高数各章综合测试题与复习资料

第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题 1、若幂级数1(1)nnn a x ∞=+∑在1x =处收敛,则该幂级数在52x =-处必然( ） （A) 绝对收敛; （Ｂ） 条件收敛; (Ｃ) 发散; (D) 收敛性不定.2、下列级数条件收敛的是（ ).(Ａ） 1(1);210n n nn ∞=-+∑(B)11n n -∞= (C) 111(1)();2nn n ∞-=-∑ (D ）11(1)n n ∞-=-∑ 3、若数项级数1nn a∞=∑收敛于S ，则级数()121nn n n aa a ∞++=++=∑( )(A ） 1;S a + (B) 2;S a + (C ） 12;S a a +- (D) 21.S a a +- ４、设a为正常数，则级数21sin n na n ∞=⎡⎢⎣∑( ). (Ａ） 绝对收敛； (B) 条件收敛； （Ｃ） 发散; (D) 收敛性与a 有关.5、设2(),01f x x x =<≤,而1()sin π,nn S x bn x x ∞==-∞<<+∞∑，其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==⎰,则1()2S -等于( ) (Ａ) 1;2- (Ｂ) 1;4- (C) 1;4 （Ｄ） 12.二、填空题 1、 设14n n u ∞==∑,则111()22n nn u ∞=-=∑（ ） 2、 设()111n n n a x ∞+=-∑的收敛域为[)2,4-，则级数()11nn n na x ∞=+∑的收敛区间为( )3、 设32,10(),01x f x x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( ）4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ∞=++∑ 则3b =（ )5、级数()1(1)221!n n nn ∞=-+∑的和为（ )三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域 2、求()21112nn n ∞=-⋅∑的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数,并求()(1)0n f+4、求2012!nnn n x n ∞=+∑的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n xn n f x f x x -'=+，n 为正整数,且e(1)n f n=,求函数项级数()1n n f x ∞=∑的和函数．6、 设有方程10n x nx +-=,其n 中为正整数,证明此方程存在唯一正根0x ,并证明当1α>时，级数1n n x α∞=∑收敛．四、证明题设π40tan d n n a x x =⎰（1） 求()211nn n aa n ∞+=+∑（2） 试证：对任意常数0λ>，级数1nn a n λ∞=∑收敛 提示:()()2111n n a a n n n ++=+,()2111n n n a a n∞+=+=∑.因为211n n a a n ++=+，所以111n a n n <<+，1111n n n a n nλλ∞∞+==<∑∑第十一章 无穷级数测试题答案与提示一、1、Ａ;2、D ；3、B ；4、C;5、Ｂ. 二、1、1;2、()4,2-；3、32;4、2π3;5、cos1sin1-． 三、1、答案:[)0,6. ２、答案:53ln 284- 提示:原式为级数()211n n x n ∞=-∑的和函数在12x =点的值.而()22221121211n n nn n n x x x n n n ∞∞∞====--+-∑∑∑,分别求出2121n n x n ∞=-∑和2121n n x n ∞=+∑的和函数即可. 3、答案：110(1)211(),,122n n n n f x x x n +∞+=--⎡⎫=∈-⎪⎢+⎣⎭∑()1(1)(1)20!1n n n fn n ++--=⋅+. 提示： ()()()2()ln 12ln 12ln 1f x x x x x =--=-++4、答案：222011e 1,2!42xn nn n x x x x n ∞=⎛⎫+=++--∞<<+∞ ⎪⎝⎭∑ 提示：()2011112!1!2!2nnn n n n n n n x x x n n n ∞∞∞===+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑∑∑,而()1011e ,e 1!!xn xn n n x x x n n ∞∞====-∑∑5、答案：()()[)1e ln 1,1,1xn n f x x x ∞==--∈-∑提示:先解一阶线性微分方程,求出特解为()e xn x f x n=()111e e x xn n n n x x f x n n ∞∞∞=====∑∑∑，记1()n x S x n∞==∑,则可得()ln(1)S x x =--6、提示:设()1nn f x x nx =+-,则()()0,0n f x x '>>,故()n f x 在()0,+∞内最多有一个正根.而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知,00110n x x n n -<=<,故当1α> 时,级数1n n x α∞=∑收敛.四、提示:()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n∞+=+=∑.因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+，1111n n n a n nλλ∞∞+==<∑∑第十章 曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题 1、已知()()2d d x ay x y y x y +++为某二元函数的全微分，则a 等于( ）（Ａ) 1;- (B ） 0; (C) 1; (D) 2.2、设闭曲线c 为1x y +=的正向，则曲线积分d d cy x x yx y-++⎰的值等于( )(A) 0; (Ｂ) 2; (C) 4; (D) 6.3、设∑为封闭柱面()22203x y a z +=≤≤，其向外的单位法向量为{}cos ,cos ,cos n αβγ=，则()cos cos cos d x y z s αβγ∑++⎰⎰等于( )(A) 29π;a (B ） 26π;;a (C) 23π;a （D) 0.4、设曲线c 为22220x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩，则d cx s ⎰等于( ）（A) 23;a (Ｂ） 0； (C) 2;a （D)213a ． 