初三数学证明题(含答案)

（2010哈尔滨）5.如图，PA 、PB 是O 的切线，切点分别是A 、B ，如果∠P ＝60°,那么∠AOB 等于（ ） DA.60°B.90°C.120°D.150°(2010台州市)如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于E ．则直线CD 与⊙O 的位置关系是 ▲ ，阴影部分面积为(结果保留π) ▲ ．答案：相切（2分），-6π（桂林2010）25．（本题满分10分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于（1）证明：AF 平分∠BAC ；（2）证明：BF ＝FD ；（3）若EF ＝4，DE ＝3，求AD 的长．25．(本题10 分)证明（1）连结OF ∵FH 是⊙O 的切线∴OF ⊥FH ……………1分∵FH ∥BC ，∴OF 垂直平分BC ………2分∴BF FC =∴AF 平分∠BAC …………3分 （2）证明：由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ……………4分 ∴∠1+∠4=∠2+∠3∴∠1+∠4=∠5+∠3 ……………5分 ∠FDB =∠FBD∴BF =FD ………………6分（3）解： 在△BFE 和△AFB 中∵∠5=∠2=∠1，∠F =∠F∴△BFE ∽△AFB ………………7分∴BF AFFE BF=， ……………8分 ∴2BF FE FA =⋅∴2BF FA FE= ……………………9分A B C D EOA BCDE O12345ABCD EO 12A BD OE （第15题）∴274944FA == ∴AD =4974-=214…………………10分（2010年兰州）6.已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是A ．外离B ．内切C ．相交D ．外切 答案 B（2010年兰州）10. 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为A ．2B ．3C ．3D ．23答案 D（2010年无锡）6．已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d 的取值满足 （ ▲ ）A ．9d >B ． 9d =C ． 39d <<D ．3d = 答案 D（2010年无锡）27．（本题满分10分）如图，已知点(63,0),(0,6)A B ，经过A 、B 的直线l 以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P 从点B 出发,在直线l 上以每秒1个单位的速度沿直线l 向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t 秒．（1）用含t 的代数式表示点P 的坐标；（2）过O 作OC ⊥AB 于C,过C 作CD ⊥x 轴于D,问：t 为何值时,以P 为圆心、1为半径的圆与直线OC 相切？并说明此时PBP Cl y与直线CD 的位置关系．答案解：⑴作PH ⊥OB 于H ﹙如图1﹚，∵OB ＝6，OA ＝36，∴∠OAB ＝30°∵PB ＝t ，∠BPH ＝30°，∴BH ＝12t ，HP ＝t 23 ; ∴OH ＝t t t 236216-=--，∴P ﹙t 23，t 236-﹚⑵当⊙P 在左侧与直线OC 相切时﹙如图2﹚， ∵OB ＝t -6，∠BOC ＝30°∴BC ＝)6(21t -t 213-= ∴PC t t t 233213-=--=由1233=-t ，得34=t ﹙s ﹚,此时⊙P 与直线CD 相割．当⊙P 在左侧与直线OC 相切时﹙如图3﹚，PC 323)6(21-=--=t t t 由1323=-t ，得38=t ﹙s ﹚，此时⊙P 与直线CD 相割． 综上，当s t 34=或s 38时，⊙P 与直线OC 相切，⊙P 与直线CD 相割．（2010年兰州）26.（本题满分10分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB.H OBAxy P图1PyxD CABO 图2OBA CD xyP图3（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求证：BC=21AB ；（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN ·MC 的值. 答案（本题满分10分）解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1分∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2分∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC ⊥CP …………………………………………3分∵OC 是⊙O 的半径∴PC 是⊙O 的切线 …………………………………………………4分（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分∴BC=OC∴BC=21AB ………………………………………………………6分(3)连接MA,MB ∵点M 是弧AB 的中点∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分 ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM∵∠BMC=∠BMN∴△MBN ∽△MCB∴BM MNMC BM =∴BM 2=MC ·MN ……………………8分∵AB 是⊙O 的直径，弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM∵AB=4 ∴BM=22 ………………………………………………………9分∴MC ·MN=BM 2=8 ……………………………………………………10分（2010宁波市）6．两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离13. （2010年金华） 如果半径为3cm 的⊙O 1与半径为4cm 的⊙O 2内切，那么两圆的圆心距O 1O 2＝ ▲ cm . 答案：1；6．（2010年长沙）已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是12r =、24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是 BA ．2B ．4C ．6D ．8（2010年成都）8．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（ ） （A ）相交 （B ）外切 （C ）外离 （D ）内含 答案：A（2010年眉山）4．⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为5cm ，圆心距O 1O 2=2cm ，这两圆的位置关系是A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含 答案：C 毕节24．