微分法在几何上的应用
《全微分及其应用》课件
统计学中的应用
全微分在统计学中有重要的应用，如数据拟合、 回归分析等。
总结
全微分在实际中的重要性
全微分是解决实际问题的数学工具，对于 许多领域的研究与应用具有重要意义。
进一步探究的方向
全微分是一个广阔而深奥的领域，可以有 更多的研究和应用方向值得深入探索。
全微分的充要条件以及性质
全微分的存在与函数的偏导数连续性相关， 具有一些重要性质。
求解全微分
1
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束最优化问题的方法，也可以用于求解全微 分的相关问题。
2
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本公式，用于计算全微分。
应用
工程问题中的应用
全微分在工程领域中有广泛的应用，如优化设 计、控制系统等。
《全微分及其应用》PPT 课件
全微分及其应用是一门重要的数学课程，本PPT课件将介绍全微分的定义、性 质、求解方法以及实际应用，帮助您深入了解这一概念。
引言
全微分是微积分中的核心概念之一，在许多应用领域中起着重要作用。本节将介绍全微分的定义 以及相关概念，并为后续内容打下基础。
ห้องสมุดไป่ตู้质
几何意义
全微分对应着曲面的切平面，具有重要的 几何意义。
全微分及其应用
常见方法
求解无约束最优化问题的方法包括梯度下降法、 牛顿法、拟牛顿法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于目标函数二阶导数的迭代算法 ，通过构造海森矩阵并求解线性方程组来逼近最 优解。
有约束最优化问题
01
有约束最优化问题
有约束最优化问题是在存在约束条件限制下，寻找满 足所有约束条件的参数的最优解。
02 分类 有约束最优化问题可以分为等式约束问题和不等式约 束问题。
极值点判断
全微分还可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，则该点 可能是函数的极值点。
函数极值点的判断
极值点判断
全微分可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，且该点的二阶导数大于0，则该点 是函数的极值点。
极值点类型判断
全微分还可以用于判断函数的极值点类型，如极大值点或极小值点。如果函数在某一点的二阶导数小于0， 则该点是极大值点；如果二阶导数大于0，则该点是极小值点。
全微分的几何意义
总结词
全微分在几何上表示函数图像在 某一点处的切线斜率。
详细描述
全微分可以理解为函数图像在某 一点处的切线的斜率，这个斜率 表示函数在该点处沿任一方向的 变化率。
全微分的性质
总结词
全微分具有线性性质、可加性、可乘性和链式法则等性质。
详细描述
全微分具有线性性质，即两个函数的和或差的微分等于它们各自微分的和或差；全微分具有可加性，即函数在两 点间的微分等于这两点间各自微分的和；全微分还具有可乘性和链式法则等性质，这些性质在求导和积分中有着 广泛的应用。
应用
全微分在几何上表示函数图像在某点处的切线斜率的变化 量。
全微分在优化、近似计算、泰勒级数展开等方面有广泛应 用。
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 函数概念的理解：微积分中的函数概念是在中学数学的基础上进一步深化而来的。
通过微积分的学习，可以更好地理解函数概念的本质，掌握函数的应用。
2. 几何应用：微积分中的微元法可以应用于中学数学中的几何问题。
例如，计算曲线的长度、曲率、面积等问题，都可以通过微元法来解决。
3. 方程的求解：中学数学中的方程问题可以通过微积分中的微分方程来解决。
例如，求解函数的导数、积分、微分方程等问题，都可以通过微积分来解决。
4. 数值计算：微积分中的数值计算方法可以应用于中学数学中的数值计算问题。
例如，求解函数的极值、拐点、数值积分等问题，都可以通过微积分来解决。
需要注意的是，微积分在中学数学中的应用主要是一些简单的问题，需要以实际需求为基础，选择合适的方法和技巧来解决。
同时，中学数学中的知识点有限，可能无法提供足够的支撑，需要借助其他工具和方法来辅助解决一些复杂的问题。
高等数学中的微分几何基础概念详解
高等数学中的微分几何基础概念详解微分几何是数学中一个研究空间曲面、空间曲线的分支学科，它通过微积分的手段来研究几何性质。
微分几何在工程、物理、计算机科学等领域有着广泛的应用。
在微分几何中，微分是一个核心的概念。
本文将深入讲解微分几何中的基础概念，并介绍一些重要的定理和公式。
1. 曲面的切空间切空间是微分几何中一个十分重要的概念。
它描述了一个曲面在某一点的切平面和切向量的集合。
我们可以将曲面看成一个低维空间中的子集。
在该点上，我们可以找到一个切向量和切平面，这个切向量垂直于切平面。
切平面是切向量构成的空间，它是当前点曲面的局部近似。
2. 爱因斯坦求和约定爱因斯坦求和约定是微分几何中一个重要的记法。
它规定了当一个下标在式子中出现了两次时，那么它就代表着一个对该下标求和的操作。
据此，我们可以省略求和符号从而简化求和表达式。
在微分几何中，爱因斯坦求和约定被广泛地使用。
3. 一阶微分在微分几何中，一阶微分是我们研究的一个重要概念。
它是一种线性映射，它将一个标量场映射成一个切向量场。
一阶微分展示了曲面局部的变化率，因此在几何学上它是不可或缺的。
4. 曲面上的长度、面积和体积曲面上的长度、面积和体积是微分几何中的重要概念。
长度指的是一个空间曲线的长度，面积指的是一个平面曲面的面积，而体积则指的是一个三维曲面的体积。
在微分几何中，它们的计算是通过对弧长、曲率半径和偏微分方程进行求解得到的。
5. 积分曲线积分曲线是微分几何中一个重要的概念。
它是一个渐进曲线，它沿着向量场的方向和大小发展，并趋近于另一个点。
积分曲线描述了一个向量场在时空曲面上的发展过程。
通过积分曲线，我们可以了解空间曲面上的逐点性质。
6. 概率微分几何概率微分几何是微分几何的一个分支领域，它通过量化空间曲面上的随机性质来分析它们的变化。
概率微分几何在概率论、统计学、金融、信号处理等领域有着广泛的应用。
在计算机科学中，概率微分几何被用来开发新的图像处理和机器学习算法。
详解微分几何的基本定义和应用
详解微分几何的基本定义和应用微分几何是一门研究曲线、曲面以及高维流形等几何对象的学科，它在数学、物理学、工程学和计算机科学等诸多领域中都有着广泛的应用。
本文将从微分几何的基本定义入手，详细讲解其应用于不同领域的相关内容。
一、微分几何的基本定义微分几何主要研究的对象是流形，它是由许多小块拼合而成的几何对象。
下面我们来看一下流形的基本定义和分类。
1. 流形的定义如果一个集合能够用多个坐标系覆盖，并且在不同坐标系下的局部坐标具有连续性和许多基本性质，则称这个集合为流形。
例如，曲面是一个二维流形，三维空间则是一个三维流形。
2. 流形的分类流形根据其连续性和可微性可以分为不同类型。
其中，最常见的是可微流形，它的定义如下：如果一个流形是所有可微函数可以定义在其上的最大集合，那么这个流形就称为可微流形。
也就是说，可微流形上定义了一个切空间，该切空间是连续的，同时在不同坐标系下的变换也是连续的。
二、微分几何的应用微分几何在物理学、工程学和计算机科学等领域广泛应用。
接下来我们将以不同领域为例，简单介绍微分几何的应用。
1. 物理学中的应用微分几何在物理学中的应用非常广泛，尤其是在广义相对论中，可微流形的概念被广泛用于描述时空的曲率。
同时，微分几何的工具也被广泛应用于对引力场和宇宙学时空的建模和分析。
例如，流形的形状可以用于描述黑洞和宇宙膨胀等问题，而曲率则可以用于计算引力的方程和电磁场的等效力。
2. 工程学中的应用微分几何在工程学中的应用也非常广泛，尤其是在计算机辅助设计(CAD)和制造(CAM)领域中，流形的概念被广泛应用于描述线性和非线性的曲面和形状。
例如，通过对曲率和法线的计算，可以对某种材料的表面进行优化设计，并提高其生产效率和质量。
3. 计算机科学中的应用微分几何在计算机科学中的应用也非常广泛，尤其是在计算机视觉和机器学习领域中。
例如，利用流形和曲率计算，可以实现图像和视频的立体重建和形状估计。
同时，流形的概念也被应用于神经网络和深度学习中，用于实现对数据流形的分析和处理。
多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用§8 1 多元函数的基本概念一、平面点集n 维空间1．