高等数学-小论文-浅谈多元函数微积分学理论与应用
高等数学中微积分经济的应用【论文】
高等数学中微积分经济的应用摘要：随着我国经济发展进程不断加快，科学技术水平不断提升，我国逐渐转向知识经济发展时代，数学科学的地位得到有效巩固，呈现逐渐上升的趋势。
信息化进程快速推进，经济理论中的定性分析方式逐渐变化为定量与定性相结合的分析方式，主要采用数据对其进行深入论证以及证明。
高等数学在经济发展进程中起着关键的推动作用。
目前，我国各大高校已经将高等数学应用于多个专业领域之中，越来越多的人意识到可以采用高等数学的方式来对经济理论进行深入解析。
关键词：高等数学微积分经济应用分析高等数学逐渐被广泛应用在经济领域中，不仅为经济研究奠定了良好的基础，还成为一种具有科学性、合理性的技术，在日常生活中起着不容小觑的作用。
数学知识不仅贯穿于人们生产生活的发展始终，还被深入应用于各大科技领域。
高等数学中的微积分应用较为宽广，可以将其应用于物理、经济、交通以及工程相关领域中。
因此，在经济飞速发展的今天，将数学价值充分发挥出来成为一项重要任务，让学生全面利用与高等数学相关的知识分析社会中存在的经济现象成为一项关键内容。
一、高等数学教学中存在的缺陷高等数学中最显著的特征是抽象性、逻辑性、应用性。
目前我国大学生普遍存在不爱学习高等的现象，没有兴趣进行以后的高等数学学习。
高校数学老师在考试前会为学生圈出重点内容，帮助学生简单了解重点内容，导致学生难以对其进行深入学习，学生经常抱着60分万岁的心态，严重缺乏积极主动性。
二、高等数学中微积分的经济应用1.采用微积分进行边际分析经济学经常会出现边际问题，主要包括边际成本、边际收益、边际利润等内容。
边际问题的实质是问题中涉及经济函数的变化率。
如果一个函数用f(x)表示，那么其导函数就可以用f'(x)表示，导函数就成为该函数的边际函数。
对边际函数中某一个点求值时，这个值就成为这个边际函数的边际值。
在实际问题中经常会给出总成本函数来求出边际成本。
边际成本的求法是对总成本函数的产量进行求导，阐释的经济内涵为：当产量为q时再生产一个单位所导致总成本增加的值；边际收益的求法是对总收益函数中的销售量来求导，表达的经济内涵是销售量为q时，再销售一个单位所导致总收益增加的量；边际利润是对总利润函数中的销售量来求导，包含的主要内容是当销售量为q时，对其销售一个单位时，总利润所增加的值。
高等数学微积分理念的多领域应用分析
高等数学微积分理念的多领域应用分析摘要：高等数学微积分理念在概率统计、数学建模、应用数学等多领域有着广泛的运用，本文就通过集合、函数、极值和向量代数，阐述一下高等数学微积分理念的多领域运用。
关键词：高等数学；微积分理念；应用一、微积分在概率统计方面的运用（1）集合微积分在概率统计中最简单的一个运用，在勒贝格积分建立测度论以及集合论之后，概率论及已经形成了初步的雏形。
从本质上讲，概率论的研究对象主要还是随机实验，只是实验，其结果就是都不会是绝对的，而把实验的所有结果容纳在一起，就是一个集合。
而在这个过程中，每一个发生的随机事件都是集合中的一个子集。
利用集合之间的关系，来机型运算和处理问题，也就成了一种最基本的运用。
（2）函数微积分中的函数在概率学中是无多不在的，无不体现着函数的思想。
不管是概率还是随机的变量，不管是分布函数还是密布函数，都是属于微积分的函数，也正是因为这些对应的关系，使得在概率学的研究中更加的顺畅。
所以，微积分在概率学的研究中有着很大的作用。
我们简单的通过大数定律阐述一下。
大数定律是一种极限定律，主要是描述在是试验次数无数次后所表现出来的一个概率性的规律。
值得注意的是，大数定律并不是一种规律性的定律，它中间也包含了很多附加的条件，来证明其中的定律。
在大数定律的验证中，可以通过以下的验证进行：在应用数学中，求函数f(x)在区间[0,1]中的定积分，那么函数X的数值必然在0和1之间，这种情况下，可以将所得的积分的数值当做一个概率值。
在实验的过程中，变量XY必须要在0和1之间，可以求出边际分布的分布情况，此时函数f(x)的积分值和变量y的取值范围不会超过函数f(x)的概率是相同的，这个概率值也是可以估算的，在大数定律的理论上实验的总数越大，频率会随着概率收敛到概率，只需将函数的积分变换即可得出第一类积分。
但是在试验中，从来不是一成不变的，可以通过x的区间范围，将函数的积分值当做一个数学期望，让辛钦大数定律通过估算期望值来得到函数的近似值，最后再利用变量转换的出第一类积分。
数学中的多元函数与多元微积分
数学中的多元函数与多元微积分多元函数是数学中一个重要的概念，它在多元微积分中扮演着至关重要的角色。
本文将从多元函数的定义入手，介绍多元函数的性质以及多元微积分的基本概念和方法。
一、多元函数的定义多元函数是指输入多个变量，并输出一个数的函数。
在二维平面上，可以描述成 f(x, y)，其中 x 和 y 是自变量，f(x, y) 是因变量。
在三维空间中，可以描述成 f(x, y, z)，其中 x，y 和 z 是自变量。
二、多元函数的性质1. 定义域和值域：多元函数的定义域是自变量的取值范围，而值域是函数的所有可能的输出值。
通过定义域和值域的分析，可以得到函数的一些性质，例如函数是否有界。
2. 连续性：多元函数的连续性是指函数在定义域上的任意一点都能够满足连续性的要求。
连续性的研究对于多元微积分的推导和应用具有重要的意义。
3. 偏导数：多元函数的偏导数是指在某一点上，函数对于其中一个自变量的变化率。
偏导数可以用来描述函数在某一点的斜率以及其在不同自变量上的变化趋势。
三、多元微积分的基本概念和方法1. 偏导数与全微分：在多变量函数中，可以通过偏导数来研究函数的不同变量之间的关系。
而全微分则是在一点附近用一阶线性函数来近似表示多元函数的变化。
2. 多元函数的极值与最值：通过求偏导数，可以找到多元函数的临界点，进而求得函数的极值和最值。
求解极值和最值的方法包括二阶导数判别法和拉格朗日乘数法等。
3. 重积分：重积分是多元函数的积分运算。
