2.22.2.4旋转变换+2.2.5投影变换+2.2.6切变变换

高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定

四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。

2019届高考数学一轮复习选考部分专题几种常见的变换学案苏教版选修42

投影变换、切变变换 【考纲下载】 1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换——投影变换与切变变换； 2．掌握投影变换与切变变换的几何意义及其矩阵表示. 一、【知识回顾】 请阅读教材P26--31页内容，并回答以下问题： 问题1 投影变换的概念：像1010,0010????????????这样将平面内图形投影到某条直线（或某个点）上的矩阵，我们称之为 ，相应的变换称做 。 问题2： 切变变换的概念：像101k ??????，101k ?????? 这样将平面上的点沿x 轴（或y 轴）方向平移的矩阵，称为 ，相应地变换称为 . 问题3： 投影变换是映射，但不是 . （1） 投影变换主要研究：11000M ??=????，20001M ??=????，31010M ??=???? 与矩阵11000M ??=???? 对应的变换是将平面上的所有点垂直投影到 轴上，即(,)(,0)x y x →. 与矩阵20001M ??=???? 对应的变换是将平面上的所有点垂直投影到 轴上，即(,)(0,)x y y →. 与矩阵31010M ??=???? 对应的变换是将平面上的所有点沿垂直于x 轴方向投影到 上，即 (,)(,)x y x x →. （3）切变变换保持图形的 大小不变 二、【预习检测】 1、直线x+y=5在矩阵???? ??1100 对应的变换作用下得到的图形是 。 2、向量a →在矩阵1201A -??=????的作用下变为与向量11????-?? 平行的单位向量，则a →＝

3、A（0，0），B（1，2）在矩阵M作用下分别变换为点A‘（0，0），B’（1.5，2.5），求变换对应的矩阵M。 4、已知 10 12 A ?? =?? -?? ，a → ＝ 1 1 ?? ?? -?? ，b → ＝ 1 x?? ?? ?? ，若A a → 与A b → 的夹角为135o，求x. 三、【应用举例】 探究1 直线y x =-在矩阵 10 00 ?? ?? ?? 作用下变换得到什么图形. 探究2 曲线221 x y +=在矩阵 00 01 ?? ?? ?? 作用下变换得到什么图形？

高中数学人教版必修简单的三角恒等变换教案(系列一)

3.2 简单的三角恒等变换 一．教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向 使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三 角恒等变形在数学中的应用。 3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中 如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力． 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力． 三、教学设想： （一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式 （二）新课讲授： 1、由二倍角公式引导学生思考：2 αα与有什么样的关系？ 学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222 sin ,cos ,tan 222α α α． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 2 2α α-=；

因为2cos 2cos 12α α=-，可以得到21cos cos 22 α α+=． 又因为222 sin 1cos 2tan 21cos cos 2α α ααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？ 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例2．已知135sin = α，且α在第二象限，求2tan α的值。 例3、求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）、sin sin 2sin cos 22θ? θ? θ?+-+=． 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手． ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2 αβαβαβ=++-????； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=， 那么,22θ? θ? αβ+-==． 把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sin cos 22θ?θ?θ?+-+=． 思考：在例3证明中用到哪些数学思想？ 例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，

三角恒等变换公式

三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数 和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式 万能公式：

sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2

高中数学变化率问题教案

§1.1.1变化率问题 教学目标 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少 ?

人教版高中数学必修四三角恒等变换题库

（数学4必修）第三章 三角恒等变换 [基础训练A 组] 一、选择题 1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．7 24- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，c = ， 则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为4π的奇函数 B .周期为4 π的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期为2 π的偶函数 6．已知cos 2θ= 44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 二、填空题 1．求值：0000 tan 20tan 4020tan 40+=_____________。 2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα += 。 3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。

