专题05直线、平面垂直的判定和性质(原卷版)-2021年高考数学(理)立体几何突破性讲练
直线、平面垂直的判定及其性质-2021新高考数学自主复习优质课件(共39张PPT)

则点M即为所求.∵MF=GK= DC= EF,即点M是靠近点E的四等分点.
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精编优质课PPT第9章第4节直线、平面 垂直的 判定及 其性质 -2021 年新高 考数学 自主复 习课件( 共39张 PPT)( 获奖课 件推荐 下载)
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以AB⊥DE.因为D,E分别为棱AB,A1B1的中点,所以AD=A1E=1,且AD∥A1E.故四边形AA1ED
为平行四边形,所以DE∥AA1,且DE=AA1=2 ,所以AA1⊥A3B,
3
3
3
即四边形AA1B1B为矩形.因为A1B0=2,AA1=2 A,C1所2-以AD矩2 形AA1B1B的面积S=2×2 =4
第4节 直线、平面垂直的判定及其性质
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第4节
直线、平面垂直的判定及其性质
(2)重要结论①过一点有且只有一条直线与已知平面垂直;②过一点有且只有一 个平面与已知直线垂直.(3)直线与平面垂直的判定定理
2 2.(1)求证:平面DHE⊥平面BDF.(2)在EF上是否存在点M,使MG∥平面BCF?如果存在,
确定点M的位置;如果不存在,请说明理由.
2021年高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第54课 直线与平面垂直的判定和性质 文(含解析)

2021年高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第54课 直线与平面垂直的判定和性质 文(含解析)1.直线与平面垂直(1)定义:如果直线与平面内的 任意一条 直线都垂直,那么就说直线与平面互相垂直.记作(2)直线与平面垂直的判定例1. (xx·广东卷)如图1,在边长为1的等边三角形ABC 中,D ,E 分别是AB ,AC 边上的点,AD =AE ,F 是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将△ABF 沿AF 折起,得到如图2所示的三棱锥A -BCF ,其中BC =22. (1)证明:DE //平面BCF ;(2)证明:CF ⊥平面ABF ; (3)当AD =23时,求三棱锥F -DEG 的体积V F -DEG .(1)证明:在等边三角形ABC 中,AD =AE . ∴AD DB =AE EC,在折叠后的三棱锥ABCF 中也成立, ∴DE ∥BC ,∵DE ⊄平面BCF,BC ⊂平面BCF ,∴DE ∥平面BCF .(2)证明:在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF ⊥BC ,①BF =CF =12.∵在三棱锥A -BCF 中,BC =22,∴BC 2=BF 2+CF 2, ∴CF ⊥BF ,②∵BF ∩CF =F ,∴CF ⊥平面ABF .(3)解析:由(1)可知GE ∥CF ,结合(2)可得GE ⊥平面DFG . ∴V F -DEG =V E -DFG =13×12·DG ·FG ·GE =13×12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32×13=3324.练习:如图,是圆的直径,垂直于圆所在的平面,是圆上的点.(1)求证:平面;(2)设为的中点,为的重心,求证:平面∥平面.【解析】(1)证明:∵是圆的直径,∴,∵平面,平面,QP∴, ∵,∴平面.(2)连结并延长交于,连结, ∵为的重心,∴为的中点, ∵为的中点,∴∥, ∵平面,平面 ∴∥平面∵为的中点,为的中点,∴∥, ∵平面,平面 ∴∥平面,而∥平面 ∵,平面,平面,∴平面∥平面,即平面∥平面(3)直线与平面垂直的性质例2. 如图,三棱柱ABC A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=60°. (1)证明:AB ⊥A 1C ;(2)若AB =CB =2,A 1C =6,求三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积. 【解】(1)证明:A取AB 的中点O ,连接OC ,OA 1,A 1B . 因为CA =CB ,所以OC ⊥AB . 由于AB =AA 1,∠BAA 1=60°, 故△AA 1B 为等边三角形, 所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1=O ,所以AB ⊥平面OA 1C . 又A 1C ⊂平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C .(2)由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形,所以OC =OA 1= 3. 又A 1C =6,则A 1C 2=OC 2+OA 21,故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB =O ,所以OA 1⊥平面ABC ,OA 1为三棱柱ABC A 1B 1C 1的高. 又△ABC 的面积S △ABC =3,故三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ·OA 1=3. 练习:如图,在四棱锥中,底面是平行四边形,, ,平面. 求证:;证明:∵平面,平面, ∴. ∵,, ∴222260BD AB AD AB AD cos ︒=+-⋅⋅. ∴ ∴.∵,平面,平面, ∴平面. ∵平面, ∴. 2.直线与平面所成的角(1)一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角,叫做斜线和这个平面所成的角. (2)直线与平面所成的角的范围是(3)如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角. 练习:若四棱锥的所有棱长均为2,则侧棱与底面所成的角为 , 斜高与底面底面所成的角的正切值为第54课 直线与平面垂直的判定和性质作业题1.一条直线与一个平面垂直的条件是 ( ) A. 垂直于平面内的一条直线 B. 垂直于平面内的两条直线 C. 垂直于平面内的无数条直线 D. 垂直于平面内的两条相交直线 解析:D2. 如果平面α外的一条直线a与α内两条直线垂直,那么 ( )A. a⊥αB. a∥αC. a与α斜交D. 以上三种均有可能解析:D3. 已知两条不同的直线m、n,两个不同的平面a、β,则下列命题中的真命题是()A.若m⊥a,n⊥β,a⊥β,则m⊥nB.若m⊥a,n∥β,a⊥β,则m⊥nC.若m∥a,n∥β,a∥β,则m∥nD.若m∥a,n⊥β,a⊥β,则m∥n【答案】A【解析】试题分析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中记ABCD为平面a,CDC1D1为平面β,直线AA1为m,直线BB1为n,则m∥n,因此选项B为假;同理选项D也为假,取平面r∥a∥β,则平面内的任意一条直线都可以为直线m,n,因此选项C为假,答案选A.考点:空间几何中直线与直线的位置关系4. 如图,BC是Rt△ABC的斜边,AP⊥平面ABC,连结PB、PC,作PD⊥BC于D,连结AD,则图中共有直角三角形_________个。
新课程2021高考数学一轮复习第七章立体几何第5讲直线平面垂直的判定与性质课件

(4)已知 PD 垂直于菱形 ABCD 所在的平面,连接 PA,PB,PC,AC, BD,则一定互相垂直的平面有__4____对.
解析 由于 PD⊥平面 ABCD,故平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PDB⊥ 平面 ABCD,平面 PDC⊥平面 ABCD,由于 AC⊥平面 PDB,所以平面 PAC ⊥平面 PDB,共 4 对.
解析 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,连接 BC1,根据线面角的 定义可知∠AC1B=30°,因为 AB=2,BACB1=tan30°,所以 BC1=2 3,从而 求得 CC1= BC21-BC2=2 2,所以该长方体的体积为 V=2×2×2 2=8 2. 故选 C.
角度 2 直线与平面垂直的判定和性质 2.(2019·镇江模拟)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方 形,AC 与 BD 交于点 O,PC⊥底面 ABCD,E 为 PB 上一点,G 为 PO 的中 点.