5、设∑为下半球z =的上侧,Ω是由∑和0z =所围成的空间闭区域,则d d z x y ∑⎰⎰不等于( )(Ａ) d ;v Ω-⎰⎰⎰(Ｂ) 2πd dr θ⎰⎰;(C) 2πd d ;r θ-⎰⎰(D ）()d d z x y x y ∑++⎰⎰.二、填空题1、设c 是圆周222x y a+=,则()2d cx y s -=⎰（ )2、设质点在力()()32F y x i y x j =++-的作用下沿椭圆2244x y +=的逆时针方向运动一周,则F 所做的功等于( )3、设∑是平面6x y z ++=被圆柱面221x y +=所截下的部分,则d z s ∑⎰⎰等于( ）4、设∑是球面2221x y z ++=的外侧,则()23222d d xy z xy z∑++⎰⎰等于( ）5、设22()d ()d 1cxf x y x f x y x -++⎰与路径无关,其中()f x '连续且(0)0f =，则()f x =（ ) 三、计算与应用题 1、求()()x y sin d cos d L I e y b x y x e y ax y ⎡⎤=-++-⎣⎦⎰,其中,a b 为正常数,L 为从点()2,0A a 沿曲线y =()0,0O 的弧.2、计算2d LI y s =⎰,其中L 为圆周2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩.3、在变力F yzi zx j xyk =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦挂线的点(),,M ξηζ,问,,ξηζ取何值时,力F 所做的功W 最大？并求出W 最大值.４、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(),,P x y z S ∈,π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z ρ为点()0,0,0O 到平面π的距离，求()d ,,Szs x y z ρ⎰⎰.5、求d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++⎰⎰，其中∑为曲面()221014y z x x =--≤≤的上侧．6、设对于半空间0x >内任意光滑有向闭曲面S ，都有,2()d d ()d d e d d 0x Sxf x y z xyf x z x z x y --=⎰⎰，其中函数()f x 在()0,+∞内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +→=,求()f x .答案:()e ()e 1x xf x x=-提示：由题设和高斯公式得220()d d ()d d e d d ()()()e d x xSxf x y z xyf x z x z x y xf x f x xf x v Ω'⎡⎤=--=±+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰由S 的任意性,知2()()()e 0xxf x f x xf x '+--=,解此微分方程即可.四、证明题 已知平面区域(){},0π,0πD x y x x =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，试证:(1)sin sin sin sin ed e d ed e d yx yx LLx y y x x y y x ---=-⎰⎰；（２）2sin sin 5πe d e d 2y x Lx y y x --⎰≤第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、１、D;２、Ｃ;3、Ａ；4、B;5、B. 二、１、3πa -；2、4π-;3、;4、4π3;5、211x +. 三、 1、答案:23ππ222I a b a ⎛⎫=+-⎪⎝⎭．提示：添加从()0,0O 沿0y =到点()2,0A a 的有向直线段1L ，然后用格林公式. ２、答案:32π3I a =． 提示:利用变量“对等性”22231d d d d 3LLLL I y s x s z s a s ====⎰⎰⎰⎰. 3、答案:ξηζ===max W =. 提示：直线段:,,OM x t y t z t ξηζ===,t 从0变到1，功W 为 120d d d 3d OMW yz x zx y xy z t t ξηζξηζ=++==⎰⎰再求W ξηζ=在条件2222221x y z a b c++=下的最大值即可.4、答案：()3d π,,2Sz s x y z ρ=⎰⎰．提示：曲面S 在点(),,P x y z 处的法向量为{},,2x y z ,切平面方程为：022x yX Y zZ ++=, 点()0,0,0O 到平面π的距离()12222,,44x y x y z z ρ-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 5、答案：d d 2d d 3d d πI xz y z zy z x xy x y ∑=++=⎰⎰.提示:添加曲面1∑为平面xoy 上被椭圆()221014y x x +=≤≤所围的下侧，在∑和1∑所围封闭曲面上用高斯公式. 注意到在1d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y ∑=++⎰⎰的积分等于3d d Dxy x y ⎰⎰为0.6、提示： （1） 左边=()ππsin sin sin sin 0ππed πed πe +e d yxx x y x x ---=⎰⎰⎰,同理，右边=()πsin sin 0πe+e d xx x -⎰（2） 由(１)得sin sin e d e d y x Lx y y x --⎰＝()πsin sin 0πe +e d x x x -⎰,而由sin e x 和sin e x-泰勒展开式知道()π2π2sin d x x +⎰≤()πsin sin 0πe +e d x x x -⎰,而()π225π2sin d π2x x +=⎰.第九章 重积分测试题一、选择题１、若区域D 是xoy 平面上以(1,1)，(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限中的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ ).(Ａ） 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰;(B) 2cos sin Dx ydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰（D) 0２、设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是xoy 平面上由20,y y x == 和1x =所围区域，则(,)f x y 等于（ ).