立体几何经典大题(各个类型的典型题目)
1.如图,已知△ABC 是正三角形,EA ,CD 都垂直于平面ABC ,且EA =AB =2a ,DC =a ,F 是BE 的中点.
(1)FD ∥平面ABC ;(2)AF ⊥平面EDB .
2.已知线段PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M 、N 分别是AB 、PC 的中点。 (1)求证:MN //平面PAD ; (2)当∠PDA =45°时,求证:MN ⊥平面PCD ;
F C
B
A
E
D
A B C D E
F 3.如图,在四面体ABCD 中,CB=CD,BD AD ⊥,点E ,F 分别是AB,BD 的中点.求证: (1)直线EF// 面ACD ; (2)平面⊥EFC 面BCD .
4.在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中,底面是等腰三角形,AB =AC ,侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC (1)若D 是BC 的中点,求证 AD ⊥CC 1;
(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ,若AM =MA 1, 求证 截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ;
(3)AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗?请你叙述判断理由
]
立体几何大题训练(3)
C
1
5. 如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 、G 分别是A 1A ,D 1C ,AD 的中点. 求证:(1)MN//平面ABCD ; (2)MN ⊥平面B 1BG .
6. 如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 为棱AD 、AB 的中点. (1)求证:EF ∥平面CB 1D 1;
(2)求证:平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1.
立体几何大题训练(4)
7、如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB ∥CD ,AB=4,BC=CD=2,AA 1=2,
_ G
_ M _ D
_1
_ C
_1
_ B
_1
_ A
_1
_ N
_ D _ C
_ B _ A
B
A 1
F
E、E1分别是棱AD、AA1的中点
(1)设F是棱AB的中点,证明:直线EE1∥面FCC1;
(2)证明:平面D1AC⊥面BB1C1C。
8.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a2,点E,
F分别在PD,BC上,且PE:ED=BF:FC。
(1)求证:PA⊥平面ABCD;(2)求证:EF//平面PAB。
立体几何大题训练(5)
9.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=3,AC=AB=4,PB=PC=BC=5,D、E分别是BC、AC的中点,F为
PC 上的一点,且PF :FC=3:1. (1)求证:PA ⊥BC ;
(2)试在PC 上确定一点G ,使平面ABG ∥平面DEF ; (3)求三棱锥P-ABC 的体积.
10、直三棱柱111C B A ABC -中,11===BB BC AC ,31=AB .
(1)求证:平面⊥C AB 1平面CB B 1; (2)求三棱锥C AB A 11-的体积.
立体几何大题训练(6)
A
P
B
C
D E
F
A
B
C
C
A
B
11、如图,已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都是2,D 、E 分别为CC 1、A 1B 1的中点. (1)求证C 1E ∥平面A 1BD ; (2)求证AB 1⊥平面A 1BD ;
12.如图,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB=2,AA 1=1,D 是BC 的中点,点P 在平面BCC 1B 1内,PB 1=PC 1=.2 (I )求证:PA 1⊥BC ;(II )求证:PB 1//平面AC 1D ;
立体几何大题训练(7)
13.如图,平行四边形ABCD 中,60DAB ?
∠=,2,4AB AD ==将CBD ?沿BD 折起到EBD ?的位置,
E
D
C
B 1
C
1 A 1 A
B
使平面EDB ⊥平面ABD
(I )求证:AB DE ⊥(Ⅱ)求三棱锥E ABD -的侧面积。
14. 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,侧棱PA PD ⊥,底面ABCD 是直角梯形,其中
//BC AD ,090BAD ∠=,3AD BC =,O 是AD 上一点. (Ⅰ)若//CD PBO 平面,试指出点O 的位置; (Ⅱ)求证:PAB PCD ⊥平面平面.
立体几何大题训练(8)
15 、如图所示:四棱锥P-ABCD 底面一直角梯形,BA ⊥AD ,CD ⊥AD ,CD=2AB ,PA ⊥底面ABCD ,
E 为PC 的中点.
O
P
D
C
B
A
第14题
(1)证明:EB∥平面PAD;
(2)若PA=AD,证明:BE⊥平面PDC;
16.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点。
(I)求证:CD⊥平面A1ABB1;
(II)求证:AC1//平面CDB1。
立体几何大题训练(9)
17.如图,四边形ABCD为矩形,平面ABCD⊥平面ABE,BE=BC,F为CE上的一点,且BF⊥平面ACE.(1)求证:AE⊥BE;
D C
(2)求证:AE ∥平面BFD .
