第七章 假设检验
第七章 假设检验
一、教材说明
本章主要介绍统计假设检验的基本概念和基本思想、正态总体参数的统计假设的显著性检验方法.。
1、本章的教学目的与要求
（1）使学生了解假设检验的基本概念； （2）使学生了解假设检验的基本思想； （3）使学生掌握假设检验的基本步骤；
（4）使学生会计算检验的两类错误，搞清楚两类错误的关系；
（5）使学生掌握正态总体参数的假设检验，主要是检验统计量及其分布，检验拒绝域的确定；
（6）使学生灵活运用所学知识解决实际问题。 2、本章的重点与难点
本章的重点是正态总体参数的各种假设检验中的检验统计量及其分布，难点是假设检验拒绝域的确定。
二、教学内容
下面主要分3节来讲解本章的主要内容。
§7.1 假设检验的基本概念
对总体分布或分布中的某些参数作出假设，然后利用样本的观测值所提供的信息，运用数理统计的分析方法,检验这种假设是否成立，从而决定接受或拒绝“假设”,这一统计推断过程，称为假设检验。
1.引例
我们先举一个简单的实例来说明假设检验的基本思想及推理方法.
例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.且知标准差为0.015千克.当机器正常时, 其均值为0.5千克,某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克):
0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 分析：用μ和σ分别表示这一天袋装糖重总体X 的均值和标准差，则)015.0,(~2
μN X ,其中μ未知。
问题: 已知总体2
(,)X N μσ:,且00.015,σσ==根据样本值判断
0.5μ=还是
0.5μ≠。
提出两个对立假设00:0.5H μμ==（原假设或零假设）和 10:H μμ≠(备择假设).再利用已知样本作出判断是接受假设0H ( 拒绝假设1H ) , 还是拒绝假设0H (接受假设
1H ). 如果作出的判断是接受0H , 则0μμ=即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不
正常的.
因为X 是μ的无偏估计量，所以，若0H 为真，则0μ-x
~(0,1)N ，
衡量0μ-x
X 的大小。于是可以选定一个适当的正数k ,当观察
值x
X k ≥时，拒绝假设0H ;反之，当观察值x 满足
时k n
X <-/0
σμ，接受假设
0H 。因为当0H
为真时，~(0,1)X U N =
,由标准正态分布分位点的定义得:
/2,k u α=
/20/20,,, .u H u H αα≥<时拒绝时接受
假设检验过程如下: 在实例中,
(1)若取定 0.05, α=则/20.025 1.96,k u u α===我们有
(|| 1.96) 1.96)0.05.X P U P >=>=
又已知0 9, 0.015, n σ==由样本算得 0.511, x =
即有 2.2 1.96,
=>于是根据小概率事件实际不可能性原理,拒绝假设0H , 认为包装机工作不正常. (2)若取定 0.01, α=则/20.005 2.58,k u u α==
= 2.2 2.58, =<于是接
受假设0H , 认为包装机工作正常.
注:上述α称为显著性水平.此例表明假设检验的结论与选取的显著性水平α有密切的关系.所以,必须说明假设检验的结论是在怎样的显著水平α下作出的. 2.假设检验的基本思想及推理方法 1)假设检验基本思想
（1） 在假设检验中，提出要求检验的假设，称为原假设或零假设，记为0H ，原假设如
果不成立，就要接受另一个假设，这另一个假设称为备择假设或对立假设，记为1H 。
（2） 假设检验的依据——小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生。
（3） 假设检验的思路是概率性质的反证法。即首先假设成立，然后根据一次抽样所得的
样本值得信息，若导致小概率事件发生，则拒绝原假设，否则接受原假设。
（4） 假设检验可能犯的两类错误：
① 第一类错误（弃真错误）：即假设0H 为真而被拒绝，记为α，即
00{|}P H H α=拒绝为真。
② 第二类错误（存伪错误）：假设0H 不真而被接受，记为β，即
00{|}P H H β=接受不真。
③ 当样本容量n 一定时，,αβ不可能同时减少，在实际工作中总是控制α适当的小。 2)假设检验的程序
对任何实际问题进行假设检验，其程序一般为五步，即： ⑴根据题意提出零假设0H （或相应备选假设1H ）。
⑵构造样本统计量并确定其分布；
⑶给定显著性水平α，查表确定临界值，从而得出接受域和拒绝域； ⑷由样本观测值计算出统计量的值；
⑸作出判断：若统计量的值落入拒绝域则拒绝0H ，若统计量的值落入接受域则接受0H 。 3)假设检验的主要方法
U 检验法、t 检验法、2χ检验法、F 检验法。
例2 已知某产品使用寿命X 服从正态分布，要求平均使用寿命不低于1000小时，现从一批这种产品中随机抽出25只，测得平均使用寿命为950小时，样本方差为100小时。则可用（ ）
① t--检验法 ②2
χ--检验法 ③Z--检验法 ④F--检验法 解 选①
例3 假设检验时，只减少样本容量，犯两类错误的概率（ ） ①都增大 ②都减少
③不变 ④一个增大，一个减少 解 选①
例4 正态总体()n X X X N X ,,,,,~212
Λσμ为样本，,11
∑==n
i i X n X 假设检验
()为已知数02
2
0:σσσ≤H ，在显著性水平α下，则当()
20
1
2
2
σ
χ∑=-=
n
i i
x x （ ）时拒绝0H
①()22
1;n α
χ≥- ②()2121n αχ-≤-
③()21n αχ≤
- ④()21n αχ≥-
解 由于当0H 成立时,
*2
*2
2
2
(1)(1),n S n S σσ--≤
而
*2
22
(1)(1)n S n χσ--:,故
*2
*2
2
222
(1)(1)(
(1))(
(1))n S n S P n P n ααχχασ
σ
--≥-≤≥-=,于是选④
§7.2 单个正态总体的假设检验
⑴22
00X :N(μ,σ),σ已知，检验假设H ：μ=μ
U 检验法：
①001000H H μμμμμμμμ≠><：= （：或或）
②统计量0(0,1)()U N H -
=
:成立时。
③给出2
2
{}P U u u αααα>=，，查正表定.