(A) xy ； (B ） 2xy ; (Ｃ) 1xy + ; （D) 18xy +３、设22222123d ,cos()d d ,cos()d d ,DDDI x y I x y x y I x y x y ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中(){}22,1D x y xy =≤+，则( ).(A ） 321I I I >>; (B) 123I I I >>; (C) 213I I I >> ; (D ） 312I I I >>４、设空间闭区域Ω由2221x y z ++≤及z 0≤确定，1Ω为Ω在第一挂限的部分,则( ). (A) 1d 4d x v x v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰; (B) 1d 4d y v y v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰;(Ｃ)1d 4d z v z v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰； (D) 1d 4d xyz v xyz v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰5、设空间闭区域({,,z x y z Ω=，d I z v Ω=⎰⎰⎰，则下列将I化为累次积分中不正确的是( ）. (A)22π100d d d rI r r z θ=⎰⎰; (B ）π2π240d d cos sin d I θϕϕρϕρ=⋅⎰⎰; (C ） 12221πd π(2)d I z z z z z =+-⎰⎰；(D) 2214d d x y I x y z +=⎰二、填空题1、设区域D 为222x y R +≤，则2222d d D x y I x y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰的值等于( ）2、设(){}22,1D x y x y =≤+，则2221limln(1)d d πx y r De x y x y r -→++⎰⎰的值等于( )３、积分222d e d y xI x y -=⎰⎰的值等于( ）4、积分2222222()d x y z R I f x y z v ++=++⎰⎰⎰≤可化为定积分0()d Rx x ϕ⎰,则()x ϕ等于( )５、积分22221()d x y z I ax by v ++=+⎰⎰⎰≤的值等于( )三、计算与应用题 1、求)d d DI y x y =⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=和22(1)1x y ++=所围的平面区域. 2、求{}22max ,ed d x y DI x y =⎰⎰，其中(){},1,1D x y x y =≤≤≤≤00.3、计算22()d I x y z v Ω=++⎰⎰⎰，其中Ω由曲线220y zx ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面与平面4z =所围的立体．４、计算()d I x z v Ω=+⎰⎰⎰,Ω由z =z =确定.5、计算112111224d e d d e d y y xxyI y x y x =+⎰⎰⎰.6、设有一高度为()h t （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-（设长度单位为厘米,时间单位为小时）,已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9）,问高度为130cm 的雪堆全部融化需多少小时？四、证明题设函数()f x 在[]0,1上连续,并设1()d f x x A =⎰,证明11201d ()()d 2x I x f x f y y A ==⎰⎰.第九章 重积分测试题答案与提示一、1、A ；2、D;3、A;4、C ；5、B. 二、1、22222πR 4x y ab ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；２、1；３、()411e 2--；4、224π()x f x ；5、()224π+15a b . 三、 1、答案：()163π-29I =. 提示:将D 看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性,利用极坐标计算便可． ２、答案:e 1I =-提示:为确定{}22max ,x y ,必须将D 分成两个区域,再考虑到积分次序的选取问题即可. 3、答案：256π3I =提示:旋转曲面的方程为222x y z +=,用柱面坐标计算22π4202d d ()d r I r r z z θ=+⎰⎰⎰即可.4、答案:π8I =. 提示:d 0x v Ω=⎰⎰⎰,ππ12240d 4d d cos sin d z v θϕρϕρϕρΩ=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰. ５、答案:3e 82I =-. 提示:交换积分次序. 6、答案：100t =小时提示：先利用三重积分求出雪堆的体积222()31()()2πd d d ()4h t x y h t h t z V zx y h t ⎡⎤+-⎣⎦==⎰⎰⎰≤；再求出雪堆的侧面积22221()213πd ()12x y h t S x y h t +==⎰⎰≤； 由题意d 0.9d V S t =-,所以d ()13d 10h t t =-，解出()h t 并令其等于0,则可得结果. 四、提示:交换积分次序， 并利用1111001d ()()d d ()()d d ()()d 2yxy f x f y x x f x f y y x f x f y y ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.第八章 多元函数微分法及应用测试题一、选择题1、已知函数()f x 在[]1,1-上连续,那么sin cos ()xy f t dt x∂=∂⎰（ ). (A)(sin )(cos )f x f y - (B)(sin )cos (cos )sin f x x f y y - （C) (sin )cos f x x ； (D) (cos )sin f y y2、在矩形域00:,D x x y y δδ-<-<内,(,)(,)0x y f x y f x y =≡是(,)f x y c ≡（常数）的( ).(A) 充要条件； （B)充分条件; （C) 必要条件; （Ｄ)．