第二十九章投影及视图教材分析

第二十九章投影与视图

一．教材地位分析

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的。很明显，关于投影和视图的知识是从实际需要（建筑、制造等）中产生的，它们与实际模型联系得非常紧密。在本章之前，学生已经数次接触过“从不同方向看物体”等内容，对投影和视图的知识已有初步的、朦胧的了解，只是还没有明确地接触过一些基本名词术语，对有关基本规律还缺乏归纳总结（按教材设计顺序，可能多的学校已在初一时就讲了）。感性认识需要上升为理性认识，理论指导下的实践会更明确有效。本章要在学生已有的有关投影和视图的初步感性认识的基础上，适当引入基本概念，归纳基本规律，使认识水平再次提升。从理论上说，投影和视图知识是以立体几何、画法几何等为基础依据的，利用这些基础可以对投影和视图进行比较深入的分析。但是由于初中学生的知识储备的局限，在初中投影和视图内容的教学不可能完全从理论角度深入进行，而应该借助直观模型的作用，作好由感性认识到理性认识的过渡，比较通俗易懂地介绍一些基本概念、基本原理（规律）。

二．教科书内容剖析与学习目标确立

（一）教科书内容

1. 本章知识结构框图

由上向下看

由左向右看

2．本章的主要内容包括：

1) 投影的基础知识，包括投影、平行投影、中心投影、正投影等概念，正投影的成像规律；

2) 视图、三视图等概念，三视图的位置和度量规定，一些基本几何体的三视图，简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化；

3) 课题学习：制作立体模型。这是由三视图向立体图形转化的实践活动。3．本章共分为三节，教学时间约需11课时，具体分配如下（仅供参考）：29．1 投影2课时29．2 三视图5课时29．3 课题学习制作立体模型2课时数学活动

小结2课时4.教材剖析

节首先从物体在日光或灯光下的影子说起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念；然后以铁丝和正方形纸板的影子为例，讨论当直线和平面多边形与投影面成三种不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的正投影的一般规律；最后以正方体为例，讨论立体图形与投影面成不同位置关系时的正投影。可以发现，整个讨论过程是按照一维、二维和三维的顺序发展的。

节讨论的重点是三视图，其中包括三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定、一些基本几何体的三视图等。教科书首先根据投影原理，介绍了主视图、俯视图、左视图的概念以及三视图的位置和度量规定。接下来，教科书安排了6道例题，讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化。这包括简单几何体的三视图，简单几何体的组合的三视图，空心几何体的三视图，根据三视图想像立体图形、描述物体形状，三视图和展开图的转化等等。这一节是全章的重点内容，它不仅包括了有关三视图的基本概念和规律，而且包括了反映立体图形和平面图形的联系与转化的内容，与培养空间想象能力有直接的关系。

在第2小节后，教科书安排了一个阅读与思考“视图的产生与应用”。从古埃及建筑设计到世界名画中运用视图的原理，到蒙日创建画法几何，简要介绍

了视图的产生与应用。

29．3节安排了观察、想象、制作相结合的实践活动——“课题学习制作立体模型”，包括根据视图制作立体模型、根据视图制作实物模型、根据展开图画三视图三个活动。这是结合实际动脑与动手并重的学习内容。进行这个课题学习既可以采用独立完成的形式，也可以采用合作式学习的方式。应该把这个课题学习看作对前面学习的内容是否切实理解掌握以及能否灵活运用的一次联系实际的检验。

本章内容与其他章有较为明显的区别，它与直观图形的关系密切，需要在图形形状方面进行想象和判断，要完成的题目多是识图、画图、制作模型等类型的问题，而很少涉及定量的计算。

（二）课程学习目标

1．以分析实际例子为背景，认识投影和视图的基本概念和基本性质；

2．通过讨论简单立体图形（包括相应的表面展开图）与它的三视图的相互转化，使学生经历画图、识图等过程，分析立体图形和平面图形之间的联系，提高空间想象能力；

3．通过制作立体模型的课题学习，在实际动手中进一步加深对投影和视图知识的认识，加强在实践活动中手脑结合的能力.

