不等式恒成立与存在性问题-2018年高考数学备考之百强校大题狂练系列

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【推荐精选】2018年高中数学黄金100题系列第23题函数中存在性与恒成立问题理

第23题函数中存在性与恒成立问题函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点．在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分．解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等．恒成立：关于x 的不等式f (x )≥0对于x 在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立．若函数()f x 在区间D 上存在最小值min ()f x 和最大值max ()f x ，则:①不等式()f x a >在区间D 上恒成立min ()f x a ⇔>；②不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立min ()f x a ⇔≥；③不等式()f x b <在区间D 上恒成立max ()f x b ⇔<；④不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立max ()f x b ⇔≤；若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为(,)m n ，则：①不等式()f x a >（或()f x a ≥）在区间D 上恒成立m a ⇔≥；②不等式()f x b <（或()f x b ≤）在区间D 上恒成立n b ⇔≤．一、函数性质法【例1】1）已知函数12)(2+-=ax x x f ，xa x g =)(，其中0>a ，0≠x ．对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，求实数m 的取值范围．【分析】1）根据题意条件中的x 是同一值，故不难想到将问题等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，从而可创设出新函数，再求出此函数的最值来解决问题．2）根据题意在本题所给条件中不等式的两边它们的自变量x 不一定是同一数值，故可分别对在两个不同区间内的函数)(x f 和)(x g 分别求出它们的最值，再根据只需满足)()(max min x g x f >即可求解2）、对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥ 等价于m x g x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0，即041≤-m ，所以41≥m 【点评】在解决函数存在性与恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数．此法关键在函数的构造上，常见于两种----一分为二或和而为一，另一点充分利用函数的图象来分析，即体现数形结合思想．【例2】若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围．【分析】我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为： 0)12()1(2<---x x m 来求解．【解析】【点评】有些问题，如果采取反客为主（即改变主元）的策略，可产生意想不到的效果．【例3】对于满足||2p ≤的所有实数p ，求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围．【答案】1x <-或3x >．二、分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈，λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤)，得λ的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．【例4】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a 的值；（2）若2()f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围．【分析】（1）由'()l n 1f x a x =++结合条件函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =处的切线的斜率为3，可知'()3f e =，可建立关于a 的方程：ln 13a e ++=，从而解得1a =；（2）要使2()f x kx ≤对任意0x >恒成立，只需max 2()[]f x k x ≥即可，而由（1）可知()ln f x x x x =+，∴问题即等价于求函数1ln ()x g x x+=的最大值，可以通过导数研究函数()g x 的单调性，从而求得其最值：221(1ln )ln '()x x x x g x x x ⋅-+==-，令'()0g x =，解得1x =，当01x <<时，'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时，'()0g x <，∴()g x 在(1,)+∞上是减函数，因此()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =，∴1k ≥即为所求．（2）由（1）知，()ln f x x x x =+，∴2()f x kx ≤对任意0x >成立1ln x k x +⇔≥对任意0x >成立，令1ln ()x g x x+=，则问题转化为求()g x 的最大值， 221(1ln )ln '()x x x x g x x x ⋅-+==-，令'()0g x =，解得1x =，当01x <<时，'()0g x >，∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时，'()0g x <，∴()g x 在(1,)+∞上是减函数．故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =，∴1k ≥即为所求．【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中，当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法．此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立，则．常见的有一个口诀：大就大其最大，小就小其最小，即最终转换求函数最值．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥，（ D x ∈，λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围．【例5】【2018浙江绍兴教学质量调测】对任意x R ∈不等式222x x a a +-≥恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】[]1,1-【例6】已知函数f (x )＝mx 2－mx －1．(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1，3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(－4，0]．(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛∞76-，．三、主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．【例7】已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数，(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围．（节选）【分析】在第二小题所给条件中出现了两个字母：λ及t ，那么解题的关键恰恰就在于该把其中哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数．而根据本题中的条件特征显然可将λ视作自变量，则上述问题即可转化为在(],1-∞-内关于λ的一次函数大于等于0恒成立的问题，问题即可求解．【解析】由(Ⅰ)知：()f x x =，()sin g x x x λ∴=+，()g x 在[]11-，上单调递减，【点评】某些函数存在性与恒成立问题中，当分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度．即把主元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果．此类问题的难点常常因为学生的思维定势，易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x 为参数，以为变量，构造新的关于参数的函数，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了．【例8】若不等式)1(122->-x m x 的所有22≤≤-m 都成立，则x 的取值范围__________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-231,271四、数形结合法若所给不等式进行合理的变形化为()()f x g x ≥（或()()f x g x ≤）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．【例9】求证：1()x a f x a x +-=-，对于[1,2]x a a ∈++恒有32()2f x -≤≤-成立．【答案】证明见解析．【解析】原方程可化为11y x a =--，由图像可知，[1,2]x a a ∈++，函数单调递增 3()(2),()(1)22f x f a f x f a ≤+=≥+=-，故得证．【例10】已知函数()222f x x kx =-+，在1x ≥-恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围．【分析】为了使题中的条件()f x k ≥在[)1,x ∈-+∞恒成立，应能想到构造出一个新的函数()()F x f x k =-，则可把原题转化成所构造新的函数在区间[)1,-+∞时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，即可使问题得到圆满解决．()010212F k ⎧⎪∆≥⎪⎪-≥⎨⎪-⎪-≤-⎪⎩，解得32k -≤≤-，故由①②知31k -≤<．【点评】如果题中所涉及的函数对应的图象、图形较易画出时，往往可通过图象、图形的位置关系建立不等式从而求得参数范围．解决此类问题经常要结合函数的图象，选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围．利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象．常见的有两类函数：若二次函数()20y ax bx c a =++≠大于0恒成立，则有00a >⎧⎨∆<⎩，同理，若二次函数()20y ax bx c a =++≠小于0恒成立，则有00a <⎧⎨∆<⎩．若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解．其它函数：()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在，则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在，则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）．（对于()()f x g x ≥型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理），这种方法尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．五、存在性之常用模型及方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立，则等价于在区间D 上()max f x k >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立，则等价于在区间D 上的()min f x k <．注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看，含参不等式()f x k < ()()f x k >在区间D 上恒成立(){}()max D x f x k f x k ⇔⊆<⇔<(){}()()min D x f x k f x k ⇔⊆>⇔>，而含参不等式()f x k<()()f x k >在区间D 上能成立⇔至少存在一个实数x 使不等式()f x k <()()f x k >成立(){}()min D x f x k f x k ⇔<≠∅⇔<(){}()()max D x f x k f x k ⇔<≠∅⇔>．【例11】已知=)(x f x x +221，=)(x g a x -+)1ln(， ⑴若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f =，求实数a 的取值范围；⑵若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f >，求实数a 的取值范围；⑶若对任意]2,0[∈x ，恒有)()(x g x f >，求实数a 的取值范围；⑷若对任意]2,0[,21∈x x ，恒有)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑸若对任意]2,0[2∈x ，存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑹若对任意]2,0[2∈x ，存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围；⑺若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；⑻若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围．因为]2,0[∈x 时111+-+='x x x h ）（=122++x x x >0，所以)(x h 在]2,0[上是增函数，由此可求得)(x h 的值域是[0，3ln 4-]，所以实数a 的取值范围是[0，3ln 4-]．⑵解析：据题意：若存在]2,0[∈x ，使得)()(x g x f >，即)(x h a >有解，故h max (x)>a ，由⑴知h max （x ）=3ln 4-，于是得a <3ln 4-．点评：在求不等式中的参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时，常用分离参数法．另外要注意方程有解与不等式有解的区别，方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题，而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题．⑶解析：对任意]2,0[∈x ，恒有)()(x g x f >，即]2,0[∈x 时)(x h a >恒成立，即min )(x h a >，由⑵可知a <0．点评：比较⑵、 ⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的，切不可混为一团．另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值．以下充要条件应细心思考，甄别差异：①若)(x f 值域为],[n m ，则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤；不等式)(x f a >有解⇔a n ≤；②若)(x f 值域为],[n m ，则不等式)(x f a >恒成立⇔a m <；若)(x f 值域为],(n m 则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤．⑷解析：由题中条件可得）（x f 的值域，，]40[=A )(x g 的值域]3ln ,[a a B --=，若对任意]2,0[,21∈x x ，恒有)()(21x g x f >，即max min )()(x g x f >，即a ->3ln 0，所以3ln >a ．点评：⑶与 ⑷虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别， ⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同，而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同，21,x x 的取值在[0，2]上具有任意性．⑸解析：对任意]2,0[2∈x ，若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f >，即max max )()(x g x f >，由⑷可知即a ->3ln 4，所以3ln 4+->a ．点评：设)(x g 的最大值为M ，对任意]2,0[2∈x ，)()(21x g x f >的条件M x f >)(1，于是问题转化为存在]2,0[1∈x ，使得M x f >)(1，因此只需)(x f 的最小值大于M 即max max )()(x g x f >． ⑹解析：对任意]2,0[2∈x ，若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =，则A B ⊆，所以⎩⎨⎧≤-≥-43ln 0a a 即03ln 4≤≤+-a点评：因为对)(x f 值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应，所以对任意]2,0[2∈x ，若存在]2,0[1∈x ，使得)()(21x g x f =的充要条件是)(2x g 在)(x f 的值域内，因此，)(x g 的值域是)(x f 的值域的子集．