量子力学的变分法-量子力学的变分法

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量子力学的变分法-量子力学的变分法
解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法
对于束缚定态
它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性
通过求能量的极值得到能量本征值方程的解
在处理具体问题时
总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分
这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解
这种方法称为变分法

若体系的哈密顿量算符为彑
其能量本征值方程为

(1)
该体系的能量平均值
(2)
是波函数φ的泛函
式中表示对体系全部坐标积分
可以证明
求彑的本征值方程
等价于求解
(3)
也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数
唕的极值为所对应的本征值
即
(4)
这样
如果能猜测到一个φ正好满足式(1)
则由式(2)所得的唕【φ】等于E
如果猜测的φ与ψ 略有不同
则唕【φ】必定大于E
因而唕【φ】总是给出唕的一个上限
当做了多次猜测之后
其中最小的唕一定是这些猜测中最好的
这样就把最小的唕取作E的近似值
应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法
改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q
α1
α2
α3
...)来实现的
这样唕也就是这些参数的函数
式中q 代表体系的全部坐标
所猜测的波函数φ(q
α1
α2
α3
...)称为尝试波函数
变分参数(α1
α2
α3
...)是待定的
根据变分原理
由唕取极值
则有
(5)
通过以上方程组可解得(i=1
2
3
...)
于是φ(q
α嬼
α嬽
α嬿
...)和 E(α嬼
α嬽
α嬿
...)分别是ψ和E在φ(q
α1
α2
α3
...)形式下最好的近似
它的近似性来源于用参数的变化代替了普遍形式的任意变分、显然
参数愈多
尝试波函数的变化愈普遍
所得结果愈好
在选取尝试波函数时
要注意使其与ψ满足相同的边界条件

如果尝试波函数φ与精确解的差为Δ量级
则唕与精确解的差为｜Δ｜2量级
因而即使用粗糙的尝试波函数也可得到近似性很好的能量本征值
通常用这种方法求体系基态能量的近似值
考虑到不同能量的本征函数彼此正交
也可以由低至高逐级求激发态能量的近似值
其近似性较基态为差
变分法的优点在于运用它求解不受什么限制
但是由于结果的好坏完全取决于尝试波函数的选择
致使结果的任意性大
以上是解束缚定态的变分法

对于散射问题
如将决定能量的变分原理改为决定相移的变分原理
以上方法的基本思

想仍适用
变分法也常与量子力学的微扰论结合起来使用