专题05 数形结合法-2019年高考数学(文)30分钟拿下选择、填空题

合集下载

专题05 函数的性质复习-2019年高考提升之数学考点讲解与真题分析(一)(解析版)

一．重难点梳理1：函数单调性的概念:在理解函数单调性的定义时，要注意：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1、x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x 1)<f(x 2)⇔x 1<x 2(x 1>x 2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．2：单调性的证明方法:证明f(x)在区间D 上的单调性应按以下步骤：①设元：设x 1、x 2∈D 且x 1＜x 2；②作差：将函数值f(x 1)与f(x 2)作差；③变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；④判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；⑤定论：对f(x)的单调性作出结论．其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号．3：单调性的判断方法:判定函数单调性的方法是本节的重点．函数单调性的判定方法主要有：(1)．定义法：利用定义严格判断．(2)．图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间．(3)．用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”．4．求函数y ＝f(g(x))的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将函数分解成基本初等函数y ＝f(u)，u ＝g(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增同减，则y ＝f(g(x))为增函数；若一增一减，则y ＝f(g(x))为减函数(同“增”异“减”)．5：单调区间:函数的单调区间，在书写时，只要在端点处有定义，用开区间或闭区间都可以，但若端点处没有定义，必须用开区间．一个函数出现两个或者两个以上单调区间时，不能用“∪”而应该用“和”来表示．6. 判定函数的奇偶性注意点：判定函数的奇偶性需要注意：①定义域必须关于原点对称。

专题04 估算法-2019年高考数学)30分钟拿下选择、填空题

专题04 估算法方法探究估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算，是一种快速解决数学问题的方法，也是一种高效率得出正确结论的捷径.对于高考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别又是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次，所以我们要学会灵活运用.而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论. 经典示例【例1】（范围估算）已知1335a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1243b -⎛⎫=⎪⎝⎭，3ln5c =，则这三个数从大到小的顺序是______．【答案】a b c >>【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题时，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞）；二是利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也可以两种方法综合应用.【备考警示】本题属于高考的常考题型，而这种用估算范围的方法进行比较，也是我们常用的快捷方法，需要大家熟练掌握.【例2】（极端值估算）函数()21010x x f x x--=的图象大致为A．B．C．D．【答案】B【名师点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.【备考警示】当函数在某一点处没有定义或趋于无限时，可估算一下函数值的范围，从而得出函数图象的大致范围，此类问题属于常见题型，需要熟练掌握.【例3】（数值估算）已知实数,x y满足条件2xyy x≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y=+从最小值连续变化到1时，所有满足条件的点(),x y构成的平面区域的面积为A．74B．94C．92D．1【答案】A【解析】画出002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的可行域，如图，平移直线y x z =-+，从经过点A ，到与直线BC 重合，目标函数z x y =+从最小值连续变化到1，满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为四边形ABCO.方法一：直接计算出面积为17244AOD BCD ABCO S S S =-=-=△△四边形，故选A ．方法二：四边形ABCO 的面积是△OAD 去掉一个小直角三角形，阴影部分面积比1大，比S △OAD ＝12×2×2＝2小，故选C 项．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.【备考警示】特别是像这种求面积需要求几部分的和的时候，如果某一部分不好求或求不出，可以大致估算一下选出正确答案.【例4】（推理估算）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2.则此棱锥的体积是A ．26 B ．36 C ．23D ．22【答案】A【解析】方法一：易得△ABC 的面积为34，而三棱锥的高一定小于球的直径2，所以1332346V <⨯⨯=，观察选项可排除B ，C ，D ，故选A.【备考警示】方法一明显要比方法二简单快捷的多.熟练掌握此类方法也是很有必要的. 拓展变式1．已知0.30.31.20.3, 1.2,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】A【解析】因为()0.30.30,1a =∈，0.31.21b =>， 1.2log 0.30c =<，所以c a b <<，故选A ．【名师点睛】该题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小的问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围，借助于中介值来完成任务.2．如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，点()0,1A 在圆上，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的图象大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D3．如图，在多面体ABCDFE 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为A ．29 B ．5 C ．6D ．215 【答案】D【解析】依题意可计算11332633E ABCD ABCD V S h -=⋅=⨯⨯⨯=四边形，而E A B C D A B C DF E V V ->多面体＝6，观察各选项可知选D.【名师点睛】本题当然也可以通过分割或补形的方法转化成常规几何体进行计算可得，但远不如上述方法来的简单. 终极押题一、选择题1．设集合2{|ln(6)}A x y x x ==+-, {2,0,4}B =,则A B =A ．{2,0,4}B ．{2,0}C ．{2,0,1}D ．{2,1}【答案】B【解析】由题意，知260x x +->即(2)(3)0x x +-<，解得23x -<<，所以{|23}A x x =-<<,又{2,0,4}B =,所以{2,0}A B =.故选B.2．已知复数z 满足10(1i)42i 1z +=--，则在复平面内复数z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】B3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,3),(3,5),(1,2)A B C -，则向量CA 与CB 的夹角的余弦值为 A ．1010B ．31010 C ．55D ．255【答案】B【解析】依题意，(3,1),(4,3)CA CB ==，故,CA CB 的夹角的余弦值为3413310cos ,10||||105CA CB CA CB CA CB ⋅⨯+⨯===⨯，故选B ．4．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可以分析出x 和y 分别为A ．0.9，45B ．0.9，35C ．0.1，35D ．0.1，45【答案】B5．在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若3sin 2sin A B =，43b c =，则cos B = A ．154B ．34C ．31516D ．1116【答案】D【解析】因为3sin 2sin A B =，所以由正弦定理得32a b =，又因为43b c =，所以643a b c ==，令2,3,4a m b m c m ===，所以由余弦定理得222416911cos 22416m m m B m m +-==⨯⨯，故选D.6．执行下面的程序框图，输出的结果为A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】C7．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”该问题实际描述的是：有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？已知1斛米的体积约为62.1立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（四舍五入取整数）A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛【答案】D【解析】由三视图得，粮仓的形状是一个如图所示的放倒的直四棱柱，其体积为(714127289=⨯⨯+=V 立方尺），又44162.1714≈，所以粮仓可以储存的粟米约为441斛，故选D ．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B ，C 两点，若160BFC ∠=︒，则该双曲线的离心率为A ．2B ．5C ．3D ．2【答案】C9．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0, 0π2ωϕ><<)，12()()10f f x x ==,，若12min –||x x 12=，且3(3)2f =-，则ωϕ+= A ．5π3B ．4π3 C ．2π3D ．π3【答案】B【解析】设f (x )的最小正周期为T ，由f (x 1)=1，f (x 2)=0，|x 1–x 2|min =12，得12π2π422T T ω=⇒=⇒==,由f (3) =32-，得sin 3π()ϕ+=32-，即3sin 2ϕ=.又0π2ϕ<<，∴π3ϕ=，则ωϕ+=4π3，故选B ．10．某公园经常会在周末举办丰富多彩的娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）.某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到该公园，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是 A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁【答案】A11．已知正三棱锥的外接球的半径为1，若正三棱锥的高为32，则该正三棱锥的侧面积为 A ．253916B ．93916C ．823πD ．1323π【答案】B【解析】如图，V ABC -是符合题意的正三棱锥，H 为V 在底面内的射影，O 为球心，设底面边长为a ，则22333323BH BD a a ==⨯=，由222BO BH OH =+可得22331()(1)32a =+-，解得32a =，设AC 的中点为D ，由222VD VH DH =+可得22233()()24VD =+，解得394VD =，于是该三棱锥的侧面积为1339939322416S =⨯⨯⨯=．故选B ．12．已知(0,)x ∀∈+∞，|lg |x x m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为A ．(,lg e]-∞B ．(,lg e lg(lg e)]-∞-C ．(1,1]-D ．(,1]-∞【答案】B二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若999S =，717a =，则数列{}n a 的公差为 .【答案】3【解析】依题意，9559999911S a a =⇒=⇒=，而717a =，故数列{}n a 的公差为75375a a -=-． 14．已知()()=f x xg x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x g x a ＝－，则不等式1()3g x ≤－的解集是 .【答案】],3-∞（【解析】由()()=f x xg x 是定义在R 上的偶函数得()=y g x 为奇函数，当=0x 时，()002=0g a ＝－，所以=1a ，则令()21=3x g x ＝－得=2x ，所以()2=3g ，所以1()3g x ≤－等价于()1()2g x g ≤－，又当0x ≥时，()21xg x ＝－为增函数，所以当x ∈R 时，()y g x =为增函数，所以12x ≤－，解得3x ≤，所以不等式的解集为],3-∞（. 15．已知实数,x y 满足约束条件2,1,10,x y y x x +≥⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则32x y x y ++的取值范围为 . 【答案】4[,2]3【解析】依题意，136353532222y y x y x x y y y x y x x x +⋅+⋅-+===-++++.作出约束条件所表示的平面区域如下图阴影部分所示（含边界）.y x 表示平面区域内的点(,)x y 与定点(0,0)连线的斜率，观察可知，13y x ≤≤，则325y x≤+≤，所以55132y x ≤≤+，所以453232y x≤-≤+，故32x y x y ++的取值范围为4[,2]3. 16．已知第一象限内的点M 与第四象限内的点N 在焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>上，若,,M F N 三点共线，且2+3tan 0OMN S MON ∠=△（O 为坐标原点），则抛物线C 的方程为_______________.【答案】24y x =你用了几分钟？有哪些问题？。

