2-模糊集合

A1=0.1 ∕a +0.3 ∕b +0.4 ∕c +0.7 ∕d +1.0 ∕e
1 B /x x 50 4 R 1 ( ) 10
/ 不是除法运算
2.2 模糊集合论基础
2.2.4 隶属函数的凸性
隶属函数体现了一个模糊集合的一些本质上的信息。 那么隶属函数形态上需要满足什么条件吗？ question：下面的两类隶属函数的形态，哪种合理？
2.2 模糊集合论基础
2.2.3 模糊集合
a) Zadeh表示法（离散）： A= μA（x1）∕x1 + μA （x2）∕x2 +… + μA （xn）∕xn 论域E={x1，x2，…xn},A为E上的一个模糊集,xi的隶 属度为μA(Xi)。 “+‖不是相加,“∕”也不是相除—分子：隶属度； 分母元素。 所以，前面的例子中， A1=0.1 ∕a +0.3 ∕b +0.4 ∕c +0.7 ∕d +1.0 ∕e A2=1.0 ∕a +0.8 ∕b +0.55 ∕c +0.3 ∕d +0.1∕e
4）鲁棒性好：适应于线性系统与非线性系统
2.2
2.2.1 集合

模糊集合论基础

集合--具有同一本质属性的全体对象的总和汇集而成的 一个确定的整体。 e.g A = { 杭电的学生 } :全体杭电学生 集合的表示法: • 元素列举法: A = { 2 ,3 ,5 ,7 } 集合A中有4个元素 B = { 本科生 ,硕士生 } • 规则叙述法: 利用一条规则决定某一对象是否属 于该集合。 A1 = { 境内的环保人士 } A2 = { 境外的环保人士 } B = A1 U A2 = { 境内外环保人士 }
0
( x)

Y
( x)
1.0
50
100 x
25
50
2.2 模糊集合论基础
2.2.3 模糊集合
模糊集合的公式表示
A ( xi ) / xi X为离散对象集合 xi X A X为连续空间（通常为实轴） A ( xi ) / x X

注意: 例子：
和
并非求和和积分符号.
隶属函数参数化
三角形隶属函数
0 xa ba trig ( x; a, b, c) c x c b 0
0 xa ba Trap( x, a, b, c, d ) 1 d x d c 0
1 x c 2 ( ) 2 e
2.2 模糊集合论基础
2.2.3 模糊集合
b) 序偶表示法（离散）：
A1={ （a ，0.1），（b ，0.3），（c ，0.4）， （d ，0.7），（e ，1.0）} A2={（a ，1.0），（b ，0.8），（c ，0.55）， （d ，0.3），（e ，0.1）} 也可进一步化简为失量表示： A1={μA1(a) μA1(b) μA1(c) μA1 (d) μA1(e)}={0.1 0.3 0.4 0.7 1.0} A2={1.0 0.8 0.55 0.3 0.1}
第二章 模糊集合


引言部分就是主要把模糊控制的发展情况叙述了一下； 模糊集合是模糊控制的基础。 先从清晰集合开始谈起，集合的一些概念，表示方法， 集合的运算等等； 引起一些日常生活中的模糊集合的例子，从而因此隶 属函数这个重要的概念。 模糊性与概率的区别在哪里？--通过一个例子来说明。 模糊集合的运算，这个要说明一下的，可以大家一起 推导一下的。
凸性： 这里所提的凸性，与数学上的凸函数是否一致？
x2
x1
不符合凸 函数条件
2.2 模糊集合论基础
2.2.4 隶属函数的凸性
具体形态上：从中心点向两边扩展呈现单调递减的形 态； 语义上：符合人类的经验认识。
2.2 模糊集合论基础
2.2.5 隶属函数的典型形态
问题：如何确定一个隶属函数？ 确定的方法带有主观性，但是存在一 些隶属函数的常用形态。
模糊与概率的差别： 口极渴的人饮用哪杯液体？
C
A
L (C) 0.91
Pr [ A L] 0.91
L {可饮液体的集合 }
啤酒
盐酸
C
L (C) 0.91
A
Pr [ A L] 对不精确定义性 质的相似程度。 2）概率把信息转变为事件发生或出现的频度。
2.1
引言
2.1.3 模糊控制特点
模糊控制：实践经验的总结；将一种定性的、不精确 的控制规则，用模糊数学将其定量化，形成模糊控制算 法。 模糊控制的特点： 1）无需知道被控对象的数学模型（建模有时是很痛苦 的事情） 2）是一种反映人类智慧思维的智能控制（贴近人类自 身的思维方法）
3）构造简易、容易实现
2.2 模糊集合论基础
2.2.3 模糊集合
1）概念（集合的观点）：内涵-外延 内涵：集合的定义 外延：组成集合的所有元素
例子：“男人”、“女人”的概念
这些概念用数学如何表达？
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
2.2 模糊集合论基础
2.2.3 模糊集合
隶属函数-论域：
如果 X 是对象x的集合，则 X 的模糊集合 A ：
2.2 模糊集合论基础
2.2.3 模糊集合
离散模糊集合的表示法：各元素与隶属度结合在一起。
例子：有5个人E={a,b,c,d,e},年龄分别为 10 ，20 ， 30 ，40 ，50 有两个子集 A1={ 年纪大 }，A2={
年纪小 }
μA1[0,1]: 0.1 ,0.3 ,0.4 ,0.7 ,1.0 μA2[0,1]: 1.0 ,0.8 ,0.55 ,0.3 ,0.1 这里，A1和A2是两个模糊集，反映两个模糊概念。
2.2 模糊集合论基础
凸性： 一个模糊集合是凸的， 当仅当任何 x1, x2 X 和任何 [ 0，， 1] 满足：
A (x1 (1 ) x2 ) min{ A ( x1 ), 2 ( x2 )}
照此定义，上页的两种形态何者是满足凸性的要求？
2.2 模糊集合论基础
2.2
2.2.1 集合

