数学人教版八年级下册一次函数动点问题
一次函数动点问题
一次函数是指函数的最高次幂为1的多项式函数，其一般形式为y = mx + b，其中m 和b 是常数。
针对一次函数的动点问题，我们可以考虑一个点在直线上的运动情况。
假设有一条直线，用一次函数的方程y = mx + b 来表示，其中m 是斜率，b 是截距。
给定一点的初始位置(x₀, y₀)，我们可以根据一次函数的方程计算点在直线上的位置。
假设时间t 经过后，点的位置为(x, y)。
根据直线上任意一点的坐标计算公式，我们可以得到：
x = x₀+ vt,
y = y₀+ mt,
其中v 是点在x 轴上的速度，m 是斜率。
这样，我们可以通过给定初始位置、速度和斜率来描述一次函数的动点问题。
根据给定的条件和问题要求，我们可以进一步计算点的运动轨迹、到达特定位置的时间等。
需要注意的是，一次函数的动点问题通常与直线运动或直线关系有关，其中斜率和截距是重要的参数。
具体问题的解决方法和计算步骤可能会因问题的具体条件而有所不同，所以在解决具体问题时，需要根据问题的要求和给定条件来进行适当的数学建模和计算。
专题2 一次函数动点问题(含解析)
专题2一次函数动点问题一、解答题1．已知一次函数3y kx =+的图象经过点（4，0）．（1）求k 的值；（2）画出该函数的图象；（3）点P 是该函数图象上一个动点，连接OP，则OP 的最小值是．2．已知一次函数与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，A 点的坐标为（-4，0），B 点的坐标为（0，2），D 是x 轴上的一动点，坐标为(),0x ，ABD △的面积为S ．（1）求一次函数的解析式；（2）求S 与x 的函数关系式；（3）当12S =时，求点D 的坐标．3．如图，正比例函数y=32x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m，3），一次函数y=kx+b图象与x轴负半轴交于点B．（1）根据图象回答问题：不等式kx+b＞32x的解为______；（2）若AB=5，求一次函数的表达式；（3）在第（2）问的条件下，若点P是直线AB上的一个动点，则线段OP长的最小值为______．4．如图，已知一次函数132y x=+的图像分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）若点P是x轴上的动点，且14BOP ABCS S=△△，求符合条件的点P的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y＝k 1x+6与x 轴、y 轴分别交于点A、B 两点，与正比例函数y ＝k 2x 交于点D（2，2）（1）求一次函数和正比例函数的表达式；（2）若点P（m，m）为直线y＝k 2x 上的一个动点（点P 不与点D 重合），点Q 在一次函数y＝k 1x+6的图象上，PQ ∥y 轴，当PQ＝23OA 时，求m 的值．6．如图，一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上一个动点（不包括A 、B 两点），C 是线段OB 上一点，45OPC ∠=︒，若OPC 是等腰三角形，求点P 的坐标．7．如图，一次函数y＝kx+b 的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标；（3）点P 是y 轴上一动点，当PB+PC 最小时，求点P 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数16y k x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，与正比例函数2y k x=交于点(2,2)D ．（1）求一次函数和正比例函数的表达式；（2）若点P 为直线2y k x =上的一个动点（点P 不与点D 重合），点Q 在一次函数16y k x =+的图象上，//PQ y 轴，当23PQ OA =时，求点P 的坐标．9．已知一次函数图象经过点()35A ，和点()49B --，两点，（1）求此一次函数的解析式；（2）若点（a，2）在该函数的图象上，试求a 的值．（3）若此一次函数的图象与x 轴交点C，点()P m n ，是图象上一个动点（不与点C 重合），设△POC 的面积是S，试求S 关于m 的函数关系式．10．已知一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4).（1）求此函数的解析式；（2）若点P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为2，求点P 的坐标.11．如图，一次函数y kx b =+的图像过点()0,3A 和点()2,0B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使90BAC ︒∠=（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标（3）点P 是y 轴上一动点，当PB PC +最小时，求点P 的坐标.12．已知一次函数的图象经过点()()2004A B ，，，.（1）求此函数的解析式；（2）若点P 为此一次函数图象上一动点，且△POA 的面积为2，求点P 的坐标.13．已知：一次函数图象如图，（1）求一次函数的解析式；＝2，求点P的坐标．（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S△OAP14．如图，一次函数x轴、y轴交于A、B两点．动点P从A点开始沿折线AO－OB－BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的速度分别为(长度单位/秒)；动点E从O单位/秒)的速度沿线段OB运动．设P、E两点同时出发，运动时间为t(秒)，当点P沿折线AO－OB－BA运动一周时，动点E和P同时停止运动．过点E作EF∥OA，交AB于点F．（1）求线段AB的长；（2）求证：∠ABO=30°；（3）当t为何值时，点P与点E重合?（4）当t=时，PE=PF．15．如图，已知一次函数b x y +-=21的图象经过点A（2，3），AB⊥x 轴，垂足为B，连接OA．（1）求此一次函数的解析式，并求出一次函数与x 轴的交点C 的坐标；（2）设点P 为直线b x y +-=21在第一象限内的图像上的一动点，求△OBP 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的范围；（3）设点M 为坐标轴上一点，且24=∆MAC S ，直接写出所有满足条件的点M 的坐标．16．如图，一次函数y＝kx+b 的图象经过点A（0，4）和点B（3，0），以线段AB 为边在第一象限内作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．（1）求一次函数的解析式；（2）求出点C 的坐标；（3）点P 是y 轴上一动点，当PB+PC 最小时，求点P 的坐标．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点()30A -,与点()0,4B ．（1）求这个一次函数的表达式；（2）若点M 为此一次函数图象上一点，且△MOB 的面积为12，求点M 的坐标；（3）点P 为x 轴上一动点，且△ABP 是等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，点()1,1A ，点()4,2B ，点A 关于x 轴的对称点为A '．（1）点A '的坐标为________；（2）已知一次函数的图象经过点A '与B ，求这个一次函数的解析式；（3）点(),0P x 是x 轴上的一个动点，当x =________时，PAB △的周长最小；（4）点(),0C t ，()2,0D t +是x 轴上的两个动点，当t =________时，四边形ACDB 的周长最小；（5）点(),0M m ，点()0,N n 分别是x 轴和y 轴上的动点，当四边形ANMB 的周长最小时，m n +=________，此时四边形ANMB 的面积为________．1专题2一次函数动点问题1．(1)k=34-;(2)详见解析;(3)125.【分析】(1)将点(4,0)代入一次函数解出k 值即可.(2)根据一次函数图像的性质画出即可.