画法几何 (2.7)平面、直线与立体相交
画法几何立体表面的交线
1’
4’
5’
2’
3’
解题步骤
1 分析 截交线的水平投影和 侧面投影已知，正面投影为 双曲线并反映实形；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ
1” 、ⅡⅢ；
3 求出一般点ⅣⅤ ；
4”(5”) 4 光滑且顺次地连接各点，
作出截交线，并且判别可见 性；
5 整理轮廓线。
2”(3”)
24
1 53
点击动画
点击动画
例10 求带缺口圆锥的水平投影和侧面投影。
4 整理轮廓线。
y
a1
4
s
y
2 b
例3 求立体截切后的投影
6
（5）4
1
2 （3）
35
1
6
24
6
5
4
3 1 2 Ⅵ
Ⅴ Ⅳ
Ⅲ
ⅠⅡ
5.1.2 平面与曲面立体相交
曲面立体截交线通常是封闭的平面曲线，或是由曲线和直 线所围成的平面图形或多边形。
截交线
点击动画
截交线
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1. 平面与圆柱相交
截平面平行于轴线， 交线为平行于轴线的 两条平行直线
1. 表面取点法
表面取点法求作相贯线的一般步骤
（1）分析 首先分析两曲面立体的几何形状、相对大小和 相对位置，进一步分析相贯线是空间曲线，还是处于特殊情况 （平面曲线或直线）。分析两曲面立体对投影面的相对位置， 两曲面立体的投影是否有积聚性，哪个投影有积聚性。分析相 贯线哪个投影是已知的，哪个投影是要求作的。
1’ 6’
2’(3’) 4’(5’)
1”
3” 5” 6”
2” 4”
6 1
5 3
2 4
例11 已知正垂面所截切球的正面投影,求其余两面投影。
画法几何复习PPT课件
求截交线的实质就是如
何求属于截交线上的点
的问题，因此应熟练掌
握曲面体表面取点，取
点应先取特殊点（如最
高、最低、最前、最后、 最上、最下、以及可见
P
与不可见的分界点）后
取一般点。
.
45
平面与圆柱相交
矩形
圆
椭圆
.
46
平面与圆锥相交
圆
三角形
椭圆
双曲线
抛物线.
【例】求三棱锥和四棱柱的相贯线。
平行
.
37
求 两 平 面 体 的 相 贯 线 并 补 画 侧 面 投 影
.
38
5、 同坡屋面的交线
1.坡度(即α角)相等 2.所有檐口线同高 3.一条檐线代表一个坡面 4.相邻二檐线的坡面有交
线(凸角为斜脊、凹角为 斜沟) 、平行二檐线的坡 面交线为平脊 5.屋面上每个点必有至少 三条线
《画法几何》模拟试卷
.
59
一、过点C作正平线交AB于D，DC=30mm，完成DC的V、
H投影。（10分）
b'
d'
a'
c'
b
d
c
a
.
60
二、已知直线AB的投影如图，在直线AB上确定一点C，使 BC＝30mm，求C点的投影。（10分） a' c'
b'
a c
.
b
61
三、已知△ABC对H面的倾角为45°，且其一条边AC为水平线，△DEF 属于△ABC ，完成△ABC的V面投影和△DEF的H面投影。(10分 )
l'
l"
k'
立体几何中的相交线与平面关系
立体几何中的相交线与平面关系与平面相交是立体几何中常见的问题，相交线与平面的关系在空间几何中具有重要的意义。
本文将介绍相交线与平面的几种常见关系，并探讨其相关性质。
一、线与平面的相交关系1. 直线与平面相交当一条直线与平面相交时，可能会存在以下几种情况：（1）相交于一点：直线与平面相交于一个点时，该点既在直线上，又在平面上。
这种情况下，直线与平面共点，详细表示为：直线l⊂平面P，记作l∩P=P'。
（2）相交于一条直线：直线与平面相交于一条线段时，该线段既在直线上，又在平面上。
这种情况下，直线与平面共线，详细表示为：直线l⊂平面P，记作l∩P=l'。
（3）不相交：直线与平面没有任何公共点，即直线不在平面上，这种情况下，直线与平面没有交点，详细表示为：直线l∩平面P=∅。
2. 曲线与平面相交曲线与平面相交的情况相对复杂，常见情况有以下几种：（1）相交于一个形状：曲线与平面相交于一个封闭曲线或开放曲线时，该曲线既在平面上，又在曲线上。
这种情况下，曲线与平面共形状，详细表示为：曲线C⊂平面P，记作C∩P=C'。
（2）相交于多个点：曲线与平面相交于多个点时，曲线上的每个点都在平面上。