它的应用广泛，例如计算曲面的面积、质心等问题。
在多元微积分中，可以通过重积分来解决空间中各种物理问题。
4. 广义积分：广义积分是对无界函数或某些间断点的函数进行积分运算。
广义积分的研究对于理解多元函数的奇点和振荡现象具有重要意义。
结语多元函数与多元微积分是数学中的重要内容，它们在物理、工程、经济等各个领域的应用广泛。
通过对多元函数的性质和多元微积分的基本概念的研究，我们可以更好地理解和应用这些数学工具。
多元函数极值及应用--毕业论文
【标题】多元函数极值及应用【作者】黎明凤【关键词】多元函数极值条件极值二次型正定负定【指导老师】杨天标【专业】数学与应用数学【正文】引言在管理科学,经济学和许多工程、科技问题中,常常需要求一个多元函数的最大值或最小值,他们统称为最值问题。
通常我们称实际问题中出现的需要求最值的函数为目标函数，该函数的自变量称为决策变量,相应的问题在数学上可称为优化问题,在经济管理科学中非常重要的运筹学。
最值（最优化）问题占有较大比重。
最值问题涉及工业、农业、交通运输、军事、商品经济等诸方面，与人们的生活息息相关。
多元函数的最值与极值有密切的关系，所以我们通过简单的多元函数（二元、三元函数）的极值来加强对多元函数极值的应用。
2. 多元函数极值的求法2．1 多元函数极值的相关理论1.多元函数极值的定义：设：多元函数的定义域为D ，如果D内存在某个点M（）的邻域满足，对于此领域内的任意一点M（）：（1）当，则称为极小值，M（）为的极小值点。
（2）当，则称为极大值，M（）为极大值点。
2. 定理：（极值与最值的关系）假定在开区域D内有有限个极值，且在D内有最大值（最小值），则最大值（最小值）就是极值中的最大（最小）。
3. 定理：（极值与最值的关系）假定在闭区域A的内部有有限个极值，且在A 上有最大值（最小值），则最大值（最小值）就是A内部极值和A的边界上的最值中的最大（最小）。
与一元函数相似，多元函数的最值点与可能极值点有着密切联系，闭区域上的连续函数必有最大值和最小值，多元函数的最值既可能在闭区域内部取得，也可能在闭区域的边界上取得，我们假定函数在闭区域D上连续，在D内可微，且只有限个驻点，这样如果函数在D内部取得最值，那么这个最值显然也是函数的极值，所以在上述假定下求得多元函数的最值可仿照一元函数求最值的方法。
先求出函数在D 内所有驻点，再将这些驻点处的函数值与区域D边界的最值加以比较就行了。
例如: 求函数f(x,y,z)在曲面g(x,y,z)=0一有界闭域D上的可能极值点，是通过比较f(x,y,z)在D上可能极值点的函数值与f(x,y,z)在D边界线上的最值得到的，特别地，对于封闭曲面g(x,y,z)=0，若f(x,y,z)在该曲面上连续，比较可能极值点的函数值，就能求得f(x,y,z)在附加条件g(x,y,z)=0下的最值。
微积分的原理与应用
微积分的原理与应用微积分是数学中的一门重要学科，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。
它的原理基于极限的概念，通过对函数的微分和积分运算，研究函数的性质和变化规律。
本文将介绍微积分的原理以及它在现实世界中的应用。
一、微积分的基本概念1.1 极限极限是微积分的核心概念之一。
当自变量趋近于某个值时，函数的取值或者变化趋势可能有所变化。
极限的概念就是描述这种变化趋势的工具，常见的有左极限、右极限和无穷大极限等。
1.2 导数导数是函数在某一点的变化率。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以通过求取函数的极限来获得，表示为f'(x)。
导数不仅可以表示函数在某一点的变化率，还可以用于求取函数的最值、判断函数的凹凸性等。
1.3 积分积分是导数的逆运算，表示函数在一定区间内的累积效应。
根据微积分基本定理，如果一个函数的导数存在，那么它在某一区间内的定积分可以通过求取函数的原函数来计算。
二、微积分的应用2.1 物理学中的应用微积分在物理学中有广泛的应用。
以牛顿力学为例，通过对物体的运动进行微分和积分运算，可以计算出物体的速度、加速度、位移等信息。
微积分为物理学提供了研究运动规律的重要工具，使得物理学得以突飞猛进地发展。
2.2 工程学中的应用工程学中的很多问题都可以使用微积分来建模和求解。
例如，在电路工程中，可以利用微积分的方法计算电流、电压的变化过程；在机械工程中，可以通过微积分来分析力学系统的稳定性。
微积分为工程学提供了数学求解问题的方法，使得工程实践变得更加准确和高效。
2.3 经济学中的应用微积分在经济学中也有重要的应用。
通过对经济变量的微分和积分运算，经济学家可以研究市场供需关系、消费者行为等经济现象，进而制定经济政策。
微积分为经济学提供了定量分析的手段，为经济科学的发展做出了重要贡献。
2.4 生物学中的应用生物学中许多生命现象都可以使用微积分来解释和研究。
例如，通过微积分可以研究细胞的生长速率、人口的增长模式等。
多元微积分学
多元微积分学（最新版）目录1.多元微积分学的概念与背景2.多元微积分学的基本概念3.多元微积分学的应用4.多元微积分学的发展与展望正文一、多元微积分学的概念与背景多元微积分学，作为微积分学的一个重要分支，主要研究多元函数的微分和积分。
在数学、物理、化学、工程等学科中，许多实际问题都涉及到多元函数，因此多元微积分学具有非常广泛的应用。
二、多元微积分学的基本概念1.多元函数多元函数是指含有多个变量的函数，如 f(x, y)。
多元函数的微分和积分较单变量函数复杂，需要引入偏导数、方向导数、梯度等概念。
2.偏导数偏导数是多元函数的导数的一种，用于研究多元函数在某点的变化率。
例如，对于函数 f(x, y)，其偏导数可以表示为 f_x, f_y 等。
3.方向导数与梯度方向导数表示函数在某方向上的变化率，而梯度表示函数在各变量方向上的偏导数的向量。
梯度是方向导数的一种。
4.多元函数的积分多元函数的积分分为二重积分、三重积分等，其中二重积分是最常见的。