18.如图所示,在直三棱柱111C B A ABC -中,1AB BB =,1AC ⊥平面D BD A ,1为AC 的中点. (1)求证://1C B 平面BD A 1; (2)求证:⊥11C B 平面11A ABB ;
(3)设E 是1CC 上一点,试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面BDE ,并说明理由.
立体几何大题训练(10)
19.如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,AB AC =,D 、E 分别为BC 、C B 1的中点,
(1)求证:11//DE ABB A 平面; (2)求证:1ADE B BC ⊥平面平面
A 1
B 1
C 1
A
B C
D
20.如图,E 、F 分别为直角三角形ABC 的直角边AC 和斜边AB 的中点,沿EF 将AEF ?折起到'A EF ?的位置,连结'A B 、'A C ,P 为'A C 的中点. (1)求证://EP 平面'A FB ;
(2)求证:平面'A EC ⊥平面'A BC ;
立体几何大题训练(11)
21.如图,四棱锥P —ABCD 中,四边形ABCD 为矩形,平面PAD ⊥平面ABCD ,且E 、O 分别为PC 、BD 的中点.
求证:(1)EO ∥平面PAD ; (2)平面PDC ⊥平面PAD .
P
22.在四棱锥P -ABCD 中,∠ABC =∠ACD =90°,∠BAC =∠CAD =60°,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点,PA =2AB =2.
(Ⅰ)求四棱锥P -ABCD 的体积V ; (Ⅱ)若F 为PC 的中点,求证PC ⊥平面AEF ; (Ⅲ)求证CE ∥平面PAB .
立体几何大题训练(12)
23.在四棱锥ABCD O -中,底面ABCD 为菱形,ABCD OA 平面⊥,E 为OA 的中点,F 为BC 的中点,连接EF ,求证:
P A B
C
D
E
F
(1) BDO ACO ⊥平面平面 (2) OCD EF 平面直线//
24、已知:等边ABC ?的边长为2,E D ,分别是AC AB ,的中点,沿DE 将ADE ?折起,使DB AD ⊥,连
AC AB ,,得如图所示的四棱锥BCED A -
(Ⅰ)求证:⊥AC 平面ABD (Ⅱ)求四棱锥BCED A -的体积
立体几何大题训练(13)
25、如图,在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥平面ABCD ,PA =AD ,
E 是PD 的中点
(1)求证:PB ∥平面AEC
(2)求证:平面PDC ⊥平面AEC
A
B
E
D
C
A
B
C
E D
E
P
26.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点,点D 在11B C 上,11A D B C ⊥。求证:(1)EF ∥平面ABC ;(2)平面1A FD ⊥平面11BB C C .
立体几何大题训练(14)
27、如图所示,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别为1DD 、DB 的中点. (1)求证:EF //平面11ABC D ;(2)求证:1EF B C ⊥;(3)求三棱锥EFC B V -1的体积.
28.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长与侧棱长都是2,,D E 分别是11,BB CC 的中点. (Ⅰ)求三棱柱111ABC A B C -的全面积; (Ⅱ)求证:BE ∥平面1ADC ;
(Ⅲ)求证:平面1ADC ⊥平面11ACC A .
立体几何大题训练(15)
29. 已知直三棱柱111ABC A B C -中,ABC ?为等腰直角三角
形,
C
D B
F
E
D 1
C 1
B 1
A A 1
C 1
B 1
A 1
E
D
C
B
A
090BAC ∠=,且12AB AA ==,,,D E F 分别为11,,B A C C BC 的中点,
(1)求证:DE //平面ABC ; (2)求证:1B F ⊥平面AEF ; (3)求三棱锥E-AB 1F 的体积。
30.已知矩形ABCD 中,AB =2AD =4,E 为 CD 的中点,沿AE 将AED 折起,使DB =
O 、H 分别为AE 、AB 的中点.
(1)求证:直线OH//面BDE ; (2)求证:面ADE ⊥面ABCE.
立体几何大题训练(16)
31.(本小题满分14分)已知直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1,底面ABCD 为直角梯形,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,CD=DD 1 =4,AD=AB=2,E 、F 分别为BC 、CD 1中点.