平面点集二元的序实数组x y 的全体 即R 2RR {x y |x y R }就表示坐标平面坐标平面上具有某种性质P 的点的集合 称为平面点集 记作E {x y | x y 具有性质P } 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C {x y | x 2y 2r 2} 如果我们以点P 表示x y 以|OP |表示点P 到原点O 的距离 那么集合C 可表成C {P | |OP |r }邻域设P 0x 0 y 0是xOy 平面上的一个点 是某一正数 与点P 0x 0 y 0距离小于的点P x y 的全体 称为点P 0的邻域 记为U P 0 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U 邻域的几何意义 U P 0 表示xOy 平面上以点P 0x 0 y 0为中心、 >0为半径的圆的内部的点P x y 的全体 点P 0的去心邻域 记作) ,(0δP U即}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U注 如果不需要强调邻域的半径 则用U P 0表示点P 0的某个邻域 点P 0的去心邻域记作)(0P U点与点集之间的关系任意一点P R 2与任意一个点集E R 2之间必有以下三种关系中的一种1内点 如果存在点P 的某一邻域UP 使得UPE 则称P 为E 的内点2外点 如果存在点P 的某个邻域UP 使得UPE 则称P 为E 的外点3边界点 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点 也有不属于E 的点 则称P 点为E 的边点E 的边界点的全体 称为E 的边界 记作EE 的内点必属于E E 的外点必定不属于E 而E 的边界点可能属于E 也可能不属于E 聚点如果对于任意给定的0 点P 的去心邻域),( P U内总有E 中的点 则称P 是E 的聚点由聚点的定义可知 点集E 的聚点P 本身 可以属于E 也可能不属于E例如 设平面点集E {x y |1x 2y 22}满足1x 2y 22的一切点x y 都是E 的内点 满足x 2y 21的一切点x y 都是E 的边界点 它们都不属于E 满足x 2y 22的一切点x y 也是E 的边界点 它们都属于E 点集E 以及它的界边E 上的一切点都是E 的聚点开集 如果点集E 的点都是内点 则称E 为开集闭集 如果点集的余集E c为开集 则称E 为闭集开集的例子 E {x y |1<x 2y 2<2}闭集的例子 E {x y |1x 2y 22}集合{x y |1x 2y 22}既非开集 也非闭集连通性 如果点集E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E 为连通集区域或开区域 连通的开集称为区域或开区域 例如E {x y |1x 2y 22}闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E {x y |1x 2y 22}有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得 EUO r其中O 是坐标原点 则称E 为有界点集无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集例如 集合{x y |1x 2y 22}是有界闭区域 集合{x y | xy 1}是无界开区域集合{x y | xy 1}是无界闭区域 2 n 维空间设n 为取定的一个自然数 我们用R n表示n 元有序数组x 1 x 2 x n 的全体所构成的集合 即R nRRR {x 1 x 2 x n | x i R i 1 2 n } R n中的元素x 1 x 2 x n 有时也用单个字母x 来表示 即x x 1 x 2 x n 当所有的x i i 1 2 n 都为零时 称这样的元素为R n 中的零元 记为0或O 在解析几何中 通过直角坐标 R 2或R 3中的元素分别与平面或空间中的点或向量建立一一对应 因而R n中的元素x x 1 x 2 x n 也称为R n 中的一个点或一个n 维向量 x i称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量 特别地 Rn中的零元0称为R n中的坐标原点或n 维零向量为了在集合R n 中的元素之间建立联系 在R n中定义线性运算如下 设x x 1 x 2 x n y y 1 y 2 y n 为R n 中任意两个元素 R 规定xy x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n x x 1 x 2 x n这样定义了线性运算的集合R n称为n 维空间R n中点x x 1 x 2 x n 和点 y y 1 y 2 y n 间的距离 记作x y 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ显然 n 1 2 3时 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至R n中元素x x 1 x 2 x n 与零元0之间的距离x 0记作||x ||在R 1、R 2、R 3中 通常将||x ||记作|x | 即22221 ||||n x x x ⋅⋅⋅++=x采用这一记号 结合向量的线性运算 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x 在n 维空间R n 中定义了距离以后 就可以定义R n中变元的极限设x x 1 x 2 x n a a 1 a 2 a n R n如果||xa ||0则称变元x 在R n中趋于固定元a 记作xa 显然xa x 1a 1 x 2a 2 x n a n在R n中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到nn 3维空间中来 例如设a a 1 a 2 a n R n是某一正数 则n 维空间内的点集U a {x | x R nx a }就定义为R n中点a 的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念二 多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系V r 2h这里 当r 、h 在集合{r h | r >0 h >0}内取定一对值r h 时 V 对应的值就随之确定例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系V RTp =其中R 为常数 这里 当V 、T 在集合{V T | V >0 T >0}内取定一对值V T 时 p 的对应值就随之确定 例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系2121R R R R R +=这里 当R 1、R 2在集合{ R 1 R 2 | R 1>0 R 2>0}内取定一对值 R 1 R 2时 R 的对应值就随之确定定义1 设D 是R 2的一个非空子集 称映射f D R 为定义在D上的二元函数通常记为zfx y x yD或zfP PD其中点集D称为该函数的定义域x y称为自变量z称为因变量上述定义中与自变量x、y的一对值x y相对应的因变量z的值也称为f在点x y处的函数值记作fx y即zfx y 值域fD{z| zfx y x yD}函数的其它符号zzx y zgx y等类似地可定义三元函数ufx y z x y zD以及三元以上的函数一般地把定义1中的平面点集D换成n维空间R n内的点集D映射f D R就称为定义在D上的n元函数通常记为ufx1x2x n x1x2x n D或简记为uf x x x1x2x n D也可记为ufP Px1x2x n D函数定义域的约定在一般地讨论用算式表达的多元函数uf x时就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域因而对这类函数它的定义域不再特别标出例如函数z ln xy的定义域为{x y|xy>0}无界开区域函数z arcsin x2y2的定义域为{x y|x2y21}有界闭区域二元函数的图形点集{x y z|zfx y x yD}称为二元函数zfx y的图形二元函数的图形是一张曲面例如zaxbyc是一张平面而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面三多元函数的极限与一元函数的极限概念类似如果在Px yP0x0y0的过程中对应的函数值fx y无限接近于一个确定的常数A则称A 是函数fx y当x yx0y0时的极限定义2设二元函数fPfx y 的定义域为D P 0x 0 y 0是D 的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数总存在正数 使得当),(),(0δP U D y x P⋂∈时 都有|fPA ||fx yA |成立 则称常数A 为函数fx y 当x yx 0 y 0时的极限 记为 Ay x f y x y x =→),(lim ),(),(0或fx yA x yx 0 y 0也记作AP f P P =→)(lim 0或fPAPP 0上述定义的极限也称为二重极限例4. 设22221sin)(),(y x y x y x f ++= 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin)(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-可见 >0 取εδ=则当δ<-+-<22)0()0(0y x即),(),(δO U D y x P⋂∈时 总有|fx y 0|因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x 必须注意1二重极限存在 是指P 以任何方式趋于P 0时 函数都无限接近于A2如果当P 以两种不同方式趋于P 0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点0 0有无极限 提示 当点Px y 沿x 轴趋于点0 0时0lim )0 ,(lim ),(lim00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f 当点Px y 沿y 轴趋于点0 0时0lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f当点P x y 沿直线ykx 有22222022 )0,0(),(1lim lim kk x k x kx y x xy x kx y y x +=+=+→=→ 因此 函数fx y 在0 0处无极限极限概念的推广 多元函数的极限多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例5 求x xy y x )sin(lim)2,0(),(→解 y xy xy