云南省昆明三中、滇池中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(理科)

云南省昆明三中、滇池中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）一.选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共36分）1．（5分）计算i+i2+i3+…i2015=（）A．1B．i C．﹣i D．﹣12．（5分）在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（）A．12 B．18 C．24 D．323．（5分）在等边△ABC的边BC上任取一点p，则S△ABP≤S△ABC的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.65．（5分）下面四个条件中，“函数f（x）=x2+2x+m存在零点”的必要而不充分的条件是（）A．m≤﹣1 B．m≤1 C．m≤2 D．m＞16．（5分）某高中在校学生2000人，2014-2015学年高一级与2014-2015学年高二级人数相同并都比2015届高三级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表，其中a：b：c=2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则2014-2015学年高二级参与跑步的学生中应抽取（）A．36人B．60人C．24人D．30人7．（5分）如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ（00＜θ＜900）的平面所截，截面是一个椭圆．当θ为30°时，这个椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为0.96 B．模型2的相关指数R2为0.90C．模型3的相关指数R2为0.61 D．模型4的相关指数R2为0.239．（5分）设随机变量ξ～N（0，1），记Φ（x）=P（ξ＜x），则P（﹣1＜ξ＜1）等于（）A．B．2Φ（﹣1）﹣1 C．2Φ（1）﹣1 D．Φ（1）+Φ（﹣1）10．（5分）已知函数的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．m≤2 B．m＞2 C．m≤D．m＞11．（5分）有A、B、C、D、E、F6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个．若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为（）A．168 B．84 C．56 D．4212．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．二.填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共15分）13．（5分）命题“∀x∈R，|x+1|+|x﹣2|≥3”的否定是．14．（5分）如图给出的是计算++…+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是．15．（5分）（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是．16．（5分）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为．（从小到大排列）17．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），且λμ=，则该双曲线的离心率为．三．解答题：（本大题共5题，共49分.请将解答写在答题卡相应区域内，解答应写出详细过程或演算步骤.）18．（12分）求函数f（x）=lnx+x+﹣1在点（2，f（2））处的切线方程．19．（16分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车2小时以上且不超过3小时的概率为，停车3小时以上的概率为；乙停车的时长在前三个小时内每个时段的可能性相同，超过三个小时的概率为．（1）求甲停车付费恰为6元的概率；（2）求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．20．（14分）已知直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的参数方程：（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ=时，|AB|的长度；（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|•|PB|的范围．21．（12分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；（2）用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；（3）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率．22．（11分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆经过点A（0，﹣1）（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）如果过点H（0，）的直线与椭圆E交于M、N两点（点M、N与点A不重合）．①若△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求直线MN的方程；②在y轴是否存在一点B，使得⊥，若存在求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．云南省昆明三中、滇池中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共36分）1．（5分）计算i+i2+i3+…i2015=（）A．1B．i C．﹣i D．﹣1考点：虚数单位i及其性质．专题：数系的扩充和复数．分析：因为i+i2+i3+i4=i﹣1﹣i+1=0，所以只要对所求发现其周期，看剩下的是一个周期内的部分，再求和．解答：解：∵i+i2+i3+i4=i﹣1﹣i+1=0，又2015=4×503+3，∴i+i2+i3+…i2015=i+i2+i3=i﹣1﹣i=﹣1；故选D．点评：本题考查了复数单位i的性质运用；i+i2+i3+i4=i﹣1﹣i+1=0经常考查．2．（5分）在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目．若选到女同学的概率为，则这班参加聚会的同学的人数为（）A．12 B．18 C．24 D．32考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：设出男同学的人数，可得女同学的人数，根据女同学的概率为，解得x的值，即可求得参加聚会的同学的人数．