b y a a=-=，所以，212a =，解得4a =，此时椭圆C 的方程为22116x y +=，因为PA 的最大值仅在点Р与点B 重合时取到，即01y =-时PA 取到最大值，显然PA =，不满足点Р与点B 重合时PA 取到最大值，所以，条件①不满足；选条件②，点P 与点B 不重合时，直线PA 与PB 的斜率之积为12-，所以，000011,PAPB y y k k x x -+==，()2200002222000011111121PA PB y y y y k k x x x a a y -+--⋅=⋅===-=--，、所以，22a =，此时椭圆C 的方程为2212x y +=，因为PA 的最大值仅在点Р与点B 重合时取到，即01y =-时PA 取到最大值，所以，PA ===，即01y =-时PA 取到最大值，满足点Р与点B 重合时PA 取到最大值，所以，条件②满足，此时椭圆C 的方程为2212x y +=.条件③，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，12F PF ∠的最大值是120°，因为12F PF ∠的最大值是120°，所以，1260F AF ∠=，2222a AF AO b ====，椭圆C 的方程为2214xy +=，因为PA 的最大值仅在点Р与点B 重合时取到，即01y =-时PA 取到最大值，显然PA =Р与点B 重合时PA 取到最大值，所以，条件③不满足.（2）因为1l ，2l 的斜率存在，AP 平行的直线1l ，与BP 平行的直线2l ，所以，如图，不妨设直线1l 的斜率为()0k k >，则由（1）知2l 的斜率为12k-，所以，直线1l 的方程为y kx =，直线2l 的方程12y x k=-，。
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也在探索，今年以三角为背景命题可能性较大！
目前题型一：
条件矛盾，考察逻辑推理，排除不良条件！
示例1
示例1：西城区2018 2019学年高一下学期期末考试(卢老师提供)
1.已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个：?
①A π ；② cos B 2；③a 7；④b 3．
新高考数学研究—劣构问题！
2020年5月21日星期四
引例1
2017全国Ⅰ理科20第一问：
已知椭圆 x2 a2
y2 b2
1a
b
0，四点P1 1，1，P2 0 ，1，
P3
1，
3 2
，P4
1，
3 2
中恰有三点在椭圆C上．
（Ⅰ）求C的方程；
解析：考察逻辑推理！
由于P3, P4及椭圆的对称性，必过之； 又P4与P1横坐标相同，P1必不过之； 将P2 , P4的坐标代入方程即可. x2 y2 1. 4
设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列， ，b1 a5,b2 3，
b5
81，是否存在k，使得Sk
Sk 1且Sk 1
Sk
？
2
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
[ 解析] : 核心素养：逻辑推理 方案2： 方案2：若选②a4 b4 27，an -28n+139，{an}是递减数列， 不存在ak1 0，ak2 0.
从①q 2，②q 1 ，③q 2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 2
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
[ 解析] : 核心素养：数学抽象 数学运算
作答1：将所选条件填入空中！--答题卡格式？？？
作答2：
解：选①：q 2, 存在.--答题格式！ 理由如下：--答题格式！
且满足a sin C 3 c cos A,求ABC的面积. 3
3
3
（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
[ 解析] : 核心素养：逻辑推理
（Ⅱ）因为a2 b2 c2 2bc cos A，
1分
所以72 32 c2 2 3 c 1． 解得c 8或c （5 舍）．2分? 2
所以VABC的面积S 1 bc sin A 6 3． 2
[ 解析] : 核心素养：逻辑推理 数学运算
解析：
因为等比数列{bn}中，b2 3，b5 81，所以其公比q 3, 从而bn (3)n1，b1 a5 1. 若选①：----答题格式！！！
难点：
若存在k, 使得Sk Sk1，则ak1 0，同理：Sk1 Sk2，得：ak2 0.?
即 aakk12
0 0
---用求和定义转化是个难点！
总体分析：等比数列{bn}可求！等差数列{an}缺一个条件！
示例3
示例2：山东省2020届高三1 1月2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷数学试题（17题）
在①b1 b3 a2，②a4 b4，③S5 25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 若问题中的k存在，求k的值，若k不存在，请说明理由.
设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列， ，b1 a5,b2 3，
b5
81，是否存在k，使得Sk
Sk 1且Sk 1
Sk
？
2
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
[ 解析] : 核心素养：逻辑推理 数学运算
方案1：
若选①b1 b3 a2，得a2 10，an 3n 16. 当k 4时，a5 0，a6 0.存在.
解析：考察逻辑推理！ 由于P（2, 2 2），Q（2, -2 2）及抛物线的的对称性，必过之； 将其代入方程即可. y2 4x.
