两角和与差的公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β

1＋tan αtan β (T (α－β))

tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β (T (α＋β))

2．二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；

cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α

1－tan 2α

3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T (α±β)可变形为

tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × ) (3)公式tan(α＋β)＝

tan α＋tan β

1－tan αtan β

可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意

角α，β都成立．( × )

(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )

(5)设sin 2α＝－sin α，α∈(π

，π)，则tan 2α＝ 3.( √ )

1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝10

，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C

解析 ∵sin α＋2cos α＝

， ∴sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝5

化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－3

.故选C.

2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝1

2，则tan 2α等于( )

A ．－34 B.34 C ．－43 D.43

答案 B

解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，

则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝3

. 3．(2013·课标全国Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ????θ＋π4＝1

2，则sin θ＋cos θ＝________. 答案－

解析 ∵tan ????θ＋π4＝12，∴tan θ＝－13

，即?

???

3sin θ＝－cos θ，sin 2θ＋cos 2

θ＝1，且θ为第二象限角，解得sin θ＝

1010，cos θ＝－310

. ∴sin θ＋cos θ＝－

. 4．(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1

解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin [(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)

＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin [(x ＋φ)－φ]＝sin x ， ∴f (x )的最大值为1.

题型一三角函数公式的基本应用

例1 (1)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1

D ．3

(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝1

3，

cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β

2)等于( )

A.33

B ．－33 C.539

D ．－

答案 (1)A (2)C

解析 (1)由根与系数的关系可知 tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3

1－2＝－3.

故选A. (2)cos(α＋β

)

＝cos[(π4＋α)－(π4－β2

)]

＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)．

∵0<α<π2，

则π4<π4＋α<3π4， ∴sin(π4＋α)＝223.

又－π

<β<0，

则π4<π4－β2<π2，则sin(π4－β2)＝63

故cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539

.故选C.

思维升华三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立．使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系．

(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝1

，则sin α等于( )

A.3

5 B.45 C ．－35

D ．－45

(2)计算：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1

tan 5°－tan 5°)＝________.

答案 (1)A (2)

解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝1

7，

∴tan α＝－34＝sin α

cos α，

∴cos α＝－4

3sin α.

又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝9

又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝3

(2)原式＝2cos 210°

4sin 10°cos 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°

＝cos 10°2sin 10°－sin 20°sin 10°

＝cos 10°－2sin 20°

2sin 10°

＝cos 10°－2sin (30°－10°)

2sin 10°

＝cos 10°－2sin 30°cos 10°＋2cos 30°sin 10°

2sin 10°

＝

题型二三角函数公式的灵活应用

例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( ) A. 2 B.22 C.12

D.32

(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋

2tan (π4－x )sin 2(π4＋x )＝________.

(3)求值：cos 15°＋sin 15°

cos 15°－sin 15°＝________.

答案 (1)B (2)1

cos 2x (3) 3

解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝2

.故选B. (2)原式＝1

(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin (π4－x )

cos (π4－x )

·cos 2(π

4－x )

＝(2cos 2x －1)24sin (π4－x )cos (π4－x )＝cos 22x 2sin (π

2－2x )

＝cos 22x 2cos 2x ＝12

cos 2x . (3)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°

1－tan 45°tan 15°

＝tan(45°＋15°)＝ 3.

思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)

和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．

(1)已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·(cos α2－sin α

)

2＋2cos α

＝________.

(2)在△ABC 中，已知三个内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C

2的值为

________．

答案 (1)cos α (2) 3

解析 (1)原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2

)

4cos 2α2.

因为α∈(0，π)，所以cos α

>0，

所以原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)·(cos α2－sin α2

)

2cos

α2

＝(cos α2＋sin α2)·(cos α2－sin α2)＝cos 2α2－sin 2α2

＝cos α.

(2)因为三个内角A ，B ，C 成等差数列，且A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝2π3，A ＋C 2＝π3，tan

A ＋C 2＝3，

所以tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C

＝tan ????A 2＋C 2????1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3????1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C

2＝ 3. 题型三三角函数公式运用中角的变换

例3 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－1

3.则sin(α－β)＝________，cos β＝

________.

(2)(2013·课标全国Ⅱ)已知sin 2α＝2

3，则cos 2????α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.2

3 答案 (1)－

1010 9

10 (2)A 解析 (1)∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π

又∵tan(α－β)＝－1

3<0，

∴－π

2<α－β<0.

∴sin(α－β)＝－

1010，cos(α－β)＝31010

. ∵α为锐角，sin α＝35，∴cos α＝4

∴cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝45×31010＋35×(－1010)＝91050. (2)因为cos 2????α＋π

4＝1＋cos2????α＋π

42 ＝1＋cos ?