通过多元函数的积分，我们可以求解曲面的面积、空间的体积等问题。
三、多元微积分学的应用多元微积分学在许多领域都有广泛应用，例如：1.物理学：在力学、热力学、电磁学等分支中，多元微积分学可以用于求解物体的位移、速度、加速度等。
2.工程学：在机械工程、电子工程、土木工程等领域，多元微积分学可以用于设计和优化各种结构和系统。
3.经济学：在经济学中，多元微积分学可以用于研究成本、收益等函数的变化。
四、多元微积分学的发展与展望多元微积分学随着数学和科学技术的发展而不断完善。
数学分析论文：积分的思想及其应用
积分的思想及其应用院系：数学科学学院专业：信息与计算科学年级： 2011级日期： 2012年5月摘要本论文概述了积分思想的产生和发展过程.根据积分区域的不同，积分可分为：定积分，二重积分，三重积分等.本论文正是讨论这前三种积分的定义及求解.利用积分可以解决求物体运动的路程，变力做功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题.关键词：积分思想；定积分；二重积分；三重积分AbstractThis paper summarizes the production and the development of the integral thought process.According to the difference of integral area,integral can be divided into:the integral,the double integral,the triple integral,etc.This paper is to discuss the first three integral definition and solving,Use of integral can solve for the motion of distance,become force work by curve and surrounded by the surface area and surrounded the volume.Keywords: the integral thought ; the integral ; the double integral ; the triple integral目录摘要 (Ⅰ)关键词 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)Keywords (Ⅱ)前言 (1)1.积分思想的产生与发展 (2)2.积分思想的理解 (2)定积分的定义 (2)决定函数可积的因素 (2)多重积分 (4)积分的应用 (5)3.再述重积分 (5)3.1积分与微分 (5)3.2积分思想的理解 (6)4.积分的计算 (6)4.1二重积分的计算 (6)4.2三重积分的计算 (9)参考文献 (12)前言本论文主要借鉴数学分析教材中的理论，参考《积分思想基础》一书总结了积分的产生和发展历程，认识到积分思想是经过历代数学家的努力与积累才逐渐产生的.具体来说是为了解决求物体运动的路程，变力做功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题,才导致了积分的产生.论文中例1是采用定积分思想中无限分割的方法，来求取解侧面积，先利用替换再采用分割的方法，即在区间[]0,?,T T 中插入无穷多个分点，利用定积分定义求取极限最后采用莱布尼茨（Leibnitz ）公式求解定积分.例2则是定积分性质的一个简单证明，充分体现了积分与极限的关系.例3、例4、例5、例6直接简单的验证了多重积分的计算和应用.第1章积分思想的产生与发展积分思想的萌芽，可以追溯到古代.在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中,有不少是用无穷的过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长.例如：古希腊德谟克利特（Democritus）的“数学原子论”，阿基米德（Archimedes）的“穷竭法”，刘徽的“割圆术”均有积分思想的雏形.在这些方法中都可以清楚的看到无穷小分析的原理.随着数学科学的发展，开普勒（Kepler）的“同维无穷小方法”，卡瓦列利（Cavalieri）的“不可分量法”，费马（Fermat）的“分割求方法”（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）揭示了微分与积分的内在联系——微积分基本定理，从而产生了微积分，开创了数学发展的新纪元.第2章 积分思想的理解1.定积分的定义设ƒ(x )是定义在区间[],a b 点012311i i n n x a x x x x x x x --=<<<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<b =将区间[,]a b 任意分成n 个子区间[]1,i i x x - (1,2,3,4,)i n =⋅⋅⋅这些子区间及其长度均记作1i i i x x x -∆=- (1,2,3,4,)i n =⋅⋅⋅在每个子区间i x ∆上任取一点i ξ作n 个乘积()i i f x ξ∆的和式()1niii f x ξ=∆∑如果当最大的子区间长度{}1max 0i i nx λ≤≤=∆→时,和式()1niii f x ξ=∆∑的极限存在，并且其极限值与[],a b 的分法及i ξ的取法无关，则称()f x 在区间[],a b 上可积，此极限值称为()f x 在区间[],a b 的定积分，记作 ()baI f x dx=⎰即()baf x dx ⎰=01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑.2. 决定函数可积的因素 函数()f x 在区间[],a b 上的和式1()niii f x ξ=∆∑的值，一般依赖于四个因素：a .