2019年高考数学(理)精品资料：3.5 数形结合法(讲)含解析

2019年高考数学（理）精品资料：3.5 数形结合法（讲）数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从近几年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”．预测2017年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法．复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．【数形结合思想概述】1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点（1）集合的运算及Venn图；（2）函数及其图象；（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；（6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解（函数的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．【数形结合思想解决的问题类型】一、构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；例1.【广东省华南师范大学附属中学、广东实验中学、广雅中学、深圳中学2019届高三上期末】若函数有3个零点，则实数的取值范围是（）．A． B． C． D．【答案】B【解析】。

专题05 三角函数与解三角形-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(解析版)

专题05三角函数与解三角形历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019 三角函数2019年新课标1理科11 单选题2017 三角函数2017年新课标1理科09 单选题2016 三角函数2016年新课标1理科12 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科02 单选题2015 三角函数2015年新课标1理科08 单选题2014 三角函数2014年新课标1理科08 单选题2012 三角函数2012年新课标1理科09 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科05 单选题2011 三角函数2011年新课标1理科11 单选题2010 三角函数2010年新课标1理科09 填空题2018 三角函数2018年新课标1理科16 填空题2015 解三角形2015年新课标1理科16 填空题2014 解三角形2014年新课标1理科16 填空题2013 三角函数2013年新课标1理科15 填空题2011 解三角形2011年新课标1理科16 填空题2010 解三角形2010年新课标1理科16 解答题2019 解三角形2019年新课标1理科17 解答题2018 解三角形2018年新课标1理科17 解答题2017 解三角形2017年新课标1理科17 解答题2016 解三角形2016年新课标1理科17 解答题2013 解三角形2013年新课标1理科17 解答题2012 解三角形2012年新课标1理科17历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科11】关于函数f（x）＝sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）是偶函数②f（x）在区间（，π）单调递增③f（x）在[﹣π，π]有4个零点④f（x）的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A．①②④B．②④C．①④D．①③【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，当x∈（，π）时，sin|x|＝sin x，|sin x|＝sin x，则f（x）＝sin x+sin x＝2sin x为减函数，故②错误，当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sin x|＝sin x+sin x＝2sin x，由f（x）＝0得2sin x＝0得x＝0或x＝π，由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，当sin|x|＝1，|sin x|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，故正确是①④，故选：C．2．【2017年新课标1理科09】已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin（2x），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y＝cos2（x）＝cos（2x）＝sin（2x）的图象，即曲线C2，故选：D．3．【2016年新课标1理科12】已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【解答】解：∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则，即T，解得：ω≤12，当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．4．【2015年新课标1理科02】sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°＝sin20°cos10°+cos20°sin10°＝sin30°．故选：D．5．【2015年新课标1理科08】函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ，kπ），k∈z B．（2kπ，2kπ），k∈zC．（k，k），k∈z D．（，2k），k∈z【解答】解：由函数f（x）＝cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2（）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得ϕ，k∈z，即ϕ，f（x）＝cos（πx）．由2kπ≤πx2kπ+π，求得2k x≤2k，故f（x）的单调递减区间为（，2k），k∈z，故选：D．6．【2014年新课标1理科08】设α∈（0，），β∈（0，），且tanα，则（）A．3α﹣βB．3α+βC．2α﹣βD．2α+β【解答】解：由tanα，得：，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）＝cosα＝sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）＝sin（）＝cosα成立．故选：C．7．【2012年新课标1理科09】已知ω＞0，函数f（x）＝sin（ωx）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．8．【2011年新课标1理科05】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x 上，则cos2θ＝（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．故选：B．9．【2011年新课标1理科11】设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增【解答】解：由于f（x）＝sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ），由于该函数的最小正周期为T，得出ω＝2，又根据f（﹣x）＝f（x），得φkπ（k∈Z），以及|φ|，得出φ．因此，f（x）cos2x，若x∈，则2x∈（0，π），从而f（x）在单调递减，若x∈（，），则2x∈（，），该区间不为余弦函数的单调区间，故B，C，D都错，A正确．故选：A．10．【2010年新课标1理科09】若，α是第三象限的角，则（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，应选A．11．【2018年新课标1理科16】已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）＝2sin x+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x或cos x＝﹣1，可得此时x，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（），f（π）＝0，f（），f（0）＝0，∴函数的最小值为，故答案为：．12．【2015年新课标1理科16】在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°．BC＝2，则AB的取值范围是．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，∴设AD x，AE x，DE x，CD＝m，∵BC＝2，∴（x+m）sin15°＝1，∴x+m，∴0＜x＜4，而AB x+m x x，∴AB的取值范围是（，）．故答案为：（，）．方法二：如下图，作出底边BC＝2的等腰三角形EBC，B＝C＝75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为；故答案为：（，）．13．【2014年新课标1理科16】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sin A﹣sin B）＝（c﹣b）sin C⇒（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，又因为：a＝2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2＝bc⇒b2+c2﹣bc＝a2⇒b2+c2﹣bc＝4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．14．【2013年新课标1理科15】设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x﹣2cos x取得最大值，则cosθ＝．【解答】解：f（x）＝sin x﹣2cos x（sin x cos x）sin（x﹣α）（其中cosα，sinα），∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2cosθ，又sin2θ+cos2θ＝1，联立得（2cosθ）2+cos2θ＝1，解得cosθ．故答案为：15．【2011年新课标1理科16】在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a由余弦定理cos B所以a2+c2﹣ac＝b2＝3设c+2a＝m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3＝0△＝84﹣3m2≥0 故m≤2当m＝2时，此时a，c符合题意因此最大值为2另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，由正弦定理，有2，所以AB＝2sin C，BC＝2sin A．所以AB+2BC＝2sin C+4sin A＝2sin（120°﹣A）+4sin A＝2（sin120°cos A﹣cos120°sin A）+4sin Acos A+5sin A＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：216．【2010年新课标1理科16】在△ABC中，D为边BC上一点，BD DC，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为，则∠BAC＝．【解答】解：由△ADC的面积为可得解得，则．AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos120°，，则．故∠BAC＝60°．17．【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A ﹣sin B sin C．（1）求A；（2）若a+b＝2c，求sin C．【解答】解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C．则sin2B+sin2C﹣2sin B sin C＝sin2A﹣sin B sin C，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cos A，∵0＜A＜π，∴A．（2）∵a+b＝2c，A，∴由正弦定理得，∴解得sin（C），∴C，C，∴sin C＝sin（）＝sin cos cos sin．18．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：，即，∴sin∠ADB，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB，∵DC＝2，∴BC5．19．【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC ac sin B，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C，∴cos B cos C﹣sin B sin C，∴cos（B+C），∴cos A，∵0＜A＜π，∴A，∵2R2，∴sin B sin C•，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c∴周长a+b+c＝3．20．【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，整理得：2cos C sin（A+B）＝sin C，即2cos C sin（π﹣（A+B））＝sin C2cos C sin C＝sin C∴cos C，∴C；（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S ab sin C ab，∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周长为5．21．【2013年新课标1理科17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．（1）若PB，求P A；（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，，∴∠PBC＝60°，∴∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得P A2＝PB2+AB2﹣2PB•AB cos30°．∴P A．（II）设∠PBA＝α，在Rt△PBC中，PB＝BC cos（90°﹣α）＝sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．22．【2012年新课标1理科17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C a sin C﹣b﹣c＝0（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．【解答】解：（1）由正弦定理得：a cos C a sin C﹣b﹣c＝0，即sin A cos C sin A sin C＝sin B+sin C∴sin A cos C sin A sin C＝sin（A+C）+sin C，即sin A﹣cos A＝1∴sin（A﹣30°）．∴A﹣30°＝30°∴A＝60°；（2）若a＝2，△ABC的面积，∴bc＝4．①再利用余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣bc＝（b+c）2﹣3×4＝4，∴b+c＝4．②结合①②求得b＝c＝2．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈【答案】C 【解析】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象，可得：332113441264T ππππω=⋅=-=，解得：2ω=，由于点,26π⎛⎫⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<，可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( ) A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 【答案】C 【解析】由题意，函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()2sin[2()]12sin(2)11236g x x x πππ=-++=++的图象，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则()()123g x g x ==，则22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以121157,{,,,}6666x x ππππ∈--，当12711,66x x ππ==-时，122x x -取得最大值，最大值为711252()666πππ⨯--=，故选C.3．