随机事件概率的取值范围
《概率》 讲义
《概率》讲义一、什么是概率在我们的日常生活中，经常会听到“可能”“也许”“大概”这样的词汇，这些词所表达的不确定性，在数学中就可以用概率来描述。
概率，简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
比如抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的可能性各占一半，我们就说抛硬币正面朝上的概率是 05 。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是0 ；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是1 。
而大部分事件发生的概率则介于 0 和 1 之间。
二、概率的计算方法计算概率有多种方法，其中最基本的就是古典概型和几何概型。
古典概型适用于试验结果有限且等可能的情况。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
因为总共有 8 个球，取出每个球的可能性相等，而红球有 5 个，所以取出红球的概率就是 5÷8 ＝ 0625 。
几何概型则适用于试验结果是无限的情况。
比如在一个单位圆中随机取一点，求这个点落在圆的某个扇形区域内的概率，这时就需要通过计算扇形区域的面积与整个圆的面积之比来得到概率。
除了这两种基本的概型，还有一些更复杂的概率计算方法，比如条件概率和全概率公式。
条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，已知今天下雨，明天也下雨的概率就是一个条件概率。
全概率公式则是将一个复杂的事件分解为多个简单的互斥事件，然后通过这些简单事件的概率来计算复杂事件的概率。
三、概率在生活中的应用概率在我们的生活中有着广泛的应用，从简单的游戏到复杂的决策都离不开它。
在彩票中，虽然中奖的概率极低，但仍然吸引着很多人购买，这是因为人们总是抱着一丝侥幸心理，希望自己成为那个幸运儿。
但从概率的角度来看，购买彩票中大奖更多的是一种娱乐，而不是可靠的致富方式。
在保险行业，保险公司通过对各种风险发生的概率进行计算和评估，来确定保险的费率和赔偿金额。
23.3(1)随机事件的概率和频率
历史上有人曾经做过大量重复掷硬币的试验,结果如下表: 历史上有人曾经做过大量重复掷硬币的试验,结果如下表: m 上的 试验 ( n ) (n) ( m) 2048 4040 12000 24000 30000 72088 m/n
1
试 验 次 数 增 加
频 率 稳 定 在
1061 2048 6019 12012 14984 36124
某批乒乓球产品质量检查结果表： 某批乒乓球产品质量检查结果表：
优等品数 抽取球数
m
45 50
92 100
194 200
470 500
954 1000
1902 2000
n
n
优等品频率 m 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
当抽查的球数很多时，抽到优等品的 当抽查的球数很多时， 很多 m 常数0.95， 接近于常数0.95 在它附近摆动。 频率 接近于常数0.95，在它附近摆动。
n m
m n
8 6
0.75
10 8
0.80
15 12
0.80
20 17
0.85
30 25
0.83
40 32
0.80
50 38
0.76
(1)计算表中进球的频率; (1)计算表中进球的频率; 计算表中进球的频率 (2)这位运动员投篮一次 进球的概率约是多少 概率约是 这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少 概率约是0.8 这位运动员投篮一次 进球的概率约是多少? (3)这位运动员进球的概率是 这位运动员进球的概率是0.8,那么他投 次篮一定能 那么他投10次篮一定能 这位运动员进球的概率是 那么他投 投中8次吗 次吗? 投中 次吗 不一定. 次篮相当于做10次试验 不一定 投10次篮相当于做 次试验 每次试验的结果都 次篮相当于做 次试验,每次试验的结果都 是随机的, 所以投10次篮的结果也是随机的 次篮的结果也是随机的. 是随机的 所以投 次篮的结果也是随机的 但随着投篮 次数的增加,他进球的可能性为 他进球的可能性为80%. 次数的增加 他进球的可能性为
随机事件的概率(一轮复习文)
.