函数()f x ；b .区间[],a b ；c .区间[],a b 的分法；d .[]-1,i i i x x ξ∈的取法.但当()f x 在区间[],a b 上可积，即01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑存在时，则不依赖于区间[],a b 的分法与i ξ的取法，因此只与函数()f x 和区间[],a b 两个因素有关.例1：已知一母线平行于z 轴的柱面介于曲线0(),(),()()x x t y y t z z t T t T ===≤≤与xoy 面之间，其中'''(),(),()x t y t z t 在[]0,T T 上连续，且()22''()+()0,0.x t y t z t ⎡⎤⎡⎤≠≥⎣⎦⎣⎦证明该柱面的侧面积为s=.TT z ⎰ 证明: 设空间曲线0(),(),()()x x t y y t z z t T t T ===≤≤在xoy 面上的投影曲线为L ,则L 的方程可写为{0=x(t),=(t)().x y y T t T ≤≤在区间 0[,]T T 内任意插入-1n 个分点0012-1=<<<<<=,n n T t t t t t T 将区间[]0,T T 分成n个小区间[]()-1,t =1,2,,,k k t k n 并记-1=-(=1,2,,),k k k t t t k n ∆则曲线L 在每个小区间[]-1,t k k t 上对应曲线段的长度k s ∆为,=kk t k k t s t ∆⎰其中[]()-1,t =1,2,,,k k k T t k n ∈并且该小曲面的面积'k s ∆为()'(=1,2,,k k k s z T t k n ∆≈.又因为z 在[]0,T T 上连续，所以由定积分的定义可得00=1=lim (=nT k k T k s z T t z λ→∑⎰其中1=max k k nt λ≤≤∆.例2：若(),()f x g x 在[,]a b 可积，证明(()())baf xg x dx +⎰也在[,]a b 可积，并且(()())()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰.证明：因(),()f x g x 在[,]a b 可积，即()baf x dx ⎰与()bag x dx ⎰存在，故对任意分法∆：012n a x x x x b =<<<⋅⋅⋅<=以及1[,]i i x x -中任意i ξ，有()01lim ()()nbi i ai f x f x dx λξ∆→=∑∆=⎰由分法∆及i ξ的任意性，得()g x 在此任意分法下，对上述1[,]i i x x -中的i ξ，也有()01lim ()()nbi i ai g x g x dx λξ∆→=∑∆=⎰，于是有()01()01()01()()lim ()lim ()lim (()())n n nbbi i i i i i i aai i i f x dx g x dx f x g x f g x λλλξξξξ∆→=∆→=∆→=+=∑∆+∑∆=∑+∆=⎰⎰(()())baf xg x dx +⎰从而(()())baf xg x dx +⎰也在[,]a b 上可积，并且(()())()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰.3.多重积分定义：设Ω为一几何形体（它或者是直线段，或者是曲线段，或者是一曲面图形、一块曲面、一块空间区域等）这个几何形体是可以度量的（也就是它是可以求长的，或者是求面积的、可以求体积的等等）.在这个几何形体Ω上定义了一个函数()f M （M ∈Ω），将此几何形体Ω分为若干可以度量的小块123,,,n ∆Ω∆Ω∆Ω⋅⋅⋅⋅∆Ω，既然每一小块都可度量，故它们皆有度量大小可言.同样的，把它们的度量大小记为i ∆Ω()1,2,3i n =⋅⋅⋅⋅并令{}1max i i nd ≤≤=∆Ω的直径在每一块∆Ω中任取一点i M ，作下列和式1()ni i i f M =∆Ω∑，如果这个和式不论对于Ω怎样划分以及i M 在i ∆Ω上如何选取，只要当0d →时恒有同一极限I ，则称此极限为()f M 在几何形体Ω上的黎曼积分，记为()I f M d Ω=Ω⎰，也就是()01lim ()ni id i I f M d f M Ω===Ω=∆Ω∑⎰4.积分的应用a.若几何形体Ω是一块可求面积的平面图形σ，那么σ上的积分就称为二重积分，在直角坐标下记为(),f x y dxdy σ⎰⎰.b.若几何形体Ω是一块可求体积的平面图形ν，那么ν上的积分就称为三重积分，在直角坐标下记为(),,Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰.c.若几何形体Ω是一可求长的空间曲线段l ，那么l 上的积分就称为第一类曲线积分，记为(),,lf x y z ds ⎰.d.若几何形体Ω是一可求面积的曲面s ，那么s 上的积分就称为第一类曲面积分，记为(,,)Sf x y z ds ⎰⎰.1.积分与微分积分与微分是相对的统一.微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度.客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀.对简单的，规则的，均匀的，我们都是建立所有人都认可的标准，从而建立简单的认识.而对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理.可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁.2.积分思想的理解积分学只是极限的一个简单应用.但其可以帮助我们解决生活中的许多问题.在此，谈论的是我们对积分思想的理解.一重积分，即定积分，通过莱布尼茨（Leibniz）公式处理，关键是确定原函数，即不定积分.