既非充分又非必要条件3、若函数(,)f x y 在区域D 内的二阶偏导数都存在,则（ )（Ａ) (,)(,)xy yx f x y f x y =在D 内成立； (B)(,),(,)x y f x y f x y 在D 内连续；（C ） (,)f x y 在D 内可微分； (D)以上结论都不对４、42002lim3x y xyx y →→+的值为（ ）（A ）∞ ; (Ｂ) 不存在； (C) 23； (D) 0. 5、设有三元函数ln e1xzxy z y -+=，据隐函数存在定理,存在点()0,1,1的一个邻域，在此邻域内该方程( ）.（A)只能确定一个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =；(B)可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),y y x z =;（C ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),x x y z =; (D)可确定两个具有连续偏导的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =.二、填空题1、设(,)cos()(2xy f x y e x y π=+-,则(1,1)x f 的值为( ）. ２、设(,)f x y 具有连续偏导数,且(1,1)1,(1,1),(1,1)x y f f a f b ''===,令[]{}(),,(,)x f x f x f x x ϕ=,则(1)ϕ'的值为（ ).3、设2(,,)x f x y z e yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f '-=（ ）.4、曲线222320x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩在点()1,1,1M 处的切线方程为( ）．5、函数22223326u x y z xy x y z =++++--在点()0,0,0O 处 沿（ )方向的方向导数最大? 三、 计算和应用题1、设()()3222cos d 1sin 3d axy y x x by x x y y -+++为某一函数(,)f x y 的全微分，求a 和b 的值２、设()()ky x g y x y x f z +++-=,,g f ,具有二阶连续偏导数,且0≡/''g ,如果222222242f y zy x z x z ''=∂∂+∂∂∂+∂∂,求常数k 的值. 3、在椭球2222221x y z a b c++=内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是多少时长方体的体积最大?４、设(,)y g x z =,而z 是由方程(,)0f x z xy -=所确定的,x y 的函数，求d d z x５、设),(y x f 有二阶连续偏导数,),(),(22y x e f y x g xy +=， 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值， 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值．6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为(){}22,75D x y xy xy =≤+-,小山的高度函数为22(,)75h x y x y xy =--+（1） 设()000,M x y 为区域D 上一点,问(,)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 的表达式.（2） 现利用此小山开展攀岩活动,为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，试确定攀登起点的位置.四、证明题设(,)F u v 可微，试证曲面(,)0x a y bF z c z c--=--上任一点处的切平面都通过定点. 第八章 多元函数微分法及应用测试题答案与提示一、１、C;２、A ；3、D;４、Ｂ;5、D ．二、 1、πe2-；2、23(1)a b b b +++;３、1；4、111101x y z ---==-;5、326o gradu i j k =--． 三、1、答案:2,2a b ==-.提示: 利用xyyx f f ''''=这一条件. ２、答案：1k =-. 提示:g f f xz'+'+'=∂∂21，g k f f y z '+'+'-=∂∂21, g f f f x z ''+''+''+''=∂∂221211222,g k f f f yz''+''+''-''=∂∂2221211222， g k f f y x z ''+''+''-=∂∂∂22112，()g k k f y zy x z xz ''+++''=∂∂+∂∂∂+∂∂222222222142， 又因为0≡/''g ,所以0212=++k k ，1-=k .,,.提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为(),,x y z ,则求体积8V xyz =在条件2222221x y z a b c ++=下的极值就可. 4、答案:1221122d d f yf xf g z x f xf g ''''++='''-.５、答案：故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.提示：由全微分的定义知 0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-='='y x f fx f y e f g xy x 221⋅'+⋅'=' y f x e f g xy y 221⋅'+⋅'=' 0)0,0(='x g 0)0,0(='y g2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x '+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xyxy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211⋅''+⋅''++⋅'+⋅''+⋅''=''2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xyxy xy xy y'+⋅''+⋅''+⋅'+⋅''+⋅''='' Ａ＝2)0,1(2)0,0(22-='=''f g x 1)0,1()0,0(1-='=''=f g B xy 2)0,1(2)0,0(22-='=''=f g C y 032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值. 6、答案:00(,)g x y ==攀登起点的位置: ()()125,5,5,5M M --.提示: 沿梯度方向的方向导数最大,方向导数的最大值即为梯度的模. 