2015-2016高中数学 3.2复数代数形式的四则运算练习
3.2复数的四则运算
45
o
【例2】求值： i i
2
i i
3
2 3 4
2006
解：原式 （i i i i ） （i i i i ） ...
5 6 7 8
（i
2001
i
1
2002 2
i
2003
i
2004
） i20ຫໍສະໝຸດ 5i2006 0 i i i 1
吻合!
这就是复数加法的几何意义.
类似地,复数减法: y
Z2(c,d)
OZ1-OZ2
Z1(a,b) O
x
Z 这就是复数减法的几何意义.
几何意义运用
练习、如图的向量OZ 对应复数z，试作出下 列运算的结果对应的向量
y
1
3
2
z 1 z i z (2 i )
z
o
１
x
几何意义运用
例2 已知OA, OB对应复数是 3 2i,2 i, 量 AB 对应的复数.
求向
几何意义运用 变式1 已知复平面内一平行四边形AOBC顶点A,O,B 对应复数是 -3+2i, 0, 2+i ，求点C对应的复数.
解:复数-3+2i ,2+i,0对A(3,2),B(2,1),O(0,0), 如图.
y
C A
在平行四边形 AOBC中,
OC OA OB
B
0
x
∴
OC (3,2) (2,1) (1,3)
3.2 复数的四则运算
虚数不能比较大小
复数的加、减法
z1 a bi , z2 c di
z1 z2 (a c) (b d )i
高二数学 3.2复数代数形式的四则运算练习 新人教A版选修1-2
高中数学 3.2复数代数形式的四则运算练习基础梳理 1．复数的加法与减法． (1)复数的加法与减法法则．①(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ． (2)复数加法、减法的几何意义． ①加法的几何意义．若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两条邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数，即复数的加法可以按照向量的加法来进行．②减法的几何意义．若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的终点，并指向被减数的向量Z 2Z 1→所对应的复数，即复数的减法可以按照向量的减法来进行．③复平面内的两点间距离公式．若复数z 1，z 2对应复平面内的点Z 1，Z 2，则||Z 1Z 2＝||Z 1Z 2→＝|z 1－z 2|. 2．复数的乘法与除法． (1)乘法与除法法则．(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)几个运算性质． ①i 的幂的周期性：i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N )．②(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，1i ＝－i.③设ω＝－12＋32i ，则ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0.3.共轭复数．当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数是互为共轭复数．设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则它的共轭复数记为z －＝a －b i (a ，b ∈R )．基础自测1．已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，若z 1＋z 2是纯虚数，则(D ) A ．a －c ＝0且b －d ≠0 B ．a －c ＝0且b ＋d ≠0 C ．a ＋c ＝0且b －d ≠0 D ．a ＋c ＝0且b ＋d ≠0解析：z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 是纯虚数， ∴a ＋c ＝0且b ＋d ≠0.故选D.2．已知向量OA →对应复数3－2i ，OB →对应复数－4－i ，则AB →对应复数为(C ) A ．－1－i B ．7－3i C ．－7＋i D ．1＋i解析：AB →＝OB →－OA →＝(－4－i)－(3－2i)＝－7＋i.故选C. 3．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝a ＋i 且z 1z －2是实数，则实数a 等于(A ) A.34 B.43 C ．－43 D ．－34解析：z 1z －2＝(3＋4i)(a －i)＝3a ＋4＋(4a －3)i ，∵z 1z －2是实数，∴4a －3＝0，即a ＝34.故选A. 4．已知z ∈C ，且(3＋z )i ＝1，则z ＝________．解析：∵(3＋z )i ＝1，∴3＋z ＝1i ，即3＋z ＝－i ， ∴z ＝－3－i. 答案：－3－i（一）复数的加减法运算(1)复数代数形式的加减法运算满足交换律、结合律．复数的加、减法法则是一种规定，可以推广到多个复数的相加减．(2)当b ＝0，d ＝0时，复数的加减法与实数的加减法法则一致． (3)复数的加减法符合向量的加减法法则． （二）复数加减法的几何意义利用复数代数形式加减法的几何意义，进行复数问题和几何问题的转化，即利用数形结合的数学方法解题．(1)利用复数的几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算处理．(2)对于一些复数运算式可以给以几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．如|z －1|＝|z －i |的几何解释是复数z 对应点(1，0)和点(0，1)的垂直平分线上的点．（三）复数代数形式的乘除运算(1)复数的乘法运算与多项式的乘法类似，但必须在所得结果中把i 2换成－1，并且把实部和虚部分别合并．(2)多项式的乘法公式在复数中同样适用，实数集R 中正整数指数幂的运算律在复数集中仍然成立．(3)做复数的除法运算时，通常先把(a ＋b i)÷(c ＋d i)写成a ＋b ic ＋d i的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后可得结果，实际上就是将分母实数化．