???2α＋π22＝1－sin 2α2

，

所以cos 2????α＋π4＝1－sin 2α

2＝1－2

32＝16

，选A. 思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β

2，

α－β2＝(α＋β2)－(α

＋β)等．

(1)设α、β都是锐角，且cos α＝

55，sin(α＋β)＝3

，则cos β等于( ) A.2525 B.25

C.2525或255

D.55或525

(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π

6)的值是________．

答案 (1)A (2)－4

解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝25

， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±4

又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，

所以cos(α＋β)＝－45.

于是cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝－45×55＋35×255＝2525.

(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝4

53，

∴

32cos α＋32sin α＝4

3， 3(12cos α＋32sin α)＝4

53， 3sin(π6＋α)＝4

53，

∴sin(π6＋α)＝45

，

∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45

高考中的三角函数求值、化简问题

典例：(1)若tan 2θ＝－22，π<2θ<2π，则2cos 2θ

－sin θ－1

2sin (θ＋π

＝________.

(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π

2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )

A ．3α－β＝π

B ．2α－β＝π

C ．3α＋β＝π

D ．2α＋β＝π

(3)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3

，则cos 2α等于( ) A ．－

53 B ．－59 C.59 D.5

(4)(2012·重庆)sin 47°－sin 17°cos 30°

cos 17°等于( )

A ．－

32 B ．－12 C.12 D.32

思维点拨 (1)注意和差公式的逆用及变形．

(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找α，β的关系． (3)可以利用sin 2α＋cos 2α＝1寻求sin α±cos α与sin αcos α的联系． (4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化．解析 (1)原式＝cos θ－sin θsin θ＋cos θ＝1－tan θ

1＋tan θ

，

又tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－22，即2tan 2

θ－tan θ－2＝0，解得tan θ＝－

或tan θ＝ 2. ∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π.∴tan θ＝－1

2，

故原式＝1＋

1－

＝3＋2 2.

(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin β

cos β，

即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π

2－α)．

∵α∈(0，π2)，β∈(0，π

)，

∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π

2)，

∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π

2－α，

∴2α－β＝π

(3)方法一 ∵sin α＋cos α＝

33，∴(sin α＋cos α)2＝13

， ∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－2

又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝3

>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋3

4π(k ∈Z )，

∴4k π＋π<2α<4k π＋3

2π(k ∈Z )，

∴2α为第三象限角， ∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53

. 方法二由sin α＋cos α＝33两边平方得1＋2sin αcos α＝13

， ∴2sin αcos α＝－2

∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝(sin α－cos α)2

＝1－2sin αcos α＝

153

. 由??

sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝15

，得?????

sin α＝

3＋15

6，cos α＝

3－15

∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－

. (4)原式＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°

cos 17°

＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°

cos 17°

＝

sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝1

答案 (1)3＋22 (2)B (3)A (4)C

温馨提醒 (1)三角函数的求值化简要结合式子特征，灵活运用或变形使用公式．(2)三角求值要注意角的变换，掌握常见的配角技巧．

方法与技巧 1．巧用公式变形：

和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1?tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α

2，配方变形：1±sin α＝????sin α2±cos α

22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α

2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．失误与防范

1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝

所对应的角α＋β不是唯一的．

3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.

A 组专项基础训练 (时间：30分钟)

1．已知tan(α＋β)＝2

5，tan ????β－π4＝14，那么tan ????α＋π4等于( ) A.1318 B.1322 C.322 D.1

6 答案 C

解析因为α＋π4＋β－π

4＝α＋β，

所以α＋π

4＝(α＋β)－????β－π4，所以 tan ????α＋π4＝tan ????(α＋β)－????β－π

4 ＝

tan (α＋β)－tan ???

?β－π41＋tan (α＋β)tan ????β－π4＝3

22. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝37

8，则sin θ等于( )

A.35

B.45

C.74

D.3

4 答案 D

解析由sin 2θ＝3

87和sin 2θ＋cos 2θ＝1得

(sin θ＋cos θ)2＝37

8＋1＝(3＋74)2，

又θ∈[π4，π

2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.

同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝3

3．已知tan α＝4，则1＋cos 2α＋8sin 2α

sin 2α的值为( )

A ．4 3 B.654 C ．4 D.233

答案 B

解析 1＋cos 2α＋8sin 2αsin 2α＝2cos 2α＋8sin 2α2sin αcos α

，

∵tan α＝4，∴cos α≠0，分子、分母都除以cos 2

α得2＋8tan 2α2tan α＝65

4．(2013·重庆)4cos 50°－tan 40°等于( ) A. 2 B.2＋3

C. 3 D ．22－1 答案 C

解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°

＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°

cos 40°

＝

3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°

cos 40°

＝ 3.

5．已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π

3)的值是( )

A ．－23

B ．±23

C ．－1

D ．±1

答案 C

解析 cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋1

2sin x )＝3

cos(x －π

)＝－1.