⑻解析：若存在21,x x 使得)()(21x g x f =，则A B ≠∅，∴33≤+a ，∴实数a 的取值围是].0,(-∞【例12】设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-，a R ∈且1a ≠．曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0．（1）求b 的值；（2）若存在[)1,x ∈+∞，使得()1af x a <-，求a 的取值范围．【分析】（1）根据条件曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0，可以将其转化为关于a ，b 的方程，进而求得b 的值：()()1af x a x b x'=+--，()10f '=⇒()101a a b b +--=⇒=；（2）根据题意分析可得若存在[1,)x ∈+∞，使得不等式()1a f x a <-成立，只需min ()1af x a >-即可，因此可通过探求()f x 的单调性进而求得()f x 的最小值，进而得到关于a 的不等式即可，而由（1）可知()21ln 2a f x a x x x -=+-，则()()()11x a x a f x x ---⎡⎤⎣⎦'=，因此需对a 的取值范围进行分类讨论并判断()f x 的单调性，从而可以解得a 的取值范围是()()11,+∞．②当112a <<时，1a >，()()()2minln 112111a a a a a f x f a a a a a a ⎛⎫==++> ⎪-----⎝⎭，不合题意，无解，10分 ③当1a >时，显然有()0f x <，01a a >-，∴不等式()1af x a <-恒成立，符合题意，综上，a 的取值范围是()()11,+∞．【点评】解决函数中存在性问题常见方法有两种：一是直接法同上面所讲恒成立；二是间接法，先求其否定（恒成立），再求其否定补集即可解决．它的逻辑背景：原命题为",()"x M P x ∀∈的否定为",()"x M P x ∃∈⌝；原命题为",()"x M P x ∃∈的否定为“,()"x M P x ∀∈⌝．处理的原则就是：不熟系问题转化为熟悉问题．【跟踪练习】1．【2018届甘肃省会宁县第一中学高三上第一次月考】“不等式在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m>B ．0<m<1C ．m>0D ．m>1 【答案】CD ．∵m>1⇒m>，所以m>1是“不等式在R 上恒成立”的充分不必要条件，故D 错误；故选C ．2．【2018届湖南省衡阳市衡阳县第四中学高三9月月考】已知函数()()()22f x x xxax b =+++，若对x R ∀∈，均有()()2f x f x =-，则()f x 的最小值为（）A ．94-B ．3516- C ．2- D ．0 【答案】A3．【2017届“超级全能生”浙江省高三3月联考】已知在(],1-∞上递减的函数()221f x x tx =-+，且对任意的[]12,0,1x x t ∈+，总有()()122f x f x -≤，则实数t 的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．⎡⎣C ．[]2,3D ．[]1,2【答案】B4．【2018届山东省菏泽第一中学高三上第一次月考】对任意实数定义运算“”：，设，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题意可得，画图f(0)=-1，f(-2)=2，由图可知，，选D ．5．【2017届浙江省台州市高三4月调研】已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A6．【2018届江西省六校高三上第五次联考】定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）A． B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）【答案】B由x 2f （x ）﹣f （1）＜x 2﹣1∴x 2f （x ）﹣x 2＜f （1）﹣1 即g （x ）＜g （1）即x ＞1；当x ＜0时，函数是偶函数，同理得：x ＜﹣1综上可知：实数x 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B ．7．【2018届江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中高三上学期第一次月考】已知(),0,1a b ∈，不等式20ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在0x R ∈，使200bx x a ++=成立，则1211a b+--的最小值为（） A．3 B．43+ C．4．【答案】B【解析】由不等式20ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，得0{140a ab >∆=-≤，由存在0x R ∈，使2000bx x a ++=成立，得140ab ∆=-≥，所以14ab =，且(),0,1a b ∈， 1211a b +--=181242221-411-414441a a a a a a a +=++=++----，令()1212,11-414f x x x x =++<<- ， ()()()222887141x x f x x x +---'=，当()0f x '=，解得x =，代入2443f ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，选B ． 8．【2017届江西省高三4月联考】已知函数()213,1{log ,1x x x f x x x -+≤=>，若对任意的x R ∈，不等式()254f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B9．【2017江西师大附属中学十月模拟】已知函数()()()221ln ,,1xf x ax a x x a Rg x e x =-++∈=--，若对于任意的()120,,x x R ∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，，则实数a 的取值范围为（）A ．[)1,0-B ．[]1,0-C ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】B【解析】要使对于任意的()120,,x x R ∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，只需当()120,,x x R ∈+∞∈时，有()()max min f x g x ≤由g ()'x =1x e -知，当x <0时，g ()'0x <；当x >0时，g ()'0x >，所以()()00min g x g ==(1)当0a >时，易知当()x f x ∞∞→+→+时，易知，不满足()120,,x x R ∈+∞∈时，有()()max min f x g x ≤，故0a >不成立；(2)当0a =时，()ln f x x x =-+，此时，此时()11'1x f x x x-+=-+=，当0x 1<<时， ()´0f x >，当x 1>时，()'0f x <，所以()()110max f x f ==-≤，成立；【名师点睛】把恒成立问题转化为求函数的最值问题是解决本题的关键，同时需注意对a 进行分类讨论． 10．【2018山西第一次五校联考】已知0λ>，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式ln 0xe x λλ-≥恒成立，则λ的最大值为()A ．eB ．3C ．2e D ．3e 【答案】A【点睛】本题的关键步骤有：观察发现()f x 与()g x 互为反函数；将原命题等价转化为ln xe x x λλ≥≥在()0,+∞上恒成立；利用导数工具求()xh x e x λ=-的最小值，从而求得e λ≤；11．【2018河北石家庄二中八月高三模拟】已知对()0,x ∀∈+∞，不等式ln 1n x m x +≥-恒成立，则mn的最大值是( )A ．1B ．1-C ．eD ．e -【答案】C【解析】不等式ln 1n x m x +≥-可化为()l n 10l n 1n nx m F x x m x x+-+≥=+-+，令，则()221n x nF x x x x ='-=-，所以当x n=时，()mi n l n 2F x n m =+-，即l n202n mm n n +-≥⇒≤+>，所以2ln m n n n +≤，令()2l n n G n n +=，则令()21ln 0nG n n -'-==可得1n e =，故()max 211G n e e-==，即2ln m n e n n +≤≤，应选答案C ．【名师点睛】解答本题的思路是将不等式ln 1n x m x +≥-可化为ln 10nx m x+-+≥，，然后再构造函数()ln 1n F x x m x =+-+，并对其进行求导，求出函数()ln 1nF x x m x=+-+的最小值为ln 2n m +-，即ln 20n m +-≥，然后求出目标函数()2ln n G n n +=的最大值为e ，即2ln m n e n n +≤≤，所以求出mn 的最大值是e ．12．【2018河南南阳一中高三上学期第二次考试】已知函数()2ln f x kx x =+，若()0f x <在()f x 定义域内恒成立，则k 的取值范围是（）A ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【方法点晴】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题．利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；②利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，本题是利用方法①求解的．13．【2017上海普陀区高三二模】设0a <，若不等式()22sin 1cos 10x a x a +-+-≥对于任意的x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是．【答案】2a ≤-【方法点晴】本题主要考查三角函数的有界性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数．本题是利用方法 ③ 求得a 的最大值．14．【2018届河南南阳一中高三8月测试】若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式()2222340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】][5,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭15．【2018河南洛阳高三期中考试】已知函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =+++∈．（1）若函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值，求,a b 的值；（2）在（1）的条件下，当[]2,3x ∈-时，()2f x c >恒成立，求c 的取值范围．【答案】（1）3{ 26a b =-=-；（2）(),10-∞-．试题解析：（1）由题可得，()232f x x ax b =++'，∵函数()f x 在1x =-和2x =处取得极值， ∴1,2-是方程2320x ax b -+=的两根，∴2123{ 123ab-+=--⨯=，∴3{ 26a b =-=-；（2）由（1）知()32362f x x x x c =--+，()2336f x x x '=--，当x 变化时，()(),f x f x '随x 的变化如下表：∴当[]2,3x ∈-时，()f x 的最小值为10c -，要使()2f x c >恒成立，只要102c c ->即可， ∴10c <-，∴c 的取值范围为(),10-∞-．16．【2018河北衡水中学高三上学期二调考试】已知函数()21ln 2f x x ax =-，a R ∈．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值．【答案】（1）见解析（2）2（2）由()21ln 112x ax a x -≤--，得()()22ln 12x x a x x ++≤+，因为0x >，所以原命题等价于()22ln 12x x a x x++≥+在区间()0,+∞内恒成立．令()()22ln 12x x g x x x++=+，则()()()()22212ln '2x x x g x xx -++=+，令()2ln h x x x =+，则()h x 在区间()0,+∞内单调递增，又()112ln2011022h h ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，，所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0002ln 0h x x x =+=，且当00x x <<时，()'0g x >，()g x 单调递增，【名师点睛】本题属于导数的综合应用题．第一问中要合理确定对a 进行分类的标准；第二问利用分离参数的方法解题，但在求函数()g x 的最值时遇到了导函数零点存在但不可求的问题，此时的解法一般要用到整体代换，即由()0002ln 0h x x x =+=可得002ln x x =，在解题时将0ln x 进行代换以使问题得以求解． 17．【2018西藏林芝市第一中学高三9月月考】已知函数()21f x ax bx =++（0a ≠， x R ∈）．（1）若函数()f x 的最小值为()10f -=，求()f x 的解析式，并写出单调区间；（2）在（1）的条件下， ()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立，试求k 的取值范围．【答案】(1) ()221f x x x =++ ，单调递减区间为(],1-∞-，单调递增区间为[)1,-+∞ ；(2) k 的取值范围为(),1-∞．试题解析：（1）由题意得()110f a b -=-+=， 0a ≠，且12ba-=-， ∴1a =， 2b =，∴()221f x x x =++，单调递减区间为(],1-∞-，单调递增区间为[)1,-+∞．（2）()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立，转化为21x x k ++>在区间[]3,1--上恒成立．设()21g x x x =++， []3,1x ∈--，则()g x 在[]3,1--上递减，∴()()min 11g x g =-=，∴1k <，即k 的取值范围为(),1-∞．18．【2018重庆一中高三9月月考】已知二次函数()()25f x ax bx x R =++∈满足以下要求：①函数()f x 的值域为[)1,+∞；② ()()22f x f x -+=--对x R ∈恒成立．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()()41f x M x x -=+，求[]1,2x ∈时()M x 的值域．【答案】（1）()245f x x x =++；（2）133,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．试题解析：（2）()()244111f x x x M x x x -++==++[]1,2x ∈ ∴令1t x =+，则[]2,3t ∈()()22214114122221t t x x t t t x t t t-+-++++-∴===-++[]2,3t ∈ 21323,3t t⎡⎤∴-+∈⎢⎥⎣⎦∴所求值域为13:3,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．【2018浙江温州模拟】已知二次函数，对任意实数，不等式恒成立，（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）对任意，恒有，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ．此时，对任意实数都有成立，的取值范围是．(Ⅱ) 对任意都有等价于在上的最大值与最小值之差，由(ⅱ) 当，即时，恒成立．（ⅲ）当，即时，．综上可知，．20．【2018山东、湖北部分重点中学高三第一次联考】设函数()()()222,4f x x g x f x ⎡⎤=--=-⎣⎦ （1）求函数()g x 的解析式；（2）求函数()g x 在区间[],2m m +上的最小值()h m ；（3）若不等式()()2422g a a g -+≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）424x x +；（2）()()4242242,2{0,20 4,0m m m m m m m +++≤--<<+≥ ；（3）[]0,4．试题解析：（1）()()2242244g x x x x =---=+．（2）()()g x g x -=， ()g x ∴为偶函数，()3'48g x x x =+，故函数在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增，①当20m +≤，即2m ≤-时， ()g x 在区间[],2m m +单调递减，()()()()422242h m g m m m ∴=+=+++．②当0m ≥时， ()g x 在区间[],2m m +单调递增，()()424h m g m m m ∴==+．（3）()g x 为偶函数，在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增()()()()22422422g a a g g a a g ∴-+≤⇔-+≤．2422a a ⇔-+≤，2242204a a a ⇔-≤-+≤⇔≤≤，所以不等式的解集为[]0,4．。

