九年级数学数与式

初三数学复习 数与式一. 本周教学内容： 总复习——数与式［知识要点］ （一）实数的有关概念 （1）实数的分类实数有理数整数正整数零负整数分数正分数负分数无理数——无限不循环小数⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪当然还可以分为：正实数、零、负实数。

有理数还可以分为：正有理数，零，负有理数 （2）数轴：数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体，数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，实数与数轴上的点是一、一对应的，这种一一对应关系是数学中数形结合的重要基础，我们还可以利用这种一、一对应关系来比较两个实数的大小。

（3）绝对值绝对值的代数意义：||()()()a a a a a a =>=-<⎧⎨⎪⎩⎪0000绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。

（4）相反数、倒数实数的相反数记为－，非零实数的倒数记为，零没有倒数。

a a a 1a若a 、b 两个数为互为相反数，则a+b=0。

若m 、n 两个数互为倒数，则m ·n=1。

（5）三种非负数：||()a a a a ，，都表示非负数。

20≥“几个非负数的和（积）仍是非负数”与“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简，求值。

（6）平方根、算术平方根、立方根的概念。

（7）科学计数法、有效数字和近似值的概念。

（二）实数的运算实数的六种运算及整数指数幂的运算是初中学习数学的基本能力，也是后续学习的重要基础。

准确的运算有赖于运算法则、运算顺序和运算律的熟练掌握。

（三）和代数式有关的概念及代数式的运算。

（1）代数式的分类代数式有理式整式单项式多项式分式无理式⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （2）各类代数式的概念单项式、多项式、整式、分式、有理式、无理式、根式、二次根式、最简二次根式、同类二次根式。

（3）代数式有意义的条件： 分式有意义的条件是分母不为零分式的值为零的条件是分母不为零，分子为零二次根式有意义的条件是被开方数（式）非负，由实际应用中得到的代数式还要符合实际意义。

（4）代数式的运算：整式的加、减、乘、除运算及添括号、去括号法则。

分式的加、减、乘、除运算及分式的乘方。

二次根式的加、减、乘、除运算及二次根式的分母有理化。

（四）代数式的恒等变形添括号、去括号、拆项是代数式恒等变形的常用方法，乘法公式、因式分解是代数式恒等变形的工具。

待定系数法、配方法也都可进行代数式的恒等变形。

（五）代数式的化简求值含有绝对值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性；整式的化简求值常常要灵活运用配方法、换元法、整体代换思想和构造思想；分式的化简求值一般可对分子、分母的多项式因式分解、约分。

再运用分式的性质化简计算；二次根式的化简求值一般应先考虑能否利用二次根式的性质，配方法、乘法公式等化简计算。

【典型例题】例1. 在，，，，，中，无理数的个数为-2031308010174. .()πA. 1B. 2C. 3D. 4分析：应当知道，只有无限不循环的小数才是无理数，有限小数0.80108，无限循环小数和分数都是有理数，还应当知道，并非含有根号的数就是无理数，如031174. =24，所以不是无理数，而是有理数，故本题应选正确。

()B例2. 已知下列5个命题 （1）零是最小的实数（2）数轴上所有的点都表示实数 （3）两个无理数的和仍然是无理数 ()412713-的立方根是± （5）任何实数都有两个互为相反数的平方根 其中正确命题的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4分析：（1）要正确区分实数的最小值和实数绝对值最小值的意义 （2）要正确区分平方根和立方根的相同点和不同点（3）“任何数……”就意味着没有例外，因此若能举出一个反例便可证明原命题是假命题。

因此可以得出5个命题中只有（2）是真命题，故选A 。

例3. 已知、、是实数，且满足，求的值。

x y z x y z z x yz ()||-+-+-=+42102解：010|2|0)4(2≥-≥-≥-z z y x ，，∵ 又()||x y z z -+-+-=42102∴()||x y z z -=-=-=⎧⎨⎪⎩⎪4020102即x y z z -=-=-=⎧⎨⎪⎩⎪402010∴，，x y z ===421当，，时，×x y z x yz ===+=+=4214216注意：这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可以求出x 、y 、z 的值，从而使问题得解。

例4. 计算：×()()()13200422116121102--++-+- 解：原式×=-+++-+314142121212()()()=+++-2414212122×()=+++2121 =+24归纳：()()111注意负指数的意义：或aa a aPP P P --== 其中a ≠0，P 是正整数，在本题中， ()1311331-== ()()2012004202004210任何非零实数的次方等于，在本题中，≠，故++=例5. x px qx x px qx =++=-++1120011133时，代数式的值为，则当时，代数式 的值为（ ）解：当时，代数式的值为：x px qx =++113 p q p q ()()++++=++=111120013故当时，的值为：x px qx =-++113p q p q ()()()-+-+=-++11113=-++-[()]p q 12 =--=-()200121999例6. 计算÷·x x x x x x x x x x x xy y22222224423429922+-+++--++--+ 解：原式÷·=-+++-+-++--()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x y x 1222312232322=-+++-+-(+)+--()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x y x 1222223132322·· =+-x x y3归纳：对分子、分母都是多项式的分式进行乘除运算时，一定要先将每个多项式分解因式，然后将除法统一成乘法，最后再进行约分化简。