三．教学建议

1．结合实际例子讨论问题，在直观认识的基础上归纳基本规律（初一、物理）

本章教科书在编写时，重视结合实际例子讨论问题，在直观认识的基础上归纳基本规律。在引出投影概念时，举出树影、皮影戏、人影等实例；在介绍平行投影概念时，利用日晷、探照灯等实例；在介绍中心投影概念时，利用了普通灯泡照射物体的实例；在引出三视图的概念及规律时，先从一本书的简单例子分析起，借助它由特殊到一般地展开相关内容，然后再用基本几何体和支架、钢管、密封罐等物体为例，进行进一步的讨论。在归纳正投影规律时，教科书先后结合铁丝、正方形纸板和正方体模型的例子，讨论当它们与投影面成不同的位置关系时的正投影，归纳出其中蕴涵的一般规律；本章最后的课题学习，设计了动手实践的活动，通过制作简单立体模型来加强对三视图等的理解认识。这些安排都体现了利用典型例子、借助直观、适当归纳上升的编写特点。

2．重视平面图形与立体图形的联系，重在培养空间想象能力

在学习本章之前，学生已经具有一定的关于平面图形与立体图形的知识，

并且接触过“从不同方向观察物体”、基本几何体的平面展开图等反映平面图形与立体图形之间的联系的问题。本章从投影的角度对如何用三视图这样的平面图形来表示三维立体图形进行进一步讨论，这有助于将学生对于图形已有的认识加以提高，增强将平面图形与立体图形相互转化的能力，从而进一步培养空间想象能力。

本章教科书的第二个编写特点是：重视平面图形与立体图形的联系，重在培养空间想象能力。教科书在第节“投影”中，通过介绍有关投影的概念和规律，重点反映如何由物体得到其投影。客观世界中一般的物体形状都是三维的立体图形，而它们的影子则是二维平面图形，由物体产生投影是将立体图形转化为平面图形的过程。从映射角度看，这是从三维空间到二维平面的映射。物体是原像，其投影是影射后的像，原像与像存在对应关系，正投影的规则就是一种映射规则。

教科书在第节“三视图”中，从两方面来反映平面图形与立体图形的联系。这一节的前面部分（例4之前，不含例4），主要有三视图的概念、规则以及画形状简单的几何体的三视图，这些是由立体图形得到相应平面图形的过程；这一节的后面部分（例4以后，含例4），主要为由三视图想出相应物体形状的内容，这些是由平面图形得到相应立体图形的过程。两方面结合起来，就从不同角度反映了平面图形与相应的立体图形是如何联系的。从技能上说，认识平面图形与立体图形的联系，有助于根据需要实现它们之间的相互转化，即学会画三视图和由三视图得出立体图形。从能力上说，认识平面图形与立体图形的联系，对于培养空间想象能力上非常重要的。本章的知识内容不多，介绍知识并不是编写本章最主要的目的，而最主要的目的是通过学习本章能切实发展学生的空间想象能力。

３．教学中应重视联系实际问题，帮助学生克服立体几何知识的不足

在本章的教学中，不可避免地要涉及立体几何中的一些基础知识，例如空间中直线与直线（简称线线）、直线与平面（简称线面）、平面与平面（简称面面）的位置关系（相交、垂直和平行），但是学生此前缺乏对这些知识的系统学习，只是有一些感性认识。在学习本章之前先系统补充立体几何基础知识是不合适的，因为这需要增加许多课时，而且扩大了课程标准规定的初中数学学习内容，加重了学习负担。教科书的编写者认为，解决这个问题的比较好的做法是重视相关内容与实际的联系，在不刻意追求对抽象概念有透彻理解的前提下，选择一些实例，利用直观的、感性的认识，使学生能结合例子了解这些空间位置关系并能把这种认识迁移到类似情形即可。教科书中这是按照这种认识处理相关内容的。例如，介绍正投影时涉及投影线与投影面的垂直关系（线面垂直），

教科书在此处采用结合插图并使用“投影线正对着投影面”这样通俗易懂的语

言加以解释的处理方法，虽然不是十分准确，但能使学生了解其基本意思就够了。又如，介绍正投影的规律时，教科书先后选择了铁丝、正方形纸板和正方体模型等例子，插图和文字相结合，按照维数从1到3的顺序说明有关平行、斜交和垂直的位置关系。