这与根式除法中的分母“有理化”很类似．最后的结果一定要写成实部和虚部分开的形式．1．复数的加减法法则的记忆，可记为：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． 2．由复数减法的几何意义，可得复平面内两点间距离公式d ＝|z 1－z 2|，其中z 1、z 2是复平面内两点Z 1、Z 2所对应的复数，d 表示Z 1和Z 2之间的距离．3．三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算；混合运算与实数的运算一样；对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简捷，如平方差公式、完全平方公式等．4．在做除法运算时，要牢记分母实数化，乘法与除法的运算结果都得写成实部与虚部分开的形式．5．共轭复数有如下性质：z ＝z ；z ·z －＝|z |2＝|z －|2；z ＋z －＝2a ，z －z －＝2b i ；z 1＋z 2＝z －1＋z －2；z 1－z 2＝z －1－z －2；z 1·z 2＝z －1·z －2；⎝ ⎛⎭⎪⎫z 1z 2＝z －1z －2(z 2≠0)．1．已知i 为虚数单位，则(1－i)2＝(B ) A ．2i B ．－2i C ．2 D ．－2 2．复数z ＝11－i 的共轭复数是(A )A.12＋12iB.12－12i C ．1－i D ．1＋i 3．若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________．解析：因为3＋b i1－i＝a ＋b i ，所以3＋b i ＝(a ＋b i)(1－i)＝a ＋b ＋(b －a )i.又因为a ，b都为实数，故由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，b －a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.所以a ＋b ＝3.4．设纯虚数z 满足|z －1－i|＝3，求z .解析：设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)， 则|z －1－i|＝|b i －1－i||－1＋(b －1)i|＝1＋（b －1）2＝3，∴(b －1)2＝8. ∴b ＝1±2 2.∴z ＝(±22＋1)i.1．复数z ＝i(－2－i)(i 为虚数单位)在复平面内所对应的点在(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．复数3（1－i ）2的值是(A )A.32i B ．－32i C ．i D ．－i 解析：3（1－i ）2＝3－2i ＝32i. 3.2－3i 3＋2i等于(C ) A ．－15i B.15i C ．－i D ．i解析：2－3i 3＋2i ＝（2－3i ）（3－2i ）（3＋2i ）（3－2i ）＝6－13i －632＋22＝－i. 4．复数z ＝1i －1的模为(B )A.12B.22C. 2 D ．2 解析：∵z ＝1i －1＝i ＋1（i ＋1）（i －1）＝1＋i －1－1＝－12－12i ，∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22.故选B. 5．若a ＋b i ＝(1＋i)(2－i)(i 是虚数单位，a ，b 是实数)，则a ＋b 的值是(D )A ．1B ．2C ．3D ．46．i 是虚数单位，若1＋7i2－i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab 的值是(B )A ．－15B ．－3C ．3D ．15解析：1＋7i 2－i ＝（1＋7i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝－1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝－1，b ＝3，∴ab ＝－3. 7．复数(1－i)2的虚部为－2．8．设m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)．(1)若z 为实数，则m ＝________； (2)若z 为纯虚数，则m ＝________．分析：先把复数z 写成代数形式，根据a ＋b i(a ，b ∈R )是实数，是纯虚数的充要条件解之．解析：(1)z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)＝ (2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i. 由题意m 2－3m ＋2＝0解得m ＝1，或m ＝2.(2)依题意⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0，解得m ＝－12.答案：(1)1或2 (2)－129．复数z 满足方程z －i ＝1－i ，则z ＝________．解析：z －·i ＝1－i ，∴z －＝1－i i ＝（1－i ）i i ·i ＝－i(1－i)＝－1－i ，∴z ＝－1＋i. 答案：－1＋i10．若3＋b i1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)求a ＋b .解析：因为3＋b i1－i＝a ＋b i ，所以3＋b i ＝(a ＋b i)(1－i)＝a ＋b ＋(b －a )i.又因为a ，b都为实数，故由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，b －a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3.所以a ＋b ＝3. ►品味高考1．复数(3＋2i)i 等于(B )A ．－2－3iB ．－2＋3iC ．2－3iD ．2＋3i解析：(3＋2i)i ＝3i ＋2i 2＝－2＋3i. 2．设i 是虚数单位，复数i 3＋2i 1＋i ＝(D )A ．