欧式空间的定义
不同风格空间的分析介绍
地中海风格空间的案例
案例一
位于海边的别墅，整个空间以蓝白色调为主，采用大量的自然材料和装饰元素，营造出清新、自然、 舒适的感觉。
案例二
一家位于海滨城市的餐厅，整个空间采用地中海风格设计，以蓝色和白色为主色调，搭配木质和藤制 家具，营造出一种自然、质朴的氛围。
感谢观看
THANKS
现代风格空间的案例
案例一
某现代家居空间，以白色为主调， 运用简洁的线条和几何形状，营 造出清新、简约的居住环境。
案例二
某现代商业空间，采用大面积的色 块和质感对比，突出空间的层次感 和立体感，营造出现代感十足的商 业氛围。
案例三
某现代办公空间，运用创新材料和 技术手段，如玻璃、金属等，营造 出现代、开放、高效的办公环境。
地中海风格空间的元素
色彩
材质
地中海风格空间以蓝白色调为主，有时也 会采用黄色、绿色等鲜艳的颜色进行点缀 。
地中海风格空间采用自然材料，如木材、 石材等，营造出质朴、自然的感觉。
家具
装饰
地中海风格空间的家具通常采用简约的线 条和自然的材质，如木质、藤制家具等。
地中海风格空间的装饰通常以海洋元素为 主，如贝壳、船只、帆船等，以及具有地 中海特色的植物，如仙人掌、薰衣草等。
不同风格空间的分析 介绍
• 现代风格空间 • 欧式风格空间 • 中式风格空间 • 田园风格空间 • 地中海风格空间
目录
01
现代风格空间
定义与特点
定义
现代风格空间是一种以简洁、明 快、流畅为特点的空间设计风格 。
特点
强调功能性和实用性，追求材料 和技术的创新，注重室内空间的 开放性和流动性。
现代风格空间的元素
条优雅，注重细节处理。
欧氏空间与酉空间
（对比）：酉空间的两个向量ξ 与η 称为正交的,如果 (η,ξ ) =0 我们约定零向量与任意向量
正交.
6：在欧氏空间中,如果 ξ 与η1η2 ^ηn 中的每一向量都正交,那么 ξ 与η1η2 ^ηn 的任意线性组
合都正交.
7，对于欧氏空间的两个向量α ， β 有 α + β ≤ α + β ,当且仅当α , β 正交是等号成立. 更 一 般 地 ， ( 采 用 数 学 归 纳 法 证 明 ) 对 于 欧 氏 空 间 中 两 两 正 交 的 向 量 α1,α2 , ^,αn 有 α1 + α2 + ^ + αn = α1 2 + α2 2 + ^ + αn 2 8.几个重要的不等式推论:设 V 是欧氏空间. ∀η,ξ，ζ ∈V .则
且仅当 ξ ,η 线性相关时等号成立。
4：夹角的定义:设ξ 和η 是欧氏空间的两个非零的向量.ξ 与η 的夹角θ 由一下的公式定
义: cosθ = (ξ ,η ) , 0 ≤ θ ≤ π .说明：酉空间夹角没有定义
ηξ
5：正交的定义:欧氏空间的两个向量 ξ 与η 称为正交的,如果 (η,ξ ) =0 我们约定零向量与
（对比：）酉空间 V 中两两正交的非零的向量是线性无关的
6：（正交化方法，定理 8.2.4）设 V 是一个欧氏空间,{α1,α2 , ^,αn} 是 V 的一个线性无关的 向量组,那么可以求出 V 的一个正交组 {β1, β2 , ^, βn} ,使得 βk 是 α1,α2 , ^,αn 的线性组
3
若
U
T
U
=U
T
U=I
（说明：） UT =U-1
对比：设U
第九章欧式空间 (2)
( ), ( )
( ( )), ( ( )) ( ), ( )
( , )
为欧氏空间V到V"的同构映射.
§9.3 同构
5、两个有限维欧氏空间V与V'同构
d im V d im V .