xxy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim→→⋅=122 四 多元函数的连续性定义3 设二元函数fPf x y 的定义域为D P 0x 0 y 0为D的聚点 且P 0D 如果),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→ 则称函数f x y 在点P 0x 0 y 0连续如果函数f x y 在D 的每一点都连续 那么就称函数f x y 在D 上连续 或者称f x y 是D 上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数fP 上去例6设fx ,y sin x 证明fx y 是R 2上的连续函数证 设P 0x 0 y 0 R 20 由于sin x 在x 0处连续 故0 当|xx 0|时 有|sin x sin x 0|以上述作P 0的邻域UP 0 则当Px yUP 0 时 显然 |fx yfx 0 y 0||sin x sin x 0|即fx y sin x 在点P 0x 0 y 0 连续 由P 0的任意性知 sin x 作为x y 的二元函数在R 2上连续证 对于任意的P 0x 0 y 0R 2因为),(sin sin lim),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→ 所以函数fx ,y sin x 在点P 0x 0 y 0连续 由P 0的任意性知 sin x作为x y 的二元函数在R 2上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的 定义4设函数fx y 的定义域为D P 0x 0 y 0是D 的聚点 如果函数fx y 在点P 0x 0 y 0不连续 则称P 0x 0 y 0为函数fx y 的间断点 例如 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f其定义域D R 2O 0 0是D 的聚点 fx y 当x y 0 0时的极限不存在 所以点O 0 0是该函数的一个间断点又如 函数11sin22-+=y x z 其定义域为D {x y |x 2y 21} 圆周C {x y |x 2y 21}上的点都是D 的聚点 而fx y 在C 上没有定义 当然fx y 在C 上各点都不连续 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的例如2221y y x x +-+ sin xy 222z y xe ++都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数fP 在点P 0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则 )()(lim 00P f P f p p =→例7 求xy y x y x +→)2,1(),(lim解 函数xy yx y x f +=),(是初等函数 它的定义域为D {x y |x 0 y 0}P 01 2为D 的内点 故存在P 0的某一邻域UP 0D 而任何邻域都是区域 所以UP 0是fx y 的一个定义区域 因此23)2,1(),(lim)2,1(),(==→f y x f y x 一般地 求)(lim 0P f P P →时 如果fP 是初等函数 且P 0是fP 的定义域的内点 则fP 在点P 0处连续 于是)()(lim 00P f P f P P =→例8 求xy xy y x 11lim)0 ,0(),(-+→解)11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x多元连续函数的性质性质1 有界性与最大值最小值定理在有界闭区域D 上的多元连续函数 必定在D 上有界 且能取得它的最大值和最小值性质1就是说 若fP 在有界闭区域D 上连续 则必定存在常数M 0 使得对一切PD 有|fP |M 且存在P 1、P 2D 使得 fP 1max{fP |PD } fP 2min{fP |PD }性质2 介值定理 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值§8 2 偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数zfx y 如果只有自变量x 变化 而自变量y 固定 这时它就是x 的一元函数 这函数对x 的导数 就称为二元函数zfx y 对于x 的偏导数定义 设函数zfx y 在点x 0 y 0的某一邻域内有定义 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量x 时 相应地函数有增量fx 0x y 0fx 0 y 0如果极限x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在 则称此极限为函数zfx y 在点x 0 y 0处对x 的偏导数 记作0y y x x x z==∂∂ 00y y x x x f ==∂∂0y y x x xz == 或),(00y x f x例如x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000类似地 函数zfx y 在点x 0 y 0处对y 的偏导数定义为y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000记作y y x x y z==∂∂y y x x y f==∂∂y y x x yz == 或f y x 0 y 0偏导函数 如果函数zfx y 在区域D 内每一点x y 处对x 的偏导数都存在 那么这个偏导数就是x 、y 的函数 它就称为函数zfx y 对自变量x 的偏导函数 记作x z ∂∂ xf ∂∂ x z 或),(y x f x偏导函数的定义式x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0类似地 可定义函数zfx y 对y 的偏导函数 记为y z ∂∂ yf∂∂ z y 或),(y x f y偏导函数的定义式y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0求xf∂∂时 只要把y 暂时看作常量而对x求导数 求yf∂∂时只要把x 暂时看作常量而对y 求导数讨论 下列求偏导数的方法是否正确),(),(00y y x x x x y x f y x f ===),(),(00y y x x y y y x f y x f ===0]),([),(000x x x y x f dx d y x f == 0]),([),(000y y y y x f dy dy x f ==偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数ufx y z 在点x y z 处对x 的偏导数定义为x z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim),,(0其中x y z 是函数ufx y z 的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例1 求zx 23xyy 2在点1 2处的偏导数解 y x x z 32+=∂∂ yx y z 23+=∂∂ 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x xz7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz例2 求zx 2sin 2y 的偏导数解 y x x z 2sin 2=∂∂ yx y z 2cos 22=∂∂例3 设)1,0(≠>=x x xz y求证zy z x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂证 1-=∂∂y yx x z xx y z y ln =∂∂zx x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-例4 求222z y x r ++=的偏导数解 r x z y x x x r =++=∂∂222 r y z y x y y r =++=∂∂222例5 已知理想气体的状态方程为pV =RTR 为常数求证 1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂p T T V V p证 因为V RTp = 2V RT V p-=∂∂p RT V = p RT V =∂∂RpV T =R Vp T =∂∂所以12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT R V p R V RT p T T V V p例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商二元函数zfx y 在点x 0 y 0的偏导数的几何意义f x x 0 y 0fx y 0x 是截线zfx y 0在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率f y x 0 y 0 fx 0 y y 是截线zfx 0 y 在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00),(222222y x y x y x xy y x f在点0 0有 f x 0 00 f y 0 00 但函数在点0 0并不连续提示0)0 ,(=x f 0) ,0(=y f0)]0 ,([)0 ,0(==x f dx d f x 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy df y当点Px y 沿x 轴趋于点0 0时 有0lim )0 ,(lim ),(lim00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f当点Px y 沿直线ykx 趋于点0 0时 有22222022 )0,0(),(1lim lim kk x k x kx y x xy x kx y y x +=+=+→=→因此),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在 故函数fx y 在0 0处不连续类似地 可定义函数zfx y 对y 的偏导函数 记为y z ∂∂ yf∂∂ z y 或),(y x f y偏导函数的定义式y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0二 高阶偏导数设函数zfx y 在区域D 内具有偏导数),(y x f x z x =∂∂ ),(y x f y z y=∂∂那么在D 内f x x y 、f y x y 都是x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数zfx y 的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数zfx y 在区域D 内的偏导数f x x y 、f y x y 也具有偏导数则它们的偏导数称为函数zfx y 的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f x z x z x xx =∂∂=∂∂∂∂ ),()(2y x f y x z x z y xy=∂∂∂=∂∂∂∂),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂ ),()(22y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂ ),()(2y x f x y z y z x yx=∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数22)(x z x z x ∂∂=∂∂∂∂ yx z x z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)( x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)( 22)(y zy z y ∂∂=∂∂∂∂同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例6 设zx 3y 23xy 3xy 1 求22x z ∂∂、33x z∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z∂∂∂2解 y y y x x z --=∂∂32233 xxy y x y z --=∂∂23922226xy x z =∂∂ 2336y x z =∂∂196222--=∂∂∂y y x y x z 196222--=∂∂∂y y x x y z由例6观察到的问题 y x zx y z ∂∂∂=∂∂∂22定理 如果函数zfx y 的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z∂∂∂2在区域D 内连续 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+= 所以22y x xx z +=∂∂22y x y y z +=∂∂222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x xz +-=+⋅-+=∂∂222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x yz +-=+⋅-+=∂∂因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u其中222z y x r ++=证 32211r xr x r x r r x u -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂同理5232231r y r y u +-=∂∂ 5232231r z r z u +-=∂∂因此)31()31()31(523523523222222r z r r y r r x r zu y u x u +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂33)(3352352223=+-=+++-=r r r r z y x r提示 6236333223)()(r x rr x r r r x x r rx x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂§8 3全微分及其应用 一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系有 偏增量与偏微分fxx yfx yf x x yxfxx yfx y 为函数对x 的偏增量 f x x yx 为函数对x 的偏微分fx yyfx yf y x yyfx yyfx y 为函数对y 的偏增量 f y x yy 为函数对y 的偏微分全增量 z fxx yyfx y计算全增量比较复杂 我们希望用x 、y 的线性函数来近似代替之定义 如果函数zfx y 在点x y 的全增量 z fxx yyfx y 可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ 其中A 、B 不依赖于x 、y 而仅与x 、y 有关 则称函数zfx y 在点x y 可微分 而称AxBy 为函数zfx y 在点x y 的全微分 记作dz 即dzAxBy如果函数在区域D 内各点处都可微分 那么称这函数在D 内可微分可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续 这是因为 如果zfx y 在点x y 可微则 z fxx yyfx yAxByo 于是 0lim 0=∆→z ρ从而),(]),([lim ),(lim)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ因此函数zfx y 在点x y 处连续 可微条件定理1必要条件如果函数zfx y 在点x y 可微分 则函数在该点的偏导数x z∂∂、y z ∂∂必定存在 且函数zfx y 在点x y 的全微分为yy z x xz dz ∆∂∂+∆∂∂= 证 设函数zfx y 在点Px y 可微分 于是 对于点P 的某个邻域内的任意一点P xx yy 有zAxByo 特别当y 0时有f xx yfx yAxo |x |上式两边各除以x 再令x 0而取极限 就得Ax y x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim从而偏导数x z ∂∂存在 且Ax z =∂∂同理可证偏导数y z ∂∂存在 且B y z =∂∂所以yy z x xz dz ∆∂∂+∆∂∂= 简要证明设函数zfx y 在点x y 可微分 于是有zAxByo 特别当y 0时有f xx yfx yAxo |x |上式两边各除以x 再令x 0而取极限 就得Ax x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim00从而x z ∂∂存在 且A x z =∂∂同理y z ∂∂存在 且B y z =∂∂ 所以yy z x xz dz ∆∂∂+∆∂∂= 偏导数x z∂∂、y z ∂∂存在是可微分的必要条件 但不是充分条件例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点00处虽然有f x 0 00及f y 0 00但函数在00不可微分即zf x 0 0xf y 0 0y 不是较高阶的无穷小这是因为当x y 沿直线yx 趋于0 0时ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y x定理2充分条件 如果函数zfx y 的偏导数x z∂∂、y z ∂∂在点x y 连续 则函数在该点可微分定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数 按着习惯x 、y 分别记作dx 、dy 并分别称为自变量的微分则函数zfx y 的全微分可写作dyy z dx x z dz ∂∂+∂∂=二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数uf x y z 的全微分为dzz u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂= 例1 计算函数zx 2y y 2的全微分解 因为xy x z 2=∂∂ yx y z 22+=∂∂所以dz 2xydxx 22ydy例2 计算函数ze xy在点2 1处的全微分解 因为xy ye x z =∂∂ xyxe y z =∂∂ 212e x z y x =∂∂== 2122ey z y x =∂∂==所以 dze 2dx 2e 2dy 例3 计算函数yze yx u ++=2sin 的全微分解 因为1=∂∂x u yz ze y y u +=∂∂2cos 21 yzye z u =∂∂ 所以 dzye