－iB ．IC ．－1D ．1解析：i 3＋2i 1＋i ＝－i ＋2i （1－i ）2＝－i ＋i －i 2＝1.故选D. 3．对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω－2，其中ω－2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)；②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)；③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)；④z 1*z 2＝z 2*z 1.则真命题的个数是(B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由题意得(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z －3＝z 1z －3＋z 2z －3＝z 1*z 3＋z 2*z 3，故①正确；z 1*(z 2＋z 3)＝z 1(z 2＋z 3)＝z 1z －2＋z 1z －3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，故②正确；(z 1*z 2)z 3＝z 1z 2z 3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 1z 2z －3，故③错误；z 1*z 2＝z 1z －2，而z 2*z 1＝z 2z －1，故④不正确．故选B.。
复数代数形式四则运算练习_（1）
复数代数形式四则运算练习_（1）3.1复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其⼏何意义⼀．选择题：1.2+2i+(-2+5i)=( )A.2+7iB.2-7iC. 7iD. -7i2.8+4i-(-8+4i)=( )A.8iB.16C. 16+8iD. 16-8i3.6+7i+（3-2i ）-（9-i ）-（4i ）=( )A.0B.18+iC. 22D. 2i4.已知z+5-6i=3+4i ，则复数z 为（）A.-4+20iB.-2+10iC. -8+20iD. -2+20i5.两个复数z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，（a 1，b 1，a 2，b 2都是实数且z 1≠0，z 2≠0），对应的向量在同⼀直线上的充要条件是（）A ．1=-2211a b a bB ．0=+2121b b a aC ．2211=a b a b D ．1221=b a b a6.设m 为实数，复数z=(2m 2+3i)+(m-m 2i)+(-1+2mi),若z 为纯虚数，则m 等于（）A ．-1B ．3C ．1/2D ．-1或37.向量1OZ 对应的复数是5-4i ，向量2OZ 对应的复数是-5+4i ，则21+OZ OZ 对应的复数是______________。
三．解答题8.（1+2i ）+（3-4i ）-（5+6i ）9.5i-[(3+4i)-(-1+3i)]10.已知平⾏四边形OABC 的三个顶点O,A,C 对应的复数分别是0,4+2i ，-2+4i ，求点B 对应的复数。
3.2.2复数代数形式的乘除运算⼀．选择题：1. (-3+4i)(-3-4i)的计算结果是（）A. 25B. -25C. 16iD. 9-14i2. （1-i ）2的计算结果的共轭复数是（）A. 2iB. -2iC. 2+2iD. 2-2i3.计算100)+12(ii 的结果为（） A. i B. i - C. 1 D.1-4. “z z 12与互为共轭复数”是“R z z ∈21”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要5. 复数7-6i 的共轭复数是（）A. 7-6iB. 7+6iC. -7-6iD. -7+6i⼆．填空题：6. =+++++101100321i i i i i _________________.7. （1+2i ）÷（3+4i ）=____________8.（1+2i)2+ (1-2i)2+i 1+i i i i +1-1+-1+1 =9. 求 6)+1(8i i +（4-i 5）（6+2i 7)10.已知复数z 满⾜：z z +2iz=8+6i ，求复数z 的实部与虚部之和。
人教版高中数学高二选修2-2课时作业3-2复数代数形式的四则运算
课时作业11复数代数形式的四则运算一、选择题1．若(z－1)2＝－1，则z的值为()A．1＋i B．1±iC．2＋i D．2±iz－1＝±i，∴z＝1±i.故应选B.B2．设f(z)＝z，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，则f(z1－z2)的值是()A．－2＋3i B．－2－3iC．4－3i D．4＋3iz1－z2＝(1＋5i)－(－3＋2i)＝(1＋3)＋(5－2)i＝4＋3i，∴z1－z2＝4－3i.∴f(z1－z2)＝f(4－3i)＝4－3i＝4＋3i.故应选D.D3．复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由→|等于() A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则|BDA．2 B.13C.15D.17由复数加法的几何意义，知B D→＝B A→＋B C→.∵B A →对应的复数为z A －z B ＝i －1，B C →对应的复数为z C －z B ＝(4＋2i)－1＝3＋2i ，∴B D →对应的复数为(i －1)＋(3＋2i)＝2＋3i. ∴|B D →|＝22＋32＝13.故应选B. B 4.1⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i 4等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i∵⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i 4＝14(1－i)4＝14(－2i)2＝－1，∴1⎝ ⎛⎭⎪⎫22－22i 4＝－1.