偏导数几何意义
《高数课件23偏导数》课件
3. 隐函数偏导数
1 定义
隐函数是由方程表达的 函数，其中的某些变量 无法用其他变量来显式 表示。
2 隐函数偏导数的计
算
可以使用全微分或利用 偏导数链式法则来计算 隐函数的偏导数。
3 隐函数定理的应用
通过隐函数定理，可以 求得隐函数的导数，进 一步进行相关计算。
2
几何意义
偏导数表示函数在某一点沿着坐标轴的斜率，可用于描述曲面上某点的切线方向。
3
计算
可以利用基本的导数规则，如链式法则等，计算偏导数。
2. 高阶偏导数
定义ห้องสมุดไป่ตู้
高阶偏导数是对多元函数的多个变量进行多次求导得到的导数。
混合偏导数的概念
混合偏导数指对一个多元函数的某两个变量进行连续求导得到的偏导数。
混合偏导数的计算公式
2 泰勒公式的应用
泰勒公式可用于求函数的特定阶导数、函数在某一点的近似值等。
3 泰勒展开的计算方法
可以使用泰勒公式的展开和导数来计算函数在某一点的近似值。
6. 应用实例
1
实际问题的建模
通过建立数学模型，将实际问题转化
应用偏导数解决实际问题的例
2
为数学问题，进行相关计算。
子
利用偏导数可以求解实际问题中的最
4. 最值问题
极值的定义
极值是指函数在某个特定区间 上取得最大值或最小值的点。
求解极值的方法
最值问题的应用
可以使用导数测试、二阶条件、 拉格朗日乘数法等方法来求解 极值问题。
最值问题可应用于现实生活中 的优化场景，如最大化收益、 最小化成本等。
5. 泰勒公式
1 定义
《高等数学偏导数》课件
6. 总结
偏导数在数学中扮演着重要的角色，它不仅可以帮助我们解决实际问题， 还可以拓展我们对多元函数的理解。 随着技术的进步和研究的深入，偏导数的应用将愈发广泛。
7. 参考文献
• 常用高等数学 课件
让我们一起探索高等数学中的偏导数，了解它的定义、性质、应用和几何意 义。这是一门重要而有趣的数学概念，深入了解它将帮助我们更好地理解多 元函数和曲面切平面的关系。
1. 引言
什么是偏导数？偏导数是用来描述多元函数中某个自变量变化对应的函数 变化率的工具。 了解偏导数的应用和重要性将帮助我们解决实际问题，优化函数以及在工 程、经济学等领域中进行分析。
2. 偏导数的定义和求法
• 多元函数的概念 • 偏导数的定义 • 常见偏导数的求法
3. 偏导数的性质
• 可微性和连续性 • 混合偏导数的对称性 • 微分的链式法则
4. 偏导数的应用举例
1. 流量与速度 2. 梯度和方向导数 3. 泰勒公式及其应用
5. 偏导数的几何意义
• 曲面切平面 • 二阶微分与极值判定 • 条件极值
高阶复合偏导数的几何意义
高阶复合偏导数的几何意义
首先，一阶偏导数表示了函数在某一点处的切线斜率或者曲面的切平面斜率。
它告诉我们函数在该点的局部变化率和方向。
而高阶复合偏导数则进一步描述了函数的曲率和曲面的弯曲程度。
其次，二阶偏导数可以用来判断函数的驻点和拐点。
在一元函数中，二阶导数的正负性可以告诉我们函数的凸凹性质。
在多元函数中，二阶偏导数的正负性可以用来判断函数的极值和拐点。
具体来说，当二阶偏导数为正时，函数在该点处呈现局部最小值；当二阶偏导数为负时，函数在该点处呈现局部最大值；而当二阶偏导数为零时，需要进一步分析高阶偏导数来确定函数的极值和拐点。
此外，高阶复合偏导数还可以用来描述曲线和曲面的形状。
例如，三阶偏导数可以用来判断曲线的弯曲程度，四阶偏导数可以用来判断曲面的弯曲性质。
通过分析高阶偏导数的值，我们可以了解函数在不同点处的曲率和曲面的形状特征。
最后，高阶复合偏导数还可以应用于物理学中的场论和流体力学等领域。
例如，在电磁场中，四阶偏导数可以描述电场和磁场的相互作用；在流体力学中，高阶偏导数可以描述流体的流动特性和
湍流的产生机制。
综上所述，高阶复合偏导数在几何中具有重要的意义。
它们可以帮助我们理解函数的曲率、形状和变化特征，以及应用于物理学和工程学中的各种问题。
混合二阶偏导数的几何意义
混合二阶偏导数的几何意义在数学中，混合二阶偏导数是一个重要的概念，它描述了多元函数的曲率和曲面的性质。
混合二阶偏导数的几何意义有助于我们理解函数的变化趋势和空间曲面的特征。
首先，让我们来了解一下混合二阶偏导数的定义。
对于一个多元函数f(x,y)，它的混合二阶偏导数可以通过对两个变量同时求导两次得到。
