1977年上海市高考数学试卷(文科)

1977年上海市高考数学试卷（文科）
一、解答题（共8小题，满分100分）
1．（12分）（1977•上海）（1）计算．
（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？
（3）计算4lg2+3lg5﹣lg．
2．（12分）（1997•上海）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，已知BC=a，AC=b，求DE的长．
3．（12分）（1977•上海）（1）化简；
（2）解不等式；
（3）解方程．
4．（12分）（1977•上海）（1）计算；
（2）求证：；
（3）△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，AB=12，求BC的长．
5．（12分）（1977•上海）六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm3）．
6．（12分）（1977•上海）求直线的斜率和倾角，并画出它的图形．
7．（14分）（1977•上海）当x为何值时，函数y=x2﹣8x+5的值最小，并求出这个最小值．
8．（14分）（1977•上海）将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？
1977年上海市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、解答题（共8小题，满分100分）
1．（12分）（1977•上海）（1）计算．
（2）某生产队去年养猪96头，今年养猪120头，问今年比去年增加百分之几？计划明年比今年多养40%，明年养猪几头？
（3）计算4lg2+3lg5﹣lg．
考点：对数的运算性质．
专题：计算题．
分析：（1）利用指数式运算法则，把原式转化为（﹣+﹣+）×，由此可得到其结果．
（2）仔细审题，认真寻找数量间的相互关系，合理地建立等式，从而求出明年养几头猪．
（3）利用对数的运算法则把原式整理为lg16+lg125+lg5，从而得到4lg2+3lg5﹣lg的值．
解答：解：（1）原式=（﹣+﹣+）×=．
（2）根据已知条件，今年比去年增长．
明年养猪头数为120（1+40%）=168（头）
（3）原式=lg16+lg125+lg5=lg10000=4．
点评：本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．
2．（12分）（1997•上海）在△ABC中，∠C的平分线交AB于D，过D作BC的平分线交AC于E，
已知BC=a，AC=b，求DE的长．
考点：相似三角形的性质；相似三角形的判定．
专题：计算题．
分析：根据线线平行得角相等，再结合角平分线可得三角形相似，由相似三角形的性质找出对应边成比例．然后根据已知边的长求出边DE的长．
解答：解：∵DE∥BC，∴∠1=∠3．
又∠1=∠2，∴∠2=∠3
DE=EC由△ADE∽△ABC，∴，
b•DE=ab﹣a•DE，
故．
点评：本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．
3．（12分）（1977•上海）（1）化简；
（2）解不等式；
（3）解方程．
考点：其他不等式的解法．
分析：（1）中注意观察式子特点，写为分式形式，提取公因式解决；
（2）为一元一次不等式，先化为标准型ax+b＞0，直接写解集即可；
（3）为分式方程，先化为整式，注意等价变形．
解答：
解：（1）原式=．
（2）．⇔，故解集为{x|x＜5}
（3）可得x2﹣5x+6=0，x=2，x=3（增根）
故原方程的解为x=2．
点评：本题考查多项式的化简、解一元一次不等式、解分式方程，属基本题．
4．（12分）（1977•上海）（1）计算；
（2）求证：；
（3）△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，AB=12，求BC的长．
考点：运用诱导公式化简求值；三角函数恒等式的证明；正弦定理．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）先用诱导公式把题设中的角转化成180°内的角，进而根据特殊角的三角函数值即可求的结果．
（2）把正切和余切转化才弦，进而利用倍角公式和同角三角函数的基本关系对等式左边进行
化简整理正好等于等式的右边．
（3）根据正弦定理求得BC得值．
解答：
（1）解：原式═；
（2）证：左边==右边；
（3）解：由正弦定理可知：．
点评：本题主要考查了诱导公式的化简求值，三角函数的恒等式证明和正弦定理在解三角形中的应用．属基础题．
5．（12分）（1977•上海）六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确的1mm3）．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题；分割补形法．
分析：本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算，由图可知，六角螺帽等于一个正六棱柱的体积，挖掉一个圆柱，故该几何体的体积等于原来正方体的体积，减挖掉部分的体积．
解答：解：由图可知此六角螺帽的体积为
=
点评：要求一个组合体的体积，关键是要分析组合体是由哪些简单的几何体组合（挖掉）得到的，然后根据体积公式分别求出相应的体积，加（减）即可得到答案．
6．（12分）（1977•上海）求直线的斜率和倾角，并画出它的图形．
考点：直线的倾斜角；直线的斜率．
分析：将直线的一般式方程，转化为斜截式方程，不难得到直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系，进一步可以求出直线的倾斜角，根据直线的方程，可用描点法画出直线的图形．
解答：解：由
可得．斜率
倾角θ=arctg=150°．
点评：根据直线方程求直线的斜率和倾角，可以先将直线的方程化为斜截式方程，易得斜率，再根据倾斜角与斜率的关系，易根据反正切函数得到直线的倾斜角，任取满足直线方程的两个点，利
用描点法可画出直线的图象．
7．（14分）（1977•上海）当x为何值时，函数y=x2﹣8x+5的值最小，并求出这个最小值．
考点：函数的最值及其几何意义．
专题：计算题．
分析：此题属于利用二次函数图象性质或用配方法求二次函数的最值问题
解答：解：y=x2﹣8x+5=（x﹣4）2﹣11，
所以，当x=2时，
函数最小值为﹣11．
点评：也可联系二次函数图象，用图象法来解．
8．（14分）（1977•上海）将浓度为96%和36%的甲、乙两种流酸配制成浓度为70%的流酸600升，问应从甲、乙两种流酸中各取多少升？
考点：根据实际问题选择函数类型．
专题：计算题．
分析：设应从甲、乙两种流酸中各取x升、y升，根据题意列出二元一次方程组
，求出解集即可．
解答：解：设甲种流酸取x升，乙种流酸取y升，根据题意可得如下方程组：
由（1）得y=600﹣x．代入（2）得x=340（升）
y=260（升）
故应取甲种流酸340升，乙种流酸260升．
点评：考查学生根据实际问题选择函数关系的能力．。