故应选B. B5.⎝⎛⎭⎪⎫4－6＋2i 3等于( ) A ．－22i B ．2i C ．22iD ．－2i⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－6＋2i 3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4(－6－2i )83＝－2(3＋i)3＝－2[(3)3＋3×(3)2i ＋33i 2＋i 3]＝－22i.故应选A. A6．复数2i－1＋3i 的虚部是( )A ．－32B ．－12C.32D.12原式＝i－12＋32i ＝iω＝i ω＝i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＝32－12i ，∴其虚部为－12.故应选B. B7．当z ＝－1－i2时，z 100＋z 50＋1的值等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i∵z 2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1－i 22＝(1－i )22＝－2i 2＝－i ，∴z 100＝(z 2)50＝(－i)50＝i 2＝－1； z 50＝(z 2)25＝(－i)25＝－i. ∴z 100＋z 50＋1＝－1－i ＋1＝－i. 故应选D. D8．使|log 12x －4i|≥|3＋4i|成立的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，8 B ．(0,1]∪[8，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪[8，＋∞) D ．(0,1)∪(8，＋∞) ∵|log 12x －4i|≥|3＋4i|＝32＋42＝5，∴(log 12x )2＋42≥25，∴(log 12x )2≥9.即log 12x ≥3或log 12x ≤－3⇒0＜x ≤18或x ≥8.故应选C. C 二、填空题9．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点Z 1，Z 2，这两点之间的距离为________．|Z 1Z 2|＝|Z 1Z 2→|＝|z 2－z 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＋3i ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－522＋32＝612.61210．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z ＝__________. 设z ＝b i(b ≠0)，则 (z ＋2)2－8i ＝(b i ＋2)2－8i ＝－b 2＋4b i ＋4－8i ＝4－b 2＋(4b －8)i 为纯虚数∴⎩⎨⎧4－b 2＝04b －8≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝±2b ≠2.∴b ＝－2.∴z ＝－2i. －2i11．已知z ＝1＋i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2－3z ＋6z ＋1＝________.原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1＋i )2－3(1＋i )＋6(1＋i )＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－i 2＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－5i 5＝⎪⎪⎪⎪1－i ＝ 2. 212．设z 1，z 2是一对共轭复数，|z 1－z 2|＝23，且z 1z 22是实数，则|z 1|＝________.∵z 1z 22∈R ，∴（z 1z 22）＝z 1z 22，即z 2z 21＝z 1z 22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2z 13＝1，z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12±32i z 1， ∴|z 1－z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32∓32i ＝2 3.∴3|z 1|＝23，|z 1|＝2. 2 三、解答题13．解方程z 2＝z ，其中z 为复数． 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则x 2－y 2＋2xy i ＝x －y i.由复数相等，得⎩⎨⎧x 2－y 2＝x ，①2xy ＝－y . ②由②可得(2x ＋1)y ＝0，∴y ＝0或x ＝－12.当y ＝0时，由①可得x ＝0或x ＝1. ∴z ＝1或z ＝0；当x ＝－12时，y ＝±32，∴z ＝－12±32i.综上：z ＝－12±32i 或z ＝0或z ＝1.14．已知复数z ＝(－1＋3i )(1－i )i －1＋3i i ，ω＝z ＋a i(a ∈R)．当⎪⎪⎪⎪⎪⎪ωz ≤2时，求a 的取值范围．∵z ＝2＋4i －1－3i i ＝1＋ii ＝1－i ，∴ω＝1＋(a －1)i ， ωz ＝1＋(a －1)i 1－i ＝2－a ＋a i2. ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ωz ≤2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22≤2，解得1－3≤a ≤1＋ 3.15．已知虚数z 满足|2z ＋1－i|＝|z ＋2－2i|. (1)求|z |的值；(2)若mz ＋1z ∈R ，求实数m 的值．(1)设虚数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，代入|2z ＋1－i|＝|z ＋2－2i|得|2a ＋1＋(2b －1)i|＝|(a ＋2)＋(b －2)i|， ∴(2a ＋1)2＋(2b －1)2＝(a ＋2)2＋(b －2)2. 