又 SE∩DE=E, ∴AB⊥平面 SDE. 又 SD⊂ 平面 SDE,∴AB⊥SD. 在△SAC 中,∵SA=SC,D 为 AC 的中点, ∴SD⊥AC. 又 AC∩AB=A,∴SD⊥平面 ABC.
(2)若 AB=BC,求证:BD⊥平面 SAC.
证明 (2)由于 AB=BC,则 BD⊥AC, 由(1)可知,SD⊥平面 ABC, 又 BD⊂ 平面 ABC,∴SD⊥BD, 又 SD∩AC=D,∴BD⊥平面 SAC.
证明 (2)在四棱锥 P-ABCD 中,AB= 2PC, ∵四边形 ABCD 是正方形,∴OC= 22AB,∴PC=OC, ∵G 为 PO 的中点,∴CG⊥PO. 又 PC⊥底面 ABCD,BD⊂ 底面 ABCD,∴PC⊥BD.
而四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∵AC,PC⊂ 平面 PAC,AC∩PC=C, ∴BD⊥平面 PAC, 又 CG⊂ 平面 PAC,∴BD⊥CG. ∵PO,BD⊂ 平面 PBD,PO∩BD=O, ∴CG⊥平面 PBD.
2021届高考数学一轮总复习第8章立体几何第5节直线平面垂直的判定及性质课件文ppt

解析:选 B 由题意得 BC⊥AC,因为 VA⊥平面 ABC,BC⊂平面 ABC,所以 VA⊥BC. 因为 AC∩VA=A,所以 BC⊥平面 VAC.因为 BC⊂平面 VBC,所以平面 VAC⊥平面 VBC. 故选 B.
5.设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m, 则“α⊥β”是“a⊥b”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既 不充分也不必要”)条件.
‖基础自测‖ 一、疑误辨析 1.判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直,则 l⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( ) (3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( ) (4)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线,则 α⊥β.( )
②中,连接 A1C1,EC1,在△A1EC1 中,∠EA1C1 不是直角,所以 A1E 与 AC 不垂直, 所以②不正确;
③在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BD⊥平面 ACC1A1,而 A1E⊄平面 ACC1A1,所以 A1E 与 BD 不垂直,所以③不正确;
④在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC1⊥平面 A1B1CD,A1E⊂平面 A1B1CD,所以 A1E ⊥BC1,故正确结论的序号为④.
解析:选 A 因为 DD1⊥平面 ABCD,所以 AC⊥DD1. 又因为 AC⊥BD,DD1∩BD=D, 所以 AC⊥平面 BDD1B1. 因为 OM⊂平面 BDD1B1,所以 OM⊥AC. 设正方体的棱长为 2, 则 OM= 1+2= 3,MN= 1+1= 2, ON= 1+4= 5, 所以 OM2+MN2=ON2,所以 OM⊥MN.故选 A.
2021届高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲直线、平面垂直的判定与性质课件

4.二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角.从 二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是 直角的二面角叫做直二面角.
1.(2019 年北京)已知 l,m 是平面α外的两条不同直线.给出 下列三个论断:
①l⊥m;②m∥α;③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论, 写出一个正确的命题:____________________________.
化归到“线线垂直”,观察与分
3.能运用已获得的结论证明一些空间位 析几何体中线与线的关系是解
置关系的简单命题
题的突破口
1.直线与平面垂直 项目 图形
条件
结论
a⊥b,b⊂α(b 为α内的任意一条直线) a⊥α
判定
a⊥m,a⊥n,m,n⊂α,m∩n=O a⊥α
a∥b,a⊥α
b⊥α
a⊥α,b⊂α
a⊥b
性质
AB 与 CD 成 45°角;D 中,AB 与 CD 夹角的正切值为 2.
4.(2019 年浙江模拟)已知互相垂直的平面α,β交于直线 l.
若直线 m,n 满足 m∥α,n⊥β,则( C )
A.m∥l
B.m∥n
C.n⊥l
D.m⊥n
解析:∵α∩β=l,∴l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选 C.
考点 1 直线与平面垂直的判定与性质 例 1:(1)如图 8-5-1,PA ⊥⊙O 所在平面,AB 是⊙O 的直 径,C 是⊙O 上一点,AE⊥PC,AF⊥PB.给出下列结论:①AE ⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面 PBC.其中真命题 的序号是__________.
解析:将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个 命题:
2021年高考数学(理)一轮复习讲义 第8章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质

第5讲直线、平面垂直的判定与性质一、知识梳理1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a,b⊂αa∩b=Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β=al⊥a⇒l⊥α(1)直线与平面所成的角①定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角,如图,∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角.②线面角θ的范围:θ∈⎣⎡⎦⎤0,π2. (2)二面角①定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.如图的二面角,可记作:二面角α-l -β或二面角P -AB -Q .②二面角的平面角如图,过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ,AO ⊥l ,则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角.③二面角的范围设二面角的平面角为θ,则θ∈[0,π]. ④当θ=π2时,二面角叫做直二面角.常用结论1.线线、线面、面面垂直间的转化2.两个重要定理 (1)三垂线定理在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.(2)三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直.3.重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直.二、习题改编1.(必修2P73练习T1改编)下列命题中错误的是________(填序号).①如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β②如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β③如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ④如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析:对于④,若平面α⊥平面β,则平面α内的直线可能不垂直于平面β,即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内,其他选项均是正确的.答案:④2.(必修2P67练习T2改编)在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A=PB=PC,则点O是△ABC的________心;(2)若P A⊥PB,PB⊥PC,PC⊥P A,则点O是△ABC的________心.解析:(1)如图1,连接OA,OB,OC,OP,在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,P A=PC=PB,所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心.(2)如图2,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于点H,D,G.因为PC⊥P A,PB⊥PC,P A∩PB=P,所以PC⊥平面P AB,又AB⊂平面P AB,所以PC⊥AB,因为AB⊥PO,PO∩PC=P,所以AB⊥平面PGC,又CG⊂平面PGC,所以AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高,即O为△ABC的垂心.