4．已知sin cos 223 θ θ +=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。 5．ABC ?的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2 B C A ++取得最大值，且这个最大值为 。 三、解答题 1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值. 2．若,2 2sin sin = +βα求βαcos cos +的取值范围。 3．求值：0 010001cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20 -+-- 4．已知函数.,2 cos 32sin R x x x y ∈+= （1）求y 取最大值时相应的x 的集合； （2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象. （数学4必修）第三章 三角恒等变换 [综合训练B 组] 一、选择题 1．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,221tan 13a b c -=-==+则有（ ） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a <<

苏教版数学高二- 选修1-1学案 平均变化率

3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念. 2.会求函数在指定区间上的平均变化率. 3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题． 1．函数f(x)在区间上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy Δx＝ f x2－f x1 x2－x1的几何意义是：表示连接函数y＝f(x) 图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号) ①在上的平均变化率； ①在x0处的变化率； ①在x1处的变化率； ①以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________. 3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________. 4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．

7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______． 8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间内相应的平均速度是________． 二、解答题 9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间上的平均变化率． 10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率． 能力提升 11. 甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？

高中数学必修4 三角恒等变换

高中数学必修4 三角恒等变换1 1．已知(,0)2 x π ∈-，4 cos 5 x = ，则=x 2tan （ ） A ． 247 B ．247- C ．7 24 D ．724- 2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A . 5π B .2 π C .π D .2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定 4．函数)cos[2()]y x x ππ= -+是（ ） A .周期为 4π的奇函数 B.周期为4π 的偶函数 C .周期为2π的奇函数 D .周期 为2 π 的偶函数 5．已知cos 23 θ= ，则44 sin cos θθ+的值为（ ） A ． 1813 B ．1811 C ．9 7 D ．1- 6. 函数2 sin cos y x x x =+的图象的一个对称中心是（ ） A .2( ,32π- B .5(,62π- C .2(,32π- D .(,3 π 7. 当04 x π <<时,函数22cos ()cos sin sin x f x x x x =-的最小值是（ ） A ．4 B ． 12 C ．2 D ．14 8. 已知函数()sin(2)f x x ?=+的图象关于直线8 x π= 对称，则?可能是（ ） A . 2π B .4π- C .4 π D .34π 9. 将函数sin()3y x π =-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将 所得的图象向左平移3 π 个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=- C .1sin()26y x π=- D .sin(2)6 y x π =-

矩阵变换的解释

1.1 三維旋轉矩陣實用算法 3D数学---- 矩阵和线性变换 一般来说，方阵能描述任意线性变换。线性变换保留了直线和平行线，但原点没有移动。线性变换保留直线的同时，其他的几何性质如长度、角度、面积和体积可能被变换改变了。从非技术意义上说，线性变换可能“拉伸”坐标系，但不会“弯曲”或“卷折”坐标系。 矩阵是怎样变换向量的 向量在几何上能被解释成一系列与轴平行的位移，一般来说，任意向量v都能写成“扩展”形式： 另一种略有差别的形式为： 注意右边的单位向量就是x，y，z轴，这里只是将概念数学化，向量的每个坐标都表明了平行于相应坐标轴的有向位移。 让我们将上面的向量和重写一遍，这次分别将p、q、r定义为指向+x，+y和+z方向的单位向量，如下所示： v = x p + y q + z r 现在，向量v就被表示成向量p，q，r的线性变换了，向量p，q，r称作基向量。这里基向量是笛卡尔坐标轴，但事实上，一个坐标系能用任意3个基向量定义，当然这三个基向量要线性无关（也就是不在同一平面上）。以p、q、r为行构建一个3 x 3矩阵M，可得到如下矩阵： 用一个向量乘以该矩阵，得到：