解答：解：设男同学有x人，则女同学有x+6人，由题意可得=，解得x=6，则这个班所有的参加聚会的同学的人数为2x+6=18人，故选B．点评：本题主要考查等可能事件的概率，属于基础题．3．（5分）在等边△ABC的边BC上任取一点p，则S△ABP≤S△ABC的概率是（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：利用三角形的面积公式，判断P所在的位置，利用几何概型求出结果即可．解答：解：因为等边△ABC的边BC上任取一点P，若S△ABP=S△ABC，则高PE=OC，即，要使S△ABP≤S△ABC，则P在BP上，即可，则所求的概率是，故选：C．点评：本题考查几何概型，概率的求法，能够正确利用几何概型是解题的关键，考查计算能力4．（5分）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6 D．62.8，3.6考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：首先写出原来数据的平均数表示式和方差的表示式，把数据都加上60以后，再表示出新数据的平均数和方差的表示式，两部分进行比较，得到结果．解答：解：设这组数据分别为x1，x2，x n，则=（x1+x2+…+x n），方差为s2=，每一组数据都加60后，′=（x1+x2+…+x n+60n）=+60=2.8+60=62.8，方差s′2=+…+（x n+60﹣62.8）2]=s2=3.6．故选D点评：本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．5．（5分）下面四个条件中，“函数f（x）=x2+2x+m存在零点”的必要而不充分的条件是（）A．m≤﹣1 B．m≤1 C．m≤2 D．m＞1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：先求出函数f（x）=x2+2x+m存在零点的等价条件，然后利用必要而不充分的定义进行判断．解答：解：函数f（x）=x2+2x+m存在零点，则对应判别式△≥0，即4﹣4m≥0，解得m≤1．A．m≤﹣1是m≤1的充分不必要条件，不成立．B．m≤1是m≤1的充分必要条件，不成立．C．m≤2是m≤1的必要不充分条件，成立．D．m＞1是m≤1的既不充分不必要条件，不成立．故选C．点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，函数的零点的定义，属于基础题．6．（5分）某高中在校学生2000人，2014-2015学年高一级与2014-2015学年高二级人数相同并都比2015届高三级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表，其中a：b：c=2：3：5，全校参与登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则2014-2015学年高二级参与跑步的学生中应抽取（）A．36人B．60人C．24人D．30人考点：分层抽样方法．分析：先求得参与跑步的总人数，再乘以抽样比例，得出样本中参与跑步的人数．解答：解：全校参与跑步有2000×=1200人，2014-2015学年高二级参与跑步的学生=1200××=36．故选A点评：本题主要考查分层抽样方法．7．（5分）如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ（00＜θ＜900）的平面所截，截面是一个椭圆．当θ为30°时，这个椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：平面与圆柱面的截线．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可求出题意的离心率．解答：解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，∵a2=b2+c2，∴c=，∴椭圆的离心率为：e==．故选：A．点评：本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量与双曲线的几何量（a，b，c）关系的正确应用，考查计算能力．8．（5分）在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为0.96 B．模型2的相关指数R2为0.90C．模型3的相关指数R2为0.61 D．模型4的相关指数R2为0.23考点：相关系数．专题：阅读型；概率与统计．分析：根据相关指数R2的值越大，拟合的效果越好判断可得答案．解答：解：根据相关指数R2的值越大，拟合的效果越好，A选项的R2值最大，故选：A．点评：本题考查了回归分析思想方法，掌握回归分析思想方法是解题的关键．9．（5分）设随机变量ξ～N（0，1），记Φ（x）=P（ξ＜x），则P（﹣1＜ξ＜1）等于（）A．B．2Φ（﹣1）﹣1 C．2Φ（1）﹣1 D．Φ（1）+Φ（﹣1）考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：由题意知P（﹣1＜ξ＜1）=P（ξ＜1）﹣P（ξ＜﹣1）=P（ξ＜1）﹣，由此能求出结果．解答：解：∵随机变量ξ～N（0，1），记Φ（x）=P（ξ＜x），∴P（﹣1＜ξ＜1）=P（ξ＜1）﹣P（ξ＜﹣1）=P（ξ＜1）﹣=2Φ（1）﹣1．故选：C．点评：本题考查正态分布的应用，解题时要认真审题，是基础题．10．（5分）已知函数的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．m≤2 B．m＞2 C．m≤D．m＞考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求导函数，利用曲线C存在与直线y=x垂直的切线，可得f′（x）=e x﹣m=﹣2成立，即可确定实数m的取值范围．解答：解：∵f（x）=e x﹣mx+1，∴f′（x）=e x﹣m，∵曲线C存在与直线y=x垂直的切线，∴f′（x）=e x﹣m=﹣2成立，∴m=2+e x＞2，故选B．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，正确等价转化是关键．11．（5分）有A、B、C、D、E、F6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个．若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为（）A．168 B．84 C．56 D．42考点：计数原理的应用．专题：计算题．分析：根据题意，分两种情况讨论：①甲运B箱，先从C、D、E、F四箱中取出1箱，由甲运输，再将剩余的四箱中取出2箱由有乙运输，最后剩余的2箱由丙运输，②甲不运B箱，先从C、D、E、F四箱中取出2箱，由甲运输，再计算乙、丙的运输方法，由分步计数原理可得两种情况的分配方案的数目，进而由分类计数原理，将两种情况的数目相加，可得可得答案．