实际教学要比教科书有更大的灵活性，教学中能动态地展示模型，能直接面对学生授业解惑，应充分发挥这些优势。因此，建议教学中在上述问题的处理上，能注意结合实物模型，利用直观演示，比较几种不同的空间位置关系，使学生能够联系例子认识到“像……那样，就是一条直线平行（或垂直，或倾斜）于一个平面”等，达到这种认识水平就完全可以继续本章的学习了，所以没有必要在本章进行线线、线面、面面位置关系定义的学习，这些是学生今后要学习的内容。

4．教学中应结合本章内容的特点，从不同角度综合培养空间想象能力

空间想象能力是一种重要的数学基本能力，本章内容非常适合培养这种能力。本章所讨论的对象是投影与视图，其中没有很多计算问题，也没有形式上的推理证明。这与前面几章形成明显的区别。本章面临的主要是立体图形与平面图形的相互转化问题，而掌握立体图形与相应平面图形的联系是实现上述转化的关键。要掌握这种联系，不仅需要认识从立体图形到平面图形的转化过程，还需要认识从平面图形到立体图形的转化过程，即需要从两方面双向地认识这种联系。正因如此，本章教科书在编写中特别先后安排了“由物画图”和“由图想物”两类问题，它们各有侧重承担了不同的任务，前者可以使人认识到立体图形的投影是什么样的平面图形，后者可以使人把相关的平面图形在头脑中综合成为相应的立体图形。两者又是互相联系的，同样的投影规则（规律）在

两类问题中都是考虑问题的依据。

鉴于上述分析，建议在本章的教学中，注意从不同角度加强对于空间想象能力的培养。在不同教学阶段，思考问题的角度可能有所不同，要解决的问题也有区别，“由物画图”可以看成是一个分解（或不同角度分析）的过程，而“由图想物”是一个综合的过程。解决问题有时需要分解，有时需要综合，有时需要两者结合。应注意两者的教学要有合理的顺序，一般说“由物画图”是“由图想物”的基础，只有认识了视图所表示的意思，才可能把视图立体化。教学中还应注意不同阶段内容之间的联系，注重全章教学的整体综合效果。不论“由物画图”，还是“由图想物”，都要根据投影规则（规律）进行思考，这些投影规则（规律）就是两者之间的联系，两类问题实际上是从相反的角度（方向）认识同一规律。此外，必须指出：学习本章内容时，动脑活动与动手活动相结合是非常有效的，使学生经历观察、画图、想象、制作模型等认识过程是非常必要的。因此，建议教学中对于本章安排的实践性较强的内容（例如课题学习），要结合学生实际加以落实，而不要以教师的讲授代替学生的亲身体验。

2007年中考试题分类汇编（视图投影空间几何体）

一、选择题

1、（2007山东淄博）如图(1)放置的一个机器零件，若其主视图如图(2)，则其俯视图是（）D

2、（2007山东枣庄）一物体及其正视图如下图所示，则它的左视图与

俯视图分别是右侧图形中的

（）B

(A)①② (B)③②

(C)①④ (D)③④

3、（2007山东济宁）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体

是（）。C

4、（2007山东青岛）如图所示圆柱的左视图是（）．B

A．B．C． D．

5、（2007重庆）将如图的Rt△ABC绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图是（）D

?

D

C

B

A

C B

A

5 题图

6、（2007浙江金华）如图是小玲在九月初九“重阳节”送给她外婆的礼盒，图中所示礼盒的主视图是（）A

（A）（B）（C）（D）

( 2)

( 1)

(第1题)