答案:(1)外(2)垂一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)直线a⊥α,b⊥α,则a∥b.()(4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α.()(5)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.()(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×二、易错纠偏常见|K(1)忽略线面垂直的条件致误;误区(2)忽视平面到空间的变化致误.1.“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件.解析:根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面α垂直”,反之则可以,所以应是必要不充分条件.答案:必要不充分2.已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a与c的位置关系为________.解析:若a,b,c在同一个平面内,由题设条件可得a∥c;若在空间中,则直线a与c 的位置关系不确定,平行,相交,异面都有可能.答案:平行,相交或异面线面垂直的判定与性质(多维探究)角度一线面垂直的证明如图所示,在四棱锥P ABCD 中,AB ⊥平面P AD ,AB ∥CD ,PD =AD ,E 是PB 的中点,F 是DC 上的点,且DF =12AB ,PH 为△P AD 中AD 边上的高.求证:(1)PH ⊥平面ABCD ; (2)EF ⊥平面P AB .【证明】 (1)因为AB ⊥平面P AD ,PH ⊂平面P AD ,所以PH ⊥AB . 因为PH 为△P AD 中AD 边上的高,所以PH ⊥AD .因为AB ∩AD =A ,AB ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,所以PH ⊥平面ABCD .(2)如图,取P A 的中点M ,连接MD ,ME .因为E 是PB 的中点,所以ME 綊12AB .又因为DF 綊12AB .所以ME 綊DF ,所以四边形MEFD 是平行四边形, 所以EF ∥MD .因为PD =AD ,所以MD ⊥P A . 因为AB ⊥平面P AD ,所以MD ⊥AB . 因为P A ∩AB =A ,所以MD ⊥平面P AB , 所以EF ⊥平面P AB .角度二 线面垂直性质的应用如图,在三棱锥A -BCD 中,AB ⊥AD ,BC ⊥BD ,平面ABD ⊥平面BCD ,点E ,F (E 与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD .求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.【证明】(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.(1)判定线面垂直的四种方法(2)判定线线垂直的四种方法如图所示,在四棱锥PABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,P A=AB=BC,E 是PC的中点.证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.证明:(1)在四棱锥P-ABCD中,因为P A⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以P A⊥CD.因为AC⊥CD,P A∩AC=A,所以CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC,所以CD⊥AE.(2)由P A=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=P A.因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.因为P A⊥底面ABCD,所以P A⊥AB.又因为AB⊥AD且P A∩AD=A,所以AB⊥平面P AD,而PD⊂平面P AD,所以AB ⊥PD .又因为AB ∩AE =A , 所以PD ⊥平面ABE .面面垂直的判定与性质(典例迁移)(一题多解)如图,四棱锥P -ABCD 中,AB ⊥AC ,AB ⊥P A ,AB ∥CD ,AB =2CD ,E ,F ,G ,M ,N 分别为PB ,AB ,BC ,PD ,PC 的中点.(1)求证:CE ∥平面P AD ; (2)求证:平面EFG ⊥平面EMN .【证明】 (1)法一:取P A 的中点H ,连接EH ,DH .又E 为PB 的中点, 所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ,所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形, 所以CE ∥DH .又DH ⊂平面P AD ,CE ⊄平面P AD . 所以CE ∥平面P AD .法二:连接CF .因为F 为AB 的中点,所以AF =12AB .又CD =12AB ,所以AF=CD.又AF∥CD,所以四边形AFCD为平行四边形.因此CF∥AD.又CF⊄平面P AD,AD⊂平面P AD,所以CF∥平面P AD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥P A.又EF⊄平面P AD,P A⊂平面P AD,所以EF∥平面P AD.又因为CF∩EF=F.故平面CEF∥平面P AD.又因为CE⊂平面CEF,所以CE∥平面P AD.(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥P A,又AB⊥P A,所以AB⊥EF.同理可得AB⊥FG.又EF∩FG=F,EF⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,因此AB⊥平面EFG.又M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD.又AB∥CD,所以MN∥AB,所以MN⊥平面EFG.又MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.【迁移探究1】(变问法)在本例条件下,证明:平面EMN⊥平面P AC. 证明:因为AB⊥P A,AB⊥AC,且P A∩AC=A,所以AB⊥平面P AC.又MN∥CD,CD∥AB,所以MN∥AB.所以MN⊥平面P AC.又MN⊂平面EMN,所以平面EMN⊥平面P AC.【迁移探究2】(变问法)在本例条件下,证明:平面EFG∥平面P AC.证明:因为E,F,G分别为PB,AB,BC的中点,所以EF∥P A,FG∥AC,又EF⊄平面P AC,P A⊂平面P AC,所以EF∥平面P AC.同理,FG∥平面P AC.又EF∩FG=F,所以平面EFG∥平面P AC.证明面面垂直的两种常用方法(1)用面面垂直的判定定理,即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面P AD⊥平面ABCD,P A⊥PD,P A=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PE⊥BC;(2)求证:平面P AB⊥平面PCD;(3)求证:EF∥平面PCD.证明:(1)因为P A=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形,所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD,所以AB⊥平面P AD.所以AB⊥PD.又因为P A⊥PD,所以PD⊥平面P AB.所以平面P AB⊥平面PCD.(3)取PC的中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FG∥BC,FG=12BC.因为四边形ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DE∥BC,DE=12BC.所以DE∥FG,DE=FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD,DG⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD.垂直关系中的探索性问题(师生共研)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,M为棱AC的中点.AB =BC,AC=2,AA1= 2.(1)求证:B1C∥平面A1BM;(2)求证:AC1⊥平面A1BM;(3)在棱BB1上是否存在点N,使得平面AC1N⊥平面AA1C1C?如果存在,求此时BNBB1的值;如果不存在,请说明理由.【解】(1)证明:连接AB1与A1B,两线交于点O,连接OM.在△B1AC中,因为M,O分别为AC,AB1的中点,所以OM∥B1C,又因为OM⊂平面A1BM,B1C⊄平面A1BM,所以B1C∥平面A1BM.