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量，那么乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换，如果aM=b，我们就可以说，M将a转换到b。 从这点看，术语“转换”和“乘法”是等价的。 坦率地说，矩阵并不神秘，它只是用一种紧凑的方式来表达坐标转换所需的数**算。进一步，用线性代数操作矩阵，是一种进行简单转换或导出更复杂转换的简便方法。 矩阵的形式： 基向量[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]乘以任意矩阵M： 用基向量[1, 0, 0]乘以M时，结果是M的第1行。其他两行也有同样的结果，这是一个关键的发现：矩阵的每一行都能解释为转换后的基向量。 这个强有力的概念有两条重要性质： 1、有了一种简单的方法来形象化解释矩阵所代表的变换。 2、有了反向建立矩阵的可能---- 给出一个期望的变换（如旋转、缩放等），能够构造一个矩阵代表此变换。我们所要做的一切就是计算基向量的变换，然后将变换后的基向量填入矩阵。 首先来看看2D例子，一个2 x 2矩阵： 这个矩阵代表的变换是什么？首先，从矩阵中抽出基向量p和q： p = [2 1]

高考数学精品系列专题矩阵与变换、行列式(学生版)

2012版高考数学 3-2-1精品系列专题16 矩阵与变换、行列式（学 生版） 变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换． （3）变换的复合——二阶方阵的乘法① 了解矩阵与矩阵的乘法的意义．② 理解矩阵乘法不满足交换律．③ 会验证二阶方阵乘法满足结合律．④ 理解矩阵乘法不满足消去律． （4）逆矩阵与二阶行列式① 理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在．② 理解逆矩阵的唯一性和1 11() AB B A ---= 等简单性质，了解其在变换中的意义．③ 了解二阶行列 式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵． （5）二阶矩阵与二元一次方程组① 能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义．② 会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组．③ 理解线性方程组解的存在性、唯一性． （6）变换的不变量① 掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向量的意义．② 会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）． 近几年考点分布 从近几年的高考来看主要考查二阶矩阵的基本运算，主要是以解答题的形式出现． 【考点pk 】名师考点透析 考点一、常见矩阵变换的应用 例1：已知曲线C ：xy ＝1.(1)将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′的 方程；(2)求曲线C 的焦点坐标和渐近线方程． 【名师点睛】把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲

线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解． 考点二、二阶逆矩阵 例2 求矩阵A ＝???? ?? 3 22 1的逆矩阵． (1) 求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量． 是矩阵M 对应的特征向量． 【三年高考】10、11、12 高考试题及其解析 12 高考试题及其解析

高中数学三角恒等变换精选题目(附答案)

高中数学三角恒等变换精选题目（附答案） 1、cos 24cos36cos66cos54? ? ? ? -的值为（ ） A 0 B 12 C 2 D 1 2 - 2.3cos 5α=- ，,2παπ?? ∈ ??? ，12sin 13β=-，β是第三象限角，则=-)cos(αβ（ ） A 、3365- B 、6365 C 、5665 D 、1665 - 3. tan 20tan 4020tan 40? ? ? ? ++的值为（ ） A 1 B 3 C D 4. 已知()()tan 3,tan 5αβαβ+=-=，则()tan 2α的值为（ ） A 47- B 47 C 18 D 18- 5.βα,都是锐角，且5sin 13α=，()4 cos 5 αβ+=-，则βsin 的值是（ ） A 、3365 B 、1665 C 、5665 D 、6365 6.,)4,43(ππ- ∈x 且3cos 45x π?? -=- ??? 则cos2x 的值是（ ） A 、725- B 、2425- C 、2425 D 、7 25 7. 函数4 4 sin cos y x x =+的值域是（ ） A []0,1 B []1,1- C 13,22?????? D 1,12?? ???? 8. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于 5 4 ,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A 1010 B 1010- C 10103 D 10 103- 9.要得到函数2sin 2y x =的图像，只需将x x y 2cos 2sin 3-= 的图像（ ）