4 不等式之恒成立与存在性问题

不等式之恒成立与存在性问题1．若对于任意x >1，x 2＋3x －1≥a 恒成立，则a 的最大值是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．102．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．83．已知x >0，y >0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)4．设a >b >c ，且1a －b ＋1b －c ≥m a －c恒成立，则m 的取值范围是________．5．若对x >0，y >0，有(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤8 B ．m >8 C ．m <0 D ．m ≤46．设a >0，b >0，给出下列不等式：∪a 2＋1>a ； ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4； ∪(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4； ∪a 2＋9>6a .其中恒成立的是________(填序号)．7．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．8．当x>1时，不等式a≤x＋1x－1恒成立，则实数a的取值范围是() A．(－∞，2) B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]9．设|x－2|<a时，不等式|x2－4|<1成立，则正数a的取值范围是() A．a>5－2 B．0<a≤5－2C．a≥5－2 D．以上都不对10．已知对任意x∈(0，＋∞)不等式x2－ax＋2>0恒成立，求实数a的取值范围．11．若不等式x2－8x＋20mx2＋2(m＋1)x＋9m＋4>0对任意实数x恒成立，求m的取值范围．12．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．13．若不等式x2－kx＋k－1>0对x∈(1,2)恒成立，则实数k的取值范围是() A．(－∞，2] B．(1，＋∞) C．(－∞，2) D．[1，＋∞)14．当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解是全体实数？15．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是________．16．设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)对于m∈[－2,2]，f(x)<－m＋5恒成立，求x的取值范围．17．已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16.(1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围．18．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <1或x >219．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．20．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值为( ) A.0 B ．－2 C.－52 D ．－321．设f (x )＝mx 2－mx －6＋m .(1)若对于m ∈[－2,2]，f (x )<0恒成立，求实数x 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围．22．不等式x 2＋(m －3)x ＋m ≤0的解集不是空集，则m 的取值范围是________．23．若关于x 的不等式|x －2|＋|x －a |≥a 在R 上恒成立，则a 的最大值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．224．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)25．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集为∅，则a 的取值范围为________．26．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．27．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x ＋a |(1)a ＝－3时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )>a 恒成立，求实数a 的取值范围．28．已知f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|－6，若不等式f (x )≥m ＋1的解集为R ，求m 的取值范围．29. 已知关于x 的不等式|2x －1|－|x －1|≤log 2a .(1)当a ＝8时，求不等式的解集； (2)若不等式有解，求a 的范围．30. 设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．31．若不等式|x －4|＋|3－x |<a 的解集是空集，求a 的取值范围．32．若不等式|x －a |＋|x －2|≥1对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．33．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，则k 的取值范围是( )A ．k <3B ．k <－3C ．k ≤3D ．k ≤－334．若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．35．已知函数f (x )＝|x ＋2|－|2x －2|.(1)解不等式f (x )≥－2.(2)设g(x)＝x－a，对任意x∈[a，＋∞)都有g(x)≥f(x)，求a的取值范围．。

高考数学命题角度6.5恒成立与存在性问题大题狂练文(2021学年)

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命题角度5:恒成立与存在性问题１.已知a<0,曲线f(x)=2aｘ２＋ｂｘ+ｃ与曲线g（x)＝x2+aｌnx在公共点(１,f(1））处的切线相同．（Ⅰ)试求ｃ—a的值；（Ⅱ)若f(x）≤ｇ(x)+a＋1恒成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)c-a=—１（2)a∈[-1,０)．【解析】试题分析：(I）利用列方程组,即可求得的值．(II)构造函数,将不等式恒成立问题转化为恒成立问题来解.利用导数可求得函数最大值.(Ⅱ)设,则，恒成立,∵，∴,法一:由,知和在上单调递减,得在上单调递减,又,得当时,，当时,,所以在上单调递增，在上单调递减,得,由题意知，得，所以.点睛:本题考查函数导数与切线,考查函数导数与不等式恒成立问题的求解策略。

根据题目的已知条件“同一点的切线相同"也即是分成两个条件：切点相同、在切点的斜率也相同。

根据这两个条件可以得到两个方程，但是一共有个参数,故无法解出个未知的参数，只能用作差的方法求得的值。

2.设函数()2x f x e ax =-- （1)求()f x 的单调区间;（2)若1,a k =为整数，且当0x >时， ()11k xf x x '-<+ 恒成立,其中()f x '为()f x 的导函数,求k 的最大值。

高考数学大题狂练系列(第01期)命题角度8.3不等式的证明(文理通用)(2021学年)

2018年高考数学大题狂练系列(第01期)命题角度8.３不等式的证明（文理通用)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（２0１８年高考数学大题狂练系列(第01期）命题角度８.3 不等式的证明(文理通用)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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命题角度8。

3 不等式的证明１。

已知函数。

（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）记函数的值域为,若,证明:.【答案】（1）；（２)见解析.【解析】试题分析:（1)分段去绝对值解不等式即可；(２)利用绝对值三角不等式得。

.用作差法比较大小得到，即可证得.(2）,当且仅当时，取等号,∴。

原不等式等价于,。

∵，∴,。

∴。

2。

设函数22f x x x =+（）﹣﹣ （Ｉ）解不等式2f x ≥（） ;(Ⅱ)当01x R y ∈，＜＜时，证明： 11221x xy y+≤+-﹣﹣ 【答案】(Ⅰ）{|1}x x ≥ ;（II ）证明见解析(II ）证明：由(Ⅰ)知, 224x x+≤﹣﹣, 由于01y ＜＜, 则()1111112224111y yy y y y y y y y⎛⎫-⎡⎤+=++-=++≥+= ⎪⎣⎦---⎝⎭，则有11221x x y y+--≤+- 3. （I)解不等式:;（II)设实数满足，求证:.【答案】(１)(2)详见解析4.已知函数() 1.f x x =-(1)求不等式()32f x x ≥-的解集;(2)若函数()()3g x f x x =++的最小值为m ,正数,a b 满足a b m +=,求证： 224.a b b a+≥【答案】(1）4{| 3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭;(2）见解析．【解析】试题分析:(1)解这个绝对值不等式，可按绝对值的定义去掉绝对值符号,化绝对值不等式为一元一次不等式，从而求得解．（２)利用绝对值三角不等式可求得()g x 的最小值为4m =,求和22b a a b a b+++后，再得用基本不等式可证题中结论．试题解析:（2）()()()13134,4g x x x x x m =-++≥--+=∴=,即4a b +=又由均值不等式有： 222,2a b b a a b b a+≥+≥两式相加得()222222, 4.a b a b b a a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+∴+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5。

高考函数不等式恒成立与存在性(能成立)专题预测题

当 x 2 时，可得 f (a) 0 ，不合题意。
当
x
2
时，应有
f f
(1) (1)
0
0
解之得
x
1或x
3。
故 x 的取值范围为 (,1) (3,) 。
例 7.设函数 h(x) a x b ，对任意 a [1 ,2] ，都有 h(x) 10 在 x [1 ,1] 恒成立，求
x
2
4
得
到
：
f cos2 2msin f 2m 2 因为 f x 为奇函数，故有
g(t)
f cos2 2msin f 2m 2 恒成立，
t=m
又因为
f
x为
R
减函数，从而有 cos2
2msin
2m
2 对
0,
2
恒成立。设 sin t ，则 t2 2mt 2m 1 0 对于 t 0,1 恒成立，
取值范围.
分析：在同一直角坐标系中作出 f (x) 及 g(x) 的图象
如图所示， f (x) 的图象是半圆 (x 2)2 y 2 4( y 0) g(x) 的图象是平行的直线系 4x 3y 3 3a 0 。
要使 f (x) g(x) 恒成立，
则圆心 (2,0) 到直线 4x 3y 3 3a 0 的距离
的上界小于 B。
分离参数法
（1）将参数与变量分离，即化为 g f x（或 g f x ）恒成立的形式；（2）求 f x 在 x D 上的最大（或最小）值；（3）解不等式 g f xmax (或 g f xmin ) ，得的取值范围。
数形结合法
（1）若不等式 f x g x 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 y f x 和图象在函数 y g x 图象上方；（2）若不等式 f x g x 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 y f x 和图象在函数 y g x 图象下方。

高考数学《恒成立和存在性问题》

高考数学恒成立和存在性问题
2. 已知 e 为自然对数的底数，函数 f(x)＝ex－ax2 的图象恒在直线 y＝32ax 上方，求实数 a 的取值范围．
高考数学恒成立和存在性问题
解析：由题意得不等式 ex－ax2>32ax 在 x∈(－∞，＋∞)上恒成立，即 ex>ax2＋32ax 恒成立，根据图象可得当 a>0 时不等式不恒成立；当 a＝0 时，不等式恒成立；当 a<0 时，令 g(x)＝ex，h(x)＝ax2＋32ax，设函数 g(x)与 h(x)图象的公切线为 l，切点 P(t，et)，且 t<0.因为 g′(x)＝ex，h′(x)＝2ax＋32a，所以 l 的斜率 k＝et＝2at＋32at ①.因为点 P 在函数 h(x)的图象上，所以 et＝at2＋32at ②.由①②可得 t＝32(舍去)或 t＝－1，则 a＝－2e，所以－2e<a≤0.
例 1 已知函数 f(x)＝ax2－lnx(a 为常数)． (1) 当 a＝12时，求 f(x)的单调减区间； (2) 若 a<0，且对任意的 x∈[1，e]，f(x)≥(a－2)x 恒成立，求实数 a 的取值范围．
高考数学恒成立和存在性问题
解析：(1) f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－1x＝2axx2－1.当 a＝12时，f′(x)＝ x2－1
解析：(1) f′(x)＝mx －12＝2m2－x x(x>0)．
当 m≤0 时，f′(x)<0.所以 f(x)的单调减区间为(0，＋∞)．
当 m>0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝2m，列表如下：
x (0,2m) 2m (2m，＋∞)
f′(x) ＋
0
－