(2)证明:因为侧棱AA1⊥底面ABC,BM⊂平面ABC,所以AA1⊥BM,又因为M为棱AC的中点,AB=BC,所以BM⊥AC.因为AA1∩AC=A,AA1,AC⊂平面ACC1A1,所以BM⊥平面ACC1A1,所以BM⊥AC1.因为AC=2,所以AM=1.又因为AA1=2,所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中,tan∠AC1C=tan∠A1MA=2,所以∠AC1C=∠A1MA,即∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°,所以A1M⊥AC1.因为BM∩A1M=M,BM,A1M⊂平面A1BM,所以AC1⊥平面A1BM.(3)当点N 为BB 1的中点,即BN BB 1=12时, 平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C . 证明如下:设AC 1的中点为D ,连接DM ,DN .因为D ,M 分别为AC 1,AC 的中点, 所以DM ∥CC 1,且DM =12CC 1.又因为N 为BB 1的中点,所以DM ∥BN ,且DM =BN , 所以四边形BNDM 为平行四边形, 所以BM ∥DN ,因为BM ⊥平面ACC 1A 1,所以DN ⊥平面AA 1C 1C . 又因为DN ⊂平面AC 1N , 所以平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C .(1)对于线面关系中的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论则否定假设.(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手.一般先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程是否有解的问题,若有解且满足题意则存在,若有解但不满足题意或无解则不存在.如图所示,平面ABCD ⊥平面BCE ,四边形ABCD 为矩形,BC =CE ,点F 为CE 的中点.(1)证明:AE ∥平面BDF ;(2)点M 为CD 上任意一点,在线段AE 上是否存在点P ,使得PM ⊥BE? 若存在,确定点P 的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由.解:(1)证明:连接AC交BD于点O,连接OF.因为四边形ABCD是矩形,所以O为AC的中点.又F为EC的中点,所以OF∥AE.又OF⊂平面BDF,AE⊄平面BDF,所以AE∥平面BDF.(2)当点P为AE的中点时,有PM⊥BE,证明如下:取BE的中点H,连接DP,PH,CH.因为P为AE的中点,H为BE的中点,所以PH∥AB.又AB∥CD,所以PH∥CD,所以P,H,C,D四点共面.因为平面ABCD⊥平面BCE,且平面ABCD∩平面BCE=BC,CD⊥BC,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE,所以CD⊥BE,因为BC=CE,且H为BE的中点,所以CH⊥BE.又CH∩CD=C,且CH,CD⊂平面DPHC,所以BE⊥平面DPHC.又PM⊂平面DPHC,所以PM⊥BE.直观想象逻辑推理平面图形折叠问题的解题技巧一、将平面图形折叠成立体图形如图是一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有________对.【解析】平面图形的折叠应注意折前折后各元素相对位置的变化.画出图形即可判断,相互异面的线段有AB与CD,EF与GH,AB与GH,共3对.【答案】 3画折叠图形一般以某个面为基础,依次将其余各面翻折还原,当然,画图之前要对翻折后形成的立体图形有所认识,这是解答此类问题的关键.二、折叠中的“变”与“不变”如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=2,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图②所示的四棱锥A′-BCDE,其中A′O= 3.(1)证明:A′O⊥平面BCDE;(2)求二面角A′-CD-B的平面角的余弦值.【解】 (1)证明:在题图①中,易得OC =3,AC =32,AD =2 2. 连接OD ,OE ,在△OCD 中,由余弦定理可得 OD =OC 2+CD 2-2OC ·CD cos 45 °= 5.由翻折不变性可知A ′D =22,所以A ′O 2+OD 2=A ′D 2,所以A ′O ⊥OD , 同理可证A ′O ⊥OE ,又OD ∩OE =O , 所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ,连接A ′H ,因为A ′O ⊥平面BCDE ,所以A ′H ⊥CD ,所以∠A ′HO 为二面角A ′-CD -B 的平面角.结合题图①可知,H 为AC 的中点,故OH =322,从而A ′H =OH 2+OA ′2=302,所以cos ∠A ′HO =OH A ′H =155,所以二面角A ′-CD -B 的平面角的余弦值为155.折叠问题的关键有二:①画好两个图——折叠前的平面图和折叠后的立体图;②分析好两个关系——折叠前后哪些位置关系和数量关系发生了变化,哪些没有改变.一般地,在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的.涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是要变化的.分别位于两个半平面内但垂直于折叠棱的直线翻折后仍然垂直于折叠棱.三、立体图形的表面展开图的应用在一个底面直径是5 cm ,高为2π cm 的圆柱形玻璃杯子的上沿B 处有一只苍蝇,而恰好在相对的底沿A 处有一只蜘蛛,蜘蛛要想用最快的速度捕捉到这只苍蝇,蜘蛛所走的最短的路程是________.【解析】 利用侧面展开图,如图,蜘蛛所走的最短的路程是线段AB 的长,AC =12×2π×52=52π cm ,BC =2π cm ,则AB =(2π)2+⎝⎛⎭⎫52π2=412π cm ,即蜘蛛所走的最短的路程是412π cm.【答案】412π cm求从一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题:通常把几何体的侧面展开,转化为平面图形中的距离问题.[基础题组练]1.(2020·辽宁大连模拟)已知直线l和平面α,β,且l⊂α,则“l⊥β”是“α⊥β”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A.由面面垂直的判定定理可得,若l⊂α,l⊥β,则α⊥β,充分性成立;若l ⊂α,α⊥β,则l与β平行或相交或垂直,必要性不成立.所以若l⊂α,则“l⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件,故选A.2.(2020·河北唐山模拟)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是()A.①②B.②④C.①③D.②③解析:选B.对于①,易证AB与CE所成角为45°,则直线AB与平面CDE不垂直;对于②,易证AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,则AB⊥平面CDE;对于③,易证AB与CE所成角为60°,则直线AB与平面CDE不垂直;对于④,易证ED⊥平面ABC,则ED⊥AB,同理EC⊥AB,可得AB⊥平面CDE.故选B.3.(2020·黑龙江鹤岗模拟)如图,在三棱锥V-ABC中,VO⊥平面ABC,O∈CD,VA=VB,AD=BD,则下列结论中不一定成立的是()A.AC=BCB.AB⊥VCC.VC⊥VDD.S△VCD·AB=S△ABC·VO解析:选C.因为VO⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以VO⊥AB.因为VA=VB,AD=BD,所以VD⊥AB.又因为VO∩VD=V,所以AB⊥平面VCD.又因为CD⊂平面VCD,所以AB⊥CD.又因为AD=BD,所以AC=BC,故A正确.又因为VC⊂平面VCD,所以AB⊥VC,故B正确;因为S△VCD=12VO·CD,S△ABC =12AB·CD,所以S△VCD·AB=S△ABC·VO,故D正确.由题中条件无法判断VC⊥VD.故选C.4.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在()A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部解析:选A.由AC⊥AB,AC⊥BC1,得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.5.如图,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面P AEC.平面PDF⊥平面P AED.平面PDE⊥平面ABC解析:选D.