小学奥数 经典应用题 -倒推-平均数-和差倍-年龄

应用题综合（一）一、还原问题已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还原问题．还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过程中采用相反的运算，逐步逆推．二、解还原问题的方法在解题过程中注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．方法：倒推法。

口诀：加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．关键：从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使用括号.一、和差倍问题1、和差问题知识点拨：知道两个数的和，以及它们的差，要求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析。

方法一：(和+差)÷2=大数和-大数=小数方法二：(和-差)÷2=小数和-小数=大数2、和倍问题知识点拨：和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题。

方法：一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数。

和÷(倍数+1)=小数小数×倍数=大数或和-小数=大数如果要求两个数的差，要先求1份数。

3、差倍问题知识点拨：差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题。

方法：解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，相除后得到的结果是1倍数。

差÷(倍数－1)=1倍数(较小数) 1倍数×几倍=几倍数(较大数) 或 较小数+差=较大数二、年龄问题知识点拨：运用“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行解答年龄问题。

年龄问题，就是一类与计算年龄有关的问题。

年龄问题一般是一种“差不变”的问题，解题时要善于利用差不变的特点。

年龄问题的特点：（1）、两个人的年龄差不变（定差）（2）、两个或两个以上人的年龄，一定同时减少（或增加）同一个自然数（同增同减）（3）、随着时间年份的变化，年龄倍数关系也发生变化（4）、每人每年增长1岁甲在加工一堆零件，第一天加工了这堆零件的一半又10个，第二天又加工了剩下的一半又10个，还剩下25个没有加工，问：这批零件有多少个？如右图所示，按照图与题目的条件，可以有如下算式：（个），（个），（个），（个）列综合算式：[](2510)2102160+⨯+⨯=，答：这批零件共有160个。

【答案】160个一群蚂蚁搬家，原存一堆食物．第一天运出总数的一半少12克．第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克．问蚂蚁家原有食物多少克?【考点】单个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 采用倒推法，教师可画线段图帮助学生理解.如果第二天再多运出12克，就是剩下的一半，所以第一天运出后，剩下的一半重量是431231-=(克)；这样，第一天运出后剩下的重31262⨯=(克).那么同理，一半的重量是621250-=(克)，原有食物502100⨯=(克).即[4312212]2100（）-⨯-⨯=(克).【答案】100克【例 1】 甲、乙、丙三人一起去钓鱼，他们将钓得的鱼放在一个鱼篓中，就在原地躺下休息，结果都睡着了。

甲先醒来，他将鱼篓中的鱼平均分成3份，发现还多一条，就将多的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份鱼回家了。