例如，假设我们有一个函数f(x,y)，我们首先对x求偏导数，然后再对y求偏导数，这样就得到了混合二阶偏导数。
混合二阶偏导数可以帮助我们理解函数在某一点的曲率。
当混合二阶偏导数为正时，函数在该点处呈现凸曲面；当混合二阶偏导数为负时，函数在该点处呈现凹曲面。
这种凸凹性质告诉我们函数在该点处的变化趋势。
另外，混合二阶偏导数还可以帮助我们判断函数的局部极值点。
当混合二阶偏导数的值为正时，函数在该点处呈现局部最小值；当混合二阶偏导数的值为负时，函数在该点处呈现局部最大值。
这种性质可以帮助我们找到函数的极值点，从而对函数的最优解进行求解。
混合二阶偏导数的几何意义还体现在描述曲面的形状和特征上。
通过计算混合二阶偏导数，我们可以确定曲面的拐点和鞍点。
拐点是指曲面上的点，其混合二阶偏导数在某一方向上为正，而在另一方向上为负。
拐点处曲面的形状发生了明显的变化，可以帮助我们确定曲面的转折点。
而鞍点则是指曲面上的点，其混合二阶偏导数在各个方向上都有正负变化。
鞍点处曲面同时呈现凹和凸的性质，这种特殊的形状为我们提供了关于曲面的重要信息。
总结起来，混合二阶偏导数的几何意义体现在曲率、凸凹性、极值点、拐点和鞍点等方面。
它们是我们理解函数的变化趋势和空间曲面的特征的重要工具。
通过混合二阶偏导数的计算和分析，我们可以更好地把握函数的性质，为问题的解决提供有力的数学依据。
偏导数
偏导数偏导数的概念偏导数的几何意义高阶偏导数偏导数的概念定义 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时，相应的函数 有增量 ()()0000,,f x x y f x y +∆-，如果()()00000,,limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数(,)f x y 在点00(,)x y 处对x 的偏导数,记作00x x y y z x ==∂∂，0x x y y f x==∂∂，00x x xy y z ==或()00,x f x y .类似地，函数(,)f x y 在点00(,)x y 处对y 的偏导数为x x y y z y==∂∂，0x x y y f y ==∂∂，00x x yy y z ==或()00,y f x y .()()00000,,limy f x y y f x y y∆→+∆-∆，记作如果函数(,)f x y 在区域D 内任一点(,)x y 对x的偏导数都存在,则这个偏导数就是x 、y 的函数，它就称为函数(,)z f x y =对x 的偏导函数, 记作z x ∂∂，f x∂∂，x z 或(),x f x y .类似地，可定义函数(,)z f x y =对y 的偏导函数,记作z y ∂∂，fy∂∂，y z 或(),y f x y . 多元函数的偏导函数可简称为偏导数.例 求22(,)3z f x y x xy y ==++在点(1,2)处的偏导数.解把y 看作常数, 对x 求导:(1,2)x f 2132=⨯+⨯8=， (,)x f x y 23x y =+,将(1,2)代入，得把x 看作常数, 对y 求导:(,)y f x y 32x y =+,(1,2)y f 3122=⨯+⨯7=.偏导数的几何意义问题：一元函数的导数在几何上可表示平面曲线在一点处切线的斜率，二元函数的偏导数表示什么？设00000(,,(,))M x y f x y 为曲面(,)z f x y =上一 点，偏导数()00,x f x y 就是曲面被平面0y y =所截得 的曲线在点0M 处的切线0x M T 对x 轴的斜率.偏导数()00,y f x y 就 是曲面被平面0x x =所截 得的曲线在点0M 处的切 线0y M T 对y 轴的斜率.问题：在一元函数中,若函数在某点可导,则它在该点必连续,多元函数也有类似性质吗？注意：对多元函数而言,即使函数的各个偏导数存在,也不能保证函数在该点连续.例 试证函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩的偏导数(0,0)x f 、(0,0)y f 都存在，但(,)f x y 在(0,0)不连续.