(3)根据点到直线的距离垂线段最短,再通过面积公式求出结果.【详解】(1)将(4,0)代入y=kx+3,解得k=34-.(2)如图所示:(3)过点O 作OC⊥AB,OC则为所求最短距离.根据勾股定理:AB 2=BO 2+AO 25;根据三角形面积公式:1122BO AO AB OC ⋅⋅=⋅⋅1134522OC ⨯⨯=⨯⨯OC=125【点拨】本题考查一次函数的图象的性质,关键在于熟记一次函数的基本性质定义.2．（1）122y x =+；（2）4S x =+；（3）()8,0或()16,0-．【详解】（1）设一次函数解析式为y kx b =+，将()4,0A -、()0,2B 代入解析式得：122y x =+；（2）()1142422S AD OB x x =⋅=--⨯=+；（3）因为12S =，所以412x +=，即412x +=或412x +=-，解得8x =或16x =-，所以D 的坐标为()8,0或()16,0-．3．（1）x＜2；（2）33y x 42=+；（3）65.【解析】【分析】（1）将点A 坐标代入正比例函数解析式中，求出m，即可得出结论；（2）设出点B 坐标，利用AB=5，求出点B 坐标，最后将点A，B 坐标代入一次函数表达式中，即可求出k，b，即可得出结论；（3）点判断出OP⊥AB 时，OP 最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）∵点A（m，3）在正比例函数y=32x 上，∴3=m，∴m=2，∴A（2，3），∴不等式kx+b＞32x 的解为x＜2，故答案为：x＜2；（2）由（1）知，A（2，3），∵点B 在x 轴负半轴上，∴设B（n，0）（n＜0），∵AB=5，∴（n-2）2+9=25，∴n=6（舍）或n=-2，∴B（-2，0），将点A（2，3），B（-2，0）代入y=kx+b 中得，2320,k b k b +=⎧⎨-+=⎩∴3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴一次函数的表达式为3342y x =+.（3）如图由（2）知，直线AB 的解析式为3342y x =+.∴当OP⊥AB 时，OP 最小，由（1）知，A（2，3），由（2）知，B（-2，0），AB=5，∴S △AOC =12OB•|y C |=12AB•OP 最小，∴12×2×3=12×5OP 最小，∴OP 最小=65，故答案为：65．【点拨】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，两点间距离公式，求出直线AB 的解析式是解本题的关键．4．（1）132y x =-+；（2）(3,0)-或(3,0)【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标，由点C 与点A 关于y 轴对称可得出点C 的坐标，待定系数法求得直线BC 的函数解析式；（2）设点P 的坐标为(,0)m ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【详解】解：（1）当0x =时，132y x =+，∴点B 的坐标为(0,3)；当1302y x =+=时，6x =-，∴点A 的坐标为(6,0)-．点C 与点A 关于y 轴对称，∴点C 的坐标为(6,0)，设直线BC 的函数解析式为y kx b =+，∴360b k b =⎧⎨+=⎩，∴123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数解析式为132y x =-+；（2）设点P 的坐标为(,0)m ，14BOP ABC S S ∆∆=，∴111||3123242m ⨯⨯=⨯⨯⨯，3m ∴=±，∴点P 的坐标为(3,0)-，(3,0)．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、关于x 轴、y 轴对称的点的坐标以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 、B 的坐标是解题的关键．5．（1）一次函数和正比例函数的表达式分别为：y＝﹣2x+6，y＝x；（2）m＝﹣1或m＝1【分析】（1）把（2，2）分别代入y＝k 1x+6与y＝k 2x，解方程即可得到结论；（2）由y＝﹣2x+6，当y＝0时，得x＝3，求得OA＝3，根据点P（m，m），得到Q（m，﹣2m+6），根据PQ＝23OA 列方程即可得到结论．【详解】（1）把（2，2）分别代入y＝k 1x+6与y＝k 2x 得，k 1＝﹣2，k 2＝1，∴一次函数和正比例函数的表达式分别为：y＝﹣2x+6，y＝x；（2）由y＝﹣2x+6，当y＝0时，得x＝3，∴A（3，0），∴OA＝3，∵点P（m，m），∴Q（m，﹣2m+6），当PQ＝23OA 时，PQ＝m﹣（﹣2m+6）＝23×3，或PQ＝﹣2m+6﹣m＝23×3，解得：m＝﹣1或m＝1．【点拨】本题考查了两条直线相交于平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．6．(2，2)或(-【分析】分三种情况讨论：当CP CO =时，如图1，易得△AOB 与△BPO 都是等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的性质解答即可；当PC PO =时，如图2，过P 作PD OC ⊥于点D ，则BDP △是等腰直角三角形，根据AAS 可证PCB OPA ≌△△，进而可得4BP AO ==，进一步即可求出点P 坐标；当OP=OC 时，易得P、A 两点重合，此种情况不合题意，综上可得答案．【详解】解：分三种情况讨论：当CP CO =时，如图1，45COP OPC ∠=∠=︒，∴90OCP ∠=︒，即PC y ⊥轴．又∵一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，∴4y x =-+中，令0x =，则4y =；令0y =，则4x =，∴4AO BO ==，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴45ABO ∠=︒，∴COP CBP ∠=∠，∴OP BP =，∴C 是BO 的中点，∴122CO CP BO ===，∴()2,2P ；当PC PO =时，如图2，过P 作PD OC ⊥于点D ，则BDP △是等腰直角三角形，∵45PBC OPC OAP ∠=∠=∠=︒，∴135PCB BPC OPA BPC ∠+∠=︒=∠+∠，∴PCB OPA ∠=∠．又∵PC OP =，∴()PCB OPA AAS △△≌，∴4BP AO ==，∴在Rt BDP △中，22BD PD ==，∴422OD OB BD =-=-∴(22,422P -．当OP=OC 时，45OCP OPC ∠=∠=︒，则∠POC=90°，此时P、A 两点重合，不合题意；综上所述，若OPC 是等腰三角形，点P 的坐标为（2，2）或(22,422-．【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与坐标轴的交点、等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．7．（1）y＝﹣43x+4；（2）（4，7）；（3）P（0，3）【解析】【分析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD⊥y 轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标．【详解】（1）设AB 直线的解析式为：y=kx+b，把（0，4）（3，0）代入可得：430b k b ⎧⎨+⎩＝＝，解得：434k b ＝＝⎧-⎪⎨⎪⎩，（2）如图，作CD⊥y 轴于点D．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAO．在△ABO 与△CAD 中，∵90BAO ACD BOA ADC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．则C 的坐标是（4，7）．（3）如图2中，作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′交x 轴于P，此时PB+PC的值最小．