因为BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,故选项A正确;在正四面体中,AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,且AE,PE⊂平面P AE,所以BC⊥平面P AE,因为DF∥BC,所以DF⊥平面P AE,又DF⊂平面PDF,从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B,C均正确.6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠ABC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是边AB上的一个动点,则PM的最小值为________.解析:作CH⊥AB于H,连接PH.因为PC⊥平面ABC,所以PH⊥AB,PH为PM的最小值,等于27.答案:277.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是边PC 上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析:连接AC,BD,则AC⊥BD,因为P A⊥底面ABCD,所以P A⊥BD.又P A∩AC=A,所以BD⊥平面P AC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图,P A⊥⊙O所在平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中正确结论的序号是________.解析:①AE⊂平面P AC,BC⊥AC,BC⊥P A⇒AE⊥BC,故①正确;②AE⊥PC,AE⊥BC,PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB,AF⊥PB,EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB,故②正确;③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC,则AF∥AE与已知矛盾,故③错误;由①可知④正确.答案:①②④9.如图,在多面体ABCDPE中,四边形ABCD和CDPE都是直角梯形,AB∥DC,PE ∥DC,AD⊥DC,PD⊥平面ABCD,AB=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CE的中点.(1)求证:BF∥平面ADP;(2)已知O是BD的中点,求证:BD⊥平面AOF.证明:(1)如图,取PD 的中点为G ,连接FG ,AG ,因为F 是CE 的中点,所以FG 是梯形CDPE 的中位线, 因为CD =3PE ,所以FG =2PE , FG ∥CD ,因为CD ∥AB ,AB =2PE , 所以AB ∥FG ,AB =FG , 即四边形ABFG 是平行四边形, 所以BF ∥AG ,又BF ⊄平面ADP ,AG ⊂平面ADP , 所以BF ∥平面ADP .(2)延长AO 交CD 于点M ,连接BM ,FM ,因为BA ⊥AD ,CD ⊥DA ,AB =AD ,O 为BD 的中点, 所以ABMD 是正方形,则BD ⊥AM ,MD =2PE . 所以FM ∥PD ,因为PD ⊥平面ABCD , 所以FM ⊥平面ABCD ,所以FM ⊥BD , 因为AM ∩FM =M ,所以BD ⊥平面AMF , 所以BD ⊥平面AOF .10.(一题多解)如图1,在等腰梯形PDCB 中,PB ∥DC ,PB =3,DC =1,∠DPB =45°,DA ⊥PB 于点A ,将△P AD 沿AD 折起,构成如图2所示的四棱锥P -ABCD ,点M 在棱PB 上,且PM =12MB .(1)求证:PD ∥平面MAC ;(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ,求点A 到平面PBC 的距离.解:(1)证明:在四棱锥P -ABCD 中,连接BD 交AC 于点N ,连接MN ,依题意知AB ∥CD , 所以△ABN ∽△CDN , 所以BN ND =BACD =2,因为PM =12MB ,所以BN ND =BMMP=2,所以在△BPD 中,MN ∥PD , 又PD ⊄平面MAC ,MN ⊂平面MAC . 所以PD ∥平面MAC .(2)法一:因为平面P AD ⊥平面ABCD ,且两平面相交于AD ,P A ⊥AD ,P A ⊂平面P AD , 所以P A ⊥平面ABCD ,所以V P ABC =13S △ABC ·P A =13×⎝⎛⎭⎫12×2×1×1=13. 因为AB =2,AC =AD 2+CD 2=2,所以PB =P A 2+AB 2=5,PC =P A 2+AC 2=3,BC =AD 2+(AB -CD )2=2,所以PB 2=PC 2+BC 2,故∠PCB =90°, 记点A 到平面PBC 的距离为h , 所以V A PBC =13S △PBC ·h =13×⎝⎛⎭⎫12×3×2h =66h . 因为V P ABC =V A PBC ,所以13=66h ,解得h =63.故点A 到平面PBC 的距离为63. 法二:因为平面P AD ⊥平面ABCD ,且两平面相交于AD ,P A ⊥AD ,P A ⊂平面P AD , 所以P A ⊥平面ABCD , 因为BC ⊂平面ABCD , 所以P A ⊥BC , 因为AB =2,AC =AD 2+CD 2=2,BC =AD 2+(AB -CD )2=2,所以∠ACB =90°,即BC ⊥AC , 又P A ∩AC =A ,P A ,AC ⊂平面P AC , 所以BC ⊥平面P AC ,过点A 作AE ⊥PC 于点E ,则BC ⊥AE , 因为PC ∩BC =C ,PC ,BC ⊂平面PBC , 所以AE ⊥平面PBC ,所以点A 到平面PBC 的距离为AE =P A ·AC PC =1×23=63.[综合题组练]1.如图,边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ,已知△A ′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是( )①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上;②BC∥平面A′DE;③三棱锥A′FED的体积有最大值.A.①B.①②C.①②③D.②③解析:选C.①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC,所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上.②BC∥DE,根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时,三棱锥A′FED的体积达到最大,故选C.2.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折,给出下列四个结论:①DF⊥BC;②BD⊥FC;③平面BDF⊥平面BCF;④平面DCF⊥平面BCF,则上述结论可能正确的是()A.①③B.②③C.②④D.③④解析:选B.对于①,因为BC∥AD,AD与DF相交但不垂直,所以BC与DF不垂直,则①不成立;对于②,设点D在平面BCF上的射影为点P,当BP⊥CF时就有BD⊥FC,而AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使条件满足,所以②正确;对于③,当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时,DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以③正确;对于④,因为点D在平面BCF 上的射影不可能在FC上,所以④不成立.3.在矩形ABCD中,AB<BC,现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是________.(写出所有正确结论的序号)解析:①假设AC 与BD 垂直,过点A 作AE ⊥BD 于点E ,连接CE .则⎭⎪⎬⎪⎫AE ⊥BD BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面AEC ⇒BD ⊥CE ,而在平面BCD 中,EC 与BD 不垂直,故假设不成立,①错.②假设AB ⊥CD ,因为AB ⊥AD ,所以AB ⊥平面ACD ,所以AB ⊥AC ,由AB <BC 可知,存在这样的等腰直角三角形,使AB ⊥CD ,故假设成立,②正确.③假设AD ⊥BC ,因为DC ⊥BC ,所以BC ⊥平面ADC ,所以BC ⊥AC ,即△ABC 为直角三角形,且AB 为斜边,而AB <BC ,故矛盾,假设不成立,③错.综上,填②.答案:②4.如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱长为2,AC =BC =1,∠ACB =90°,D 是A 1B 1的中点,F 是BB 1上的动点,AB 1,DF 交于点E .要使AB 1⊥平面C 1DF ,则线段B 1F 的长为________.解析:设B 1F =x ,因为AB 1⊥平面C 1DF ,DF ⊂平面C 1DF ,所以AB 1⊥DF .由已知可以得A 1B 1=2,设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ,则DE =12h ,又2×2=h ×22+(2)2,所以h =233,DE =33.