'
§9.3 同构
标准正交基， 在这组基下，V中每个向量 可表成
x 1 1 x 2 2 x n n ,
xi R
作对应 : V R n , ( ) ( x 1 , x 2 , , x n ) 易证 是V到 R n 的 1 1 对应. 且 满足同构定义中条件1）、2）、3）， 故 为由V到 R n 的同构映射，从而V与 R n 同构.
( , ) (
1
是
1
( )), (
1
( ))
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( ),
1
( )
1
为欧氏空间V'到V的同构映射.
§9.3 同构
③ 若 , 分别是欧氏空间V到V'、V'到V"的同构映射， 则 是欧氏空间V到V"的同构映射. 事实上，首先， 是线性空间V到V"的同构映射. 其次，对 , V , 有
第九章 欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法 §8酉空间介绍 小结与习题
§9.3 同构
一、欧氏空间的同构 二、同构的基本性质
欧几里得的故事
欧几里得的故事欧几里得是古希腊的数学家，世界最伟大的数学家之一，被人们成为“几何之父”。
下面是店铺搜集整理的欧几里得的故事，希望对你有帮助。
欧几里得的故事那时候的人们都崇敬欧几里得的学问，都纷纷前来拜欧几里得为师。
学生越来越多，但也有一些人只是来凑热闹，看别人来学几何，他也来。
一位学生这样问欧几里得：“老师，我们学习几何有什么用?”欧几里得思考后，叫人拿了一点钱给那位学生，并对他说：“看来你拿不到钱是不会学几何的。
”据说那时候几何学几乎成了一个人们的话题，就连亚历山大大国王也想来赶赶时髦。
于是他把欧几里得请进王宫，为他讲授几何学。
没想到才学了一会儿，国王便觉得很吃力了。
于是他问欧几里得有什么捷径能够学习几何。
欧几里得很抱歉的对陛下说学习几何就跟学习科学一样是没有捷径可以走的。
那时候没有人知道金字塔到底有多高，甚至有人说想要测量金字塔比登天还难。
欧几里得听了就笑着对别人说：当你的影子和你一样高的时候，你就可以测金字塔的影子，这样你就知道金字塔多高了。
欧几里得的简介欧几里得(希腊文：Ευκλειδης，公元前330年—公元前275年)，古希腊数学家。
他活跃于托勒密一世(公元前364年-公元前283年)时期的亚历山大里亚，欧几里得有一本数学著作，叫做《几何原本》。
欧几里得这名字是希腊文的中文化名，意思是好的名誉。
著名的古希腊学者阿基米德是他的徒孙。
作为亚历山大大学的教授，欧几里得不仅是一位学识渊博的数学家，也是一位和蔼和亲、孜孜不倦的教育家。
他始终牢记柏拉图学园的严谨求实的学风，对待学生该严格时严格，该仁慈时仁慈，对于在学习上不肯努力的学生，欧几里得都会毫不留情的批评他们。
曾经有书中记载着这样一个故事：说是当时的数学成为人们生活中一个时髦的话题的功劳都来自于欧几里得对数学的推动作用。
当时的国王也想赶赶时髦，但是欧几里得研究的几何也确实让国王犯了头疼，他问欧几里得学习几何的捷径，欧几里得说学习数学和学习科学一样是没有捷径可走的。
欧式室内空间设计分析
欧式室内空间设计分析欧式风格的室内设计源自欧洲，以其典雅、奢华和精致的特点备受人们喜爱。
欧式室内设计注重对细节的处理，注重对空间的运用，其设计风格独具一格，深受人们青睐。
下面将对欧式室内空间设计进行详细分析。
一、色彩搭配欧式室内设计偏爱采用浅色调和暖色调，如米黄色、奶油白、淡粉色等，这些颜色能够给人一种温馨、典雅的感觉。
深色调，如暗红、深蓝等也在欧式室内设计中得到了广泛的运用，这些颜色打造出了浓重的古典气息。
在欧式室内设计中，色彩的搭配非常精致，从家具到墙面、地板的色彩都被精心搭配，使整个室内空间显得极为和谐。
二、家具布局欧式室内设计注重对家具布局的考究，常常采用大尺寸的家具，如沙发、茶几、餐桌等，以突显空间的气派和豪华感。
欧式室内设计也十分注重家具的品质和做工，家具多采用实木制作，雕花工艺复杂，线条流畅，给人一种古典浪漫的感觉。