④ 由样本值
12n x x x L L （，，，） 计算u 的值 ⑤ 判断：若/2||u u α>0，则拒绝H
（这是对双侧检验提出的U 检验法步骤，若是单侧可仿比）
（2）22
00X ～N(μ,σ),σ未知，检验假设H ：μ=μ
t 检验法：
①001000H H μμμμμμμμ≠><：= （：或或）
②0(1)()T t n H -
=
-:成立时。
③给出2
2
{(1)}(1).P T t n t n αααα>-=-，，查t 分布表定
④由样本值计算T 的值.
⑤判断：若00
2
2
(1),(1),t t n H H t n αα≥--则拒绝，否则接受（若是单侧可查t 表定 同样得出拒绝域）.
（3）222200(,),H X N μσσσσ:未知，检验假设：=
①2222
000H σσσ
σ≠1：=（H ：）
②*2
221
022
(1)(1)()i n S
n H χχσσ=-=
=
-∑
:n
-
2
i
（X -X ）成立时。
③给出22
22
12
2
{(1)}{(1)}2
P n P n ααα
αχχχχ-
<-=>-=，，查2χ分布表定2
2
(1)
n αχ-及2
12
(1).n α
χ
-
-
④由样本值计算2
χ的值 ⑥ 判断：若2
2
220012
2
(1)(1)n n H H ααχχχχ->
-<-或，则拒绝，反之则接受. （一）已知方差
例5 设某产品的某项质量指标服从正态分布，已知它的标准差150σ=，现从一批产品中随机地抽取26个，测得该项指标的平均值为1637。问能否认为这批产品的该项指标值为1600(0.05α=) ？
解 (1)提出原假设： H 0：μ=1600，H 1：μ≠1600； (2)
选取统计量X U -=
(3)对于给定的显著性水平0.05α= ，查标准正态分布表
0.0252
1.96u u α==
(4)计算统计量观察值
1.258x u =
=
≈
(5)结论 12
1.258 1.96u u
α
-
=<=接受原假设H 0
即不能否定这批产品该项指标为1600。 （二）未知方差，检验00μμ=：H
例6某厂生产乐器用合金弦线，其抗拉强度服从均值为10560（kg/2
cm ）的正态分布。现从一批产品中抽取10根测得其抗拉强度（单位：kg/2
cm ）为： 10512 10623 10668 10554 10776 10707 10557 10581 10666 10670
⑴对显著性水平α=0.05，问这批产品的抗拉强度有无显著变化？ ⑵对显著性水平α=0.01，结果如何？（已知
()()()()0.050.0250.010.0059 1.833,9 2.262,9 2.821,9 3.250t t t t ====）
解 ①假设检验10560,10560:10≠=μμ：对H H ②方差未知时，检验数学期望选用统计量
()*2
201
1~1()1n i i X T H T T n S
x x n ==
-=--∑在成立时，其中 ③对给定样本值，计算得()4.1063110670106231015210
1
11=+++=
=∑=Λn i i x n x ()2
22222
11159044*10512106701010631.419
9n i i s x nx n =??=-=++-?= ?-??∑L
所以，统计量的样本值0* 2.788x t μ-=
== ④当显著性水平α=0.05时，拒绝域为()0.0259 2.262T t ≥=，
02.788 2.262,0.05,t H α=>=这里落入拒绝域，所以在不应接受即认为抗拉强度
有显著变化。
当显著性水平α=0.01时，拒绝域为 0.005||(9) 3.250T t ≥=，即认为这批产品的抗拉强度无显著性变化。
例7已知某种元件的寿命服从正态分布，要求该元件的平均寿命不低于1000 小时，现从这批元件中随机抽取25 只，测得平均寿命 980X =小时 标准差65s =小时 试在显著水平0.05α= 下，确定这批元件是否合格
（附表0.900.950.975(24) 1.138,(24) 1.171,(24) 2.064t t t ===）
分析 元件是否合格，应通过寿命低于1000 小时来判断（1000≥小时都合格），这里对总体均值的单测检验， 2
σ未知，用 t -检验法
解 ①提出检验假设0010:1000,:1000H H μμμμ==<=
②选取统计量
*
X T μ-=
，当 0H 成立时~(1)T t n - ③由样本观测值，计算统计量所取的值。这里*
980,65x s == 得
9801000
1.53865t -=
=-
④对显著水平0.05α= 拒绝域（临界域）10.95(1)(24) 1.711t t n t α-≤--=-=- 因为0.95(24) 1.711t t >-=- ，未落入拒绝域，应接受0H ，否定1H ：即认为这批元
件合格。
(三)未知均值,检验2
020:σσ=H
例5 某工厂生产的铜丝折断力(单位:斤)服从正态分布(
)2
8
,μN ,某日随机抽取了10根进行
折断力检验,测得平均折断力为57.5斤,样本方差为68.16,在05.0=α下,检验2
208:=σH 对()()()
7.29,023.199,8:2
025.02975.0221==≠χχσH
解 用-2χ检验法,检验统计量为20
22
σχn nS =
对05.0,10==αn 拒绝域为:
()()023.19912
0975.02212==-≥-χχχαn 或
()()7.2912
0975.0222==-≤χχαn x
有样本观察值,计算得65.108
16
.68102
2
=?=
χ 因为()()()
()023.19,7.29,965.102
975.02025.02=∈=χχχ所以接受0H 。
例6 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005（欧姆）。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007（欧姆），设总体为正态分布，问在水平05.0=α下能认为这种导线的标准差显著地偏大吗？（()()5.178,507.1582
975.02
95.0==χχ）
分析 凡方差“大于”、“不低于”、“偏大”、“偏小”等问题，均属于方差的单侧检验问题，
其假设的提出有两种方式：有的书提出原假设2
020:σσ=H 和备择假设
()()()
2
2
20
2
0102022
21,:σ
σσσσσσσ≤≥或：原假设；有的书只提出是对立假设与或H H H H πφ（注意原假设含有等
号），本教材按前者讲述。 解 用2
χ--检验法
①检验假设22021220200005.0:005.0:===σσσσφH H H ，：
②选用统计量()()1~,1220
2
22
--=n H s n χχσχ
成立时，当。
③由样本观察值，计算统计量所取值为2
χ=2
2
005.0007.0*)19(-=15.68
④对a= 0.05，由已知)8(95
.02
χ
=15.507，拒绝域)8()1(995.02
122χχχ=-≥-n a =15.507。
这里68.152
=χ>15.507故拒绝0H ，接受1H ：即认为这批导线的标准差显著的偏大。
§7.3 两个正态总体的假设检验
（1）22
12012H σσμμ=，已知，检验假设：
U 检验法：
①01212H μμμμ=≠1：（H ：）
②0(0,1),()U N H --
=
:成立时。
③给出2
αα，查正态表定u
④由样本值
1212n n x x x y y L L L L （，，，），（y ，，，） 计算U 的值 ⑤作出判断：若002
u u H H α≥则拒绝，反之接受.