将函数222()2cos4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-【答案】A 【解析】因为222()2coscos()14x f x x ϕϕ+==++，将其图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，所以()cos()13g x x πϕ=-++，又()(4)g x g x π=-，所以()g x 关于2x π=对称，所以2()3k k Z ππϕπ-+=∈，即(2)()3k k Z πϕπ=+-∈，因为0πϕ-<<，所以易得23πϕ=-.故选A4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点2(0,),(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（） A ．sin 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据题意可以画出函数()f x 的图像大致如下因为2(0)sin 2f ϕ==32,()4k k Z πϕπ=+∈ 又因为0ϕπ<<，所以34πϕ=，所以3()sin()4f x x πω=+，因为3()sin()0444f πππω=+=，由图可知，3244k ππωππ+=+，解得18,k k Z ω=+∈，又因为24T ππω=<，可得8ω>，所以当1k =时，9ω=，所以3()sin(9)4f x x π=+，故答案选D.5．已知函数()cos 3f x x x =-，则下列结论中正确的个数是（）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A由题意，函数1()cos 2cos 2cos 23f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ①中，由22cos 133f ππ⎛⎫==-⎪⎝⎭不为最值，则()f x 的图象不关于直线3x π=对称，故①错； ②中，将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象，故②对； ③中，由2cos 023f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，可得,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()f x 图象的对称中心，故③错； ④中，由22,3k Z x k k ππππ-+≤∈≤，解得422,33k x k k Z ππππ-≤-∈≤，即增区间为42k ,2k ,33k Z ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈，由22,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得22,233k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即减区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④错．故选：A ．6．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -++=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 【答案】C 【解析】把22(sin )40a a B B -++=看成关于a 的二次方程，则2224(sin )164(3cos 4)B B sin B cos B B B =-=++-V24(2cos 3)4(cos 222)cos B B B B B =+-=+- 4[2sin(2)2]06B π=+-…，故若使得方程有解，则只有△0=，此时6B π=，b =代入方程可得，2440a a -+=，由余弦定理可得，2428cos3022c c+-︒=⨯，解可得，c =∴111sin 2222ABC s ac B ∆==⨯⨯=故选：C ．7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==Q ,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（）． A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 【答案】B 【解析】由题意，因为672sinCcosA sin A =，可得：614sinCcosA sinAcosA =，即(614)0sinC sinA cosA -⋅=，可得∴614sinC sinA =或0cosA =，又由a b <，则A 为锐角，所以0cosA =不符合舍去，又由正弦定理可得：37c a =，即：73a c =，由余弦定理可得22222257133cos 52223a a a a b c C a ab a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ∵(0,)C π∈，∴23C π=．故选：B ．9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______. 【答案】1 【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+的图像过点(2sin ϕ∴=sin ϕ=02πϕ<<Q 3πϕ∴=又函数图象关于点()2,0-对称 2sin 203πω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，即：23k πωπ-+=，k Z ∈126k πωπ∴=-+，k Z ∈01ω<<Q 6πω∴=()2sin 63f x x ππ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，()12sin 2sin 1636f πππ⎛⎫∴-=-+== ⎪⎝⎭本题正确结果：110．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________【答案】1.4【解析】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞， ()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈，因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号），从而xy 的最小值为1.411．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．【答案】(3π，+∞) 【解析】不妨设120x x <<，则2121x x x x -=-，由图可知210()33x x ππ->--=．故答案为：(3π，+∞) 12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．【答案】(1,2] 【解析】由题得sin 2sin()3a πααα==+，因为22,,2k k k Z ππαπ<<+∈所以52++2,,336k k k Z ππππαπ<<+∈ 所以1sin()1,12sin()2233ππαα<+≤∴<+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2]. 故答案为：(1,2]13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___．【答案】35【解析】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______【答案】65123-【解析】连接AC,设ACBθ∠=,则120ACDθ∠=-o，如图：故在Rt ABC∆中，sin4141θθ==，()131343cos120cos22224141241θθθ-=-+=-=oQ，又Q在ACD∆中由余弦定理有()(222413435cos1202341241ADθ+---==⨯⨯o,解得265123AD=-即65123AD=-65123-15．在锐角ABC∆中，角A B C，，的对边分别为a b c，，．且cos cosA Ba b+=23sin C23b=．则a c+的取值范围为_____．【答案】(6,3]【解析】cos cos233A B Ca b a+=Q23cos cos sin3b A a B C∴+=∴由正弦定理可得：23sin cos sin cos sinB A A B B C+=，可得：sin()sin sin A B C B C +==，sin B ∴=，又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭3A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-Q 均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,a c ∴+∈.故答案为： (6,.16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列，所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==，所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=，又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =u u u u v ，因为()12CM CA CB u u u u v u u u v u u u v=+，所以22222422cos CM CA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解c =即AB 的长为3.17．在ABC ∆中，A B C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值；（Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos 3B =，∴sin 3B =， ()1sin sin sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==，由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DCCAD∠，因为AD 平分BAC ∠，所以sin 4sin DC BBD C ===.（Ⅱ）由cos cos 2c B b C +=，即222222cos cos 222a c b a b c c B b C c b a ac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sin a b A B =，∴sin sin 3a Bb A ==，故11sin 222ABC S ab C ==⨯=V 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称.（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin B C +=ABC ∆的面积.【答案】（1）⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）【解析】（1）()()()2sin cos sin f x x A x B C =-++ ()2sin cos sin x A x A =-+=2sin()cos sin(())x A x x x A -+--=2sin()cos sin cos()sin()cos x A x x x A x A x -+--- =sin()cos sin cos()x A x x x A -+-()sin 2x A =-∵函数()f x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称， ∴π06f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴π3A =∴()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 在区间5π0,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上是增函数，5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()0f =，5π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π2f ⎛⎫=⎪⎝⎭∴()f x 的值域为⎛⎤⎥ ⎝⎦（2）∵sin sin B C +=1313sin sin sin 1377B C A b c a ∴+=∴+=⨯= ∴13b c +=由余弦定理，2222cos a b c bc A =+- ∴40bc =∴1sinA 2ABC S bc ==V 19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos 10B =，4C π=.（1）求BC 的长；（2）求sin(2)3A π+的值.【答案】（1）5BC =（2【解析】解：（1）因为cos B =，0B π<<，所以sin B ===在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+，于是sin sin(())sin()A B C B C π=-+=+4sin cos cos sin 1021025B C B C =+=⨯+⨯=. 在ABC ∆中，由正弦定理知sin sin BC AB A C=，所以4sin sin 552AB BC A C =⨯==. （2）在ABC ∆中，A B C π++=，所以()A B C π=-+，于是cos cos(())cos()A B C B C π=-+=-+3(cos cos sin sin )5B C B C =--=-=⎝⎭，于是4324sin 22sin cos 25525A A A ==⨯⨯=， 2222347cos 2cos sin 5525A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，sin 2sin 2cos cos 2sin 333A A A πππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 24173247325225250-⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭. 20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长．【答案】（Ⅰ）64（Ⅱ）1BC = 【解析】（Ⅰ）在ABD V 中，由正弦定理，得sin sin AD BD ABD A =∠∠．因为60,3,6A AD BD ︒∠=== 所以36sin sin sin 6046AD ABD A BD ︒∠=⨯∠== （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6sin ABD ∠=，因为90ABC ︒∠=，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ︒∠=-∠=∠=．在BCD ∆中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠．因为2,6CD BD ==所以264626BC BC =+-，即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =．又CD BC >，则1BC =．21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且234cos2sin 22A b b a B =+. （1）求cos A ；（2）若a =5c =，求b .【答案】(1) 3cos 5A =(2) 1b =或5. 【解析】解：（1）由题意知234cos 2sin 22A b b aB =+，化简得4cos 3sin b A a B =，由正弦定理得4sin cos 3sin sin B A A B =，因为sin 0B ≠，所以4tan 3A =，且A 为ABC ∆的内角，即3cos 5A =. （2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以220256b b =+-，所以2650b b -+=，所以1b =或5.22．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）1. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅ 因为角B 为三角形内角3B π∴∠=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得23A C B ππ∠+∠=-∠= 23A C π∴∠=-∠ cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭ =22cos cos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅++1sin cos 2C C +⋅ =cos sin sin cos 66C C ππ⋅+⋅ =sin 6C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 203C π<<Q 5666C πππ∴<+< 1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是1。