∵B（3，0），C（4，7）∴B′（﹣3，0），把（﹣3，0）（4，7）代入y＝mx+n 中，可得：4730m n m n +⎧⎨-+⎩＝＝，解得：13m n ⎧⎨⎩＝＝，∴直线CB′的解析式为y＝x+3，令x＝0，得到y＝3，∴P（0，3）．【点拨】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．8．（1）一次函数解析式为26y x =-+，正比例函数的解析式为：y x =；（2）点P 的坐标为：88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）点D（2，2）代入16y k x =+和2y k x =中，求出解析式即可；（2）通过一次函数解析式求出点A 的坐标，设P 点坐标为（m，m），则Q 点坐标为（m，-2m+6），再根据23PQ OA =，解出m 的值，即可求出点P 的坐标.【详解】（1）把点D（2，2）代入16y k x =+中得：1226k =+，解得：12k =-，∴一次函数解析式为26y x =-+，把点D（2，2）代入2y k x =中得：222k =，解得：21k =，∴正比例函数的解析式为：y x =；（2）把y=0代入26y x =-+得：3x =，∴A 点坐标为（3，0），OA=3，设P 点坐标为（m，m），则Q 点坐标为（m，-2m+6），()2636PQ m m m =--+=-，∵23PQ OA =，∴23633m -=⨯，解得：83m =或43m =，∴点P 的坐标为：88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点拨】本题是对一次函数的综合考查，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及一次函数知识是解决本题的关键.9．（1）21y x =-；（2）32a =；（3）1124S m =-（12x >）或1142S m =-（12x <）【分析】（1）利用A、B 两点坐标用待定系数法求得此一次函数解析式；（2）将点（a，2）代入解析式计算即可；（3）根据一次函数解析式求得C 点坐标为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，利用三角形的面积公式得到11121222S n OC m =⋅⋅=⨯-⨯，再分两种情况求解即可.【详解】（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，将点()35A ，和点()49B --，的坐标代入，得3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=-⎩，∴一次函数的解析式为：21y x =-；（2）∵点（a，2）在该函数的图象上，∴2a-1=2，解得32a =；（3）当y=0时，得到2x-1=0，解得x=12，∴C 点坐标为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵P 点在直线上，∴21n m =-，∴11121222S n OC m =⋅⋅=⨯-⨯，当12x >时，1124S m =-，当12x <时，1142S m =-.【点拨】此题考查了待定系数法求函数解析式，利用解析式求出点的坐标，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数图象与几何图形.10．（1）一次函数的解析式为y=-2x+4；（2）P（1，2）或P（3，-2）.【解析】（1）根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），将A，B 两点代入可求出k，b，进而可求出函数表达式；（2）设点P 的坐标为（a，-2a+4），结合A 点的坐标可得OA 的长，继而根据△POA 的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P 的坐标.解：（1）设解析式为y=kx+b（k≠0）∵一次函数的图象经过点A(2,0),B(0,4)，∴204k b b +=⎧⎨=⎩，解得24k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y=-2x+4（2）∵14,2POA P SOA y =⋅=∴2,P y =∴2,P y =±当2,P y =时，1,P x =即P（1，2），当2,P y =-时，3,P x =即P（3，-2），∴P（1，2）或P（3，-2）.11．（1）y kx b =+；（2）C 的坐标是()3,5；（3）()0,2P .【解析】【分析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD⊥y 轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标．【详解】解：()1设直线AB 的解析式为：y kx b =+，把()()0,3,2,0代入可得：320b k b =⎧⎨+=⎩，解得：3,32b k =⎧⎪⎨=⎪⎩所以一次函数的解析式为：332y x =-+；()2如图，作CD y ⊥轴于点D90BAC ︒∠=，90,OAB CAD ︒∴∠+∠=在ABO 与CAD 中90o BAO ACD BOA ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，()ABO CAD AAS ∴≅，2,3,5OB AD OA CD OD OA AD ∴=====+=，则C 的坐标是()3,5；()3如图2中，作点B 关于y 轴的对称点'B ，连接'CB 交x 轴于P ，此时PB PC +的值最小，()()2,0,3,5B C ，()'2,0B ∴-，把()()2,0,3,5-代入y mx n =+中，可得：3520m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，∴直线'CB 的解析式为2y x =+，令0x =，得到2y =，()0,2P ∴.【点拨】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，以及轴对称-最短距离，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．12．（1）一次函数的解析式为2 4.y x =-+（2）()()1,2,3,2.P P ∴-或【解析】试题分析：（1），根据题意可设一次函数的解析式y=kx+b（k≠0），将A，B 两点代入可求出k，b，进而可求出函数表达式；对于（2），设点P 的坐标为（a，-2a+4），结合A 点的坐标可得OA 的长，继而根据△POA 的面积为2可得到|a|的值，据此可得到点P 的坐标.试题解析：（1）设解析式为y=kx+b（k≠0）∵一次函数的图象经过点()A 2,0，()B 0,4，∴02{4k b b =+=，解得2{4k b =-=，∴一次函数的解析式为y 2x 4.=-+（2）∵ΔPOA p 1S OA y 42=⋅=，p y 2,∴=p y 2.∴=±当p y 2=时，()p x 1,P 1,2.=∴当p y 2=-时，()p x 3,P 3,2.=∴-∴()()P 1,2,P 3,2.-或13．（1）y＝﹣x+1；（2）P 点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）先计算出函数值为0所对应的自变量的值得到A 点坐标，设P（t，-t+1），根据三角形面积公式得到12×1×|-t+1|=2，然后解绝对值方程求出t 即可得到P 点坐标．【详解】（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得2321k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩，所以一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）当y＝0时，﹣x+1＝0，解得x＝1，则A（1，0），设P（t，﹣t+1），因为S△OAP＝2，所以12×1×|﹣t+1|＝2，解得t＝﹣3或t＝5，所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．14．