dy ze ydx du yz yz +++=)2cos 21(二、全微分在近似计算中的应用当二元函数zf x y 在点P x y 的两个偏导数f x x y fyx y 连续 并且|x | |y |都较小时 有近似等式z dz f x x yxf y x yy即 f xx yy fx yf x x yxf y x yy我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算 例4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由20cm 增大到20 05cm 高度由100cu 减少到99cm 求此圆柱体体积变化的近似值解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V 则有V r 2h已知r 20 h 100 r 0 05 h 1 根据近似公式 有VdVV r rV h h 2rhrr 2h2201000 052021200 cm 3即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm 3例5 计算1 04202的近似值解 设函数f x yx y显然 要计算的值就是函数在x 104y 202时的函数值f 104 202 取x 1 y 2 x 004 y 002 由于f xx yy fx yf x x yxf y x yyx y yx y 1xx yln x y所以10420212212100412ln1002108例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是224T lg π=现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±、T =2±.问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |,则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224T lg π=的全增量的绝对值|Δg |.由于|Δl ||ΔT |都很小因此我们可以用dg 来近似地代替Δg 这样就得到g 的误差为||||||T T g l l g dg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆T l T g l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||)21(4322Tl T l T δδπ+=其中l 与T 为l 与T 的绝对误差 把l =100 T =2, l =, δT =代入上式 得g 的绝对误差约为)004.02100221.0(4322⨯⨯+=πδg)/(93.45.022s cm ==π.02225.0210045.0=⨯=ππδg g从上面的例子可以看到对于一般的二元函数z =fx, y , 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为x 、y , 即|Δx |x , |Δy |y , 则z 的误差||||||y y z x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ ||||||||y y z x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤ y x y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||从而得到z 的绝对误差约为yx z yz xz δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||z 的相对误差约为yx z z y z z x zz δδδ∂∂+∂∂=||§8 4 多元复合函数的求导法则 设zfu v 而ut vt 如何求dt dz设zfu v 而ux y vx y 如何求x z∂∂和y z ∂∂1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数ut 及vt 都在点t 可导 函数zfu v 在对应点u v 具有连续偏导数 则复合函数zft t 在点t 可导 且有dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=简要证明1 因为zfu v 具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有dvv z du uz dz ∂∂+∂∂=又因为ut 及vt 都可导 因而可微 即有dt dt du du = dtdt dv dv = 代入上式得dt dtdv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dtdt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂= 从而 dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=简要证明2 当t 取得增量t 时 u 、v 及z 相应地也取得增量u 、v 及z 由zfu v 、ut 及vt 的可微性 有)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dt dv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂=)()()()(ρo t o v z u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂= t o t t o v z u z dt dv v z dt du u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ令t 0 上式两边取极限 即得dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=注0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ推广 设zf u v w u t vt wt 则zf t t t 对t 的导数为dt dww z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=上述dt dz称为全导数2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数ux y vx y 都在点x y 具有对x 及y 的偏导数 函数zfu v 在对应点u v 具有连续偏导数 则复合函数zf x y x y 在点x y 的两个偏导数存在 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ y vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂推广 设zfu v w ux y vx y wx y 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ y ww z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂讨论 1设zfu v ux y vy 则=∂∂x z =∂∂y z提示 x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂ dy dvv z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2设zfu x y 且ux y 则=∂∂x z =∂∂y z提示 x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ y fy u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 这里x z∂∂与xf ∂∂是不同的 x z∂∂是把复合函数zfx y x y 中的y 看作不变而对x 的偏导数 xf∂∂是把fu x y 中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数 y z∂∂与yf ∂∂也有类似的区别3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形定理3 如果函数ux y 在点x y 具有对x 及对y 的偏导数 函数vy 在点y 可导 函数zfu v 在对应点u v 具有连续偏导数 则复合函数zfx y y 在点x y 的两个偏导数存在 且有x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂ dy dvv z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂例1 设ze u sin v uxy vxy 求x z∂∂和y z ∂∂解 x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂e u sin vye ucos v 1 e x yy sin xy cos xyy vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂e u sin vxe ucos v 1 e xyx sin xy cos xy 例2 设222),,(z y x ez y x f u ++== 而y x z sin 2= 求x u∂∂和y