(完整版)数值分析第五版答案

第一章绪论 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： x 1* 1.1021 , x 2* 0.031 , x 3

385.6 , x 4 56.430 ,x 5 7 1.0.

解： x 1 1.1021 是五位有效数字； x 2 0.031是二位有效数字； x 3 385.6 是四位有效数字； x 4 56.430 是五位有效数

字； x 5 7 1.0. 是二位有效数字。 4．利用公式 (2.3)求下列各近似值的误差限： (1) x 1 x 2 x 4,(2) x 1 x 2 x 3 ,(3) x 2/ x 4.

其中 x 1* , x *2, x 3* , x 4* 均为第 3题所给的数。解： (x 1*) (x *

2) (x *3) (x *

4) (x 5)

1 2

1 2 1 2 1

2 1 10 10 10 10 10 (1) (x 1 (x 1*) 1 10 2 1.05 10 x 2 x 4) (x *

2) 1 2 3 10 (x *4) 1 10 3 2 (2) (x 1*x *2x 3*) x 1x 2 (x 3) x 2x 3 (x 1) x 1x 3 (x 2)

1 1.1021 0.031 10 1

0.031 385.6 1 10 4

1.1021

385.6 1 10 3

0.215

又Q r (V*)

计算到 Y 100 。若取 783 27.982 （ 5 位有效数字）

有 Y 100 Y 0 100 1 783 100 0

100

(3) (x *2/ x 4*)

x 2* (x *4) x *4 (x 2*) *2

x 4* 1 3 1 3 0.031 10 3 56.430 10 3 22 56.430 56.430 10 5

5 计算球体积要使相对误差限为 1 ， 43 解：球体体积为 V R 3 3 则何种函数的条件数为问度量半径 R 时允许的相对误差限是多

少？

C p RgV

Rg4 R 2 4

R 3 3

(V*)

C p g r (R*) 3 r (R*)

故度量半径 R 时允许的相对误差限

为

6．设 Y 0 28，按递推公式 Y n Y n

3 1

783

100

r (R*) 1 0.33

n=1,2,?) 1

解：QY n Y n 1

783

n n 1 100

Y 100 Y 99 1

783 100 99

100 1 783

100 Y 99 Y 98 Y

Y 98 Y

Y 0

1010 783

即

Y 100 Y 0 783，

若取 783

27.982 , Y 100 Y 0 27.982

，试问计算 Y 100 将有多大误差？

依次代入后，

10 3

(Y 10*0) (Y 0) (27.982)

x 2 具有 5 位有效数字

9．正方形的边长大约为了 100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过 1cm 2 ？

解：正方形的面积函数为 A(x) x 2

(A*) 2A*g (x*) .

当 x* 100时，若 (A*) 1,

则 (x*) 10 2

故测量中边长误差限不超过 0.005cm 时，才能使其面积误差不超过 1cm 2

11．序列 y n 满足递推关系 y n 10y n 1 1 (n=1,2,?),

若

y 0

2 1.41 (三位有效数字) ，计算到 y 10 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

解：Q y 0

2 1.41

又

Q y n 10y n 1 1

y 1 10y 0 1 (y 1*) 10 (y 0*)

Y 100的误差限为 1 100

10 3 。

7．求方程 x 2 56x 1 0 的两个根，使它至少具有 4位有效数字

783 27.982 )。

解： x 2 56x 1 0 ，

故方程的根应为 x 1,2 28 783

故

x 1

28 783 28 27.982 55.982

x 1 具有 5 位有效数字 x

28 783

1 28 783

0.017863

28 27.982 55.982

又Q y2 10y1 1

(y2*) 10 (y1*)

(y2*) 102 (y0*)

(y10*) 1010

2 1 108

2 1010(y0*) 10

计算到y10 时误差为

12．计算f ( 2 1

2108，这个计算过程不稳定。

1)6，取2 ，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

1 (

2 1)6, (

3 2 2)3,

1，99 70 2 。

2 2)