6． sin 250°1＋sin 10°＝________.

答案 12

解析 sin 250°

1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)

＝

1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝1

7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1

解析根据已知条件：

cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β， cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0. 又α、β为锐角，则sin β＋cos β>0，

∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1. 8.

3tan 12°－3

(4cos 2

12°－2)sin 12°

＝________.

答案－4 3

解析原式＝3sin 12°

cos 12°

－3

2(2cos 212°－1)sin 12°

＝23????12sin 12°－32cos 12°

cos 12°

2cos 24°sin 12°

＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°

sin 24°cos 24°

＝

－23sin 48°

sin 48°＝－4 3.

9．已知 1＋sin α

1－sin α－

1－sin α

1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．

解因为 1＋sin α

1－sin α

－

1－sin α

1＋sin α

＝ (1＋sin α)2

cos 2α－

(1－sin α)2

cos 2α

＝|1＋sin α||cos α|－|1－sin α|

|cos α|

＝1＋sin α－1＋sin α

|cos α|

＝

2sin α

|cos α|

，所以2sin α|cos α|＝－2tan α＝－2sin αcos α.

所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.

故α的取值集合为{α|α＝k π或2k π＋π2<α<2k π＋π或2k π＋π<α<2k π＋3π

2，k ∈Z }．

10．已知α∈????π2，π，且sin α2＋cos α2＝6

2. (1)求cos α的值；

(2)若sin(α－β)＝－3

5，β∈????π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62

，

两边同时平方，得sin α＝1

又π2<α<π，所以cos α＝－32. (2)因为π2<α<π，π

<β<π，

所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π

又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝4

cos β＝cos [α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－

32×45＋12×????

－35＝－43＋310

. B 组专项能力提升 (时间：25分钟)

11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π

2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π

等于( )

A ．－255

B ．－3510

C ．－31010 D.255

答案 A

解析由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－1

又－π2<α<0，所以sin α＝－10

故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)2

2(sin α＋cos α)＝22sin α

＝－255

12．若α∈????0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝1

4，则tan α的值等于( ) A.

22 B.3

C. 2

D. 3 答案 D

解析 ∵α∈????0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝1

4， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝1

，

∴cos α＝12或－1

2(舍去)，

∴α＝π

，∴tan α＝ 3.

13．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π

4)＝________.

答案

7210

解析因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2

θ＋1＝4

5，又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π

2)，

所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝3

5，

所以sin(2θ＋π

)

＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝72

10.

14．已知函数f (x )＝sin ????x ＋7π4＋cos ????x －3π

4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；

(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π

2，求证：[f (β)]2－2＝0.

(1)解 ∵f (x )＝sin ????x ＋7π4－2π＋cos ????x －π4－π2 ＝sin ????x －π4＋sin ????x －π4＝2sin ????x －π

4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.

(2)证明由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，

cos βcos α－sin βsin α＝－4

5，

两式相加得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π

2，

∴[f (β)]2－2＝4sin 2π

－2＝0.

15．已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π

4)．

(1)若tan α＝2，求f (α)的值；

(2)若x ∈[π12，π

]，求f (x )的取值范围．

解 (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ????x ＋π4· cos ????x ＋π

4 ＝

1－cos 2x 2＋12

sin 2x ＋sin ????2x ＋π

2 ＝12＋1

2(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12

. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2

α＋1＝45. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－3

5. 所以，f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.

(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋1

＝

sin ??

??2x ＋π4＋12. 由x ∈????π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤5π

4. 所以－

2≤sin ???2x ＋π4≤1,0≤f (x )≤2＋12

，所以f (x )的取值范围是???

0，

2＋12.

两角和与差的正切公式

第4课时两角和与差的正切公式【教学目标】 1、掌握用同角三角函数关系式推导出两角和与差的正切公式. 2、会用两角和与差的正切公式求非特殊角的正切值. 3、应用两角和与差的正切公式进行计算、化简、证明. 【教学重点与难点】重点：两角和与差的正切公式的推导；两角和、差公式的灵活应用. 难点：两角和与差的正切公式的逆向使用；实际问题抽象为数学问题，恰当寻找解题思维的起点. 【教学过程】导入我们已经学习了正弦公式，余弦公式，本节课我们一起学习正切公式.这样对于一些非特殊角的正切，我们也能计算，如tan75?. 在推导正切公式之前，能否用已学知识来计算tan75?的值. 问题引入两角和、差的正弦公式： =+)sin(βα________________________，=-)sin(βα_________________________ 两角和、差的余弦公式： =+)cos(βα_______________________，=-)cos(βα_______________________ 构建新知推导过程 sin() tan()cos() αβαβαβ++= + sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβ αβαβ += - 分子分母同时除以cos cos αβ，得 t a n t a n t a n ()1t a n t a n αβαβαβ++=-

