《多项式与多项式相乘》教案、导学案、同步练习

《第2课时多项式与多项式相乘》教学设计

（一）教学目标

知识与技能目标：

理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算.

过程与方法目标：

经历探索多项式乘法的法则的过程.

情感态度与价值观：

通过探索多项式乘法法则，让学生感受数学与生活的联系，同时感受整体思想、转化思想，并培养学生的抽象思维能力.

教学重点：多项式与多项式相乘法则及应用.

教学难点：

多项式乘法法则的推导.

多项式乘法法则的灵活运用.

（二）教学程序

教学过程

一、问题情境导入新课

为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长为m米,宽为a米的长

方形绿地,增长了n米,加宽了b米.你能用几种方法求出扩大后的

绿地面积?

二、新知讲解

扩大后绿地的面积可以表示为(m+n)(a+b)或(ma+mb+na+nb),它们

表示同一块地的面积，故有：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+n b

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

也可以这样考虑: 当X=m+n时, (a+b)X=?

由单项式乘以多项式知 (a+b)X=aX+bX

于是，当X=m+n时，(a+b)X=(a+b)(m+n)

=a(m+n)+b(m+n)

即 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

=am+an+bm+bn

例题讲解：

例题1：计算：

(1)(x+2y)(5a+3b)； (2)(2x-3)(x+4)；

(3)(x+y)2； (4)(x+y)(x2-xy+y2)解：(1)(x+2y)(5a+3b)

＝x·5a+x·3b+2y·5a+2y·3b

＝5ax+3bx+10ay+6by；

(2)(2x-3)(x+4)

=2x2+8x-3x-12

=2x2+5x-12

(3)(x+y)2

=(x+y)(x+y)

=x2+xy+xy+y2

=x2+2xy+y2；

(4)(x+y)(x2-xy+y2)

=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3

=x3+y3

例题2:计算以下各题：

（1）(a+3)·(b+5)；

（2）(3x-y) (2x+3y)； （3）(a-b)(a+b)； （4）(a-b)(a 2+ab+b 2) 解：(1) (a+3)·(b+5) =ab+5a+3b+15； (2) (3x-y) (2x+3y)

=6x 2+9xy -2xy-3y 2(多项式与多项式相乘的法则) =6x 2+7xy-3y 2(合并同类项) (3)(a-b)(a+b) =a 2+ab-ab-b 2 = a 2-b 2

(4)(a-b)(a 2+ab+b 2) =a 3+a 2b+ab 2-a 2b-ab 2-b 3 = a 3 -b 3 例题3:

先化简，再求值：

（2a-3）（3a+1）-6a （a-4）其中a ＝2/17 解：（2a-3）（3a+1）-6a （a-4） ＝6a 2+2a-9a-3-6a 2+24a ＝17a-3

当a ＝2/17时，原式＝17×2/17-3＝-1 例题4:

观察下列解法，判断是否正确，若错请说出理由。

解法1：原式＝ ＝ ＝ ＝

先化简再求值展示新题型.

让学生找错误以使学生更好的掌握本节课所学知识.

（1）注意各项的符号，要防止错符号；(2)防止漏乘导致漏项。

在合并同类项之前，一定要检查其项数是否等于两个多项式的项数的乘积；（3）

2(23)(2)(1)x x x ----2

(23)(2)(1)x x x ----2246(21)2x x x x -+--+2221246x x x x +--+-2

25x x -+

解法2：原式＝ ＝

＝

解法3：原式＝ ＝ ＝

以上解法中均有错误,提示让学生寻找错误并改正 四、达标训练 计算

（1）（a+b ）（a-b ） （2）（a+b ）2

（3）（a+b ）（a 2-ab+b 2） （4）判断题：

①(a+b )(c+d)=ac+ad+bc ； ( ) ②(a+b)(c+d)=ac+ad +ac+bd ； ( ) ③(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd； ( ) ④(a -b)(c-d)=ac+ad+bc-ad

( )

（5）长方形的长是(2a+1)，宽是(a+b)，求长方形的面积

（6）先化简，再求值：

（2a-3）（3a+1）-6a （a-4）其中a ＝2/17 参考答案： （1）a 2

- b 2

（2）a 2+2ab+b 2 （3）a 3+b 3

（4）错误，错误，正确，错误 （5）S=(2a+1)(a+b)=2 a 2+2ab+a+b （6）（2a-3）（3a+1）-6a （a-4）

帮助学生及时巩固、运用所学知识。并且体验到成功的快乐.