＋ 与事件B互斥 ①如果事件A与事件 互斥，则P(A∪B)＝ P(A)＋P(B) ． 如果事件 与事件 互斥， ∪ ＝ 若事件B与事件 互为对立事件， 与事件A互为对立事件 ②若事件 与事件 互为对立事件，则P(A)＝ 1－P(B) ． ＝ －
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接 求解法， 求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的 概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法， 概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法， 先求此事件的对立事件的概率，再用公式 先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P( )， ＝ － ， 即运用逆向思维(正难则反 ，特别是“至多 至多”、 至少 型题目， 至少”型题目 即运用逆向思维 正难则反)，特别是 至多 、“至少 型题目， 正难则反 用间接求法就显得较简便． 用间接求法就显得较简便．
以选择题、 以选择题、填空题的形式考查随机事件的概率 和互斥事件、对立事件概率公式的应用是高考对本讲 和互斥事件、 内容的常规考法， 内容的常规考法，有时也以解答题的形式考查互斥事 件和对立事件概率公式的应用， 件和对立事件概率公式的应用，成为高考的一个新的 考查方向． 考查方向．
[考题印证 考题印证] 考题印证 (2008·山东高考 山东高考)(12分)现有 名奥运会志愿者，其中志愿 现有8名奥运会志愿者 山东高考 分 现有 名奥运会志愿者， 通晓日语， 通晓俄语， 者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩 语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一 从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 名 个小组． 个小组． (1)求A1被选中的概率； 求 被选中的概率； (2)求B1和C1不全被选中的概率． 求 不全被选中的概率．
事件与概率的基本知识点总结
事件与概率的基本知识点总结事件与概率的基本知识点总结概率论是研究随机现象的可能性的一门数学学科，其中的核心概念就是事件与概率。
事件是我们希望研究的一个或一组结果，而概率是用来描述这个事件发生的可能性的。
一、事件的概念与分类事件是指我们希望研究的一个或一组结果。
根据事件的特性，可以将其分为互斥事件、相对事件和对立事件。
1. 互斥事件：指两个或多个事件不能同时发生的情况。
例如掷一枚硬币的结果只可能是正面或反面，不可能既是正面又是反面。
2. 相对事件：指两个或多个事件至少有一个发生的情况。
例如掷一个骰子，结果可能是1、2、3、4、5或6，至少会出现其中的一个数字。
3. 对立事件：指两个事件在同一次实验中不能同时发生的情况。
例如抽一张扑克牌，事件A是抽到红心，事件B是抽到黑桃，这两个事件是对立事件。
二、概率的定义与性质概率是用来描述事件发生可能性的数值，它介于0和1之间，包括0和1。
1. 频率定义：频率定义概率是指某一事件在相同条件下进行的实验中发生的频率。
即当实验次数趋于无穷大时，事件发生的频率逼近于概率。
2. 古典定义：古典定义概率适用于等可能性事件。
根据古典概率的定义，事件A发生的概率等于事件A包含的基本事件数目除以样本空间中的基本事件数目。
3. 几何定义：几何定义概率适用于几何模型的实验。
根据几何概率的定义，事件A发生的概率等于落入事件A的区域面积与落入样本空间的区域面积之比。
三、概率的运算法则概率运算法则是用来描述事件之间相互关系的数学原理。
1. 加法法则：对于互斥事件A和B，它们的概率和等于两个事件发生概率的和。
即P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