两角和、差的正切公式： =+)tan(βα________ tan tan 1tan tan αβ αβ +-________________________ 用β-代替β，就可得到 =-)tan(βα___________ tan tan 1tan tan αβ αβ -+_____________________ 例题分析例1 求值（1）0 75tan ；（2）0 00043 tan 17tan 143tan 17tan -+ ；(3) 00 75tan 175tan 1-+ 解（1）0 tan 75tan(4530)=?+? tan 45tan 301tan 45tan 30?+? = -?? = （2）00 00 tan17tan 43tan(1743)1tan17tan 43+=?+?= - （3）00 1tan 75tan 45tan 75tan(4575)1tan 751tan 45tan 75+?+?==?+?=--?? 特殊角的三角函数值例2 已知7 tan ,5)tan(== -ββα，求αtan . 解 []t a n t a n ()ααββ=-+ tan()tan 1tan()tan αββ αββ -+= -- 1=

5.4(4)两角和与差公式应用

资源信息表

5.4 (4)两角和与差公式的应用上海市杨浦高级中学曹丽琼一、教学内容分析通过之前的学习，学生已初步掌握两角和与差的正弦、余弦与正切公式.本节课将对这组公式作进一步的应用，从中体会公式的作用. 辅助角公式的引入是本节课的重点，可以由具体实例出发，使学生经历由具体到一般的抽象思维过程，使辅助角公式的形成自然、易理解. 二、教学目标设计（1）应用两角和与差的正、余弦公式推导辅助角公式，了解公式的形式以及辅助角的意义.能较为熟练的使用辅助角公式，从中体会公式的作用. （2）在推导的过程中，进一步提高对比、分析和知识运用的能力，逐步形成从具体到一般的抽象思维以及化归的数学思想. 三、教学重点及难点两角和与差公式的应用；辅助角公式的形成、理解.

四、教学流程设计五、教学过程设计一、讲授新课 1、复习引入，设置问题复习：两角和与差的正弦、余弦公式. βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+；βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+；βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 快速练习：利用两角和与差公式展开)3 sin(π α+. 学生完成.（2 3 cos 21 sin )3 sin(? +?=+ααπ α）若要将表达式2 3 cos 21sin ? +?αα化简为只含一个三角比的形式，则表达式可以是)3 sin(23cos 2 1sin πααα+=? +? 问题1、表达式还可以是什么？为什么？学生回答（)37sin(23cos 2 1 sin πααα+=? +?、)6 cos(πα-等）

两角和与差的余弦公式证明

两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β 的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB ＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，. 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= . 在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、. ∵，且， ∴，∴， ∴ ， ∴， ∴，. 说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.

两角和与差的正弦公式的有趣证明

两角和与差的正弦公式的有趣证明江苏省泰州市朱庄中学曹开清 225300 一、勾股定理的一个证明与两角和的正弦公式如图1(a)，在一个边长为a＋b的大正方形中，放置了4个两直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形，显然图中小正方形的面积等于c2．现在我们将图1(a)中的 4 个直角三角形移位，拼成图1(b)，显然图1(b)中两个较小的正方形的面积之和等于a2＋b2．因为图1(a)与图1(b)中空白部分的面积相等，所以有a2＋b2＝c2，亦即证明了勾股定理．我觉得这是勾股定理众多证明方法之中，最简单的一个证明了．不仅如此，它其实还有着另外一个用途，并不是每一个人都能发现的．现在将上面两个图“压扁”，成为图2：如图2(a)，原来的正方形变成了一个平行四边形，它的面积是mnsin(α＋β)，其中m 、n 分别是相邻两个直角三角形斜边的长度．如图2(b)，原来的两个正方形变成了两个矩形，其

面积之和是msin α·ncos β＋mcos α·nsin β．与上面一样，图2(a)与图2(b)中空白部分的面积相等，所以有mnsin(α＋β)＝msin α·ncos β＋mcos α·nsin β，化简得sin(α＋β)＝sin αcos β＋sin αcos β，这就是三角学中最重要的两角和的正弦公式．在这里，勾股定理和两角和的正弦公式竟来自相同的证明方法！二、无意中导出两角差的正弦公式邻居有个小孩，一次拿了他的作业本来问我．题目是这样的：如图，AD ⊥BD ，∠ACD ＝α，∠ABD ＝β，BC ＝a ，则AD ＝___________．他的答案是)sin(sin sin βαβ α-?a ，但他的老师给他打了个“×”．我问他是怎么做的？他马上写了起来：在ΔABC 中，BC ＝a ，∠ABC ＝β，∠BAC ＝α―β，根据正弦定理，得 )sin(sin βαβ-=a AC ，即)sin(sin βαβ-=a AC ．在RtΔACD 中，) sin(sin sin sin βαβαα-=?=a AC AD ．我说对啊！他却说老师的正确答案是：αβcot cot -= a AD ．解题过程如下：在RtΔABD 中，βcot ?=AD BD ；在RtΔACD 中，αcot ?=AD CD ，所以a CD BD AD =-=-)cot (cot αβ，即α βcot cot -=a AD ．