2019高考数学 30分钟拿下选择、填空题专题03 特例法理

专题03 特例法方法探究特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，收到事半功倍的效果.特例法也就是我们常说的特殊值验证法，有时也用特殊数值、特殊图形、特殊位置代替题设中普遍条件，得出特殊结论，再对各选项进行检验，从而做出正确的选择．特别是对于一些比较棘手的高考选择题或填空题，若能注意到其特殊情况，从特殊性入手，也许就可以简捷快速地解决问题.常用的特例有特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例法是解答选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况，从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论.比如，某个数列，可以考虑等差数列或等比数列的情形；某个三角形，可以考虑直角三角形或等边三角形；椭圆上某点，可以考虑长轴或短轴的端点等，但考虑的前提是一定要满足这种情况适合题中所有条件.特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但使用时一定要注意：（1）取特例尽可能简单，有利于计算和推理；（2）若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；（3）当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解答本类选择、填空题的最佳策略.近年来高考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右，所以要想快速准确地赢得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！经典示例【例1】（利用特殊值）若实数a b >，则下列不等式中一定成立的是 A ．22a b >B ．a b a b +<+C ．a b +>D ．()20a b c -≥【答案】D2【名师点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中熟记不等式的基本性质的使用条件和推理方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.通过不等式的性质的推理和举出反例，即可作出判断. 【备考警示】本题在选取a ，b 的值时，一定要满足条件a b >，才可以正确求解. 【例2】（利用特殊函数）下列有关函数单调性的说法，不正确的是 A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数 B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数 C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数 D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数【答案】C 【解析】方法一：取函数()f x x =，为增函数，取函数()2g x x =-，为减函数，则()()f x g x x +=-，为减函数，故C 不正确.选C.当然，本题选取其他符合题意的函数也可，比如(),()f x x g x x ==-等. 方法二：设任意实数12x x <，根据()f x 为增函数，()g x 为减函数，则()()12f x f x <，12()()g x g x >，设()()()h x f x g x =+，当12x x <时，()()()()][()()212211h x h x f x g x f x g x ⎡⎤-=+-+=⎣⎦()2[f x - ()()()121][]f x g x g x +-，由于()()210f x f x ->，()()210g x g x -<，所以()()21h x h x -的符号不确定，即()()()h x f x g x =+的单调性不确定，故选C ．【方法点睛】根据函数单调性定义，可以进行证明并得到下面结论：在公共的定义域内，增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数.在解选择题、填空题时我们可以根据此结论直接对常见函数进行单调性的判断.3【备考警示】很明显，方法一要比方法二更简洁，比利用结论更直观.【例3】（利用特殊数列）已知数列{}n a 是等比数列，其公比为q ，则“1q >”是“数列{}n a 为单调递增数列“的”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【名师点睛】一般地，等比数列{}n a 为单调递增数列的充要条件是10,1a q >>或10,01a q <<<．等差数列{}n b 为单调递增数列的充要条件是公差0d >．【备考警示】等比数列的通项公式为11n n a a q -=，故其单调性不仅取决于1a 的符号，还要考虑()0,1q ∈还是()1,q ∈+∞．所以本题直接求解比较困难，而选取特殊值，构造特殊数列会简单快捷得多.【例4】（利用特殊位置）在三棱锥A BCD -中，底面为直角三角形，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________．【答案】43【解析】如图所示，由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为2，则4AB =，设AD x =，则BD ，又BD 边上的高1CH =，4当CH ⊥平面ABD 时，棱锥A BCD -的体积最大，此时1132V x =⨯⋅=当28x =时，体积V 最大，且最大值为43. 【名师点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，把球的体积表示成关于x 的函数表达式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.【备考警示】几何问题的特殊位置一般是垂直、平行、对称或中点处等，做题时多往这几方面考虑. 拓展变式1．已知()π2sin 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则“x ∀∈R ，()()πf x f x +=”是“2ω=”的 A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【名师点睛】在判断充分、必要条件时需要注意：(1)确定条件是什么、结论是什么；(2)尝试从条件推导结论，从结论推导条件；(3)确定条件是结论的什么条件．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性问题．【方法技巧】熟练应用找特殊值进行验证是解决此类问题的快速有效方法.2．已知椭圆221:11615x y C +=的左焦点为F ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线,PM PN ，其中切点为,M N ，则四边形PMFN 面积的最大值为 A． BCD ．5【答案】A【解析】如图所示，5【名师点睛】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、勾股定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．【规律总结】圆锥曲线中的最值问题，如果涉及动点问题，就要找点的特殊位置，比如本题，当P 点为椭圆的右顶点时，|PF |取得最大值a +c ．终极押题一、选择题1．已知集合2{|40}A x x x =-<，{|22}B x x =∈-<≤Z ，则A B =A ．{0,1,2}B ．{1,2}C ．{1,0,1}-D ．{1,0,1,2}-【答案】B【解析】解240x x -<，即(4)0x x -<，得04x <<，所以{|04}A x x =<<，又{1,0,1,2}B =-，故{1,2}AB =.故选B.2．已知复数z 满足(2i)4i z z +=+，则z = A ．1i -B ．12i -6C ．1i +D ．12i +【答案】C3．已知命题p ：(0,π)x ∀∈，tan sin x x >；命题q ：0x ∃>，22x x >，则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∨⌝D ．()p q ⌝∧【答案】D【解析】因为π(,π)2x ∈时，tan 0x <，sin 0x >，故tan sin x x >不成立，所以命题p 为假命题；当3x =时，2332>，故命题q 为真命题，所以()p q ⌝∧为真命题.故选D. 4．已知角α的终边经过点(2,)P m （0m ≠），若sin α=，则3πsin(2)2α-= A ．35- B ．35C ．45D ．45-【答案】B【解析】由题意得||OP ==O 为坐标原点），所以sin α==，解得21m =，即2211sin 55m α==，所以3πππsin(2)sin(22π)sin(2)cos 2222αααα-=+-=+=21312sin 1255α=-=-⨯=．故选B ．5．在等差数列}{n a 中，首项01=a ，公差0≠d ，若10010a a a k ++= ，则=kA ．496B ．469C ．4915D ．5000【答案】C【解析】因为数列}{n a 是等差数列，所以d n d n a a n )1()1(1-=-+=，7因为10010a a a k ++= ，所以d d a d a a a a a a k 4914)2899(29910010011100121110=⨯+-⨯+=+⋅⋅⋅+++=，又d k a k )1(-=，所以d d k 4914)1(=-，所以4915=k .故选C. 6．已知0.32(log 3)a =， 1.13(log 2)b =，lg10.3c =，则 A ．c a b << B ．b c a << C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B7．如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积等于A ．π12+B ．5π123+ C ．π4+D ．5π43+【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是一个组合体，其中上方是一个底面半径为1，高为1的圆锥，中间部分是一个半径为1的半球，下方是一个正四棱柱，且该正四棱柱的底面是边长为2的正方形，高为3，所以圆锥的体积211ππ1133V =⨯⨯=，半球的体积32142ππ1233V =⨯⨯=，正四棱柱的体积 232312V =⨯=，所以该几何体的体积123π2π12π1233V V V V =++=++=+．故选A.8．函数223()2xx x f x --=的大致图象为【答案】CA．7 B．14C．28 D．49【答案】C【解析】由程序框图可知,输出的是98,a的最大公约数,根据98,a的最大公约数是a,可知a是98的约数,7,14,49都是98的约数,28不是98的约数,故选C.10．M公司与N公司计划进行6个重点项目的洽谈，考虑到N公司目前的现状，M公司代表对项目洽谈的顺89序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有 A ．240种 B ．188种 C ．156种D ．120种【答案】D故符合题意要求的安排方案共有363648120++=种．故选D ．方法二：（1）丙、丁在第1、2两位，则甲只能在第3位，不同的安排方案有213213A A A 12=种；（2）丙、丁在第2、3两位，则甲只能在第1位，不同的安排方案有213213A A A 12=种；（3）丙、丁在第3、4两位，则甲可以在第1位或第2位，不同的安排方案有213223A A A 24=种；（4）丙、丁在第4、5两位，则甲可以在第1位或第2位或第3位，不同的安排方案有213233A A A 36=种；（5）丙、丁在第5、6两位，则甲可以在第1位或第2位或第3位，不同的安排方案有213233A A A 36=种．综上，不同的安排方案有1212243636120++++=种．故选D ．方法三：由于甲在前3位与后3位的可能性相同，故不同的安排方案有25251A A 1202=种．故选D ．1011．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π||2ϕ<）的最小正周期为π，且图象过点7π(,1)12-，要得到函数π()sin()6g x x ω=+的图象，只需将函数()f x 的图象A ．向左平移π2个单位长度 B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度D ．向右平移π4个单位长度【答案】B12．若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x 的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数2()ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的取值范围是 A ．(,1)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】D【解析】由题意得，()1g x kx '=-，函数21()32g x kx x =-+为函数2()ln f x x x x =+的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-在(0)+∞，上有解，所以方程1ln 1k x x x=++在(0)+∞，上有解，记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x -'=+-=+，当1x >时，2210x x->，ln 0x >，所以()0p x '>，函数()p x 单调递增；当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，所以()0p x '<，函数()p x 单调递减.所以()(1)2p x p ≥=.故由方程1ln 1k x x x=++有解可得2k ≥.故选D. 二、填空题13．设向量(1,1)=-a ，(0,1)=b ，(,2)x =c ，若向量2-+a b c 与2-a b 垂直，则实数x = .11【答案】1-【解析】由已知得2-+a b c (2,3)x =-+，2-a b (1,1)=--，因为向量2-+a b c 与2-a b 垂直，所以(2,3)(1,1)0x -+--=，所以10x --=，即1x =-.14．已知实数,x y 满足约束条件3240380x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为 .【答案】1215．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，离心率87=e ，抛物线x y 322-=的焦点是椭圆的左顶点，则椭圆的标准方程为 . 【答案】1156422=+y x 【解析】因为抛物线x y 322-=的焦点坐标为)0,8(-，所以8=a ，因为87=e ，所以878==c a c ，即7=c ，所以1549642=-=b ，所以椭圆的标准方程为1156422=+y x . 16．在锐角ABC △中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c，222sin sin sin sin B A C A C =+，a =，且最短边10=b ，则c = .【答案】412你用了几分钟？有哪些问题？本文档仅供文库使用。