222436(1)2x x x x --+--2

2

7612x x x -+-+277x x -+2436(1)(1)2x x x x x --+---2276212x x x x -+--+297x x -+

六、作业

由学生根据自己学习能力，恰当选做，既面向全体学生，又满足不同学生的学习需要.

15.1.4整式的乘法（3）

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

《第2课时多项式与多项式相乘》教学设计

教学过程设计

(-x+3) 中的每一项，计算可得：-2x2+6x+x-3 ．

例 1 计算：

(1)(x+2y)(5a+3b)； (2)(2x-3)(x+4)；(3)(x+y)2； (4)(x+y)(x2-x y+y2)

解：(1)(x+2y)(5a+3b)

＝x·5a+x·3b+2y·5a+2y·3b

＝5ax+3bx+10ay+6by；

(2)(2x-3)(x+4)

=2x2+8x-3x-12

=2x2+5x-12

(3)(x+y)2

=(x+y)(x+y)

=x2+xy+xy+y2

=x2+2xy+y2；

(4)(x+y)(x2-xy+y2)

=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3

=x3+y3

结合例题讲解，提醒学生在解题时要注意：(1)解题书写和格式的规范性；(2)注意总结不同类型题目的解题方法、步骤和结果；(3)注意各项的符号，并要注意做到不重复、不遗漏。

三、课堂训练

1．计算：

(1)(m+n)(x+y)；

教学程序及教学内容

(2)(x-2z)2；

(3)(2x+y)(x-y)

2．选择题：

(2a+3)(2a-3)的计算结果是( )

(A)4a2+12a-9 (B)4a2+6a-9 (C)4 a2-9 (D)2a2-9

3．判断题：

(1)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc； ( )

(2)(a+b)(c+d)=ac+ad+ac+bd； ( )

(3)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd； ( ) 注意根据信息反馈，及时提醒学生正确运用多项式的乘法法则，注意例题讲解时总结的三条。

学生应用：多项式与多项式相乘，就是先用一

(4)(a-b)(c-d)=ac+ad+bc-ad( )

4．长方形的长是(2a+1)，宽是(a+b)，求长方形的面积。

5．计算：

(1)(xy-z)(2xy+z)； (2)(10x3-5y2)(10x3+5y 2)

6．计算：

(1)(3a-2)(a-1)+(a+1)(a+2)； (2)(3x+2)( 3x-2)(9x2+4)

四、小结归纳

启发引导学生归纳本节所学的内容：

1．多项式的乘法法则：

(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn

2．解题(计算)步骤(略)。

3．解题(计算)应注意：(1)不重复、不遗漏；(2)符号问题。

五、作业设计

1计算：

(1)(3x+1)(x+2)； (2)(4y-1)(y-5)； (3) (2x-3)(4x-1)；

(4)(3a+2)(4a+1)； (5)(5m+2)(4m-3)； (6 )(5n-4)(3n-1)；

(7)(7x2-8y2)(x2+3y2)；(8)(9m-4n)(4n+9m)

2计算：

(1)(x+2)(x-2)(x2+4)；(2)(1-2x+4x2)(1+2x)；

(3)(x-y)(x2+xy+y2)；(4)3x(x2+4x+4)-x(x-3)( 3x+4)；

(5)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)；

(6)(3x-y)(y+3x)-(4x-3y)(4x+3y)

3计算：

(1)(3x+1)2； (2)(x-1)(x2+x+1)；

(3)(3x+1)3； (4)(x+1)(x2-x+1)