欧式室内设计会让家具与整个空间相互配合，形成了一种和谐而完美的整体。
欧式室内设计也注重采光和通风，在家具布置的同时会充分考虑到空间的采光和通风问题，使室内空间更加舒适。
三、装饰摆设欧式室内设计极其注重对装饰品和摆设的使用，常常会在墙面、家具上悬挂各种装饰画，如古典油画、雕塑等，为空间增添浓重的文艺气息。
欧式室内设计也会在空间中放置各种古典摆件，如古董、花瓶、雕刻品等，这些摆件可以为空间增添许多古典艺术气息。
在摆设方面，欧式设计注重对对称美的追求，使整个空间显得稳重、典雅。
四、墙面和地板在墙面处理上，欧式室内设计会采用华丽的壁纸和丰富的壁画，这些做法不仅可以为空间增添许多色彩，而且可以体现出主人对于生活品质的追求和审美情趣。
在地板处理上，欧式室内设计常常采用传统的大理石地板或者复古的实木地板，这些地板不仅可以增强空间的豪华感，而且可以为空间增添一份典雅气息。
墙面和地板的处理，是欧式室内设计的一大特色，也是欧式风格所具有的独特魅力之一。
五、灯光设计欧式室内设计中，灯光设计也占有重要的地位，灯光不仅能够照亮整个空间，更能够为空间增添许多美感。
《高等代数》欧氏空间
a1, a2 ,L n , b , b2 ,L bn 有不等式 a 1 ,
(a1b +L+ anbn )2 ≤ (a1 +L+ an )2 (b +L+ bn )2 1 1
(7)
(7)式称为柯西(Cauchy)不等式.
例7 考虑例3的欧氏空间C[a,b]，由不等式（6） 推出，对于定义在[a,b]上的任意连续函数
定义3 定义 设ξ与η是欧氏空间的两个非零向量， ξ与η的夹角θ由以下公式定义： <ξ,η > cosθ = ξ ⋅η 例5 令
R ξ = (x1, x2 ,..., xn )
n
是例1 中的欧氏空间
R 中向量
n
的长度是
2 2 2 ξ = <ξ,ξ > = x1 + x2 +... + xn
由长度的定义,对于欧氏空间中任意向量ξ 和 任意实数a,有
f (x), g(x),
b
有不等式
b 2
∫a f (x)g(x)dx ≤ ∫a f
(x)dx∫
g (x)dx. a
b
2
(8)
(8)式称为施瓦兹(Schwarz)不等式. （7）和（8）在欧氏空间的不等式（6）里被 统一 起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹 不等式.
例8 设 (1)
ξ,η
为欧氏空间V 中任意两个
α , 由于 { 1,α2 ,L αn} 是规范正交基，我们有
（3）
ξ,αi =
∑x α ,α
j= 1 j j
n
i
= xi
这就是说，向量ξ关于一个规范正交基的 第i个坐标等于ξ与第i个基向量的内积；
欧式空间
一 向量的内积
(0, x 2 )
O
A1 = (x 1, x 2 )
JJJ G2 2 2 OA1 = x 1 + x 2
(x 1, 0)
(0, 0, x 3 )
B = (x 1, x 2 , x 3 ) (0, x 2 , 0)
A = (x 1, x 2 , 0)
O
(x 1, 0, 0)
(α ,α ) ≥ 0, ,当且仅当 α = θ 时， (α ,α ) = 0 （4） 。
这里 α , β , γ 是V的任意向量，k是任意实数， 则称 (α , β )为向量α 与 β 的内积，而这样的线性 空间称为Euclid空间，简称欧氏空间。 例B.6.1 设V是定义在闭空间[a,b]上的所有 连续函数构成的函数空间 C [a , b] 。对于V中任意二 个函数 f ( x ), g ( x ) 规定其内积为
是对称矩阵。
三 标准正交基
定义3.3.5 设 V 是欧氏空间，α1, α2 , 中 m 个非零向量。若 α1, α2 , 称 α1, α2 ,
, αm 是 V
, αm 两两正交，则
, αm 是正交向量组。由单位向量构成
的正交向量组称为标准正交向量组。
n R 例 在欧式空间 中，自然基是标准正交向量组。
∫
b
a
f 2 ( x)dx > 0.