A 、向右平移6π个单位 B 、向右平移12π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向左平移12π个单位 10. 函数sin 22x x y =+的图像的一条对称轴方程是 （ ） A 、x =113π B 、x = 53π C 、53x π=- D 、3 x π =- 11. 已知1cos sin 21cos sin x x x x -+=-++，则x tan 的值为 （ ） A 、34 B 、34- C 、43 D 、4 3- 12.若0,4πα? ? ∈ ?? ?()0,βπ∈且()1tan 2αβ-=,1 tan 7 β=-,则=-βα2 （ ） A 、56π- B 、23π- C 、 712 π- D 、34π- 13. .在ABC ?中，已知tanA ,tanB 是方程2 3720x x -+=的两个实根，则tan C = 14. 已知tan 2x =，则 3sin 22cos 2cos 23sin 2x x x x +-的值为 15. 已知直线12//l l ，A 是12,l l 之间的一定点，并且A 点到12,l l 的距离分别为12,h h ，B 是直线2l 上一动点，作AC ⊥AB ，且使AC 与直线1l 交于点C ，则ABC ?面积的最小值为 。 16. 关于函数( )cos2cos f x x x x =-，下列命题： ①若存在1x ，2x 有12x x π-=时，()()12f x f x =成立；②()f x 在区间,63ππ?? - ???? 上是单调递增； ③函数()f x 的图像关于点,012π?? ??? 成中心对称图像； ④将函数()f x 的图像向左平移 512 π 个单位后将与2sin 2y x =的图像重合． 其中正确的命题序号 （注：把你认为正确的序号都填上） 17. 已知02 π α<< ，15tan 2 2tan 2 α α + = ，试求sin 3πα? ?- ?? ?的值． 18. 求) 212cos 4(12sin 3 12tan 30 200--的值．

高一数学必修一三角恒等变换公式

三角恒等变换公式 教学目标： 1、掌握二倍角公式、和差公式的应用； 2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。 重难点分析： 重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。 难点：1、二倍角公式的灵活使用； 2、整体代换思想与求解三角函数值。 知识点梳理 1、和差公式 sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________ ±=αβ。 2、二倍角公式 sin 2_______________α=； cos 2___________________________________α===； tan 2____________α=。 3、半角公式[升（降）幂公式] 2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。 4、合一公式[辅助角公式] sin cos ____________a b αα+=（?由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22?ααα++= +b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2 α 等。

知识点1：利用公式求值 （1）和差公式 【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【 】 A ．2 1 B ．1 C ． 2 2 D ． 2 3 【例2】sin 27cos63cos27sin63??+??=【 】 A ．1 B ．1- C ． 22 D ．2 2- 【随堂练习】 1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【 】 A ．0 B ． 2 1 C ． 2 3 D ．1 2、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【 】 (A )2 1- (B )2 3- (C )2 1- (D ) 2 3 3、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。 4、sin34sin 26cos34cos26??-??=【 】 A ．12 B ．1 2 - C ．32 D ．32- 5、式子cos cos sin sin 12 6 12 6 π π π π -的值为【 】

2020-2021年高二数学平均变化率教案 苏教版

2019-2020年高二数学平均变化率教案苏教版 一、教学目标 1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。 体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。 二、教学重点、难点 重点：平均变化率的实际意义和数学意义 难点：平均变化率的实际意义和数学意义 三、教学过程 一、问题情境 1、情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载. 观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为： （理解图中A、B、C点的坐标的含义） 实用文档

实用文档 问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面） 问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？ 二、学生活动 1、曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。 2、由点B 上升到C 点，必须考察y C —y B 的大小，但仅仅注意y C —y B 的大小能否精确量化BC 段陡峭程度，为什么？ 3、在考察y C —y B 的同时必须考察x C —x B ，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。 三、建构数学 1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。 t (d) 20 30 34 2 2030 10

2.一般地,给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率。 3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。4。平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。 四、数学运用 例1、在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？ 变：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲， 乙两人的经营成果？ 例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s后容器 甲中水的体积（单位：）， 计算第一个10s内V的平均变化率。 实用文档

高中数学三角函数与三角恒等变换(知识点)

