多米诺骨牌与数学归纳法原理

曾建强

数学实验，是数学课堂教学的一种值得推祟的方法。教材上可见的实验，椭圆的钉线画法，过去有球冠体积大小的实验，不过这些都属于与几何形象有直接关系的问题，通过实验可直接得到结论。抽象的数学原理，也能用数学实验来能印证吗或者通过实验来加深对数学原理的理解吗

很多人都推过多米诺骨牌，没推也看过，这一游戏的功能就是逗人寻乐不它还可挖掘为数学教学所用么

多米诺骨牌游戏，先首要用力推第一块骨牌，在任何两块骨牌之间有恰当的距离时，第一块倒下，就会使第二块倒下，第二块倒下就会导致第三块倒下......，已致很多很多都会倒下！又，我们在骨牌间抽出几块，使有两块之间存在一个较大的缺口，推倒了第一块骨牌，后面的骨牌就不会都倒下了。如果第一块骨牌我们不推不使它倒下，后面的骨牌也就不会倒下的。

类比一下数学归纳法原理，第一块骨牌倒下，就相当于归纳原理中n取初始值

时验证命题成立。任何两块骨牌之间有恰当的距离时，即满足了原理中的递推关系，也就是说，在假设n=k成立时，存在了n=k+1时的命题成立。第一块倒下，就会使第二块倒下，第二块倒下就会导致第三块倒下......，即有了初值成立和递推的关系，就会导致对初值后的所有自然数n的命题都会成立。多米诺骨牌游戏正好形象地说明了抽象的数学归纳法原理。

这个实验，还说明了数学归纳法的两个不可缺的条件。如果第一块骨牌我们不推不使它倒下，后面的骨牌也就不会倒下的，说明不验证初值的成立，即便是具有了递推的条件也不能说明命题会成立（即后面的骨牌也就不会倒下）。有两块之间存在一个较大的缺口，推倒了第一块骨牌，后面的骨牌就不会都倒下了，同样说明了如果不存在递推的关系，就不能得到对初值后的所有自然数n命题都会成立的结论。可见，在假设n=k成立时，证明n=k+1时的命题成立是数学归纳法证明中多么关键的一步。

利用多米诺骨牌游戏这一实验来说明、理解数学归纳法原理，是多么的形象生动。如果这节课我们是这样来引入讲授的话，学生不但会感到兴趣昂然，能完整正确地理解原理，而且无论他们以后是做什么工作，终生都不会忘记数学归纳法原理，会觉得数学是多么的神奇美妙！

老师们，让我们多思考，多做些实验，化抽象的数学为形象的问题，培养学生的想象能力和创新能力吧！

《数学归纳法及其应用举例》教案

《数学归纳法及其应用举例》教案中卫市第一中学俞清华教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。教学重点：了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。教学难点：数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。教学过程：一．创设情境，回顾引入师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？生：因为有姓“万”的。师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。）师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？生：有。例如等差数列通项公式的推导。师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。师：对。（投影展示有关定义）像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？生：（齐答）可靠。师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？

多米诺骨牌游戏规则

多米诺骨牌游戏规则多米诺骨牌游戏规则非常简单，将骨牌按一定间距的尺寸排成单行，或分行排成一片。推倒第一张骨牌，其余发生连锁反应依次倒下，或形成一条长龙，或形成一幅图案，骨牌撞击之声，清脆悦耳;骨牌倒下之时，变化万千。最原始的多米诺玩法仅仅是单线，比赛谁推倒得更多、更远。随后多米诺骨牌从单线向平面发展，人们开始利用多米诺骨牌组成一些文字和图案。多米诺骨牌进一步向着立体层次发展，并且应用高科技成果，配以声、光、电的效果，使多米诺骨牌动力的传递具有了多种形式，同时，它的艺术性也增强了。