劣构问题，亦称为定义不良问题。这类问题是以真实
世界为情境的，存在多种对立的、矛盾的观点/看法，
有多种解决方法。其解决方法的形成不可能依靠某种具 体的决策制定过程。
劣构问题的主要特点是： （1）问题的构成部分存在未知或某种程度的不可知、可操控的参数/变量 很少、目标界定含糊不清或缺少限定； （2）有多种解决方法、途径和多种评价解决方法的标准，甚至无解； （3）因为不同的情境使然，没有原型的案例可供参考； （4）不能确定哪些概念、规则和原理对形成 解决方案来说 是必须的 ，并将它们组织起来； （5）没有一般性的规则或原理可套用，在确定恰当的行动方面没有明确 的方法； （6）需要学习者表达个人对问题的观点或信念，因而解决问题的过程是 一种独特的人际互动过程； （7）需要学习者对问题作出判断，并说明理由。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
[ 解析] : 核心素养：数学抽象 数学运算
解：选②：q 1 , 不存在.--答题格式！ 2
若q
1 2
,
an
a1q n 1
48 ( 1 )n1. 2
Sn
a1(1 qn ) 1 q
48[1 ( 1 )n ] 2
1 1
96 96 ( 1 )n 2
若q 2, an a1qn1 3 2n1 .
Sn
a1(1 qn ) 1 q
3(1 2n ) 1 2
3 2n
3.
Q Sk 3 2k 3 2020，
2k 674 1 , k 9, 2k 512, k 10, 2k 1024 674 1 .
4
4
所以，q 2, 存在，此时k的最小值为10.--答题格式！
示例3
示例2：山东省2020届高三1 1月2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷数学试题（17题） 在①b1 b3 a2，②a4 b4，③S5 25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 若问题中的k存在，求k的值，若k不存在，请说明理由. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列， ，b1 a5,b2 3， b5 81，是否存在k，使得Sk Sk1且Sk1 Sk2. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．
从①q 2，②q 1 ，③q 2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 2
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
[ 解析] : 核心素养：数学抽象 数学运算
解：选③：q -2, 存在.--答题格式！
若q 2, an a1qn1 3 (2)n1 .
示例2
示例2：2020.3.3北京高考数学网测17题. 已知{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn， 满足a3 12， ．是否存在正整数k，使得Sk 2020？ 若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．
从①q 2，②q 1 ，③q 2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 2
3
3
（Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由；
（Ⅱ）求△ ABC的面积． [ 解析] : 核心素养：数学抽象逻辑推理
（Ⅰ）VABC同时满足①，③，④． 3分? 答题格式！
理由如下：--答题格式！
若△ABC同时满足①，②，则 因为cos B 2 1 ， 32
且 B (0, π)，所以B 2 π． 所以A B π，矛盾． 3
2分
目前题型二：--今年可能性较大！！！
条件不唯一，多方案解题，答案一致(不)???
示例2
示例2：2020.3.3北京高考数学网测17题.
已知{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn， 满足a3 12， ．是否存在正整数k，使得Sk 2020？ 若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由．
现在给出三个条件：①a 2；②B ；③c 3b.
4 试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定ABC， 并以此为依据，求ABC的面积. 在ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c，? ， ,
且满足a sin C 3 c cos A,求ABC的面积. 3
（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分）
或
3(k
3(k
1) 16 0 2)-16 0
,
或解不等式组
SSk k1
Sk 1 Sk2
.
示例3
示例2：山东省2020届高三1 1月2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷数学试题（17题）
在①b1 b3 a2，②a4 b4，③S5 25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 若问题中的k存在，求k的值，若k不存在，请说明理由.
2
Q
Sk
96 96 ( 1 )k 2
2020，
( 1 )k 481，该不等式无解.
2
24
所以，q 1 , 不存在.--答题格式！ 2
示例2
示例2：2020.3.3北京高考数学网测17题.
已知{an
}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为S
，
n
满足a3 12， ．是否存在正整数k，使得Sk 2020？
[ 解析] : 核心素养：数学抽象 逻辑推理 数学运算
解：因为a sin C 3 c cos A，且 a c ,
3
sin A sin C
所以sin Asin C 3 sin C cos A, 又因为sin C 0， 3
所以sin A 3 cos A，即：tan A 3 , A (0, )，
3
3
A .
6
示例4：2020山东潍坊二模
示例4
现在给出三个条件：①a 2；②B ；③c 3b. 4
试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定ABC，
并以此为依据，求ABC的面积.
在ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c，? ， ,
且满足a sin C 3 c cos A,求ABC的面积. 3