2. 减法法则：对于事件A，它的补事件是A的对立事件，即A'。
事件A和事件A'是对立事件，它们的概率和等于1。
即P(A') = 1 - P(A)。
3. 乘法法则：对于相对事件A和B，它们的联合概率等于A的概率乘以在A发生的条件下，B发生的条件概率。
概率论与数理统计教案随机事件与概率
概率论与数理统计教案-随机事件与概率一、教学目标1. 理解随机事件的定义及其分类。
2. 掌握概率的基本性质和计算方法。
3. 能够运用概率论解决实际问题。
二、教学内容1. 随机事件的定义与分类1.1 随机事件的定义1.2 随机事件的分类1.3 事件的运算2. 概率的基本性质2.1 概率的定义2.2 概率的取值范围2.3 概率的基本性质3. 概率的计算方法3.1 古典概型3.2 条件概率3.3 独立事件的概率3.4 互斥事件的概率4. 随机事件的排列与组合4.1 排列的定义与计算4.2 组合的定义与计算5. 概率论在实际问题中的应用5.1 概率论在社会科学中的应用5.2 概率论在自然科学中的应用三、教学方法1. 讲授法：讲解随机事件的定义、分类及概率的基本性质。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用概率论解决。
3. 互动教学法：提问、讨论，提高学生对知识点的理解和掌握。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源。
2. 计算器、黑板、粉笔等教学工具。
3. 实际问题案例库。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对随机事件定义、分类和概率基本性质的理解。
2. 课后作业：布置有关概率计算和方法的应用题，检验学生掌握程度。
3. 课程报告：让学生选择一个实际问题，运用概率论进行分析，评价其应用能力。
4. 期末考试：设置有关概率论与数理统计的综合题，全面评估学生学习效果。
六、教学内容6. 大数定律与中心极限定理6.1 大数定律6.2 中心极限定理7. 随机变量及其分布7.1 随机变量的概念7.2 离散型随机变量7.3 连续型随机变量7.4 随机变量分布函数8. 随机变量的数字特征8.1 数学期望8.2 方差8.3 协方差与相关系数9. 抽样分布与抽样误差9.1 抽样分布的概念9.2 抽样误差的估计9.3 抽样方案的设计10. 估计量的性质与假设检验10.1 估计量的性质10.2 假设检验的基本概念10.3 常用的假设检验方法七、教学方法1. 讲授法：讲解大数定律、中心极限定理、随机变量及其分布等概念。
31随机事件的概率
一:事件的关系与运算
(1)对于事件A与事件B，如果事件A发生， 那么事件B一定发生，则称事件B包含事 件A，（或称事件A包含于事件B）
记 为 :B A 或 A B
B
A
注: 1） 不 可 能 事 件 记 作 2 ） 任 何 事 件 都 包 含 不 可 能 事 件
一、必然事件不可能事件随机事件的定义
①②它是必然会发生的事情,我们称为必然事件
在条件s下，一定会发生的事情，叫做相对于
条件s下的必然事件(certain event)
确
定
③④它们是一定不会发生的事情,我们称为不可能事件 事 件
在条件s下，一定不会发生的事情，叫做相对于条 件s下的不可能事件(impossible event)
▪ 练习：下列哪些是随机事件，哪些 是必然事件，哪些是不可能事件？
是必然事件
（2）在标准大气压下且温度低于 0°时，冰融化。
是不可能事件
是随机事件
是随机事件
是必然事件
(7) 从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签 中任取一张
得到4号签
是随机事件
是随机事件
是不可能事件
(10) 在常温下，焊锡熔
Ex3.天气预报说昨天的降水概率为 90％， 结果昨天根本没下雨，能否认为这次天气预 报不准确？
不能，概率为90％的事件发生的可能性很大， 但“明天下雨”是随机事件，也有可能不发生.