u ∂∂解 x zz f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze xez y xz y xsin 222222222⋅+=++++yx y xey x x 2422sin 22)sin 21(2++++=y zz f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze yez y xz y xcos 222222222⋅+=++++yx y xey y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=例3 设zuv sin t 而uetv cos t 求全导数dt dz解 t zdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=ve tu sin t cos t e tcos te tsin t cos t e t cos t sin t cos t 例4 设wfxyz xyz f具有二阶连续偏导数 求x w∂∂及z x w ∂∂∂2解 令uxyz vxyz 则wfu v 引入记号u v u f f ∂∂='),(1 v u v u f f ∂∂∂='),(12同理有2f '11f ''22f ''等 21f yz f x v v f x u u f x w '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂z f yz f y z f f yz f z z x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)(2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''= 注 1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂ 2221222f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂例5 设ufx y 的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式122)()(y u xu ∂∂+∂∂ 22222y u x u ∂∂+∂∂ 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 ufx yf cos θ sin θF θ 其中x cos θ y sin θ 22yx +=ρx yarctan=θ应用复合函数求导法则 得x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρsin cos y u u ∂∂-∂∂=y u y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρcos sin ∂∂+∂∂=u u两式平方后相加 得22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u yu x u 再求二阶偏导数 得x x u x x u x u ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22θρθθθρρcos )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂=u u ρθρθθθρθsin )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ22sin cos sin 2∂∂+∂∂+u u同理可得2222222222cos cos sin 2sin ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y u ρθρρθθθ22cos cos sin 2∂∂+∂∂-u u两式相加 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u全微分形式不变性 设zfu v 具有连续偏导数 则有全微分dvv z du uz dz ∂∂+∂∂= 如果zfu v 具有连续偏导数 而ux y vx y 也具有连续偏导数 则dyy z dx x z dz ∂∂+∂∂=dyy v v z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂= dv v z du uz ∂∂+∂∂= 由此可见 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分解 dv v z du uz dz ∂∂+∂∂= e u sin vdu e ucos v dv e u sin vy dxx dy e u cos vdxdy ye u sin v e u cos vdxxe u sin v e ucos v dye xy y sin xy cos xydx e xyx sin xy cos xydy§8 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形 隐函数存在定理1设函数Fx y 在点Px 0 y 0的某一邻域内具有连续偏导数Fx 0 y 00 F y x 0 y 00 则方程Fx y 0在点x 0 y 0的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yfx 它满足条件y 0fx 0 并有yx F F dx dy-= 求导公式证明 将yfx 代入Fx y 0 得恒等式 Fx fx 0 等式两边对x 求导得=⋅∂∂+∂∂dx dy y F x F由于F y 连续 且F y x 0 y 00 所以存在x 0 y 0的一个邻域 在这个邻域同F y 0 于是得yx F F dx dy-=例1 验证方程x 2y 210在点0 1的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x 0时y 1的隐函数yfx 并求这函数的一阶与二阶导数在x 0的值解 设Fx yx 2y 21 则F x 2x F y 2y F 0 10 F y 0 120 因此由定理1可知 方程x 2y 210在点0 1的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x 0时y 1的隐函数yfx yx F F dx dyy x -=-= 00==x dx dy332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=1022-==x dx yd隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程Fx y 0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程Fx y z 0可以确定一个二元隐函数 隐函数存在定理2设函数Fx y z 在点Px 0 y 0 z 0的某一邻域内具有连续的偏导数 且Fx 0 y 0 z 00 F z x 0 y 0 z 00 则方程Fx y z 0在点x 0 y 0z 0的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zfx y 它满足条件z 0fx 0 y 0 并有zxF F x z -=∂∂ zyF F y z -=∂∂公式的证明 将zfx y 代入Fx y z 0 得Fx y fx y 0 将上式两端分别对x 和y 求导 得0=∂∂⋅+x z F F z x 0=∂∂⋅+y zF F z y因为F z 连续且F z x 0 y 0 z 00 所以存在点x 0 y 0 z 0的一个邻域 使F z 0 于是得zx F F x z -=∂∂ zy F F y z -=∂∂例2. 设x 2y 2z 24z 0 求22x z∂∂解 设Fx y z x 2y 2z 24z 则F x 2x F y 2z 4 z x z x F F x z z x -=--=-=∂∂24223222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂二、方程组的情形在一定条件下 由个方程组Fx y u v 0 Gx y u v 0可以确定一对二元函数uux y vvx y 例如方程xuyv 0和yuxv 1可以确定两个二元函数22y x y u +=22y x x v +=事实上 xuyv 0 u yx v =1=⋅+u y x x yu 22y x yu += 2222yx x y x yy x v +=+⋅=如何根据原方程组求u v 的偏导数 隐函数存在定理3 隐函数存在定理3设Fx y u v 、Gx y u v 在点Px 0 y 0 u 0 v 0的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又Fx 0 y 0 u 0 v 00 Gx 0 y 0 u 0 v 00 且偏导数所组成的函数行列式v G u Gv Fu Fv u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(在点Px 0 y 0 u 0 v 0不等于零 则方程组Fx y u v 0 Gx y u v 0在点Px 0 y 0 u 0 v 0的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uux y vvx y 它们满足条件u 0ux 0 y 0 v 0vx 0y 0 并有v uv uv x v xG