整理得a 2＋b 2＝2，即|z |＝2.(2)由(1)知，z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，且b ≠0. a 2＋b 2＝2，又知m ∈R ，mz ＋1z ∈R ，∴mz ＋1z ＝m (a ＋b i)＋1a ＋b i＝ma ＋mb i ＋a －b ia 2＋b2＝ma ＋mb i ＋12a －12b i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ma ＋12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mb －12b i ∈R. 得mb －12b ＝0，又b ≠0得m ＝12，∴实数m 的值为12.16．已知集合A ＝{z ||z －2|≤2，z ∈C}，集合B ＝{W |W ＝12z i ＋b ，b ∈R ，z ∈A }，当A ∩B ＝B 时，求b 的值．由W ＝12z i ＋b 得z ＝2W －2b i ，∵z ∈A ，|z －2|≤2，代入得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2W －2b i －2≤2，化简得|W －(b ＋i)|≤1.∴集合A ，B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A 表示以点(2,0)为圆心，半径为2的圆面，集合B 表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面．又A ∩B ＝B ，即B ⊆A ，∴两圆内含， ∵(b －2)2＋(1－0)2≤2－1，即(b －2)2≤0，∴b ＝2.。
高中数学3.2复数代数形式的四则运算专项测试同步训练
高中数学3.2复数代数形式的四则运算专项测试同步训练 2020.031,已知点P 是双曲线221169x y -=上一点，且P 到一个焦点的距离为172，则P到另一个焦点的距离为 。
2,已知321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x=处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<。
①证明0a >；②求2z a b =+的取值范围。
3,设2()()f x x x a =--①当1a =时，求()y f x =在2x =处的切线方程； ②当0a >时，求()f x 的极大值和极小值。
4,已知数列{}{},n n a b 满足112,1a b ==，且1131144n n n a a b --=++，1113144n n n b a b --=++ (n ≥2)①令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式； ②求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n s 。
5,若椭圆上存在一点，它与椭圆两个焦点的距离之比为3∶1，则该椭圆离心率的最小值为 。
6,函数3()3f x x x =-的递减区间为(,)a b ，则b a -= 。
7,若方程2212x y m m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 取值范围是区间 。
8,等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则{}n a 的公比为 。
9,设函数()ln 2bf x a x a x =+-，若对于任意的(0,)x ∈+∞及任意的(1,4)a ∈，总有()0f x >，则最小的正整数b = 。
10,若曲线4y x =上点P 处的切线方程为430x y --=，则点P 坐标为 。
11,已知命题p ：“如果函数()y f x =在(,)a b 内可导，在[,]a b 上连续，且()()f a f b =，那么至少存在一个(,)c a b ∈，使得()0f c '=”为真。
数学：《3.2复数的四则运算(1)》(选修2-2)
3.2复数的四则运算复习：我们引入这样一个数/ J把/叫做虚数单位"并且规定：*=-1;形如尹bid, bWR）的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示•复数的代数形式^通常用字母运表示，即i (a w R.b e R)。
复数集C 和实数集R 之间有什么关系?「实数b = o纯虚数o = 0, b 工0 非纯虚数QH O, b^O实部 虚部 其中「称为虚数单位。
复数a+bi< 虚数b 工0 Z = Q 讨如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.若a，b,c，d e R,a+bi = c + di 特别地，a=b=Oa+b i二Do问题：a=0是z二a+b i （a、bwR）为纯虚数白勺必要不充分条件注意:一般地，两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小？答案：当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小.1 •复数加减法的运算法则：(1)运算法则:设复数G二a+b i, z2=c+d i,那么:z1+z2=(a+c) + (b+d) i ;z〔-Z2二(a-c) + (b-d) i. 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)•⑵复数的加法满足交换律、结合律,即对任何Z” Z2, Z3ec,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2) +Z3二Z[+(Z2+Z3)-二二寸 — I —— 9—) + (T Z —「)H(Z寸+E)— — +—2 •复数的乘法(1)复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成T, 并且把实部合并•即：(a+b i) (c+d i)二ac+bc i +ad i +bd i2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对田可Z2, Z3有Z1Z2=Z2Z1：Z1Z2)Z3=Z1 Z2Z3)Zl(z2+z3)=z1z2+z1z3-例2：计算（1）（。