多米诺骨牌游戏码放一个关键步骤是码放。尽管有一些工具一下可码放十几枚骨牌，但很多地方的骨牌还是需要一枚一枚地操作，有时甚至需要用镊子等工具。多米诺骨牌在摆放的过程中是非常辛苦的，一张张小小的骨牌要准确无误的摆放，需要极好的耐心和耐力。参与者基本上都采用"跪姿"操作以降低身体的重心，这其间只要有一张牌摆放的不到位就可能产生"不倒牌"而影响全局。真可谓:一招棋错，满盘皆输。当图案摆放好了以后，经常会因为失误或外来因素的干扰出现大面积"倒牌"现象。每到此时，参与者抚摸着红肿的膝盖，心里都到了崩溃的边缘，勇敢者只能擦干眼泪再次默默的"跪下"。团结、协作的团队精神在这项活动中将体现的淋漓尽致。每个人都有不同的生活习惯，但在此时他们不仅需要步调一致，还须"色调"一致，骨牌准确的摆放不只是对自己负责，更是对别人的负责，对全局的负责。经过了反复试验，历经了多次"倒牌"，多米诺骨牌终于完成了第一项:摆多米诺骨牌游戏选场

多米诺的场地选择遵循一定的原则:大型多米诺活动或赛事使用专业的室内运动场地;发布会等公关活动使用专业场地或专业辅助器材、设施或骨架;小型团队活动/培训在专业人员的指导下进行场地选择。多米诺运动的开展受场地因素的一些制约，但不会因为场地的限制而无法完成码放，举一个例子:我们的家里大都铺有地板砖，砖与砖之间有一道接缝，那么对于厚度5毫米以下的骨牌来说，这个接缝无形中就会对骨牌的码放造成一些困难，这种情况下我们就不能码放了吗肯定是可以的，我们只需要变换一下骨牌就可以，骨牌的厚度大于接缝宽度就能够顺利码放了。那么什么样的场地条件是最适合码放骨牌的呢比如铺有地板的室内篮球馆、羽毛球馆、网球馆、室内健身操房等，这样的场馆都铺有无缝木地板，而且平整度非常好，非常适合骨牌的码放。有一些会议室、礼堂有很大的活动场地，而且地面平整，铺有小接缝或无接缝地板砖或大理石地面，这样的场地也可以开展多米诺活动。多米诺的活动场地大都为室内，当然在室外也是可以开展的，在风和日丽的天气里大骨牌在室外就有了它一显身手的地方，特大骨牌即使在草坪上也是可以码放的;小骨牌在室外也有可用的时候，在无风的天气里，如果地面允许当然也是可以一显身手的。在一些特殊的场合，比如发布会、启动仪式，其地面都铺有地毯，难道这样的条件无法实现多米诺社会在发展，多米诺也在发展，在特殊的场合多米诺骨牌的码放就会使用特殊的道具，使其在地毯上也可以发挥自如。既然地毯上可以码放任何大小的骨牌，那么在家里也可以码放任意大小的骨牌，比如我们第一段所讲到的例子，家里地板的缝隙太大，手里只有5毫米厚度的骨牌，我们该怎么办呢，我们可以用门窗密封胶带把缝隙粘起来，那么小骨牌就可以码放了。

各种数学归纳法

1.5 归纳法原理与反归纳法数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n =1正确；若假设此命题对n －1正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n =1正确，因而命题对n =2也正确，然后命题对n =3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明．定理1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n =1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n 的正确性就能推出命题Ｔ对n +1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法）证明设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M ∈1．设M n ∈，则命题Ｔ对n 正确，这时命题对n n '=+1也正确，即 (2) M n ∈' 所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立．下面我们给出一个应用数学归纳法的命题．例１求证 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 证明 (1)当n =1时，有 16 ) 112()11(112 =+?++?= 所以n =1，公式正确． (2)假设当k =n 时，公式正确，即 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 那么当k =n ＋１时，有 =+++++=+++++2 2222222)1()21()1(21n n n n =++++2 ) 1(6 ) 12)(1(n n n n =++++6 ) 1(6)12)(1(2 n n n n =++++6 )] 1(6)12()[1(n n n n =+++6 ) 672)(1(2 n n n =+++6) 32)(2)(1(n n n =+++++6 ) 1)1(2)(1)1)((1(n n n 所以公式对n +1也正确．