3 ，。

解：设(x 1)6

，

若x 1.4 ，则210 。

若通过

6计算y 值，则( 2 1)6

若通过

(x* 11)7

* *

* 7 y x (x*1)7

(3 2 2)3计算y 值，则

(3 2x*)2 g x

* y g x

3 2x*

若通过

3计算y 值，则(3 2 2) 3

1 * 4

g x (3 2x *)4

* *

* 7 y x (3 2x * )7

y * x *

第二章插值法

用线性插值及二次插值计算 ln0.54 的近似值。解：由表格知，

x 0 0.4, x 1 0.5, x 2 0.6, x 3 0.7, x 4 f(x 0) 0.916291, f (x 1) 0.693147 f(x 2) 0.510826, f (x 3)

0.356675

f(x 4) 0.223144

若采用线性插值法计算 ln0.54 即 f (0.54) ，则 0.5 0.54 0.6

l 1(x) x x2 10(x 0.6) x 1 x

l 2(x) x x1

10(x 0.5)

x 2 x

L 1(x)

f (x 1)l 1(x) f (x 2)l 2(x)

6.93147( x 0.6) 5.10826( x 0.5)

L 1 (0.54)

0.6202186 0.620219 若采用二次插值法计算 ln0.54 时， l 0(x) (x x 1)(x x 2)

(x 0 x 1)(x 0 x 2) l 1(x)

(x x 0)(x

x 2)

(x 1 x 0 )( x 1 x 2) l 2(x)

(x x 0)(x x 1)

(x 2 x 0)(x 2

x 1)

L 2(x)

通过 3 计算后得到的结果最

好。 (3 2 2)3

f (x 1)l 1(x) f (x 2)l 2(x)

50(x 0.5)(x 0.6)

100(x 0.4)( x 0.6)

50(x 0.4)( x 0.5)

f (x0)l0(x)

50 0.916291( x 0.5)(x 0.6) 69.3147( x 0.4)( x 0.6) 0.510826 50(x 0.4)( x 0.5)

L 2 (0.54) 0.61531984 0.615320

3．给全 cos x,0 o x 90o 的函数表，步长 h 1 (1/ 60) o ,若函数表具有 5 位有效数字，研究用线性插值求

cosx 近似值时的总误差界。

解：求解 cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面， x 是近似值，具有 5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数 cosx 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为

0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综

合以上两方面的因素。当 0o x 90o 时，令 f (x) cos x

取

x 0

0, h ( ) 0

60 60 180 10800

令

x i x 0

ih, i 0,1,...,5400

则

5400

90o

当 x x k , x k 1 时，线性插值多项式为

L 1(x) f ( x k ) x xk 1

f ( x k 1) x xk

x k

k 1

k 1 x

插值余项为

5 位有效数字，且 cosx 0,1 ，故计算中有误差传播

过程。

R(x) cos x L 1(x)

2 f ( )(x x k )(x x k 1)

又Q 在建立函数表时，表中数据具有

(f (x k ))

12 10 5

总误差界为

10 5

2 5

0.50106 10 5

4．设为互异节点，求证：

证明

又Q k n,

(n 1)

( ) 0

R n (x) 0

R 2(x) (f (f (f (f

(x k ))x x k x k 1

x x k 1

x k x k 1 1

( x k )) ( x k 1 x

(x k ))

(x k ))(

x k 1

( f * (x k 1)) x x k 1 x k x 1k

x x k 1 1 x k x k

x k )

R R 1(x) R 2 (x) 1

( cos )( x x k )( x 2 x

k 1

) (f (x k ))

1 (x x k )(x k 1

2 12 (12h)2

(f x) (x k ))

( f ( x k ))

8 1.06 10 8

x j k l j (x) x k

(k 0,1,L ,n);

(x j x)k

l j (x)

(k 0,1,L ,n);

令 f (x) x k

若插值节点为 x j , j 0,1,L

,n ，

k 则函数 f (x) 的n 次插值多项式为 L n (x)

x k

j l j (x) 。

插值余项为 R n (x) f (x)