例B.6.2
在全体n阶矩阵所构成的线性空间R n×n
中，对任意两个n阶矩阵A、B,规定其内积为 n n ( A, B ) = ∑ ∑ aij bij = tr ( ABT ) 容易验证它满足定义的四个条件，因此 R n×n 对 于所定义的内积构成一个欧氏空间。
欧式风格的设计理念
欧式风格的设计理念欧式风格设计理念是一种以欧洲古典文化为基础的室内设计风格。
它注重细节、讲究对称、强调尊贵和优雅。
下面将从四个方面来介绍欧式风格的设计理念。
第一，注重细节。
欧式风格注重室内空间的每一个细节，在每一处都能感受到经过精心打磨和设计的痕迹。
比如在墙壁的装饰上，可以使用镶嵌木饰或者精美的壁画；在家具上，可以加入花纹、雕刻和金属镶嵌，提升整体的质感和品质；而在地板和天花板上，可以运用瓷砖、大理石和精雕细琢的吊顶，打造独特的效果。
第二，讲究对称。
欧式风格强调对称美，追求整体的协调和平衡。
房间中的家具和摆件通常会成对出现，例如两边的座椅、两个电视柜等，这样可以给人一种平衡感和秩序感。
而且，墙壁上的装饰物和织物也通常会以对称的方式摆放，增强整个空间的统一感和美感。
第三，强调尊贵和优雅。
欧式风格设计追求宏伟和庄重，给人一种豪华的感觉。
富丽堂皇的吊灯、雕塑、壁画等装饰物被广泛运用，使整个空间充满独特的韵味。
家具的设计也常常给人一种优雅的感觉，经典的弧线和华丽的花纹都是欧式风格所独有的元素。
第四，追求实用性和舒适性。
尽管欧式风格注重细节和装饰，但它并不忽略实用性和舒适性。
欧式风格的家具大多采用实木材质，强调实用而精致的设计。
沙发、床和椅子设计合理，舒适度高，可以让人们享受到舒适的休息和生活。
总结来说，欧式风格的设计理念注重细节、讲究对称、强调尊贵和优雅，追求实用性和舒适性。
它通过精心的装饰、对称的摆放、豪华的材料和舒适的家具设计，打造出宏伟、庄重、细腻的室内空间。
无论是家居装修还是公共建筑，欧式风格都能带给人们一种独特而精致的感觉。
线性空间和欧式空间
线性空间和欧式空间第六章线性空间和欧式空间§1线性空间及其同构一线性空间的定义设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为k，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1）；交换律2）()()；结合律3）在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有0（具有这个性质的元素0称为V的零元素）；存在零元4）对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得0（称为的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5）1；存在1元6）k(l)(kl).数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7）(kl)kl；数的分配律8）k()kk.元的分配律在以上规则中，k,l表示数域中的任意数；,,等表示集合V中任意元素。
例1．元素属于数域K的mn矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K上的一个线性空间，记为Mm,n(K)。
例2．全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3．n维向量空间K是线性空间。
n1例4．向量空间的线性映射的集合HomK(K,K)是线性空间。
二．简单性质1．零元素是唯一的。
2．负元素唯一。
3．00，k00，(1)4．若k0，则k0或者0。
三.同构映射定义：设V,V是数域K上的线性空间.AHomK(V,V)是一个线性映射.如果A 是一一映射，则称A是线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间V与V'称为同构的线性空间。
定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积还是同构映射。
欧式空间
1. 定义
= 3 . ( f + g, h )
= = ( f , h) + ( g , h) 4 . ( f , f ) = ∫ f 2 ( x ) dx
a b
∫a ( f ( x ) + g( x ) ) h( x ) dx b b ∫a f ( x )h( x ) dx + ∫a g( x )h( x ) dx
(α , β )′ 满足定义中的性质 1 ～4 . 易证 所以(α , β )′ 也为内积. 从而 R n 对于内积 (α , β )′ 也构成一个欧氏空间. 注意：由于对 ∀α ⋅ β ∈ V , 未必有 (α , β ) = (α , β )′ 所以1），2）是两种不同的内积.