板书设计

《第2课时多项式与多项式相乘》教案

教学目标

1．知识与技能

让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．

2．过程与方法

经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，体会其运算的算理．

3．情感、态度与价值观

通过推理，培养学生计算能力，发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯．

重、难点与关键

1．重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用．

2．难点：多项式与多项式的乘法法则的应用．

3．?关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘而后再应用已学过的运算法则解决．

教学方法

采用“情境──探索”教学方法，让学生在设置的情境中，通过操作感知多项式与多项式乘法的内涵．

教学过程

一、创设情境，操作感知

【动手操作】

首先，在你的硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如下图1?所示的四部分，标上字母．

【学生活动】拿出准备好的硬纸板，画出上图1，并标上字母．

【教师活动】要求学生根据图中的数据，求一下这个矩形的面积．

【学生活动】与同伴交流，计算出它的面积为：（m+b）×（n+a）．

【教师引导】请同学们将纸板上的矩形沿你所画竖着的线段将它剪开，分成如下图两部分，如图2．剪开之后，分别求一下这两部分的面积，再求一下它们的和．

【学生活动】分四人小组，合作探究，求出第一块的面积为m（n+a），第二块的面积为b（n+a），它们的和为m（n+a）+b（n+a）．

【教师活动】组织学生继续沿着横的线段剪开，将图形分成四部分，如图3，?然后再求这四块长方形的面积．

【学生活动】分四人小组合作学习，求出S

1=mn；S

2

=nb；S

3

=am；S

4

=ab，?它

们的和为S=mn+nb+am+ab．

【教师提问】依据上面的操作，求得的图形面积，探索（m+b）（n+a）应该等于什么？

【学生活动】分四人小组讨论，并交流自己的看法．

（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab，因为我们三次计算是按照不同的方法对同一个矩形的面积进行了计算，那么，两次的计算结果应该是相同的，所以（m+b）×（n+a）=m（n+a）+b（n+a）=mn+nb+am+ab．【师生共识】多项式与多项式相乘，用第一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加．

字母呈现： =ma+mb+na+nb．

二、范例学习，应用所学

【例1】计算：

（1）（x+2）（x－3）（2）（3x－1）（2x+1）

【例2】计算：

（1）（x－3y）（x+7y）（2）（2x+5y）（3x－2y）

【例3】先化简，再求值：

（a－3b）2+（3a+b）2－（a+5b）2+（a－5b）2，其中a=－8，b=－6．

【教师活动】例1～例3，启发学生参与到例题所设置的计算问题中去．【学生活动】参与其中，领会多项式乘法的运用方法以及注意的问题．

三、随堂练习，巩固新知

课本P148练习第1、2题．

【探究时空】

一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a?米后恰好能铺盖一张办公桌台

面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少？

四、课堂总结，发展潜能

1．多项式与多项式相乘，?应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果，利用乘法分配律来理解（m+n）与（a+b）相乘的结果，导出多项式乘法的法则．

2．多项式与多项式相乘，第一步要先进行整理，?在用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项时，要“依次”进行，不重复，不遗漏，且各个多项式中的项不能自乘，多项式是几个单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号．

五、布置作业，专题突破

课本习题

板书设计

14.1.4 整式的乘法

《第2课时多项式与多项式相乘》导学案

学习目标：1.理解并掌握多项式与多项式的乘法运算法则.

2.能够灵活运用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算.

重点：掌握多项式与多项式的乘法运算法则.

难点：运用多项式与多项式的乘法运算法则进行计算.

一、知识链接

1.口述单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的乘法法则.

2.计算2x(3x2＋1)，正确的结果是( )

A．5x3＋2x B．6x3＋1 C．6x3＋2x D．6x2＋2x

3.计算：(1)－x(2x＋3x2－2)=___________；

(2)－2ab(ab－3ab2－1)=____________.

一、要点探究

探究点1：多项式乘以多项式

问题1：某地区在退耕还林期间，有一块原长m米，宽为a米的长方形林区，长增加了n米，宽增加了b米，请你计算这块林区现在的面积？

你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？

方法一：_________________________________;

方法二：_________________________________;

方法三：_________________________________.

根据以上式子，你能得出哪些等式？

想一想：如何计算多项式乘以多项式？

1.计算（m+n）X=___________________;

2.若X=a+b,则（m+n）X=(m+n）(a+b)

=____________+____________

=_____________________.

议一议：根据以上计算，讨论多项式乘以多项式的乘法法则.

要点归纳：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别________另一个多项式的每一项，再把所得的积________.

例1:先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a ＝－1，b＝1.

方法总结:在进行多项式乘以多项式的计算时，需要注意的三个问题:(1)漏乘;(2)符号问题;

(3)最后结果应化成最简形式.

例2：已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．

方法总结:解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程解答．

练一练：计算

(1)(x+2)(x+3)=__________； (2)(x-4)(x+1)=__________；

(3)(y+4)(y-2)=__________； (4)(y-5)(y-3)=__________.

由上面计算的结果找规律，观察填空：

(x+p)(x+q)=___2+______x+_______.

例3：已知等式(x+a)(x+b)= x2+mx+28，其中a、b、m均为正整数，你认为m可取哪些值？它与a、b的取值有关吗？请你写出所有满足题意的m的值.