L n (x)

(n 1)

( ) (n

1)!

n 1

( x)

kk x k

j l j

(x) x k

(k 0,1,L ,n);

(2) (x j x)k

l j (x)

j0 nn

( C k j x i j ( x)k i )l j (x)

j 0 i 0 nn

i k i i

C k i ( x)k i ( x i j l j (x))

i 0 j 0

又Q 0 i n 由上题结论可知

x k j l j (x) x i j0

n 原式

Ck i ( x)k i x i

(x x) k 0

得证。

6．在 4 x 4上给出 f (x) e x 的等距节点函数表，若用二次插值求

截断误差不超过 10 6 ，问使用函数表的步长 h 应取多少？解：若插值节点为 x i 1,x i 和x i 1 ，则分段二次插值多项式的插值余项为

R 2(x) 3! f ( )(x x i 1)(x x i )(x x i 1) 3!

设步长为

h ，即

x i 1

x i h, x i 1 x i h

n 4 4

7．若 y n 2 , 求 y n 及 y n . ，

R 2(x)

(x x i 1)(x x i )(x x i 1) m 4 a x x 4

f ( x)

e x 的近似值，要使

R 2(x)

1e 4 2 h 3

6 3 3

3e 4h 3

若截断误差不超过 10 6 ，则

h 0.0065.

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

f (8) ( )

f x 0, x 1 ,L , x 8

15．证明两点三次埃尔米特插值余项是

R 3(x) f (4)( )(x x k )2(x x k 1)2/4!,

解：

若

x [ x k , x k 1] ，且插值多项式满足条件

y n

(E 4

1)4

y n

(

0 4

(

0 4

(

(2 y

n 2n

(E 2

1)j 1)j 1)j 4 j 4

4 j

1)4y n

E 4 j y n

E 2 )4y n

y n

(E 2)4(E 1)4 y n E

n 2n

24 2 4

y n

14． f ( x) 74

xx 3x 1,求 F 20,21,L ,2 7 及 F 20,21,L ,28

解：Q f (x) x 7 x 4 3x 1 若 x i 2i ,i

0,1,L ,8

则 f x 0, x 1,L , x n

(n)(

x 0, x 1,L , x 7

(7)

( )

7! 7!

(x k ,x k 1)

H3(x k) f (x k),H3(x k) f (x k) H3(x k1) f(x k 1),H3(x k 1) f (x k 1) 插值余项为R(x) f (x) H3(x) 由插值条件可知R( x k) R( x k 1) 0 且R(x k) R(x k 1) 0

R(x) 可写成R(x) g(x)(x x k) (x x k 1) 其中g(x)是关于x 的待定函数，现把x看成［x k,x k 1］上的一个固定点，作函数

(t) f (t) H3(t) g(x)(t x k)2(t x k 1)2 根据余项性质，有

( x k ) 0, ( x k 1) 0

(x) f(x) H3(x) g(x)(x x k)2(x x k 1)2

f (x) H3(x) R(x)

(t) f (t) H3(t) g(x)［2(t x k)(t x k1)2 2(t x k 1)(t x k)2］ ( x k) 0

(x k 1 ) 0

由罗尔定理可知，存在(x k,x)和(x,x k 1) ，使

( 1) 0, ( 2 ) 0

即(x)在［x k,x k 1］上有四个互异零点。根据罗尔定理，(t)在(t) 的两个零点间至少有一个零点，故(t) 在(x k, x k 1) 内至少有三个互异零点，依此类推，(4) (t) 在(x k,x k 1) 内至少有一个零点。

记为(x k,x k 1) 使

(4)

( ) f (4)( ) H 3(4)( ) 4!g(x) 0

又Q H 3(4) (t) 0

f (4)

( ) g(x) 4! , (x k ,x k 1)

其中依赖于 x

R(x)

f (44) (! )(x x k )2(x x k 1)2 4!

k k 1

分段三次埃尔米特插值时，若节点为 x k (k 0,1,L ,n) ，设步长为 h ，即

x k x 0 kh,k 0,1,L , n 在小区间 [x k ,x k 1]

上

(x) (1 2x x 0 )(x x 1)2 x 0 x 1 x 0 x 1

(1 2x)( x 1)2

R(x) R(x) f (4)( )(x 4!