专题3.2 不等式中恒成立、能成立、恰成立通关-备战2018高考数学“棘手”问题大归纳与大通透(解析

第一类不等式恒成立1．已知函数()()2ln R 1mf x x m m x =+-∈+．（1）试讨论函数()f x 的极值点情况；（2）当m 为何值时，不等式()()21ln 101x x m x x+--<-（0x >且1x ≠）恒成立？【答案】(1)见解析;(2) (],2-∞．【解析】试题分析：（1）由题得，求得()()()222111x m x f x x x +-++'=，设()()2211g x x m x =+-+，由()42m m ∆=-，分0m ≤、02m <≤、2m >三种情况讨论，即可的奥函数极值点的情况．（2）不等式()()21ln 101x x m x x +--<-可化为()101f x x >-，再由（1）函数的性质，即可得到实数m 的取值范围．学#科网②当02m <≤时， 0∆≤， ()()22110g x x m x =+-+≥恒成立，故()0f x '≥在区间()0,+∞上恒成立，所以()f x 在区间()0,+∞上单调递增， ()f x 无极值；③当2m >时，令()0g x =，得2112x m m m =---， 2212x m m m =-+-，令()0f x '>，得10x x <<或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，所以()f x 在区间()10,x 上单调递增，在区间()12,x x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增，故()f x 的极大值点为212x m m m =---，极小值点为212x m m m =-+-．综上所述，当2m ≤时， ()f x 无极值点；当2m >时， ()f x 的极大值点为212x m m m =---，极小值点为212x m m m =-+-．（2）不等式()()21ln 101x x m x x +--<-（0x >且1x ≠）可化为()101f x x >-（*）．由（1）知：2．已知函数，．（I ）令，讨论函数的单调性；（II ）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I ）时，在递增，递减；时，在递增；时，在和递增，递减；时，在和递增，递减；（II）．【解析】试题分析：（I）求出函数的解析式和定义域，求导，对实数分情况讨论得出单调性；（II）若任意，都有恒成立．令h(x)= f(x)- g(x)，只需即可，由（I）中的单调性，求出的最小值，再求出的范围．试题解析：（I）解：h(x)=f(x)-g(x)= ，定义域为，（x>0）a0时，>0得x>1；<0得0<x<1．所以h(x)在（1，）递增，（0，1）递减a=1时，，所以h(x)在（0，）递增0<a<1时，>0得0<x<a，或x>1；<0得a<x<1．所以h(x)在（0，a）和(1，)递增，(a，1)递减a>1时，>0得0<x<1，或x>a；<0得1<x<a．所以h(x)在（0，1）和(a，)递增，(1，a)递减综上：a0时，h(x)在（1，）递增，（0，1）递减a=1时，h(x)在（0，）递增0<a<1时，h(x)在（0，a）和(1，)递增，(a，1)递减a>1时，h(x)在（0，1）和(a，)递增，(1，a)递减（II）若任意，都有恒成立．令h(x)= f(x)- g(x)，只需即可由（I）知，时，h(x)在递增，=h（I）=4-a0，解得a4．又，所以，a e时，h(x)在递减，=h(e)= 解得，又a e，所以，1<a<e 时，h(x)在递减，递增．=h(a)=a-(a+1)lna-1+3=a+2-(a+1)lna0．因为，所以h(a)在(1，e)递减．所以，则h(a) 0恒成立，所以1<a<e，综上：a．学%科网3．已知函数是定义在上的偶函数．当时，．（I）求曲线在点处的切线方程；（II）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）（II）【解析】试题分析：（I）根据是偶函数，当时，，可得当时，，，求出可得切线斜率，求出，可得切点坐标，由点斜式可得切线方程；（II）令，则原命题等价于，恒成立，即恒成立，设，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值为，从而可得实数的取值范围为．试题解析：因为为偶函数，所以，当时，则，故，所以，从而得到，，（I）当时，，所以所以在点的切线方程为：，即（II）关于的不等式恒成立，即恒成立令，则原命题等价于，恒成立，即恒成立，记，，当时，，则递增；当时，，则递减；所以，当时，取极大值，也是最大值，所以，即实数a的范围为．学&科网4．已知函数，，其中是自然常数．（I）判断函数在内零点的个数，并说明理由；（II），，使得不等式成立，试求实数的取值范围．【答案】（I）见解析；（II）．【解析】试题分析：（I）对函数求导，，得到函数在上单调递增，根据零点存在定理得到函数存在一个零点；（II）不等式等价于，即，对两边的函数分别求导研究单调性，求得最值得到取得最大值，取得最小值，故只需要，解出即可．（II）因为不等式等价于，所以，，使得不等式成立，等价于，即，当时，，故在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，又，当时，，，，所以，故函数在区间上单调递减．因此，当时，取得最大值，所以，所以，所以实数的取值范围为．5．已知函数．（I）求证：函数有唯一零点；（II）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）见解析；（II）．【解析】试题分析：（I）求出，先证明在区间上为增函数，又，，所以在区间上恰有一个零点，而在上恒成立，在上无零点，从而可得结果；（II））设的零点为，即．原不等式可化为，令若，可得，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能，，即求所求．试题解析：（I ），易知在上为正，因此在区间上为增函数，又，因此，即在区间上恰有一个零点，由题可知在上恒成立，即在上无零点，则在上存在唯一零点．（II ）设的零点为，即．原不等式可化为，令，则，由（I ）可知在上单调递减，在上单调递增，故只求，，设，下面分析，设，则，可得，即若，等式左负右正不相等，若，等式左正右负不相等，只能．因此，即求所求．学*科网6．已知函数()21ln 2f x x ax x =-+，其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数；（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点,m n ，其中m n <且22m >，是否存在整数k 使得不等式 ()()()35ln2f n k f m f n k +<<++恒成立？若存在，求整数k 的值；若不存在，请说明理由．（参考数据： ln20.7,ln3 1.1≈≈）【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）0k =或1k =-．【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得()21x ax f x x-+'=，令210x ax -+=，讨论∆，结合单调性可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ,m n 是方程210x ax -+=的两根，所以,1m n a m n +=⋅=，可得()()22211 ln 2f m f n m m m ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，令2t m =，设()11ln 2g t t t t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），可得()30ln24g t <<-，即()()30ln24f m f n <-<-，进而得所以0{ 335224k k ln ln ≤+≥-，求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ,m n 是方程210x ax -+=的两根，所以,1m n a m n +=⋅=．()()()()2222111ln ln ln 222m f m f n m am m n an n m n a m n n ⎛⎫-=-+--+=---+ ⎪⎝⎭ ()()()222222111ln ln 22m n m n m n m m m m ⎛⎫=--+-+=--+ ⎪⎝⎭令2t m =，因为2,12m ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭，所以1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设()11ln 2g t t t t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）因为()()2222211111210222t t tg t t t t t ---+⎛⎫=-++==-< ⎪⎝⎭'所以()g t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，所以()()112g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，因为()1310,ln224g g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以()30ln24g t <<-，即()()30ln24f m f n <-<-．因为()()()35ln2f n k f m f n k +<<++，所以()()35ln2k f m f n k <-<-所以0{ 335224k k ln ln ≤+≥-，解得12ln204k -≤≤因为ln20.7≈，所以12ln20.2520.7 1.154-≈-⨯=-，又因为k Z ∈，所以0k =或1k =-所以存在整数0k =或1k =-使得不等式()()()35ln2f n k f m f n k +<<++恒成立．学@科网 7．设函数()21ln 2f x x ax bx =--．（1）当0a =， 1b =-时，方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．（2）令()()212a F x f x ax bx x =+++ (03)x <≤，其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）11m e =+或2211m e ≤<+；（2）12a ≥．【解析】试题分析: (1)第(1)问，令ln x x mx +=，化为ln 1x m x=+，原方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解转化为常函数y m =与函数()ln 1xg x x=+在区间21,e ⎡⎤⎣⎦有且只有一个交点，再研究利用导数研究g(x)的单调性画图分析得到实数m 的取值范围． (2)第(2)问，()ln aF x x x=+， (]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，再分离参数求实数a 的取值范围．试题解析:（1）()ln f x x x =+，令ln x x mx +=，化为ln 1x m x=+，原方程()f x mx =在区间21,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解转化为常函数y m =与函数()ln 1x g x x=+在区间21,e ⎡⎤⎣⎦有且只有一个交点， ()21ln 'x g x x-=，容易得到()g x 在[]1,e 上单调递增，在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减， ∴()()max 11g x g e e ==+， ()11g =， ()22211g e e =+>，∴m 的取值范围是11m e =+或2211m e ≤<+．（2）()ln aF x x x=+， (]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，∴200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭， (]00,3x ∈，当01x =时， 20012x x -+取得最大值12， ∴12a ≥． 8．已知函数()ex x af x +=，其中e 为自然对数的底数，若当[]1,1x ∈-时， ()f x 的最大值为()g a ．（1）求函数()g a 的解析式；（2）若对任意的R a ∈， 1e ek <<，不等式()g a ka t ≥+恒成立，求kt 的最大值．【答案】(1)见解析;(2)12e．【解析】试题分析：（1）由题意，得()1exa xf x --'=，对a 分类讨论，明确函数的单调性，从而得到函数()g a 的解析式；（2）令()()h a g a ka t =--．令()h a 的最小值恒大于等于零，从而得到kt 的最大值．试题解析：（1）由题意，得()1e xa xf x --'=．当11a -≤-，即2a ≥时， ()()0f x f x '≤⇒在[]1,1x ∈-时为单调递减函数，所以()f x 最大值为()()()1e 1g a f a =-=-．当111a -<-<，即02a <<时，当()1,1x a ∈--时， ()0f x '>， ()f x 单调递增；当()1,1x a ∈-时， ()0f x '<， ()f x 单调递减，所以()f x 的最大值为()()11ea g a f a -=-=．当11a -≥时，即0a ≤时， ()0f x '≥， ()f x 在[]1,1x ∈-时为单调递增函数，所以()f x 的最大值为()()11eag a f +==．综上得()()1e 1,2,{e ,02, 1,0.ea a a g a a aa --≥=<<+≤（2）令()()h a g a ka t =--．①当02a <<时， ()()1e a h a g a ka t ka t -=--=-- ()1e a h a k -⇒='-，由()0h a '=，得1ln a k =+，所以当()0,1ln a k ∈+时， ()0h a '<；当()1ln ,2a k ∈+时， ()0h a '>，故()h a 最小值为()()1ln 1ln h k k k k t +=-+- 0ln t k k ≥⇒≤-．故当1e ek <<且ln t k k ≤-时， ()g a ka t ≥+恒成立．学.