从而 R 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
反之，若等号成立，由以上证明过程知 或者 β
即
(α , β )2 ≤ (α ,α )( β , β )
2. 内积的性质 当α、β 线性相关时，不妨设 α = k β
(α , β ) (= (β , β ) k β . kβ , β ) k = = 于是， = α β k = β β k β
2 2
∴ (α , β ) = α β. 等号成立.
n
1. 定义
例2．C (a , b) 为闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 f ( x ), g( x ) ，定义 则 C (a , b) ∀ f ( x ), g ( x ), h( x ) ∈ C (a , b ), ∀ k ∈ R 证：
1 . ( f , g) 2 . ( k f , g )
= α
α ⋅α
(α ⋅ β )
夹角 ： cos < α , β > =
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
欧式空间的定义
欧式空间的定义
简介编辑编辑欧式空间一般指欧几里德空间欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，在包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得建立了角和空间中距离之间联系的法则，现称为欧几里得几何。
欧几里得首先开发了处理平面上二维物体的“平面几何”，他接着分析三维物体的“立体几何”，所有欧几里得的公理已被编排到叫做二维或三维欧几里得空间的抽象数学空间中。
这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间（甚至简称 n 维空间）或有限维实内积空间。
这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。
为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。
尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。
还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。
有一种方法论把欧几里得平面看作满足可依据距离和角表达的特定联系的点所成的集合。
其一是平移，它意味着移动这个平面就使得所有点都以相同方向移动相同距离。
其二是关于在这个平面中固定点的旋转，其中在平面上的所有点关于这个固定点旋转相同的角度。
欧几里得几何的一个基本原则是，如果通过一序列的平移和旋转可以把一个图形变换成另一个图形，平面的两个图形（也就是子集）应被认为是等价的（全等）。
（参见欧几里得群）。
欧几里得空间的最后问题是它在技术上不是向量空间，而是向量空间作用于其上仿射空间。
直觉上，区别在于对于原点应当位于这个空间的什么地方没有标准选择，因为它可以到处移动。
这种技术本文中很大程度上被忽略了。
欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间) ，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。
这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。
这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。
欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。
内积空间是对欧氏空间的一般化。
内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。
欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。
一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。
这一基本的概念正当化了在欧氏空
间和其他流形之间的微分。
微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨
了非欧氏流形的许多性质。
当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。
欧几里德空间是无穷
大的。
设V 是实数域R 上的线性空间（或称为向量空间），若V 上定义着正定对称双线性
型g （g 称为内积），则V 称为（对于g 的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V 是
有限维时，才称为欧几里德空间）。
具体来说，g 是V 上的二元实值函数，满足如下关系：
（1）g(x,y)=g(y,x)；
（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
（3）g(kx,y)=kg(x,y)；
（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z 是V 中任意向量，k 是任意实数。
(即定义了内积的实线性空间V 为实内积空间或欧几里得空间，简称欧式空间)
1. （经典欧几里德空间E^n）在n 维实向量空间R^n中定义内积
(x,y)=x_1y_1+...+x_ny_n，则R^n为欧几里德空间。
（事实上，任意一个n 维欧几
里德空间V 等距同构于E^n。
）
2. 设V 是[0,1]区间上连续实函数全体，则V 是R 上线性空间，对于如下内积是欧
几里德空间：(f,g)定义为fg 在[0,1]区间上的积分值。
欧几里德介绍编辑
亚历山大里亚的欧几里德（希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。
他活跃于托勒密一世（公元前323年－前
283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五
大公设，发展欧几里德几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。
欧几里得也写了
一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。
欧几里德生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。
浓郁的文化气氛深深地感染了
欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。