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义知识总结及练习训练课件人教版数学选修2-2
结论： 1.减法法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)， 则z1-z2=_(_a_-_c_)_+_(_b_-_d_)_i_.
2.几何意义 复数的差z1-z2与向量 OZ1 OZ2 Z2Z1 的坐标对应.
【对点训练】
1.若复数z满足z+(3-4i)=1，则z的虚部是( )
（1)2 32 10.
主题2 复数的减法 1.规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数 z=z1-z2，则复数z1等于什么？ 提示：z1=z+z2.
2.设复数z1=a+bi(a，b∈R)，z2=c+di(c，d∈R)， z=x+yi(x，y∈R)，代入z1=z+z2，由复数相等的充要 条件得x，y分别等于什么？ 提示：x=a-c，y=b-d.
类型一 复数代数情势的加减运算
【典例1】(1)已知复数z=(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)，则
复数z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)计算： ①(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)； ②(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+ (2 017-2 018i)-(2 018-2 019i).
【解析】(1)因为 AO＝，O所A 以 表示AO的复数为 -3-2i. (2)因为 CA＝OA，所OC以 表示CA的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为 OB＝OA，＋O所C以 表示O的B 复数为 (3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
高中数学3.2复数代数形式的四则运算专项测试同步训练
高中数学3．2复数代数形式的四则运算专项测试同步训练 2020.031,若21()nx x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 ( ）A ．－84B ．36C ．－36D ．842,抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是( )．A ．（a , 0）B ．(－a, 0)C ．（0, a ）D ．（0, －a ）3,隋机变量X ～B （6 ，21），则P （)3=X =（ ）A ． 85B ．163C ． 165D ．834,设随机变量ξ的分布列51)(==k P ξ,=k 1,2,3,4,5,则)12(-ξD =_________________.5,4名男生和两名女生排成一排照相，要求2名女生必须相邻，则不同的排列方法为( ) A ．2244A A B ．2255A A C ．55A D ．2266A A6,甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，计算(1)两人都击中目标的概率；(2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率7,如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小； （III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值．8,设随机变量X 的分布列为:则=k .9,(ax －x 1)8的展开式中2x 的系数为70，则实数a 的值为 ____； 10,有编号为n ,,3,2,1Λ的n 个学生，入坐编号为n ,,3,2,1Λ的n 个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为ξ，已知2=ξ时，共有6种坐法． （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．11,设甲、乙两名射手各打了10发子弹，每发子弹击中环数如下： 甲：10，7，7，10，8，9，9，10，5，10； 乙：8，7，9，10，9，8，8，9，8，9则甲、乙两名射手的射击技术评定情况是（ ）A ．甲比乙好B ．乙比甲好C ．甲、乙一样好D ．难以确定12,已知椭圆2222b y a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程； (2)设点R 形成的曲线为C ，直线l y=k(x+2a)与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值13,若7722107)1(x a x a x a a x ++++=-Λ，则=+++-+++2753126420)()(a a a a a a a a .14,设P 在［0,5］上随机地取值，求方程x 2+px+214+p =0有实根的概率15,甲射击命中目标的概率是21，乙命中目标的概率是31，丙命中目标的概率是41现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )107 D. 54C. 32 B. 43A.