画法几何 (2.7)平面、直线与立体相交

1'
PV
g' e' h
2'
f'
b s f
3
g
e
2
四、平面与回转体相交
（一）平面与圆柱相交
（二）平面与圆锥相交
（三）平面与圆球相交 （四）平面与其他回转体相交
（一）平面与圆柱相交
依据截平面与圆柱的相对几何关系，平面与圆柱面的交 线有3种情形：
截平面平行于轴线， 截平面垂直于轴线， 截平面倾斜于轴线， 交线为 矩形 交线为 圆 交线为 椭圆
应尽可能使所作辅助面与立体表面的交线的投影简而易画的直线 或圆。
（1）对于投影有积聚性的表面，可直接利用积聚性求出贯穿点
例：求直线AB与三棱柱的贯穿点。 d' 1' a' X b a 1 O e' (2') f' b'
2
（2）对于投影没有积聚性的表面
例：求直线AB与三棱锥的贯穿点。 s' b' 3' h' a' d' d 1 a
五、直线与回转体相交
【例题】求直线AB与圆柱的贯穿点。
a' 1'
(2') b' O 2
X
b
a
1
【例题】求直线AB与球的贯穿点。
a'
1'
b'
2'
PV
X 2 1 b
O
a
【例题】求直线AB与圆锥的贯穿点。
b'
g'
2'
a'
X
1' m'
k'
n' k g2 3 4
O
b n
1
a m
S
2 G K A 1
B
N
2.7
平面、直线与立体相交
一、截 交 线 概 述 二、平面与平面体相交 三、直线与平面体相交
四、平面与回转体相交
五、直线与回转体相交
一、截 交 线 概 述
截交线 截断面 截平面
P
平面与立体表面的交 线称为截交线，该平 面称为截平面。
截切体
基本立体被平面切割后 形成的立体叫截切体， 截交线所围成的截面图 形叫截断面（断面）。
【例题】完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。
2 3 (4 ) m (n ) 5 (6 ) 4 n 6 2 3 m 5
1
1
n 6 4 1 2
3 5 m
【例题】求带凹槽半球的水平投影和侧面投影。
1 (2 )
3 (4 )
4 2
1
3
4
2
1
3
（四）平面与其他回转体相交
M
【例题】求直线AB与圆锥的贯穿点。
b'
g' 2'
a'
X
1'
k'
m' k g2
1
n'
O
b
a
m
3
4
n
4 光滑且顺次地连接各 点，作出截交线，并且 判别可见性； 5 整理轮廓线。
【例题】完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
PV
1、空间与投影分析
截交线形状为抛物线。 抛物线的正面投影落在截平 面的积聚性投影上，求作抛 物线的水平投影和侧面投影。
2、投影作图
运用锥面取点方法作出 抛物线顶点和底端点、转向 轮廓线上点和一般点，用曲 线光滑连接各点。
例 求截交线
3 (4 ) 1 2 1 PV 4 3 2
1
4
3 2
2、平面与棱锥相交
例题 求截交线
S
s 3
s PV 3
2 1
Ⅰ Ⅱ
A
Ⅲ
P C
2
1
a c c 1 3
B
b
a(c)
b
a s
2 b
例题 求截交线
s 3
s PV 3
2 1
2
1
a
S
α
θ
α θ
α θ
α
过锥顶 两相交直线
=90° θ 圆
90° ＞ ＞α θ 椭圆
θ＝α
抛物线
θ= 0° 双曲线
（1） 截平面通过锥顶并与锥面相交时，交 线为相交的两素线；
（2） 截平面垂直于轴线但不通过锥顶时， 交线为圆；
（3） 截平面倾斜于轴线并与所有的素线都 相交时，交线为椭圆；
（4） 截平面倾斜于轴线并与一条素线平行 时，交线为抛物线；
1.几何抽象 画出切割前的原始形状的投影； 判明截交线是几边形； 积聚性、真实性、相仿性； 本质问题是求交点和交线；
2.分析截交线的形状 3.分析截断面的投影特性 4.求截交线的顶点、边线 5.整理修饰
丢弃被截掉的棱线，补全、接上原图中 未定的图线，分清可见性，加深描黑。
1、平面与棱柱相交
例题 作出所示形体的水平投影。 分析：梯形棱柱上有两条棱和两条底面边线被截平面P 截断， 有四个交点，截交线围成一个四边形。 作图：先画出形体被切割前完整的水平投影，再求出各棱 线、底边被截断的端点，连成截交线的水平投影。
解题步骤
5’ (6’) 3’(4’) 7’ (8’) 1’ 8 1 7 3 4 6 2 2’ 6” 4” 8” 1” 7” 2” 5” 3”
PV
1 分析 截交线的水 平投影为圆，侧面投 影为椭圆； 2 求出截交线上的特 殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ ；
3 求出若干个一般点 Ⅴ、Ⅵ、 Ⅶ、Ⅷ；
4 光滑且顺次地连接 各点，作出截交线， 并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
实质：求贯穿点实质上就是求直线与平面或直线与曲面的交点。