（1）6；（2）详见解析；（3）92；（4）94557或【分析】（1）令y=0，求出x，得出A的坐标及OA的长，令x=0，得出B的坐标及OB的长，利用勾股定理即可求出AB 的长；（2）取AB的中点C，连接OC．证明△OAC是等边三角形，得到∠OAB=60°．根据三角形内角和定理即可得出结论；（3）由于P在OB上与E重合，则E的路程为OE，E所用的时间为t秒，P的路程为OA+OE，P在OA上所用的时间为3秒，在OE上所用的时间为（t-3）秒，根据P在OB上的路程与E的路程相同列方程，求解即可；（4）先求出点P沿折线AO－OB－BA运动一周时所花的时间为9秒．然后分三种情况讨论：①当P在线段AO上时；②当P在线段OB上时；③当P在线段BA上时．【详解】（1）令，∴OA=3．令，∴OB=（2）取AB的中点C，连接OC．∵∠AOB=90°，C为AB的中点，∴OC=BC=CA=3．∵OA=3，∴OC=CA=OA，∴△OAC是等边三角形，∴∠OAB=60°．∵∠AOB=90°，∴∠ABO=30°；33(3)t =-，解得：92t =，所以当92t =时，点P 与点E 重合．（4）P 从A 到O 的时间为t=3÷1=3（秒），P 从O 到B 的时间为333=3（秒），P 从B 到A 的时间为：6÷2=3（秒），故点P 沿折线AO－OB－BA 运动一周时所花的时间为3+3+3=9（秒）．分三种情况讨论：①当P 在线段AO 上时，即0＜t＜3时，由题意知：P（3-t，0），E（0，33）．设F（a，b）．∵EF∥OA，∴b=33t ．∵F 在直线AB 上，∴33333a t +=，解得：a=133t -．∴F（133t -，33）．∵PE=PF，∴P 在EF 的垂直平分线上，∴2（3-t）=133t -，解得：t=95；②当P 在线段OB 上时，即3≤t＜63(3)t -）33），F（133t -33）．3(3)t -－332213(3)[3(3)]33t t t -+--，∴133t -=0，解得：t=9（舍去）；③当P 在线段BA 上时，即6≤t＜933），F（133t -33），BP=2(6)212t t -=-．设P（m，n），则m=12BP=12(6)62t t ⨯-=-．∵PE=PF，∴P 在EF 的垂直平分线上，∴2（t-6）=133t -，解得：t=457．综上所述：t=95或457．【点拨】本题是一次函数综合题．考查了等腰三角形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想．分类讨论是解答本题第（4）问的关键．15．（1）421+-=x y C（8，0）;（2）421+-=x y （80<<x ）;（3）M（-8，0）M（24，0）M（0，12）M（0，-4）【解析】试题分析：（1）把点A（2，3）代入一次函数b x y +-=21可求出b=4，然后令y=0，即可求出点C 的坐标；（2）设点P 的坐标为（x，y），则边OB 上的高为y，利用三角形的面积公式即可计算△OBP 的面积S，然后把421+-=x y 代入化简即可得出S 与x 之间的函数关系式，根据点P 为第一象限内的图像上的一动点，可求出自变量x 的范围；（3）分两种情况讨论：当点M 在x 轴上时，利用24=∆MAC S 求出线段MC=16，然后可求点M 的坐标；当点M 在y 轴上时，利用24=∆MAC S 求出点M 到直线b x y +-=21与y 轴的交点的距离为8，然后可求点M 的坐标．试题解析：（1）把点A（2，3）代入一次函数b x y +-=21得b=4，所以421+-=x y ，令y=0，所以x=8，所以点C 的坐标为（8，0）；（2）因为点A（2，3），AB⊥x 轴，所以点B 的坐标为（2,0），所以OB=2，设点P 的坐标为（x，y），所以△OBP 的面积S=112422y y x ⨯==-+（80<<x ）;（3）当点M 在x 轴上时，因为24=∆MAC S ，所以1132422MC AB MC ⋅=⨯=,所以MC=16，因为C（8，0），所以点M 的坐标为M（-8，0）或M（24，0）；当点M 在y 轴上时，设直线421+-=x y 与y 轴的交点为N,令x=0，则y=4，所以点N 的坐标为（0,4），所以118232422MAC MNC MNA S S S MN MN MN ∆∆∆=-=⨯-⨯==，所以MN=8，因为点N 的坐标为（0,4），所以点M 的坐标为M（0，12）或M（0，-4）；综上所求的点M 的坐标为M（-8，0）、M（24，0）、M（0，12）、M（0，-4）．考点：1．一次函数的性质2．坐标系中图形的面积3．点的坐标．16．（1）y＝﹣43x+4；（2）（4，7）；（3）P（0，3）【分析】（1）根据待定系数法确定函数解析式即可；（2）作CD⊥y 轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA=CD，故可得出C 点坐标；（3）求得B 点关于y 轴的对称点B′的坐标，连接B′C 与y 轴的交点即为所求的P 点，由B′、C 坐标可求得直线B′C 的解析式，则可求得P 点坐标．【详解】解：（1）设AB 直线的解析式为：y＝kx+b，把（0，4）（3，0）代入可得：430b k b =⎧⎨+=⎩，解得：434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为：y＝﹣43x+4；（2）如图，作CD⊥y 轴于点D．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAO．在△ABO 与△CAD 中，∵90BAO ACD BOA ADC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．∴C 的坐标是（4，7）．（3）如图，作点B 关于y 轴的对称点B′，连接CB′交y 轴于P，此时PB+PC的值最小．∵B（3，0），C（4，7）∴B′（﹣3，0），设直线CB′的解析式为y＝mx+n，把（﹣3，0）（4，7）代入y＝mx+n 中，可得：4730m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：13m n =⎧⎨=⎩，∴直线CB′的解析式为y＝x+3，令x＝0，得到y＝3，∴P（0，3）．【点拨】本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．17．（1）443y x =+；（2）()6,12或()6,4--；（3）点Р()3,0或()8,0-或()2,0或7,06⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）设一次函数的表达式为y=kx+b，把点A 和点B 的坐标代入求出k，b 的值即可；（2）点M 的坐标为（a，443a +），根据△MOB 的面积为12，列出关于a 的等式，解之即可；（3）分三种情形讨论即可①当AB=AP 时，②当BA=BP 时，③当PA=PB 时．【详解】解：（1）设这个一次函数的表达式为y kx b =+，依题意得304k b b -+=⎧⎨=⎩，解得：4,34k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴443y x =+．（2）如图：设点M 的坐标为4,43a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵()0,4B ，∴4OB =∵MOB △的面积为12，14122a ⨯⨯=，∴6a =，∴6a =±，当6a =时，44123a +=；当6a =-时，4443a +=-；∴点M 的坐标为：()6,12或()6,4--．（3）∵点A（-3，0），点B（0，4）．∴OA=3，OB=4，5==，当PA=AB 时，P 的坐标为（-8，0）或（2，0）；当PB=AB 时，P 的坐标为（3，0）；当PA=PB 时，设P 为（m，0），则（m+3）2=m 2+42，解得：7m 6=，∴P 的坐标为（76，0）；综上，点Р的坐标是：()3,0或()8,0-或()2,0或7,06⎛⎫ ⎪⎝⎭【点拨】本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．18．