答案1, D 2, A 3, C 4, 8 5, B6, 解 (1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A ，“乙射击一次击中目标”叫做事件B 显然事件A 、B 相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P(A ·B)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36 答 两人都击中目标的概率是0.36(2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是 P(A ·B )=P(A)·P(B )=0.6×(1－0.6)=0.6×0.4=0.24甲未击中、乙击中的概率是P(A ·B)=P(A )P(B)=0.24，显然，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件A ·B 与A ·B 互斥，所以恰有一人击中目标的概率是 P(A ·B )+P(A ·B)=0.24+0.24=0.48 答 其中恰有一人击中目标的概率是0.48(2)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P=P(A ·B)+［P(A ·B )+P(A )·B ］=0.36+0.48=0.84答 至少有一人击中目标的概率是0.847, 解法一：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角，又Q 二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥，又AO BO O =Q I ， CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，225CE CO OE ∴=+=又132DE AO ==．∴在Rt CDE △中，515tan 33CE CDE DE ===．∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为15arctan3．（III ）由（I ）知，CO ⊥平面AOB ，CDO ∴∠是CD 与平面AOB 所成的角，且2tan OC CDO OD OD ==．当OD 最小时，CDO ∠最大， 这时，OD AB ⊥，垂足为D ，3OA OBOD AB ==g 23tan CDO =， CD ∴与平面AOB 所成角的最大值为3arctan3．8, 121-n9, 1或-110, 解：（Ⅰ）Θ当2=ξ时，有2n C 种坐法，62=∴nC ，即62)1(=-n n ，0122=--n n ，4=n 或3-=n （舍去）．4=∴n ．（Ⅱ）ξΘ的可能取值是4,3,2,0，又Θ()241144===APξ，()41246124424==⨯==ACPξ，()31248234434==⨯==ACPξ，()832494===ξP，ξ∴的概率分布列为：则38343134122410=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE．11, B12, 解 (1)∵点F2关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F2PR=∠QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因为l为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0)|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=2211yycxx得x1=2x0－c,y1=2y0∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a故R的轨迹方程为 x2+y2=a2(y≠0)(2)如右图，∵S△AOB=21|OA|·|OB|·sinAOB=22asinAOB当∠AOB=90°时，S △AOB 最大值为21a 2此时弦心距2ak 在Rt △AOC 中，∠AOC=45°，.33,2245cos 1|2|||||2±=∴=︒=+=∴k k a ak OA OC13, 014,53]5,0[)},2[]1,{(]5.0[=+∞--∞的长度的长度Y I15, A。
高中数学第三章3.2复数的四则运算(第一课时)复数的加减与乘法运算讲义(含解析)苏教版选修2_2
3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨]设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数， ∴由 az ＋2b z＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、 填空题1．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为________． 解析：(－i ＋3)－(－2＋5i) ＝－i ＋3＋2－5i ＝－6i ＋5.答案：5－6i2．若复数z ＝1－2i ，(i 为虚数单位)则z ·z ＋z 的实部是________． 解析：∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i＝－2i又z＋z＝2.∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.。
高中数学 3.2复数代数形式的四则运算同步练习 新人教A版选修12
高中数学 3.2复数代数形式的四则运算同步练习 新人教A 版
选修12
3.2复数代数形式的乘除运算
典型例题:
1. “”是“”的（ A ）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
2. 计算：_________
解:原式()()()()()()()()1111112112
2222
055
5533
+-+-+=+++--=+-=i i i i
i i i i i i 3. 若为虚数，且
，求复平面内与对应的点的轨迹。
z z z R z -+∈212
解法一：
，
，。
解法二：， ，
，
， ，，， ，。
练习:
一．选择题：
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. 1 D.
