线性回归标准曲线法不确定度(检验检疫)

仪器分析中线性回归标准曲线法分析结果不确定度评估

一、前言

对测试方法制定不确定度评估程序是ISO/IEC 17025对实验室的要求[1]，也是检验工作的需要。由ISO 等7个国际组织联合发布的《测量不确定度表达指南》[2]采用当前国际通行的观点和方法，使涉及测量的技术领域和部门可以用统一的准则对测量结果及其质量进行评定、表示和比较，满足了不同学科之间交往的需要[3]。采用《测量不确定度表达指南》对测试结果不确定度进行评估，也是检验工作同国际标准接轨的需要。

线性回归标准曲线法是仪器分析中最常用的方法，这类仪器包括原子吸收分光光度计、发射光谱仪、分光光度计、气相（液相）色谱仪等。这类分析测定结果的不确定度都有相似的来源，可概括为仪器精密度、标准物质不确定度及溶液制备过程中带来的不确定度等。因此，可用相似的方法对它们进行评估。本文以ICP-AES 法测定钢铁中磷为例，推导了仪器分析中线性回归标准曲线法测定不确定度的计算方法，并提供了计算过程所需的各参数的采集和计算方法，评估了标准不确定度、自由度和扩展不确定度的数值。

二、测定过程和数学模型

仪器分析中线性回归标准曲线测定方法，利用被测物质相应的信号强度与其浓度成正比关系，通过测定已知浓度的溶液（即标准溶液）的信号强度，回归出浓度-信号强度标准曲线，从标准曲线上得到被测定溶液信号强度相应的浓度。计算过程的数学模型如下：

用yi 和y t 分别表示标准溶液和被测溶液的信号线强度，以xi 和x t 分别表示第i 个标准溶液和被测样品溶液的浓度，i=1~n ，n 表示标准溶液个数，则：

y a bx t t =+ (1)

其中，

b x

x y y x

x i

i i n

i

i n

=

---==∑∑()()

()1

2

1

(2)

a y bx =- (3) （1）式也可表示成：

x y a

b

t t =- (4)

把式（2）、（3）代入式（4）得：

x y y x

x x

x y y x t t i

i n

i

i i n

=----+==∑∑()

()()()

2

11

（5）

式（5）表明了被测量xt 与输入量x 1,x 2...xn 和y1,y 2...y n 、yt 的函数关系，可简写成：

x t f x x x n y y y n y t

=(,...,,...,)1212 由上式可知，样品溶液浓度测定结果不确定度可分成标准溶液浓度不确定度分量及其信号强度不确定度分量和被测定溶液信号强度不确定度分量，其中标准溶液浓度不确定度分量可由标准样品标称含量不确定度和配制过程引入的不确定度合成得到，而信号强度不确定度分量是由仪器测量的误差引起的，可从仪器的精密度数据得到。如果标准溶液是从各自不同的母标准物质配制，并且在配制过程使不同的器皿，则各标准溶液之间浓度估计值之间无关，因此xt 各输入量估计值之间无关，由文献[2]5.1款式10，得样品溶液浓度的合成标准不确定度如下：

u x f x u x f y u y f y u y t i n

i i i n

i i t t ()()()()=??????+??????+?????

?==∑∑12

212

22

2

?????? （6）

由式（5）得传播系数的表达式如下：

n x x y y y y x x x x y y x x y y n n x f n j j

i n j j j i n ji j j t i 1)()())(()(2))(()(1

12

121+??

????------??

?

???----=∑∑∑===?? (7)

??

????----

---??

?