二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别基于X型Y型区域去处理.XY型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征，整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示.“画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影.只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析.三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套表示.将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或者先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式.其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可以看作是确定具有变化密度的物体的质量的过程.必须强调指出的是，确定出这些重积分的过程也反映着很多其他的现实过程.1.二重积分的计算解决二重积分时可以将复杂的区域分割为若干简单区域，即将二重积分转换成两个一次积分，分别基于X 型Y 型区域去处理.通俗来说就是首先考虑一个变量的取值范围，对其积分；然后用第一个变量或其它常数作为第二个变量的取值范围，最后运用莱布尼茨（Leibniz ）公式求解即可.例3：解二重积分{}22(),(,)1,1Dx y d x y x y σ+≤≤⎰⎰其中D= 解：积分区域如下图所示22()Dx y d σ+⎰⎰112211123111121311()13223223383dx x y dyx y y dx x dxx x ------=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰例4：解二重积分2,Dxy dxdy ⎰⎰其中D 是由抛物线()220y px p =>和直线()02ax a =>所围成的区域.解：由方程组22,2px y a x ==⎧⎨⎩解得两个交点分别为,,.22a a ⎛⎛ ⎝⎝故由题意可知，积分区域D 可表示为(),0,,2a D x y x y ⎧=≤≤≤≤⎨⎩于是2220aDxy dxdy dx xy dy =⎰⎰⎰3205207220327a a y x dx x dxx ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎫=⎪⎪⎝⎭=⎰2.三重积分的计算三重积分的先一次再两次积分是常用的方法.可以向任何一个平面投影,但我们一般向XOY 面投影.先两次再一次积分适合于某一个变量,如z 具有明确上下限,而由z 所确定的z D 平面区域可以很容易处理,例如:用于球体,半球体,锥体,椭球体等.关于平面极坐标,空间柱面坐标,极坐标.我们可以看作是重积分的换元法.换元后微元都发生了改变,其他过程则跟直角坐标系下一致.（1）平面极坐标主要适用于积分的区域有:圆域,环域,扇形域等.（2）柱面坐标本质是对某一个变量,如z ,用直角坐标系表示,对XY XY 用极坐标表示后, z 也要用半径跟角度表示.其主要适用于:圆柱,圆锥,球体,半球体等.（3）关于空间极坐标,其主要适用于圆锥,球体,半球体.例5：求()vI x y z dxdydz =++⎰⎰⎰，V 是平面1x y z ++=和三个坐标所围成的区域.解：因为这区域对三个变量是对称的，并且被积函数也是对称的，因此有等式,VVVxdxdydz ydxdydz zdxdydz ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰计算其中一个积分10xyx yvxdxdydz dxdy xdzσ--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()110012201201230(1)(1)112121221,24xy xx x y dxdyx x y dy dxx x x x dx x x dx x x x dx σ-=--=--⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦=-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以 ()113.248Vx y z dxdydz ++=⨯=⎰⎰⎰一些三重积分求解问题用柱面坐标会比较简单.例6：求,VI zdxdydz =⎰⎰⎰V 是球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围部分.解： 用柱面坐标作变换，上面两个方程分别变换为224r z +=及23r z =. 它们的交线是{1,z r =因此V 在(),r θ平面的投影r θσ为r =()=在z 0平面上的一个圆，于是213r r I rdrd zdz θσθ=⎰⎰⎰221313.4r d πθπ==⎰⎰总之,所有计算方法,都基于积分区域在不同坐标系下的表示,主要注意在不同坐标系下的微元即可.参考文献：【1】欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋.数学分析（下），高等教育出版社，2007年4月，第三版【2】朴志会，冯良贵，廖基定.积分思想基础，国防科技大学出版社，2004年6月【3】刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（下），高等教育出版社，2003年6月，第四版。
多元函数积分学在实际生活中的应用实例
多元函数微积分的实际应用有哪些?