2. 若，则z 对应的点的轨迹是（ ） A. 圆 B. 两点 C. 线段
D. 直线 3. 复数，且，则是（ ）
A. 实数
B. 纯虚数
C. 非纯虚数
D. 复数
二．填空题： 4. _________________.
5. 在复数集内分解因式：____________
三．解答题：
6.
7. 已知，为非零复数，且满足，求证：一定为负数。
z z z z z z z z 12121212
2||||()+=-
3.2.2复数代数形式的乘除运算参考答案
1.D
2.A
3.B
4. i
5. ])2][()2[(yi y x yi y x --+-
6. ；i i i +---∴3368或的平方根为
7．，，。
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【金版学案】2015-2016高中数学 3.2复数代数形式的四则运算练习
新人教A 版选修1-2
基础梳理
1．复数的加法与减法．
(1)复数的加法与减法法则．
①(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；
②(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ．
(2)复数加法、减法的几何意义．
①加法的几何意义．
若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两条邻边的平行
四边形的对角线OZ →所对应的复数，即复数的加法可以按照向量的加法来进行．
②减法的几何意义．
若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→，OZ 2→的终点，并
指向被减数的向量Z 2Z 1→所对应的复数，即复数的减法可以按照向量的减法来进行．
③复平面内的两点间距离公式．
若复数z 1，z 2对应复平面内的点Z 1，Z 2，则||Z 1Z 2＝||Z 1Z 2
→＝|z 1－z 2|. 2．复数的乘法与除法．
(1)乘法与除法法则．
(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；
a ＋
b i
c ＋
d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)几个运算性质．
①i 的幂的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )．
②(1±i)2＝±2i，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，1i
＝－i. ③设ω＝－12＋32
i ，则ω2＝ω，ω3＝1，1＋ω＋ω2＝0. 3.共轭复数．
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数是互为共轭复数．设复数z
＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则它的共轭复数记为z －＝a －b i (a ，b ∈R )．
基础自测
1．已知复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，若z 1＋z 2是纯虚数，则(D )
A ．a －c ＝0且b －d ≠0
B ．a －c ＝0且b ＋d ≠0
C ．a ＋c ＝0且b －d ≠0
D ．a ＋c ＝0且b ＋d ≠0
解析：z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i 是纯虚数，
∴a ＋c ＝0且b ＋d ≠0.故选D.
2．已知向量OA →对应复数3－2i ，OB →对应复数－4－i ，则AB →对应复数为(C )
A ．－1－i
B ．7－3i
C ．－7＋i
D ．1＋i
解析：AB →＝OB →－OA →＝(－4－i)－(3－2i)＝－7＋i.故选C.
3．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝a ＋i 且z 1z －2是实数，则实数a 等于(A )
A.34
B.43
C ．－43
D ．－34
解析：z 1z －2＝(3＋4i)(a －i)＝3a ＋4＋(4a －3)i ，∵z 1z －2是实数，∴4a －3＝0，即a ＝34
.故选A. 4．已知z ∈C ，且(3＋z )i ＝1，则z ＝________． 解析：∵(3＋z )i ＝1，∴3＋z ＝1i
， 即3＋z ＝－i ，
∴z ＝－3－i.
答案：－3－i
（一）复数的加减法运算
(1)复数代数形式的加减法运算满足交换律、结合律．复数的加、减法法则是一种规定，可以推广到多个复数的相加减．。