A
B C
D E
A
B
C
D
E O
H
(I)求证:EF ∥平面BB 1D 1D ; (Ⅱ)求证:BC ⊥平面BB 1D 1D ; (Ⅲ)求四棱锥F-BB 1D 1D 的体积.
32、如图,已知AB ⊥平面ACD ACD ?,DE//AB,是正三角形,2AD DE AB ==,且F 是CD 的中点。
(I )求证://AF 平面BCE ;
(II )求证:平面BCE ⊥平面CDE ;
立体几何大题训练(17)
33.如图已知平面,αβ,且,,AB PC αβα=⊥,,PD C D β⊥是垂足. (Ⅰ)求证:AB ⊥平面PCD ;
(Ⅱ)若1,2PC PD CD ===,试判断平面α与平面β的位置关系,并证明你的结论.
A
B C D
E
A 1
B 1
C 1
F
D 1
第31题图
34.如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长和侧棱长均为1,1160,BAD BAA DAA ∠=∠=∠=1O 为11A C 中点.
(I )求证:11//.AO C BD 平面;
(II )求证:1
BD AC ⊥; (III )求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积.
立体几何大题训练(18)
35. 如图,正三棱柱111C B A ABC -中,已知1AB AA =,M 为1CC 的中点.
C 1
A
(Ⅰ)求证:1BM AB ⊥;
(Ⅱ)试在棱AC 上确定一点N ,使得1//AB 平面BMN .
36. 正三棱柱111A B C ABC -中,点D 是BC 的中点,12BC BB =.设11B D BC F =.
(Ⅰ)求证:1A C ∥平面1AB D ;(Ⅱ)求证:1BC ⊥平面1AB D .
答案与评分标准
1.证明(1)取AB 的中点M ,连FM ,MC ,
∵ F 、M 分别是BE 、BA 的中点,
A
B
C A 1
C 1
B 1
M
∴ FM ∥EA ,FM=
1
2
EA . ∵ EA 、CD 都垂直于平面ABC ,
∴ CD ∥EA ,∴ CD ∥FM . ………………3分 又 DC=a ,∴FM=DC .
∴四边形FMCD 是平行四边形,
∴ FD ∥MC .即FD ∥平面ABC .……………7分 (2)∵M 是AB 的中点,△ABC 是正三角形, ∴CM ⊥AB ,又CM ⊥AE ,
∴CM ⊥面EAB ,CM ⊥AF ,FD ⊥AF , ………………………………11分 又F 是BE 的中点,EA=AB ,∴AF ⊥EB . 即由AF ⊥FD ,AF ⊥EB ,FD ∩EB =F ,
可得AF ⊥平面EDB . ……………………………………………………14分 2. (1)取PD 的中点E ,连接AE 、EN
∵EN 平行且等于
12DC ,而1
2
DC 平行且等于AM ∴AMNE 为平行四边形MN ∥AE ∴MN ∥平面PAD
(2)∵PA ⊥平面ABCD ∴CD ⊥PA 又
∵ABCD 为矩形 ∴CD ⊥AD, ∴CD ⊥AE ,AE ∥MN ,MN ⊥CD ∵AD ⊥DC ,PD ⊥DC ∴∠ADP=45°, 又E 是斜边的PD 的中点∴AE ⊥PD , ∴MN ⊥PD ∴MN ⊥CD ,∴MH ⊥平面PCD. 3、证明:(1)∵E,F 分别是AB BD ,的中点.