在Rt △DB 1E 中,B 1E =(22)2-(33)2=66. 由面积相等得66× x 2+(22)2=22x ,得x =12.即线段B 1F 的长为12. 答案:125.(2020·河南郑州第二次质量预测)如图,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的菱形,∠BAD =π3,△P AD 是等边三角形,F 为AD 的中点,PD ⊥BF .(1)求证:AD ⊥PB ;(2)若E 在线段BC 上,且EC =14BC ,能否在棱PC 上找到一点G ,使平面DEG ⊥平面ABCD ?若存在,求出三棱锥D -CEG 的体积;若不存在,请说明理由.解:(1)证明:连接PF ,因为△P AD 是等边三角形,F 是AD 的中点,所以PF ⊥AD . 因为底面ABCD 是菱形,∠BAD =π3,所以BF ⊥AD .又PF ∩BF =F ,所以AD ⊥平面BFP ,又PB ⊂平面BFP , 所以AD ⊥PB .(2)能在棱PC 上找到一点G ,使平面DEG ⊥平面ABCD .由(1)知AD ⊥BF ,因为PD ⊥BF ,AD ∩PD =D ,所以BF ⊥平面P AD . 又BF ⊂平面ABCD ,所以平面ABCD ⊥平面P AD ,又平面ABCD ∩平面P AD =AD ,且PF ⊥AD ,所以PF ⊥平面ABCD .连接CF 交DE 于点H ,过H 作HG ∥PF 交PC 于点G ,所以GH ⊥平面ABCD . 又GH ⊂平面DEG ,所以平面DEG ⊥平面ABCD . 因为AD ∥BC ,所以△DFH ∽△ECH ,所以CH HF =CE DF =12,所以CG GP =CH HF =12,所以GH =13PF =33,所以V D -CEG =V G -CDE =13S △CDE ·GH =13×12DC ·CE ·sin π3·GH =112.6.如图(1),在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,D 为AC 的中点,AE ⊥BD 于点E (不同于点D ),延长AE 交BC 于点F ,将△ABD 沿BD 折起,得到三棱锥A 1BCD ,如图(2)所示.(1)若M是FC的中点,求证:直线DM∥平面A1EF;(2)求证:BD⊥A1F;(3)若平面A1BD⊥平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直?并说明理由.解:(1)证明:因为D,M分别为AC,FC的中点,所以DM∥EF,又EF⊂平面A1EF,DM⊄平面A1EF,所以DM∥平面A1EF.(2)证明:因为A1E⊥BD,EF⊥BD且A1E∩EF=E,所以BD⊥平面A1EF.又A1F⊂平面A1EF,所以BD⊥A1F.(3)直线A1B与直线CD不能垂直.理由如下:因为平面A1BD⊥平面BCD,平面A1BD∩平面BCD=BD,EF⊥BD,EF⊂平面BCD,所以EF⊥平面A1BD.因为A1B⊂平面A1BD,所以A1B⊥EF,又因为EF∥DM,所以A1B⊥DM.假设A1B⊥CD,因为CD∩DM=D,所以A1B⊥平面BCD,所以A1B⊥BD,这与∠A1BD为锐角矛盾,所以直线A1B与直线CD不能垂直.。
2021年高考数学复习§8.4 直线、平面垂直的判定与性质讲解附真题及解析
§8.4直线、平面垂直的判定与性质基础篇固本夯基【基础集训】考点一直线与平面垂直的判定与性质1.已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A.α⊥β且m⊂αB.α⊥β且m∥αC.m∥n且n⊥βD.m⊥n且n∥β答案C2.下列命题中错误的是()A.如果平面α外的直线a不平行于平面α,则平面α内不存在与a平行的直线B.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么直线l⊥平面γC.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βD.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交答案C3.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上一点,E、F分别是A在PB、PC上的射影,给出下列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是.答案①②③4.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是不是鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由.解析因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,得BC⊥CD,因为PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD,因为DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.因为PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.因为PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.由DE ⊥平面PBC,PB ⊥平面DEF,可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形,即四面体DBEF 是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.考点二 平面与平面垂直的判定与性质5.如图,四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,底面ABCD 为正方形,给出下列结论: ①AD∥平面PBC; ②平面PAC ⊥平面PBD; ③平面PAB ⊥平面PAC; ④平面PAD ⊥平面PDC.其中正确结论的序号是 .答案 ①②④6.如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥AB,PA ⊥BC,AB ⊥BC,PA=AB=BC=2,D 为线段AC 的中点,E 为线段PC 上一点. (1)求证:PA ⊥BD;(2)求证:平面BDE ⊥平面PAC;(3)当PA ∥平面BDE 时,求三棱锥E-BCD 的体积.解析 (1)证明:因为PA ⊥AB,PA ⊥BC,AB ∩BC=B, 所以PA ⊥平面ABC.因为BD ⊂平面ABC,所以PA ⊥BD. (2)证明:因为AB=BC,D 为AC 的中点,所以BD ⊥AC.由(1)知,PA ⊥BD,又AC ∩PA=A,所以BD ⊥平面PAC.因为BD ⊂平面BDE,所以平面BDE ⊥平面PAC. (3)因为PA ∥平面BDE,平面PAC ∩平面BDE=DE,所以PA ∥DE.因为D 为AC 的中点,所以DE=12PA=1,BD=DC=√2. 由(1)知,PA ⊥平面ABC,所以DE ⊥平面ABC.所以三棱锥E-BCD 的体积V=13×12BD ·DC ·DE=13.7.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD,PA ⊥PD,PA=PD,E,F 分别为AD,PB 的中点. (1)求证:PE ⊥BC;(2)求证:平面PAB ⊥平面PCD; (3)求证:EF ∥平面PCD.证明 (1)因为PA=PD,E 为AD 的中点,所以PE ⊥AD.因为底面ABCD 为矩形,所以BC ∥AD.所以PE ⊥BC.(2)因为底面ABCD 为矩形,所以AB ⊥AD.又因为平面PAD ⊥平面ABCD,平面PAD ∩平面ABCD=AD,所以AB ⊥平面PAD.所以AB ⊥PD.又因为PA ⊥PD,PA ∩AB=A,所以PD ⊥平面PAB.因为PD ⊂平面PCD,所以平面PAB ⊥平面PCD. (3)取PC 的中点G,连接FG,DG.因为F,G 分别为PB,PC 的中点,所以FG ∥BC,FG=12BC.因为四边形ABCD 为矩形,且E 为AD 的中点,所以DE ∥BC,DE=12BC.所以DE ∥FG,DE=FG.所以四边形DEFG 为平行四边形.所以EF ∥DG.又因为EF平面PCD,DG ⊂平面PCD,所以EF ∥平面PCD.综合篇知能转换【综合集训】考法一 证明直线与平面垂直的方法1.(2017课标全国Ⅲ,10,5分)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 为棱CD 的中点,则( ) A.A 1E ⊥DC 1 B.A 1E ⊥BD C.A 1E ⊥BC 1 D.A 1E ⊥AC 答案 C2.(2018课标全国Ⅱ,19,12分)如图,在三棱锥P-ABC 中,AB=BC=2√2,PA=PB=PC=AC=4,O 为AC 的中点. (1)证明:PO ⊥平面ABC;(2)若点M 在棱BC 上,且MC=2MB,求点C 到平面POM 的距离.解析 (1)证明:因为AP=CP=AC=4,O 为AC 的中点, 所以OP ⊥AC,且OP=2√3. 连接OB,因为AB=BC=√22AC,所以△ABC 为等腰直角三角形, 且OB ⊥AC,OB=12AC=2. 由OP 2+OB 2=PB 2知,OP ⊥OB.由OP ⊥OB,OP ⊥AC 且OB ∩AC=O 知PO ⊥平面ABC.(2)作CH ⊥OM,垂足为H. 