（2）2212012H σσσσμμ=22
12，未知，但=，检验假设：
t 检验法：
①0121121212H H μμμμμμμμ><：= （：=或或）
②120(2)()T t n n H --
=
+-:成立时。
③④⑤同前
（3）22
120112,(:)H H μμσσσσ≠2212，未知，检验假设：=
F 检验法：
①22
0112(:)H H σσσσ≠2212：=
②*2*2
12120/(1,1)()F S S F n n H =--:成立时
（一） 已知21σ及2
2σ，检验假设210:μμ=H
例1 由累积资料知道甲，乙两矿的含灰率服从X ～N （5.7,1μ），Y ～N （6.2,2μ）。现从两矿中各取几个试件，分析其含灰率为：
甲矿：24.3 20.8 23.7 21.3 17.4（%） 乙矿：18.2 16.9 20.2 16.7（%） 问：甲乙两矿所采煤的含灰率的数学期望1μ和2μ有无显著性水平差异？（显著性水平
a=0.10）.（64.1,28.195.090.0==Z Z ）
解 已知2
1σ及2
2σ，假设检验210:μμ=H ，用Z ～检验法。 ①提出零假设210:μμ=H ，对211:μμ≠H ②选取统计量2
22
1
21
21)
(n n y x Z σ
σ
μμ+
---=
，当0H 成立时，Z ～N （0.1）
③对显著性水平a=0.10，由64.195.0=Z =1.64，确定临界域64.12
1==-a Z Z
④计算统计量Z 的 观察值。18,5.21==Y X 于是
39.24
6
.255.7185.212
22
1
21
=+-=
+
-=
n n y
x Z σ
σ
由于Z =2.39> 1.64，故拒绝0H ，即可以认为1μ和2μ有显著性差异。 （二） 未知，但2
22
1σσ=，假设检验210:μμ=H
例2 某物品在处理前与处理后抽样分析含脂率（%）如下：
处理前x ：0.19 0.18 0.21 0.30 0.41 0.12 0.17
处理后y ：0.13 0.15 0.07 0.24 0.19 0.06 0.08 0.12
设含脂率分别服从正态分布N(2
11,σμ),N(2
22,σμ)，对显著性水平a=0.05，试问：处理前后的平均含脂率有无显著性差异？（145.2)14(,160.2)13(975.0975.0==t t ）
分析 首先需要F-检验法验证二总体方差是否有显著性差异，在无显著性差异（视为相等）的条件下，然后利用T-检验法在检验二总体均值是否有显著性差异。 解（1）利用F-检验法检验二总体方差有无显著性差异。
①检验假设2
22
112
22
10:,:σσσσ≠=H H
②选用统计量22
222
12
1σσS S F =，当0H :成立时，)1,1(~21--n n F F
③对给定显著性水平a=0.05，有F-分布表得临界值，
175.070
.51
)7,6(1)7,6(,12.5)7,6(2
2
2
1====-
a a a F F F
④计算统计量F 的样本观察值
∑∑====
==12
11
2
113.01,24.01n i n i i
i Y
n Y X n X
32
1
12
110*58.7)(111-==--=∑n i i X X n S 31
2222
10*9.3)(112-==--=∑n i i Y Y n S 故)12.5,175.0(93.122
2
1∈==S S F ，接受0H ，认为二总体方差无显著性差异。
（2）利用T-检验法检验二总体均值有无显著性差异。
①检验假设221210:,:μμμμ≠=H H ②选取统计量
)
2(~11)
()(21-++---=
n m t n
m S y x T w
μμ2
121212
2
221121)
2()1()1()
(n n n n n n S n S n Y X T +-+-+----=
μμ
0H 成立时，)2(~21-+n n T
③对给定显著性水平a=0.05，得拒绝域160.2)13(975.0=≥t T ④计算统计量T 的观测值
849.2967.6*269
.011
.08713*8*710*9.3*710*5.7*613
.024.0)2()()1(3
32121212
212211==++-=
+-++--=
---n n n n n n S n S n Y X t
由于160.2)13(849.2975.0=>=t t 。故拒绝0H ，接受1H 。即处理后含脂率有显著差异。
210例3 某一橡胶配方中，原用氧化锌5g ，现减为1g ，若分别用两种配方做一批实验，5g 配方测9个值，得橡胶伸长率的样本差是86.632
1=S ；1g 配方测3个值，橡胶伸长率的样本差是8.2362
2=S 。设橡胶伸长率遵从正态分布，问两种配方的伸长率的总体标准差有无显著差异？(a=0.10)(39.3)8,9(,23.3)9,8(95.095.0==F F )
分析 两种配方的伸长率的总体标准差有无显著差异，是通过样本值去判断2
221σσ=是否成立，是均值未知的两个总体方差是否相等的检验，5g 配方和1g 配方记为
),(~),,(~2
22211σμσμN Y N X
解 ①检验假设2221122210:,:σσσσ≠=H H
②选取统计量22
22212
1σσS S F =，当0H 成立时)1,1(~21222
1--=n n F S S F
③对显著性水平a=0.10由题设295.039
.31
)8,9(1)9,8(,23.3)9,8(95.005.095.0====F F F 。
