江苏省常州市金坛区2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷 (有解析)

江苏省常州市金坛区2019-2020学年八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下列说法正确的是()A. 全等的两个图形可以由其中一个经过轴对称变换得到B. 轴对称变换得到的图形与原图形全等C. 轴对称变换得到的图形可以由原图形经过一次平移得到D. 轴对称变换中的两个图形，每一对点所连线段都被这两个图形之间的直线垂直平分2.如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD=2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为()B. 1C. √2D. 2A. 123.如图，△ABC≌△ADE，∠B=20°，∠E=110°，则∠EAD的度数为()A. 80°B. 70°C. 50°D. 130°4.如图，∠BAC=120°.若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是()A. 30°B. 40°C. 50°D.60°5.如图，在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，若∠ABD=32°，则∠A等于()．A. 32°B. 52°C. 64°D. 72°6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，点E与点D关于AB对称，连接AE、BE，分别延长AE、CB交于点F，若∠F=48°，则∠C的度数是()A. 21°B. 52°C. 69°D. 74°7.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，且E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于()A. 5B. 6C. 7D. 88.如图，∠AOB=30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP=4，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为A. 2B. 4C. 2√3D. 4√3二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）9.若等腰三角形的一个内角为100°，则它的底角为______．10.已知△ABC是等腰三角形，它的周长为20cm，一条边长6cm，那么腰长是_____．11.如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为______．12.如果三角形的三边分别为√2，√6，2，那么这个三角形的最大角的度数为______．13.如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN//BC，若AB=12，△AMN的周长为29，则AC的长是______．14.如图，点A、F、C、D在同一直线上，AF=DC，BC//EF，要判定△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件，你添加的条件是___________．15.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，延长BA至点D，使AD=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰直角△CDE，使∠DCE=90°，连接AE，则AE长为______．16.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE为∠BAC的平分线，且∠DAE=15°，∠B=35°，则∠C=_____°．17.如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m.图中阴影部分的面积=______．18.如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC.若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC=_________．三、解答题（本大题共7小题，共64.0分）19.用直尺和圆规按下列要求作图：(不写作法，保留作图痕迹)(1)作出△ABC关于直线l对称的△DEF；(2)如图(2)：在3×3网格中，已知线段AB、CD，以格点为端点再画1条线段，使它与AB、CD组成轴对称图形．(画出所有可能情况)20.如图，点E、F在AB上，且AF=BE，AC=BD，AC//BD.求证：∠C=∠D．21.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CF=CB，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CE，连接EF。

(1)求证：△BCD≌△FCE(2)若∠DCF=∠EFC，求∠BDC的度数22.如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D、C分别落在点D′、C′处，若∠1=56°，求∠DEF的度数．23.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，BD=CE，M是AC边的中点，求证：△DEM是等腰三角形．24.等腰三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=α.P为边BC上一点，连接AP．(1)如图一，在线段AP上取一点D，连接CD，将线段CD以点C为中心逆时针旋转α，与射线AP交于点E：①求证AD=BE②若α=70°，求∠BEA的度数；(2)如图二，若α=120°，过点C作CM⊥AP于M，且∠DCM=60°.在AP延长线上取一点N，BN，求证BN//CM．连接BN，满足AD+2DM=√3CD+2√3325.如图，D为等腰三角形ABC的边AB的中点，BC=12．(1)用尺规作图找出AC的中点E；(保留作图痕迹)(2)连接DE，求DE的长．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：此题主要考查轴对称的图形的性质.根据轴对称的图形的性质逐项判断即可．解：A.成轴对称的两个图形全等，但是全等的两个图形不一定成轴对称，故A错误；B. 轴对称变换得到的图形与原图形全等，故B正确；C. 轴对称变换得到的图形不能够由原图形经过一次平移得到，故C错误；D. 轴对称变换中的两个图形，每一对对应点所连线段都被对称轴垂直平分，故D错误。