解答：解：根据题意，分两种情况讨论：①甲运B箱，先从C、D、E、F四箱中取出1箱，由甲运输，有C41种方案，再将剩余的四箱中取出2箱由有乙运输，有C42种情况，剩余的2箱由丙运输，有C22种方案；此时有C41•C42•C22种分配方案；②甲不运B箱，先从C、D、E、F四箱中取出2箱，由甲运输，此时乙可选的由3箱，有C32种方案，剩余的2箱由丙运输，有C22种方案，此时有C42•C32•C22种方案；∴不同的分配方案共有C41•C42•C22+C42•C32•C22=42（种），故选D．点评：本题考查计数原理的运用，注意甲的运输情况对乙有影响，需要分情况讨论．12．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）A．B．C．D．考点：抛物线的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据=，进而根据两三角形相似，推断出=，根据抛物线的定义求得=，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得的值，则三角形的面积之比可得．解答：解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1，∵=，又∵△B1BC∽△A1AC、∴=，由拋物线定义==．由|BF|=|BB1|=2知x B=，y B=﹣，∴AB：y﹣0=（x﹣）．把x=代入上式，求得y A=2，x A=2，∴|AF|=|AA1|=．故===．故选A．点评：本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．二.填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共15分）13．（5分）命题“∀x∈R，|x+1|+|x﹣2|≥3”的否定是∃x∈R，|x+1|+|x﹣2|＜3．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，|x+1|+|x﹣2|≥3”的否定是：命题“∃x∈R，|x+1|+|x﹣2|＜3”．故答案为：∃x∈R，|x+1|+|x﹣2|＜3．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．14．（5分）如图给出的是计算++…+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i≤10．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由题意可知，首先是判断框中的条件不满足，所以框图依次执行循环，框图执行第一次循环后，S的值为1，执行第二次循环后，S的值为前2项的和，满足S=++…+，框图应执行10次循环，此时i的值为11，判断框中的条件应该满足，算法结束，由此得到判断框中的条件．解答：解：框图首先给累加变量S赋值为0，n赋值2，给循环变量i赋值1．此时判断框中的条件满足，执行S=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；此时判断框中的条件满足，执行S=0++，n=4+2=6，i=2+1=3；此时判断框中的条件满足，执行S=0++，n=6+2=8，i=3+1=4；…此时判断框中的条件满足，执行S=++…+，n=20+2=22，i=10+1=11；此时判断框中的条件不满足，故判断框内应填入的一个条件为i≤10．故答案为：i≤10．点评：本题考查了循环结构，是直到型循环，区别当型和直到型的关键在于是满足条件执行循环还是不满足条件执行循环，满足条件执行循环的是当型结构，不满足条件执行循环的是直到型结构，是基础题．15．（5分）（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是31．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：求出（1﹣）6 的展开式，可得（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数．解答：解：∵（1﹣）6 =•+•+…+•，∴（+x）（1﹣）6的展开式中x的系数是2×+1=31，故答案为：31．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．16．（5分）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为1，1，3，3．（从小到大排列）考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：由题意，可设x1≤x2≤x3≤x4，，根据题设条件得出x1+x2+x3+x4=8，，再结合中位数是2，即可得出这组数据的值．解答：解：不妨设x1≤x2≤x3≤x4，，依题意得x1+x2+x3+x4=8，，即，所以（x4﹣2）2＜4，则x4＜4，结合x1+x2+x3+x4=8，及中位数是2，只能x1=x2=1，x3=x4=3，则这组数据为1，1，3，3．故答案为：1，1，3，3．点评：本题考查中位数，平均数，标准差，解题的关键是利用相关公式建立方程，作了正确判断．17．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R），且λμ=，则该双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ﹣μ=，解之可得λμ的值，由λμ=，可得a，c的关系，由离心率的定义可得．解答：解：双曲线的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），因为=λ+μ，所以（c，）=（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），所以λ+μ=1，λ﹣μ=，解得：λ=，μ=，又由λμ=，得：=，解得=，所以，e=，故答案为：．点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，属中档题．三．解答题：（本大题共5题，共49分.请将解答写在答题卡相应区域内，解答应写出详细过程或演算步骤.）18．（12分）求函数f（x）=lnx+x+﹣1在点（2，f（2））处的切线方程．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用；直线与圆．分析：求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可得到切线方程．解答：解：函数f（x）的导数为f′（x）=+1﹣，所以切线的斜率k=f′（2）=1，另切点的纵坐标y=f（2）=2+ln2，故切点为（2，2+ln2），切线方程为y﹣ln2﹣2=x﹣2，整理得y=x+l n2．点评：本题考查导数的运用：求切线方程，运用点斜式方程和正确求导是解题的关键．19．（16分）某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车2小时以上且不超过3小时的概率为，停车3小时以上的概率为；乙停车的时长在前三个小时内每个时段的可能性相同，超过三个小时的概率为．（1）求甲停车付费恰为6元的概率；（2）求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可．