当我们要描述一些事物、对象时，不能凭空定性描述啊，要抱着科学的态度，定量的能解释出来它。
当我们用一堆公式将一个对象刻画的细致入微时，随便给定它的参数我们就知道结果是什么。
例如我们对天气进行建模，然后预报天气；对交通建模，预报拥堵情况；对四旋翼无人机进行建模，知道该加多大马力才能飞起来；对市场进行建模，预报价格、股票……建模一般不就是建立一个函数？f(a,b,c,d)把一个问题的4个因素包括进来，然后构造出f这个函数，就是建立了模型。
例如简单的一个例子，我们想知道一个东西的未来销量K，那么我们统计来以前的历史数据，然后找到一些影响因素，例如销售地的人口密度x、年轻人占的比例y以及竞争品的种类z，我们能得到一个模型，最简单的就是，当然也可以变化各种形式，二次函数、插值、拟合等等。
刚才说的多元函数是静态模型，如果我想描述一个模型随时间变化怎么办？很多都是要用微分方程来描述；举个例子，人站在独轮车是如何平衡的呢？
首先我们要对独轮车进行动态模型的建模，独轮车主要有两个变量需要控制，一个是偏的角度（不能倒），一个是位置（不能跑），那么我们可以建立一个这样的模型：这是什么意思呢，等式左面是两个变量的导数，表示的是变化的趋势，它由右面的式子决定，决定因素有当前的位置,偏角和内部的电机的马力决定（当然应该还有其他因素，这里就不细说了）。
对于每一时刻，它的导数都根据当前的状态有关，那么下个时刻，他的值就可以确定，以此类推，就可以推出两个状态变量关于时间的变化情况，我们就有一个模型来描述了它了，这就是微分方程，微分模型。
有了微分方程，那么就引入反馈、PID控制等等来控制它不倒，这个就不详细展开了。
浅谈微积分思想在几何中的应用—数学与应用数学毕业论文
目录摘要 (2)9JWKffwvG#tYM*Jg&6a*CZ7H$dq8K qqfHVZFedsw Sy XTy #&QA9wk Fy eQ^!djs#Xuy UP2k NXpRWXmA&UE9aQ@Gn8xp$R#͑Gx^Gjqv^E9wEwZ#Qc@UE%&qYp@Eh5pDx 2zV kum&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&sv *3tnG z89AmYWpazadNu ##KN&MuW A5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK!zn%Mz849Gx^Gjqv^$UE9wEwZ#Qc@UE%&qYp@Eh5pDx2zV um&gTXRm6X4NGpP$v STT#&sv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu##KN&MuW A5ux^Gjqv^$UE9wEwZ#Qc@UE%&qYp@Eh5pDx2zV um&gTXRm6X4NGpP$v STT#&sv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu##KN&MuW A5uxY 7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK!zn%Mz849G x^Gjqv^$UE9wEwZ#Qc@UE%&qYp@Eh5pDx2zV um&gTXRm6X4NGpP$v STT#&sv*3tnGK8!z89AmUE9aQ@Gn8xp$R#͑Gx^Gjqv^$UE9wEwZ#Qc@UE%&qYp@Eh5pDx2zV um&gTXRm6X4NGpP$v STT#&sv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu ##KN&MuWF A5uxY7JnD 6YWRrWwc^vR9CpbK!zn%Mz849G x^Gjqv^$UE9wEwZ#Qc@UE%&qYp@Eh5pDx2zV um&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z89AmYWpazadNu##KN&MuW A5u x^Gjqv^$UE9wEwZ#Qc@UE%&qYp@Eh5pDx2zV um&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tn GK8!z89AmYWpazadNu##KN&MuW A 5uxY7JnD 6YWRrWwc^vR9CpbK!zn%Mz849G x^Gjqv^$UE9wEwZ#Qc@UE%&qYp@Eh5pDx2zV um&gTXRm6X4NGpP$vSTT#&ksv*3tnGK8!z8vG#tY 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多元函数微分法及其应用
多元函数微分法及其应用 将一变量函数的微积分（极限，连续性，导数，微分和通过导数找到极值）的一些知识扩展到二变量函数。我们应该注意利用现有知识来帮助我们理解新知识，并特别注意差异（二变量函数在各个方面都很复杂）。
通常通过连续性来计算极限，有时需要一些计算技能（分子物理学和化学，无穷小替换）。切勿随意使用洛比达定律！二元函数的极限中没有洛比达定律。
必须掌握不存在极限的常规判断方法，即采用具有不同斜率的直线。复杂函数和隐式函数的推导是计算中的难点。花些时间写一篇关于如何区分函数表达式中存在抽象f的小文章，例如f（x 2 + y 2）。在学期末，寻找偏导数是必要的测试。