1.下列多项式相乘的结果为x2＋3x－18的是( )

A．(x－2)(x＋9) B．(x＋2)( x－9)

C．(x＋3)(x－6) D．(x－3)(x＋6)

2.当x取任意实数时，等式（x+2）（x-1）=x2+mx+n恒成立，则m+n的值为（）

A．1 B．-2 C．-1 D.2

3.李老师做了个长方形教具，其中一边长为2a+b，另一边长为a-b，则该长方形的面积为（）

A．6a+b B．2a2-ab-b2 C．3a D．10a-b

4.计算：

(1)(m＋1)(2m－1); (2)(2a－3b)(3a＋2b)；

(3)(y＋1)2; (4)a(a－3)＋(2－a)(2＋a)．

5.先化简，再求值：(x－5)(x＋2)－(x＋1)(x－2)，其中x＝－4.

二、课堂小结

1.多项式乘以多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别________另一个多项式的每一项，再把所得的积________.

2.注意事项：(1)漏乘;(2)符号问题;(3)最后结果应化成最简形式.

1.计算(x-1)(x-2)的结果为（）

A ．x 2+3x-2

B ．x 2-3x-2

C ．x 2+3x+2

D ．x 2-3x+2

2.下列多项式相乘，结果为x 2-4x-12的是（ ） A ．(x-4)(x+3） B.(x-6)(x+2） C ．(x-4)(x-3） D.(x+6)(x-2）

3.如果(x+a)(x+b)的结果中不含x 的一次项，那么a 、b 满足（ ） A ．a=b B ．a=0 C ．a=-b D ．b=0

4.判别下列解法是否正确，若错，请说出理由.

21(23)(2)(1);x x x ----（） 22(23)(2)(1);x x x ----（）

2246(1)(1)x x x x =-+---

22246(21)x x x x =-+--+

2224621x x x x =-+-+- 277.x x =-+

225;x x =-+

5.计算：(1)(x ?3y)(x+7y)； (2)(2x + 5y)(3x ?2y).

6.化简求值：(4x+3y)(4x-3y)+(2x+y)(3x-5y)，其中x=1,y=-2.

7.解方程与不等式：

(1)(x-3)(x-2)+18=(x+9)(x+1)；(2)(3x+6)(3x-6)＜9(x-2)(x+3)．

拓展提升

8.小东找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a 厘米，宽b 厘米，厚c 厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m 厘米，问小东应在挂历画上裁下一块多大面积的长方形？

)1(63422

22--+--=x x x x 16722

2+-+-=x x x

《第2课时 多项式与多项式相乘》导学案

学习目标：

1.经历探索多项式乘法的法则的过程，理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算。

2.进一步体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展有条理的思考和语言表达能力。

学习重、难点：多项式乘法的运算 复习巩固

1．单项式与多项式相乘，就是根据

________________________________________________________. 2．计算：（1）

（2）

（3） （4） （5） （6） 3、计算：（1）

________)3(3=-xy ________)2

3

(23=-y x ________)102(47=?-_________)()(2=-?-x x ______)(532=?-a a ______)()2(2532=-?-bc a b a )132(22---x x x

（2）

一、预习案

如图，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算．你从计算中发现了什么？

(解决下面的问题)

方法一：________________________. 方法二：_________________________. 方法三：________________________ 2．大胆尝试

（1）, （2）,

总结：实际上，上面都进行的是多项式与多项式相乘，那么如何进行运算呢

多项式与多项式相乘 例1计算

例2 计算：

(2)

)6)(12

5

3221(xy y x --+-)2)(2(n m n m -+)3)(52(-+n n )6.0)(1)(1(x x --))(2)(2(y x y x -+2)2)(3(y x -2)52)(4(+-x )2)(1()3)(2)(1(-+-++y x y x )2)(1(2)1(2+--+a a a a

例3．填空与选择

（1）.若 则m=_____ ， n=________

（2）.若 ，则k 的值为（ ） （A ） a+b （B ） －a －b （C ）a －b （D ）b －a

（3）.已知 则a=______ b=______ 例4.计算： +2

二、检测

1．计算下列各题： （1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

2．已知的结果中不含项和项，求m ，n 的值.

n mx x x x ++=+-2

)20)(5(ab kx x b x a x +-=++2))((b x x x a x +-=+-610)25)(2(22)2(+x )1)(2(3)2)(2(-+--+x x x x )3)(2(++x x )1)(4(+-a a )3

1

)(21(+-y y )4

3

6)(42(-+x x )3)(3(n m n m -+2)2(+x )1)((2+++x n mx x 2x x