专题01 直接法-2019年高考数学30分钟拿下选择、填空题 Word版含解析

方法探究直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运算过程，快速准确得到结果.直接法具体操作起来就是要熟悉试题所要考查的知识点，从而能快速找到相应的定理、性质、公式等进行求解，比如，数列试题，很明显能看到是等差数列还是等比数列或是两者的综合，如果是等差数列或等比数列，那就快速将等差数列或等比数列的定义（1n n a a d +-=或1n na q a +=）、性质（若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+或m n p q a a a a =）、通项公式（1(1)n a a n d =+-或11n n a a q -=）、前n 项和公式（等差数列1(1)2n n n d S na -=+、1()2n n a a n S +=，等比数列1(1)1n n a q S q -=-）等搬出来看是否适用；如果不能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行化简或转化了，也可快速进入状态. 经典示例【例1】（利用相关概念、运算法则）3i1i+=+ A ．12i +B ．12i - C ．2i +D ．2i - 【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：()()3+i 1i 3i 2i 1i 2-+==-+，故选D ．【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法实际上是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．【备考警示】本题直接从复数运算法则出发即可顺利求解.【例2】（利用公式）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前项和为，已知3676344S S ==,，则=．【答案】32【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．【备考警示】高考常将填空题分成两种类型：一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系；二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质等.所以此类问题只需根据所学内容直接进行求解计算即可. 拓展变式1．设向量,a b 满足||22=a ，|2|=b ，且·1=a b ，则||2-=a bA ．23B ．C ．22D ．【答案】A【解析】因为222|2|4484812-=-⋅+=-+=a b a a b b ，所以|2|23-=a b ，故选A.2．在正项等比数列{}n a 中，已知21016a a =，488a a +=，则．【答案】【解析】由题意得48210484816418a a a a a a q a a ==⎧⇒==⇒=⎨+=⎩.终极押题一、选择题1．已知全集*{|9,}U x x x =≤∈N ，集合{1,2,3}A =，{3,4,5,6}B =，则()U AB =ðA ．B ．{7,8}C ．{7,8,9}D ．{1,2,3,4,5,6} 1．【答案】C【解析】由题意，得{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，{1,2,3,4,5,6}A B =，所以(){7,8,9}U A B =ð，故选C ．2．若复数满足(34i)|43i |z -⋅=+，是虚数单位，则的虚部为A ．B ．45 C ．D ．45-2．【答案】B3．已知直线，分别在两个不同的平面，内，则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．【答案】A【解析】若“直线和直线相交”，则“平面和平面相交”是真命题，其逆命题是假命题，故答案是充分不必要条件，故选A.4．若(,)2απ∈π，3cos 2sin()4ααπ=-，则sin 2α的值为A ．1718-B ．1718C ．118-D ．1184．【答案】A5．在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的取值范围是A ．(4,10]B ．(2,)+∞C ．(2,4]D ．(4,)+∞ 5．【答案】A【解析】当1i =时，3282,28x x -≤≤当2i =时，3(32)282,1x x --≤≤当3i =时，3[3(32)2]2x --->82, 4.x >所以410x <≤.6．在ABC △中， 60=∠BAC ，2=AB ，1=AC ，F E ,为边BC 的三等分点，则AE AF ⋅等于A ．35B ．45C ．910D ．8156．【答案】A7．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>,的左、右焦点分别为12F F 、，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为4(3)P ,，则此双曲线的方程为A ．221169x y -=B ．22134x y -=C ．221916x y -=D ．22143x y -=7．【答案】C【解析】由已知条件得：122||2r F F c ==(为圆的半径)，即r c =，又||5r OP ==，且双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以点(3,4)P 在b y x a =上，所以222543c b a a b c ⎧⎪⎪⎨==+=⎪⎪⎩，解得345a b c ===⎧⎪⎨⎪⎩，所以双曲线方程为221916x y -=. 8．已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为A ．16πB ．C ．D ．8．【答案】B【思路点晴】本题通过三视图考查三棱锥的外接球的表面积，首先根据三视图画出直观图，确定三棱锥中点、线、面的位置关系，然后找到三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，从而计算得到外接球的表面积.本题主要考查学生将平面几何图形转化为空间几何图形的能力，考查空间想象能力. 9．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且，，成等比数列，若11a =，为数列{}n a 的前项和，则2163n n S a ++的最小值为 A ．4 B ．3 C ．232-D ．2 9．【答案】A【解析】由已知有23113a a a =，所以有2111(2)(12),2(0)a d a a d d d +=+=≠，所以12(1)n a n =+-=2(121)21,2n n n n S n +--==，所以221689(1)24311n n S n n a n n ++==++-≥+++，当且仅当911n n +=+，即2n =时等号成立.故选A.10．如图是函数2()f x x ax b =++的部分图象，则函数()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是A ．)21,41(B ．)1,21( C ．(1,2)D ．(2,3) 10．【答案】B【思路点晴】本题主要考查函数图象及函数零点.零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()f a 与 ()f b 异号（即()()0f a f b ⋅<），那么函数()f x 在开区间(),a b 内至少存在一个零点，即至少有一点（a b ξ<<）使()0f ξ=.解决函数零点问题，可以运用数形结合思想、转化思想、函数与方程思想.11．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (，，，*d ∈N )，则b da c++是的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道 3.14159π=…，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为 A ．227B ．6320C ．7825D ．1093511．【答案】A【解析】由题意：第一次用“调日法”后得165是的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，第二次用“调日法”后得4715是的更为精确的过剩近似值，即4716155<π<，第三次用“调日法”后得6320是的更为精确的过剩近似值，即47631520<π<，第四次用“调日法”后得11022=357是的更为精确的过剩近似值，即4722157<π<，故选A. 【易错点晴】本题主要考查了合情推理这个知识点，属于中档题. 本题易错的地方是：没有读懂题意，题目中“第一次用“调日法”后得165是的更为精确的过剩近似值”中的165等于31+4910+15，那第二次、第三次、第四次都是用b da c++这个公式计算的.在2017年高考考纲中增加了“数学文化”，主要考查学生的读题和计算能力. 12．已知函数()2f x xπ=-，()cos sin g x x x x =-，当[3,3]x ∈-ππ时，方程()()f x g x =的根的个数是 A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 12．【答案】B【思路点晴】本题主要考查了导数的综合应用，函数图象的画法等，属于中档题.求解时，先对函数(),()f x g x 的性质进行分析，()f x 既是奇函数，又是反比例函数，()g x 是奇函数，可用导数的方法求出()g x 在各个区间上的单调性，得到它们的图象，由图象观察有个交点，故方程()()f x g x =有个根，另外考查了函数的图象与方程的根的关系. 二、填空题13．如图是一样本的频率分布直方图．若样本容量为100，则样本数据在[15,20)内的频数是__________．13．【答案】30【解析】由频率分布直方图的性质可知：样本数据在区间[)15,20内的频率是10.150.0450.3-⨯-⨯=，故样本数据在区间[)15,20内的频数是0.310030⨯=，应填.14．若为抛物线24y x =上任意一点，且点在轴上的射影为点，点(4,5)M ，则PQ 与PM 长度之和的最小值为__________． 14．【答案】341-【名师点睛】利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等进行相互转化，是抛物线中化曲为直求最值的一种常见且有效的方法.15．若，满足不等式2,6,20,x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则z x y =-的取值范围是__________．15．【答案】[2,2]-【解析】在直角坐标系内作出不等式组2,6,20x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行域如下图所示，由图可知目标函数z x y =-取得最大值时的最优解为点(4,2)B ，即m a x 422z =-=，取得最小值的最优解为点(2,4)C ，即min 242z =-=-，所以z x y =-的取值范围是[2,2]-.16．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC △面积的最大值为__________． 16．【答案】255你用了几分钟？有哪些问题？。