故拒绝域为[][]+∞?,23.3295.0,0 ④计算统计量F 的样本观察值
2697.08
.23686.632221===S S F
由于F=0.2697)23.3,295.0(?，即F 落入拒绝域，应拒绝0H ，接受1H ，即在σ=0.10下认为两个总体的方差是不等的。
注：若将显著性水平改为a=0.02，此时
91.5)8,9()8,9(,47.5)9,8()9,8(99.02
199.02
1====-
-
F F
F F
a a
此时拒绝域
[]
[][][)+∞?=+∞???????=+∞???????=??????+∞???????-,47.5169.0,0,47.591.51,0,)8,9(1,0),9,8()9,8(,099.099
.0212F F F F a a
样本观察值F=0.2697未落入拒绝域，故接受0H ，即认为两种配方总体方差无显著差异，说明显著性水平越小，否定零假设越困难。
210例4 有甲乙两车床生产同一型号的滚珠，根据已有经验可以认为，这两台车床生产的滚珠都服从正态分布，问题是要比较台车床生产的滚珠的直径的方差。现在从这两台车床的产品中分别抽取8个和9个，经计算得甲X =15.01，乙X =14.99，2
甲S =0.0955，2
乙S =0.0261，对显著性水平a=0.05，试问：乙车床产品的方差是否比甲车床的小？
（90.4)7,8(,53.4)8,7(,73.3)7,8(,50.3)8,7(975.0975.095.095.0====f f f f ）
分析 由题意，是验证2
2乙甲σσ<是否成立，而单边检验所提假设含等号，故此题可假设为2
20:乙甲σσ≤H
解 利用F-检验法检验两总体方差比。
①检验假设220:乙甲σσ≤H ，221:乙甲σσ>H
②选取统计量22乙
甲
S
S F =
，第一自由度是7，第二自由度是8的F-分布
③由题知)8,7(95.0f =3.50，故拒绝域为[)+∞,50.3 ④统计量F 的样本观察值
694.30261
.00955
.022==
=
乙
甲S S F
由于f=3.659 >3.50，故应拒绝0H ，接受1H 。即乙车床产品的直径的方差比甲车床的小。
二、两个正态总体均值差的检验
设m x x x ,,,21Λ是来自总体X 服从),(2
11σμN 的样本，n y y y ,,,21Λ是来自总体Y 服从),(2
22σμN 的样本，且两样本相互独立，考虑如下的三种检验：
0:0:211210>-≤-μμμμH vs
H （１） 0:0
:211210<-≥-μμμμH vs
H （２） 0:0:211210≠-=-μμμμH vs
H （３）
主要分两种情况讨论。
1、12,σσ已知时的两样本的检验
此时21μμ-的估计y x -的分布完全已知，),(~22
2
121n
m
N y x σσμμ+
--，由此可
采用U 检验法，检验统计量为
n
m
y
x U 22
21
σ
σ
+
-=
在21μμ=时，)1,0(~22
21
N n
m
y
x U σ
σ
+
-=
。检验的拒绝域取决于备择假设的形式。上述三
对假设检验的拒绝域分布为：
};{1α-≥=U U U W
};{αU U U W <=
};{2
1α
-
≥=U
U U W
2、σσσ==21但未知时的两样本t —检验
在22
221σσσ==未知时，类似于单个正态总体方差未知时均值的检验，我们仍用2
σ
的无偏估计代替2σ，而此时可以证明2
σ的无偏估计为：
2)1()1(])()([212212
122-+-+-=
-+--+=∑∑==n m S n S m y y x x n m S y x n i i m i i w
于是有
)2(~11)
()(21-++---=
n m t n
m S y x T w
μμ
从而检验统计量为
n
m S y x T w
11+-=
在021=-μμ时，)2(~11-++-=
n m t n
m S y x T w
。上述三对假设检验的拒绝域分布为：
)}2(;{1-+≥=-n m t T T W α
)}2(;{-+≤=n m t T T W α
)}2(;{2
1-+≥=-
n m t
T T W α
例7.２.3 某厂铸造车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件，从两种铸件中各抽取一个容量分别为8和9的样本，测得其硬度（一种耐磨性指标）为：
镍合金 76.43 76.21 73.58 69.69 65.29 70.83 82.75 72.34
铜合金 73.66 64.27 69.34 71.37 69.77 68.12 67.27 68.07 62.61 根据专业经验，硬度服从正态分布，且方差保持不变，试在显著性水平=α0.05下判断镍合金的硬度是否有明显提高？ 解 略。
一、 正态总体方差的检验
设总体),(~2
σμN X ，n x x x ,,,21Λ是来自该总体的样本，对方差2
σ考虑如下的三
种检验：
2
0212
20::σσσσ>≤H vs H （１） 20212
20::σσσσ<≥H vs H （２） 20212
20::σσσσ≠=H vs
H （３）
1、均值μ未知时方差的检验
由于μ未知，∑=--=n i i
x x n S 1
2
2
)(11是2σ的无偏估计，且202σσ=有
)1(~)1(220
2
2
--=
n S n χσ
χ
对于显著性水平α，对应上述三种假设检验的拒绝域分布为：
)}1()1(;
{1220
2
2
-≥-=-n S n W αχσχ
)}1()1(;{220