乙随后醒来，他将鱼篓中现有的鱼平均分成3份，发现还多一条，也将多的这条鱼扔回河中，拿着其中的一份鱼回家了。

丙最后醒来，他也将鱼篓中的鱼平均分成3份，这时也多一条鱼。

这三个人至少钓到__________条鱼。

【考点】单个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2010年，希望杯，第八届，六年级，一试，第12题【解析】 根据题意画图分析如下：251035+=35270⨯=701080+=802160⨯=当1=a 时，2317⇒=+=b b ，无法被2整除当2=a 时，317+=a ，无法被2整除当3=a 时，()3125=+÷=b a ，()3128=+÷=c b ∴ 三人至少钓得()38125条⨯+=【答案】25条【例 2】 有甲、乙两堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆．现在按如下方法移动棋子：第一次从甲堆中拿出和乙堆一样多的棋子放到乙堆；第二次从乙堆中拿出和甲堆剩下的同样多的棋子放到甲堆；第三次又从甲堆中拿出和乙堆同样多的棋子放到乙堆．照此移法，移动三次后，甲、乙两堆棋子数恰好都是32个．问甲、乙两堆棋子原来各有多少个？【考点】多个变量的还原问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 我们从最后一步倒着分析．因为第三次是从甲堆拿出棋子放到乙堆，这样做的结果是两堆棋子都是32个，因此，在未进行第三次移动之前，乙堆只有32216÷=(个)棋子，而甲堆的棋子数是321648+=(个)，这样再逆推下去，逆推的过程可以用下表来表示，表中的箭头表示逆推的方向．所以，甲堆原有44个棋子；乙堆原有20个棋子．采用列表法非常清楚．【答案】甲乙两堆棋子原来各有44个和20个【例 3】 三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟?【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是36312÷=（只），第一棵树上的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数．列式：现在一样多的：36312÷=（只），第一棵树上的小鸟只数：121046-+=（只）或 12(104)--=（只），第二棵树上的小鸟只数：128416+-=（只）或12(84)16+-=（只），第三棵树上的小鸟只数：1210814+-=（只）或12(108)14+-=（只）原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟．【答案】原来第一棵树上有6只小鸟，第二棵树上有16只小鸟，第三棵树上有14只小鸟【巩固】 三棵树上共有27只鸟，从第一棵飞到第二棵2只，从第二棵飞到第三棵3只，从第三棵飞到第一棵4只，这时，三棵树上的鸟同样多．原来每棵树上各有几只鸟？【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 三棵树上的鸟同样多的只数：2739÷=（只），第一棵数上鸟的只数：9427-+=（只），第二棵数上鸟的只数：92310-+=（只），第三棵数上鸟的只数：93410-+=（只），第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟．【答案】第一棵数上有7只鸟，第二棵数上有10只鸟，第三棵数上有10只鸟【巩固】 3个笼子里共养了78只鹦鹉，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的鹦鹉一样多．求3个笼子里原来各养了多少只鹦鹉?【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 3个笼子里的鹦鹉不管怎样取，78只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的鹦鹉一样多”，可以求出现在每个笼里的是78326÷=（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了26834+=（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，得出第2个笼子里有：266824+-=（只），第3个笼子里原有26620-=（只）．【答案】第1个笼子里原来养了34只，第2个笼子里有24只，第3个笼子里原有20只。

【巩固】 3个笼子里共养了36只兔子，如果从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里，再从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里，那么3个笼子里的兔子一样多．求3个笼子里原来各养了多少只兔子？【考点】多个变量的还原问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】 3个笼子里的兔子不管怎样取，36只的总数始终不变．变化后“3个笼子里的兔子一样多”，可以求出现在每个笼里的兔子是36312÷=（只）．根据“从第1个笼子里取出8只放到第2个笼子里”，可以知道第1个笼子里原来养了12820+=（只）；再根据“从第2个笼子里取出6只放到第3个笼子里”，所以第3个笼子里原有：1266-=（只），第2个笼子里原有：--=(只)．3620610【答案】第1个笼子里原来养了20只，第2个笼子里原有10只，第3个笼子里原有6只。

【例4】科学课上，老师说：“土星直径比地球直径的9倍多4800千米，土星直径除以24等于水星直径，水星直径加上2000千米是火星直径，火星直径除以2减去500千米等于月亮的直径，月亮直径是3000千米.”请你算一算，地球的直径是多少？【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】先求土星直径：[(3000500)22000]24120000+⨯-⨯=(千米)再求地球直径：(1200004800)912800-÷=(千米)，即：地球的直径是12800千米.【答案】12800千米【例5】老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159．如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数．请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？【考点】多个变量的还原问题【难度】4星【题型】解答【关键词】可逆思想方法【解析】由于最后写到黑板上的数是其前两个数的平均数，且黑板上最后留下的这三个数之和为159，所以写到黑板上的最后一个数是159(21)53÷+=．假设剩下的两个数中靠前的一个是A，靠后的一个是106-A，那么可以依次推出：第7个被擦掉的数是2(106)2123A A A，--=-第6个被擦掉的数是2(2123)5212A A A，--=-类似地，可以求出第5、4、3、2个被擦掉的数分别为63611-A、-A、211060A、233243-A，-854452最先被擦掉的数是2008(233243)(854452)412842A A A，----=-由题意，以上这些数均为正整数．由2332430A，≤A及A为整数可以推出54->由8544520A，≥A及A为整数可以推出53->另一方面，如果53-=-=A A，与条件中最初三个整数不同这一条A，有23324385445253=件矛盾，所以应该有54A．=此时最开始写在黑板上的第一个数为4128421860A．-=【答案】1860===================================平均数【例6】已知8个数的平均数是8，如果把其中一个数改为8后这8个数的平均数变为7，那么这个被改动的数原来是___________。