（1）()1,1-；（2）2y x =-；（3）2；（4）43；（5）1615，2615【分析】（1）根据点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（x，﹣y）解答即可；（2）利用待定系数法求解一次函数解析式即可；（3）根据对称性，求出直线A B '交x 轴的交点P，可使PAB △的周长最小；（4）作A A '''∥x 轴，且A A '''=CD=2，连接BA ''交x 轴于D，在点D 左边取点C，使CD=2，连接AC，此时四边形ACDB 的周长最小，求出直线BA ''的函数解析式，然后求出直线BA ''与x 轴交点D 坐标即可解答；（5）作点A 关于y 轴的对称点A '''，点B 关于x 轴对称点B '，连接B A ''''交x 轴于M，交y 轴于N，连接AN、BM，此时四边形ANMB 的周长最小，求出直线B A ''''的函数解析式，然后求出它与x 轴、y 轴的交点，进而可求出m、n 值和面积．【详解】（1）由于点()1,1A 关于x 轴的对称点为A '（1，﹣1），故答案为：()1,1-；（2）解：设这个一次函数的解析式为y kx b =+，y kx b =+的图象经过点()1,1A '-与()4,2B ，1,4 2.k b k b +=-⎧∴⎨+=⎩解得1,2.k b =⎧⎨=-⎩∴这个一次函数的解析式为2y x =-．（3）∵点A 关于x 轴的对称点为A '，∴直线A B '交x 轴的交点P，可使PAB △的周长最小，当y=0时，由0=x﹣2得：x=2，则P（2，0），故答案为：2；（4）作A A '''∥x 轴，且A A '''=CD=2，则四边形A A DC '''是平行四边形，连接BA ''交x 轴于D，在点D 左边取点C，使CD=2，连接AC，此时四边形ACDB 的周长最小，由作图可知，A ''（3，﹣1），设直线BA ''的函数解析式为y=ax+c，将B、A ''坐标代入，得：2413a c a c =+⎧⎨-=+⎩，解得：310a c =⎧⎨=-⎩，∴直线BA ''的函数解析式为y=3x﹣10，当y=0时，由0=3x﹣10得：x=103，由t+2=103得：t=43，故答案为：43；（5）作点A 关于y 轴的对称点A '''，点B 关于x 轴对称点B '，连接B A ''''交x 轴于M，交y 轴于N，连接AN、BM，此时四边形ANMB的周长最小，，由作图可知，A '''（﹣1，1），B '（4，﹣2），设直线B A ''''的函数解析式为y=px+q，将A '''、B '坐标代入，得：124p q p q =-+⎧⎨-=+⎩，解得：3525p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线B A ''''的函数解析式为3255y x =-+，当x=0时，y=25，∴N（0，25），当y=0时，由32055x =-+得：x=23，∴M（23，0），∴m+n=23+25=1615，此时四边形ANMB 的面积为1121221242(14)11(1)(4)222523523⨯-⨯+⨯-⨯⨯--⨯⨯-⨯-⨯=532108210153----=2615，故答案为：1615，2615．【点拨】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式、轴对称-最短路线问题、两点之间线段最短、坐标与图形变换、有理数的混合运算等知识，属于基础综合题型，难度适中，解答的关键是读懂题意，找寻知识间的关联点，利用数形结合思想解决问题．。
八年级数学一次函数动点问题
八年级数学一次函数动点问题1、如图 , 以等边△ OAB 的边 OB 所在直线为 x 轴, 点 O 为坐标原点 , 使点 A 在第一象限成立平面直角坐标系，此中△ OAB 边长为 6 个单位，点 P 从 O 点出发沿折线 OAB 向 B 点以 3 单位 / 秒的速度向 B 点运动, 点 Q 从 O 点出发以 2 单位 / 秒的速度沿折线 OBA 向 A 点运动，两点同时出发， 运动时间为 t （单位：秒），当两点相遇时运动停止 .① 点 A 坐标为 ________， P 、 Q 两点相遇时交点的坐标为 ________；② 当 t =2 时， S ；当 t =3 时， △____________； △OPQ ____________ S OPQ ③ 设△ OPQ 的面积为 S ，试求 S 对于 t 的函数关系式 ;④ 当△ OPQ 的面积最大时，试求在 y 轴上可否找一点 M ，使得以 M 、 P 、 Q 为极点的三角形是 Rt △，若能找到恳求出 M 点的坐标，若不可以找到请简单说明原因。
yyyAAAO B x O B x O B x2、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A （ 0， 6）、点 B （8，0），动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 挪动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 挪动 , 设点 P 、Q 挪动的时间为 t 秒． (1) 求直线 AB 的分析式；24(2) 当 t 为何值时，△ APQ 的面积为 5 个平方单位？3、如图，在 Rt △AOB中，∠ AOB=90°， OA=3cm，OB=4cm，以点 O 为坐标原点成立坐标系，设P、 Q 分别为 AB、OB边上的动点它们同时分别从点 A、O向 B 点匀速运动，速度均为 1cm/秒，设 P、Q 挪动时间为 t （ 0≤ t ≤ 4）。
(完整版)一次函数动点问题
一次函数动点问题1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上∴CB=，C′B=∴AC+CB=AC+CB′=．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段的长度，EF+FB的最小值是．如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上（1）求此一次函数的表达式和m的值？（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S=2，求点P的坐标．△OAP5．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1•k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l的函数表达式；（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．一次函数动点问题参考答案与试题解析一．解答题（共6小题）1．模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上∴CB=CB'，C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=AB'．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．（2）模型应用如图④，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．求EF+FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．如图⑤，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是2；如图⑥，一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD 的最小值，并写出取得最小值时P点坐标．【解答】解：（1）理由：如图③，在直线L上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上∴CB=CB'，C′B=C'B'∴AC+CB=AC+CB′=AB'．在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′，∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小故答案为：CB'，C'B'，AB'；（2）模型应用①解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是．