5.试验与发现
孟德尔把黄色和绿色的豌豆杂交，第一年收获 的豌豆都是黄色的.第二年，他把第一年收获的 黄色豌豆再种下，收获的豌豆既有黄色的又有 绿色的.同样他把圆形和皱皮豌豆杂交，第一年 收获的豌豆都是圆形的.第二年，他把第一年收 获的圆形豌豆再种下，收获的豌豆却既有圆形 豌豆，又有皱皮豌豆.类似地，他把长茎的豌豆 与短茎的豌豆杂交，第一年长出来的都是长茎 的豌豆. 第二年，他把这种杂交长茎豌豆再种 下，得到的却既有长茎豌豆，又有短茎豌豆.试 验的具体数据如下：
随机事件的概率基本性质
显然， 显然，C = A ∩ B
5.事件的互斥 事件的互斥 为不可能事件（ 若A∩B为不可能事件（ A∩B= 为不可能事件
），那么称事件A ），那么称事件 那么称事件 互斥， 与B互斥，其含义是： 事件 与 B 在任何一次试验中不会同 互斥 其含义是： 事件A 时发生。 时发生。 即，A 与 B 互斥 A ∩ B=
A
B
尝试练习
抽查一批零件, 例: 抽查一批零件 记事件 A = “都是合格品”， 都是合格品” 都是合格品 B = “恰有一件不合格品”, 恰有一件不合格品” 恰有一件不合格品 C = “至多有一件不合格品”. 至多有一件不合格品” 至多有一件不合格品 说出事件A、 、 之间的关系 之间的关系。 说出事件 、B、C之间的关系。 显然, 事件C, 显然 事件 是事件 A, B的并 的并 记为 C=A ∪ B
互斥， 事件 A 与事件 C 互斥， 互斥， 事件 B 与事件 C 互斥， 互斥且对立. 事件 C 与事件 D 互斥且对立.
典例分析
例 2 一个人打靶时连续射击两次事件 至少有 “ 一次中靶” 一次中靶”的互斥事件是 （ ） A.至多有一次中靶 A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶 D.两次都不中靶
新课探究
古典概型 (2)
一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个大小 形状完全相同的球，从中一次性摸出
三个球，其中有多少个基本事件？
基本概念
方法探究
典型例题
课堂训练
课堂小结
1点
2点
3点
4点
5点
6点
问题1： 在一次试验中，会同时出现 “1点” （ 1）
与 “2点”
这两个基本事件吗？ 不会 任何两个基本事件是互斥的 （ 2） 事件“出现偶数点”包含哪几个基本事件？ “2点” “4点” “6点” 事件“出现的点数不大于4”包含哪几个基本事件？ “1点” “2点” “3点” “4点”
P （A）＝
A所包含的基本事件的个数 2 ＝ 基本事件的总数 21
因此，在投掷两个骰子的 过程中，我们必须对两个 骰子加以标号区分
巩 固 练 习
3、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算： 0.25 (1)两枚硬币都出现正面的概率是 (2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是 0.5 4、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的 4个答案中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案 便随意说出其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答 案的概率是 0.25
思考：在古典概型下，基本事件出 现的概率是多少？随机事件出现的 概率如何计算？
①在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“正面 朝上” 的概率是多少？ 1
2
②在抛掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现 点数为1”的概率是多少？ 1
6
③在抛掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现 奇数点”的概率是多少？
3 1 6 2
m P ( A) n
在使用古典概型的概率公式时，应该注意： 要判断所用概率模型是不是古典概型（前提）
从集合角度看古典概型的概率：
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随机事件概率的取值范围
随机事件概率是概率论中随机事件发生的可能性大小的表示，一
般情况下，它用0-1之间的数字表示，用P(A)代表某事件A发生的概率。
其特点在于：首先，随机事件概率的值位于0到1之间，又如
0≤P(A)≤1，其中P(A)=0表示事件永不发生，P(A)=1表示事件一定发生；其次，任意两个互斥事件（即不会同时发生的事件），它们的概
率之和为1。
这说明，任何一个随机事件的概率都可以根据以上限制条件计算出来，因为它们之和是固定的1。
因此，随机事件概率的取值范围可以确定为
0-1之间，例如当P(A)=0.2时，表示某事件A发生的概率是20%；而
当P(A)=0.8时，表示某事件A发生的概率是80%。
随机事件的概率是通过抽样的方式求出的，因此，其取值也可以不局
限于0-1之间。
例如，把一个圆拆分成100相等的等分，一个随机事
件的概率可以以此等分来表示，也就是P(A)=1/100，以此类推，一个
随机事件的概率可以以小数表示，例如P(A)=0.01，也可以以分数表示，例如P(A)=1/100。
总之，随机事件概率的取值范围非常广泛，不仅仅局限于0-1之间，
还可以是小数或分数，也可以是分数或者是百分数，可以满足各种不
同的表示方式。