理解上的困难在于方向导数和梯度，这将在本章的要点中详细说明。另外，也许我们还会写一些“论及方向性导论”，它已得到说明和说明。
第一个应用程序问题是几何问题，第二个应用程序问题是极值问题，这两个问题在考试结束时都是必需的，应通过一定数量的练习加以加强和巩固。 7.1微分方程的基本概念 7.2可分离变量的微分方程 7.3齐次方程 7.5可约的高阶微分方程 7.6高阶线性微分方程 7.7具有常数系数的齐次线性微分方程 8.1向量及其线性运算 8.2数量乘积乘积 8.3曲面及其方程 8.4空间曲线及其方程 8.5平面及其方程 8.6空间线及其方程 9.1多元函数的基本概念 9.2偏导数 9.3总差异 9.4多元复合函数的推导规则 9.5隐函数的推导公式 9.6多元函数微积分的几何应用 9.7方向导数和梯度 9.8多元函数的极值及其解决方案
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浅谈多元函数微积分学理论与应用 在我们的生活中，很多时候一个事物的变化是由许多其他事物共同作用的结果，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形。我们在研究这类问题时，需要建立数学模型，来更好的研究变量的性质和它们之间的作用关系等等，这就是为嘛我们要学习多元函数微积分学。 多元函数微分学 1、多元函数的概念 例、圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间的具有关系 V=πr2h 这里r、h在集合｛（r、h）｜r>0，h>0｝内取定一对值
（r，h）时，V的对应值随之确定。 定义 设D是R2的一个非空子集，称映射f：D→R为定义在D上
的二元函数，通常记为 z=f（x，y），（x，y）∈D，把定义中的D换成n维空间Rn内的点集D，映射f：D→R就称为定义在D上的n元函
数。 多元函数的定义域的求法与一元函数类似，也是先写出其构成部分的各简单函数的定义域的不等式，然后解联立不等式组，得出各变量的依存关系，即定义域。 与一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和定义关系有关，而与用什么字母表示自变量和因变量无关。 第一节还有几个“集”的概念，比较重要的像连通集：点集D中任意两点均可用完全落在D中的折线连接起来 2、多元函数的极限 定义 设二元函数f（P）= f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）
是D的聚点，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P（x，y）∈D∩U（P0，δ）时，都有｜f（P）-A｜=｜
f（x，y）-A｜→（x0，y0）时的极限，记作lim f（x，y）=A。
与一元函数极限不同的是：二元函数的极限要求点P（x，y）以任何方式、任何方向、任何路径趋向于P0（x0，y0）时，都有f（x，
y）→f（x0，y0）。
3、多元函数的连续性 定义 设二元函数f（P）= f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点，且P0∈D，如果lim f（x，y）=f（x0，y0），则称函数
f（x，y）在点P0（x0，y0）连续。
在有界闭区域上连续的函数有这样一些性质①有界性②最大值、最小值③介值。 定义 设函数f（x，y）的定义域为D，P0（x0，y0）是D的聚点。
如果函数f（x，y）在点P0（x0，y0）不连续，则称P0（x0，y0）为
函数f（x，y）的间断点。 4、偏导数的定义 其实就是把一个自变量看成常数再对另一个自变量求导。要注意的就是：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续，这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数f（P）趋于f（P0），但不能保证点P
按任何方式趋于P0时，函数值f（P）都趋于f（P0）。 多元函数对子
变量可导与否与函数在某一点是否连续无关。它的几何意义就是：Z在x0，y0处对X的偏导数表示曲面Z= f（x，y）与平行与xoz平面
y= y0x交线上过点（x0，y0）的切线斜率。
一般讲求某点处的偏导数是先求偏导函数，然后再求偏导函数在该点处的值。多元函数求偏导问题的实质仍是一元函数的求导问题，故一元函数的求导公式、法则仍可直接应用。求偏导时，关键是要分清对哪个变量求导，把哪个变量暂时当作常量。 分段函数在分界点处的偏导数用定义求。 高阶偏导数:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关，同样，二阶以上的高阶混合偏导数在相应高阶偏导数连续的条件下也与求导的次序无关。 5、全微分的定义
定义 若在点的全增量可以写成 ，其中A、B与、无关，
，则称在点处可微，且称为 在点全微分. 注意，在多元函数中，个偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。即“可微一定可导，可导不一定可微”通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。还有就是对分段函数在分段点处的可微性，应按定义判定。