4! x k )2(x x k 1)2

(4)( ) (x x k )2(x x k 1)2 1 ( x 4!

1[(x

4! 1 1 h 4 4! 24 h

h 4

max 384 a x b

x k )2 (x k 1 x)2m a x ax b f x k x k 1 x )2]2max 2 a x b max axb f (4) (x) (4) (x)

f (4) (x)

16 ．求一个次数不高于 4 次的多

P(0) P (0) 0,P(1) P (1) 0,P(2) 0

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于 4 的多项

式

x 0 0, x 1 1 y 0 0, y 1 1

0,m 1 1

1 H 3( x)

y j

(x) m j j (x)

(4) ( x)

项式 P ( x )，使它满足

(x) (1 2x x x x 1 )(x x x x 0 )2 x 1 x 0 x 1 x 0

(3 2x) x 2

2 0

(x) x(x 1)2 1( x)

(x 1)x 2

2 2

3 2

H 3(x) (3 2x)x 2

(x 1)x 2

x 3 2x 2

其中， A 为待定常数

A 14

证明：

(1) a f (x) a

S ( x) dx

a f (x)

dx a S ( x)

dx 2

f ( x) S ( x)dx a b

b a f (x)

a S ( x)

dx 2

S (x) f ( x) S (x) dx

从而有

b 2

f (x)

S ( x) dx

f (x)

S ( x) 2 dx 2

S (x) a

f ( x) S ( x) dx

第三章函数逼近与曲线拟合

21．若 f

( x)

2 C 2

a, b , S( x) 是三次样条函数，证明：

2b 2

(1) a f (x) a 2

dx a

S (x) 2 dx

f (x)

S (x) dx 2 a S (x) f (x)

S ( x) dx

(2) 若 f (x i )

S(x i )(i

0,1,L ,n) ，式中 x i 为插值节点，且

S (x) f ( x) S ( x) dx

S (b) f (b) S (b) S (a) f (a) S (a)

从而 P(x)

a x 0 x 1 L

x n b ，则

设 P(x) H 3(x) A(x x 0)2(x

x 1)2

Q P(2) 1 P(x) x 3 2x 2 Ax 2 (x 1)2

1 2 2 14 x 2

(x 3)2

1． f (x) sin x ，给出 [0,1] 上的伯恩斯坦多项式解：

Q f ( x) sin , x [0,1] 伯恩斯坦多项式为

f (k )P k (x) n

其中 P k (x)

k n k x

)n k

当 n 1 时，

2．当 f(x) x 时，求证 B n ( f ,x) x

B 1(f ,x) 及B 3(f ,x)。

B n ( f,x) 1

P 0(x) 10

(1 x)

P 1( x) x B 1(f ,x) 1 f (0) P 0(x) f (1)P 1( x) (1 x)sin( 2 0)

x sin

n 3

时，

P 0(x) 1 (1

0 x)

P 1(x) 1 0 x(1 x )2 3 x(1 P 2(x) 3 2 2

1 x 2(1 x) 3x 2(1 P 3(x) 3 3 3

x x

B 3( f,x)

k f (k

)P k (x) n

0 3x(1

x(1 x)2 2 5333

x 2

1.5x 0.402x 2

x)2

gsin 3x 2

(1 6

3 3 2

x (1 x)

3 3 6 2 3 xx 22 0.098x 3

x)gsin

x sin

x 3

x)2

证明：若 f (x) x ，则

f ( )P k (x) n

是在 [0,1] 上带权 (x) 1 2 的正交

x x

n k

k n k

x (1 x)

k 0 n n

k n(n 1)L (n k 1)x k (1 x)n k

k 0

k !