科网 ②当2a ≥，且ln t k k ≤-时， ()()()h a g a ka t =-+ ()e e a k t =---．因为e 0k ->，所以()h a 单调递增，故()()()()min 22e 2ln h a h k e t e k e k k ==---≥--+ e 2ln k k k =-+．令()e 2ln p k k k k =-+，则()ln 10p k k -'=≤，故当1,e e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()p k 为减函数，所以()()e p k p >，又()e 0p =，所以当1e ek <<时， ()0h a >，即()0h a ≥恒成立． ③当0a ≤，且ln t k k ≤-时，()()()11e eh a g a ka t a k t ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭，因为10ek -<，所以()h a 单调递减，故()()min 110ln e eh a h t k k ==-≥+．令()1ln em k k k =+，则()1ln 0m k k =+≥'，所以当1,e e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()p k 为增函数，所以()10e m k m ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，所以()0h a >，即()0h a ≥．综上可得当1e ek <<时，“ln t k k ≤-”是“()g a ka t ≥+成立”的充要条件．此时2ln tk k k ≤-．令()2ln q k k k =-，则()()2ln 2ln 1q k k k k k k =--=-+'，令()0q k '=，得12ek -=．故当112e ,e k --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0q k '>；当12e ,e k -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0q k '<，所以()q k 的最大值为121e 2eq -⎛⎫= ⎪⎝⎭，当且仅当12e k -=， 121ln e 2t k k -=-=时，取等号，故tk 的最大值为12e． 9．已知函数()()()2ln 1f x x a x a R =--∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，不等式()0f x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围．【答案】(1) 当0a ≤时，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增；当 0a >时，函数()f x 在区间10,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减(2) {}0a a ≤【解析】试题分析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．()21122ax f x ax x x-='=-．对a 分类讨论，明确函数的单调性；学科#网（2）当1x ≥时，不等式()0f x ≥恒成立，即求()f x 的最小值大于等于零即可．当0a >时，函数()f x 在区间10,2a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,2a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）当0a ≤时，由（1)，知函数()y f x =在区间[)1,+∞上单调递增，所以()()10f x f ≥=，所以()0f x ≥恒成立，即0a ≤符合题意．法一:当0a >时，令()120f x ax x=-='，解得： 12x a=，令112a =，解得12a =．所以存在10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()1113ln 2ln202222h a h ⎛⎫<=--+=-< ⎪⎝⎭，即存在10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即当102a <<时，不符合题意． ②当12a ≥时， 112a≤，即()0f x '≤在区间[)1,+∞上恒成立，所以函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递减，所以()()10f x f ≤=，显然12a ≥不符合题意．综上所述，实数的取值范围为{}0a a ≤．法二：当0a >时，令()()ln 1,1g x x x x =-->，()()()11010g x g x g x=-<⇒<='，所以ln 1x x <-，取1max 1,1b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，故在(),b +∞上，()()()()()()22ln 111111f x x a x x a x x a x ⎡⎤=--<---=--+⎣⎦ ()111110x a a ⎡⎤⎛⎫<---+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，不合题意，舍去．学科%网综上所述，实数a 的取值范围为{}0a a ≤． 10．已知函数()ln x mf x ex +=-．（Ⅰ）设1x =是函数()f x 的极值点，求证： ln x e e x e -≥；（Ⅱ）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．（其中正【答案】(1)见解析;(2) [)ln ,a a --+∞．【解析】试题分析：（1）由1x =是函数()f x 的极值点可得1m =-，只要证明()1f x ≥即可；（2））()1(0)x m f x e x x +=->'，设()1(0)x m g x e x x +=->，则()210x m g x e x+=+>' 所以()g x 即()f x '在()0,+∞上单调递增，由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()f x '在()0,+∞上的唯一零点，所以01x m e x+=，即00ln x m x +=-， ()0f x ≥恒成立，即()f x 的最小值恒大于等于零即可．试题解析：（Ⅰ）证明： ()1(0)x m f x e x x+=->' 因为1x =是函数()f x 的极值点，所以()1110mf e +-'==，解得1m =-经检验， 1m =-符合题意则()11(0)x f x e x x-=->'， ()1ln (0)x f x e x x -=-> 当01x <<时， 1001x e e -<<=， 11x -<-，所以()0f x '<；当1x >时， 101x e e ->=， 110x-<-<，所以()0f x '>所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增所以()()min11f x f ==，从而()1f x ≥，即ln 1xe x e-≥，所以ln x e e x e -≥（Ⅱ）()1(0)x m f x e x x +=->'，设()1(0)x m g x e x x +=->，则()210x m g x e x+=+>' 所以()g x 即()f x '在()0,+∞上单调递增由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()f x '在()0,+∞上的唯一零点所以001x mex +=，则001ln ln x me x +=，即00ln x m x +=-当00x x <<时， ()()00f x f x ''<=；当0x x >时， ()()00f x f x ''>= 所以函数()f x 在()0,x x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，从而函数()f x 在0x x =处取得最小值所以()()()000000011ln x mf x f x ex x m x m x x +≥=-=++=++ 因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥ 所以00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥，也即00ln 1ln x x a a ≤= 令()ln (0)h x x x x =>，则有()()01h x h a ≤=因为函数()ln h x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且当()0,1x ∈时， ()0h x <；当()1,x ∈+∞时， ()0h x >，所以0x a ≤ 从而0x a -≥-， 0ln ln x a -≥-，于是00ln ln x x a a --≥-- 所以ln m a a ≥--，故m 的取值范围为[)ln ,a a --+∞ 学科&网 11．已知函数()()ln 1f x x x k x =--， k R ∈ （1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间()1,+∞上有1个零点，求实数k 的取值范围；（3）是否存在正整数k ，使得()0f x x +>在()1,x ∈+∞上恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由．【答案】(1)见解析;(2) ()1+∞，;(3)见解析．【解析】试题分析：（1）当1k =时，得到()f x ，求得()f x '，利用()0f x '>和()0f x '<，即可求解函数的单调区间；（2）由()ln 1f x x k '=+-，分1k ≤和1k >两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可求解实数k 的取值范围；（3）假设存在正整数k ，使得()0f x x +>在1x >上恒成立，分类参数得出ln 1x x xk x +<-对1x >恒成立，设函数()ln 1x x xg x x +=-，求得()g x '，求得函数()g x 单调性与极值，即可求解实数k 的最大值．试题解析：（1）当1k =时， ()ln 1f x x x x =-+， ()ln f x x '=．令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<， ∴()f x 的单调增区间为()1+∞，，单调减区间为()01，．（2）()ln 1f x x k '=+-，当1k ≤时，由1x >，知()0f x '>，所以， ()f x 在()1+∞，上是单调增函数，且图象不间断，又()10f =，∴当1x >时， ()()10f x f >=，∴函数()y f x =在区间()1+∞，上没有零点，不合题意．当1k >时，由()0f x '=，解得11k x e -=>，若11k x e -<<，则()0f x '<，故()f x 在()11,k e -上是单调减函数，若1k x e ->，则()0f x '>，故()f x 在()1,k e -+∞上是单调增函数， ∴当11k x e -<<时， ()()10f x f <=，又∵()()10k k k f e ke k e k =--=>， ()f x 在()1+∞，上的图象不间断， ∴函数()y f x =在区间()1+∞，上有1个零点，符合题意．综上所述， k 的取值范围为()1+∞，．（3）假设存在正整数k ，使得()0f x x +>在1x >上恒成立，则由1x >知10x ->，从而ln 1x x xk x +<-对1x >恒成立（*）记()ln 1x x x g x x +=-，得()()22ln 1x xg x x ---'=，设()2ln h x x x =--， ()1110x h x x x='-=->， ∴()h x 在()1+∞，是单调增函数，又()()()31ln3042ln40h h h x =-=-，，在[]3,4上图象是不间断的， ∴存在唯一的实数()034x ∈，，使得()00h x =， ∴当01x x <<时， ()()()00h x g x g x '<<，，在()01x ，上递减，当0x x >时， ()()()00h x g x g x '>>，，在()0,x +∞上递增， ∴当0x x =时， ()g x 有极小值，即为最小值， ()00000ln 1x x x g x x +=-，又()0002ln 0h x x x =--=，∴00ln 2x x =-，∴ ()00g x x =，由（*）知， 0k x <，又()03,4x ∈， *N k ∈，∴ k 的最大值为3，即存在最大的正整数3k =，使得()0f x x +>在()1x ∈+∞，上恒成立．12．已知函数()2ln f x ax bx x =-+，（ a ， b R ∈）．（1）若1a =， 3b =，求函数()f x 的单调减区间；（2）若0b =时，不等式()0f x ≤在[1,+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1a =， 92b >时，记函数()f x 的导函数()'f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证： ()()12633ln216f x f x ->-．【答案】(1) 1,12⎛⎫⎪⎝⎭(2) 12a e ≤-;(3)见解析．【解析】试题分析：（1）代入1a =， 3b =时，得到()f x ，求得()f x '，即可求解函数的单调区间；（2）把不等式()0f x ≤在[)1,+∞上恒成立，转化为2ln x a x ≤-在区间[)1,+∞上恒成立，令()2ln xh x x =-，利用导数求得函数的最小值，即可求解实数a 的取值范围．学科*网（3）方法一：求得()'f x ，得1x ， 2x 是方程2210x bx -+=的两个根，即1212x x =，化简()()()()2212222221ln 2,2,4f x f x x x x x -=--∈+∞，令()()()12t f x f x ϕ=-，利用导数求得()t ϕ的最小值，即可证明结论；（2）0b =时， ()2ln f x ax x =+，不等式()0f x ≤在[)1,+∞上恒成立即为： 2ln xa x≤-在区间[)1,+∞上恒成立令()2ln x h x x =-，则()32ln 1'x h x x-=，令()'0h x =得： x e =，因为()1,x e ∈时， ()'0h x <， (),x e ∈+∞时， ()'0h x >，所以()h x 在()1,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增所以()()min 12h x he e ==-，所以12a e ≤-．