这种情况下，曲线与平面相交于多个点，详细表示为：曲线C∩平面P={P1,P2,P3,…}。
（3）不相交：曲线与平面没有任何公共点，即曲线不在平面上，这种情况下，曲线与平面没有交点，详细表示为：曲线C∩平面P=∅。
二、线与面的相关性质1. 交线垂直于平面的性质当直线与平面相交于一点时，该直线与平面的交线垂直于平面。
这是因为平面上的任意一条垂直于交线的直线都与给定的直线重合于交点，从而证明了两个垂直关系。
2. 平行关系与相交线夹角的性质平行关系是指两条直线在平面上无交点的关系，当两条平行线都与同一平面相交时，它们在该平面上的相交线之间的夹角相等。
这一性质被称为"同位角相等定理"，在立体几何的问题中起到了重要的作用。
第7讲平面与立体相交
侧截 平面 侧截 平面
开槽 球体
开圆 柱通孔
r2 r1
作图
r3
Q
P R
S
完成后的三视图
Q
P R
S
3’
4’
3”(4”)
1’
2’
1”(2”)
1 3
2
4
s' 3'4' 7'8' 6' 5' 1'2' n'm' m 8 5 6 7 s 2 3
s'' 4'' 8 3'' 7 6'' 1'' 2'' m'' n''
第七讲 平面与立体相交
——求截交线
1平面与平面 立体相交 2平面与曲面 立体相交
教学内容： 截交线的性质 截交线的基本作图方法及步骤 圆柱表面截交线投影的求作 圆锥表面截交线投影的求作 圆球表面截交线投影的求作
1. 截交线的基本概念及性质
部分圆锥
部分球面
截平面
圆柱
与圆锥面 的截交线
截交线
与球面 的截交线
Y1 Y2
a
b
c
完成磨床顶针的视图
Q'
Q" P"
P' S'
S"
Q
P
S
（3） 平面与圆球相交 思考
如何求解圆球 面上的截交线的 投影？
圆球面截交线 形状与什么有关？
A 投影面平行面与球面相交
截交线 为圆
B 投影面垂直面与球面相交
平面与立体相交
6.2.1 平面与平面立体相交
由于平面立体是由平面围成的,截交线是封闭的平 面多边形，多边形的边是截平面与平面立体表面的交 线。求截交线的问题可以简化为求平面与平面的交线 问题，进而简化为求直线与平面交点的问题。
例1 三棱锥被一正垂面所截切，求截交线的投影。
s’ s
3
2 1
a’ b’
3 1
e’(f’)
g’(h’) b’ b”
RV
RW
h b g
df a
c e
例5
求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。
PV2
PV3 PV4
2' 5'
3'
4'
1'
1"
4" 3" 5"
2"
y y
5
3
4
y
2
1
PH1
y
3.
辅助球面法
常用的辅助球面法为同心球面法,要使辅助球面与两立 体表面交线的投影为直线或圆。
例6
3 求出若干个一般点 Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
3" 7" 2"
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
8"
Ⅵ
4
6 1
Ⅰ
Ⅳ Ⅷ
Ⅴ
Ⅲ Ⅶ
7 3
5
Ⅱ
作图步骤： （1）根据截平面位置与曲面立体表面的性质、判别 截交线的形状和性质。 （2）求出截交线上的特殊点。 （3）根据需要求出若干个一般点。 （4）光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判 别可见性。 （5）最后，补全可见与不可见部分的轮廓线或转向 轮廓素线，并擦除被切割掉的轮廓线或转向轮廓素线。 特殊点：是指绘制曲线时有影响的各种点。 极限位置点 曲线的最高、最低、最前、最后、最左和最右点。 转向轮廓点 曲线上处于曲面投影转向轮廓线上的点，它们是区 分曲线可见与不可见部分的分界点。 特征点 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端点。 结合点 截交线由几部分不同线段组成时结合处的点。
直线与立体形的相交关系与几何性质
直线与立体形的相交关系与几何性质在几何学中，直线与立体形之间的相交关系对于研究和理解三维空间中的几何性质和图形重要性重大。
直线与不同类型的立体形（例如点、线段、射线、平面、立方体、圆柱体等）相交时，会涉及到不同的几何性质和特点。
一、直线与点的相交关系当一条直线与一个点相交时，它们只有一个交点。