又由(1)可得OP ⊥CH,所以CH ⊥平面POM.故CH 的长为点C 到平面POM 的距离. 由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=4√23,∠ACB=45°. 所以OM=2√53,CH=OC ·MC ·sin ∠ACB OM =4√55. 所以点C 到平面POM 的距离为4√55. 3.(2019 5·3原创题)如图,在以P 为顶点,母线长为√2的圆锥中,底面圆O 的直径AB 长为2,点C 在圆O 所在平面内,且AC 是圆O 的切线,BC 交圆O 于点D,连接PD,OD. (1)求证:PB ⊥平面PAC; (2)若AC=2√33,求点O 到平面PBD 的距离.解析 (1)证明:因为AB 是圆O 的直径,AC 与圆O 切于点A,所以AC ⊥AB. 又在圆锥中,PO 垂直于底面圆O, 所以PO ⊥AC,而PO ∩AB=O, 所以AC ⊥平面PAB,从而AC ⊥PB. 在三角形PAB 中,PA=PB=√2,AB=2,故有PA 2+PB 2=AB 2,所以PA ⊥PB,又PA ∩AC=A,所以PB ⊥平面PAC.(2)解法一:作OE ⊥BD 于E,连接PE.又PO ⊥BD,PO ∩OE=O,所以BD ⊥平面POE.又BD ⊂平面PBD,所以平面PBD ⊥平面POE,作OF ⊥PE 于F,因为平面PBD ∩平面POE=PE,所以OF ⊥平面PBD,故OF 的长为点O 到平面PBD 的距离. 连接AD.在Rt △POE 中,PO=1,OE=12AD=AB ·AC 2BC =12,所以OF=PO ·OE PE =√55.即点O 到平面PBD 的距离为√55.解法二:因为AB=2,AC=2√33,AC ⊥AB,所以在直角△ABC 中,∠ABC=π6.又OD=OB=1,则△OBD 是等腰三角形,所以BD=√3,S △OBD =12×1×1×sin 2π3=√34.又PB=PD=√2,所以S △PBD =12×√3×√52=√154,设点O 到平面PBD 的距离为d,由V P-OBD =V O-PBD ,即13S △OBD ·PO=13S △PBD ·d,可得d=√55.解法三:因为AB=2,AC=2√33,AC ⊥AB, 所以S △ABC =12×2×2√33=2√33.又由(1)可知,AC ⊥平面PAB,则AC ⊥PA,所以PC=√2+43=√303.又PB ⊥平面PAC,所以PB ⊥PC,则S △PBC =12×√2×√303=√153.设点O 到平面PBD 的距离为d,则A 到平面PBC 的距离为2d,由V P-ACB =V A-PBC ,即13S △ABC ·PO=13S △PBC ·2d,可得d=√55.考法二 平面与平面垂直的判定与性质问题4.(2018广东六校4月联考,18)如图,在四棱锥P-ABCD 中,四边形ABCD 是平行四边形,AB=BC=1,∠BAD=120°,PB=PC=√2,PA=2,E,F 分别是AD,PD 的中点. (1)证明:平面EFC ⊥平面PBC;(2)求二面角A-BC-P 的余弦值.解析 (1)证明:取BC 的中点G,连接PG,AG,AC,∵PB=PC,∴PG⊥BC,∵四边形ABCD 是平行四边形,∠BAD=120°,∴∠ABC=60°.又AB=BC=1,∴△ABC 是等边三角形,∴AG⊥BC.∵AG∩PG=G,∴BC⊥平面PAG, ∴BC⊥PA.(3分)∵E,F 分别是AD,PD 的中点,∴EF∥PA,易知四边形EAGC 为平行四边形,∴EC∥AG,∴BC⊥EF,BC ⊥EC, ∵EF∩EC=E,∴BC⊥平面EFC,(5分)∵BC ⊂平面PBC,∴平面EFC ⊥平面PBC.(6分)(2)由(1)知PG ⊥BC,AG ⊥BC,∴∠PGA 是二面角A-BC-P 的平面角.(7分)∵PG=√2−14=√72,AG=√32,PA=2,∴在△PAG 中,cos ∠PGA=PG 2+AG 2-PA 22PG ·AG =-√217,(11分)∴二面角A-BC-P 的余弦值为-√217.(12分)5.(2019北京,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,底面ABCD 为菱形,E 为CD 的中点. (1)求证:BD ⊥平面PAC;(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB ⊥平面PAE;(3)棱PB 上是否存在点F,使得CF ∥平面PAE?说明理由.解析 (1)因为PA ⊥平面ABCD,所以PA ⊥BD.又因为底面ABCD 为菱形,所以BD ⊥AC.所以BD ⊥平面PAC.(2)因为PA ⊥平面ABCD,AE ⊂平面ABCD,所以PA ⊥AE.因为底面ABCD 为菱形,∠ABC=60°,且E 为CD 的中点,所以AE ⊥CD.所以AB ⊥AE.所以AE ⊥平面PAB.所以平面PAB ⊥平面PAE.(3)棱PB 上存在点F,使得CF ∥平面PAE.取F 为PB 的中点,取G 为PA 的中点,连接CF,FG,EG.则FG ∥AB,且FG=12AB.因为底面ABCD 为菱形,且E 为CD 的中点,所以CE ∥AB,且CE=12AB.所以FG ∥CE,且FG=CE.所以四边形CEGF 为平行四边形.所以CF ∥EG.因为CF ⊄平面PAE,EG ⊂平面PAE,所以CF ∥平面PAE.。
2021版高考数学一轮复习第7章立体几何7.5直线平面垂直的判定与性
2021版高考数学一轮复习第7章立体几何7.5直线平面垂直的判定与性7.5直线、平面垂直的判定义和性质[知识梳理]1.直线与平面垂直判定定理与性质定理2.平面和平面垂直度的判定定理和性质定理3.直线和平面所成的角? π? 范围:?02??4.二面角范围[0,π].5.必记结论(1)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于该平面。
(2)如果一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于该平面中的任何直线。
(3)在空间的任何一点上,只有一条直线垂直于已知平面。
(4)在空间的任何一点上,只有一个平面垂直于已知的直线。
(5)两个平面的垂直度的性质定理是将平面的垂直度转化为直线和平面的垂直度(6)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.[诊断自测]1.概念思辨(1)直线L和平面α如果直线中有无数条是垂直的,那么L⊥ α. (2)垂直于同一平面的两个平面是平行的(3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.教材衍化(1)(强制a2p73a组T1)如果M和N代表两条不同的直线,α代表一个平面,那么下列命题中正确命题的数量为()①M⊥ α????m∥n;②n⊥α??M⊥ α????m⊥n;③n∥α??M∥ α????n⊥α.m⊥n??a、 1C。
3答案Bb.2d.0错误分析③, 直线N和α不一定垂直,它可能平行或相交,或在平面内。
① ② 你说得对。
所以选择B(2)(必修a2p67t2)在三棱锥p-abc中,点p在平面abc中的射影为点o,①若pa=pb=pc,则点o是△abc的________心;② 如果爸爸⊥ 铅,铅⊥ 电脑,电脑⊥ 爸,那么O点是△ ABC心。
答复① 外部② 绞刑解析①如图1,连接oa,ob,oc,op,在RT中△ 早安,RT△ POB和RT△ POC,PA=PC=Pb,所以OA=ob=OC,也就是说,O是△ 基础知识②如图2,∵pc⊥pa,pb⊥pc,pa∩pb=p,∴pc⊥平面pab,ab?平面pab,∴pc⊥ab,又ab⊥po,po∩pc=p,‡ab⊥ 飞机PGC,还是CG?平面PGC,ab⊥ CG,也就是说,CG是物体的高度△ ABC edge AB,同理可证bd,ah分别为△abc边ac,bc上的高,即o为△abc的垂心.3.小题热身(1)(2022湖南六校联考)众所周知,m和N是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面。
高考数学 专题八 立体几何 4 直线、平面垂直的判定与性质课件 理
利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法:先从现有的直线中
寻找平面的垂线,若这样的直线在图中存在,则可通过线面垂直来证明
面面垂直;若这样的直线在图中不存在,则可通过作辅助线来解决.作辅
助线应有理论根据并有利于证明,不能随意添加.
证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来
∴EO⊥平面ABCD.
由(1)知△ABD,△EBD都是直角三角形,
∴BD= A
=2
, AD2
B2
∴S△EBD= 1
2
3
ED·BD=2 3 . (10分)
设点C到平面EBD的距离为h,
由VC-EBD=VE-BCD,得 1
3
又S△BCD= 1
2
S△EBD·h=1
S△BCD·EO,
3
BC·CDsin 120°= 3 ,
(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
12/10/2021
考向突破
考向一 证明空间直线与平面垂直
例1 (2018广东东莞模拟,18)如图1,矩形ABCD中,AB=12,AD=6,E、F分
别为CD、AB边上的点,且DE=3,BF=4,将△BCE沿BE折起至△PBE的位
置(如图2所示),连接AP、PF,其中PF=2 5.