???---=∑∑∑===))((1

))((1))(()(1211

2

x x y y n n y y x x n y y x x x x y f i t n j j j n j j j n

j j

i ?? (8) ??f y b

t =1

(9) 我们以测定钢铁中磷的浓度为例，选择5个标准钢铁样品，按SN/T0750-1999《进出口碳钢、低合金中铝、砷、铬、钴、铜、磷、钼、镍、硅、锡、钛、钒含量的测定-电感耦合等离子体原子发射光谱（ICP-AES ）法》的方法制备标准溶液和被测样品溶液。

在ICP-AES 上选用P213.6nm 做分析谱线，分别测定标准溶液和被测溶液的分析谱线强度，用最小二乘线性回归法做出浓度-分析谱线强度标准曲线，从标准曲线上得到与被溶液分析谱线强度相应的浓度，再把被测溶液浓度转换成样品的百分比含量。测试过程的各种量如表1所示。

表1 钢铁中磷的测定有关量值

样品编号

标称含量（%）

称样量（g ） 溶液浓度（ug/ml ） 谱线强度（cps ）

BH0507-9A 0.011 0.4755 0.523 57.6 30#第39号 0.022 0.4864 1.07 139.6 GB01202 0.029 0.5167 1.39 190 GB01203 0.038 0.5053 1.92 266.7 BH0506-3A 0.063 0.4524 2.58 351.9 被测样品

0.4805

2.30

316.7

三、各量值不确定度的计算

如前所述，仪器分析中标准曲线法测定结果不确定度来源包括仪器精密度、标准物质不确定度及制备各种溶液过程中引入的不确定度，这些不确定度来源可从仪器说明书及其它有关文件中得到，通过这些数据及合适的合成方法，可得到测定结果的不确定度。

我们以上面测定钢铁中磷的例子，各种量值不确定度计算如下： 1.标准溶液浓度不确定度u(x i ) 标准溶液溶度由下式得出：

x c m v i i i

i

=

（10） 其中，xi 为标准溶液浓度（单位为ug/ml ），ci 为标准样品质量比浓度（单位为1），mi 为标样质量(单位为ug)，vi 为溶液体积(单位为ml)。

由此得出标准溶液浓度不确定度来自三个分量：第一，钢铁标样标值的不确定度u c (x i )；第二，称量过程引入的不确定度u m (x i )；第三，定容过程引入的不确定度u v (x i )。由文献[3]公式10得：

u x x c u x x m u x x v u x i i i c i i i m i i i v i

()()()()=?? ???+??

???+?? ?????????2

22

22

2

(11)

式中传播系数：

??x c m v i i i

i

= （12） ??x m c v i i i

i

= （13） ??x v m c

v i i i i i =-2 （14） （1）标值的标准不确定度u c (x i )

标准钢铁采用国家标准，其相对扩展不确定度为1%，按正态分布95%置信概率计算，标准不确定度：

u c (x i )=0.01/1.96c i =0.0051c i

国标钢样由国家标准研究所提供，其标不准确定度可信度很高，自由度： v c =∞

（2）称量过程引入的不确定度u m (x i )

称量不确定度来自两个方面，第一，天平校正产生的不确定度，按检定证书上给出的在95%置信概率时为±0.1mg ，换算成标准偏差为u1=0.1/1.96=0.052mg 自由度为∞；第二称量变动性，根据历史记录，在50g 以内，变动性标准偏差为u2=0.07mg ，自由度为∞。

样品称量过程中，样品质量m=m G -m T 得出，其中，mG 是样品及容器总质量，mT 是容器质量，由此得出样品质量不确定度的四个分量：第一，系统误差导致的毛重不确定度uG 1=0.052mg ；第二，系统误差导致的皮重不确定度ut 1=0.052mg ；第三，由随机误差导致的毛重不确定度u G2=0.007mg ；第四，由随机误差导致的皮重不确定度u

T2=0.007mg 。由于毛重和皮重由同一天平称出，因此，系统误差导致的毛重和皮重值不

确定度是强相关的，即相关系数为1，而随机误差导致的不确定度是无关的，由此得：

()u x m m u m m u m m u m m u m i G G G G T T T T ().....=+??????+??????+??????