多米诺骨牌的教学计划书

多米诺骨牌的教学计划书一、活动背景据中国《正字通》记载，宋宣宗二年（公元1120年），民间出现了一种名叫“骨牌”的游戏。这种骨牌游戏在宋高宗时传入宫中，随后迅速在全国盛行。当时的骨牌多由牙骨制成，所以骨牌又有“牙牌”之称，民间则称之为“牌九”。 1849年8月16日，一位意大利传教士把这种骨牌带回了米兰。作为最珍贵的礼物，他把骨牌送给了他最美丽的女儿小多米诺。但传教士怎么也想不到，正是这副骨牌，使他的名字——多米诺，成为一种世界性体育运动的代称。不久，小多米诺就喜欢上了这副骨牌，因为她发现了骨牌的新玩法，她按点数的大小以相接的方式把骨牌连接起来。在玩骨牌游戏的时候，小多米诺发现它可以很好地锻炼人的意志和耐力。小多米诺的男友阿伦德是个性情浮躁的人，小多米诺就让他把28张牌一张一张地竖起来。如果阿伦德不能在限定时间把28 张牌码完，或者码完的牌倒下了，小多米诺就限制他一周不许参加舞会。经过七七四十九天的磨练，阿伦德的性格变得刚毅坚强，做事也变得稳健沉着。传教士多米诺为了让更多的人玩上高雅的骨牌游戏，制作了大量的木制骨牌。不久，木制骨牌就迅速地在意大利及整个欧洲传播，骨牌游戏成了欧洲人的一项高雅运动。后来，人们为了感谢多米诺给他们带来这么好的一项运动，就把这种骨牌游戏命名为“多米诺”。到19世纪，多米诺已经成为世界性的运动。在非奥运项目中，它是知名度最高、参加人数最多、扩展地域最广的体育运动。从那以后，“多米诺”成为一种国际性术语。不论是在政治、军事还是商业领域中，只要产生一倒百倒的连锁反应，人们就把它们称为“多米诺效应”或“多米诺现象”。最原始的多米诺玩法仅仅是单线，比赛谁推倒得更多、更远。随后多米诺骨牌从单线向平面发展，人们开始利用多米诺骨牌组成一些文字和图案。现在多米诺骨牌进一步向着立体层次发展，并且应用高科技成果，配以声、光、电的效果，使多米诺骨牌动力的传递具有了多种形式，同时，它的艺术性也增强了。多米诺骨牌在摆放的过程中是非常辛苦的，一张张小小的骨牌要准确无误的摆放，需要极好的耐心和耐力。参与者基本上都采用“跪姿”操作

数学：2.3《数学归纳法》教案(新人教A版选修2-2) (2)

数学：2.3《数学归纳法》教案（新人教A 版选修2-2）第一课时 2.3 数学归纳法（一）教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程：一、复习准备： 1. 问题1：在数列{}n a 中，*111,,()1n n n a a a n N a +== ∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式. （过程：212a =，313a =，41 4 a =，由此得到：*1,n a n N n =∈） 2. 问题2：2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？过程：(0)f =41，(1)f =43，(2)f =47，(3)f =53，(4)f =61，(5)f =71，(6)f =83， (7)f =97，(8)f =113，(9)f =131，(10)f =151，… (39)f =1 601．但是(40)f =1 681=412是合数 3. 问题3：多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 二、讲授新课： 1. 教学数学归纳法概念： ① 给出定义：归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般. 不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫不完全归纳法. 完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳

《多米诺骨牌》教案

《多米诺骨牌》教案尤永胜一、多米诺骨牌简介二、多米诺活动目标三、多米诺骨牌参考图案四、活动场地与器材五、多米诺骨牌活动组织程序一、多米诺骨牌简介㈠介绍。多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。多米诺是一种游戏，多米诺是一种运动，多米诺还是一种文化。它的尺寸、重量标准依据多米诺运动规则制成，适用于专业比赛。它的游戏规则非常简单，将骨牌按一定间距排成单行，或分行排成一片。推倒第一张骨牌，其余的发生连锁反应依次倒下，或形成一条长龙，或形成一幅图案，骨牌撞击之声，清脆悦耳；骨牌倒下之时，变化万千。除了可码放单线、多线、文字等各式各样的多米诺造型外，还可充做积木，搭房子，盖牌楼、制成各种各样的拼图。多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。漫长的发展过程，赋予它独特的教育功能。码牌时，骨牌会因意外一次次倒下，参与者时刻面临和经受着失败的打击。遇到挫折不气馁，不退缩，要树立信心，鼓起勇气，重新再来。人只有经过无数这样的经历，才会变得成熟，最终走向成功。

多米诺骨牌是一项能培养人的创造能力、增强自信心、品位高雅的娱乐活动，而且不受时间、地点的限制，对开发参与者的智力、创造力和想象力，对训练参与者动手能力、思维能力都非常有好处，更重要的是，它能够培养参与者的意志，最大限度地发扬团队精神。㈡多米诺骨牌的历史 1.多米诺骨牌实际上是中国古代的“牌九”。据记载，18世纪流传到意大利后，人们利用牌九上面的点数来做一些拼图游戏，后来一个意大利人好奇地把骨牌竖起来，逐渐发展成了原始的“多米诺”。宋宣宗二年（公元1120年），民间出现了一种名叫“骨牌”的游戏。这种骨牌游戏在宋高宗时传入宫中，随后迅速在全国盛行。当时的骨牌多由牙骨制成，所以骨牌又有“牙牌”之称，民间则称之为“牌九”。 1849年8月16日，意大利传教士多米诺从中国回到阔别8年的米兰。他拿出一件又一件的礼物给家人，但他的女儿小多米诺只喜欢一套28张的骨制产品--牌九。她男友阿伦德是个性情浮躁的人，小多米诺就让他把28张牌一张一张竖起来，不许倒下，还规定时间完成---如果不成功就限制他一周不许参加舞会！经过七七四十九天的磨练，阿伦德终于变的性格坚强，做事稳重，让米兰人大吃一惊。于是，传教士多米诺为了让更多的人玩上骨牌，制作了大量的木制骨牌，并发明了各种的玩法。不久，木制骨牌就迅速地在意大利及整个欧洲传播，骨牌游戏成了欧洲人的一项高雅运动。后来，人们为了感谢多米诺给他们带来这么好的一项运动，就把这种骨牌游戏命名为“多米诺”。到19世纪，多米诺已经成为世界性的运动。在非奥运项目中，它是知名度最高、参加人数最多、扩展地域最广的体育 2.多米诺骨牌的玩法最原始的多米诺玩法仅仅是单线，比赛谁推倒得更多、更远。随后多米诺骨牌从单线向平面发展，人们开始利用多米诺骨牌组成一些文字和图案。现在多米诺骨牌进一步向着立体层次发展，并且应用高科技成果，配以声、光、电的效果，使多米诺骨牌动力的传递具有了多种形式，同时，它的艺术性也增强了。多米诺骨牌在摆放的过程中是非常辛苦的，一张张小小的骨牌要准确无误的摆放，需要极好的耐心和耐力。参与者基本上都采用“跪姿”操作以降低身体的重心，这其间只要有一张牌摆放的不到位就可能产生“不倒牌”而影响全局。真可谓：一招棋错，满盘皆输。当图案摆放好了以后，

1.5 归纳法原理与反归纳法

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 1.5 归纳法原理与反归纳法 1.5 归纳法原理与反归纳法数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对 n=1 正确；若假设此命题对 n－1 正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对 n=1 正确，因而命题对 n=2 也正确，然后命题对 n=3 也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明．定理 1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对 n=1 是正确的，而且假定如果命题Ｔ对 n 的正确性就能推出命题Ｔ对 n+1 也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法）证明设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 M1．设Mn ，则命题Ｔ对 n 正确，这时命题对(2) Mn 所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立．下面我们给出一个应用数学归纳法的命题．例１求证(1) nn=+1也正确，即6) 证明 (1)当 n=1 时，有 16) 112 () 11 (112=+++= 所以 n=1，公式正确． (2)假设当 k=n 时，公式正确，即那么当 k=n＋１时，有 1 / 9