模糊集合论基础
元素 -- 组成集合的各个对象，也称为个体。 属于 -- 若个体 a 是集合 A 的元素，则元素 a 属于集合 A ，记为 a∈A. 论域 – 被研究对象的全体元素组成的基本集合：E 全集 – 在一定范围内，如果所有集合均为某一集合B的 子集，则该集合B称为全集。 由于它包含了论域中的所有元素，所以论域E就是 全集。 全集是唯一的。 空集 – 不包含任何元素的集合。记为 空集不是唯一的。 e.g { 方程x2 1 0的全体实根}=
c) 函数描述法（连续）： 论域E上的模糊子集A完全 可由隶属 函数μA(x)表征。 例：年龄的论域，E=[0，100]，―年老0”，“年 轻Y‖

0 ,0 x 50 0 ( x ) x 50 2 1 1 5 , 50 x 100 1 ,0 x 25 Y ( x ) x 25 2 1 1 5 ,25 x 100
2.1
引言
2.1.1 模糊控制发展
1965：Zadeh提出模糊集理论 理论上的反对：
a）没有严格的系统方法；
b）与概率理论的区别在哪里？ （灰系统、粗糙集） 1974：Mamdani将模糊数学理论成功应用于蒸汽机和锅 炉控制；
……
2.1
引言
2.1.1 模糊控制发展
区域的情况：美国提出，在日本得以很大的发展； （实用、模仿等）
2.2 模糊集合论基础
2.2.6 模糊集合的运算
问题：子集、并、交、补这些操作，参照 清晰集合，模糊集合的这些操作应该如何 进行？对应的物理意义是什么？
2.2 模糊集合论基础
2.2.6 模糊集合的运算 包含或子 集： 并（析取） 交（合取）
A B A ( x) B ( x)
C A B
第二章 模糊集合
引言 模糊集合论基础（集合） 模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成（逻辑）

2.1
引言
2.1.1 模糊控制发展
例子：骑自行车（开车） 思路：1）传统控制理论
2）人作为控制器—人是如何实现控制的呢？
模拟人的思维方式，在计算机上得以某种程度的复 现，使计算机具有活性与智能。
模糊逻辑控制使得计算机具有活性与智能的方法之一。
xa a xb bxc cx
xa a xb bxc cxd dx
梯形隶属函数
高斯形隶属函数 一般钟形隶属 函数
g ( x; c, )
c代表MF的中心； 决定MF的宽度。
bell ( x; a, b, c)
1 1
x c 2b a
满足凸性的要求吗？
2.2 模糊集合论基础
Note：如果隶属函数的取值为{0,1}，这对应的集合退化 为一般的确定函数。
确定集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合
13
A ( x) 1
A ( x) [0 1]
1
6
13
2.2 模糊集合论基础
2.2.3 模糊集合
问题：模糊跟概率有何不同？或者说模糊性跟随机性 有何不同？ 客观or主观？
A {( x, A ( x)) | x X }
A ( x) 称为模糊集合A的隶属函数（简写为MF)
X 称为论域或域。
2.2 模糊集合论基础
2.2.3 模糊集合
隶属函数的性质： a) 隶属函数在0和1之间: [0 1]； b) 其值的确定具有主观性和个人的偏好。 隶属函数的取值： a）1—完全属于该集合 b）0—完全不属于该集合 c）（0，1）--部分属于该集合