证明(0,0)x f 0(0,0)(0,0)lim x f x f x∆→+∆-=∆000lim x x∆→-=∆0=， (0,0)y f 0(0,0)(0,0)lim y f y f y∆→+∆-=∆000limy y ∆→-=∆0=. 22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩由于极限()()22,0,0limx y xyx y→+不存在，(,)f x y 在(0,0) 不连续.高阶偏导数设函数(,)f x y 在区域D 内具有偏导数如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数(),x z f x y y ∂=∂，(),y z f x y y∂=∂， (,)z f x y =的二阶偏导数.则在D 内(),x f x y 、(),y f x y 都是x 、y 的函数.按照对变量求导次序的不同,共有下列四个二阶二阶偏导数:()22,xx z z f x y x x x ∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂⎝⎭， ()2,xy z zf x y y x x y∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，()2,yx z z f x y x y y x ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂∂⎝⎭， ()22,yy z zf x y y y y⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭. 其中第二、第三两个偏导称为混合偏导数.类似地,可以定义三阶、四阶…以及n阶偏导数,我们把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例 设322433z x x y xy x y =+--+，求22z x∂∂，2z y x ∂∂∂，2z x y ∂∂∂及22zy ∂∂. 解 z x∂∂2212631x xy y =+--,z y ∂∂2361x xy =-+，22zx∂∂246x y =+,22z y ∂∂6x =-,2z x y ∂∂∂66x y =-,2zy x∂∂∂66x y =-.定理 如果函数(,)f x y 的两个二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂、2z y x∂∂∂ 在区域D 内连续，则在该区域内有 22z z y x x y ∂∂=∂∂∂∂.推广高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求偏导的次序无关.。
9.2偏导数总结
三、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
2 z z 2 f xx ( x , y ), x x x
2 z z 2 f yy ( x, y ) y y y
z 2 z z 2 z f yx ( x, y ) f xy ( x, y ), x y yx y x xy
RT p RT 2 ; 证 p V V V RT V R T V pV V 偏导数的记号只是一个整体记号 ; ; T ,不能像 p T p p R R
一元函数的导数那样可看成是分子与分母的 p V . T RT R V RT 微分的商
V T p
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) lim x 0 x
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y )在点( x0 , y0 )处 对x的偏导数, 记为 f , f x ( x0 , y0 ), x x x0
y y0
z x
x x0 y y0
z f , z y 或 f y ( x, y ). , y y
求多元函数的偏导数 并不需要新的方法, 如求f x ( x , y ), 只需将y 看作常量, 利用一元函数