第4题图

7、（2007湖南岳阳）下面的三个图形是某几何体的三种视图，则该几何体是（ C ）

A、正方体

B、圆柱体

C、圆锥体

D、球体

8、（2007浙江义乌）下面四个几何体中，主视图、左视

图、俯视图是全等图形的几何图形是（）B

Ａ．圆柱Ｂ．正方体Ｃ．三棱柱Ｄ．圆锥

9、（2007湖南怀化）一个几何体是由若干个相同的正方

体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多

．．可由多少个这样的正方体组成？（）B

Ａ．12个Ｂ．13个

Ｃ．14个Ｄ．18个

10、（2007四川成都）右图表示一个由相同小立方块搭成

的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小

立方块的个数，那么该几何体的主视图为（）C

11、（2007浙江台州）下图几何体的主视图是（）C

12、（2007甘肃白银等）如图所示的几何体的右视图（从右边看所得的视图）是（）A

13、（2007浙江宁波）与如图所示的三视图对应的几何体是( )B

14、（2007江苏扬州）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）D

Ａ．正方体Ｂ．球

俯视图

侧视图

主视图

主视图左视图（第10题）

A．B．C．D．

A．B．C．D．

Ｃ．圆锥Ｄ．圆柱

15、（2007四川绵阳）下列三视图所对应的直观图是

（）C

A．B．C．D．

16、（2007江苏南京）下列四个几何体中，已知某个几何体的主视图、左视图、俯视图分别为长方形、长方形、圆，则该几何体是（）D

Ａ．球体Ｂ．长方体Ｃ．圆锥体Ｄ．圆柱体

17、（2007江苏盐城）如图，这是一幅电热水壶的主视图，则它的俯视图是（）D

（第16题图）A．B．C．D．18、（2007江西）桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）C

19、（2007山东枣庄）小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面上形成的投影不可能是（）A

20、（2007广东韶关）小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上形成的投影不可能

．．．是（）B

左面

（第15题）A．B．Ｃ．Ｄ．

21、（2007浙江宁波）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD

的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面

上．已知铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小

华的身高都是1.6m ，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡

面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为

2m 和1m ，那么塔高AB 为( )A

(A)24m (B)22m (C)20 m (D)18 m

22、（2007广东梅州）如图10，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A 处走

到B 处这一过程中，他在地上的影子（ ）

Ａ．逐渐变短 Ｂ．逐渐变长

Ｃ．先变短后变长 Ｄ．先变长后变短 二、填空题 1、（2007浙江丽水）如果一个立体图形的主视图为矩形，则这个立体图形可能是

（?只需填上一个立体图形）．

答案不唯一如：长方体、圆柱等

2、（2007浙江温州）星期天小川和他爸爸到公园散步，小川身高是160cm ，

在阳光下他的影长为80cm ，爸爸身高180cm ，则此时爸爸的影长为＿＿＿

＿cm.。 90

3、（2007福建龙岩）当太阳光与地面成55°角时，直立于地面的玲玲测得

自己的影长为1.16m ，则玲玲的身高约为 m ．（精确到0.01m ）

4、（2007湖北潜江）小华在距离路灯6米的地方，发现自己在地面上的影长是2米，如果小华的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是 米.

5、（内蒙古赤峰）某同学的身高为1.4米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，此时，与他相邻的一棵小树的影长为3.6米，则这棵树的高度为 米．

6、（2007辽宁大连）如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长为的竹竿做测量工具。移

动竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这

一点相距8m ，与旗杆相距22m ，则旗杆的高为__________m 。12

三、解答题 1、（2007湖南益阳）在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼

的高度。在阳光下，测得身高1.65米的黄丽同学BC 的影厂BA 为1.1米，与此同时，测得教学楼DE 的影长DF 为12.1米。

（1）请你在图7中画出此时教学楼DE 在阳光下的投影DF 。

55 8m 22m (第6题图) 图10

A

（2）请你根据已测得的数据，求出教学楼DE 的高度（精确到0.1米）。 解：（1）如左图，注意AC

与EF 平行；

（2）由1

.121.165.1DE =，解得：DE ＝≈

2、（2007浙江金华）学习投

影后，小明、小颖利用灯光

下自己的影子长度来测量一

路灯的高度，并探究影子长

度的变化规律．如图，在同

一时间，身高为1.6m 的小明

()AB 的影子BC 长是3m ，

而小颖()EH 刚好在路灯灯泡的正下方H 点，并测得6m HB =．

（1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置G ；

（2）求路灯灯泡的垂直高度GH ；

（3）如果小明沿线段BH 向小颖（点H ）走去，当小明走到BH 中点1B 处时，求其影子11

B C 的长；当小明继续走剩下路程的

13

到2B 处时，求其影子22B C 的长；当小明继续走剩下路程的14到3B 处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的11n +到n B 处时，其影子n n B C 的长为 m （直接用n 的代数式表示）． 解：（1） （2）由题意得：ABC GHC △∽△，