(n 1)L [(n 1) (k 1) 1] x k (1 x (1

k1 n

(k 1)!

k n k

x (1 x)

nk x)

n k

x[x

(1 1 1 n1

x)]

x k1(1 x)(n 1) (k1) 多项式，并求 T 0 ( x),T 1 (x),T 2 ( x), T 3 (x) 。解：若T n * (x) T n (2x 1),x [0,1] ，则 1

0T n * (x)T m *(x)P(x)dx 11

0T n (2x 1)T m (2x 1) 1 2 dx 0 x x 2

令 t (2 x 1) ，则 t [ 1,1]，且 x t 1

，故 2

1 * *

0T n *(x)T m * (x) (x)dx 1

1 1T n (t)T m (t)

1 n m

t 1 t 21 d(t (t 21)2 2 )

1T n (t)T m (t) 2 dt

1 t

2 *

又Q 切比雪夫多项式 T k (x) 在区间 [0,1] 上带权 (x) 正交，且

1 x 2

B n ( f,x)

7。令 T n (x) T n (2x 1),x [0,1] ，试证 T

n *(x)

50, n m

x T n ( x)T m(x)d 2,n m0

n m

1 t

2 2

,n m0

T n(x) 是在[0,1] 上带权(x)

的正交多项式。x x2

又Q T0(x) 1,x [ 1,1]

T0 (x) T0 (2x 1) 1,x [0,1]

Q T1(x) x, x [ 1,1]

T1* (x) T1(2x 1) 2x 1,x [0,1]

Q T2(x) 2 x21, x [ 1,1]

T2*(x) T2(2x 1)

2(2 x 1)21

8x28x 1,x [0,1]

Q T3(x) 4x33x, x [ 1,1]

T3*(x) T3(2x 1)

4(2 x 1)33(2x 1)

32x348x218x 1,x [0,1]

8。对权函数(x) 1 x2，区间[ 1,1]，试求首项系数为1的正交多项式n(x),n 解：

若(x) 1 x2，则区间[ 1,1]上内积为

(f,g) 1 f(x)g(x) (x)dx

定义0( x) 1，则

n 1(x) (x n) n (x) n n 1(x)

其中

0,1,2,3.

n (x n(x), n(x)) /( n(x), n(x)) n ( n(x), n(x)) /( n 1(x), n 1(x))

0 ( x ,1)/(1,1)

1 2

1x(1 x2)dx

1(1 x2)dx

1(x) x

(x2, x)/(x,x)

3 2

1x3(1 x )dx

2 2

1x2(1 x2)dx

(x, x ) /(1,1)

2 2

1x2(1 x2)dx

1(1 x2 )dx

15 2

2( x) x

1(x 2 5 )( x 2 5)(1 x 2

)dx

222

(x ,x

)/( x,x)

2 2 2 2 2 1(x 2

)( x 2 )(1 x 2)dx 1

5 5

2 2 x 2 (1 x 2)dx 136 525 17 16 70 15

3 (x) x 3

2 2 17

5 70

9 x

12。选取常数 a ，使 max x 3

ax 达到极小，又问这个解是否唯

一？

0 x 1

解：

令 f (x) x 3

则 f (x) 在 [ 1,1]上为奇函数

max 0 x 1 3 x ax max 1x1

x ax 1

3(x) 3T 3(x)与 0 的偏差最小。

1 3 3

3 (x) T 3(x) x 3

44 从而有 a 3 4

16。 f (x) x ，在 1,1 上求关于 span 1,x 2 ,x 4 的最佳平方逼近多项式。

解：

Q f ( x) x , x 1,1

22 22 22

2 2 ( x 3

x,x )/(x 2 ,x

5 5 5

13 22 2 2

(x 3 x)(x 2 )(1 x 2)dx

又Q f ( x)的最高次项系数为 1，且为 3 次多项式。

2 2 2 2 2

且0 1, 1 x , 2 x ，则

则法方程组为

2 2

3 5 a0 1

2 2 2

1 1

3 5 7 2

2 2 2 a2 1

5 7 9 3

解得

a0 0.1171875

a1 1.640625

a2 0.8203125

故f (x) 关于span 1,x2, x4的最佳平方逼近多项式为

* 2 4

S (x) a0 a1x a2x

0.1171875 1.640625x20.8203125x4

18。f(x) sin x，在[ 1,1]上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。解：

Q f ( x) sin x, x [ 1,1]