无论点在直线上还是直线上的某个位置，交点都是这两个几何图形唯一的共同部分。
二、直线与线段的相交关系直线与线段的相交有三种情况：1. 直线与线段相交于线段的内部：当直线与线段的两个端点之间存在一个交点时，我们称直线与线段相交于线段的内部。
相交点既属于直线，也属于线段。
2. 直线与线段相交于线段的一个端点：当直线与线段的一个端点重合时，我们称直线与线段相交于线段的一个端点。
相交点仅属于直线与线段的共同部分。
3. 直线与线段不相交：当直线与线段没有任何交点时，我们称直线与线段不相交。
三、直线与射线的相交关系直线与射线的相交也有三种情况：1. 直线与射线相交于射线的起点：当直线与射线的起点重合时，我们称直线与射线相交于射线的起点。
相交点仅属于直线与射线的共同部分。
2. 直线与射线相交于射线的内部：当直线与射线之间存在一个交点时，我们称直线与射线相交于射线的内部。
相交点既属于直线，也属于射线。
3. 直线与射线不相交：当直线与射线没有任何交点时，我们称直线与射线不相交。
四、直线与平面的相交关系直线与平面的相交也存在几种情况：1. 直线与平面相交于一点：当直线与平面只有一个交点时，我们称直线与平面相交于一点。
2. 直线与平面平行：当直线与平面没有交点，且直线上的任何点到平面的最短距离都相等时，我们称直线与平面平行。
3. 直线与平面重合：当直线与平面是重合的，即直线在平面内部时，我们称直线与平面重合。
五、直线与立体形的相交关系直线与立体形的相交关系可能相对复杂，涉及到不同类型的立体形。
在与立体形相交时，直线可能穿过立体形、接触立体形的边界或者在立体形内部。
平面与立体相交PPT课件
垂直相交
总结词
当平面与立体垂直且相交时，称为垂直相交。
详细描述
垂直相交是指平面与立体在空间中垂直且有一个公共点。这个公共点是平面与立 体的交点，也是平面与立体边界线的起点和终点。垂直相交通常发生在平面与立 体的棱线或顶点相交时。
斜交
总结词
当平面与立体不平行也不垂直，且有一个公共点时，称为斜 交。
平面与立体相交ppt 课件
目 录
• 平面与立体的基本概念 • 平面与立体的相交类型 • 平面与立体相交的特性 • 平面与立体相交的应用 • 平面与立体相交的实例分析
01
CATALOGUE
平面与立体的基本概念
平面的定义与性质
定义
平面是指在空间中无限延展、没 有厚度的二维图形。
性质
平面具有无限延展性、无厚度、 可无限分割等特性。
当一个平面与一个立体垂 直时，它们在某个方向上 相互垂直，形成垂直线。
02
CATALOGUE
平面与立体的相交类型
平行相交
总结词
当平面与立体平行且不重合时，称为平行相交。
详细描述
平行相交是指平面与立体在空间中平行且不与立体接触，即平面与立体的边界 线平行且不相交。在这种情况下，平面与立体之间没有公共点。
详细描述
斜交是指平面与立体在空间中不平行也不垂直，有一个公共 点。这个公共点是平面与立体的交点，也是平面与立体边界 线的起点和终点。斜交通常发生在平面与立体在空间中形成 一定的角度时。
03
CATALOGUE
平面与立体相交的特性
相交线的性质
相交线是平面与立体接触的部 分，具有确定的长度和方向。
相交线的位置和数量取决于平 面和立体的形状、大小和相对 位置。
画法几何及机械制图-平面与立体表面的交线
1'(4') 4”
圆弧侧
1”
面投影
Ⅳ
Ⅲ
Ⅰ
可见
最前、最后的
2'(3')
3”
2” 素线被截切到， 已不完整
Ⅱ
4(3)
1(2)
§7-2 平面与立体表面的交线
作图： (1)标记截交线的顶点； (2)求侧平面的水平投影；
(3)求ⅠⅡ、ⅢⅣ的侧面投影；
(4)求圆弧及水平面的侧面投影； (5)完成作图。
三、平面与圆柱体表面的交线
例7 完成带切口圆筒的水平投影和侧面投影。
1'(4')(5')(8') 8” 5” 6”
2'(3') 7” (6')(7')
8(7) 5(6) 4(3)
1(2)
§7-2 平面与立体表面的交线
4” 1” 3” 2”
外圆柱面上 圆弧的侧面 投影可见
ⅧⅤ Ⅶ ⅥⅣ Ⅰ
Ⅲ Ⅱ
作图：
(1)标记截交线的顶点；
(2)求侧平面的水平投影；
2'(3') 7” (6')(7')
8(7) 5(6) 4(3)
1(2)
§7-2 平面与立体表面的交线
4” 1” 3” 2”
ⅧⅤ Ⅶ ⅥⅣ Ⅰ
Ⅲ Ⅱ
作图：