又AC∩AB=A,∴SD⊥平面ABC.
(2)由于AB=BC,则BD⊥AC,
由(1)可知,SD⊥平面ABC,又BD⊂平面ABC,∴SD⊥BD,
又SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.
12/10/2021
方法2
证明平面与平面垂直的方法
1.利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,计算平面
2021高考数学(理)题型分类精编《第8章 立体几何-5 直线,平面垂直的判定与性质》(含历年部分真题)
故选D.
评注本题考查了空间直线之间的位置关系,考查学生的空间想象能力、思维的严密性.
12.(2014 江苏理 16)如图,在三棱锥 中, , , 分别为棱 , , 的中点.已知 , , , .
求证:(1)直线 平面 ;
(2)平面 平面 .
20.解析(1)因为 分别为 的中点,所以 为 的中位线,所以 ,
又因为三棱柱 为直棱柱,故 ,
所以 ,又因为 平面 ,且 ,故 平面 .
(2)三棱柱 为直棱柱,所以 平面 .又 平面 ,
故 .又 ,且 , 平面 ,
所以 平面 .又因为 平面 ,所以 .
求证:(1)平面 平面 ;
(2) .
5.(2013福建理19)
如图,在四棱柱 中,侧棱 底面 ,
(1)求证: 平面
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ,求 的值
(3)现将与四棱柱 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规定:若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案,问共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为 ,写出 的解析式.(直接写出答案,不必说明理由).
又因为 , ,且 平面 ,
所以 平面 .又因为 平面 ,所以平面 平面 .
21.(2017江苏15)如图所示,在三棱锥 中, , , 平面 平面 , 点 ( 与 不重合)分别在棱 上,且 .
求证:(1) 平面 ;
(2) .
21.解析(1)在平面 内,因为 , ,且点 与点 不重合,所以 .
又因为 平面 , 平面 ,所以 平面 .
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2021年高考数学(理)立体几何突破性讲练
05直线、平面垂直的判定和性质
一、考点传真:
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理;
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 二、知识点梳理:
1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义:
直线l 与平面α
内的任意一条直线都垂直,就说直线l 与平面α互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理:
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
❶如果一条直线与平面内再多(即无数条)的直线垂直,但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
[❷要求一平面只需过另一平面的垂线.]
二、常用结论汇总
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面. 三、例题:
例1.(2020年江苏卷,15)在三棱柱1111ABC A B C AB AC B C -⊥⊥中,,平面,ABC E F ,分别是1AC B C ,的中点.
(1)求证://EF 平面11AB C ; (2)求证:平面1AB C ⊥平面1ABB .
例2. (2019全国II 文17)如图,长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形,点E 在棱AA 1上,BE ⊥EC 1.
(1)证明:BE ⊥平面EB 1C 1;
(2)若AE =A 1E ,AB =3,求四棱锥的体积.
11E BB C C -
例3. (2019全国III 文19)图1是由矩形ADEB 、ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形,其中AB =1,
BE =BF =2,∠FBC =60°.将其沿AB ,BC 折起使得BE 与BF 重合,连结DG ,如图2.
(1)证明图2中的A ,C ,G ,D 四点共面,且平面ABC ⊥平面BCGE ; (2)求图2中的四边形ACGD 的面积.
例4. (2019北京文18)如图,在四棱锥中,平面ABCD ,底部ABCD 为菱形,E 为CD 的中点.
(Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ;
(Ⅱ)若∠ABC =60°,求证:平面PAB ⊥平面PAE ;
(Ⅲ)棱PB 上是否存在点F ,使得CF ∥平面PAE ?说明理由.
例5. (2018全国卷Ⅱ)如图,在三棱锥-P ABC
中,==AB BC
4====PA PB PC AC ,O 为AC 的中点.
(1)证明:PO ⊥平面ABC ;
Rt
△P ABCD -PA
⊥O M
P
C
B
A
(2)若点M 在棱BC 上,且2 MC MB ,求点C 到平面POM 的距离.
例6. (2018全国卷Ⅲ)如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直,M 是CD 上异于C ,D
的点.
(1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ;
(2)在线段AM 上是否存在点P ,使得MC ∥平面PBD ?说明理由.
四、巩固练习:
1.若m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A .若α⊥β,m ⊥β,则m ∥α B .若m ∥α,n ⊥m ,则n ⊥α
C .若m ∥α,n ∥α,m ⊂β,n ⊂β,则α∥β
D .若m ∥β,m ⊂α,α∩β=n ,则m ∥n
2.若α,β,γ是三个不同的平面,m ,n 是两条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A .若α∩β=m ,n ⊂α,m ⊥n ,则α⊥β B .若α⊥β,α∩β=m ,α∩γ=n ,则m ⊥n
C .若m 不垂直于平面α,则m 不可能垂直于平面α内的无数条直线
D .若m ⊥α,n ⊥β,m ∥n ,则α∥β 3.如图,四棱锥P ABCD 中,△PAB 与
△PBC 是正三角形,平面PAB ⊥平面PBC ,AC ⊥BD ,则下列结论不一定成立的是
( )
A .P
B ⊥A
C B .P
D ⊥平面ABCD C .AC ⊥PD
D .平面PBD ⊥平面ABCD
4.设m ,n 是平面α内的两条不同直线,l 1,l 2是平面β内两条相交直线,则α⊥β的一个充分不必要
A
B
C
D M
条件是( )
A.l1⊥m,l1⊥n B.m⊥l1,m⊥l2
C.m⊥l1,n⊥l2 D.m∥n,l1⊥n
5.在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中,直线BD1与平面EFG不垂直的是( )
6.如图,在斜三棱柱ABCA 1B1C1中,∠BAC=90°,且BC1⊥AC,过C1作C1H⊥底面ABC,垂足为H,则点H在( )
A.直线AC上 B.直线AB上
C.直线BC上 D.△ABC内部
7.如图,已知∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有________________;与AP垂直的直线有________.
8.已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB,PC,PA,AC,BD,则一定互相垂直的平面有________对.
9.如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,
∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为________.
10.如图所示,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为CD的中点,F为线段EC上(端点除外)一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是________.
11.如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,
AB ∥CD ,AB =2AD =2CD =2,E 是PB 的中点.
(1)求证:平面EAC ⊥平面PBC ; (2)若PC =2,求三棱锥C PAB 的高.
12.如图,四棱锥P ABCD 中,AD ⊥平面PAB ,AP ⊥AB . (1)求证:CD ⊥AP ;
13.如图,在三棱锥D ABC 中,AB =2AC =2,∠BAC =60°,AD =6,CD =3,平面ADC ⊥平面ABC . (1)证明:平面BDC ⊥平面ADC ; (2)求三棱锥D ABC 的体积.
14.如图所示,△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直,且AB ⊥BC ,AB =BC
=2,∠BCD =60°,点M 为BE 的中点,点N 在线段AC 上. (1)若AN NC
=λ,且DN ⊥AC ,求λ的值; (2)在(1)的条件下,求三棱锥B DMN 的体积.。