按勒让德多项式P0( x), P1( x), P2(x),P3(x) 展开

若(f ,g) f ( x)g( x)dx

1 2 1 sin xdx cos x 1

2 2 1

则

* a 0* ( f(x),P 0(x)) /2

0 *

3(f (x),P 1(x))/2 12

a 1* 2 * a 2

5(f (x),P 2(x))/2 0 * a

3 7(f (x),P 3(x))/2 2

168( 3

10) 4

从而 f (x) 的三次最佳平方逼近多项式为

S 3 (x) a 0P 0(x) a 1 P 1(x) a 2P 2(x) a 3P 3(x) 12 168( 2 10) 5 3 3

2 x 4 ( 2 x 2 x)

420( 2 10) x 3 120(21 2 2)

4 x 4

1.5531913 x 0.5622285x 3

第四章数值积分与数值微分

1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：

(1) h f(x)dx A 1f ( h) A 0 f (0) A 1 f ( h); 2h (2) 2h f (x)dx A 1f( h) A 0 f (0) A 1f (h);

(3)

f(x)dx [f ( 1) 2f (x 1) 3f(x 2)]/ 3;

1 h

(4) 0 f(x)dx h[ f(0) f (h)]/ 2 ah 2[ f (0) f (h)];

解：

求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能准确地成立，但对于 m+1 次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

(1)若 (1) f(x)dx A 1f( h) A 0f (0) A 1f(h) 令 f (x) 1 ，则令 f (x) x ，则

0 A 1h A 1h

令 f (x) x 2 ，则

3 h A 1 A 0 A 1

( f (x), P 1(x)) ( f (x), P 2(x)) ( f (x), P 3( x)) 1

xsin xdx 12 1

3 2 1

( x )sin xdx 0 1

2 2 2

(5 x 3 3 x)sin xdx 1

2 2 2

2 48( 2

10)

( f (x), P 0(x))

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )

数值分析课后题答案

数值分析第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证：（1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明（1）令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q

(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --

数值分析试卷及答案

二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求解由紧凑格式故从而故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组解设有分解由公式其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有从而有故，，，故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时，（2）对任何实数，有（3）因A正定，故有分解，则故对任意向量和，总有综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为（1）计算条件数；（2）若近似解，计算剩余；（3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1）（2）

（3）由事后误差估计式，右端为而左端这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值证明设，则又故从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中解对雅可比方法，迭代矩阵，故雅可比法收敛。对高斯-赛德尔法，迭代矩阵，故高斯-赛德尔法收敛。因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。解雅可比法的迭代矩阵，故雅可比法收敛的充要条件是。高斯-赛德尔法的迭代矩阵，故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故又，故，即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式求证：（1）对任意初始向量，收敛；（2）收敛到的解。证明（1）所给格式可化为这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有因正定，故，从而，格式收敛。

数值分析试卷及答案

3用追赶法求解如下的三对角方程组解设有分解由公式其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有从而有故，，，故，，，

4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时，（2）对任何实数，有（3）因A正定，故有分解，则故对任意向量和，总有综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为（1）计算条件数；（2）若近似解，计算剩余；（3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1）（2）（3）由事后误差估计式，右端为而左端

这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值证明设，则又故从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中解对雅可比方法，迭代矩阵，故雅可比法收敛。对高斯-赛德尔法，迭代矩阵

，故高斯-赛德尔法收敛。因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。解雅可比法的迭代矩阵，故雅可比法收敛的充要条件是。高斯-赛德尔法的迭代矩阵，