=

-++=????????1221212

22200520052000700070010

由文献[2]式（G2），自由度为：

0010005200700520074

4444

.....∞+∞+∞+∞

=∞ （3）定容过程引入的不确定度u v (x i )[4]

使用100ml 容量瓶配制标准和样品溶液，其不确定度包括三部分：第一，容量瓶体积的不确定度，按制造商给定为±0.10ml ，按均匀分布换算成标准偏差为：

01030058./.=ml ，自由度为：∞；第二，充满液体至容量瓶刻度的变动性，可通过重

复称量进行统计，例如重复10次统计出标准偏差为0.012ml ，自由度：10-1=9；第三，容量瓶和溶液温度与校正时温度不同引起的体积不确定度，假设差3?C ，水体积膨胀系数为2.1X10-4/?C ，则95%置信概率时体积变化的区间为±100X3X2.1X10-4=0.063ml ，转换成标准偏差：0.063/1.96=0.032ml ，自由为：∞。以上三项合成得出：

u x ml v i ()....=++=0058001200320067222 自由度为：v x i ()=∞

把5点标准溶液体积、称样量和标称含量代入式（12）、（13）、（14），得各量值的不确定度传播系数。对标准溶液浓度不确定度有贡献的量、其不确定度及传播系数如表2所示。把表2中有关量值代入式（11），得第i 个标准溶液不确定度u(x i )，其自由度v(x i )=∞，列于表3中。

表2 标准溶液浓度不确定度u(x i)计算的有关量值

量量值标准不确定度自由度传播系数不确定度分量

(ug/ml)

c10.00011 0.00000056 ∞4755ug/ml 0.00269

c20.00022 0.00000112 ∞4864ug/ml 0.005466

c30.000269 0.00000137 ∞5167ug/ml 0.00709

c40.00038 0.00000194 ∞5053ug/ml 0.00979

c50.00063 0.00000321 ∞4524ug/ml 0.0145

m1475500ug 10ug ∞0.0000011ml-10.000011

m2486400ug 10ug ∞0.0000022ml-10.000022

m3516700ug 10ug ∞0.0000029ml-10.000030

m4505300ug 10ug ∞0.0000038ml-10.000038

m5452400ug 10ug ∞0.0000063ml-10.000063

v1100ml 0.067ml ∞-0.00523ug/ml -0.00035

v2100ml 0.067ml ∞-0.0107ug/ml -0.00072

v3100ml 0.067ml ∞-0.0150ug/ml -0.00093

v4100ml 0.067ml ∞-0.0192ug/ml -0.00129

v5100ml 0.067ml ∞-0.0285ug/ml -0.00191

表3标准溶液浓度不确定度u(x i)及自由度v(x i)

量x i量值标准不确定度u(x i) 自由度v(x i)

x10.523ug/ml 0.00269ug/ml ∞

x2 1.07ug/ml 0.00551ug/ml ∞

x3 1.39ug/ml 0.00716ug/ml ∞

x4 1.92ug/ml 0.00989ug/ml ∞

x5 2.58ug/ml 0.0147ug/ml ∞

2.分析谱线强度的标准不确定度

分析谱线强度标准不确定度来源于ICP-AES仪器本身的长时间精密度。以我们采用的美国PE公司OPTIMA 3300 RL为例，其仪器说明书上列明的短时间精密度为10次连续重复测量结果的相对标准偏差不超过1%，长时间精密度是每10分钟重复测量一

次相同溶液，4小时内得到数据的相对极差小于10%，即相对标准偏差小于：

012405

24

00202...?-≈

我们认为取长时间稳定性做仪器不确定度计算依据较为可信，其标准不确定度： u(y i )=0.0202y i

把5点标准溶液的分析谱线强度代入上式，得其标准不确定度，如表4所示。 自由度：

v(y i )=4X60/10-1=23。

相似地，可得样品溶液分析谱线的强度不确定度： u(y t )=0.0202y t , 自由度：v(y t )=23 如表4所示。

表4溶液分析谱线强度不确定度u(y i )和自由度v(y i ) 量

量值

标准不确定度

u(y i )