方法二：因为1a =，所以()2ln f x x bx x =-+，从而()221'x bx f x x-+=（0x >）．由题意知， 1x ， 2x 是方程2210x bx -+=的两个根．记()221g x x bx =-+，则2120g b b⎛⎫=>⎪⎝⎭，因为92b >，所以1190442g b ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2920g b =-<，所以111,4x b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()22,x ∈+∞，且()f x 在[]12,x x 上为减函数．所以()()()()121117632ln 42ln23ln241644416bb f x f x f f b ⎛⎫⎛⎫->-=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为92b >，故()()127963633ln23ln2421616f x f x ->⋅--=-． 13．已知函数()()12ln 2(0)f x a x ax a x=-++<．()1 讨论()f x 的单调性；()2 若对任意的()[]123213a x x ∈--∈，，，，，恒有()()()12ln32ln3m a f x f x +->- 成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）133m ≤-．【解析】试题分析：（1）当a<0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f （x ）单调区间；（2）若对任意a ∈（-3，-2）及x 1，x 2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3>|f （x 1）-f （x 2）|成立，求函数f （x ）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m 的取值范围．学科@网试题解析：(1()()22222121)'2ax a x a f x a x x x +---=-+=，当2a <-时， 112a -<，令()'0f x <得10x a <<-或12x >，令()'0f x >得112x a -<<；当20a -<<时，得112a ->，令()'0f x <得102x <<或1x a>-，令()'0f x >得112x a<<-；当2a =-时， ()22(21)'0x f x x -=-≤，综上所述，当2a <-时()f x ，的递减区间为10a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，和12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，，递增区间为112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；当2a =-时， ()f x 在()0+∞，单调递减；当20a -<<时， ()f x 的递减区间为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，和1a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，递增区间为11.2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)由(Ⅱ)可知，当()32a ∈--，时， ()f x 在区间[]13，上单调递减，当1x =时， ()f x 取最大值；当3x =时， ()f x 取最小值；()()()()()()()121213122ln3642ln333f x f x f f a a a a a ⎡⎤-≤-=+--++=-+-⎢⎥⎣⎦，()()()12ln3ln3m a f x f x +->-恒成立，()()2ln32ln342ln33m a a a ∴+->-+- 整理得243ma a >-， 2043a m a<∴<-，恒成立，13238324339a a -<<-∴-<-<-，，133m ∴≤-．14．已知()()ln xf x e a x a R =-∈．（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a =-时，若不等式()()1f x e m x >+-对任意()1,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1) ()0e a x y a --+=;(2) 1m e ≤+．【解析】试题分析：（1）求得()f x '，得()1f e a '=-，确定切点为()1,e ，即可求解切线的方程；（2）由题意原不等式得()ln 10xe x e m x +--->，设()()ln 1xF x e x e m x =+---，转化为()0F x >对任意[)1,x ∈+∞恒成立，利用导数得到函数()F x 的单调性，分类讨论即可求解实数m 的取值范围．试题解析：（1）由()ln xf x e a x =-，则()(),1x af x e f e a x''=-=-，切点为()1,e ，所求切线方程为()()1y e e a x -=--，即()0e a x y a --+=．（2）由()ln xf x e a x =-，原不等式即为()ln 10xe x e m x +--->，记()()ln 1xF x e x e m x =+---， ()10F =，依题意有()0F x >对任意[)1,x ∈+∞恒成立，求导得()()()211,11,x x x F x e m F e m F x e x x=+-=+=''-''-，当1x >时， ()0F x ''>，则()F x '在()1,+∞上单调递增，有()()11xF x F e m >=+'-'，若1m e ≤+，则()0F x '>，若()F x 在()1,+∞上单调递增，且()()10F x F >=，适合题意；若1m e >+，则()10F '<，又()1ln 0ln F m m'=>，故存在()11,ln x m ∈使()0F x '=，当11x x <<时， ()0F x '<，得()F x 在()11,x 上单调递减，在()()10F x F <=，舍去，综上，实数m 的取值范围是1m e ≤+．学科.网 15．已知函数()1ex f x x +=， ()()ln 1g x k x k x =++．（1）求()f x 的单调区间．（2）证明：当0k >时，方程()f x k =在区间()0,+∞上只有一个零点．（3）设()()()h x f x g x =-，其中0k >若()0h x ≥恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调减区间为(),1-∞-，单调增区间为()1,-+∞; （2）见解析；（3）(0,e]．【解析】试题分析：（1）根据导函数的符号可得函数的单调区间．（2）令()()1ex t x f x k x k +=-=-，由条件可证得函数()t x 单调递增，根据零点存在定理可证得零点唯一．（3）结合（2）可求得函数()h x 的最小值，然后根据最小值大于等于零可得实数k 的取值范围是(0,e]．试题解析：（1）∵()1e xf x x +=，∴()()111ee 1e x x xf x x x +++==+'+，令()0f x '>，得1x >-；令()0f x <，得1x <-，故()f x 的单调减区间为(),1-∞-，单调增区间为()1,-+∞．（2）设()()1e x t xf x k x k +=-=-， 0k >，则()()11ex t x x +=+'，由（1）可知()t x 在()1,-+∞上单调递增，又()00t k =-<， ()()11e e 10k k t k k k k ++=-=->， ∴()t x 在()0,+∞上只有1个零点，故当0k >，方程()f x k =在区间()0,+∞上只有一个零点．（3）由题意得()()()()1e ln 1x h xf xg x x k x k x +=-=--+， (x 0,0)k >>，∴()()11e x k h x x k x +=+--' ()11e x x x k x++=-，令()0h x '=，则1e 0x x k +-=，由（2）得()1ex t x x k +=-在区间()0,+∞上单调递增且只有一个零点，不妨设()t x 的零点为0x ，则当()00,x x ∈时， ()0t x <，即()0h x '<， ()h x 单调递减．当()0x x ∈+∞时， ()0t x >，即()0h x '>， ()h x 单调递增， ∴函数()h x 的最小值为 ()0h x ，且()()010100e ln 1x h x x k x k x +=--+，由010e0x x k +-=，得001e x k x +=，故()()0001ln1ln ex k h x k k k x k k k +=--+=-，根据题意()00h x ≥，即ln 0k k k -≥，解得0k e <≤，故实数k 的取值范围是(0,e]．16．已知0a ≥，函数()()22x f x x ax e =-+．（I ）当x 为何值时， ()f x 取得最大值？证明你的结论；（II ）设()f x 在[]1,1-上是单调函数，求a 的取值范围；（III ）设()()21xg x x e =-，当1x ≥时， ()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)见解析(2) 34a ≥（3）102a ≤≤ 【解析】试题分析：（I ）求得()()2212xf x x a x a e ⎡⎤=-+-+⎣'⎦，取得()22120x a x a -+-+=的根，即可得到数列的单调性，进而求解函数的最大值．（II ）由（I ）知，要使得在[]1,1-上单调函数，则22111{111a a a a --+≤--++≥，即可求解a 的取值范围；（III ）由()()f x g x ≤，分类参数得()212x x e x a x-+≤，构造新函数()()21x x e x h x x-+=()1x ≥，利用导数求得函数()h x 的单调性和最值，即得到a 的取值范围．学#科网（II ）由（I ）知22221111{{11112a a a a a a a a--+≤-≤+⇒-++≥+≥-2a ⇒≥或2202{133a a a a ≤<+≥-+2a ⇒≥或023{ 344a a a ≤<⇒≥≥17．已知函数()32xf x xe ax bx c =+++（其中e 为自然对数的底， ,,a b c R ∈）的导函数为()'y f x =．（1）当0a c ==时，讨论函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数；（2）设点()()0,0A f ， ()(),B m f m 是函数()f x 图象上两点，若对任意的0m >，割线AB 的斜率都大于'2m f ⎛⎫⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围．【答案】(1)见解析;(2) 1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】试题分析：（1）由()0f x = e x b x ⇔-=，记()e xg x x=，问题转化为函数()g x 的图象与x 轴的交点个数问题；（2）对任意的0m >，割线AB 的斜率都大于'2m f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2221e e e 024m mmm am --+>，记()h m = 2221e e e 24m m mm am --+，研究函数()h m 的单调性与最值即可．试题解析：（1）0a c ==时，由()0f x = e x b x ⇔-=，记()e xg x x=，()()2e 1x x g x x ='-，当01x <<时， ()0g x '<，当1x >时， ()0g x '>，所以当1x =时， ()g x 取得极小值e ，①当e b -<即e b >-时，函数()f x 在区间()0,+∞上无零点； ②当e b -=即e b =-时，函数()f x 在区间()0,+∞上有一个零点； ③当e b ->即e b <-时，函数()f x 在区间()0,+∞上有两个零点；（2）()2e e 32x xf x x ax bx =+'++，2223e e 224m m m m f am bm ⎛⎫=++'+ ⎪⎝⎭， 322e e m m AB m am bm c c k am bm m +++-==++，依题意：对任意的()0,m ∈+∞，都有22223e e e 24m m mm am bm am bm ++>+++，即2221e e e 024m m mm am --+>，记()h m = 2221e e e 24mm mm am --+， ()2211e e e 42m mmh m m am =--+'，记()()m h m φ='，则()22311e e e 482m mmm m a φ=--+'．记()()r m m φ='，则()22222111111e e e e e e 102161622162m m m m mmmr m m m m ⎛⎫⎛⎫=--=--≥+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，所以()0,m ∈+∞时， ()r m 递增，所以()()11042r m r a >=+， ①当11042a +≥即12a ≥-时， ()0r m >，即()0m φ'>，所以()m φ在区间()0,+∞上单调递增，所以()()00m φφ>=，得到()0h m '>，从而()h m 在区间()0,+∞上单调递增，所以()()00h m h >=恒成立；学%科网 ②当11042a +<即12a <-时，因为()0,m ∈+∞时， ()r m 递增，所以()110042r a =+<，所以存在00x >，使得00m x <<时， ()0r m <即()0m φ'<，所以()m φ在区间()00,x 上单调递减，所以00m x <<时，()()00m φφ<=即()0h m '<，所以00m x <<时， ()h m 在区间()00,x 上单调递减，所以00m x <<时， ()()00h m h <=，从而()0h m >不恒成立。

