推理与证明教材分析

《第三章推理与证明》教材分析与教学建议

高2012级高二数学文科备课组

“推理与证明”是新课标新增内容(选修1-2第二章，选修2-2第二章)，主要包括合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法三个部分（其中数学归纳法文科数学不作要求）．“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．本章内容是各知识模块中常用推理方法和论证方法的总结，推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的，是高中数学的重要基础，在高中数学中占有极其重要的地位和作用．

一、课标要求

1．合情推理与演绎推理

（1）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．

（2）结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．

（3）通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

2．直接证明与间接证明

（1）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．

（2）结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．

3．数学归纳法（文科不做要求）

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

二、课时安排

1．本章理科教学时间约需8课时，具体分配如下：

合情推理与演绎推理约2课时

直接证明与间接证明约2课时

数学归纳法约2课时

小结与复习约2课时

2．本章文科教学时间约需10课时，具体分配如下：

合情推理与演绎推理约4课时（+2）

直接证明与间接证明约4课时（+4）

小结与复习、测试约4课时（+2）

三、教材分析与教学建议

本章结合生活实例和学生已学过的数学实例，介绍两种基本的推理--合情推理与演绎推理、两类基本的证明--直接证明与间接证明、一种特殊的方法--数学归纳法．本章的内容属于数学思维方法的范畴，把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能有意识地使用它们，以培养言之有理、论证有据

的习惯．

（一）合情推理与演绎推理

1．教学重点与难点

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理；了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行一些简单推理．

教学难点：用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题．

2．教材分析

合情推理和演绎推理是数学推理的两种基本推理形式．

（1）“合情推理”是高中数学课程标准的亮点之一．从解放后首次制定（1952年）中小学数学教学大纲开始，关于数学能力主要以三大能力为具体内容；1978年增加了“培养学生分析问题与解决问题的能力”，而对核心逻辑思维能力中推理的理解，仅局限在演绎和归纳两个方面，并且不论是教材的呈现方式，还是教师的教学、考试都是以演绎推理和严格的证明为主，归纳推理没有引起足够的重视，类比推理更难寻其踪影．2001年7月《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）中，提出让“学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”．合情推理首次进入国家纲领性文件，这标志着我国数学教育观念的一次转变，标志着合情推理得到了应有的重视．2003年颁布的《普通高中数学课程标准》（实验稿）中，强调在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论的作用，而且在教材中专门设置了合情推理的内容．

（2）归纳推理和类比推理是合情推理的两种常用的思维方法．

归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．由于归纳推理是由部分到整体、由个别到一般，所以结论不一定可靠，只能算是一种猜想．

类比推理是由两类对象具有某些类似特性和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．其思维过程是从特殊到特殊，类比的基础是事物之间的相似性或某种特殊性．由于类比推理是由特殊到特殊的推理，因此结论不一定可靠，只能算是一种猜想．

合情推理具有两大功能：一是探索一般结论，二是发现解题思路．

（3）演绎推理是由一般到特殊的推理，“三段论”是演绎推理的一般模式．三段论由三部分构成：（两个前提，一个结论） 大前提----已知的一般原理； 小前提----所研究的特殊情况； 结论----根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

三段论可用右边的格式来表示．用集合观点就是：若集合M 的所有元素都具有性质P ，S 是M 的子集，则S 中所有元素都具有性质P ．

演绎推理只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得结论就一定是正确的．但错误的前提会导致错误的结论．

（4）合情推理与演绎推理的联系与差异：

①从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，二者有差异．合情推理是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，是由部分到整体、由个别到一般、由特殊到特殊的推理，合情推理作出的结论未必可靠，有待于进一步证明或否定．演绎推理是由一般到特殊的推理，只要前提正确，推理的形式正确，那么推理所得结论就一定是正确的．正如波利亚所说：“论证推理（即演绎推理）是可靠的、无可置疑的和终决的．合情推理是冒险的、有争议的和暂时的．”

M 是P ， S 是M ∴S 是P

②从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度上讲，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的．演绎推理回答如何证明定理或命题的问题，是“论证”的手段，而合情推理回答如何发现定理或命题的问题，是发现的工具．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路，演绎推理可以验证合情推理的结论的正确性．

合情推理和演绎推理是数学推理的两种基本推理形式．许多重要的科学结论（包括数学的定理、法则、公式等）的发现往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比等，即通过合情推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想正确或错误．对于数学学习来说，既要学会证明，也要学会猜想．

3．教学建议

（1）要注意结合实际例子，使学生了解合情推理的含义；

（2）要通过学生学过的简单的数学例子，让学生掌握归纳推理和类比推理的基本方法；

（3）要通过数学史事，使学生认识合情推理在数学发现中的作用；

（4）要通过学生学过的简单的数学例子，让学生掌握演绎推理的基本模式----“三段论”推理模式；

（5）要通过反例，让学生理解演绎推理的前提与结论之间的蕴涵关系；

（6）要通过具体实例，帮助学生了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异，让学生既学会猜想，又学会证明．

（二）直接证明与间接证明

1．教学重点与难点

教学重点：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解分析法、综合法和反证法的思考过程、特点．

教学难点：根据问题的特点,结合分析法、综合法和反证法的思考过程、特点,选择适当的证明方法或使用不同的证明方法解决同一问题.