∴EF 是△ABD 的中位线,∴E F ∥AD ,
∵E F ∥?面ACD ,AD ?面ACD ,∴直线E F ∥面ACD ; (2)∵AD ⊥BD ,E F ∥AD ,∴E F ⊥BD ,
∵CB=CD ,F 是BD的中点,∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC , ∵B D ?面BCD ,∴面EFC ⊥面BCD
4、(1)证明 ∵AB =AC ,D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC
∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ,∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴AD ⊥CC 1
(2)证明 延长B 1A 1与BM 交于N ,连结C 1N
∵AM =MA 1,∴NA 1=A 1B 1
∵A 1B 1=A 1C 1,∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1 ∴C 1N ⊥C 1B 1
∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ,∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C
(3)解 结论是肯定的,充分性已由(2)证明,下面证必要性
过M 作ME ⊥BC 1于E ,∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ,又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ∥AD ,∴M 、E 、D 、A 共面 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ,∴AM ∥DE ∵CC 1⊥AM ,∴DE ∥CC 1
∵D 是BC 的中点,∴E 是BC 1的中点
∴AM =DE =2
1
211=
CC AA 1,∴AM =MA 1
5. 证明:(1)取CD 的中点记为E ,连NE ,AE . 由N ,E 分别为CD 1与CD 的中点可得
NE ∥D 1D 且NE=12
D 1D , ………………………………2分 又AM ∥D 1D 且AM=1
2
D 1D ………………………………4分
所以AM ∥EN 且AM=EN ,即四边形AMNE 为平行四边形 所以MN ∥AE , ……………………… ………6分 又AE ?面ABCD,所以MN ∥面ABCD ……8分 (2)由AG =DE ,90BAG ADE ∠=∠=?,DA =AB
可得EDA ?与GAB ?全等 ……………………………10分
所以ABG DAE ∠=∠, ……………………………………………………………11分 又90DAE AED AED BAF ∠+∠=?∠=∠,,所以90BAF ABG ∠+∠=?,
所以AE BG ⊥, ………………………………………………12分 又1BB AE ⊥,所以1AE B BG ⊥面, ……………………………………………………13分 又MN ∥AE ,所以MN ⊥平面B 1BG ………………………………………… …15分 6.(1)证明:连结BD .
在长方体1AC 中,对角线11//BD B D . 又
E 、
F 为棱AD 、AB 的中点, //EF BD ∴. 11//EF B D ∴.
又B 1D 1?≠ 平面11CB D ,EF ?平面11CB D ,∴ EF ∥平面CB 1D 1. (2) 在长方体1AC 中,AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,而B 1D 1?≠ 平面A 1B 1C 1D 1,∴ AA 1⊥B 1D 1.
又在正方形A 1B 1C 1D 1中,A 1C 1⊥B 1D 1,∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又
B 1D 1?≠ 平面CB 1D 1,∴平面CAA 1
C 1⊥平面CB 1
D 1.
7、证明:(1)在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,取A 1B 1的中点F 1, 连接A 1D ,C 1F 1,CF 1,因为AB=4, CD=2,且AB//CD , 所以CDA 1F 1,A 1F 1CD 为平行四边形,所以CF 1//A 1D , 又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点,所以EE 1//A 1D ,
所以CF 1//EE 1,又因为1EE ?平面FCC 1,1CF ?平面FCC 1,
所以直线EE 1//平面FCC 1.
(2)连接AC,在直棱柱中,CC 1⊥平面ABCD,AC ?平面ABCD, 所以CC 1⊥AC,因为底面ABCD 为等腰梯形,AB=4, BC=2, F 是棱AB 的中点,所以CF=CB=BF ,△BCF 为正三角形,
60BCF ∠=?,△ACF 为等腰三角形,且30ACF ∠=?
所以AC ⊥BC, 又因为BC 与CC 1都在平面BB 1C 1C 内且交于点C, 所以AC ⊥平面BB 1C 1C,而AC ?平面D 1AC, 所以平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.
8.(1)证明:∵底面ABCD 是菱形,∠ABC=60°,
∴AB=AD=AC=a.在△PAB 中, ∵PA 2+AB 2=2a 2=PB 2,
∴PA ⊥AB ,同时PA ⊥AD ,又AB AD=A ,
E
A
B
C
F
E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D
F 1
E
A B
C
F
E 1 A 1
B 1
C 1
D 1
D
高中立体几何典型题及解析
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求:AM 及CN 所成的角的余弦值; 解析:(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ,则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1, 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中,CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注:1、本题的平移点是N ,按定义作出了异面直线中一条的平行线,然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长,再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角,也可能是它的邻补角,在直观图中无法判定,只有通过解三角形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角(异面直线所成的角的邻补角)。最后作答时,这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示,在空间四边形ABCD 中,点E 、F 分别是BC 、AD 上的点,已知AB=4,CD=20,EF=7, 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析:在BD 上取一点G ,使得3 1 =GD BG ,连结EG 、FG 在ΔBCD 中,GD BG EC BE = ,故EG//CD ,并且4 1==BC BE CD EG , 所以,EG=5;类似地,可证FG//AB ,且 4 3 ==AD DF AB FG , 故FG=3,在ΔEFG 中,利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ,故∠FGE=120°。 另一方面,由前所得EG//CD ,FG//AB ,所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角,于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=c ,AB=a ,AD=b ,且a >b .求AC 1及BD 所成的角的余弦. A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O