故选B．2.答案：B解析：解：作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=2，∵PE⊥OB，MN⊥OB，∴PE//MN，又M为OP的中点，PE=1，即点M到射线OB的距离为1，∴MN=12故选：B．作PE⊥OB于E，MN⊥OB于N，根据角平分线的性质求出PE，根据三角形中位线定理计算即可．本题考查的是角平分线的性质、三角形中位线定理，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．3.答案：C解析：解：∵△ABC≌△ADE，∠B=20°，∠E=110°，∴∠D=∠B=20°，∴∠EAD=180°−20°−110°=50°．故选C．直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案．此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键．4.答案：D解析：根据三角形的内角和定理可得∠B+∠C=60°，根据垂直平分线的性质定理得到PA=PB，QA=QC，进一步可得∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，∠BAP+∠CAQ=60°，即可解答．解：∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=60°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴PA=PB，QA=QC，∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，∴∠BAP+∠CAQ=60°，∴∠PAQ=∠BAC−∠BAP−∠CAQ=120°−60°=60°．故选D．5.答案：B解析：本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形的内角和等知识点，正确掌握各知识点是解题关键；首先根据角平分线的定义求出∠ABC的度数，再根据等腰三角形的性质求出∠C的度数，最后根据三角形内角和定理求出∠A的度数．解：∵BD是∠ABC的角平分线∴∠ABD=∠CBD∵∠ABD=32°∴∠ABC=2∠ABD=2×32°=64°∵AB=AC∴∠ABC=∠C，∴∠C=64°∴∠A=180°−∠ABC−∠C=180°−2×64°=52°；故选B．6.答案：C解析：解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，∴△ABD≌△ACD(SSS)．∴∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ADC．又∵∠ADB+∠ADC=180°．∴∠ADB=∠ADC=90°．又∵点E与点D关于AB对称，∴∠AEB=∠ADB=90°，∴∠FEB=180°−∠AEB=90°．∵∠F=48°，∴∠FBE=90°−∠F=90°−48°=42°．∴∠EBD=180°−∠EBF=180°−42°=138°．∠EBD=69°．∴∠C=∠ABD=12故选C．根据轴对称的性质解答即可．此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质得出对应角相等..7.答案：D解析：本题考查的是直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．先根据直角三角形的性质求出AC的长，再根据勾股定理即可得出结论．解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，∴∠ADC=90°．∵E是AC的中点，DE=5，∴AC=2DE=10．∵AD=6，∴CD=√AC2−AD2=√102−62=8．故选D．8.答案：B解析：此题主要考查轴对称--最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键.设点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OC，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OD，∠COB=∠POB，∴OC=OD=OP=4，∠COD=∠DOA+∠POA+∠POB+∠COB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=4．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=DM+MN+CN≥CD=4．故选B．9.答案：40°解析：本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．解：①当这个角是顶角时，底角=(180°−100°)÷2=40°；②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°=200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．故答案为40°．10.答案：6cm或7cm解析：解：∵等腰三角形的周长为20cm，∴当腰长=6cm时，底边=20−6−6=8cm，即6+6>8，能构成三角形，=7cm，即7+6>7，能构成三角形，∴当底边=6cm时，腰长=20−62∴腰长是6cm或7cm，故答案为：6cm或7cm．=7cm，根据三角形的三当腰长=6cm时，底边=20−6−6=8cm，当底边=6cm时，腰长=20−62边关系，即可推出腰长．本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长．11.答案：10解析：根据等腰三角形的三线合一得BD=8，再根据勾股定理即可求出AB的长．注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．解：∵等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，∴BD=8，AB=√AD2+BD2=√62+82=10．故答案为：10．12.答案：90°解析：此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得答案．解：∵(√2)2+22=(√6)2，∴此三角形是直角三角形，∴这个三角形的最大角的度数为90°，故答案为：90°．13.答案：17解析：本题考查等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，BM=MO，NC=NO，从而知道，△AMN的周长是AB+AC的长，从而得解．解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN//BC，∴BM=MO，CN=NO，∴AM+MB+AN+NC=AM+MO+AN+NO=29．∴AB+AC=29，∵AB=12，∴AC=17．故答案为：17．14.答案：EF=BC(答案不唯一)解析：此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.添加的条件：EF=BC，再根据AF=DC可得AC=FD，然后根据BC//EF可得∠EFD=∠BCA，再根据SAS判定△ABC≌△DE．解：添加的条件：EF=BC，∵BC//EF，∴∠EFD=∠BCA，∵AF=DC，∴AF+FC=CD+FC，即AC=FD，在△EFD和△BCA中，{EF=CB∠EFD=∠BCA AC=DF，∴△EFD≌△BCA(SAS)．故选EF=BC.(答案不唯一)15.答案：6√2解析：解：如图所示：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，∴AB=3√2，∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，∴CD=CE，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCE，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠DCB=∠ECA，在△DCB和△ECA中，{CB=CA∠DCB=∠ECA EC=DC，∴△DCB≌△ECA(SAS)；∴AE=DB=2AB=6√2，故答案为：6√2．根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，CA=CB，然后利用“SAS”可判断△ACE≌△BCD；根据全等三角形的性质解答即可．本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．16.答案：65解析：本题主要考查三角形内角和定理，垂直的性质，角平分线的定义，关键在于熟练运用个性质定理推出相关角之间的关系，利用三角形内角和定理求得∠AED=75°；然后根据已知条件和三角形外角定理可以求得∠BAE的度数；最后结合三角形角平分线的定义和三角形内角和定理进行解答．