两角和与差公式的应用经典练习题

两角和与差公式的应用【导航练习】 1．已知A 、B 均锐角，且满足tan A ·tan B=tan A ＋tan B ＋1 ，则cos （A ＋B ）= . 2. sin x =2 2是tan x =1成立的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 3．在（0，2π）内，使0＜sin x ＋cos x ＜1成立的x 的取值范围是（） A ．（0，π2 ） B ．（π4 ,3π4 ） C ．（π2 ,3π4 ）∪（7π4 ,2π） D ．（3π4 ,π）∪（3π2 ,7π4 ） 4．已知α＋β=π4 ＋2k π （k ∈Z ），求证：（1＋tan α）（1＋tan β）= 2 5．已知cos x ＋cos y = 12 ,sin x －sin y = 14 ,求cos （x ＋y ）的值. 【巩固练习】 1．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取到的值是（） A ．43 B ．34 C ．53 D ．12 2．已知tan x = － 2 ,π

3．在△ABC 中，sin A = 35 ,cos B = 513 ,求sin C 的值。 4．求cos55°cos65°＋sin 25°的值。 5．求 42sin 18cos 318sin 的值。 6. 化简：sin （x ＋17°）cos （x －28°）＋cos （x ＋17°）sin （28°－x ） 7．求证：在△ABC 中，sin A cos B cos C ＋sin B cos C cos A ＋sin C cos B cos A = sin A sin B sin C 8. 在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋ 3 tan B tan C = 3 ,又 3 tan A ＋ 3 tan B ＋1 = tan A tan B ,试判断 △ABC 的形状。 9．已知π2 ＜β＜α＜3π4 ，cos （α－β）= 1213 ,sin （α＋β）= － 35 ，求sin2α的值。

三角函数基础,两角和与差、倍角公式

练习：一、填空题 1． α是第二象限角，则2 α 是第象限角. 2．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 . 同角三角函数的基本关系公式: αααtan cos sin = ααα cot sin cos = 1cot tan =?αα 1cos sin 22=+αα 1?“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 2 2 =+αα 2tan 2 cos 2sin ααα = 2?上述关系（公式）都必须在定义域允许的围成立。 3?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解例：例1化简：ο440sin 12- 解：原式οοο ο ο 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简解：) sin 1)(sin 1() sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+--- -+++= 原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2 222ααααα ααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，Θ αα α ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+= ∴原式（注意象限、符号）例3求证： α α ααcos sin 1sin 1cos +=- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满足

两角和与差的三角函数练习含答案

一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分） 1．（4分）（2009?陕西）若3sinα+cosα=0，则的值为（） A．B．C．D．﹣2 2．（4分）已知，则=（） A．B．C．D． 3．（4分）如果α∈（，π），且sinα=，那么sin（α+）+cos（α+）=（） A．B．﹣C．D．﹣ 7．（4分）（2008?海南）=（） A．B．C．2D． 8．（4分）已知sinθ=﹣，θ∈（﹣，），则sin（θ﹣5π）sin（π﹣θ）的值是（） A．B．﹣C．﹣D． 9．（4分）（2007?海南）若，则cosα+sinα的值为（） A．B．C．D． 10．（4分）设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是（） A．s in（α+β）＞sinα+sinβB．c os（α+β）＞cosαcosβ C．s in（α+β）＞sin（α﹣β）D．c os（α+β）＞cos（α﹣β） 11．（4分）（2009?杭州二模）在直角坐标系xOy中，直线y=2x﹣与圆x2+y2=1交于A，B两点，记∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB=β（π＜β＜），则sin（α+β）的值为（） A．B．C．﹣D．﹣ 12．（4分）（2008?山东）已知，则的值是（） A．B．C．D．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 4．（5分）（2008?宁波模拟）已知cos（α+）=sin（α﹣），则tanα=_________ ． 5．（5分）已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则c osα的值为 _________ ． 13．（5分）?的值为_________ ． 14．（5分）（2012?桂林一模）若点P（cosα，sinα）在直线y=﹣2x上，则sin2α+2cos2α=_________ ．15．（5分）的值为 _________ ．三、解答题（共4小题，满分0分） 6．化简：（1）；（2）﹣． 16．（2006?上海）已知α是第一象限的角，且，求的值． 17．求值：（1）；

两角和与差的正弦余弦正切公式教学设计

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》教学设计一、教学分析 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α+β=α-(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等. 2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义. 3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的. 二、三维目标 1.知识与技能：在学习两角差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力. 2.过程与方法：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力.