例7. 试用，表示和αβαβαβ+-2解法（一）：22ααββ=+-() =++-()()αβαβββ=122· =+-122[()]βαα=+--12[()()]αβαβ=+--1212()()αβαβ解法（二）：设212ααβαβ=++-k k ()() =++-()()k k k k 1212αβ 比较等式两边的各项系数可得： k k k k k k 1212122011+=-=⎧⎨⎩==⎧⎨⎩∴ ∴2ααβαβ=++-()() 设βαβαβ=++-m m 12()() =++-()()m m m m 1212αβ 比较等式两边的各项系数可得： m m m m 121201+=-=⎧⎨⎩∴m m 121212==-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴βαβαβ=+--1212()() 归纳：解法1是利用拆项、添加括号的方法进行代数式的恒等变形，解法2是利用待定系数法进行代数式的恒等变形。

例8. 已知，αβαβ+=-=52求的值βααβ+ 解法：（1）∵，αβαβ+=-=52 ∴，，，αββααβ<<>>0000 ∴βααβ+>0 ∴βααββααβ+=+()2=+()αβαβ2·=-()522=522解法（2）：∵，αβ<<00∴原式=-+-αβααββ=-+αβαβ()11=-+αβαβαβ·=--252·=522例9. 已知，求：÷的值x x x x x x ++=++-----321321324522()解：化简原式：有x x x x -----324522÷()=----+=------x x x x x x x x x 32452232452422÷÷[()]() =----x x x x 322922()÷=----+x x x x x 322233()()()·=-+123()x把看作一个整体，求出的值即可代入上式求值，1313x x ++ 由得：x x ++=++321321x x ++=++23321 ∴()x x x +-+=-+=++313113321∴1332x +=-+()∴原式·=-+=-+1231213()x x=--+=+1232322·[()]一、选择题：1. 下列各组数中，相等的是_________ A. ()-13和1B. ()-12和－1 C. ()-12和－1D. ---()||11和2. 设a ，b 为两实数，则下列命题中是假命题的是_________ A. 若a+b=0，则|a|=|b| B. 若|a|+|b|=0，则a=b=0 C. 若a 2+b 2=0，则a=b=0 D. 若|a+b|=0，则a=b=03. 一天的时间共86400秒，用科学记数法表示应为_________A. 864104.×秒 B. 864103.×秒 C. 864102.×秒D. 864105.×秒4. 如果2（x+3）的值与3（1－x ）的值互为相反数，那么x 等于_________ A. 9 B. 2 C. 3 D. 45. 已知xa xb mn ==，，（其中x ≠0，m 、n 为正整数），则x m n 32-的值等于______A. 32a b -B. a b 33-C. a b 32D. a b326. 若a<0，代简||a a -2的结果正确的是_________ A. 0B. 2aC. －2aD. 2a 或－2a7. 化简()π-+-3201的结果为： A.12B. －2C. π-1D.328. 如果表示a 、b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简||()a b a b -++2的结果等于__________b aA. 2aB. 2bC. －2aD. －2b9. 已知||||x y x y x y ==<+320，，且·，则的值等于_________ A. 5或－5 B. 1或－1C. 5或1D. －5或－110. 数轴上表示-12的点到原点的距离是_________ A. -12B. 12C. －2D. 211. 已知二次三项式22x bx c ++分解因式为231()()x x -+，则b 、c 的值为________ A. b c ==-31，B. b c =-=62，C. b c =-=-64，D. b c =-=-46，12. 已知a+b=3，ab=1，则a b 44+的值是________ A. 7B. 47C. 49D. 8113. 将a ab ac bc 2-+-分解因式，结果正确的是________ A. ()()a b a c +-B. ()()a b a c --C. ()()a b a c ++D. ()()a b a c -+14. 已知xy<0，则x y 2化简后为_________ A. x yB. -x yC. x y -D. --x y二、填空题：1. 若实数m ，n 满足()m n -++=1302，则m=_________，n=________2. 将207670保留三个有效数字，其近似值是_________3. x 平方的3倍与－5的差，用代数表示为___________4. 如果a ma 29++是一个完全平方式，则m=________ 5. 如果分式x x +-32无意义，则x=______ 6. 如果分式x x x 2781--+的值为0，则x=___________7. 计算：x x x --=111÷()________ 8. 若代数式x x -+22的值等于零，则x=________；若代数式()()x x -+21的值等于零，则x=________9. 已知113x y -=，则分式2322x xy y x xy y+---的值为__________ 10. 已知a a a a+=+=13122，则_________三、解答题：1. 计算：x x x x x x 2211212+-----÷2. 已知a a a a a a a a =-+---+-1312121222，求的值。