解：如图，∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，又∵∠DAE=15°，∴∠AED=75°，∵∠B=35°，∴∠BAE=∠AED−∠B=40°，又∵AE为∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠BAE=80°，∴∠C=180°−∠B−∠BAC=65°．故答案是65．17.答案：96m2解析：解：在Rt△ADC中，∵CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m，∴AC2=AD2+CD2=82+62=100，∴AC=10m，(取正值)．在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676．∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．∴S阴影=12AC×BC−12AD×CD=12×10×24−12×8×6=96(m2).故答案是：96m2．先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形，再根据S阴影=1 2AC×BC−12AD×CD即可得出结论．本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB为直角三角形．18.答案：100°解析：本题考查三角形外角的性质及等边对等角的性质，解答的关键是掌握外角和内角的关系．如图，延长BD交AC于E，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，所以∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD，又DA=DB=DC，根据等腰三角形等边对等角的性质得出∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°，进而得出结果．解：如图，延长BD交AC于E．∵DA=DB=DC，∴∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°．又∵∠BAE=∠BAD+∠DAC=50°，∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°．故答案为100°．19.答案：解：(1)如图(1)，△DEF即为所求；(2)如图(2)(3)，线段EF即为所求．解析：本题考查的是作图−轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．(1)分别作出各点关于直线l的对称点，再顺次连接即可；(2)根据轴对称的性质画出线段即可．20.答案：证明：∵AC//BD，∴∠A=∠B，在△ACF和△BDE中{AC=BD ∠A=∠B AF=BE，∴△ACF≌△BDE(SAS)，∴∠C=∠D．解析：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．由平行可得∠A=∠B，可证明△ACF≌△BDE，可证得结论．21.答案：解：(1)∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°−∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，{CB=CF∠BCD=∠FCE CD=CE，∴△BCD≌△FCE(SAS)；(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∠BCD=∠FCE，∴∠DCE=∠DCA+∠FCE=∠DCA+∠BCD=∠ACB=90°，∵∠DCF=∠EFC，∴EF//CD，∴∠E=180°−∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．解析：本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．(1)由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；(2)由(1)可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数．22.答案：解：由翻折的性质得：∠DED′=2∠DEF，∵∠1=56°，∴∠DED′=180°−∠1=124°，∴∠DEF=62°．解析：本题考查了翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键．根据折叠性质得出∠DED′=2∠DEF，根据∠1的度数求出∠DED′，即可求出答案．23.答案：证明：连接BM，因为AB=BC，AM=MC，所以BM⊥AC，且∠ABM=∠CBM=12∠ABC=45°，因为AB=BC，所以∠A=∠C=180°−∠ABC2=45°，所以∠A=∠ABM，所以AM=BM，因为BD=CE，AB=BC，所以AB−BD=BC−CE，即AD=BE，在△ADM和△BEM中，{AD=BE∠A=∠EBM=45°AM=BM，所以△ADM≌△BEM(SAS)，所以DM=EM，所以△DEM是等腰三角形．解析：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知得出△ADM≌△BEM是解题关键．∠ABC=45°，进而得出△ADM≌△根据AB=BC，AM=MC，得出BM⊥AC，且∠ABM=∠CBM=12BEM，即可得出DM=EM．24.答案：解：(1)①∵∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，又∵CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE；②∵CD=CE，且α=70°，=55°，∴∠CDE=∠CED=180∘−70∘2∴∠ADC=125°，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∴∠BEA=125°−55°=70°；(2)将线段CD以点C为中心，逆时针旋转120°，与AN交于点E，连接BE，∵∠ACB=∠DCE=120°，∴∠ACD=∠BCE，又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE，∵CD=CE，且∠DCE=120°，∴∠CDE=∠CED=30°，∴在Rt△CDM中，由勾股定理得√3CD=2DM，BN，又∵AD+2DM=√3CD+2√33BN，∴AD=2√33∴AD：BN=BE：BN=2√3：3，∴BN：BE=COS∠NBE=√3，2∴∠NBE=30°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∠BEN=∠EBA+∠EAB，∴∠CBE+∠EAB+∠CBA=∠BEN=60°，∴∠BNE=∠NBE+∠NEB=90°，∴BN⊥AN，∵CM⊥AN，∴CM//BN．解析：本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，旋转的性质，勾股定理，解直角三角形和平行线的判定，属于综合题型．(1)①共顶点，等线段，可以联想到旋转，通过证明△ACD≌△BCE得到AD=BE；②全等三角形对应角相等，再根据三角形的内角和定理可求解；(2)将线段CD以点C为中心，逆时针旋转120°，与AN交于点E，连接BE，通过证明△ACD≌△BCE，BN，可得三角形的内角和定理，解直角三角形可得√3CD=2DM，根据AD+2DM=√3CD+2√33∠NBE=30°，再根据三角形的外角性质可得∠BEN=60°，进而得到BM⊥AN，最后得出BN//CM．25.答案：解：(1)如图图中点E即为所求：(2)∵AD=DB，AE=EC，∴DE=1BC，2∵BC=12，∴DE=6．解析：(1)作线段AC的垂直平分线即可解决问题；(2)利用三角形的中位线定理即可解决问题；本题考查作图−复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。