然后再求(,)g x y 在条件22750x y xy --+=下的极大值点就可． 四、答案: 通过定点(),,M a b c .第六章 微分方程测试题一、选择题１、设()y f x =是240y y y '''-+=的解,若0()0f x >且0()0f x '=，则在0x 点()f x ( )．(A) 取极大值; （B) 取极小值; （Ｃ) 在0x 某邻域内单增; (Ｄ) 在0x 某邻域内单减.2、微分方程2448xy y y e'''-+=的一个特解应具有形式 （ ) (,,,a b c d 为常数）.(A) 2;xce （B ） 22;xdx e （C) 2;xcxe （D) 22().xbx cx e +３、微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为( ). (Ａ) *2(sin ecos );y ax bx c x d x x =++++ (Ｂ) *2(sin ecos );y x ax bx c d x x =++++ (C) *2sin ;y ax bx c d x =+++ (Ｄ） *2ecos .y ax bx c x =+++4、设线性无关的函数123,,y y y 都是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ).(A) 11223;c y c y y ++ (B) ()1122123;c y c y c c y +-+ (C) ()11221231;c y c y c c y +--- (D) ()11221231.c y c y c c y ++--5、方程0xy y '+=满足(1)2y =的特解为( ).(Ａ） 21;xy = （B) 22;x y = (C) 2;xy = （Ｄ) 1.xy = 二、填空题1、已知微分方程23exy y y -'''--=有一个特解1e 4xy x *-=-,则其通解为( ). 2、以12e ,e x xy y x --==为特解的二阶常系数齐次微分方程是( )．3、若连续函数()f x 满足()0()e xf t f x dt =⎰，则()f x 等于（ )．4、已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21y xy xα∆∆=++,其中α是比x ∆(0)x ∆→高阶的无穷小，且(0)πy =，则(1)y 等于( ）. 5、2e xy y y x '''++=的通解为（ )． 三、计算和应用题 1、 设2e(1)e xx y x =++是二阶常系数线性微分方程e x y y y αβγ'''++=的一个特解,求该微分方程的通解．2、 设函数()y y x =在(),-∞+∞内具有二阶导数，且()0,y x x y '≠=是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程()322d d sin 0d d xx y x y y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭变换为()y y x =所满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足条件3(0)0,(0)2y y '==的解. 3、已知22123e e ,e e ,e e e x x x x x x xy x y x y x --=+=+=+-都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，试求此微分方程 4、 已知连续函数()f x 满足320()()d e 3xx tf x f t =+⎰，求()f x . 5、 已知连续函数()f x 满足()1()()d e2()d xxf x x u f u u x f xu u +-=+⎰⎰,求()f x .6、设函数()f x 在[)1,+∞上连续恒正,若曲线()y f x =，直线()1,1x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2π()(1)3t f t f ⎡⎤-⎣⎦，试求()y f x =所满足的微分方程,并求该方程满足2(2)9f =的特解. 四、证明题证明方程()y y f x ''+=(其中()f x 连续)的通解为()120cos sin ()sin d xy c x c x f t x t t =++-⎰，其中为任意常数.第六章 微分方程测试题答案与提示一、１、Ａ；２、B ；3、A;4、Ｄ;5、C. 二、１、3121e e e 4xxx c c x --+-；2、20y y y '''++=；3、ln(1)x +;４、π4πe ；５、()()121e 1e 4x x y c c x x -=++-. 三、１、答案：2212ee e (1)e xx x x c c x ++++．提示：将2e(1)e xx y x =++代入原方程,比较同类项系数,求出,,αβγ的值，然后再去求解微分方程.2、答案： (1) sin y y x ''-=；(２） 1e e sin 2x x y x -=--． 3、答案: 2e 2e xxy y y x '''--=-.提示: 21312e ,=e x xy y y y --=-是对应齐次微分方程的特解,从而可得出对应齐次微分方程为20y y y '''--=, 设非齐次线性微分方程为2()y y y f x '''--=,再将其中任意个非齐次特解代入,得出()e 2e xxf x x =-. 4、答案： 32()3e2e xx f x =-.5、答案: 21()12e 2x f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 提示:作代换xu t =，则102()d 2()dt xx f xu u f t =⎰⎰.６、答案: 3()1xf x x=+. 提示:依题意可得:221π()(1)π()d 3t t f t f f x x ⎡⎤-=⎣⎦⎰，然后两边求导. 四、略.第五章 定积分及应用测试题一、选择题1、设()f x 连续，0()d ,0,0stI tf tx x t s =>>⎰,则I 的值是( ).(A) 依赖于s 和t ； (B ）是一个常数;（C)不依赖于s 但依赖于t ； （D ）依赖于s 但不依赖于t ． 2、下列积分中，等于零的是( )． (Ａ)12212cos ln(1)d x x x -+⎰（Ｂ）233(1)e d x x x -+⎰(C ） 4222sin cos d 1x xx x ππ-+⎰ (Ｃ) 211(d x x -⎰3、设在[],a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>, 令()[]()1231()d ,(),()()2baS f x x S f b b a S f a f b b a ==-=+-⎰,则( ）.