2．教材分析

数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明才能得到确认，这是数学区别于其他学科的显著特点.直接证明与间接证明是两类基本的数学证明方法．

（1）综合法的思维特征是：由因导果．即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法．

（2）分析法的思维特征是：执果索因．即从结论入手进行反推，看看需要知道什么，最后推出一个已证的命题（定义、公理、定理、公式等）或已知条件，从而得到证明．很多演绎推理的证明题都是采用这种方法进行思考的，有时也将综合法和分析法结合起来使用．（3）反证法是间接证明的一种基本方法，任何一个问题都有正反两面，当直接证明有困难时，便可以考虑使用反证法．反证法证题的步骤可归结为：反设—归谬—结论．3．教学建议

（1）先讲综合法，后讲分析法．综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．综合法是学生使用较多、较为熟悉的一种方法．分析法虽然在过去也经常使用，但学生在理解上显然不如综合法那样容易．

（2）要突破分析法这一教学难点．分析法的主要困难有两点：一是学生对这种证明方法的思考过程不理解；二是学生对这种证明方法的表达方式不习惯．突破难点的方法有两点：一是结合具体的数学实例，让学生感受分析法证明的可靠性，以及“要证……只需证……”这种表达的必要性；二是将分析法与综合法对比着进行讲解］帮助学生加深对分析法思考过

程及特点的理解．

（3）通过具体的数学实例，帮助学生形成既分析又综合的思维方式，学会将分析法与综合法结合起来运用．结合方式有两种：一是先用分析法探寻证题思路，再用综合法有条理地表述证明过程；二是将分析法与综合法结合起来，证明某些较复杂的数学问题．

（4）结合已经学过的数学实例，帮助学生了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．在必修课的教学中，学生已经使用反证法证明了一些较简单的数学命题，对于反证法学生并不是完全陌生的．本次教学应尽量利用学生已有的经验，进一步加深对反证法的思考过程、特点的了解．

一是要提炼用反证法证题的基本模式．反证法证题的步骤可归结为：反设—归谬—结论．其中，正确反设是用好反证法的前提，推出矛盾（归谬）是用好反证法的关键．反设是否正确，与逻辑知识密切相关，因此，在反证法教学前，宜先复习常用逻辑用语中的相关知识．

二是总结反证法的适用范围．反证法主要适用于以下两种情形：

①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；

②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．

（三）数学归纳法

1．教学重点与难点

教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握数学归纳法的基本步骤，运用数学归纳法证明一些与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题．

教学难点：（1）对数学归纳法基本原理的理解；（2）在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．

2．教材分析

本节分为两部分：第一部分主要内容是借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；第二部分的重点是用数学归纳法证明一些简单的数学命题，教科书安排了两个例题，通过证明数学命题巩固对数学归纳法的认识．

数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法．在证明一些与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明n 取无限多个正整数的情形．

用数学归纳法证题分为两大步骤：

第一步（归纳奠基）：证明当0n n =时命题成立，其中0n 是命题成立的初始值，不一定

是自然数1．这一步是论证的基本保证，是递推的基础，必须保证其真实性．

第二步（归纳递推）：假设0(,)n k k n k *=≥∈N 时命题成立，证明1n k =+时命题也

成立．这一步是命题具有后续传递性的保证，是递推的依据．由1k k ?+时必须使用归纳假设，否则不算数学归纳法．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立．

数学归纳法虽然仅限于与正整数有关的命题，但并不是所有与正整数有关的命题都能使用数学归纳法．

3．教学建议

（1）通过递推数列求通项问题，引发学习数学归纳法的欲望，说明探索新的证明方法

的必要性．

（2）分析“多米诺骨牌”全部倒下的原理—递推思想．

（3）给出数学归纳法的基本原理．

（4）结合例题，讲解数学归纳法的证题步骤与要求，帮助学生理解数学归纳法证题中的“归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可．

（5）向学生指明数学归纳法的适用范围．教学时要使学生明确，数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题．一般说，从n k

=时的情形过渡到1

=+时的情形，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，n k

否则使用数学归纳法就有困难．

（6）让学生经历数学研究与发现的完整过程，并进一步熟悉数学归纳法．在教科书例2的教学中，应引导学生关注两个问题：一是归纳猜想；二是归纳递推，要注意从n k

=时的情形到1

=+时的情形是怎样过渡的．

n k

（7）通过变式训练，让学生形成运用数学归纳法解题的经验．

整理：王全峰

2011年3月20日星期天