三角函数与三角恒等变换（知识点） 1．⑴ 角度制与弧度制的互化：π弧度180=，1180 π =弧度，1弧度180 ( )π ='5718≈. ⑵ 弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211 ||22 S R Rl α= =. 2．三角函数定义： ⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x ,y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin α；x 叫作α的 余弦，记作cos α； y x 叫作α的正切，记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ，设||OP r =，则： sin ,cos ,y x r r αα==tan y x α=. 三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3．三角函数线： 正弦线：MP ； 余弦线：OM ； 正切线： AT . 4 六组诱导公式统一为“()2 k Z α±∈” ，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+=（平方关系）；sin tan cos α αα =（商数关系）. 6．两角和与差的正弦、余弦、正切：① sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； ② cos()cos cos sin sin αβαβ αβ±=； ③ tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= . 7．二倍角公式：① sin22sin cos ααα=； ② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα= -=-=-； ③ 2 2tan tan 21tan α αα =-. 变形：21cos2sin 2αα-=；21cos2cos 2 α α+=. （降次公式） 8．化一：sin cos )y a x b x x x =+)x ?+. 9. 物理意义：物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ω?=+∈+∞，其中0,0A ω>>. 振幅为A ，表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为2T π ω = ，表示物体往返运动一次所需的时间；频率为12f T ω π = = ，表示物体在单位时间内往返运动的次数；x ω?+为相位；?为初相.

选修42矩阵与变换习题

第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。 一、二阶矩阵 1.矩阵的概念 ①OP → (2, 3)，将→的坐标排成一列，并简记为??????2 3 ???? ?? 2 3 初赛 复赛 甲 80 90 乙 86 88 ③ 概念一： 象??????2 3 80908688?? ???? 23324m ????-?? 的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍： ①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 ③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行） ④列矩阵：???? ?? a 11 a 21 （仅有一列） ⑤向量a → ＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ?? ???? ，在本书中规定所有的平面向量 均写成列向量x y ?? ???? 的形式。 练习1： 1.已知??????-=243x A ,?? ? ???-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,, 2.设23x A y ??=????，2m n x y B x y m n ++?? =??--?? ，若A=B ，求x,y,m,n 的值。 概念二： 由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ?? ????称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。 ①零矩阵：所有元素均为0，即0000?? ???? ，记为0。 ②二阶单位矩阵：1001?? ?? ?? ，记为E 2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法 2 3 m 3 －2 4 y x 2 3 O P ( 2, 3) — 2 — 3 — ???? ??80 90 86 88 231,3242x y mz x y z ++=??-+=?简记为23324m ????-??

苏教版选修2-2高中数学1.1.1《平均变化率》word教案

课 题： 平均变化率 教学目标： 1. 通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念 的实际背景，体会导数的思想及其内涵。 2. 通过函数图像直观地导数的几何意义。 3. 体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方 法。 教学重难点： 导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵。导数的几何意义 教学过程： 一、问题情境 1、情境： 某市2019年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！” 时间 4月18日 4月19日 4月20日 日最高气温 18.6℃ 24.4℃ 33.4℃ 该市2019年3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线: 问题1：你能说出A 、B 、C 三点的坐标所表示意义吗？ 问题2：分别计算AB 、BC 段温差 结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度 问题3：如何“量化”（数学化）曲线上升的陡峭程度？ 曲线AB 、BC 段几乎成了“直线”， 由此联想如何量化直线的倾斜程度？ (1)连结BC 两点的直线斜率为k BC = t (d) 20 2 10 20 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) C (34, 33.4) T (℃) 2 B C B C x x y y --

二、建构数学 一般地,函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为： 说明： (1)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化” (2)用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。 例1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率；由此你能得到什么结论？ (1)1kg/月 (2)0.4kg/月 结论：该婴儿从出生到第3个月体重增加的速度比第6个月到第12个月体重增加的速度要快。 变式：甲、乙两人跑步，路程与时间关系如图1及百米赛跑路程与时间关系分别如图2所示，试问： （1）在这一段时间内甲、乙两人哪一个跑的较快？ （2）甲、乙两人百米赛跑，问快到终点时，谁跑的较快？ 图1 图2 例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积 （单位： ）计算第一个10s 内V 的平均变化率。 T(月) W(kg) 6 3 9 12 3.5 6.5 8.6 11 路程 乙甲 t o 乙 甲 100m t 0 t o 2 121 ()()f x f x x x --x y ??=t t V 1.025)(-? =3cm