（2）先列出甲、乙二人停车付费之和为36元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．解答：（1）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A，则P（A）=1﹣﹣=．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是（2）设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a，b=6，14，22，30．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形．其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意．故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为p==．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式、独立事件和互斥事件的概率，考查利用所学知识解决问题的能力．20．（14分）已知直线l的参数方程：（t为参数），曲线C的参数方程：（α为参数），且直线交曲线C于A，B两点．（Ⅰ）将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ=时，|AB|的长度；（Ⅱ）已知点P：（1，0），求当直线倾斜角θ变化时，|PA|•|PB|的范围．考点：参数方程化成普通方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）利用三角函数的平方关系式，将曲线C的参数方程化为普通方程，求出直线AB的方程，代入，可得3x2﹣4x=0，即可求出|AB|的长度；（Ⅱ）直线参数方程代入，A，B对应的参数为t1，t2，则|PA|•|PB|=﹣t1t2，即可求出|PA|•|PB|的范围．解答：解：（Ⅰ）曲线C的参数方程：（α为参数），曲线C的普通方程为．当θ=时，直线AB的方程为，y=x﹣1，代入，可得3x2﹣4x=0，∴x=0或x=∴|AB|=•=；（Ⅱ）直线参数方程代入，得（cos2θ+2sin2θ）t2+2tcosθ﹣1=0．设A，B对应的参数为t1，t2，∴|PA|•|PB|=﹣t1t2==∈．点评：本题主要考查了参数方程化成普通方程，熟练掌握参数方程与直角坐标的互化公式是解题的关键．21．（12分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米（精确到0.1米）以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是7．（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；（2）用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；（3）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：应用题；综合题．分析：（1）由题意及所给的频率分布直方图的性质可知第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，测试总人数为（人），第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）；（2）由于X表示两人中成绩不合格得人数，由题意则X=0，1，2，利用随机变量的定义及二项分布原理可知其分布列，并有符合二项分布的期望公式可求得期望；（3）由题意利用几何概型的概率公式，设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，利用面积比即可求出．解答：解：（1）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，∴此次测试总人数为（人）．∴第4、5、6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）．（2）X=0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为，∴X～.，，．所求分布列为X 0 1 2P，（3）设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为矩形ABCD，而甲比乙投掷远在区域直角三角形BEF中，并且S矩形ABCD=2×1=2，，所以甲比乙投掷远的概率为：．点评：本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、二项分布及几何概型，关键是理解清楚题意及计算时要心细．22．（11分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆经过点A（0，﹣1）（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）如果过点H（0，）的直线与椭圆E交于M、N两点（点M、N与点A不重合）．①若△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求直线MN的方程；②在y轴是否存在一点B，使得⊥，若存在求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件得，由此能求出曲线E的方程．（Ⅱ）①设直线MN的方程为y=kx+，把y=kx+代入椭圆方程，得：（1+4k2）x2+﹣=0，若k=0，则P（0，），满足AP⊥MN，直线MN的方程为y=；k≠0，则k AP=﹣=﹣，直线MN的方程为y=，由此能求出直线MN的方程．②假设存在点B（0，t），满足，，，由=0，解得t=﹣1．从而推导出存在B（0，﹣1），使得．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆经过点A（0，﹣1），∴，解得a=2，b=1c=，∴曲线E的方程为．（Ⅱ）①若过点H的直线斜率不存在，此时M，N两点吸一个点与A点重合，不满足题意，∴直线MN的斜率存在，设其斜率为k，则MN的方程为y=kx+，把y=kx+代入椭圆方程，得：（1+4k2）x2+﹣=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点P（x0，y0），则，x1x2=﹣，=﹣，=．AP⊥MN，且P（﹣，），若k=0，则P（0，），显然满足AP⊥MN，此时直线MN的方程为y=；k≠0，则k AP=﹣=﹣，解得k=，∴直线MN的方程为y=，即或，综上所述：直线MN的方程为y=或．②假设存在点B（0，t），满足，，，=x1x2+y1y2﹣t（y1+y2）+t2=﹣+﹣==0，∴，解得t=﹣1．∴存在B（0，﹣1），使得．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查使向量垂直的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。