在正方形ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=90°∵点E是AB中点，∴AE=1，根据勾股定理得，DE=，即：EF+FB的最小值，故答案为：DE，；②如图⑤，由圆的对称性可知，A与A'关于直径CD对称，连结A'B交CD于F，则AE+EB的最小值就是线A'BE的长度，∴∠AOD=∠A'OD=60°∵点B是的中点，∴∠AOB=∠BOD=∠AOD=30°，∴∠A'OB=90°∵⊙O的直径为4，∴OA=OA'=OB=2，在Rt△A'OB中，A'B=2，∴BP+AP的最小值是2．故答案为2，③如图⑥，由平面坐标系中的对称性可知，C与C'关于直径y轴对称，连结C'D交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线C'D的长度，∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，∴A（2，0），B（0，4），∴C（1，0），D（1，2），∵C与C'关于直径y轴对称，∴C'（﹣1，0），∴C'D==2，∴PC+PD的最小值为2，∵C'（﹣1，0），D（1，2），∴直线C'D的解析式为y=x+1，∴P（0，1）．2．已知一次函数图象经过点A（3，5）和点B（﹣4，﹣9）两点，①求此一次函数的解析式；②若点（a，2）在该函数的图象上，试求a的值．③若此一次函数的图象与x轴交点C，点P（m，n）是图象上一个动点（不与点C重合），设△POC的面积是S，试求S关于m的函数关系式．【解答】解：①设一次函数解析式为y=kx+b，依题意，得，解得，∴一次函数解析式为y=2x﹣1；②将点（a，2）代入y=2x﹣1中，得2a﹣1=2，③由y=2x﹣1，令y=0得x=，∴C（，0），又∵点P（m，n）在直线y=2x﹣1上，∴n=2m﹣1，∴S=××|n|=|（2m﹣1）|=|m﹣|．3．已知函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，点B（2，m）在一次函数y=kx+b的图象上（1）求此一次函数的表达式和m的值？（2）若在x轴上有一动点P（x，0），到定点A（4，3）、B（2，m）的距离分别为PA和PB，当点P的横坐标为多少时，PA+PB的值最小．【解答】解：（1）∵函数y=kx+b的图象经过点A（4，3）且与一次函数y=x+1的图象平行，∴，解得：，∴一次函数的表达式为y=x﹣1．当x=2时，m=x﹣1=2﹣1=1，∴m的值为1．（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，如图所示．∵点B的坐标为（2，1），∴点B′的坐标为（2，﹣1）．设直线AB′的表达式为y=ax+c，将（2，﹣1）、（4，3）代入y=ax+c，，解得：，∴直线AB′的表达式为y=2x﹣5．当y=0时，2x﹣5=0，∴当点P的横坐标为时，PA+PB的值最小．4．已知：一次函数图象如图：（1）求一次函数的解析式；（2）若点P为该一次函数图象上一动点，且点A为该函数图象与x轴的交点，若S=2，求点P的坐标．△OAP【解答】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把（﹣2，3）、（2，﹣1）分别代入得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+1；（2）当y=0时，﹣x+1=0，解得x=1，则A（1，0），设P（t，﹣t+1），=2，因为S△OAP所以×1×|﹣t+1|=2，解得t=﹣3或t=5，所以P点坐标为（﹣3，4）或（5，﹣4）．5．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1=k2，且b1≠b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行．解答下面的问题：（1）已知正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，求过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式；（2）设直线l2分别与y轴、x轴交于点A、B，求l1和l2两平行线之间的距离；（3）若Q为OA上一动点，求QP+QB的最小值时Q点的坐标为Q（0，）．（4）在x轴上找一点M，使△BMP为等腰三角形，求M的坐标．（直接写出答案）【解答】解：（1）根据正比例函数y=﹣x的图象为直线l1，设直线l2的函数表达式为y=﹣x+b，把P（1，3）代入得：3=﹣1+b，即b=4，则过点P（1，3）且与已知直线l1平行的直线l2的函数表达式为y=﹣x+4；（2）过O作ON⊥AB，如图1所示，ON为l1和l2两平行线之间的距离，对于直线y=﹣x+4，令x=0，得到y=4；令y=0，得到x=4，∴A（0，4），B（4，0），即OA=OB=4，∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB==4，且ON为斜边上的中线，∴ON=AB=2，则l1和l2两平行线之间的距离为2；（3）找出B关于y轴的对称点B′（﹣4，0），连接PB′，与y轴交于点Q，连接PQ，此时QP+QB最小，设直线B′P的解析式为y=mx+n，把B′和P坐标代入得：，解得：m=，n=，∴直线B′P的解析式为y=x+，令x=0，得到y=，即Q（0，）；故答案为：Q（0，）；（4）如图2所示，分三种情况考虑：当PM1=PB时，由对称性得到M1（﹣2，0）；当PM2=BM2时，M2为线段PB垂直平分线与x轴的交点，∵直线PB的解析式为y=﹣x+4，且线段PB中点坐标为（2.5，1.5），∴线段PB垂直平分线解析式为y﹣1.5=x﹣2.5，即y=x﹣1，令y=0，得到x=1，即M2（1，0）；当PB=M3B==3时，OM3=OB+BM3=4+3，此时M3（4﹣3，0），M3（4+3，0）．综上，M的坐标为（﹣2，0）或（1，0）或（4﹣3，0）或（4+3，0）．6．阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们相互垂直的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的直线为l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图象为直线l2．若k1•k2=﹣1，我们就称直线l1与直线l2相互垂直，现请解答下面的问题：已知直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，且直线l的图象过点P（﹣1，4），且直线l分别与y轴、x轴交于A、B两点．（1）求直线l的函数表达式；（2）若点C是线段AB上一动点，求线段OC长度的最小值；（3）若点Q是AO上的一动点，求△BPQ周长的最小值，并求出此时点Q的坐标；（4）在（3）的条件下，若点P关于BQ的对称点为P′，请求出四边形ABOP′的面积．【解答】解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b，∵直线l与直线y=﹣x﹣1互相垂直，∴﹣k=﹣1，解得k=2，∵直线l的图象过点P（﹣1，4），∴﹣k+b=4，即﹣2+b=4，解得b=6，∴直线l的解析式为y=2x+6；（2）如图1，过O作OC⊥AB于点C，此时线段OC的长度最小，在y=2x+6中，令x=0可得y=6，令y=0可求得x=﹣3，∴A（0，6），B（﹣3，0），∴OA=6，OB=3∴AB==3，∵AB•OC=OA•OB，∴3OC=3×6，∴OC=，即线段OC长度的最小值为；（3）如图2，作点P关于y轴的对称点P″，连接BP″交y轴于点Q，过P″作P″G ⊥x轴于点G，则PQ=P″Q，∴PQ+BQ=BQ+QP″，∵点B、Q、P″三点在一条线上，∴BQ+PQ最小，∵P（﹣1，4），∴P″（1，4），∴P″G=4，OG=1，∴BG=BO+OG=4=P″G，∴∠OBQ=45°，BP″=4，∴OQ=BO=3，∴Q点坐标为（0，3），又BP==2，此时△BPQ的周长=BP+BP″=4+2；（4）由（3）可知∠OBQ=∠OQB=45°，∴∠PQA=∠P″QA=45°，∴PQ ⊥BQ ，如图3，延长PQ 到点P′，使PQ=P′Q ，则P′即为点P 关于BQ 的对称点，过P′作P′H ⊥y 轴于点H ，由（3）可知PQ=QP′=，∴QH=HP′=1， ∴OH=OQ ﹣QH=3﹣1=2，∴S 四边形ABOP′=S △AOB +S △AOP′=×6×3+×6×1=12，即四边形ABOP′的面积为12．。