6、多元复合函数的求导法则 有三种情况，注意全微分形式不变性就行了。 7、隐函数的求导公式 细分的话有三类，就是三个公式，特别注意每个公式等号右边都有个负号。 8、多元函数微分学的几何应用 一个是求空间曲线的切线都和法平面，一个是求曲面的切平面的法线。这里还提到了方向余弦的求法。 9、方向导数与梯度 描述多元函数的在某点处的一般变化率的是梯度，而梯度是一个向量，因此它在某个确定的点处是具有确定的方向的。而在实际应用当中，我们不只是需要知道函数在梯度方向的变化率，也还要求知道其他特定方向的变化率，这种根据特定方向而计算出来的变化率，称为方向导数。 10、多元函数的极值及其求法 定义比较简单。 定理1 设函数z= f（x，y）在点（x0，y0）具有偏导数，且在点
（x0，y0）处有极值，则有fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0。
定理2 设函数z= f（x，y）在点（x0，y0）的某邻域内连续且有
一阶及二阶连续偏导数，又fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，令fxx
（x0，y0）=A，fxy（x0，y0）=B，fyy（x0，y0）=C，则f（x，y）在（x0，y0）处是否取得极值的条件如下：
（1）AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极
小值； （2）AC-B2<0时没有极值；
（3）AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，需另讨论。 条件极值 拉格朗日 自变量有附加条件的极值称为条件极值。在求解具有等式约束条件的条件极值问题时，一般并不是从约束等式解出一个变量，再代入目标函数，因为从约束等式解出一个变量往往并不简单，反而相当麻烦，因此，我们一般使用所谓的拉格朗日乘数法。 拉格朗日乘数法 要找条件极值，先做拉格朗日函数，其中k为参数，求其对x与y的一阶偏导
数后可得由这方程组解出x，y及k，
这样得到的（x，y）就是函数f（x，y）在附加条件下的可能极值点。 重积分 1、二重积分的概念与性质 2、二重积分的计算法 一是利用直角坐标计算二重积分，要注意判断积分区域是X型还是Y型；二是利用极坐标计算二重积分，要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的x、y分别换成ρcosθ、ρsinθ，并把直角坐标系dxdy换成极坐标系中的面积元素ρdρdθ。当遇到f（x，y）中含有x2+y2时,就应该马上想到用极坐标
3、三重积分的概念 4、三重积分的计算 利用直角坐标计算三重积分；利用柱面坐标计算三重积分；利用球面坐标计算三重积分。 5、重积分的应用 求曲面的面积；求质心；求转动惯量；求引力。 曲线积分与曲面积分 将积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或一片平面的情形 1、 对弧长的曲线积分的概念和性质 这儿有一个可积性的问题：光滑或分段光滑曲线L上连续的函数可积。 2对弧长的曲线积分的计算法 说白了就是求导和定上下限，注意下限一定小于上限。 3、对坐标的曲线积分的概念和性质 ①线性性质 ②区域可加性 ③有向性 4、对坐标的曲线积分的计算法 因为它的参数t取值范围的确定由积分路径的起点和终点来对应，所以注意下限不一定小于上限。 5、两类曲线积分之间的联系与区别 第二类曲线积分和第一类曲线积分的一个区别就是第二类积分有方向之别。 通过切向量的方向余弦来转换。 6、格林公式及其应用 当积分区域由分段光滑的曲线围成，函数在区域上具有一阶连续偏导数，就可用格林公式了。 7、平面上曲线积分与路径无关的条件 这里有一个“奇点”的概念 8、二元函数的全微分求积 9、对面积的曲面积分 通过公式化成二重积分做。 10、对坐标的曲面积分 11、两类曲面积分之间的关系 通过曲面的法向量的方向余弦转化 12、高斯公式 通量与散度 格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系。 13、通量与散度 14、斯托克斯公式 环流量与旋度 斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面∑上的曲面积分与沿着∑的边界积分的曲面积分联系起来。还有，格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。 一元，多元 一元函数就像是直线，多元函数则相当于面、体，甚至更复杂的概念。一元函数的许多性质与多元函数是相似的，所以我们在学习多元函数的时候，可以通过联想一元函数的性质来记忆。但是我学到现在，发现多元函数比一元复杂了不是一点点，说实在的，就是要复习；怎么复习呢，就是要做题。 印象深刻 印象深刻的地方一般都是比较难的地方，还有就是和同学讨论后突然明白的地方。 没学好的 1、 隐函数求导公式 一开始觉得不就是代公式吗，后来复习的时候发现似乎不是这么简单，比如说36页例4，不看答案就不会做。 2、 重积分的应用 现在的程度是会代公式了，公式怎么来的不是很明白。重积分的