的求导法对x求导即可. 例 求 z x 2 y sin y 在点(1,0)处的两个偏导数. z 解 z 2 xy, x 2 cos y , x y z z 0, 2. x (1,0 ) y ( 1 , 0 ) 例 求 z x y ( x 0) 的偏导数. z z 解 yx y 1 , x y ln x x y
偏导数知识点总结
偏导数知识点总结一、偏导数的定义1.1 偏导数的定义在一元函数的导数中，我们知道函数在某一点上的导数是该点上切线的斜率，表示函数的变化速率。
而对于多元函数而言，其变量不再只有一个，而是有多个自变量。
因此，多元函数的变化速率也需要沿着各个自变量方向来进行分析。
这就引出了偏导数的概念。
设函数z=f(x,y)表示一个二元函数，如果z在点(x0,y0)处的偏导数存在，那么这个偏导数就表示函数z在点(x0,y0)处对自变量x或y的变化率。
1.2 偏导数的符号表示一般来说，对于函数z=f(x,y)而言，其偏导数有以下表示方法：∂f/∂x 表示f对x的偏导数∂f/∂y 表示f对y的偏导数其中，∂代表“偏”，表示“对于某一变量的偏导数”。
1.3 偏导数的几何意义对于二元函数z=f(x,y)而言，其偏导数在点(x0,y0)处有着直观的几何意义。
对于∂f/∂x来说，其表示函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处，对于x的变化率。
换句话说，就是当x在点(x0,y0)处做微小的增量Δx时，函数z在这一点的斜率。
这也为我们理解偏导数提供了直观的图形化方式。
二、偏导数的计算方法2.1 偏导数的计算步骤在计算偏导数时，需要按照以下步骤进行：（1）首先确定函数的变量和导数所对应的自变量。
（2）对于多元函数z=f(x,y)来说，在计算偏导数时，只需将其他自变量视为常数进行计算。
（3）分别对每一个自变量进行求偏导数，从而得出偏导数的值。
2.2 偏导数的计算规则在计算偏导数时，有以下几个基本的计算规则：（1）常数求导规则：对于常数c，其偏导数为0，即∂c/∂x=0，∂c/∂y=0。
（2）一元函数求导规则：对于多元函数f(x,y)=g(x)h(y)，其偏导数可用一元函数求导法则计算。
（3）和差积商的偏导数计算：对于以上引用的复合函数，其偏导数的计算可利用和差积商的法则计算，具体可参考一元函数的求导法则。
（4）高阶偏导数的计算：与一元函数的高阶导数一样，多元函数的高阶偏导数也可以递归地计算，即先求一阶偏导数，然后再计算其偏导数的偏导数，直至得出所求的高阶偏导数。
第二节 偏导数
f ( x Δx , y , z) f ( x , y , z)
fx(x
,
y
,
z)
lim
Δx 0
Δx
f ( x , y Δy , z) f ( x , y , z)
fy(x
,
y
,
z)
lim
Δy 0
Δy
f ( x , y , z Δz) f ( x , y , z)
fz(x
,
y
,
z)
lim
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法
先代后求 先求后代 利用定义
逐次求导法
(与求导顺序无关时， 应选择方便的求导顺序)
第九章 第二节
24
f
(
x,
y)
x2
xy
y
2
( x , y) (0 , 0)
0 ( x , y) (0 , 0)
依定义知在 (0 , 0) 处，fx (0 , 0) f y (0 , 0) 0
但函数在该点处并不连续，
所以偏导数存在 连续
第九章 第二节
13
例5 理想气体的状态方程 pV = RT (R 为常数) ，
y( y2 x2 ) ( x2 y2 )2
当 ( x , y) (0 , 0) 时，
f (0 Δx , 0) f (0 , 0)
fx
(0
,
0)
lim
Δx0
Δx
0
第九章 第二节
11
fx(x
,
y)
y(
y2
x2
)
偏导数
[ f ( x, y ) ] |' x= x , f y ( x, y ) = [ f ( x, y ) ] |' f x ( x, y ) = y= y
常数 = [ f ( x, y ) ] ' x 常数
f ( x, y ) ] ' = [ y
注意： ∂z ∂z 偏导数的符号 和 应看成一个整体，不能 ∂x ∂y 将它们看成 ∂z 与 ∂x 或 ∂y 的商. 例1 解： 求 z = x 2 sin 2 y 的偏导数.