一次函数中的动点问题
一次函数中的动点问题一次函数是学生在初中阶段学习的第一个函数，它是最基础的函数，是初中数学中的重要内容之一．本文例析一次函数中的动点问题，供同学们学习时参考．一、动点与函数问题例1 正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，点P自点D出发沿D→C→B的路径匀速移动（到点B后就停止）．设P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，求y与x的函数关系式．解析由于点P的位置有两种可能，可能在DC边上，也可能在边BC上，故应该分两种情况讨论：如图1，当点P在DC边上（0≤x≤4）时，y＝12．AD．DP＝12×4x＝2x；如图2，当点P在BC边上（当4<x≤8）时，y＝12．AD．PQ＝14×4×4＝8．所以y＝() () 2,04 8,48 x xx⎧≤≤⎪⎨<≤⎪⎩二、动点与距离问题例2 如图3，在平面直角坐标系中，点A为直线y＝2x＋3上的一个动点．问当点A运动到何处时，点A到y轴的距离为1，求出点A的坐标．解析根据点A到y轴的距离为1，可以得到点A的横坐标的绝对值等于1．故点A的横坐标等于1或者－1，即x A＝±1．当x A＝1时，代入y＝2x＋3，得到y＝2x1＋3＝5，故点A的坐标为(1，5)；当x A＝－1时，代入y＝2x＋3，得到y＝2×（－1）＋－3＝1，故点A的坐标为（－1，1）．所以点A的坐标为(1，5)或者（－1，1）．三、动点与最值问题例3 如图4，在平面直角坐标系中，A（－3，2），B(2，3)，点M为x轴上的一个动点，当点M运动到x轴上何处时，MA与MB的和最短．解析点A和点B在x轴的同侧，在x轴上的确定点M的位置，根据最短路径问题的思路，想到利用轴对称知识解决问题，作点A（－3，2）关于x轴的对称点A'（－3，－2），连结A'B交x轴于点M，则有MA＋MB＝MA'＋MB＝A'B，根据两点之间线段最短，可以得到此时的MA与MB的和最短．设经过点A'（－3，－2）、B(2，3)的一次函数的关系式为y＝kx＋b．根据题意，得方程组32 23k bk b-+=-⎧⎨+=⎩解得11kb=⎧⎨=⎩，∴y＝x＋1．把y＝0代入y＝x＋1，得x＝－1，所以点M的坐标为（－1，0）．所以，当点M运动到（－1，0）时，MA与MB的和最短．四、动点与面积问题例4 如图5，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4的图象交y轴于点A，交x轴于点B，点N是直线y＝－2x＋4上的一动点．若AON的面积等于△AOB面积的二分之一，求点N的坐标．所以点N的坐标为(1，2)，（－1，6）．五、动点与不等式问题例5（2013年河北中考题）如图6，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)，动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l:y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t秒，(1)当t＝3时，求l的解析式；(2)若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；(3)直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．t＝2时，落在x轴上．六、动点与等腰三角形问题例6（2013龙岩中考题）如图7，在平面直角坐标系xOy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求符合条件的点C的个数．解析如图8，AB的垂直平分线与直线y＝x相交于点C1．∵A(0，2)，B(0，6)，∴AB＝6－2＝4．以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x的交点为C2，C3．∵OB＝6．∴点B到直线y＝x的距离为6=∵，∴以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x没有交点，所以，点C的个数是1＋2＝3．。
人教版八年级数学下册一次函数与动点问题提高训练
一次函数与动点问题提升训练1.已知：在平面直角坐标系中，点Q 的坐标为（4， 0），点 P 是直线 y=- 1x+3 上在第一象限内的一动2点，设△OPQ 的面积为s。
（1）设点 P 的坐标为（ x， y），问 s 是 y 的什么函数，并求这个函数的定义域。
（2）设点 P 的坐标为（ x， y），问 s 是 x 的什么函数，并求这个函数的定义域。
1（ 3）当点 P 的坐标为什么值时，△OPQ的面积等于直线y=- x+3 与坐标轴围成三角形面积的一半。
22.已知：在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 6， 0），还有一动点 B 的坐标为（ x， y），点 B 在第一象限，且点 B 的横纵坐标之和为 8，设△ OAB 的面积为 s，求：（1） s 与点 B 的横纵坐标 x 之间的函数关系式，并写出定义域。
（2）当△OAB 的面积为 20 时，求 B 点的坐标。
3.在矩形 ABCD 中 ,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB 边向点B 挪动 ,点 Q 从点B 开始以2cm/s 的速度沿BC 边向点 C 挪动 , 当点 P 运动到点 B 时，点别从 A 、 B 同时出发，设△PAD的面积为s，运动时间为t，求 s 与△PBQ 为等腰三角形？Q 也随之停止。
假如P、 Q 分t 的函数关系式？运动到何时4.如图，直线l1的分析表达式为y3x 3 ，且l1与 x 轴交于点 D ，直线 l2经过点A， B ，直线 l1， l 2交于点 C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的分析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ ADP 与△ ADC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．5.如图 ,以等边△OAB 的边 OB 所在直线为x 轴 ,点 O 为坐标原点,使点 A 在第一象限成立平面直角坐标系，此中△OAB边长为 6 个单位，点P 从 O 动 ,点 Q 从 O 点出发以 2 单位 /秒的速度沿折线位：秒），当两点相遇时运动停止. 点出发沿折线OBA 向AOAB 向 B 点以 3 单位 /秒的速度向点运动，两点同时出发，运动时间为B 点运t（单y y yA A AO Bx O B x O B x①点 A 坐标为 _____________ ， P、 Q 两点相遇时交点的坐标为________________;△____________; 当 t=3 时，S△____________;②当 t=2 时，S OPQ OPQ③设△ OPQ 的面积为S，试求 S 对于 t 的函数关系式;6.如下图，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点 P 为 x 轴上的—个动点，可是点P 不与点0、点 A 重合．连接CP，D 点是线段AB 上一点，连(1)求点(2)当点PD.B 的坐标；P 运动到什么地点时，△OCP为等腰三角形，求这时点P 的坐标；7.如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O、 C 两点．点 A 的坐标为(8， o)，点 B 的坐标为 (11 ． 4)，动点P 在线段 OA 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点Q 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿A→ B→Ｃ的方向向点 C 运动，过点P 作 PM 垂直于x 轴，与折线 O 一 C—Ｂ订交于点 M 。
一次函数之动点问题(含解析)