交点的求法： （1）对于投影有积聚性的表面，可直接利用积聚性求出； （2）对于投影没有积聚性的表面，经以下三个步骤求得： a. 过已知直线作辅助平面P； b. 求出平面P与立体表面的交线MN； c. 求出交线MN与已知直线的交点E、F，即为贯穿点 辅助平面的选择：
曲面体截交线的一般作图步骤
分析立体的形状及表面性质 定性判别截交线的形状 求特殊点
轮廓线上的点
曲线的特征点
极限位置点
求一般点 判别可见性，连线 整理轮廓线
【例题】圆柱被正垂面切割，求圆柱截断后的三面投影图及 截断面的实形。 解：截交线是椭圆，求特殊点和一般点，连成椭圆。用旋转 法或辅助投影可得到实形。 PV
3、整理轮廓线
例 求带切口圆锥的投影。
3 (4 ) 5
1 (2 )
4 2 5
1 3
4 2 5 1 3
例 求带切口圆锥的投影。
3 (4 ) 5
1 (2 )
4 2 5
1 3
4 2 5 1 3
（三）平面与圆球相交
平面与球面相交，交线总是圆，但圆的投影根据截平面 对投影面的倾斜关系可能是直线、圆或者椭圆。
㈡ 平面立体截交线的求法
1、线面交点法
将平面立体上参与相 交的各条棱线与截平面求 交点，并将位于立体同一 棱面上的两交点依次连接 起来，即为所求平面立体 的截交线。
1 S
4
P
3 D
A
2 B
C
2、wenku.baidu.com面交线法
将平面立体上参与相交的各棱面与截平面求 交线，这些交线即围成所求的平面立体截交线。
㈢ 求截交线的作图步骤：
5
【例题】 完成圆柱体截切后的侧面投影。
【例题】 完成圆柱体截切后的侧面投影。
例 补全带切口圆柱体的水平及侧面投影
1 6 (7 ) 2 (3 ) 4 (5 ) 45° 7 3 5 1 6 2
4
5
3 7 1 6
4
2
（二）平面与圆锥相交
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面的交线有五种形状。
1、平面与单一回转体相交 2、平面与组合回转体相交
1、平面与单一回转体相交
求作平面与单一回转体的截交线： 当截平面为特殊位置时，与求作圆柱、 圆锥、球的截交线一样，可用在立体表面 上作点和线的方法； 当截平面为特殊位置时，则可通过一 次换面将一般位置的截平面变换成投影面 垂直面后作图。
【例题】如图，求作正垂面P与具有内环面的回转体的截 交线，作出截断体的水平投影，并求断面实形
b
c c
a(c)
b
a
Ⅰ Ⅱ
A
Ⅲ
P C
1
3
s
2
B
b
例 补全带切口立体的投影
s 2 m (n ) n b(c) s 2 1
1
a

m b
c
a
c
n
Ⅱ N
1 a 2
s
Ⅰ
m b
M
三、直线与平面立体相交
直线与立体相交：是直线从立体一侧表面贯入，又从另一侧表面穿出， 故其交点一般总是成双存在的，称为贯穿点。
PV
41 11 101 81
61
31
71 51 91 111 PV 21 10’(11’) 1’ (2’) 2 11 9 5 7 6’(7’) 4’ (5’) 8’(9’) 3
3 6 4 10 1 8
2、平面与组合回转体相交
组合回转体通常由多个基本回转体组合形成，
求解这类形体截交线时，应首先分析组合回转体是
二、平面与平面立体相交
㈠ 平面体截交线的性质：
平面体的表面都是平面，截 平面与它们的交线都是直线，所 以截交线是封闭的平面多边形。 多边形的各顶点是截平面与被截 棱线或底边的交点。因此，求作 截交线的问题可归结为求线面交 点或面面交线的问题。
截交线 F D E A B S 截平面
P
C
◆ 截交线在立体的表面上 —— 表面性。 ◆ 截交线是截平面和立体表面的共有线 —— 共有性。 ◆ 截交线是封闭的平面多边形 —— 封闭性。
1、截平面平行于圆柱的轴 与柱面的交线是一对平行线
2、截平面垂直于圆柱的轴 与柱面的交线是一纬圆
3、截平面倾斜于圆柱的轴
与柱面的交线是一椭圆
3、截平面倾斜于圆柱的轴
与柱面的交线是一椭圆，与底面的交线为直线。
直线
＜45°
＞45°
＝45°
1、当＜45°截交线椭圆的长轴投影后， 仍为投影椭圆的长轴； 2、当＞45°截交线椭圆的长轴投影后， 成为投影椭圆的短轴； 3、当＝45°截交线椭圆的长轴投影后， 与短轴相等，椭圆的投影成为圆。
（5） 截平面与两条素线平行时，交线为双 曲线；
例 求带切口圆锥的投影。
PV 2 3 (4 ) 1 m (n ) 5 (6 ) 4 n 6 5 2 3 m
解题步骤
1 分析 截交线的水 平投影和侧面投影均 为椭圆；
2 求出截交线上的特 殊点； 3 求出一般点；
1
n
6 1 5 m 3 4 2
由哪些基本回转体组成，以及它们的连接关系，然
后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其
连接。
【例题】完成组合回转体截切后的侧面投影。
空间与投影分析 组合回转体 是由同轴半球、 圆柱体和圆台组 合而成。截平面 为侧平面，组合 回转体截交线由 半园、直线段和 双曲线组成，其 正面投影落在截 平面的正面积聚 性投影上，