2018年高考理科数学平不等式100题(含答案解析)

2018年高考理科数学不等式100题（含答案解析）1.已知实数x ，y 满足约束条件，则z=的最大值为（）A ．B ．C ．D ．2.圆x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣1=0上存在两点关于直线ax ﹣2by+1=0（a ＞0，b ＞0）对称，则+的最小值为（） A ．3+2B ．9C ．16D ．183.设实数x ，y 满足约束条件，则z=x 2+y 2的最小值为（）A ．B ．10C ．8D ．54.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x ﹣2y 的最小值为（）A ．B ．﹣3C ．0D ．15.已知实数,x y 满足1,30,220,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则z x y =-的最大值为（A ）-1 （B ）13（C ）1 （D ）3 6.已知集合{}210A x x =-≥，{}210B x x =-≤，则A B =（A ）{}1x x ≥- （B ）{}1x x ≥ （C ）112x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭（D ）112x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭7.若x ，y 满足03030y x y kx y ⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≥≥≥，且2z x y =+的最大值为4，则k 的值为（）．A ．32-B ．32C ．23-D ．238.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为12 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为7 000元，那么可产生的最大利润是( )A ．29 000元B ．31 000元C ．38 000元D ．45 000元 9.设集合{}|(1)(2)0A x x x =+-<，集合{}|13B x x =<<，则AB =（）． A ．{}|13x x -<< B ．{}|11x x -<<C ．{}|12x x <<D ．{}|23x x << 10.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+-k x 01y 3x 01y x ，若z=3x ﹣y 的最大值为3，则实数k 的值为（）A ．﹣1B ．1C ．2D ．311. 若集合A={x|02x 5x ≤-+}，B={x||x|＜3}，则集合 A ∪B 为（） A ．{x|﹣5＜x ＜3} B ．{x|﹣3＜x ＜2}C ．{x|﹣5≤x ＜3}D ．{x|﹣3＜x≤2}12.若x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+y 的最大值为2，则实数a 的值为（）A ．2B ．1C ．﹣1D ．﹣2 13.已知集合A={x||x|＞1}，B={x|x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A∩B=（） A ．（﹣1，1） B ．R C ．（1，3] D ．（﹣1，3]14.由直线x ﹣y+1=0，x+y ﹣5=0和x ﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-1x 05y x 01y x B ．⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-1x 05y x 01y x C ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-1x 05y x 01y x D ．⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≤+-1x 05y x 01y x 15.已知x ＞0，y ＞0，且3x+2y=xy ，若2x+3y ＞t 2+5t+1恒成立，则实数t 的取值范围（）A ．（﹣∞，﹣8）∪（3，+∞）B ．（﹣8，3）C ．（﹣∞，﹣8）D ．（3，+∞） 16.已知x ，y 满足不等式组，则z=﹣3x ﹣y 的最小值为（） A ．﹣3 B ．﹣7 C ．﹣6 D ．﹣8 17.已知集合M={x|（x+1）（x ﹣4）＜0}，N={x|x|＜3}则M ∩N=（） A ．（﹣3，﹣1） B ．（﹣1，3） C ．（3，4） D ．（﹣1，4）18.设x ，y 满足约束条件，则z=3x ﹣2y 的最大值为（）A ．1B ．4C ．8D ．11 19.设集合M={x|x 2＜x}，N={x||x|＜1}，则（） A ．M ∩N=∅ B ．M ∪N=MC ．M ∩N=MD ．M ∪N=R20.已知全集U=R ，集合A={x|3≤x ＜7}，B={x|x 2﹣7x+10＜0}，则∁R （A ∩B ）=（） A ．（﹣∞，3）∪（5，+∞） B ．（﹣∞，3）∪[5，+∞） C ．（﹣∞，3]∪[5，+∞）D ．（﹣∞，3]∪（5，+∞）21.关于实数x ，y 的不等式组所表示的平面区域记为M ，不等式（x ﹣4）2+（y ﹣3）2≤1所表示的区域记为N ，若在M 内随机取一点，则该点取自N 的概率为（） A ． B ．C ．D ．22.设x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-2x 02y x 0y x ，则（x+1）2+y 2的最小值为（）A ．1B ． 29C ．5D ．9 23.设集合A={x|x 2﹣4x ＜0}，B={x|log 2x ＞1}，则A ∩B=（） A ．（2，4） B ．（0，2） C ．（1，4） D ．（0，4） 24.已知x ＞0，y ＞0，且4x+y=xy ，则x+y 的最小值为（） A ．8 B ．9 C ．12 D ．16 25.设不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥+≤-0y 2y x 2y x 所表示的区域为M ，函数y=﹣2x 1-的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为（） A ． π2B ．4π C ． 8πD ． 16π 26.若实数x ，y 满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+01y x 401x 01y x 则目标函数z=3x 1y ++的最大值为（）A ．41B ．32C ．23D ．2 27.已知集合M={x|1+x≥0}，N={x|x14-＞0}，则M∩N=（）A ．{x|﹣1≤x ＜1}B ．{x|x ＞1}C ．{x|﹣1＜x ＜1}D ．{x|x≥﹣1}28.设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-03y x 301y x 01y x 则目标函数z=4x+y 的最大值为（）A ．4B ．11C ．12D ．14 29.设集合A={x|x 2﹣x ﹣6＞0}，B={x|﹣3≤x≤1}，则A∩B=（） A ．（﹣2，1] B ．（﹣3，﹣2] C ．[﹣3，﹣2）D ．（﹣∞，1]∪（3，+∞）30.已知集合A={x|2x 1x -+＜0}，集合B=N ，则A∩B=（） A ．{﹣1，0，1} B ．{1} C ．{0，1}D ．{﹣1，0}31.设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy+4y 2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A ．0B ．1C ．D ．3 32.设集合A={x||x ﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x ∈[0，2]}，则A ∩B=（） A ．[0，2] B ．（1，3） C ．[1，3） D ．（1，4）33.设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x ∈Z|x 2﹣5x+4＜0}，则∁U （A ∪B ）=（） A ．{0，1，2，3} B ．{5} C ．{1，2，4} D ．{0，4，5}34.设实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≥≥-x 2y 2x y 0y 2x ，则z=2x+y 的最大值为（）A ．10B ．8C ．310D ．3835. 由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．36.已知集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|2x＞4}，则（）A．A⊆B B．B⊆A C．A∩∁R B=R D．A∩B=∅37.设m=﹣，n=﹣，p=﹣，则m，n，p的大小顺序为（）A．m＞p＞n B．p＞n＞m C．n＞m＞p D．m＞n＞p38.若实数x，y满足不等式，且x+y的最大值为9，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．239.已知集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B={x|0＜x＜4}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，3] B．[﹣1，0）C．[﹣1，3] D．（3，4）40.已知关于x的函数f（x）=x2﹣2，若点（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在R上有零点的概率为（）A．B． C．D．41.设集合A={x|x2﹣4x+3≥0}，B={x|2x﹣3≤0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，1]∪[3，+∞）B．[1，3] C．D．42.设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（∁U B）∩A=（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3）C．[0，3）D．（0，3）43.若实数x，y满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b ，则函数z=2ax+by 在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为（） A ． B ． C ． D ． 44.设点P （x ，y ）在不等式组表示的平面区域上，则z=的最小值为（） A ．1 B ． C ．2 D ．45.设集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x 2+2x ﹣3＜0}，则A ∩B=（） A ．{﹣1} B ．{﹣1，0} C ．{﹣1，0，1} D ．{﹣2，﹣1，0}46.已知集合{}|12A x x =-<，{}2|1og 1B x x =>，则A B =（）． A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．(2,3)D ．(1,4)-47.已知全集U =R ，集合{}1A x y x ==-，{}220B x x x =-<，则A B =（）．A ．{}0x x >B ．{}0x x ≥C ．{}01x x <<D ．{}12x x <≤48.记不等式组表示的平面区域为D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则当∠APB 的最大时，cos ∠APB 为（） A ． B ．C ．D ．49.已知全集U=R ，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x 2+3x ＜0}，则（∁U A ）∩B 等于（） A ．{x|﹣3＜x ＜0} B ．{x|﹣1≤x ＜0}C ．{x|x ＜﹣1}D ．{x|﹣1＜x ＜0}50.若a=20.5，b=log π3，c=ln ，则（） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b已知全集U为实数集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|1≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}52.函数y=2x+的最小值为（）A．1 B．2 C．2D．453.已知集合A={x|x＞2}，B={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，则A∩B=（）A．{x|x＞1} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|x＞2或x＜1} 54.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＜b），在R上是单调递增函数，则的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．655.已知集合A={x|x＞1}，B={x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}56.已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，•的值为（）A．2 B．C．D．357.设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]已知正项等比数列{a n }满足：a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得=4a 1，则+的最小值为（） A ．B ．C ．2D ．59.设全集U=R ，集合，则集合A∩（∁U B ）=（）A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ＜﹣3}C ．{x|﹣3＜x ≤﹣1}D ．{x|﹣1＜x ＜0} 60. 已知集合，则A∩B=（）A ．（1，+∞）B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D ．[0，1] 61.已知a ＞0，b ＞0，且2a+b=4，则的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．4 62.已知集合A=x|x 2﹣2x ﹣3＞0}，集合B={x|0＜x ＜4}，则（∁R A ）∩B=（） A ．（0，3] B ．[﹣1，0） C ．[﹣1，3] D ．（3，4）63.在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-0y 03y x 30y 2x 3表示的平面区域的面积是（）A ．1B ．23C ．2D ．25 64.已知y x ,均为非负实数，且满足⎩⎨⎧≤+≤+241y x y x ，则y x z 2+=的最大值为（）A ．1B ．21C ．35D ．2 65.若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有（） A ．ad ＞bc B ．ad ＜bcC ．ac ＞bdD ．ac ＜bd66.已知集合A={x|（x﹣2）（x+1）≤0，x∈R}，B={x|lg（x+1）＜1，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≤，使(0)z x ay a =+>取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为__________．68.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则实数m 的取值范围为__________．69.已知实数x 、y 满足1|1|y y x ⎧⎨-⎩≤≥，则2x y +的最大值是__________． 70.已知O 是坐标原点，点1()2,A -，若点(,)M x y 为平面区域101010x y y x y -⎧⎪⎨⎪⎩≥≥≤++++，上的一个动点，设2z x y =-+，则z 的最大值为____________．71.已知点(2,)P t 在不等式组4030x y x y --⎧⎨+-⎩≤≤，表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为__________．72.某科技小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i ）男学生人数多于女学生人数．（ii ）女学生人数多余教师人数．（iii ）教师人数的两倍多余男学生人数．①若教师人数为5，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．73.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，*x ∈N ）的关系为21825y x =-+-，则当每台机器__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．74.不等式|2x ﹣1|+|2x+9|＞10的解集为．若x ＞0，y ＞0，x+4y+2xy=7，则x+2y 的最小值是． 76. 已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a+b=2，则2c 52c ab c b ac -+-+的最小值为． 77. 设不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤-≥4y x 0y x 1x 表示的平面区域为M ，若直线y=kx ﹣2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是．78.若实数x ，y 满足 xy+3x=3(0＜x ＜21)，则3y 1x 3-+的最小值为． 79.已知角 α，β满足22ππ-<α-β<， 0＜α+β＜π，则3α－β的取值范围是． 80.已知函数f （x ）=（x 2+ax+b ）e x ，当b ＜1时，函数f （x ）在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）上均为增函数，则2a 2b -+的取值范围是． 81.设函数f （x ）=|x ﹣a|+x 9（a ∈R ），若当x ∈（0，+∞）时，不等式f （x ）≥4恒成立，则的取值范围是．82.已知实数a ，b 满足：a≥21，b ∈R ，且a+|b|≤1，则a 21+b 的取值范围是． 83.已知a ＞b ＞0，那么a 2+)b a (b 1-的最小值为． 84.若（ax 2+）6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2+b 2的最小值为．85. 设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01y x 02y 2x 02y x 2，则z=（a 2+1）x ﹣3（a 2+1）y 的最小值是﹣20，则实数a= ． 86. 若实数x ，y 满足不等式组，则z=2|x|+y 的最大植为．87.已知不等式组则z=的最大值为． 88.设P （x ，y ）为函数y=x 2﹣1图象上一动点，记，则当m 最小时，点P 的坐标为．89.若变量x ，y 满足约束条件，且z=2x+y 的最小值为﹣6，则k= ． 90.已知函数，若正实数a ，b 满足f （4a ）+f （b ﹣9）=0，则的最小值为．91. 已知实数x ，y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤--02y 03x 01y x ，则 4x 2y --的最大值为． 92.已知log 2x+log 2y=1，则x+y 的最小值为．93.点M （x ，y ）是不等式组表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式2x ﹣y+m ≥0总成立，则m 的取值范围是．94.设x ，y 满足约束条件，若y=zx+z+3，则实数z 的取值范围为．95.a ，b 为正数，给出下列命题：①若a 2﹣b 2=1，则a ﹣b ＜1； ②若﹣=1，则a ﹣b ＜1；③e a ﹣e b =1，则a ﹣b ＜1；④若lna ﹣lnb=1，则a ﹣b ＜1．期中真命题的有．