数学归纳法典型例习题

欢迎阅读数学归纳法典型例题一. 教学内容：高三复习专题：数学归纳法二. 教学目的掌握数学归纳法的原理及应用三. 教学重点、难点四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。

? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。，右边，左边时等式成立，即有，则当时，由①，②可知，对一切等式都成立。的取值是否有关，由到时（2 到本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。（3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。

数学归纳法及其应用举例1

数学归纳法及其应用举例【本章学习目标】人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。本章重点内容是：（1）数学归纳法及其应用。（2）研究性课题：杨辉三角。（3）数列的极限。（4）函数的极限。（5）极限的四则运算。（6）函数的连续性。本章难点内容是：（1）数学归纳法的原理及其应用。（2）极限的概念。【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。【教材内容全解】 1．归纳法

前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。（1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。（2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式成立，就是。那么，。这就是说，如果n=k 时等式成立，那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。在证明传递性时，应注意：（1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。（2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。

数学归纳法的应用

数学归纳法的应用姓名甘国优指导教师赵慧炜中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力．关键词：数学归纳法；步骤;证明方法． Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application ． Key words ：Mathematical induction; Steps ; Proof. 引言演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，他有着其他方法所不能代替的作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件：①当1n =时，这个命题为正确的（奠基），②当n k =时，这个命题也为正确的．推出当+1n k =时，这个命题也为正确的（递推）．通过“递推”链接，实现从特殊到一般的转化，抽象的进行数学归纳.首先

数学归纳法证明及其使用技巧

步骤第一数学归纳法一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤: (1)证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况; (2)假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。第二数学归纳法对于某个与自然数有关的命题P(n), (1)验证n=n0,n=n1时P(n)成立; (2)假设n≤k时命题成立,并在此基础上,推出n=k+1命题也成立。综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。倒推归纳法又名反向归纳法 (1)验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立(无穷多个自然数可以就是一个无穷数列中的数,如对于算术几何不等式的证明,可以就是2^k,k≥1); (2)假设P(k+1)(k≥n0)成立,并在此基础上,推出P(k)成立, 综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立; 螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题P(n),Q(n), (1)验证n=n0时P(n)成立; (2)假设P(k)(k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假设 Q(k)成立,能推出 P(k+1) 成立; 综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),P(n),Q(n)都成立。应用 1确定一个表达式在所有自然数范围内就是成立的或者用于确定一个其她的形式在一个无穷序列就是成立的。 2数理逻辑与计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式就是等价表达式。

3证明数列前n项与与通项公式的成立。 4证明与自然数有关的不等式。变体在应用,数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。从0以外的数字开始如果我们想证明的命题并不就是针对全部自然数,而只就是针对所有大于等于某个数字b的自然数,那么证明的步骤需要做如下修改: 第一步,证明当n=b时命题成立。第二步,证明如果n=m(m≥b)成立,那么可以推导出n=m+1也成立。用这个方法可以证明诸如“当n≥3时,n^2>2n”这一类命题。针对偶数或奇数如果我们想证明的命题并不就是针对全部自然数,而只就是针对所有奇数或偶数,那么证明的步骤需要做如下修改: 奇数方面: 第一步,证明当n=1时命题成立。第二步,证明如果n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立。偶数方面: 第一步,证明当n=0或2时命题成立。第二步,证明如果n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立。递降归纳法数学归纳法并不就是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,、、、,m”这样的命题,如果对一般的n比较复杂,而n=m 比较容易验证,并且我们可以实现从k到k-1的递推,k=1,、、、,m的话,我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,、、、,m,原命题均成立。如果命题P(n)在n=1,2,3,、、、、、、,t时成立,并且对于任意自然数k,由 P(k),P(k+1),P(k+2),、、、、、、,P(k+t-1)成立,其中t就是一个常量,那么P(n)对于一切自然数都成立、跳跃归纳法