两角和与差的正弦公式教案(高教版拓展模块)

1.1．2 两角和与差的正弦公式一、教学目标 ⒈掌握两角和与差的正弦公式的推导过程; ⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力; ⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。二、教学重、难点１. 教学重点：两角和与差的正弦公式的应用; 2．教学难点：公式的的推导及逆用三、教学设想: (一)复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式： ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. 这是两角和与差的余弦公式,下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢? （二）探讨过程：我们根据两角差的余弦公式可以得到： cos()cos cos sin sin sin 222π π π αααα-=+= 提示:我们可以利用上式实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦公式的推导． ()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ??????????+=-+=-+=-+- ? ? ??????????????? sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ -=+-=-+-=-???? 由此得到两角和与差的正弦公式: ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 让学生观察并记忆两角和与差正弦公式,并思考与两角和与差的余弦公式的联系与区别。 (三）例题讲解例1、利用和、差角正弦公式求sin 75,sin15的值. 解:分析：把75,15构造成两个特殊角的和、差. 12sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 452=+=+=?+=

两角和与差及二倍角公式讲义,例题含答案

3.3 两角和与差及二倍角公式（答案） 3.3 两角和与差及二倍角公式一．【复习要求】 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联. 2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能够利用两角和与差的公式、二倍角公式进行三角函数式的求值、化简和证明. 二、【知识回顾】 1．两角和与差的三角函数 sin()αβ+= ；sin()αβ-= ； cos()αβ+= ；cos()αβ-= ； tan()αβ+= ；tan()αβ-= ； 2．二倍角公式：在sin(),cos(),tan()αβαβαβ+++中令αβ=，可得相应的二倍角公式。 sin2α= ； cos2α= = = tan 2α= 。 3．降幂公式 2sin α= ； 2cos α= . 注意：二倍角公式具有“升幂缩角“作用，降幂公式具有“降幂扩角”作用 4．辅助角公式证明： )sin cos x x y x x + =+= sin sin cos )x x ??+ )x ?+ 其中， cos ?= sin ?= ，tan b a ?= 且角?终边过点(,)a b 在使用时，不必死记结论，而重在这种收缩（合二为一）思想如：sin cos αα+= ；sin cos αα-= 。 5.公式的使用技巧

（1）连续应用：sin()sin[()]sin()cos cos()sin αβγαβγαβγαβγ++=++=+++ （2）“1”的代换：22sin cos 1αα+=，sin 1,tan 12 4 π π == （3）收缩代换：sin cos y x x =+ =)x ?+，（其中,a b 不能同时为0）（4）公式的变形： tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ++=-→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ+=+++ tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ --= +→tan()tan tan tan()tan tan αβαβαβαβ-=--- 如：tan 95tan 3595tan 35-=o o o o 。 tan 70tan 5070tan 50+=o o o o 。（5）角的变换（拆角与配角技巧） 22 α α=? ， ()ααββ=+-， ()αββα=--， 1[()()]2 ααβαβ= ++-， ()4 4 ααπ π =+ - ， ()4 24π π π αα+= --，1 [()()]2 βαβαβ=+--，（6）二倍角公式的逆用及常见变形二倍角的正用、逆用、变形应用是公式的三种主要使用方法，特别是二倍角的余弦公式，它在求值、化简、证明中有广泛的应用，解题时应根据不同的需要，灵活选取。 ①sin 2sin cos 22α α α=；②2 2 2 2 cos cos sin 12sin 2cos 12222α α α α α=-=-=- ③2 2tan 2tan 1tan 2 ααα= -；④21sin 2(sin cos )ααα±=±；⑤22(sin cos )(sin cos )2αααα++-= 5．三角函数式的化简（1）化简方法：①直接应用公式进行降次、消项；②化切为弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。④降幂或升幂（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少； ④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。 6．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，关键也在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合所求角的范围或函数的单调性求得角。 7．三角等式的证明

两角和与差的正切公式

第4课时两角和与差的正切公式【教学目标】 1、掌握用同角三角函数关系式推导岀两角和与差的正切公式 2、会用两角和与差的正切公式求非特殊角的正切值 3、应用两角和与差的正切公式进行计算、化简、证明【教学重点与难点】重点：两角和与差的正切公式的推导；两角和、差公式的灵活应用难点：两角和与差的正切公式的逆向使用；实际问题抽象为数学问题，恰当寻找解题思维的起点.【教学过程】导入我们已经学习了正弦公式，余弦公式，本节课我们一起学习正切公式.这样对于一些非特殊角的正切，我们也能计算，如tan75 . 在推导正切公式之前，能否用已学知识来计算tan75的值. 问题引入两角和、差的正弦公式： sin( ) ______________________ ，sin( ) _____________________ 两角和、差的余弦公式： cos( ) __________________ ，cos( ) ___________________ 构建新知推导过程分子分母同时除以cos cos ，得两角和、差的正切公式： tan tan tan() 1 tan tan 用代替，就可得到 tan tan tan() 1 tan tan

