新教材高中数学第1章第2课时空间向量与垂直关系教案新人教A版选择性必修第一册

新教材高中数学教案新人教A版选择性必修第一册：第2课时空间向量与垂直关系学习目标核心素养1.能利用平面法向量证明线面和面面垂直．(重点)2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．(重点、难点)借助空间向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.因为方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置，那么我们就可以利用空间直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线：平面间的平行和垂直问题．上节课我们研究了平行问题，下面我们来研究一下垂直问题．1．空间中有关垂直的向量关系一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．2．空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l1的方向向量为u＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为v＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u·v＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔u＝λn⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R)面面垂直设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？[提示]垂直．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同一个平面的法向量均为共线向量．( )(2)若a，b是平面α内的向量，且n·a＝0，n·b＝0，那么n可以作为平面α的一个法向量．( )(3)若点A 、B 是平面α上的任意两点，n 是平面α的法向量，则AB →·n ＝0. ( ) [提示] (1)√ (2)× (3)√2．设直线l 的方向向量u ＝(－2,2，t )，平面α的一个法向量v ＝(6，－6,12)，若直线l ⊥平面α，则实数t 等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2B [因为直线l ⊥平面α，所以u ∥v ，则－26＝2－6＝t12，解得t ＝－4，故选B.]3．若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0，1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是______．l 1⊥l 2 [AB →＝(1，－1,1)，u 1·AB →＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l 1⊥l 2.]4．若平面α，β的法向量分别为a ＝(2，－1,0)，b ＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是________．垂直 [由于a ·b ＝(2，－1,0)·(－1，－2,0)＝－2＋2＝0，所以α⊥β.]利用空间向量证明线线垂直【例1】 在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E 为AC 的中点．求证：(1)BD 1⊥AC ； (2)BD 1⊥EB 1.[解] 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，0，B 1(1,1,1)． (1)∵BD 1→＝(－1，－1,1)，AC →＝(－1,1,0)， ∴BD 1→·AC →＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0， ∴BD 1→⊥AC →，即BD 1⊥AC .(2)∵BD 1→＝(－1，－1,1)，EB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，∴BD 1→·EB 1→＝(－1)×12＋(－1)×12＋1×1＝0，∴BD 1→⊥EB 1→， 即BD 1⊥EB 1.利用向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线l 1，l 2相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量a ，b 相互垂直，只需证明a ·b ＝0即可，具体方法如下：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，计算出其数量积为0即可．(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为0.[跟进训练]1．在棱长为a 的正方体OABC ­O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .[证明] 以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设AE ＝BF ＝x ，则E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)．∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )．∴A 1F →·C 1E →＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a )＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0， ∴A 1F →⊥C 1E →，即A 1F ⊥C 1E .用空间向量证明线面垂直1．利用空间向量证明线面垂直时，一般有哪几种思路？[提示] 利用基向量的办法和建立空间坐标系的方法，但往往都是求直线的方向向量与平面的法向量共线．2．证明线面垂直，能否不求平面的法向量？[提示] 可以，这时只需证明直线的方向向量分别与平面内两个不共线的向量的数量积为零即可．【例2】 如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .[思路探究] 建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A 1D 1F 的法向量，然后证明AE →与法向量共线．[证明] 如图，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， ∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，A 1D 1→＝(－1,0,0)，D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1.设平面A 1D 1F 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1D 1→＝0，n ·D 1F →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，12y －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2z .令z ＝1，得y ＝2，则n ＝(0,2,1)．又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴n ＝2AE →.∴n ∥AE →，即AE ⊥平面A 1D 1F .1．把本例“正方体”改为“长方体”，其中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点，如图，求证：直线PB 1⊥平面PAC .[证明] 依题设，以D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系D ­xyz ，则C (1,0,0)，P (0,0,1)，A (0，1,0)，B 1(1,1,2)，于是CA →＝(－1,1,0)，CP →＝(－1,0,1)，PB 1→＝(1,1,1)， ∴CA →·PB 1→＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0， CP →·PB 1→＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，故CP →⊥PB 1→，CA →⊥PB 1→，即PB 1⊥CP ，PB 1⊥CA ， 又CP ∩CA ＝C ，且CP ⊂平面PAC ，CA ⊂平面PAC . 故直线PB 1⊥平面PAC .2.在本例中，把F 改为“是B 1D 1的中点”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面B 1AC .[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体的棱长为1， 则A (1,0,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)．E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，1.∴AC →＝(－1,1,0)，AB 1→(0,1,1)， EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12.由AC →·EF →＝12－12＝0，AB 1→·EF →＝－12＋12＝0，得EF →⊥AC →，EF →⊥AB 1→也就是EF ⊥AC ，EF ⊥AB 1，又因AC ，AB 1⊂面AB 1C ，且AC ∩AB 1＝A ， 故EF ⊥平面AB 1C .1．坐标法证明线面垂直的两种方法 法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行．2．使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决．利用空间向量证明面面垂直【例3】 如图所示，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .[思路探究] 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n 1，n 2，证明n 1·n 2＝0.[解] 由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直．以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， 则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，0，12.设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0)．设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0，令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4)． ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度．[跟进训练]3.如图，在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AS ⊥底面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .[解] 设AS ＝AB ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.法一：如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.易知AS →＝(0,0,1)，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，∴OE →＝12AS →，∴OE ∥AS .又AS ⊥底面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD . 又OE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面ABCD . 法二：设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 易知BD →＝(－1,1,0)，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE ，得⎩⎨⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0.令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1,1,0)．∵AS ⊥底面ABCD ，∴平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0,0,1)． ∵n 1·n 2＝0，∴平面BDE ⊥平面ABCD .空间垂直关系的解决策略几何法向量法线线 垂直(1)证明两直线所成的角为90°. (2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面 垂直对于直线l ，m ，n 和平面α(1)若l ⊥m ，l ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α，m 与n 相交，则l ⊥α. (2)若l ∥m ，m ⊥α，则l ⊥α (1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量面面垂直对于直线l ，m 和平面α，β(1)若l ⊥α，l ⊂β，则α⊥β.(2)若l ⊥α，m ⊥β，l ⊥m ，则α⊥β. (3)若平面α与β相交所成的二面角为直角，则α⊥β证明两个平面的法向量互相垂直1．已知直线l 1的方向向量a ＝(1,2，－2)，直线l 2的方向向量b ＝(－2,3，m )．若l 1⊥l 2，则m ＝( )A ．1B ．2C ．12D ．3B [由于l 1⊥l 2，所以a ⊥b ，故a ·b ＝－2＋6－2m ＝0，即m ＝2.]2．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9C [∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u·v ＝0， ∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.]3．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.－5 [∵α⊥β，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝x －4＋9＝0，∴x ＝－5.]4．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对．0 [∵a ·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a ·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b ·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a ，b ，c 中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．]5．如图所示，正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .[证明] 如图所示，取BC 的中点O ，连接AO .因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，所以AO ⊥平面BCC 1B 1. 取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，以OB →，OO 1→，OA →分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)． 所以AB 1→＝(1，2，－3)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)． 因为AB 1→·BA 1→＝1×(－1)＋2×2＋(－3)×3＝0.AB 1→·BD →＝1×(－2)＋2×1＋(－3)×0＝0.所以AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD . 又因为BA 1∩BD ＝B ，所以AB 1⊥平面A 1BD .。