G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1vuv ux u x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu vy v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu yu y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1隐函数的偏导数:设方程组Fx y u v 0 Gx y u v 0确定一对具有连续偏导数的二元函数uux y vvx y 则偏导数x u ∂∂ x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定偏导数y u ∂∂ y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定例3 设xuyv 0 yuxv 1 求x u ∂∂ x v ∂∂ y u∂∂和y v ∂∂解 两个方程两边分别对x 求偏导 得x u ∂∂和x v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v x u y x v y x u x u当x 2y 2时 解之得22y x yv xu x u ++-=∂∂ 22y x xvyu x v +-=∂∂两个方程两边分别对x 求偏导 得y u∂∂和y v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x 当x 2y 2时 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂ 22y x yvxu y v ++-=∂∂另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx udy xdv ydu udxvdy ydv xdu解之得dy y x yuxv dx y x yv xu du 2222+-+++-=dy y x yvxu dx y x xv yu dv 2222++-+-=于是 22y x yv xu x u ++-=∂∂ 22yx yu xv y u +-=∂∂22y x xv yu x v +-=∂∂ 22y x yv xu y v ++-=∂∂例 设函数xxu v yyu v 在点u v 的某一领域内连续且有连续偏导数 又0),(),(≠∂∂v u y x1证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x在点x y u v 的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uux y vvx y2求反函数uux y vvx y 对x y 的偏导数 解 1将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F则按假设.0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J由隐函数存在定理3 即得所要证的结论2将方程组7所确定的反函数uux yvvx y 代入7 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x将上述恒等式两边分别对x 求偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=x v v y x u u y x vv x x u u x 01由于J 0 故可解得v y J x u ∂∂=∂∂1 u yJ x v ∂∂-=∂∂1同理 可得v x J y u ∂∂-=∂∂1 u xJ y v ∂∂=∂∂1§8 6多元函数微分学的几何应用一 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程为 xt yt zt 这里假定t t t 都在 上可导在曲线上取对应于tt 0的一点M 0x 0 y 0 z 0及对应于tt 0t 的邻近一点Mx 0+x y 0+y z 0+z 作曲线的割线MM 0 其方程为z z z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000当点M 沿着趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线 考虑t z z z ty y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000 当MM 0 即t 0时 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='- 曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量T t 0 t 0 t 0就是曲线在点M 0处的一个切向量法平面 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线在点M 0 处的法平面 其法平面方程为 t 0xx 0t 0yy 0t 0zz 00例1 求曲线xt yt 2zt 3在点1 1 1处的切线及法平面方程解 因为x t 1 y t 2t z t 3t 2而点1 1 1所对应的参数t 1 所以T 1 2 3 于是 切线方程为 312111-=-=-z y x法平面方程为x 12y 13z 10 即x 2y 3z 6讨论1 若曲线的方程为 yx zx问其切线和法平面方程是什么形式提示 曲线方程可看作参数方程 xx yx zx 切向量为T 1 x x2 若曲线的方程为Fx y z 0 Gx y z 0 问其切线和法平面方程又是什么形式提示 两方程确定了两个隐函数 yx zx 曲线的参数方程为xx yx zx由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dxdz F dx dy F F z y x z y x 可解得dx dy 和dx dz 切向量为) ,,1(dx dz dx dy =T例2 求曲线x 2y 2z 26 xyz 0在点1 2 1处的切线及法平面方程解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dydxdz z dx dy y x解方程组得z y xz dx dy --= z y yx dx dz --=在点1 2 1处 0=dx dy 1-=dx dz从而T 1 0 1 所求切线方程为 110211--=+=-z y x法平面方程为x 10y 2z 10 即xz 0解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dydx dz z dx dy y x方程组在点1 2 1处化为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-112dx dz dx dydx dz dx dy 解方程组得0=dx dy 1-=dx dz从而T 1 0 1 所求切线方程为 110211--=+=-z y x法平面方程为x 10y 2z 10 即xz 0。
微分几何——精选推荐
微分⼏何微分⼏何学，数学的⼀个分⽀学科，主要是以分析⽅法来研究空间（微分流形）的⼏何性质。
微分⼏何的产⽣微分⼏何学的产⽣和发展是和数学分析密切相连的。
在这⽅⾯第⼀个做出贡献的是瑞⼠数学家欧拉。
1736年他⾸先引进了平⾯曲线的内在坐标这⼀概念，即以曲线弧长这以⼏何量作为曲线上点的坐标，从⽽开始了曲线的内在⼏何的研究。
⼗⼋世纪初，法国数学家蒙⽇⾸先把微积分应⽤到曲线和曲⾯的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在⼏何学上的应⽤》⼀书，这是微分⼏何最早的⼀本著作。
在这些研究中，可以看到⼒学、物理学与⼯业的⽇益增长的要求是促进微分⼏何发展的因素。
1827年，⾼斯发表了《关于曲⾯的⼀般研究》的著作，这在微分⼏何的历史上有重⼤的意义，它的理论奠定了现代形式曲⾯论的基础。
微分⼏何发展经历了150年之后，⾼斯抓住了微分⼏何中最重要的概念和带根本性的内容，建⽴了曲⾯的内在⼏何学。
其主要思想是强调了曲⾯上只依赖于第⼀基本形式的⼀些性质，例如曲⾯上曲⾯的长度、两条曲线的夹⾓、曲⾯上的⼀区域的⾯积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。
他的理论奠定了近代形式曲⾯论的基础。
1872年克莱因在德国埃尔朗根⼤学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，⽤变换群对已有的⼏何学进⾏了分类。
在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了⼏何学的指导原理，推动了⼏何学的发展，导致了射影微分⼏何、仿射微分⼏何、共形微分⼏何的建⽴。
特别是射影微分⼏何起始于1878年阿尔⽅的学位论⽂，后来1906年起经以威尔⾟斯基为代表的美国学派所发展，1916年起⼜经以富⽐尼为⾸的意⼤利学派所发展。
随后，由于黎曼⼏何的发展和爱因斯坦⼴义相对论的建⽴，微分⼏何在黎曼⼏何学和⼴义相对论中的得到了⼴泛的应⽤，逐渐在数学中成为独具特⾊、应⽤⼴泛的独⽴学科。
微分⼏何学的基本内容微分⼏何学以光滑曲线(曲⾯)作为研究对象，所以整个微分⼏何学是由曲线的弧线长、曲线上⼀点的切线等概念展开的。
§8-4__多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用