(A)321S S S >>; (B) 312S S S >>; (C) 213S S S >> ; （D ）132S S S >>.4、已知sin πd 2x x x +∞=⎰，则220sin d x x x +∞⎰的值等于( )． (A ） π;2(B) π; (C) 2π;4 (D ） π-1.5、设()f x 在0处可导,且(0)0f =,则极限02()dt limxx f x t x→-⎰的值等于( ）.(A)不存在; (Ｂ） 0; (Ｃ) (0);f ' (D) 1(0).2f ' 二、填空题 １、设()f x 连续，31()dt x f t x -=⎰，则(7)f 等于( ).２、定积分3π43π4(1arctan x x -+⎰的值为( ).3、定积分11()e d xx x x -+⎰的值为( ).4、若积分(21)d 4aax x --=-⎰，则常数a 的值等于（ ).5、曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的面积值等于( )． 三、计算和应用题 1、已知(π)1f =，且[]0()()sin d 3f x f x x x π''+=⎰，求(0)f ．2、计算21x x x --⎰３、设2π20sin ()d 12cos t f x t x t x =++⎰，求(1)(0)f f4、 计算π320sin d sin cos xx x x+⎰．5、设3e e()ln ()d xf x x f x x =+⎰,求()f x ．6、设()f x 可导，(0)1f =，且[]1()()d f x xf xt t +⎰与x 无关,求()f x ．四、证明题设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内()0f x '>,证明存在唯一的(),a b ξ∈使曲线()y f x =和(),y f x a ξ==所围面积1S 是()y f x =和(),y f x b ξ==所围面积2S 的3倍.第五章 定积分及应用测试题答案与提示一、1、D;2、C;3、B;4、Ａ;5、D. 二、1、112;2、2；３、2;４、2;5、3712. 三、1、答案:(0)2f =. 提示：用分部积分.2、答案：4π-.提示:利用奇偶对称性． 3、答案:1.提示：分别求出(0)f 和(1)f 的值即可． 4、答案：()1π14-. 提示：πππ3333222000sin cos 1sin cos d d d sin cos sin cos 2sin cos x x x xx x x x x x x x x+==+++⎰⎰⎰.5、答案:ln 4()x f x x x=-. 6、答案：()e xf x -=. 提示:令()[]1100()()d ()()d ()()d xF x f x xf xt t f x x f xt t f x x f u u =+=+=+⎰⎰⎰，由()0F x '=得()()0f x f x '+=,所以e ()0xf x '⎡⎤=⎣⎦．四、提示：()()()10,,()()d tt a b S t t a f t f x x ∀∈=--⎰，()()2()d ,btS t f x x b t =--⎰令()()12()3t S t S t ϕ=-，用零点定理和单调性证明即可．第一章综合测试题一、单项选择题1、()f x 当0x x →时的左极限和右极限都存在且相等是0lim ()x x f x →存在的( ）条件.(A) 充分; （B) 必要; (Ｃ） 充要; (D ） 无关. ２、设22212lim()n nn n n →∞+++= ( )．（A) 22212lim lim lim 0n n n nn n n →∞→∞→∞+++=; (B) ∞;(C) 21+2+1lim2n n n →∞+=; (Ｄ) 极限不存在．３、设()=232xxf x +-，则当0x →，有 （ ）.(A) ()f x 与x 是等价无穷小; (Ｂ） ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小; (C ） ()f x 是比x 高阶的无穷小; （D) ()f x 是比x 低阶的无穷小.4、设11e 1()e 1xxf x -=+，则0x =是()f x 的（ ).(A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点； （C) 第二类间断点; (D) 连续点. 5、方程410x x --=至少有一个根的区间是（ ).（A) 1(0,)2； (B) 1(,1)2; （C) (1,2); (D) (2,3).二、填空题7、 若2211()3f x x xx +=++，则()f x =(). 8、 已知函数2(cos ), 0() , 0x x x f x a x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩在0x =连续，则a = ().9、n →∞（）.10、设2013sin coslim (1cos )(e 1)x x x x x x →+=+- ( )． 5、已知25lim232n a bn n →∞++=-，则a = ( ),b = （ ).三、计算与应用题 1、设0, 0(), 0x f x x x ⎧=⎨>⎩≤，20, 0(), 0x g x x x ⎧=⎨->⎩≤，求函数项级数[()]f f x ，[()],g g x[()],[()]f g x g f x .2、设21sin ,0(),0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+⎩≤，要使()f x 在(,)-∞+∞内连续,应当怎样选择数a ?3、设11e , 0()ln(1), 10x x f x x x -⎧⎪>=⎨⎪+-<⎩≤,求()f x 的间断点,并说明间断点所属类型. 4、计算极限tan π2lim(sin )x x x →．５、计算极限123lim()21x x x x +→∞++ 6、设()f x 的定义域是[0,1]，求函数11()()22f x f x ++-的定义域. 四、证明题证明方程sin 10x x ++=在开区间ππ(,)22-内至少有一个根. 第一章综合测试题答案与提示一、１、C ；2、C;3、Ｂ；４、Ｂ;5、C. 二、1、21x +；2、1；3、32;４、32；5、任意常数，6. 三、1、答案:[()] = (),f f x f x[()]0,g g x = [()]0,f g x = [()]()g f x g x =．2、答案：0a =．3、答案： 0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点．4、答案： １. ５、答案:e ． 6、答案: 12x =. 四、提示:利用零点定理.第二章综合测试题一、单项选择题1、若 e , 0()sin 2, 0ax x f x b x x ⎧<=⎨+⎩≥在0x =处可导,则a b 、的值应为( ).