2
2
-≤-=n S n W αχσ
χ
)1()1(;
{2
1220
2
2
-≥-=-
n S n W α
χ
σχ或
)}1()1(2
220
2
-≤-n S n αχσ
例7.2.4 某类钢板每块的重量X 服从正态分布，其一项质量指标是钢板重量的方差不得超过0.0162
kg 。现从某天生产的钢板中随机抽取25块，得其样本方差2S =0.0252
kg 。问该天生产的钢板重量的方差是否满足要求？=α0.05。 解 略。
2、均值μ已知时方差的检验
此时，检验统计量取为20
2
1
2
)
(σ
μχ∑=-=
n
i i
x
，且22
0σσ=时
)(~)
(22
02
1
2n x
n
i i
χσμχ∑=-=
故对均值μ已知时方差的三种检验，我们只需将均值μ未知时方差的三种检验中2
χ—分布的自由度变一下就可得到检验的拒绝域。
综上，关于单个正态总体方差的假设检验问题可汇总成如下的表：
四、两个正态总体方差比的检验
设m x x x ,,,21Λ是来自总体X 服从),(2
11σμN 的样本，n y y y ,,,21Λ是来自总体Y 服从),(2
22σμN 的样本，且两样本相互独立，考虑如下的三种检验：
2
2
2
112
2
2
10::σσσσ>≤H vs H （１） 2
2
2112
2
210::σσσσ<≥H vs H （２） 2
2
2112
2
210::σσσσ≠=H vs H （３） 此处21,μμ均未知，2
2
,y x S S 分别表示总体X 、Y 的样本方差，易知
212σ=x ES ，2
2
2σ=y ES 从而建立检验统计量
22
y
x
S S F =
当2
2
12σσ
=时，
)1,1(~22--=n m F S S F y
x
，此时，上述三个检验的拒绝域分别为：
)}1,1(;{1--≥=-n m F F F W α )}1,1(:{--≤=n m F F F W α
)1,1(:{2
1--≥=-
n m F
F F W α
或)}1,1(2
--≤n m F F α
例7.2.5 甲、乙两台机床加工零件，零件的直径服从正态分布，总体方差反映了加工的精度，为比较两台机床的加工精度有无区别，现从各自加工的零件中分别抽取7件产品和8件产品，测得直径为：
X （机床甲） 16.2 16.4 15.8 15.5 16.7 15.6 15.8
Y （机床乙） 15.9 16.0 16.4 16.1 16.5 15.8 15.7 15.0 取 =α0.05。
解 略。
综上，关于两个正态总体方差比的假设检验问题可汇总成如下的表：
第六章 假设检验
第五章 假设检验 一、填空题： 1．称12(,,,)n X X X 是总体X 的简单随机样本，则它满足（ ）. 2．2~(,)X N μσ，12,, ,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X ，2S 分别为样本均值与样~X （ ）. 3．给定一组样本观测值129,, x x x ，经计算得9145i i x ==∑， 9 21285i i x ==∑，则x =（ ）；2S =（ ）. 4．在假设检验中，把符合0H 的总体判为不符合0H 加以拒绝，这类错误称为（ ）错误；把不符合0H 的总体当作符合0H 而接受，这类错误称为（ ）错误；显著性水平α是用来控制犯第（ ）类错误的概率. 5．样本12,, ,n X X X 来自总体2(,12)N μ，检验0:100H μ=，采用统计量是（ ）. 二、选择题 1．12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，样本均值X 服从（ ）分布. A. 2(,)N μσ B. (0,1)N C. 2(,)N n n μσ D. 2 (,)N n σμ 2．假设检验和抽样估计的不同和联系：（甲）都是对总体某一数量特征的推断，都是运用概率估计来得到自己的结论；（乙）前者则需要事先对总体参数作出某种假设，然后根据已知的抽样分布规律确定可以接受的临界值；（丙）后者无须事先对总体数量特征作出假设.它是根据已知的抽样分布规律找出恰当的区间，给定总体参数落在这一区间的概率. （ ） A.甲 B.甲、丙 C.乙、丙 D.甲、乙、丙 3．假设检验——利用样本的实际资料来检验事先对总体某些数量特征所作的假设——如果两者的差异很小，则有理由认为这种差异：（甲）是由随机因素引起的（我们可以接受无差异的原假设）；（乙）是由随机因素引起，同时还存在条件变化的因素造成的（我们就不能接受无差异的原假设，而应拒绝它）.可以说，两者的差异愈小，则：（丙）原假设真实的可能性愈大；（丁）原假设真实的可能性愈小. （ ） A.甲、丙 B.甲、丁 C.乙、丙 D.乙、丁 4．统计假设检验拒绝原假设能证明原假设有逻辑上的错误或根本不存在？（甲）能；（乙）不能.而只说明原假设的出现：（丙）可能性很小；（丁）可能性很大. （ ） A.甲、丙 B.甲、丁 C.乙、丙 D.乙、丁
第七章 假设检验基础
第七章假设检验基础 一、选择题 （一）A1型 每一道题下面有A、B、C、D、E五个备选答案，请从中选择一个最佳答案。 1、下面有关假设检验的描述，错误的是（） A、检验假设又称无效假设，用H0表示 B、备择假设用符号H1表示 C、H1是从反证法角度提出的 D、H0、H1既相互联系有相互对立 E、H0、H1都是根据统计推断的目的而提出的对总体特征的假设 2、两样本均数比较，经t检验差别有统计学意义时，P值越小，越有理由认为（） A、样本均数与总体均数差别大 B、两样本均数差别越大 C、两总体均数差别越大 D、两样本均数不同 E、两总体均数不同 3、当样本例数相同时，计量资料的成组t检验与配对t检验相比，一般情况下为（） A、成组t检验效率高一些 B、配对t检验效率高一些 C、二者效率相等 D、大样本时二者效率一致 E、与两组样本均数的大小有关