一次函数之动点问题一、 框架套路和标准动作动点问题的特征是速度已知，主要考查运动的过程． 1. 一次函数背景下研究动点问题的思考方向：①把函数信息（坐标或表达式）转化为背景图形的信息； ②分析运动过程，注意状态转折，确定对应的时间范围； ③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案． 2. 解决具体问题时会涉及线段长的表达，需要注意两点：①路程即线段长，可根据s=vt 直接表达已走路程或未走路程；②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用动点的运动情况，又要结合背景图形信息．二、 例题解析（1）读题标注，整合信息（即研究背景图形）由直线AB 的表达式y +()(400A B -，，， 即4OA OB ==，8AB =，∠BAC =60°．又由∠ABC =60°， 可得△ABC 是等边三角形，且AB =BC =AC =8，OA =OC =4． 如图：（2）分析特征，有序思考，设计方案（分析运动过程）： 分析运动过程，核心是运动过程的四要素：①起点、终点、速度；②时间范围；③状态转折点；④目标．具体操作：①起点、终点、速度；动点P 从点A 沿AC 向点C 运动，可以确定点P 的起点（点A ）、终点（点C ），速度为1/s ；动点Q 从点C 沿CB —BA 向点A 运动，可以确定点Q 的起点（点C ）、终点（点A ），速度为2/s ，图示如下：AQ :BC (2/s)(1/s)A P :②时间范围根据路程、时间和速度的公式s =vt ，已知动点的速度，结合基本图形中线段长的研究，可以确定动点的运动时间．例如：动点P 的速度是1/s ，AC =8，故动点P 由A 到C 共经过8s ；动点Q 的速度是2/s ，CB =BA =8，故每段各走4s ，共8s ，综上0≤t ≤8．图示如下：AQ :B C4s(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P :③状态转折点状态转折点即点的运动发生变化的点，常常为动点的运动方向发生改变、或者是动点的速度发生改变．例如：动点P 从点A 到点C ，速度和方向均未变化，故点P 没有状态转折点；动点Q 从点C 沿CB —BA 向点A 运动，在点B 处运动方向发生了变化，故点B 为状态转折点，由状态转折点可对运动过程进行分段．图示如下：4 < t ≤ 80 ≤ t ≤ 4①②Q :C(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P :④确定目标确定目标是正确高效解题的保证，是有序操作的重要一环．本题求S 与t 之间的函数关系式，即用t 来表示△APQ 的面积S ．图示如下：△APQ S (t )4 < t ≤ 80 ≤ t ≤ 4①②Q :C(2/s)(1/s)（0≤t ≤8）A P : （3）根据方案作出图形、有序操作（分段作图，求解）作图需要充分借助动点的运动路线图，利用运动路线图可以确定每段时间范围内点的位置． 例如：①当04t ≤≤时，点P 在AO 上，点Q 在CB 上，连接AQ ，PQ ；要求△APQ 的面积，先从表达开始，可以表达动点的已走路程，得到AP =t ，CQ =2t 。
初二数学专题课一次函数中的动点问题教案
XX 市XXX 中学统一备课用纸科 目 数学 年级 八 班 级授课时间课 题专题 一次函数中的动点问题课 型新授课教学目标 1、学会结合几何图形的性质，在平面直角坐标系中列函数关系式；2、从变换的角度来研究动点问题中的函数图象，渗透空间观念，培优解决实际问题的能力；3、在解决问题的过程中体会数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、转化思想.教学重点综合运用一次函数图象中的信息和其它知识解决动点问题教学难点从变换的角度来研究函数图象教具准备多媒体及课件教学内容及过程教学方法和手段一、动点与图形的面积 (校本P106 例2)例1、如图，直线y ＝－x ＋10与x 轴、y 轴分别相交于点B ，C ，点A 的坐标为(8,0)，P(x ，y)是直线 y ＝－x ＋10在第一象限内的一个动点．(1)求△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当△OPA 的面积为10时，求点P 的坐标；(3)过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，作PF ⊥y 轴于点F ，是否存在一点P ，使得EF 的长最小？若存在，求出EF 的最小值；若不存在，请说明理由．练习：如图，点A 和点B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝2OA ，C 为直线y ＝2x 与直线AB 的交点，点D 的横坐标为1，且在线段OC 上. (1)求点C 的坐标；(2)若P 为线段AD 上一动点(不与点A ，D 重合)．P 的横坐标为x ，△POD 的面积为S ，请求出S 与x 的函数关系式；拓展提升：(3)若F 为直线AB 上一动点，E 为x 轴上一点，是否存在以O ，D ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．二、动点与存在性问题(校本P101 变形2)例2：如图，经过点A(6,0)的直线y＝kx－3与直线y＝－x交于点B，点P从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动．(1)求点B的坐标；(2)当△OPB是直角三角形时，求运动的时间；(3)当BP平分△OAB的面积时，直线BP与y轴交于点D，求线段BD的长．三、动点与最值问题(校本P106 例1)例3：已知点C(1,0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA 上的动点(不包括端点)，则△CDE的周长的最小值是.四、课堂小结1、用函数知识求解动点问题，需要将问题结合几何图形的性质，建立函数模型求解，解必须符合题意，注意数与形结合；2、以一次函数为背景的问题，要充分运用方程、转化、函数以及数形结合等思想来研究解决，注意自变量的取值范围.作业布置板书设计教学反思。
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课题：一次函数图象上动点与坐标轴构成三角形面积问题
一、教学目标
(1)知识与技能
使学生掌握一次函数动点问题的解题方法。
培养学生敏锐的观察力、运算的准确性、思维的灵活性、发散性、独立性、合作性。
(2)过程与方法
经历动点问题的探究，掌握确定动点坐标和构成三角形面积的方法。
(3)情感、态度与价值观
培养学生探索问题的积极性、主动性。
(4)创新
培养学生发现问题的创新意识、探索问题的创新精神以及多层次、多角度思考问题的创新思维。
二、重、难点：
重点：掌握求一次函数图象上满足条件动点坐标的方法。
难点：满足条件动点坐标找不全问题。
三、教学准备：多媒体课件
四、教学过程：
直线y=kx+6与x轴y轴分别交于点E，F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）．
（1）求k的值；
（2）若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运
动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）探究：点P 在直线y=kx+6上运动，当P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为 ，并说明理由．
解：（1）把E （-8，0）代入y=kx+6得
k=43
即：y=43
x+6
（考查用待定系数法求函数的解析式）
（2）连接PA 、PO ，作PC ⊥OA 垂足为C
∵点A 的坐标为（-6，0）
∴OA=6
∵PC=y ，点P （x ，y ）在第二象限内
∴PC= y
∴ △OPA 的面积S=6y ÷2
（考查灵活运用公式求三角形面积）
又∵y=43
x+6 ∴1849
+=x s x 的取值范围是 -8 <x<0
（3）∵ △OPA 的底OA=6，PC=y
∴427
26=÷=y s
解之得y=49
±
（考查不定点的多种情况分析能力）
－8－6P ·C P ·
△OPA 的面积为 ），的坐标为（点得时，代入当495P 564349-∴-=+==x x y y ），的坐标为（点得时，代入当4911P 1164349--∴-=+=-=x x y y ）时，，）或（，运动到点（当4911495P ---
∴。