数学归纳法原理：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】

数学归纳法原理(六种)：【第二归纳法】【跳跃归纳法】【反向归纳法】一行骨牌，如果都充分地靠近在一起（即留有适当间隔），那么只要推倒第一个，这一行骨牌都会倒塌；竖立的梯子，已知第一级属于可到达的范围，并且任何一级都能到达次一级，那么我们就可以确信能到达梯子的任何一级；一串鞭炮一经点燃，就会炸个不停，直到炸完为止；……，日常生活中这样的事例还多着呢！数学归纳法原理设P(n)是与自然数n有关的命题．若 (I)命题P(1)成立； (Ⅱ)对所有的自然数k，若P(k)成立，推得P(k+1)也成立. 由（I）、(Ⅱ)可知命题P(n)对一切自然数n成立．我们将在“最小数原理”一章中介绍它的证明，运用数学归纳法原理证题的方法，是中学数学中的一个重要的方法，它是一种递推的方法，它与归纳法有着本质的不同．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，用归纳法可以帮助我们从具体事例中发现一般规律，但是，仅根据一系列有限的特殊事例得出的一般结论的真假性还不能肯定，这就需要采用数学归纳法证明它的正确性．一个与自然数n有关的命题P(n)，常常可以用数学归纳法予以证明，证明的步骤为：(I)验证当n取第1个值no时，命题P(no)成立，这一步称为初始验证步． (Ⅱ)假设当n=k(k∈N，后≥no)时命题P(k)成立，由此推得命题P(k+1)成立．这一步称为归纳论证步． (Ⅲ)下结论，根据(I)、(Ⅱ)或由数学归纳法原理断定，对任何自然数(n≥no)命题 P(n)成立．这一步称为归纳断言步，为了运用好数学归纳法原理，下面从有关注意事项与技巧及运用递推思想解题等几个方面作点介绍．运用数学归纳法证题时应注意的事项与技巧三个步骤缺一不可第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第三步是递推的过程与结论．三步缺一不可．数学归纳法的其他几种形式还有：第二数学归纳法；跳跃数学归纳法；倒推数学归纳法（反向归纳法）；分段数学归纳法二元有限数学归纳法；双向数学归纳法；跷跷板数学归纳法；同步数学归纳法等。 1.5归纳法原理与反归纳法数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n=1正确；若假设此命题对n－1正确，就能推出命题对n也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n=1正确，因而命题对n=2也正确，然后命题对n=3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而

多米诺骨牌搭建教案

多米诺骨牌搭建教案张发活动内容：用骨牌摆汉字或图案。知识目标： 1．让学生了解多米诺的历史以及多米诺图案的设计方法； 2．掌握多米诺的基本码放方法和图案码放方法。能力目标： 1．通过多米诺活动培养学生的毅力与创造力； 2．增强学生的自信心与受挫能力。情感目标： 1．提高竞争意识和团体合作精神； 2．提高艺术修养和对科学的兴趣；活动重点：掌握多米诺的基本码放方法和图案码放方法。活动难点：如何完成全班同学的图案连接。活动规则：先摆出汉字或图案，然后摆出导火索。活动准备：文字图案、码尺、骨牌、录像。注意事项：（1）整个活动不要大声喧哗，活动中少走动，走动要看清脚下；（2）把手表、钥匙扣等所有可能掉下来的东西全部放到一边。（3）拿牌要低，放牌要轻，不允许扔牌，码放时一定要注意

自己手脚和周边东西所在位置；（4）码放时，码尺离图案要保持一定的距离（5）两个人组成的一个小组做好分工，相互鼓励，相互协作。此次活动一个班集体就是一个整体，大家都要把自己放到班级体主人的位置，放好每一枚骨牌，你要记住你码放的每一枚骨牌不仅为了自己，为了自己两个人的小组，而是为了整个班级集体的荣誉。活动过程： 1．导入：同学们好：多米诺骨牌起源于我国古代宋朝，当时的玩法是把骨牌上点数相加再比大小，民间又称“牌九”。1849年8月16日，一位意大利传教士把这种骨牌带回米兰，并且把它作为礼物送给他最小的女儿小多米诺，小多米诺很快就喜欢上它，因为她发现了新的玩法，如果按点数的大小等距离地排列，很能锻炼人的意志和耐力。多米诺为了让更多人玩上这种游戏，他制作了大量的木制骨牌。不久，这种游戏就迅速在意大利及整个欧洲传播开来。后来，人们为了纪念多米诺，就把这种游戏称为多米诺骨牌游戏。到1 9世纪，多米诺已成为一种世界性游戏，在非奥运动项目中，它是知名度最高，参加人数最多，扩展地域最广的体育运动。多米诺游戏是多人运动，所以它不仅能培养人们的静心，耐