4、在比较两个独立样本资料的总体均数时，进行t检验的前提条件是（） A、两总体均数不等 B、两总体均数相等 C、两总体方差不等 D、两总体方差相等 E、以上都不对 （二）A2型 该题以一个小案例出现，其下面都有A、B、C、D、E五个备选答案，请从中选择一个最佳答案。 1、某地成年男子红细胞数普查结果为:均数为480万/mm3，标准差为 41.0万/mm3，那么标准差反应的是（） A、抽样误差 B、总体均数不同 C、随机误差 D、个体误差 E、以上均不正确 2、测定某地100名正常男子的血红蛋白量，要估计该地正常男子血红蛋白均数，95%置信区间为（） A、μ±1.96X B、X±1.96 C、X±2.58S D、X±1.96S E、μ±2.58S 3、以往的经验：某高原地区健康成年男子的红细胞数不低于一般健康成年男子的红细胞数。某医师在高原地区随机抽取调查了100名健康成年男子的红细胞数，与一般健康成年男子的红细胞数进行t检验后，得到P=0.1785，故按照a=0.05的水准，结论是（） A、该地区健康成年男子的红细胞数高于一般
统计学第七章假设检验教学指导与习题解答
第七章 假设检验 Ⅰ．学习目的 假设检验包括参数检验与非参数检验，是一种最能体现统计推断思想和特点的方法。通过本章学习，要求：1.掌握统计检验的基本原理，理解该检验的规则及犯两类错误的性质；2.熟练掌握总体均值、总体成数及总体方差指标的各种检验方法，包括：z 检验、t 检验和p 值检验；3.掌握2 检验、符号检验、秩和检验及游程检验四种基本的非参数检验方法。 Ⅱ．课程内容要点 第一节 假设检验的基本原理 一、假设检验的基本原理 “小概率原理”：小概率事件在一次试验中几乎是不会发生的。 事先所做的假设，是假设检验中关键的一项工作。它包括原假设和备选假设两部分。原假设是建立在假定原来总体参数没有发生变化的基础之上的。备选假设是原假设的对立，是在否认原假设之后所要接受的，通常这是我们真正感兴趣的一个判断。 二、假设检验的规则与两类错误 1、假设检验的规则 假设检验的步骤： （1）首先根据实际应用问题确定合适的原假设0H 和备选假设1H ； （2）确定检验统计量，通过数理统计分析确定该统计量的抽样分布；
（3）给定检验的显著性水平α。在原假设成立的条件下，结合备选假设的定义，由检验统计量的抽样分布情况求出相应的临界值，该临界值为原假设的接受域与拒绝域的分界值； （4）从样本资料计算检验的样本统计量，并将其与临界值进行比较，判断是否接受或拒绝原假设。 从检验程序我们可以看出，统计量的取值范围可以分为接受域和拒绝域两个区域。拒绝域正是统计量取值的小概率区域。按照我们将这个拒绝域安排在所检验统计量的抽样分布的某一侧还是两端，可以将检验分为单侧检验或双侧检验。双侧检验中，又可以根据拒绝域，是在左侧还是在右侧而分为左侧检验和右侧检验。对于这些双侧、左、右单侧检验，我们要结合备选假设来考虑。 在检验规则中，我们经常碰到两种重要的检验方法：z检验与t检验。 p值检验的原理：给出原假设后，在假定原假设正确的情况下，参照备选假设，可以计算出检验统计量超过或者小于（还要依照分布的不同、单侧检验、双侧检验的差异而定）由样本所计算的检验统计量的数值的概率，这便是p值；而后将此概率值跟事先给出的显著性水平值α进行比较。如果该值小于α，否定原假设，取对应的备选假设。如果该值大于α，我们不就能否定原假设。 2、两类错误 H实际为真，但我们却依据样本信息，做出拒绝的错误结论当原假设 时，称为“弃真”错误；当原假设实际为假，而我们却错误接受时，称为“纳伪”错误。通常记显著性水平α为犯“弃真”错误的可能性大小，β为犯“纳伪”错误的可能性大小。由于两类错误是一对矛盾，在其他条件不变得情况下，减少犯“弃真”错误的可能性大小（α），势必增大犯“纳伪”错误的可能性大小（β），也就是说，β的大小和显著性水平α的大小成相反方向变化。 三、检验功效 -可以用来表明所做假设检验工作好坏的一个指标，我们称之为检1β
第六章假设检验习题及答案
假设检验习题及答案 填空题 1.原假设与备择假设是一个__________，也就是说在假设检验中原假设与备择假设只有一个成立，且必有一个成立。（完备事件组） 2.我们在检验某项研究成功与否时，一般以研究目标作为__________，如在研究新管理方法是否对销售业绩（周销售量）产生影响时，设原周销售量为A 元，欲对新管理方法效果进行检验，备择假设为__________。 （备择假设H1：μ>A） 单选题 从统计量出发，对总体某些特性的“假设”作出拒绝或接受的判断的过程称为( ) A.参数估计 B.统计推断 C.区间估计 D.假设检验 答案：d 2.假设检验的概率依据是( )。 A.小概率原理 B.最大似然原理 C.大数定理 D.中心极限定理 答案：a 多选题 1.统计推断包括以下几个方面的内容( )。 A.通过构造统计量，运用样本信息，实施对总体参数的估计 B.从统计量出发，对总体某些特性的“假设”作出拒绝或接受的判断 C.相关分析 D.时间序列分析 E.回归分析 答案：a, b 2.假设检验的基本思想是( )。 A.先对总体的参数或分布函数的表达式做出某种假设，然后找出一个在假设成立条件下出现可能性甚小的(条件)小概率事件。 B.