（本题12分）如图，已知CD 是△ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．24．证明：（证法一）连接OE DE ，． 1分 ∵CD 是⊙O 的直径，∴90AED CED ∠=∠=．2分∵G 是AD 的中点，∴12EG AD DG ==． 4分∴12∠=∠． 6分∵34OE OD =∴∠=∠，． 8分 ∴1324∠+∠=∠+∠．即90OEG ODG ∠=∠=．10分 ∴GE 是⊙O 的切线．12分（证法二）连接OE OG ，． 1分 ∵AG GD CO OD ==，， ∴OG AC ∥．2分∴1234∠=∠∠=∠，．4分 ∵OC=OE ． ∴∠2=∠4． ∴∠1=∠3．6分又OE OD OG OG ==，，∴OEG ODG △≌△． 8分 ∴90OEG ODG ∠=∠=． 10分 ∴GE 是⊙O 的切线．12分15．(10重庆潼南县)如图，在矩形ABCD 中，AB=6 ，BC=4，⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是______．相离1、（2010年杭州市）如图，台风中心位于点P ，并沿东北方向PQ 移动，已知台风移 动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B 市位 于点P 的北偏东75°方向上，距离点P 320千米处. (1) 说明本次台风会影响B 市；（2）求这次台风影响B 市的时间.答案：(1) 作BH ⊥PQ 于点H , 在Rt △BHP 中,由条件知, PB = 320, ∠BPQ = 30°, 得 BH = 320sin30° = 160 < 200,∴ 本次台风会影响B 市. (2) 如图, 若台风中心移动到P 1时, 台风开始影响B 市, 台风中心移动到P 2时, 台风影响结束.由（1）得BH = 160, 由条件得BP 1=BP 2 = 200,∴所以P 1P 2 = 222160200 =240, ∴台风影响的时间t =30240= 8(小时). （2010陕西省）23．如图，在RT △ABC 中∠ABC=90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 与D 点，交AC 与E 点，连接BE（1）若BE 是△DEC 的外接圆的切线，求∠C 的大小？ （2）当AB=1,BC=2是求△DEC 外界圆的半径解：（1）∵ DE 垂直平分AC∴∠DEC=90°∴DC 为△DEC 外接圆的直径 ∴DC 的中点 O 即为圆心 连结OE 又知BE 是圆O 的切线 ∴∠EBO+∠BOE=90°在RT △ABC 中 E 斜边AC 的中点 ∴BE=EC ∴∠EBC=∠C又∵∠BOE=2∠C ∴∠C+2∠C=90° ∴∠C=30°（2）在RT △ABC 中225AB BC += ∴EC=12AC=52∵∠ABC=∠DEC=90° ∴△ABC ∽△DEC ∴AC BC DC EC =∴DC=54△ DEC 外接圆半径为58（2010年天津市）（22）（本小题8分）已知AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于点C . （Ⅰ）如图①，若2AB =，30P ∠=︒，求AP 的长（结果保留根号）； （Ⅱ）如图②，若D 为AP 的中点，求证直线CD 是⊙O 的切线.解：（Ⅰ）∵ AB 是⊙O 的直径，AP 是切线，∴ 90BAP ∠=︒.在Rt △PAB 中，2AB =，30P ∠=︒， ∴ 2224BP AB ==⨯=.由勾股定理，得22224223AP BP AB =--=．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 (Ⅱ)如图，连接OC 、AC ，∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ 90BCA ∠=︒，有90ACP ∠=︒. 在Rt △APC 中，D 为AP 的中点，ABCO图①ABCO D图②第（22）题CO∴ 12CD AP AD ==. ∴ DAC DCA ∠=∠. 又 ∵OC OA =， ∴OAC OCA ∠=∠.∵ 90OAC DAC PAB ∠+∠=∠=︒， ∴ 90OCA DCA OCD ∠+∠=∠=︒. 即 OC CD ⊥.∴ 直线CD 是⊙O 的切线. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（2010山西22．（本题8分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED ＝45º．（1）试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由．（2）若⊙O 的半径为3cm ，AE ＝5 cm ．求∠ADE 的正弦值．1.（2010宁德）．如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A 的 半径为1，⊙B 的半径为2，将⊙A 由图示位置向右平移1个单位长后， ⊙A 与静止的⊙B 的位置关系是（ ）．DA.内含B.内切C.相交D.外切2.（2010黄冈）6分）如图，点P 为△ABC 的内心，延长AP 交△ABC 的外接圆于D ，在AC 延长线上有一点E ，满足AD 2＝AB ·AE ，求证：DE 是⊙O 的切线.ABE（第22题）O第9题图 ABO 第22题图xyA B P C D第20题图证明：连结DC ，DO 并延长交⊙O 于F ，连结AF.∵AD 2＝AB ·AE ，∠BAD ＝∠DAE ，∴△BAD ∽△DAE ，∴∠ADB ＝∠E. 又∵∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ACB ＝∠E ，BC ∥DE ，∴∠CDE ＝∠BCD ＝∠BAD ＝∠DAC ，又∵∠CAF ＝∠CDF ，∴∠FDE ＝∠CDE+∠CDF ＝∠DAC+∠CDF ＝∠DAF ＝90°，故DE 是⊙O 的切线1．（2010山东济南）如图所示，菱形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴上，点A 在点B 的左侧，点D 在y 轴的正半轴上，∠BAD =60°，点A 的坐标为(－2，0)．⑴求线段AD 所在直线的函数表达式．⑵动点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A →D →C →B →A 的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t 秒．求t 为何值时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切？