[推荐学习]专题01-直接法-2019年高考数学(理)30分钟拿下选择、填空题

[ 介绍学习] 专题 01-直接法 -2019 年高考数学 ( 理)30 分钟拿下选择、填空题[k12]方法研究直接法在选择题中的详细应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、有关观点、性质、公式、公义、定理、法例等基础知识，经过谨慎推理、正确运算、合理考证，从而直接得出正确结论，而后比较题目所给出的选项“对号入坐”，从而确立正确的选择支．这种选择题常常是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．因为填空题和选择题对比，缺乏选择支的信息，因此常用到直接法进行求解 . 直接法是解决选择、填空题最基本的方法，合用范围广，只需运算正确必能获得正确答案，解题时要多角度思虑问题，擅长简化运算过程，迅速正确获得结果 .直接法详细操作起来就是要熟习试题所要考察的知识点，从而能迅速找到相应的定理、性质、公式等进行求解，比方，数列试题，很显然能看到是等差数列仍是等比数列或是二者的综合，假如是等差数列或等比数列，那就迅速将等an 1q ）、性质（若差数列或等比数列的定义（a n 1a n d或a nm n pq，则amanapaq或amanapaq）、通项公式（ana1(n 1)d或n 1）、前 n 项和公式（等差数列S n na1n(n 1)d、S n(a1 a n ) n，a n a1q22[k12]a1 (1q n )等比数列S n1q）等搬出来看能否合用；假如不可以直接看出，只好看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行化简或转变了，也可迅速进入状态 .经典示例【例1】（利用有关观点、运算法例）3i1iA ．12i B．1 2iC．2i D．2 i【答案】 D【分析】由复数除法的运算法例有：3i 3+i 1 i2 i ，应选D．1i2【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法其实是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若 z1，z2互为共轭复数，则 z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，经过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．【备考警告】此题直接从复数运算法例出发即可顺利求解 . 【例 2】（利用公式）等比数列{ a n}的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S37, S663，则a8 =．44【答案】 32最新 K12[k12]【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个办理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有必定量的运算，但思路简短，目注明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻表现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应存心识地去应用．但在应用性质时要注意性质建立的前提条件，有时需要进行适合变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，常常采纳“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．【备考警告】高考常将填空题分红两种种类：一是定量型，要修业生填写数值、数集或数目关系；二是定性型，要求填写的是拥有某种性质的对象或许填写给定的数学对象的某种性质等 . 因此此类问题只需依据所学内容直接进行求解计算即可 .拓展变式1．设向量a, b知足|a | 2 2，| b | 2 ，且ab·1 ，则| a 2b | A．2 3B．12C．22D．8【答案】 A【分析】因为 | a 2b |2 a 24a b 4b28 4 812 ，因此 | a2b |23 ，故选 A.2 ．在正项等比数列a n中，已知 a2a1016 ， a4a，则88．q【答案】 1【分析】由题意得a4 a8 a2 a10 164q 1 .a4a88a4 a8终极押题一、选择题1．设会合A { y | y 2x, x R}，B{ x | x2 1 0} ，则AUBA．(1,1)B．(0,1)C．( 1, )D．(0,)1．【答案】 C【分析】由题意得 A{ y | y 0} ， B { x | 1 x1} A U B( 1,) ，故选 C.【易错点晴】此题主要考察会合的基本运算，属于较易题型，但简单出错 .研究一个会合，我们第一要看清楚它的研究对象，是实数仍是点的坐标仍是其余的一些元素，这是很要点的一步；第二步常常是化简会合，如解一元二次不等式，我们第一用十字相乘法分解因式，再求得不等式的解集 .在解分式不等式的过程中，要注意分母不可以为零 .此外，要注意元素与会合之间是属于和不属于的关系，会合与会合之间是包括关系 .2．若复数z知足1z i i 2017，此中A．1 iC．1 i2．【答案】 A【分析】 z i 2017 (1 i) i(1 i) 1 i 3．设向量a, b知足|a | 2 2，| b | A．2 3C．2 2i为虚数单位，则B．1 iD．1 iz 1 i ，应选A.2，且 ab· 1 ，则| aB．12D．8z2b |3．【答案】 A【分析】因为 | a 2b |2 a 24a b 4b28 4 8 12 ，因此 | a 2b | 2 3 ，故选 A.421，则4．已知a 23， b 45， c 253A．b a c B．a b cC．b c a D．c a b4．【答案】 A【分析】由题意得应选 A.224411c b a c ，b 4543 2 3 a，且 a 231632535．《张丘建算经》是我国南北朝期间的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才初次出现．书中有这样一个问题，粗心为：某女子擅长织布，后一天比前一天织的快，并且每日增添的数目同样，已知第一天织布 5 尺，一个月（按 30 天计算）总合织布 390 尺，问每日增添的数目为多少尺？该问题的答案为A．C．8293229尺B．16尺29尺D．1尺25．【答案】 B【分析】设增量为d，则 S3030 530229d 390 d1629，应选 B. 6．已知抛物线y24x 上有两点 A, B 到焦点的距离之和为7 ，则点 A, B 到y轴的距离之和为A．8B．7C．6D．56．【答案】 D【名师点睛】关于抛物线上的点到焦点的距离问题，解题的要点是利用抛物线的定义将到焦点的距离转变为到准线的距离，着重对基础知识的考察，属于中档题.解决此题时，第一依据抛物线的方程求出焦点和准线方程，再利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出点 A, B 到y轴的距离之和.x1,7．若不等式组y3,表示的平面地区经过平面直角坐2x y 2 0标系中的四个象限，则实数的取值范围是A．( ,4)B．[1,2]C．[2,4]D．(2, )7．【答案】 D8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为[k12]A．8B．43C．8D．8 28．【答案】 C【分析】由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积S 2 2 4 ，高 h 2 ，故体积 V Sh8 ，应选C.9．已知函数 f x Asin x（0 ，π）的部分图象如图所2示，将函数 f x 的图象向右平移7π个单位长度后获得函24数 g x 的图象，若函数 g x 在区间π(π,)上的值域为331,2 ，则等于A．πB．π64[k12]C．2πD．7π3129．【答案】 B【名师点睛】此题学生简单经验性的以为 A 2,但此时在π2内无解，因此A 2 .已知函数y Asin x B( A0,0) 的图象求分析式：(1)A y max y min, B y max y min .22(2)由函数的周期 T 求 ,T2π.(3)利用“五点法”中相对应的特别点求，一般用最高点或最低点求 .10．(x 1)5(x 2)的睁开式中 x2的系数为A．25B．5C．15D．2010．【答案】 C【分析】因为 ( x1)5 ( x 2)x(x 1)52( x 1)5，含有 x 2项的组成为[k12]xC 45 x 2C 35 x 211．已知函数围为15x 2，因此睁开式中x 2的系数为15，应选C.f ( x) ln x ax 2 ax恰有两个零点，则实数a的取值范A ． ( ,0)B ． (0,)C ． (0,1) U (1, )D ． (,0)U 111．【答案】 C12．已知定义在 (0, )上的函数 f (x) 满足： ①f ( x)； ②f ( x)f ( x)2 f (x)(此中 f( x) 是 f (x) 的导函数， e 是自然对数的底数)，则 f (1)的取值范围为f (2)A ．(12 ,1)B ．(12, 1)2e eeeC ． (e,2e)D ． (e,e 3 )12．【答案】 B【分析】结构函数 g( x)f ( x))，则e x, x (0,g ( x)f ( x)e xf ( x)e xf ( x) f ( x)，由已知f ( x) f ( x)，因此g (x) 0在(e x )2e x(0,)上恒建立，则函数 g( x) 在 (0,)上单一递加，因此g(2) ，即f (1)f (2)，因此依据f (1)f (2) 有g(1) ee 2 ，又因为f ( x)ee 2f (1) ef (1) 1f ( x)，f (2)e2，即f (2)e ；再结构函数h( x)(e x )2, x ( 0, )[k12]g ( x)f ( x)(e x ) 2 f ( x) 2(e x ) 2f ( x) 2 f ( x)，由已知f ( x) 2 f (x)，因此(e x )4(e x ) 2h (x)在 (0,)上恒建立，则函数 h( x) 在 (0,)上单一递减，因此 h(1)f (1)f (2)f (1)f (2)h(2)，即 e2e 4 ，又因为f ( x)0，因此依据 e2e 4有 f f(2)(1)e e 2f (1)11f (1)14，即f (2)e 2，因此 e 2f (2)e ，应选 B.【方法点晴】此题要点考察利用导数研究函数的单一性，此外，此题考察导数中结构函数这一类问题，依据题中条件及选项的提示，结构合理的函数，从而利用导数研究所结构的函数的单一性，能够求出需要的取值范围.结构函数法在导数和数列问题中被宽泛应用，主要考察学生的转变思想，考察学生剖析问题、解决问题的能力 .二、填空题13 ．在正项等比数列 a n中，已知 a 2a 1016 ， a 4a 88 ，则q．13．【答案】 1【分析】由题意得a 4a 8a 2a1016a 4 a 8 8a 4 a 8 4 q 1.14．履行如下图的程序框图，假如输出的结果为0，那么输入的 x 为．[k12]14．【答案】115．已知球O被平面所截得的截面圆的面积为，且球心O到平面的距离为 15 ，则球O的表面积为__________．15．【答案】64π【分析】由平面所截得的截面圆的面积为，知截面圆的半径是 1，则球 O 的半径 R12 ( 15)2 4 ，因此球O的表面积为S 4πR264π，故答案为64π.【名师点睛】此题考察的知识点是球的表面积公式，由与球心距离为 d 的平面截球所得的截面圆的面积是 S ，我们易求出截面圆的半径 r ，依据球心距、截面圆半径、球半径组成直角三角形，联合勾股定理，我们易求出该球的半径，即 R2 r 2 d 2，从而求出球的表面积.[k12]16．已知直线 y 2b 与双曲线x2 22y2 1(a 0, b 0)的左支、右支分别a b交于 B 、C 两点，A 为右极点， O 为坐标原点，若 AOCBOC，则该双曲线的离心率为 __________．16．【答案】192你用了几分钟？有哪些问题？。

2019-2021数学高考试题分类汇编专题05 立体几何(选择题填空题)