如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了，这与小概率原理相违背，表明原来的假设有问题，应予以否定，即拒绝这个假设。 C.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现，就没有理由否定这个假设，表明试验或抽样结果支持这个假设，这时称假设也实验结果是相容的，或者说可以接受原来的假设。 D.如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了，则不能否认这个假设。 E.若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现，则否定这个假设。 答案：a, b, c 3.假设检验的具体步骤包括( )。 A.根据实际问题的要求，提出原假设及备择假设;
假设检验的基本步骤
假设检验的基本步骤
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
假设检验的基本步骤 (三)假设检验的基本步骤 统计推断 １.建立假设检验,确定检验水准 H０和H1假设都是对总体特征的检验假设，相互联系且对立。 Ｈ0总是假设样本差别来自抽样误差，无效／零假设 H1是来自非抽样误差，有单双侧之分，备择假设。 检验水准，a=0.0５ 检验水准的含义 ２．选定检验方法,计算检验统计量 选择和计算检验统计量要注意资料类型和实验设计类型及样本量的问题， 一般计量资料用t检验和u检验; 计数资料用χ2检验和ｕ检验。 3.确定Ｐ值,作出统计推理 P≤ａ，拒绝H0,接受H１ P＞a,按a=0.05水准,不拒绝H0，无统计学意义或显著性差异 假设检验结论有概率性，无论使拒绝或不拒绝Ｈ0,都有可能发生错误 (四）两均数的假设检验（各种假设检验方法的适用条件及假设的特点、计算公式、自由度确定以及确定概率P值并做出推断结论) ｕ检验适用条件 t检验适用条件 t检验和u检验 1.样本均数与总体均数比较 2.配对资料的比较/成组设计的两样本均数的比较 配对设计的情况：3点 3. 两个样本均数的比较 (1）两个大样本均数比较的u检验 （2)两个小样本均数比较的t检验 (五)假设检验的两类错误及注意事项(Ⅰ和Ⅱ类错误） 1.两类错误 拒绝正确的H０称Ⅰ型错误－弃真，用检验水准α表示,α＝０.０５,犯I型错误概率为0．05，理论上平均每1０0次抽样有5次发生此类错误； 接受错误的H0称Ⅱ型错误－存伪。用β表示，(１-β)为检验效能或把握度，意义为两总体有差异，按α水准检出差别的能力，1－β＝０.9,若两总体确有差别，理论上平均每１00次抽样有90次得出有差别的结论。 两者的关系:α愈大β愈小;反之α愈小β愈大。 2．假设检验中的注意事项 （1)随机化：代表性和均衡可比性 (2）选用适当的检验方法 (３）正确理解统计学意义 (4）结论不绝对 (5）单侧与双侧检验的选择 四.分类变量资料的统计描述
第七章 假设检验(基础教育)
第七章 假设检验 一、教材说明 本章主要介绍统计假设检验的基本概念和基本思想、正态总体参数的统计假设的显著性检验方法.。 1、本章的教学目的与要求 （1）使学生了解假设检验的基本概念； （2）使学生了解假设检验的基本思想； （3）使学生掌握假设检验的基本步骤； （4）使学生会计算检验的两类错误，搞清楚两类错误的关系； （5）使学生掌握正态总体参数的假设检验，主要是检验统计量及其分布，检验拒绝域的确定； （6）使学生灵活运用所学知识解决实际问题。 2、本章的重点与难点 本章的重点是正态总体参数的各种假设检验中的检验统计量及其分布，难点是假设检验拒绝域的确定。 二、教学内容 下面主要分3节来讲解本章的主要内容。 §7.1 假设检验的基本概念 对总体分布或分布中的某些参数作出假设，然后利用样本的观测值所提供的信息，运用数理统计的分析方法,检验这种假设是否成立，从而决定接受或拒绝“假设”,这一统计推断过程，称为假设检验。 1.引例 我们先举一个简单的实例来说明假设检验的基本思想及推理方法. 例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.且知标准差为0.015千克.当机器正常时, 其均值为0.5千克,某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 分析：用μ和σ分别表示这一天袋装糖重总体X 的均值和标准差，则)015.0,(~2 μN X ,其中μ未知。 问题: 已知总体2(,)X N μσ,且00.015,σσ==根据样本值判断0.5μ=还是 0.5μ≠。 提出两个对立假设00:0.5H μμ==（原假设或零假设）和 10:H μμ≠(备择假设).再利用已知样本作出判断是接受假设0H ( 拒绝假设1H ) , 还是拒绝假设0H (接受假设
第六章 假设检验
