专题05直线、平面垂直的判定和性质(原卷版)-2021年高考数学(理)立体几何突破性讲练

2021年高考数学（理）立体几何突破性讲练
05直线、平面垂直的判定和性质
一、考点传真：
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 二、知识点梳理：
1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：
直线l 与平面α
内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]
二、常用结论汇总
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 三、例题：
例1.（2020年江苏卷，15）在三棱柱1111ABC A B C AB AC B C -⊥⊥中，，平面,ABC E F ,分别是1AC B C ,的中点.
（1）求证：//EF 平面11AB C ； （2）求证：平面1AB C ⊥平面1ABB .
例2. （2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.
（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；
（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥的体积．
11E BB C C -
例3. (2019全国III 文19）图1是由矩形ADEB 、ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，
BE =BF =2，∠FBC =60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.
（1）证明图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.
例4. （2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点．
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；
（Ⅲ）棱PB 上是否存在点F ，使得CF ∥平面PAE ？说明理由．
例5. （2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥-P ABC
中，==AB BC
4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．
(1)证明：PO ⊥平面ABC ；
Rt
△P ABCD -PA
⊥O M
P
C
B
A
(2)若点M 在棱BC 上，且2 MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．
例6. （2018全国卷Ⅲ）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D
的点．
(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．
四、巩固练习：
1．若m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α B ．若m ∥α，n ⊥m ，则n ⊥α
C ．若m ∥α，n ∥α，m ⊂β，n ⊂β，则α∥β
D ．若m ∥β，m ⊂α，α∩β＝n ，则m ∥n
2．若α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A ．若α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则α⊥β B ．若α⊥β，α∩β＝m ，α∩γ＝n ，则m ⊥n
C ．若m 不垂直于平面α，则m 不可能垂直于平面α内的无数条直线
D ．若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β 3．如图，四棱锥P ­ABCD 中，△PAB 与
△PBC 是正三角形，平面PAB ⊥平面PBC ，AC ⊥BD ，则下列结论不一定成立的是
( )
A ．P
B ⊥A
C B ．P
D ⊥平面ABCD C ．AC ⊥PD
D ．平面PBD ⊥平面ABCD
4．设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内两条相交直线，则α⊥β的一个充分不必要
A
B
C
D M
条件是( )
A．l1⊥m，l1⊥n B．m⊥l1，m⊥l2
C．m⊥l1，n⊥l2 D．m∥n，l1⊥n
5．在下列四个正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )
6．如图，在斜三棱柱ABC­A 1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在( )
A．直线AC上 B．直线AB上
C．直线BC上 D．△ABC内部
7．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有________．
8．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．
9．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，
∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
10．如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为线段EC上(端点除外)一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．
11．如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，
AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中点．
(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)若PC ＝2，求三棱锥C ­PAB 的高．
12．如图，四棱锥P ­ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB . (1)求证：CD ⊥AP ；
13.如图，在三棱锥D ­ABC 中，AB ＝2AC ＝2，∠BAC ＝60°，AD ＝6，CD ＝3，平面ADC ⊥平面ABC . (1)证明：平面BDC ⊥平面ADC ； (2)求三棱锥D ­ABC 的体积．
14．如图所示，△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，且AB ⊥BC ，AB ＝BC
＝2，∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中点，点N 在线段AC 上． (1)若AN NC
＝λ，且DN ⊥AC ，求λ的值； (2)在(1)的条件下，求三棱锥B ­DMN 的体积．。