(1)标记截交线的顶点；
(2)求侧平面的水平投影；
(3)求直线ⅠⅡ、ⅢⅣ、ⅤⅥ和 ⅦⅧ 的侧面投影；
(4)求圆弧及水平面的侧面投影； (5)完成作图。
4” 1” 3” 2”
ⅧⅤ Ⅶ ⅥⅣ Ⅰ
Ⅲ Ⅱ
作图：
(1)标记截交线的顶点；
(2)求侧平面的水平投影；
第五章 直线与立体表面的交点、两立体表面的交线
E:\proe-course\8-2.prt.2
§5.2 平面立体与曲面立体表面的交线 两立体相交称为相贯，两立体表面的交线称为相贯线。 两立体相交称为相贯，两立体表面的交线称为相贯线。 1、相贯线的性质：①相贯线一般是封闭的空间曲线或折线；②相贯线是两形体表 、相贯线的性质： 相贯线一般是封闭的空间曲线或折线； 面的共有线，相贯线上的点一定是两形体表面的共有点。 面的共有线，相贯线上的点一定是两形体表面的共有点。 2、求相贯线投影的方法：①利用有积聚性的投影求相贯线；②作投影面平行的辅 、求相贯线投影的方法： 利用有积聚性的投影求相贯线； 助平面求相贯线； 用辅助球面法求相贯线。 助平面求相贯线；③用辅助球面法求相贯线。
相贯线为圆
E:\proe-course\p8-13.prt.1
（3）画法 ） 辅助球面法还是根据三面共点的 原理来作图。 原理来作图。 ①先确定辅助球面的最大与最小 半径： 半径： 在一般情况下， 在一般情况下，球心到两回转面 轮廓交线（相贯线） 轮廓交线（相贯线）较远的一个 点的距离，就是最大球面半径； 点的距离，就是最大球面半径； 最小球面半径一般为内切于较大 回转面的球面半径。 回转面的球面半径。 ②在最大与最小球面范围内作若 干辅助球面球求一系列交点。 干辅助球面球求一系列交点。 判断可见性，连点。 ③判断可见性，连点。
[例]求直线与立体的交点 并将被立体遮住的线段画成虚线。
利用有积聚性投影求交点
E:\proe-course\8-1-1-b.prt.2
[例]求直线与立体的交点 并将被立体遮住的线段画成虚线。
用辅助平面法求交点
E:\proe-course\8-1-2-b.prt.1
[例]用换面法求直线
与圆球的交点。
空间几何中的平面与立体形的相交关系
空间几何中的平面与立体形的相交关系概述：在空间几何中，平面与立体形的相交关系是一个重要的研究方向。
平面与立体形的相交关系不仅涉及到数学本身，也与物理、工程等领域密切相关。
本文将探讨平面与立体形的不同相交情况，并深入研究其几何性质和应用。
一、平面与平面相交：平面与平面相交是最简单的一种情况，可以分为平行和非平行两种情况。
当两个平面平行时，它们永远不会相交；当两个平面不平行时，它们会相交于一条直线。
这一性质在工程测量、建筑设计等领域具有广泛的应用。
二、平面与直线相交：平面与直线相交是平面几何中常见的情况。
当平面与直线相交时，它们的交点为一点。
通过求解平面与直线的方程，可以得到交点的坐标。
这一性质在数学中被广泛运用于解析几何的推导和证明。
三、平面与球体相交：平面与球体相交是空间几何中的一个重要问题。
当一个平面与一个球体相交时，可能存在以下三种情况：平面与球体相切于一点、相切于一个圆或者相交于两个交点。
根据不同情况，可以进一步讨论平面和球体的切线、交点等几何性质。
四、平面与圆柱相交：平面与圆柱相交也是几何学中的常见问题。
当一个平面与一个圆柱相交时，可能存在以下几种情况：相切于一个点、相交于一个圆或者相交于两个交线。
这一性质在建筑设计、机械工程等领域具有广泛的应用。
五、平面与圆锥相交：平面与圆锥相交是空间几何中的一个有趣问题。
当一个平面与一个圆锥相交时，可能存在以下几种情况：相切于一个点、相交于一个圆或者相交于两个交线。
通过研究平面和圆锥的相交性质，可以深入理解圆锥几何学中的一些基本概念和定理。
六、平面与多面体相交：平面与多面体相交是几何学中的一个复杂问题。
多面体包括了诸如立方体、正四面体、正六面体等形状，它们与平面的相交关系具有一定的规律性。
通过研究平面和多面体的相交性质，可以在计算机图形学、空间分析等领域中得到广泛应用。
七、应用领域：平面与立体形的相交关系在各个领域都有广泛的应用。
在建筑设计中，平面与立体形的相交关系决定了建筑物的外观和结构；在工程测量中，平面与立体形的相交关系决定了各种测量数据的获取方式；在计算机图形学中，平面与立体形的相交关系决定了虚拟场景的呈现效果。