第六章 假设检验 一.思考题 1.备择假设通常是研究者( A ) A.想搜集证据予以支持的假设 B.想搜集证据予以反对的假设 C.想要支持的一个正确假设 D.想要反对的一个正确假设 2.在假设检验中”=”总是放在( A ) A.原假设上 B.可以放在原假设上,也可以放在备择假设上 C.备择假设上 D.有时放在原假设上,有时放在备择假设上 3.支出下列假设检验哪一个属于右侧检验(C ) A.H 0:μ<600;H 1:μ≥600 B: H 0:μ=600; H 1:μ≠600 C: H 0:μ≤600; H 1:μ>600 D: H 0:μ≥600; H 1:μ<600 4.一项研究表明,中学生吸烟的比例超过30%,为检验这一方法是否属实,我们建立的原假设和备择假设应为(D ) A. H 0:π=30%; H 1: π≠30% B. H 0:π≠30%; H 1: π=30% C. H 0:π≥30%; H 1: π<30% D. H 0:π≤30%; H 1: π>30% 5.随即取一个n=100的样本，计算得到?x=60，s=15，要检验假设：H 0:μ=65；H 1:μ≠65，则检验统计量的值为（ A ） A ．-3.33 B.3.33 C.-2.36 D.2.36 6.在小样本，正态总体方差未知的情况下，检验总体均值所使用的统计量是（C ） A. z=?x -μ0/ (σ/√n) B. z= ?x -μ0/ (σ2/√n) C. t=?x -μ0/(s/√n) D. t=?x -μ0/(s/√n) 7.从正态总体中随机抽取一个n=25的随机样本，计算得到?x=17，s 2=8，假定σ20=10，要检验H 0: σ2=σ20，则检验统计量的值为（A ） A.x 2 =19.2 B. x 2 =18.7 C. x 2 =30.38 D. x 2 =39.6 8.若检验的假设H 0:μ≤μ0；H 1:μ>μ0，则拒绝域为（A ） A. z>z a B .Z <- z a C. z> z a 或z<-z a /2 D. z> z a 或z<- z a 9.在假设检验中，如果计算出来的P 值越小，则说明（ A ） A.不利于原假设的证据越强 B.不利于原假设的证据越弱 C.不利于备择假设的证据越强 D.不利于备择假设的证据越弱 10.环保部门想检验餐馆一天所有的快餐盒平均是否超过600个，建立的原假设和备择假设应为（ C ） A. H 0: μ<600;H 1:μ≥600 B: H 0:μ=600; H 1:μ≠600
6.1 假设检验的概念与原理
第六章 假设检验基础 一、假设检验的概念与原理
概述 n假设检验（hypothesis testing） 对总体的某种规律提出一个假设，通过样本数据推 断，决定是否拒绝这一假设，这样的统计活动，称为 假设检验。
假设检验的思维逻辑 例1 某市抽取400名小学生进行视力干预方法研究，干预组和对 照组各200人。研究前首先作基线调查，发现干预组屈光度的均 数为-0.34D，标准差为0.12D；对照组屈光度的均数为-0.57D， 标准差为0.36D。试问在基线时，干预组和对照组屈光度的总体 均数有无差别？
样本均数分别为-0.34D和 -0.57D ，总体均数不等？ 造成这种差别的原因可能有两种： (1)两总体均数相等 -- 样本均数不同，乃抽样误差 (2)两总体均数不相等 -- 样本均数不同，并非抽样误差 需进行假设检验!
1. 建立检验假设，确定检验水准： n 零假设（null hypothesis ），又称原假设，记为H 0 ； 干预组小学生和对照组小学生屈光度的总体均数相等 H 0 ： n 对立假设 (alternative hypothesis), 又称备择假设,记为H 1 ； 干预组小学生和对照组小学生屈光度的总体均数不等 H 1 ： （ ， ） 2 1 m m = 2 1 m m 1 2 1 m m > 2 1 m m < 05 0. = a 假设检验的基本步骤
2. 选择并计算检验统计量 选择适宜的统计量 利用样本数据计算统计量的数值 12 2222 12 0.34(0.57) 8.57 0.120.36 200200 X X Z S S n n - --- === + + 12 22 12 12 X X Z S S n n - = + 假设检验的基本步骤 分子：样本均数之差 分母：样本均数之差的标准差 Z ：样本均数的差别（以其标准差为单位）
第七章假设检验
第七 章 假设检验 一、教材说明 本章主要介绍统计假设检验的基本概念和基本思想、正态总体参数的统计假设的显著性检验方法.。 1、本章的教学目的与要求 （1）使学生了解假设检验的基本概念； （2）使学生了解假设检验的基本思想； （3）使学生掌握假设检验的基本步骤； （4）使学生会计算检验的两类错误，搞清楚两类错误的关系； （5）使学生掌握正态总体参数的假设检验，主要是检验统计量及其分布，检验拒绝域的 ? ),问题: 已知总体2 (,)X N μσ:,且00.015,σσ==根据样本值判断0.5μ=还是 0.5μ≠。 提出两个对立假设00:0.5H μμ==（原假设或零假设）和 10:H μμ≠(备择假设).再利用已知样本作出判断是接受假设0H ( 拒绝假设1H ) , 还是拒绝假设0H (接受假设 1H ). 如果作出的判断是接受0H , 则0μμ=即认为机器工作是正常的, 否则, 认为是不
正常的. 因为X 是μ的无偏估计量，所以，若0H 为真，则0μ-x ~(0,1)N ， 衡量0μ-x X 的大小。于是可以选定一个适当的正数k ,当观察 值x X k ≥时，拒绝假设0H ;反之，当观察值x 满足 时k n X <-/0 σμ，接受假设 X 注:上述α称为显著性水平.此例表明假设检验的结论与选取的显著性水平α有密切的关系.所以,必须说明假设检验的结论是在怎样的显著水平α下作出的. 2.假设检验的基本思想及推理方法 1)假设检验基本思想 （1） 在假设检验中，提出要求检验的假设，称为原假设或零假设，记为0H ，原假设如 果不成立，就要接受另一个假设，这另一个假设称为备择假设或对立假设，记为1H 。 （2） 假设检验的依据——小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上不会发生。 （3） 假设检验的思路是概率性质的反证法。即首先假设成立，然后根据一次抽样所得的