答案：1 解：⑴∵点A 的坐标为(－2，0)，∠BAD =60°，∠AOD =90°，∴OD =OA ·tan60°=23∴点D 的坐标为（0，3， ················································ 1分 设直线AD 的函数表达式为y kx b =+， 2023k b b -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得323k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴直线AD 的函数表达式为323y x +. ······························· 3分 ⑵∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DCB =∠BAD =60°， ∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，O x yB CD P 1P 2P 3 P 4 1 2 3 4A 第22题图 AD =DC =CB =BA =4， ·························································· 5分 如图所示：①点P 在AD 上与AC 相切时， AP 1=2r =2， ∴t 1=2. ·············································································· 6分②点P 在DC 上与AC 相切时，CP 2=2r =2，∴AD +DP 2=6，∴t 2=6. ······························ 7分③点P 在BC 上与AC 相切时，CP 3=2r =2，∴AD +DC +CP 3=10，∴t 3=10. ······························ 8分④点P 在AB 上与AC 相切时， AP 4=2r =2，∴AD +DC +CB +BP 4=14， ∴t 4=14，∴当t =2、6、10、14时，以点P 为圆心、以1为半径的圆与对角线AC 相切. ···············································9分1．（2010四川宜宾）若⊙O 的半径为4cm ，点A 到圆心O 的距离为3cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是( )A ．点A 在圆内B ．点A 在圆上C ．点A 在圆外D ．不能确定 2．（2010山东德州）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情 况是(A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4 (C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2，4，53．（2010山东德州）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过A 、E 两点, 交AD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：BC 与⊙O 相切；（2）当∠BAC =120°时，求∠EFG 的度数．BACDE GOF答案：1．A 2、C 3．（1）证明：连接OE ，------------------------------1分 ∵AB =AC 且D 是BC 中点， ∴AD ⊥B C ． ∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE ．------------------------------3分 ∵OA =OE ， ∴∠OAE =∠OEA ． ∴∠OEA =∠DAE ． ∴OE ∥AD ． ∴OE ⊥BC ．∴BC 是⊙O 的切线．---------------------------6分 （2）∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°．----------------------------7分 ∴∠EOB =60°．------------------------------8分 ∴∠EAO =∠EAG =30°．-------------------9分 ∴∠EFG =30°．------------------------------10分（2010年常州）6.若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为A.外离B.外切C.相交D.内切 （2010株洲市）15．两圆的圆心距5d =，它们的半径分别是一元二次方程2540x x -+=的两个根，这两圆的位置关系是 外切 .（2010河北省）23．（本小题满分10分）观察思考某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q 在平直滑道l 上可以 左右滑动，在Q 滑动的过程中，连杆PQ 也随之运动，并且 PQ 带动连杆OP 绕固定点O 摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P 在以OP 为半径的⊙O 上运动．数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点O 作OH ⊥l 于点H ，并测得图14-1连杆滑块滑道BACD E G OFOH =4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．解决问题（1）点Q 与点O 间的最小距离是 分米；点Q 与点O 间的最大距离是 分米；点Q 在l 上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米．（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q 滑动到点H 的位置时，PQ 与⊙O 是相切的．”你认为他的判断对吗？ 为什么？（3）①小丽同学发现：“当点P 运动到OH 上时，点P 到l的距离最小．”事实上，还存在着点P 到l 距离最大 的位置，此时，点P 到l 的距离是 分米；②当OP 绕点O 左右摆动时，所扫过的区域为扇形， 求这个扇形面积最大时圆心角的度数．解：（1）4 5 6；（2）不对．∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且42≠32 + 22，即OQ 2≠PQ 2 + OP 2， ∴OP 与PQ 不垂直．∴PQ 与⊙O 不相切． （3）① 3；②由①知，在⊙O 上存在点P ，P '到l 的距离为3，此时，OP 将不能再向下转动，如图3．OP 在绕点O 左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P 'OP ．连结P 'P ，交OH 于点D ．∵PQ ，P 'Q '均与l 垂直，且PQ =P '3Q '=，∴四边形PQ Q 'P '是矩形．∴OH ⊥P P '，PD =P 'D ． 由OP = 2，OD = OH -HD = 1，得∠DOP = 60°．∴∠PO P ' = 120°．∴ 所求最大圆心角的度数为120°．（2010河南）11．如图，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是⌒CmA 上异于点C 、m DlO图14-3PlOP Q图14-2D lO图3PP 'A 的一点，若∠ABO =32°，则∠ADC 的度数是______________． 29°（2010广东中山）14．如图，P A 与⊙O 相切于A 点，弦AB ⊥OP ，垂足为C ，OP 与⊙O 相交于D 点，已知OA =2，OP =4。