(A) 2,1a b ==; （B) 1,2a b ==； （C) 2,1a b =-=; (D)2,1a b ==-． ２、设222, 1() 1 , 1x x x f x x ⎧-+>=⎨⎩≤ ( ).(A)不连续; (B)连续，但不可导;(Ｃ)连续,且有一阶导数; (D ） 有任意阶导数.3、若()f x 为(,)l l -内的可导奇函数,则()f x ' ( ).(Ａ） 必为(,)l l -内的奇函数; (B) 必为(,)l l -内的偶函数；(Ｃ) 必为(,)l l -内的非奇非偶函数; （D) 在(,)l l -内，可能为奇函数,也可能为偶函数.4、()f x 在0x 处可导,则000()()limx f x x f x x∆→-∆-=∆ ( ).(Ａ) 02()f x '; （B) 0()f x '-; (Ｃ) 0()f x '; (D) 0()f x '-．5、设()sin cos2x f x x =+，则(15)(π)f= ( )． (Ａ） 0; (B) 15112+; (C ） 1-; (D)1512-．二、填空题 11、()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的( 充分 ）条件,()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（ )条件．12、 设()(1)(2)() (2)f x x x x x n n =+++≥，则(0)f '= ( )．13、设()f x 为可微函数,则当0x ∆→时，在点x 处的d y y ∆-是关于x ∆的（ )无穷小. 14、已知(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩，则3π4d d t x y == ( 1- ）,223 π4d d t xy == () .15、设函数()y f x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定,则d d yx= ( )． 三、计算与应用题1、讨论函数1sin , 0 0 , 0x x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性和可导性. ２、已知22e 1, 0() 1 , 0x x f x x x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩,求 ()f x '．3、设()(e )exf x y f =且()f x '存在,求d d y x.4、设y =求微分2d x y =.5、用对数求导法计算函数y =的导数 6、求函数2cos y x =的n 阶导数. 四、证明题设)(x f 在),(+∞-∞内有定义，且,(,)x y ∀∈-∞+∞,恒有()()()f x y f x f y +=⋅,()1()f x xg x =+，其中0lim ()1x g x →=,证明()f x 在),(+∞-∞内处处可导.第二章综合测试题答案与提示一、1、A ；2、C;３、B ；４、D ；５、B ． 二、１、充要；2、!n ；3、高阶;４、3πa -；5、１． 三、1、答案：连续不可导．２、答案:223(22)e 2, 0() 0 , 0x x x f x xx ⎧-+⎪≠'=⎨⎪=⎩． ３、答案:()d e [(e )e (e )()]d f x x x x yf f f x x ''=+.4、答案：67211d [7()]d 7y x x x-=+-；2d (ln 7144x y x ==-⋅. 5、答案:45(3)145[](1)2(2)31x y x x x x -'=⋅+-++-+.6、答案: ()1π2cos(2)2n n n yx -=+. 四、提示: ,(,)x y ∀∈-∞+∞，有()[()1]()()y f x f x f x x g x =-=⋅⋅,00()limlim ()()().x x yf x f xg x f x x →→∆'==⋅=∆第三章综合测试题一、单项选择题1、下列函数在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是 ( ).（A) ln(ln )x ; (B) ln x ; (C) 1ln x ; (D) ln(2)x -.2、设00()()0f x f x '''== ,0()0f x '''>,则( ).(Ａ）0()f x '是()f x '的极大值； （B ）0()f x 是()f x 的极大值；（C ） 0()f x 是()f x 的极小值; (D) 00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点.３、设函数()f x 在[0,1]上满足()0f x ''>，则(1)f ',(0)f ',(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序是 （ ).（A ） (1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-; (B ） (1)(1)(0)(0)f f f f ''>->; (Ｃ） (1)(0)(1)(0)f f f f ''->>; （D) (1)(0)(1)(0)f f f f ''>->. ４、指出曲线2()3xf x x =-的渐近线 ( ). (A) 没有水平渐近线； (B)只有一条垂直渐近线; (Ｃ) 既有垂直渐近线,又有水平渐近线; (D) 只有水平渐近线. ５、曲线53(5)2y x =-+ （ ).(A) 有极值点5x =，但无拐点; (B) 有拐点(5,2),但无极值点； (C) 有极值点5x =,且(5,2)是拐点； （Ｄ) 既无极值点，又无拐点.二、填空题 16、设常数0k >,函数()ln exf x x k =-+在(0,)+∞内零点的个数为（ ）． 17、若2sin 2e 1,0() , 0 ax x x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞上连续，则a = （ )．18、曲线1ln(e )(0)y x x x=+>的渐近线方程为 （).19、240ln(1)ln(1)ln(1)lim x x x x x →+---= ().5、若()f x 是x 的四次多项式函数，它有两个拐点(2,16),(0,0)，并且在点(2,16)处的切线平行于x 轴,那么函数()f x 的表达式是 ( ). 三、计算与应用题1、当a 为何值时,1sin sin 33y a x x =+在π3x =处有极值?求此极值,并说明是极大值还是极小值．2、求0e ln(1)1lim arctan x x x x x→+---．３、求11cos0sin lim()x x x x-→． 4、求椭圆223x xy y -+=上纵坐标最大和最小的点．