例题分析

例1 求值 (1) tan 750 ； ( 2) tan 17 0 1 tan 17 tan 43 0 0tan 43° 1 tan 75 0 1 tan 75 0 (1) tan 750 tan (45 30 ) (2) tan17 0 (3) tan 43 0 tan17 0 tan 430 tan (17 43 tan 75 0 1 tan 75 0 tan 45 tan 75 1 tan 45 tan 75 tan (45 75 ) 例2 已知tan( ) -,tan 3 ，求 5 7 解 tan tan ( ) 随堂训练 1 ?填空： 0 1 3 (1) tan 105 1 「 5 tan tan 12 12 tan tan 12 12 1 tan 15° 1 tan 150 tan 30 (4) tan150 1 tan15 0 1门 tan 15 1 1 tan15 2.已知tan 3, tan( )3 , 求tan 2 5 特殊角的三角函数值 (3) 3 解 tan tan ( )

两角和与差的正弦余弦公式

《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计商州区中学秦明伟一、学情分析本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。二、教学内容分析本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。

三、教学三维目标 1、知识目标通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。四、教学重点、难点重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。五、教学过程导入新课

两角和与差的正切公式

两角和与差的正切公式时间：2017年12月7日授课班级：高一（16）班授课教师：叶桂芬一、教学目标知识与技能 1.会有两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式 2.会用两角和与差的正切公式求非特殊角的正切值. 3.应用两角和与差的正切公式进行计算、对1的灵活运用. 过程与方法： 1.通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力； 2.通过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法. 情感、态度、价值观 1.使学生体会“联想转化、数形结合、分类讨论”的数学思想； 2.培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度. 二、教学重点、难点 1.重点：两角和与差的正切公式推导及其运用 2.难点：两角和与差的正切公式的运用。三、课时安排 1课时四、教学流程 1、复习回顾： β α αsin β β α C + = cos(- sin cos ) cos α+ β β αsin α α β β C cos(+ = - ) cos cos sin β α-

βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βα+S βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βα-S 2、探究新知（推导过程）（1）在两角和与差的正弦,余弦公式的基础上,你能用αtan ，βtan 表示出 )tan(βα+和)tan(βα-吗？（2）利用所学的两角和与差的正弦,余弦公式，对比分析公式 βα+C ,βα-C ,βα+S ,βα-S ,能否推导出)t an( βα+和)tan(βα-？其中βα,应该满足什么条件？师生讨论：当0)cos(≠+βα时，β αβαβ αβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan( -+=++=+ 若0cos cos ≠βα，即0cos ≠α且0cos ≠β时，分子分母同除以βαcos cos 得β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( -+=+ 根据角α，β的任意性，在上面的式子中，用-β代替β，则有 β αβ αβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan )tan(+-=---+= - 由此推得两角和与差的正切公式。简记为“βα+T ，βα-T ” βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 其中βα,应该满足什么条件？还依然是任意角吗？由推导过程可以知道：) (2 ) (2 ) (2Z k k Z k k Z k k ∈+ ≠±∈+≠∈+ ≠π πβαπ πβπ πα

两角和与差的余弦公式教学设计

《两角和与差的余弦公式》教学设计一、教材地位和作用分析：两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。三、教学重点和难点：教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。四、教学方法：创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生

思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。五、教学过程

两角和与差的正切公式教案

课题：探究两角和与差的正切一、教学目标知识与方法 ①会有两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式，并运用其解决简单的化简问题。过程目标： ①通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力； ②通过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法. 情感、态度、价值观目标 ①使学生体会“联想转化、数形结合、分类讨论”的数学思想； ②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度. 二、教学重点、难点两角和与差的正切公式推导及其运用，公式的逆用。三、课时安排 1课时四、教学流程 1、复习回顾： βα+C βα-C βα+S βα-S 可用多种形式让学生回顾(提问,默写,填空等形式) 2、讲解新课： 1 在两角和与差的正弦,余弦公式的基础上,你能用αtan ，βtan 表示出)tan(βα+和)tan(βα-吗？如)3045tan(15tan -=，它的值能否用 45tan ， 30tan 去计算？（让学生带着问题展开后面的讨论） 2 利用所学的两角和与差的正弦,余弦公式，对比分析公式 βα+C ,βα-C ,βα+S ,βα-S ,能否推导出)t an( βα+和)tan(βα-？其中βα,应该满