数学归纳法

“数学归纳法”教学设计一、教材与内容解析（一）内容与内容解析数学归纳法是人教B版普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第三节的内容。本节课的主要内容是介绍数学归纳法的原理。由于正整数具有无穷无尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论，这是数学归纳法产生的根源。数学归纳法是一种证明与正整数n有关命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推。递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上。数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因．（二）地位与作用解析从应用上看，数学归纳法是解决与正整数有关命题的一种推理方法，它将无限多个归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的重要工具。数学归纳法本质是归纳递推，但它与归纳法有着一定程度的关联。在数学结论的发现过程中，不完全归纳法发现结论，最终利用数学归纳法证明解决问题。从思想方法上看，数学归纳法蕴含了无限转化为有限的思想，体现了奠基、递推、总结一体的整体思想。从美学上看，数学归纳法展现了无限与有限的统一美；揭示了有限推证无限，把无限“沦为”有限的思维美；数学归纳法的发展历程展现了数学文化美。二、教学问题诊断 1．学生已有的经验和基础：(1)学生已有数学归纳法的萌芽和相关经验．虽然学生没有正式学过数学归纳法，但小学的数数、找一列数的规律、高中等差数列和等比数列通项公式的推导过程等等，都蕴含着数学归纳法的萌芽和基础．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素的经验．如在线面垂直的定义和证明中，用“平面内

利用数学归纳法解题举例

利用数学归纳法解题举例归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或 n≥n 且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳0 的，属于完全归纳。运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。一、运用数学归纳法证明整除性问题例1.当n∈N,求证:11n+1+122n-1能被133整除。证明:(1)当n=1时，111+1+1212×1-1=133能被133整除。命题成立。 (2)假设n=k时，命题成立，即11k+1+122k-1能被133整除，当n=k+1时，

数学归纳法教案(新)

教材背景：归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法．归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种．不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的．完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来．数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决中有着广泛的应用．教学课题：数学归纳法教材分析： “数学归纳法”既是高中代数中的一个重点和难点容，也是一种重要的数学方法。它贯通了高中代数的几大知识点：不等式，数列，三角函数……在教学过程中，教师应着力解决的容是：使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤（特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用）。只有真正了解了数学归纳法的实质，掌握了证题步骤，学生才能信之不疑，才能用它灵活证明相关问题。本节课是数学归纳法的第一节课，有两大难点：使学生理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中归纳假设的利用。不突破以上难点，学生往往会怀疑数学归纳法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。这会对以后的学习造成极大的阻碍。根据本节课的教学容和学生实际水平，本节课采用“引导发现法”和“讲练结合法”。通过课件的动画模拟展示，引发和开启学生的探究热情，通过“师生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深层实质。教学目标 1、知识和技能目标 (1)了解数学推理的常用方法（归纳法） (2)了解数学归纳法的原理及使用围。 (3)初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。 (4)会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。 2、过程与方法目标通过对归纳法的复习，说明不完全归纳法的弊端，通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

数学归纳法典型例题

实用文档文案大全数学归纳法典型例题一. 教学内容：高三复习专题：数学归纳法二. 教学目的掌握数学归纳法的原理及应用三. 教学重点、难点数学归纳法的原理及应用四. 知识分析【知识梳理】数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n= k（）时命题成立，

证明当时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步实用文档文案大全各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。【要点解析】 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n ＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 2、运用数学归纳法时易犯的错误（1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。