５、求数列的最大项.6、曲线弧sin (0π)y x x =<<上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径. 四、证明题设()f x 在(,)a b 内二阶可导,且()0f x ''≥. 证明对于(,)a b 少内任意两点12x x 、及01t ≤≤，有1212[(1)](1)()()f t x tx t f x tf x -+-+≤.第三章综合测试题答案与提示一、１、B;2、Ｄ；３、B;４、Ｃ;５、B. 二、1、2；２、2-;3、1e y x =+;4、112；5、43416x x x -+．三、1、答案:2,a =π3y=.2、答案:12-. 3、答案：13e -.4、答案： (1,2)和(1,2)--.56、答案: π(,1)2处的曲率半径最小，值为1. 四、略．第四章综合测试题一、单项选择题 1、= （ ).(A ） C ; (B) arctan x C +;(C) 12C ; （D) 2arccot C ．2、已知()f x 的一个原函数是2ex -，求()d xf x x '=⎰( ）.(A) 222ex x C --+； （B) 222e x x C -+；(C) 22e (21)x x C ---+； (D) 以上答案都不正确. 3、已知()d ()f x x F x C =+⎰,则()d f b ax x -=⎰ ( ）.（A) ()F b ax C -+; (Ｂ） 1()F b ax C a--+; （C) ()aF b ax C -+; (D ）1()F b ax C a-+. 4、已知曲线上任一点的二阶导数6y x ''=，且在曲线上(0,2)-处的切线为236x y -=,则这条曲线的方程为( ).（A) 322y x x =--； （B) 332360x x y +--=; （Ｃ) 32y x x =-； (Ｄ) 以上都不是. 5、若()()F x f x '=,则d ()F x =⎰( ).(A) ()f x ； (B ） ()F x ； (C ） ()f x C +; (D) ()F x C +.二、填空题 20、 设函数()f x 的二阶导数()f x ''连续，那么()d xf x x ''=⎰（ ).21、 若(e )1xf x '=+,则()f x = ( ）.22、已知曲线()y f x =上任意点的切线的斜率为336ax x --，且1x =-时，112y =是极大值，则()f x =（);()f x 的极小值是 （ ).23、23e d x x x =⎰ （). ５、[(()] d f x xf x x '+=⎰( ）.三、计算与应用题 1、求不定积分d e e x x x--⎰．2、求不定积分4tan d x x ⎰.3、求不定积分e cos d ax bx x ⎰．４、求不定积分x ⎰.５、求不定积分x ⎰.6、求不定积分382d (1)x x x +⎰. 四、证明题设()F x 是()f x 的一个原函数，且(0)1F =，()2()f x x F x =,证明: 2()1dx ln(12)()4f x x C f x =++'⎰. 第四章综合测试题答案与提示一、1、Ａ；2、C;3、B ；4、B;5、D. 二、1、()()xf x f x C '-+;2、ln (0)x x C x +>;3、323622x x x --+,8-； ４、221e (1)2x x C -+；5、()xf x C +. 三、1、答案:e 11ln 2e 1xx C -++．2、答案:31tan tan 3x x x C -++3、答案: 221e (cos sin )ax a bx b bx C a b +++ 4、答案: lnC +５、答案:(1)x arc C +.6、答案: 4481arctan 8(1)8x x C x +++. 四、提示:()2()f x x F x =()2()F x x F x '⇒=2ln ()F x x C ⇒=+, 由(0)1F =,得22()e ()2e x x F x f x x =⇒=2()()12f x xf x x ⇒='+，2()1dx ln(12)()4f x x C f x ⇒=++'⎰. 第七章综合测试题一、单项选择题1、点(2,3,1)M -关于xOy 平面的对称点是( ）．（A) (2,3,1)--; (B) (2,3,1)---; (C) (2,3,1)--; (D)(2,3,1)--．2、已知平面通过点(,,0)k k 与(2,2,0)k k ,其中0k ≠，且垂直于xOy 平面，则该平面的一般式方程0Ax By Cz D +++=的系数必定满足( ）.(A ） ,0A B C D =-==; (Ｂ) ,0B C A D =-==;(C) ,0C A B D =-==; (D) ,0C A B D ===. ３、直线50584360x y z x y z -++=⎧⎨-++=⎩的标准方程是( ）.(A)41413x y z -+==-； （B) 41413x y z --==; (C) 41413x y z -+==--； （Ｄ) 41413x y z --==-. 4、点(4,3,5)M -到x 轴的距离是的( )．(A)； (B) ; (C) ; (Ｄ)5、方程22214y x z -+=表示（ ). (Ａ） 旋转双曲面； (B) 双叶双曲面； (C) 双曲柱面; (D ）锥面.二、填空题 24、 设(2,1,2)a =,(4,1,10)b =-，c b a λ=-,且a c ⊥，则λ= ( ） 25、 若13a =，19b =，24a b +=，则a b -= ( ) 26、 直线73121x y z +-==-上与点(3,2,6)的距离最近的点是 ( ) 27、设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面4280x y z -+-=垂直，则此平面方程为 () 28、曲线22222z x y z x ⎧=+⎨=-⎩关于xOy 面的投影柱面方程是( ）三、计算与应用题１、设375a b a b +⊥-,472a b a b -⊥-，求(,)a b ∧． ２、设4a =, 3b =, (,)6a b π∧=,求以2a b +和3a b -为边的平行四边形的面积.3、设一平面垂直于平面0z =,并通过从点(1,1,1)-到直线10y z x -+=⎧⎨=⎩的垂线,求此平面的方程.４、求锥面z =与柱面22z x =所围立体在三个坐标面上的投影5、在平面2320x y z +-+=和平面55430x y z +-+=所确定的平面束内，求两个相互垂直的平面，其中一个平面经过点(4,3,1)- ．6、光线沿直线30:10x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩投射到平面π:10x y z +++=，求反射线所在的直线方程．四、证明题设M 为ABC ∆的重心，证明:对于任意一点O ,有1()3OM OA OB OC =++．。