足什么条件？师生讨论：当0)cos(≠+βα时，βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+ 若0cos cos ≠βα，即0cos ≠α且0cos ≠β时，分子分母同除以βαcos cos 得β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 根据角α，β的任意性，在上面的式子中，用-β代替β，则有 β αβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan )tan(+-=---+=- 由此推得两角和与差的正切公式。简记为“βα+T ，βα-T ” βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 其中βα,应该满足什么条件？还依然是任意角吗？给学生时间思考。由推导过程可以知道：) (2)(2 )(2Z k k Z k k Z k k ∈+≠±∈+≠∈+ ≠π πβαπ πβππα 这样才能保证αtan ，βtan 及)tan( βα±都有意义。 3 师生共同分析观察公式βα+T ，βα-T 的结构特征与正、余弦公式有什么不同？ 3、例题讲解例1 已知2tan =α，31tan -=β，其中20πα<<， πβπ<<2 （1）求)tan( βα- （2）求βα+的值解（1）因为2tan =α，3 1tan -=β，所以732131 2tan tan 1tan tan )tan(=-+ =+-=-βαβαβα

三角函数两角和与差,以及万能公式的推导

三角函数两角和与差, 以及万能公式的推导-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

向量法：取直角坐标系，作单位圆取一点A，连接OA，与X轴的夹角为A 取一点B，连接OB，与X轴的夹角为B OA与OB的夹角即为A-B A（cosA,sinA),B(cosB,sinB) OA=(cosA,sinA) OB=(cosB,sinB) OA*OB =|OA||OB|cos(A-B) =cosAcosB+sinAsinB |OA|=|OB|=1 cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 在直角坐标系xoy中，作单位圆O，并作角α，β，-β，使角α的始边为Ox交⊙O于P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.依三角函数的定义，得P1、P2、P3、P4的坐标分别为P1（1，0），P2（cosα,sinα）、P3（cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接P1P3，P2P4. 则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式，得 ∣P1P3|2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2, ∣P2P4|2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2 ∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2 展开整理，得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角α，β均成立在公式Cα+β中，用-β替代β. cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α，β均成立.

两角和与差的正弦、余弦公式及其应用

一、知识回顾 1、填表:(表一）角α ?0 ?30 ?45 ?60 ?90 ?120 ?135 ?150 ?180 角α的弧度制 αsin αcos 2、两角和与差的正余弦公式（ 1 ）差角的正余弦 : ｓｉｎ ( = ;)cos(βα-= ; (２）和角的正余弦：s ｉn(（ = ；ｃｏs ( = ; 3、牛刀小试(不查表求下列式子的值) (1）sin15; (２)cos 75； (3)sin 75 问题１:你能由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式吗? [] cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ +=--=-+-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- C αβ+ 问题2 ：你能由两角和与差的余弦公式推出两角和与差的正弦公式吗？ sin()cos ()cos ()22cos( )cos sin()sin 22sin cos cos sin ππαβαβαβππ αβαβ αβαβ ???? +=-+=-+???? ???? =-+-=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴+=+ S αβ+

[]sin()sin ()sin cos()cos sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴-=- S αβ- 二、知识应用 1．已知3cos 5α=-，(,)2παπ∈,求cos()4 π α-的值。 2. 已知sin α=＼f(2,3)，α∈(错误!,π)，cos β=－错误!，β∈(π，错误!)．求si ｎ(α－β），cos(α＋β），t ａn(α＋β）. ３．已知 4π<α<4π3，0＜β<4π，cos(4π+α)＝-53,s ｉn （4π3+β）=13 5，求si ｎ(α+β）的值．４．已知2π<α<β＜4π3，cos(α－β)=1312，si ｎ（α+β）＝-5 3,求sin2α的值.

两角和与差的余弦公式的六种推导方法

两角和与差的余弦公式的六种推导方法沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cos α＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，. 说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题. 方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法

两角和与差的正弦、余弦和正切公式word版本

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案自主梳理1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π 2，k∈Z) tan(α＋β)＝_____________________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________________. 其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中 ?? ? ??cos φ＝， sin φ＝， tan φ＝ b a，角φ称为辅助角（考试只要求特殊角）．【基础自测】 1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 () A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 2．已知cos???? α－ π 6＋sin α＝ 43 5，则sin? ? ? ? α＋ 7π 6的值是 () A．－ 23 5 B. 23 5C．－ 4 5 D. 4 5 3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是 () A. π 2B．πC．2πD．4π4．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 () A.???? π 3， π 2 B.? ? ? ? π 3，π C.???? π 3， 4π 3 D.? ? ? ? π 3， 3π 2 5．已知向量a r ＝(sin x，cos x)，向量b r ＝(1，3)，则|a r ＋b r |的最大值为() A．1 B. 3 C．3 D．9 【考点巩固】探究点1给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例收集于网络，如有侵权请联系管理员删除