高中数学必修 三角恒等变换知识点归纳

高中数学必修4第三章三角恒等变换知识点 1、同角关系：⑴商的关系：①sin tan cos y x θθθ= =②cos cot sin x y θθθ==③sin cos tan y r θθθ==?④cos sin cot x r θθθ==?⑵倒数关系：tan cot 1 θθ?=⑶平方关系：22sin cos 1 θθ+=2、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ +=-⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ +=+⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --=+?（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ++=-? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）3、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=2 22)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα =-=-=-?升幂公式 21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=?降幂公式 2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=⑶22tan tan 21tan α αα =-4、半角公式 1cos cos 22 α α +=±1cos sin 22 αα -=±1cos sin 1cos tan 21cos 1cos sin α αααααα--=± ==++?（后两个不用判断符号，更加好用）

人教版数学高二-人教B版选修2-2课时作业 函数的平均变化率

第一章 §1.1 课时作业1 一、选择题 1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A. 0.40 B. 0.41 C. 0.43 D. 0.44 解析：∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41. 答案：B 2．某物体的运动规律是s ＝s (t )，则该物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是( ) A.v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt B.v ＝ s (Δt )Δt C.v ＝s (t )t D.v ＝ s (t ＋Δt )－s (Δt )Δt 解析：由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变 量与时间改变量的比，所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt ，故选A. 答案：A 3．已知函数f (x )＝2x 2＋3的图象上一点(1,5)与邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx 等于( ) A ．4＋2Δx B ．4＋(2Δx )2 C ．4x D ．4 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2＋3－(2×12＋3)＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx ，故选A. 答案：A 4．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1

第七课时切变变换doc.

第七课时切变变换 学习目标 1、理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。 2、掌握切变变换的几何意义及其矩阵表示。 学习过程： 一、预习： 1、向量a在矩阵A的作用下变为与向量平行的单位向量，则 x b = ，若Aa与Ab的夹角为135°,求x. 1 （一）阅读教材，解决下列问题： 问题1:仔细观察，你发现了什么? 问题2:你能将问题数学化吗? 练习 2、已知A

二、课堂训练： 例 1 ．已知矩形的顶点 A(-2,1),B(-2,-1),C(1,-1),D(1,1) 1 2 1 )求矩形 ABCD 在矩阵 作用下变换得到的几何图形。 0 1 (2)求矩形 ABCD 在矩阵 1 0 作用下变换得到的几何图形。 2 1 例 2 、对于一个平面图形来说，在切变变换前后，它的几何性质(如线段长度、角度、周 练习： 2.求把△ ABC 变换成 △ A B '的变换矩阵，其中 A(-2,1)、B(0,1)、C(0,-1)、A (,-3)、 B ' (0,1、) C ' (0-1,). 长、面积)有变化吗？试以例 1(1)为例加以说明。 1. 考虑直线 x+y=2 在矩阵 1 作用下变换得到的几何图形。 1

2 三、课后巩固： 1、 _________________________________________________________ 关于x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是 __________________________________________________ 2、 在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转 120°的旋转变换对应的二阶矩阵是 3、 如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是 __________ 4、 平面上一点A 先作关于x 轴的反射变换，得到点 A,在把A 绕原点逆时针旋转180°，得 到点民，若存在一种反射变换同样可以使 A 变为则该反射变换对应的二阶矩阵是 _ 5、 .P ( 1，2)经过平行于 y 轴的切变变换后变为点 P(1,-5)，则该切变变换对应的坐标 公式为 ______________ 10、在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为 1 x 6 .设 A 2x 1 y ，B z x 2 4 ，且 A=B.则 x = 7、在平面直角坐标系中，关于直线 y=-x 的正投影变换对应的矩阵为 ___________________ 8、在矩阵A 对应的线性变换作用下，点 P(2,1)的像的坐标为 ___________ 9、已知A ,b = 3 ，设 a b ,①求A , A 。求①点A (1/5,3 )