数值分析第三版课本习题及答案

第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1 234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y . (五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字 . 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…), 若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010;2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

数值分析试卷及其答案

1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分）这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。（1分）而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ；解设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分）由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性；解 1）Jacoib 迭代格式为

数值分析第五版全答案chap1

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。解：近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又1'()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*5 7 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) *** 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24 /x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。解：

*4 1*3 2*13*3 4*1 51 ()102 1()102 1()102 1()102 1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333 (1)() ()()() 111101010222 1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143 (2)() ()()() 1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ **24****24422 *4 33 5 (3)(/)()() 110.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为 2 3 '4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=

数值分析试卷及其答案2

1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。解因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分）这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。（1分）而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ；解设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分）由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性；解 1）Jacoib 迭代格式为

第五章习题解答_数值分析

第五章习题解答 1、给出数据点:0134 19156 i i x y =?? =? (1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。 (2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。 (3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。解: (1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数 2 20 2 1303011915 01031013303152933 ()()()()()() ()()()()()()()() i i i x x x x x x L x l x y x x =------== ?+?+?-------++= ∑ 代入可得2151175(.).L =。 (2)利用 134,,x x x ===,9156,,y y y ===构造如下差商表： 229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+- 代入可得215135(.).N =。 (3)用事后误差估计的方法可得误差为 ()()()02222 03-x 150 x x x -=117513506563-04.()()()(..).x f L R L x N x x x --≈= -≈- ()()()3222203-154 x x -=1175135-1.0938-04 .()()()(..)x x f N R x L x N x x x --≈=-≈- 2、设Lagrange 插值基函数是 0012()(,,,,)n j i j i j j i x x l x i n x x =≠-==-∏ 试证明:①对x ?,有 1()n i i l x ==∑ ②00110001211()()(,,,)()()n k i i i n n k l x k n x x x k n =?=?==??-=+? ∑ 其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。证明： ①由Lagrange 插值多项式的误差表达式10 1()()()()()!n n i i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行

数值分析试题及答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分）

1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足，所以()0f x =在区间内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据：求分段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%

数值分析第四版习题及答案

第四版数值分析习题第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

数值计算方法试题集及答案要点

《数值计算方法》复习试题一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公

数值分析试卷及其答案1

1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）解：由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分）解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ

1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分

数值分析第五版答案

第一章绪论 p19 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又 1 '()n f x nx -=, 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又 ((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2% ((*))0.02n r x n ε∴≈ 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又 (*)1r V ε= 故度量半径R 时允许的相对误差限为1 (*)10.333 r R ε= ?≈ 7．求方程2 5610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982 =）。解：2 5610x x -+= ，故方程的根应为1,228x =故 128 2827.98255.982x = ≈+= 1x ∴具有5位有效数字 211 280.0178632827.98255.982 x =-= ≈ =≈+ 2x 具有5位有效数字

9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2 1cm ？解：正方形的面积函数为2 ()A x x = p7 当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21 (*)102 x ε-≤ ? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2 1cm 第二章插值法p48 1．当1,1,2 x =-时，()0,3,4f x =-, 分别用单项式基底、拉格朗日基底、牛顿基底求() f x 的二次插值多项式。解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。解：由表格知，

数值分析第五版全答案

第四章数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h A h -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。令4 ()f x x =，则

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D．单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案

1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解，，所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯－塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案

数值分析第四版习题和答案解析

第四版数值分析习题第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝ 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程稳定吗 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3.

4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2.求证: (a)当时,. (b)当时,. 3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.

数值分析整理版试题及答案

例1、已知函数表求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。解：（1）插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---=== -----= ==----=== ---

故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 ()()()()()()()()1 1 200110 1 1 2011000 1 210 1 ,11, ,3 1 23 ,,, ,3226 9,324 dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ??????????==== ====++= =++= ????? 所以，法方程为 01123126119234a a ??????????=?????????? ??????? ?? ?，经过消元得012311 62110123a a ??? ???? ???=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111 ()46 S x x = + 例3、设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有

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