AB BC GH HC ∴=， 1.6363

GH ∴=+， 4.8GH ∴=（m ）． （3）1111A B C GHC △∽△，11111A B B C GH HC ∴

=， 设11B C 长为m x ，则1.64.83x x =+，解得：32x =（m ），即1132

B C =（m ）． G

C

B

A

1C 1B 2B H E 2A 1A 2C E H

1A 1B B A

C

同理22221.64.82B C B C =+，解得221B C =（m ），31

n n B C n =+． 3、（2007广西南宁）如图11所示，点P 表示广场上的一盏照明灯．

（1）请你在图中画出小敏在照明灯P 照射下的影子（用线段表示）；

（2）若小丽到灯柱MO 的距离为4.5米，照明灯P 到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P 的仰角为55°，她的目高QB 为1.6米，试求照明灯P 到地面的距离（结果精确到0.1米）．

（参考数据：tan55 1.428≈°，sin550.819≈°，cos550.574≈°）

解：（1）如图线段AC 是小敏的影子，

（画图正确）

（2）过点Q 作QE MO ⊥于E ，

过点P 作PF AB ⊥于F ，交EQ 于点D ，

则PF EQ ⊥

在Rt PDQ △中，55PQD ∠=， DQ EQ ED =-

4.5 1.53=-=（米） ········································································· 6分

tan 55PD DQ = ······················································································ 7分 3tan55 4.3PD ∴=≈（米） ···································································· 8分 1.6DF QB ==米 ················································································· 9分 4.3 1.6 5.9PF PD DF ∴=+=+=（米）

答：照明灯到地面的距离为5.9米 ······························································ 10分

4、（2007山东淮坊）如图，某居民小区内A B ，两楼之间的距离30MN =米，两楼的高都是20米，A 楼在B 楼正南，B 楼窗户朝南．B 楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离2DN =米，窗户高 1.8CD =米．当正午时刻太阳光线与地面成30角时，A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由． 小敏 小丽 4.5米 Ｏ A M P Ｑ 55°Ｂ 图11 灯柱

C A O B Q

D

E P M 55 4.5米 小丽 灯柱 小敏 图11

（参考数据：2 1.414

=，3 1.732

=，5 2.236

=）

解：如图，设光线FE影响到B楼的E处，

作EG FM

⊥于G，由题知，30m

EG MN

==，30

FEG

∠=，

则

3

30tan303010317.32

3

FG=?=?==，

则2017.32 2.68

MG FM GF

=-=-=，

因为2 1.8

DN CD

==

，，所以 2.6820.68

ED=-=，

即A楼影子影响到B楼一楼采光，挡住该户窗户0.68米．

5、（2007辽宁沈阳）如图所给的A、B、C三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A、B、C三个几何体的主视图分别是A1、B1、C1；左视图分别是A2、B2、C2；俯视图分别是A3、B3、C3．

（1）请你分别写出A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3图形的名称；

（2）小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A1、A2、A3的三张卡片放在甲口袋中，画有B1、B2、B3的三张卡片放在乙口袋中，画有C1、C2、C3的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片．

①通过补全下面的树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；

②小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？

解：（1）ＡＢＣ

（2）①树状图：

A楼B楼

Ｃ

D

M N

A

楼

B

楼

Ｃ

Ｅ

D

G

M N

F

30m

30

第23题图

解：（1）由已知可得A 1、A 2是矩形，A 3是圆；B 1、B 2、B 3都是矩形；

C 1是三角形，C 2、C 3是矩形． ………………………………………………………3分

（2）①补全树状图如下：

……………………………………………………………………………………………7分 由树状图可知，共有27种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都

相同的结果有12种，∴三张卡片上的图形名称都相同的概率是1227＝49

…………9分 ②游戏对双方不公平．由①可知，三张卡片中只有两张卡片上的图形

名称相同的概率是1227＝49，即P （小刚获胜）＝49

三张卡片上的图形名称完全不同的概率是327＝19，即P （小亮获胜）＝19

∵49＞19

∴这个游戏对双方不公平． ……………………………………………12分