∂r = ∂z
y y2 + x2 + z 2
z z 2 + y2 + x2
y = r z = r
例5 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)， 求证： ∂p ⋅ ∂V ⋅ ∂T = −1. ∂V ∂T ∂p 证:
∵ ∵ ∵
RT p= V
RT V= p
∴ ∴ ∴
∂p RT =− ∂V V2 ∂V R = ∂T p
偏导数的几何意义
z = f ( x, y)
∂z ∂x
x= x 0 y= y 0
复习一元函数导数
z
Tx
L
= [ f ( x , y0 )]'| x = x
曲面z = f (x,y)
0
M
平面 y =y0
固定 y =y0 得交线
⎧ z = f ( x , y０) ⎧ z = f ( x, y) 即⎨ L： ⎨ ⎩ y = y0 ⎩ y = y0
∂z = 2 x sin 2 y ∂x
∂z = x 2 cos 2 y ⋅ 2 ∂y
= 2 x 2 cos 2 y
x ∂z 1 ∂z + = 2 z. 例2 设 z = x ( x > 0, x ≠ 1) ，求证： y ∂x ln x ∂y
第九章 第2节 偏导数
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点M0 处的切线M0Ty 对 y 轴
的斜率.
20
二、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
f (x,
y)
2 xy
f x (1,1) f x ( x, y) x1 2 x y x1 2 7
y 1
y 1
(2) 实际求偏导数不需新的方法，因为这里只有
一个自变量在动，另一个自变量可以看做固 定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题， 比如：
d fx (x0 , y0 ) dx ( f (x, y0 ) ) xx0 ,
d f y (x0 , y0 ) dy ( f (x0 , y ) ) yy0 .
求函数的偏导函数也是类似
8
(3)偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
fx(x, y,z)
lim
x0
f(x
x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
连续不一定偏导数存在, 偏导数存在也不一定连续
18
4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
19
几何意义:
d fx (x0 , y0 ) dx ( f (x, y0 ) ) xx0 ,
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点M0 处的切线 M0Tx 对 x 轴
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偏导数几何意义
偏导数是多元函数微积分中的一个重要概念，它用来描述函数在某个方向上的变化率。
偏导数的几何意义主要包括以下几个方面：
1. 偏导数的定义
偏导数是指在多元函数中，固定其他变量不变，仅对某个变量进行微小的变化时，函
数的变化率。
如果函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$在$x_i$处的偏导数存在，那么它的偏导数
可以表示为$f_{x_i}(x_1,x_2,...,x_n)$。
对于二元函数$f(x,y)$，$f_x$表示函数在
$x$轴方向上的变化率，$f_y$表示函数在$y$轴方向上的变化率。
2. 偏导数与方向导数
偏导数描述了函数在某个方向上的变化率，因此它与方向导数密切相关。
方向导数是
指函数在某个方向上的变化率，可以表示为$\frac{\partial f}{\partial
\boldsymbol{u}}$，其中$\boldsymbol{u}$是方向向量。
在某个点上，如果函数在所有方
向上的变化率都存在，那么这些变化率就构成了一个向量，称之为梯度向量。
3. 偏导数与曲面
偏导数可以用来描述曲面的性质。
对于任意的曲面，如果它在某个点处的偏导数存在，那么这个曲面在这个点处有一个唯一的切平面。
这个切平面与$x_i$轴的夹角就是
$f_{x_i}$的值，它描述了曲面在这个方向上的变化率。
使用偏导数可以求解曲面的最大值和最小值。
对于一个具有偏导数的函数
$f(x_1,x_2,...,x_n)$，可以使用偏导数方法求得$f$的最值点，即令所有$n$个偏导数都
等于零，然后求解方程组。
最大值和最小值点就是$f$的极值点。
偏导数还可以用来描述曲线的性质。
考虑一个函数$f(x,y)$和一条曲线$C$，如果曲
线$C$落在$f=0$的等高线上，那么曲线$C$在这个点处的斜率等于$f$在这个点处的梯度向
量在曲线$C$方向的投影，即$\nabla f(x,y)\cdot\frac{d\boldsymbol{x}}{dt}$。
这个式子描述了曲线$C$在这个点处的变化率，它可以用来求解曲线的切线。