自由度v(y i )

y 1 57.6 cps 1.16cps 23 y 2 139.6 cps 2.82cps 23 y 3 190.0 cps 3.84cps 23 y 4 266.7 cps 5.39cps 23 y 5 351.9 cps 7.10cps 23 y t

316.7 cps

6.40cps

23

四、样品溶液浓度合成标准不确定度的计算

计算完上述有关量值，把它们分别代入式（7）、（8）、（9），得出各不确定度分量的传播系数。以上述例，结果如表5所示。

表5 被测样品溶液浓度不确定度u(x t )计算的有关量值

量 量值

标准 不确定度

自由度 传播系数 不确定度分量

(ug/ml) x 1 0.523ug/ml 0.00269 ug/ml ∞ -0.0445 -0.0012 x 2 1.07 ug/ml 0.00551 ug/ml ∞ 0.0904 0.000498 x 3 1.39 ug/ml 0.00716 ug/ml ∞ 0.165 0.00118 x 4 1.92 ug/ml 0.00989 ug/ml ∞ 0.301 0.00297 x 5 2.85 ug/ml 0.0147 ug/ml ∞ 0.488 0.00717 y 1 57.6 cps 1.16cps 23 0.000356ug/ml/cps 0.00414 y 2 139.6 cps 2.82cps 23 -0.000630ug/ml/cps -0.00178 y 3 190.0 cps 3.84cps 23 -0.00120ug/ml/cps -0.00461 y 4 266.7 cps 5.39cps 23 -0.00215ug/ml/cps -0.0116 y 5 351.9 cps 7.11cps 23 -0.00334ug/ml/cps -0.0237 y t 316.7 cps

6.33cps

23

0.00696ug/ml/cps

0.0445

把表5有关量值代入式（6），得样品溶液浓度的合成标准不确定度： u(x t )=0.0525ug/ml 自由度：

v x u x f x u x v x f y u y v y f x u y v y t i i i i i n i i i

i n i t t ()()()()()()()()

.....=

??????+????

?

?+????

??=

+++++-+-+-==∑∑4

4

14

14

4

444400525000000004142300017823000461230011623??????+-+

≈00237230044523

41

44

..五、被测样品含量不确定度的计算

上面得出样品溶液浓度的不确定度，据此可计算出样品百分含量的不确定度。 钢铁样品的磷含量与样品溶液的关系式：

c v x m t t t

=

?

其中，ct 为样品的质量分数含量（单位为1），xt 为样品溶液浓度（单位为ug/ml ），mt 为样品质量（单位为ug ，标准不确定度与标样相同，为10ug ）。代入表1的有关数

据，可得：

c t =0.000479

由文献[2]公式10得：

u c c x u x c v u v c m u m v m u x x m u v vx m u m t t t t t t t t t t t t ()()()()()()()2

2

2

2

2222

=??????+??????+?????

?

=??????+??????+-????

?

??????? （14）

把表1、2、3中有关量值代入上式，得：

u c t ().....=??? ???+??? ???+-???? ???≈1004805000052523480500006710023480500100000010982222

自由度：

v c t ()..=

++≈000000109800000010941

0041

4

4

取置信概率p=95，自由度v=41，查t 分布表得： k=t p (v)=t 0.95(41)=2.02 扩展不确定度：

U=t p (v)u c =2.02X0.000011=0.0022% 所以，例中被测样品中磷含量可表示成

c t =0.0479±0.0022 (%) (其中扩展不确定包含系数k=t p (v)=t 0.95(41)=2.02)。

参考文献

[1]ISO/IEC 17025，校准和测试实验室能力的通用要求，北京：中国国家进出口商品检验实验室认可委员会秘书处，1999年，1-81

[2]肖明耀等译，测量不确定度表达指南，北京：中国计量出版社出版，1997年，1-164

[3]JJF 1059-1999，测量不确定评定与表示，北京：中国计量出版社出版，1999年，1-11

[4]韩永志，某些分析测定不确定度的计算示例，理化检验-化学分册，2000年，第36卷第9期，424-425