专题05 立体几何（选择题、填空题）1．【2021·浙江高考真题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．32B ．3C 32D ．322．【2021·北京高考真题】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A ．332+ B ．4 C ．33 D ．23．【2021·浙江高考真题】如图已知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（）A ．直线1A D 与直线1DB 垂直，直线//MN 平面ABCDB ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC ．直线1AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B4．【2021·全国高考真题（理）】已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（）A 2B 3C 2D 35．【2021·全国高考真题（理）】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π66．【2021·2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A ．2 B ．22C ．4 D ．27．【2021·全国高考真题】在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值 B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值 C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 8．【2021·全国高考真题（理）】以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．9．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A ．514B ．512C ．514D ．51210．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H 11．【2020年高考全国II 卷理数】已知△ABC 93球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A 3B ．32C ．1D 312．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．2 B ．2 C ．3 D ．313．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC△的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π14．【2020年高考天津】若棱长为3为A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π15．【2020年高考北京】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为( )A ．63B ．623+C ．123+D ．1223+16．【2020年高考浙江】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是( )A ．73B ．143C ．3D ．617．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件18．【2020年新高考全国Ⅰ卷】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为( )A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°19．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为( )A ．6πB ．6πC ．62πD 6π20．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面21．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则( )A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线22．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．则下述命题中所有真命题的序号是__________．①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 23．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．24．【2020年高考浙江】已知圆锥的侧面积（单位：cm 2）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．25．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 5BCC 1B 1的交线长为________．26．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.27．【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．28．【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ； ②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 29．【2019年高考天津卷理数】25若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．30．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD 的体积是 ▲ .31．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）专题05 立体几何（选择题、填空题）1．【解析】几何体为如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其高为1，底面为等腰梯形ABCD ，2211212-1111123222122ABCD A B C D V -=⨯=，故选：A. 2．根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O ABC -，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，故其表面积为(2133331122+⨯⨯⨯ 3．连1AD ，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1A D 的中点，所以M 为1AD 中点，又N 是1D B 的中点，所以//MN AB ，MN ⊄平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD .因为AB 不垂直BD ，所以MN 不垂直BD 则MN 不垂直平面11BDD B ，所以选项B,D 不正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，11AD A D ⊥，AB ⊥平面11AA D D ，所以1AB A D ⊥，1AD AB A ⋂=，所以1A D ⊥平面1ABD ，1D B ⊂平面1ABD ，所以11A D D B ⊥，且直线11,A D D B 是异面直线，所以选项B 错误，选项A 正确.故选：A.4．,1AC BC AC BC ⊥==，ABC ∴为等腰直角三角形，2AB ∴则ABC 2又球的半径为1，设O 到平面ABC 的距离为d ，所以1112211332O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯故选：A. 5．如图，连接11,,BC PC PB ，因为1AD ∥1BC ，所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成的角，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，所以11BB PC ⊥，又111PC B D ⊥，1111BB B D B ⋂=，所以1PC ⊥平面1PBB ，所以1PC PB ⊥，设正方体棱长为2，则1111122,22BC PC D B ==1111sin 2PC PBC BC ∠==，所以16PBC π∠=. 6．设圆锥的母线长为l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则22l ππ=22l =故选：B.7．易知，点P 在矩形11BCC B 内部（含边界）．对于A ，当1λ=时，11=BP BC BB BC CC μμ=++，即此时P ∈线段1CC ，1AB P △周长不是定值，故A 错误；对于B ，当1μ=时，1111=BP BC BB BB BC λλ=++，故此时P 点轨迹为线段11B C ，而11//B C BC ，11//B C 平面1A BC ，则有P 到平面1A BC 的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确．对于C ，当12λ=时，112BP BC BB μ=+，取BC ，11B C 中点分别为Q ，H ，则BP BQ QH μ=+，所以P 点轨迹为线段QH ，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，13A ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，()0,0P μ,，10,,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1312A P μ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，10,,2BP μ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()110AP BP μμ⋅=-=，所以0μ=或1μ=．故,H Q 均满足，故C错误；对于D ，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB ，1CC 中点为,M N ．BP BM MN λ=+，所以P 点轨迹为线段MN ．设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为30,0A ⎫⎪⎪⎝⎭，所以031,22AP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，131,122A B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以00311104222y y +-=⇒=-，此时P 与N 重合，故D 正确．故选：BD ． 8．选择侧视图为③，俯视图为④，如图所示，长方体中，，分别为棱的中点，则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥.故答案为：③④.（答案不唯一） 9．如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb -=-，由题意得212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得15b a +.故选C ． 10．根据三视图，画出多面体立体图形，14D D 上的点在正视图中都对应点M ,直线34B C 上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应M ,在俯视图中对应N 的点是4D ,线段34D D ,上的所有点在侧试图中都对应E ,∴点4D 在侧视图中对应的点为E .故选A.11．设球O 的半径为R ，则2416R π=π，解得：2R =.设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ， ABC △是面积为93的等边三角形，213932a ∴，解得：3a =，22229933434a r a ∴=--∴球心O 到平面ABC 的距离22431d R r --.故选：C ． 12．根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDB S S S ===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：22AB AD DB ===ADB △是边长为222113sin 60(22)2322ADB S AB AD =⋅⋅︒==△∴该几何体的表面积是：2362332=⨯++故选：C ．13．设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r π=π=∴，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥=++，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A. 14．这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即()()()2222323233R ++=，所以，这个球的表面积为2244336S R πππ==⨯=.故选：C ．15．由题意可得，三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形，侧面为三个边长为2的正方形，则其表面积为：()1322222sin 6012232S ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯︒=+ ⎪⎝⎭故选：D ． 16．由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，1111ABCD A B C D -12,1AB BC BB ===,E F 11,B C BC E ADF -所以几何体的体积为11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A 17．依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选：B 18．画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知//m CD 、根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..由于40,//AOC m CD ∠=︒，所以40OAG AOC ∠=∠=︒，由于90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，所以40BAE OAG ∠=∠=︒，也即晷针与点A 处的水平面所成角为40BAE ∠=︒.故选：B.19．解法一：,PA PB PC ABC ==△为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分，22226R ++364466π633R V R ∴=π=π，故选D ．20．由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件，由面面平行性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件，故选B ．21．如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ==,，35,72MF BF BM =∴BM EN ∴≠，故选B ． 22．对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④. 23．易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ，由于223122AM -1222222S =⨯⨯△ABC r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()1332222r =⨯++⨯=22r ，其体积：3423V r =π.2.24．设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==.故答案为：1 25.如图：取11B C 的中点为E ，1BB 的中点为F ，1CC 的中点为G ，因为BAD ∠=60°，直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，所以△111D B C 为等边三角形，所以1D E 3111D E B C ⊥，又四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱，所以1BB ⊥平面1111D C B A ，所以111BB B C ⊥，因为1111BB B C B =，所以1D E ⊥侧面11B C CB ，设P 为侧面11B C CB 与球面的交线上的点，则1D E EP ⊥，因为球的半径为5，13D E ，所以2211||||||532EP D P D E --11B C CB 与球面的交线上的点到E 2||||2EF EG ==11B C CB 与球面的交线是扇形EFG 的弧FG ，因为114B EF C EG π∠=∠=，所以2FEG π∠=，所以根据弧长公式可得222FG π=.2. 26．由题意得，214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形，∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ， ∴3112312cm 3O EFGH V -=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=，所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．27．如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体，则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=. 28．（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α. 29．25512-.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12，故圆柱的体积为.21ππ124⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭ 30．因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=，因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ，所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高，所以三棱锥E BCD -的体积1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=. 31．由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则AB BE x ==，延长CB 与FE 的延长线交于点G ，延长BC 交正方体的棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE △为等腰直角三角形，22,2(21)1BG GE CH GH x x ∴==∴=+==，2121x ∴+，21．。