8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题．对于多元函数，也有类似的求导法则.8.4.1多元复合函数的求导法则 1.二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数),(v u f z =，中间变量u 和v 都可以是x 和y 的二元函数；也可以只是某一个变量t 的函数，还可能中间变量u 和v 分别是不同个数自变量的函数，譬如u 是y x ,的函数，而v 只是x 的函数；等等。
下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出．定理8.4.1设函数),(v u f z =是v u ,的函数，),(),,(y x v y x u ψϕ==．若),(),,(y x y x ψϕ在点),(y x 处偏导数都存在，),(v u f z =在对应点),(v u 处可微，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处关于y x ,的两个偏导数都存在，且yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, (8-1) 我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的结构图，如图8-4所示.从函数结构图可以看出，z 和x 的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量u 到达自变量x ，还有一条是经中间变量v 到达自变量x 的.从公式(1)的第一式可以看出，z 和x 的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.例8.4.1设)sin(y x e z xy+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令y x v xy u +==,，则v e z usin = 函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv ∂∂⋅=sin cos uu e v y e v ⋅+ =sin()cos()xy xye x y y e x y +++,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv ∂∂⋅=sin cos uu e v x e v ⋅+=sin()cos()xy xye x y x e x y +++. 例8.4.2设2)(2y x y x z -+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令22,y x v y x u -=+=，则vu z =，函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv∂∂⋅=1ln v v vu u u -+ =2222122()()()ln()x y x yx y x y x y x y ----+++-,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv∂∂⋅=12ln (2)v v vu y u u y -+- =22221222()()2()ln()x y x yy x y x y y x y x y ----+-+-.2.二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形，分以下几种情形讨论：（1）当函数z 有两个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),,(t v v t u u v u f z ===．函数结构图，如图8-6所示.因此(8-1)变形成为dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=．因为复合结果和中间变量都是t 的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数dtdz 为全导数．当函数z 有三个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),(),,,(t w w t v v t u u w v u f z ====．函数结构图，如图8-7所示.因此公式(8-1)可以推广成为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=．（2）当函数z 有一个中间变量，而自变量有两个.例如),(),,(y x u x u f z ϕ==.函数结构图，如图8-8所示.此时(8-1)变形成为．yu u f y z x f x u u f x z ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, 在上面第一个式中，xz∂∂表示在复合函数]),,([x y x f z ϕ=中，把y 看作常量，求得的z 对x 的偏导数；xf∂∂表示在复合函数],[x u f z =中，把u 看作常量，求得的z 对x 的偏导数，因此x z ∂∂和xf ∂∂表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆. 例如),(),(y x u u f z ϕ==，函数结构图，如图8-9所示.此时(8-1)变形成为．yu du dz y z x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂,(3)当函数z 有两个中间变量，而自变量有三个，即),,(),,,(),,(w v u y y w v u x x y x f z ===．函数结构图，如图8-10所示。
解析几何中的微分几何和曲率
解析几何中的微分几何和曲率近代数学发展的一个重要方向是微积分学，它解决了许多几何问题，同时也产生了许多新的几何问题。
其中微分几何和曲率是被广泛研究的两个重要课题。
一、微分几何微分几何研究的对象是曲面及其上的曲线、切向量、法向量等各种概念。
在微分几何中，微分形式是最为重要的基础工具。
微分形式是刻画曲面上各种微小变化的代数表达式，比如长度、曲率等，是微分几何中的核心概念。
在微分几何中，还有一个非常重要的概念是流形。
流形可以理解为是一个具有很强几何性质的空间。
流形的微分结构是指流形上定义的可微分函数和可微分向量场，从而得到了微分几何的数学框架。
二、曲率曲率是微分几何中的一个重要指标，它描述的是曲面的弯曲程度。
曲率在一定程度上反映了曲面的几何性质，是微分几何中的关键概念之一。
曲率可以分为高斯曲率和平均曲率。
高斯曲率是描述曲面在某个点处的弯曲性质的指标，它是曲面上所有法向量在该点的内积的乘积。
平均曲率是描述曲面在某个点处的偏斜程度的指标，它是曲面上所有法向量的长度之和除以曲面上的点数。
曲率是一种局部性质，它依赖于曲面在某个点的局部情况。
在实际应用中，我们通常需要估算曲面的整体几何性质，这就需要引入全曲率和平均全曲率这两个综合指标。
全曲率是曲面上所有法向量的点积之和，平均全曲率则是全曲率除以曲面上的点数。
三、应用微分几何和曲率理论在许多领域都有广泛的应用。
比如，在计算机图形学中，我们可以利用微分几何和曲率理论来建立三维几何模型；在工程领域中，微分几何和曲率理论可以用来优化表面形状设计，从而提高产品的质量和效率。
除此之外，微分几何和曲率理论还可以被用于建立地图、地形建模、机器人运动控制、物理仿真等领域。
这些应用都需要建立一个高效的数学模型，而微分几何和曲率理论恰恰提供了这样的数学基础。
总之，微分几何和曲率理论是现代数学中的重要分支，它们为人类社会带来了众多的实际应用，同时也推动了数学学科的发展。
微积分与解析几何
微积分与解析几何微积分和解析几何是数学中两个重要的分支，本文将介绍它们的基本概念、历史发展以及它们之间的关系。
下面是本店铺为大家精心编写的5篇《微积分与解析几何》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《微积分与解析几何》篇1一、微积分的基本概念微积分是研究函数变化的数学分支。
它的基本概念包括导数和积分。
导数表示函数在某一点处的变化率，可以用来描述函数的斜率、速度和加速度等。
积分则表示函数在某一区间内的总量，可以用来描述函数下面的面积、体积和长度等。
二、解析几何的基本概念解析几何是研究几何图形的数学分支。
它的基本概念包括向量、矩阵和坐标系等。
向量可以用来描述几何图形中的点、线和面，矩阵则可以用来描述向量的变换，坐标系则用来表示几何图形在空间中的位置和方向。
三、微积分和解析几何的关系微积分和解析几何有着密切的关系。
微积分中的导数和积分可以用来描述几何图形中的斜率、面积和体积等几何量，而解析几何中的向量和矩阵则可以用来描述微积分中的函数和导数等数学量。
例如，我们可以用微积分中的导数来求解几何图形中的切线斜率和法线斜率，用积分来求解几何图形中的面积和体积等。
同时，我们也可以用解析几何中的向量和矩阵来描述微积分中的函数和导数等数学量，例如用向量来表示函数的梯度，用矩阵来表示函数的雅可比矩阵等。
四、微积分和解析几何的应用微积分和解析几何在各个领域都有着广泛的应用。
例如，在物理学中，微积分和解析几何可以用来描述运动的速度和加速度，求解物体的面积和体积等。
在工程学中，微积分和解析几何可以用来求解机械系统的力学特性和热力学特性等。
在计算机图形学中，微积分和解析几何则可以用来描述三维图形的形状和运动等。
总之，微积分和解析几何是数学中两个重要的分支，它们在各个领域都有着广泛的应用。
《微积分与解析几何》篇2微积分和解析几何是数学中的两个重要分支。
解析几何主要是用坐标和向量的方法研究几何问题，包括曲线和曲面的坐标表示和向量表示。