高考数学30分钟拿下选择、填空题专题01直接法理

专题01 直接法方法探究直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运算过程，快速准确得到结果.直接法具体操作起来就是要熟悉试题所要考查的知识点，从而能快速找到相应的定理、性质、公式等进行求解，比如，数列试题，很明显能看到是等差数列还是等比数列或是两者的综合，如果是等差数列或等比数列，那就快速将等差数列或等比数列的定义（1n n a a d +-=或1n na q a +=）、性质（若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+或m n p q a a a a =）、通项公式（1(1)n a a n d =+-或11n n a a q -=）、前n 项和公式（等差数列1(1)2n n n dS na -=+、1()2n n a a n S +=，等比数列1(1)1n n a q S q-=-）等搬出来看是否适用；如果不能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行化简或转化了，也可快速进入状态. 经典示例【例1】（利用相关概念、运算法则）3i1i+=+ A ．12i + B ．12i - C ．2i +D ．2i -【答案】D【解析】由复数除法的运算法则有：()()3+i 1i 3i 2i 1i 2-+==-+，故选D ．【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除．除法实际上是分母实数化的过程．在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．【备考警示】本题直接从复数运算法则出发即可顺利求解.【例2】（利用公式）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ．【答案】32【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．【备考警示】高考常将填空题分成两种类型：一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系；二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质等.所以此类问题只需根据所学内容直接进行求解计算即可. 拓展变式1．设向量,a b满足||=a||=b ·1=a b ，则||2-=a b A． B ．12 C．D ．8【答案】A【解析】因为222|2|4484812-=-⋅+=-+=a b a a b b，所以|2|-=a b A. 2．在正项等比数列{}n a 中，已知21016a a =，488a a +=，则q = ．【答案】1【解析】由题意得48210484816418a a a a a a q a a ==⎧⇒==⇒=⎨+=⎩.终极押题一、选择题1．设集合{|2,}x A y y x ==∈R ，2{|10}B x x =-<，则A B =A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞1．【答案】C【解析】由题意得{|0}A y y =>，{|11}B x x =-<<⇒(1,)A B =-+∞，故选C.【易错点晴】本题主要考查集合的基本运算，属于较易题型，但容易犯错.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其他的一些元素，这是很关键的一步；第二步常常是化简集合，如解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，再求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.另外，要注意元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合之间是包含关系. 2．若复数z 满足2017i 1iz=-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．【答案】A【解析】2017i (1i)i(1i)1i 1i z z =-=-=+⇒=-，故选A.3．设向量,a b 满足||=a ||=b ·1=a b ，则||2-=a bA ．B ．12C ．D ．83．【答案】A【解析】因为222|2|4484812-=-⋅+=-+=a b a a b b ，所以|2|-=a b A. 4．已知432a =，254b =，1325c =，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<4．【答案】A【解析】由题意得224533442b a =<==，且41133321625a c b a c ==<=⇒<<，故选A.5．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统地介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为A ．829尺 B ．1629尺 C ．3229尺D ．12尺5．【答案】B【解析】设增量为d ，则30302916305390229S d d ⨯=⨯+=⇒=，故选B. 6．已知抛物线24y x =上有两点,A B 到焦点的距离之和为7，则点,A B 到y 轴的距离之和为 A ．8 B ．7 C ．6D ．56．【答案】D【名师点睛】对于抛物线上的点到焦点的距离问题，解题的关键是利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，注重对基础知识的考查，属于中档题.解决本题时，首先根据抛物线的方程求出焦点和准线方程，再利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出点,A B 到y 轴的距离之和.7．若不等式组1,3,220x y x y λ≤⎧⎪≤⎨⎪-+-≥⎩表示的平面区域经过平面直角坐标系中的四个象限，则实数λ的取值范围是A ．(,4)-∞B ．[1,2]C ．[2,4]D ．(2,)+∞7．【答案】D8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．83B ．4C ．8D ．8．【答案】C【解析】由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积224S =⨯=，高2h =，故体积8V Sh ==，故选C.9．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移7π24个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间π,3θ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(π3θ>-)上的值域为[]1,2-，则θ等于A ．π6 B ．π4 C ．2π3D ．7π129．【答案】B【名师点睛】本题学生容易经验性的认为2A =,但此时ϕ在π2ϕ<内无解，所以2A =-. 已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式：(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2π,.T ωω=(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ，一般用最高点或最低点求. 10．5(1)(2)x x +-的展开式中2x 的系数为A ．25B ．5C ．15-D ．20-10．【答案】C【解析】因为555(1)(2)(1)2(1)x x x x x +-=+-+，含有2x 项的构成为432255C 2C 15x x x x ⋅-=-，所以展开式中2x 的系数为15-，故选C.11．已知函数2()ln f x x ax ax =-+恰有两个零点，则实数a 的取值范围为A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(0,1)(1,)+∞D ．{}(,0)1-∞11．【答案】C12．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①()0f x >；②()()2()f x f x f x '<<(其中()f x '是()f x 的导函数，e 是自然对数的底数)，则(1)(2)f f 的取值范围为 A ．211(,)2e eB ．211(,)e eC ．(e,2e)D ．3(e,e )12．【答案】B【解析】构造函数()(),(0,)e x f x g x x =∈+∞，则2()e ()e ()()()(e )e x x x x f x f x f x f x g x ''--'==，由已知()()f x f x '<，所以0()g x '>在(0,)+∞上恒成立，则函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以(1)(2)g g <，即2(1)(2)e e f f <，又因为()0f x >，所以根据2(1)(2)e ef f <有2(1)e (2)e f f <，即(1)1(2)e f f <；再构造函数2(,()0(,)(e ))x f x x x h =∈+∞，2242()()()()()()()()()e 2e 2e e x x x x x x x g xf f f x f ''-⋅-'==，由已知()2()f x f x '<，所以0()h x '<在(0,)+∞上恒成立，则函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，所以(1)(2)h h >，即24(1)(2)e ef f >，又因为()0f x >，所以根据24(1)(2)e e f f >有24(1)e (2)ef f >，即2(1)1(2)e f f >，所以21(1)1e (2)e f f <<，故选B. 【方法点晴】本题重点考查利用导数研究函数的单调性，另外，本题考查导数中构造函数这一类问题，根据题中条件及选项的提示，构造合理的函数，从而利用导数研究所构造的函数的单调性，可以求出需要的取值范围.构造函数法在导数和数列问题中被广泛应用，主要考查学生的转化思想，考查学生分析问题、解决问题的能力. 二、填空题13．在正项等比数列{}n a 中，已知21016a a =，488a a +=，则q = ． 13．【答案】1【解析】由题意得48210484816418a a a a a a q a a ==⎧⇒==⇒=⎨+=⎩.14．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x 为．14．【答案】1-15．已知球O 被平面α所截得的截面圆的面积为π，且球心O 到平面α的距离为O 的表面积为__________． 15．【答案】64π【解析】由平面α所截得的截面圆的面积为π，知截面圆的半径是1，则球O 的半径R =4=，所以球O 的表面积为24π64πS R ==，故答案为64π.【名师点睛】本题考查的知识点是球的表面积公式，由与球心距离为d 的平面截球所得的截面圆的面积是S ，我们易求出截面圆的半径r ，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，结合勾股定理，我们易求出该球的半径，即222R r d =+，进而求出球的表面积.16．已知直线2y b =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左支、右支分别交于B C 、两点，A 为右顶点，O 为坐标原点，若AOC BOC ∠=∠，则该双曲线的离心率为__________．16．你用了几分钟？有哪些问题？。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

专题05 数形结合法方法探究数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的. 在高考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过程复杂的函数、三角、解析几何等问题中，可以先作出有关函数的图象或者构造适当的几何图形，再利用图示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征进行直观分析，从而得出结论.比如：（1）在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了. （2）借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法. （3）处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路. （4）有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法. （5）线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题.从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用. （6）数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决. （7）解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中. （8）立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所以，我们一定要学好并应用好数形结合的方法. 经典示例【例1】（集合中的数形结合）已知集合A=22(,)1xyxy│，B=(,)xyyx│，则AB中元素的个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 【备考警示】对于点集问题，常表示的是某曲线上的点的集合，所以通过画图可以顺利解决此类问题.

【例2】（函数中的数形结合）对任意实数a，b定义运算“⊗”：,1,1bababaab,设21()(4)fxxx，若函数yfxk恰有三个零点，则实数k的取值范围是

A．(−2,1) B．[0,1] C．[−2,0) D．[−2,1) 【答案】D

【解析】由新定义可得2224,(1)(4)1()1,(1)(4)1xxxfxxxx，即24,23()1,23xxxfxxx或.其图象如图所示，所以由yfxk恰有三个零点可得，−1<−k≤2，所以−2≤k<1.故选D. 【备考警示】一般情况下，这种问题常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．【例3】（线性规划中的数形结合）不等式组1060yyxyx表示的平面区域的面积为 . 【答案】16 【解析】画出不等式组0601xyxyy表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为 184162.

【备考警示】对于线性规划中的区域面积问题，正确地画出平面区域的面积是正确求解的关键. 【例4】（向量中的数形结合）等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值为 A．45 B．35 C．45 D．35 【答案】A 【思路点拨】根据已知建立平面直角坐标系，将等腰直角三角形的两直角边所在直线作为x轴和y轴，分别设出三角形顶点和两直角边中点的坐标，再代入坐标求解两中线所对应的向量的数量积和模，进而求得夹角的余弦值. 【备考警示】涉及向量的坐标或几何意义时常通过画图进行解决反而更快捷.

【例5】（解析几何中的数形结合）已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为

_______________．

【答案】233 【解析】如图所示，作APMN，

因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线byxa上的点，且(,0)Aa，||||AMANb，而APMN，所以30PAN，点(,0)Aa到直线byxa的距离22||||1bAPba，在RtPAN△中，||cos||PAPANNA，代入计算得223ab，即3ab，由222cab得2cb，所以22333cbeab．【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 【备考警示】对于解析几何问题，常需要边读题边画图，找出基本量之间的基本关系才可以找准突破口. 拓展变式 1．函数f(x)=2x＋lg(x＋1) −2的零点有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B

解法二：在同一坐标系中作出h(x)=2−2x和g(x)=lg(x＋1)的图象，如图所示，由图象可知h(x)=2−2x和g(x)=lg(x＋1)有且只有一个交点，即f(x)=2x＋lg(x＋1)−2与x轴有且只有一个交点，即函数f(x)仅有一个零点．

2．不等式组1060yyxyx表示的平面区域的面积为 . 【答案】16 【解析】画出不等式组0601xyxyy表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则阴影部分的面积为184162. 3．已知ABC△是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC的最小值是 A．2 B．32 C．43 D．1 【答案】B 【解析】如图，以BC为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，

则(0,3)A，(1,0)B，(1,0)C，设(,)Pxy，所以(,3)PAxy，(1,)PBxy， (1,)PCxy，所以(2,2)PBPCxy，

22()22(3)22(PAPBPCxyyxy2

333)222，当3(0,)2P时，所求的最小值为

32，故选B．

【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路： ①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断； ②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．终极押题一、选择题 1．已知集合{|(2)(3)0}Axxx，{|10}Bxx*N，则ABI A．{1,2,3} B．{1,2} C．{2,3} D．{1} 【答案】B 【解析】依题意得，{|23}Axx，1,2,3,4,5,6,7,8,9B，所以ABI{1,2}，故选B. 2．已知复数z满足(34i)1iz，则复数z的虚部为 A．1i25 B．725 C．125 D．725 【答案】C

【解析】依题意得，1i(1i)(34i)7i34i(34i)(34i)25z7i2525，所以复数z的虚部为125，故选C. 3．如图是半径分别为1，2，3的三个同心圆，现随机向最大圆内抛一粒豆子，则豆子落入图中阴影部分的概率为

A．14 B．13 C．12 D．23 【答案】B

4．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线过圆22:460Ωxyxy的圆心，则双曲线C的离心率为

A．132 B．32

C．133 D．3 【答案】A 【解析】依题意得，圆22:460Ωxyxy的圆心坐标为(2,3)，代入双曲线的渐近线byxa中，

得23ba，即32ba，所以2131()2cbeaa，故选A. 5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“诵课倍增”就是其中一首：有个学生心性巧，一部孟子三日了；每日增添整一部，问君每日读多少？某老师据此编写了一道数学题目：一本书共有1533页，一位同学9天读完，所读页数逐日增加一倍，问这位同学第5天所读的页数为 A．24 B．48 C．64 D．96 【答案】B

6．已知一个简单几何的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．24π48 B．453416π2