96.设正实数y x ,满足1=+y x ，则xy y x ++22的取值范围为97. 已知实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-03y 05y x 0y x ，若不等式m （x 2+y 2）≤（x+y ）2恒成立，则实数m的最大值是．98.设数列{}n a 的首项1()a a a =∈R ，且13,34,3n n n n n a a a a a +->⎧=⎨-+⎩≤时，1m =，2，3，．Ⅰ若01a <<，求2a ，3a ，4a ，5a ．Ⅱ若04n a <<，证明：104n a +<<．ⅡⅠ若02a <≤，求所有的正整数k ，使得对于任意*n ∈N ，均有n k n a a +=成立． 99.某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元．（1）把全程运输成本y （元）表示为速度x （海里/小时）的函数．（2）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？100.设全集是实数集R ，A={x|2x 2﹣7x+3≤0}，B={x|x 2+a ＜0}．（1）当a=﹣4时，求A ∩B 和A ∪B ；（2）若（∁R A ）∩B=B ，求实数a 的取值范围．答案1.A【考点】简单线性规划．【分析】利用分式函数的性质，转化为直线的斜率，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由约束条件得到可行域如图：则z==3﹣，则z的几何意义是区域内的点到定点M（﹣1，﹣1）的斜率的最小值的相反数与3的和，由图象可知区域边界点A（1.5，2）连接的直线斜率最小为，所以z的最大值为3﹣=；故选：A．2.D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+1=0（a＞0，b＞0）对称，说明直线经过圆心，推出a+b=，代入+，利用基本不等式，确定最小值，推出选项．【解答】解：由圆的对称性可得，直线ax﹣2by+1=0必过圆心（﹣2，1），所以a+b=．所以+=2（+）（a+b）=2（5++）≥2（5+4）=18，当且仅当=，即2a=b时取等号，故选D．3.B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实数x，y满足约束条件的可行域为：z=x2+y2的几何意义是可行域的点到坐标原点距离的平方，显然A到原点距离的平方最小，由，可得A（3，1），则z=x2+y2的最小值为：10．故选：B．4.A【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最小值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：y x O，由，解得A （，），由z=x ﹣2y 得：y=x ﹣z ，平移直线y=x ，结合图象直线过A （，）时，z 最小，z 的最小值是：﹣，故选：A ． 5.C【命题意图】本小题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等．【试题简析】由已知条件，可行域如右图阴影部分.其中阴影区域三角形的三个顶点分别为54(1,0),(1,2),(,)33，把三个点分别代入z x y =-检验得：当1,0x y ==时，z 取得最大值1，故选D.【错选原因】错选A ：误把z -的最大值当成z x y =-的最大值；错选B ：误把z 的最小值当成z x y =-的最大值；错选C ：误把z -的最小值当成z x y =-的最大值.6.D【命题意图】本小题主要考查解不等式、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，考查数学运算．【试题简析】因为1{|}2A x x =≥，{|11}B x x =-≤≤，所以1{|1}2AB x x =≤，故选D.【错选原因】错选A ：误求成A B ；错选B ：集合B 解错，解成{}11或B x x x =≤-≥；错选C ：集合A 解错，解成1{|}2A x x =≤.7.A如图，取4z =得直线方程24y x =-+，分别画出3y x =+，0y =以及24y x =-+，由图可知，当3y kx =+过点(2,0)时，2y x z =-+通过点(2,0)时截距最大，即z 取得最大值，代入得023k =+，解得32k =-．故选A ．8.C9.A∵{}|12A x x =-<<，{}|13B x x =<<，{}|13A B x x =-<<．故选A ．10.B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到a 的值．【解答】解：不等式组，对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z，则由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，为3x﹣y=3．，解得，即A（1，0），此时点A在x=k，解得k=1，故选：B．11.C【考点】并集及其运算．【分析】分别化简集合A，B，再由并集的含义即可得到．【解答】解：集合={x|﹣5≤x＜2}，B={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}，则A∪B={x|﹣5≤x＜3}．故选：C．12.A【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组的图象，利用目标函数z=x+y的最大值为2，求出交点坐标，代入3x﹣y﹣a=0即可．【解答】解：先作出不等式组的图象如图，∵目标函数z=x+y的最大值为2，∴z=x+y=2，作出直线x+y=2，由图象知x+y=2如平面区域相交A，由得，即A（1，1），同时A（1，1）也在直线3x﹣y﹣a=0上，∴3﹣1﹣a=0，则a=2，故选：A．13.C【考点】1E：交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x||x|＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B={x|1＜x≤3}=（1，3]．故选：C．14.A【考点】简单线性规划．【分析】作出对应的平面区域，根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论．【解答】解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x≥1，在x﹣y+1=0的上方，则x﹣y+1≤0，在x+y﹣5=0的下方，则x+y﹣5≤0，则用不等式组表示为，故选：A．15.B【考点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用“1”的代换化简2x+3y转化为（2x+3y）（）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x+3y＞t2+5t+1求得2x+3y的最小值，进而求得t的范围．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且3x+2y=xy，可得： =1，∴2x+3y=（2x+3y）（）=13+≥13+2=25．当且仅当x=y=5时取等号．∵2x+3y＞t2+5t+1恒成立，∴t2+5t+1＜25，求得﹣8＜t＜3．故选：B．16.B【考点】简单线性规划．【分析】由已知不等式组画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值．【解答】解：已知不等式组表示的可行域如图：由z=﹣3x﹣y变形为y=﹣3x﹣z，当此直线经过图中的C时，在y轴的截距最大，z最小，由得到C（2，1），所以z的最小值为﹣3×2﹣1=﹣7；故选B．17.B【考点】交集及其运算．【分析】化简集合M、N，再根据交集的定义写出M∩N．【解答】解：集合M={x|（x+1）（x﹣4）＜0}={x|﹣1＜x＜4}，N={x||x|＜3}={x|﹣3＜x＜3}∴M∩N={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．故选：B．18.D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设利用数形结合即可的得到结论．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：z=3x﹣2y得y=x﹣，平移y=x﹣，当y=x﹣经过可行域的A时，z取得最大值，由，解得A（5，2）．此时z的最大值为：3×5﹣2×2=11．故选：D．19.C【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．【分析】解x2＜x可得集合M={x|0＜x＜2}，解|x|＜1可得集合N，由交集的定义，分析可得答案．【解答】解：x2＜x⇔0＜x＜1，则集合M={x|0＜x＜1}，|x|＜1⇔﹣1＜x＜1，则集合N={x|﹣1＜x＜1}，则M∩N={x|0＜x＜1}=M，故选C．20.B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合B，再计算A∩B，最后计算C R（A∩B）．【解答】解：∵B={x|2＜x＜5}，∴A∩B={x|3≤x＜5}，∴C R（A∩B）=（﹣∞，3）∪[5，+∞）．故答案选B．【点评】本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系．21.A【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，分别求出对应的面积，即可得到结果．【解答】解：关于实数x，y的不等式组所表示的平面区域记为M，面积为=8，不等式（x﹣4）2+（y﹣3）2≤1所表示的区域记为N，且满足不等式组，面积为，∴在M内随机取一点，则该点取自N的概率为=，故选A．22.B【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（x+1）2+y2的几何意义是区域内的点到定点A（﹣1，0）的距离的平方，由图象知A到直线x+y﹣2=0的距离最小，此时距离d==，则距离的平方d2=（）2=，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点间的距离公式是解决本题的关键．23.A【考点】1E ：交集及其运算．【专题】37 ：集合思想；4O ：定义法；5J ：集合．【分析】化简集合A 、B ，根据交集的定义写出A ∩B ．【解答】解：集合A={x|x 2﹣4x ＜0}={x|0＜x ＜4}，B={x|log 2x ＞1}={x|x ＞2}，则A ∩B={x|2＜x ＜4}=（2，4）．故选：A ．24.B 414141,()()59+=+=++=++≥x y x y x y y x y x y x，当且仅当3,6==x y 时取等号.故选B.25.B【分析】作出平面区域，根据面积比得出概率．【解答】解：作出图形如图所示：则区域M为△ABC，区域N为单位圆的下半圆，点O到直线x+y=﹣和直线x﹣y=的距离均为=1，故半圆与AB，BC相切．∴向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为P===．故选B．【点评】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题．26.C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到点D（﹣3，﹣1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，5），则z=的最大值z===，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点之间的斜率公式以及数形结合是解决本题的关键．27.A【考点】交集及其运算．【分析】分别求出集合M和N，由此能求出M∩N的值．【解答】解：∵集合M={x|1+x≥0}={x|x≥﹣1}，N={x|＞0}={x|x＜1}，∴M∩N={x|﹣1≤x＜1}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．28.B【考点】简单线性规划．【分析】利用线性规划的内容作出不等式组对应的平面区域，然后由z=4x+y得y=﹣4x+z，根据平移直线确定目标函数的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=4x+y得y=﹣4x+z，平移直线y=﹣4x+z，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时Z最大，由，解得，即A（2，3），代入z=4x+y得最大值为z=4×2+3=11．故选：B．【点评】本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域的知识，以及线性规划的基本应用，利用数形结合是解决此类问题的关键．29.C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，再由集合的交集运算即可得到所求．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}=（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），B={x|﹣3≤x≤1}=[﹣3，1]，则A∩B=[﹣3，﹣2）．故选：C．【点评】本题考查集合的交集运算，同时考查二次不等式的解法，属于基础题．30.C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，集合B=N，则A∩B={0，1}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．31.B【考点】7F：基本不等式．【分析】依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．32.C【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C33.D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求．【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B={2，3}，∵A={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，∵集合U={0，1，2，3，4，5}，∴∁∪（A∪B）={0，4，5}．故选D．34.A【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解z的最大值即可．【解答】解：约束条件，画出可行域，结合图象可得当目标函数z=2x+y过点A时，目标函数取得最大值．由，解得A（4，2），则z=2x+y的最大值为10．故选：A．【点评】本题考查线性规划的应用，考查数形结合思想以及计算能力．35.D【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．【解答】解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为△AOB内的四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．36.C【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，B，再判断集合之间的关系．【解答】解：由x2﹣3x+2＜0即（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，故A=（1，2），由2x＞4=22，解得x＞2，故B=（2，+∞），∴A∩B=∅，故选：D37.D【考点】不等关系与不等式．【分析】不妨设m＞n，由此得出m＞n，同理得出n＞p，即可得出m、n、p的大小顺序．【解答】解：∵m=﹣＞0，n=﹣＞0，p=﹣＞0，不妨设m＞n，则﹣＞﹣，∴11﹣2＞13﹣2，∴＞1+，∴42＞31+2，∴11＞2，∴121＞120，∴m＞n，同理n＞p；∴m、n、p的大小顺序是m＞n＞p．故选：D．38.C【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．39.A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，集合B={x|0＜x＜4}，∴∁R A={x|﹣1≤x≤3}，∴（∁R A）∩B={x|0＜x≤3}=（0，3]．故选：A．40.B【考点】几何概型．【分析】根据条件求出函数有零点的取值范围，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）在R上有零点，则满足判别式△=4b﹣4a2≥0，即b＞a2区域的面积S==18，由，解得x=2，y=4，即（2，4），则函数f（x）在R上有零点，区域的面积S===，∴根据几何概型的概率公式可知函数f（x）在R上有零点的概率为，故选：B．41.D【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1或x≥3}，B={x|2x﹣3≤0}={x|x≤}，∴A∪B={x|x或x≥3}=（﹣∞，]∪[3，+∞）．故选：D．42.D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意，先求出集合A，B，进而求出B的补集，进而根据交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|1og2x≤2}=（0，4]，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∴C U B=（﹣1，3），∴（C U B）∩A=（0，3），故选：D【点评】本题考查集合混合运算，注意运算的顺序，其次要理解集合交、并、补的含义．43.D【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】利用古典概型概率计算公式，先计算总的基本事件数N，再计算事件函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值时包含的基本事件数n，最后即可求出事件发生的概率．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，∵函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值，∴直线z=2ax+by的斜率k=﹣≤﹣1，即2a≥b．∵一颗骰子投掷两次分别得到点数为（a，b），则这样的有序整数对共有6×6=36个其中2a≥b的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共30个则函数z=2ax+by在点（2，﹣1）处取得最大值的概率为=．故选：D．44.D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z==则z的几何意义是区域内的点到点D（1，0）的距离，由图象知D到直线2x﹣y=0的距离最小，此时d==，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用以及距离的求解，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键．45.B【分析】分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x 2+2x ﹣3＜0}={x|（x ﹣1）（x+3）＜0}={x|﹣3＜x ＜1}，∴A ∩B={x|﹣1＜x ＜0}={﹣1，0}．故选：B ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．46.C{}{}|1|213A x x x x =-<=-<<，{}{}2log 12B x x x x =>=>， ∴{}23AB x x =<<．故选C ．47.A ∵{}1A x x =≥，{}02B x x =<<，∴{}0AB x x =>，选择A ．48.D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当∠PAB 最大时点P 的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可求出结论．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域D ，如图所示，要使∠APB 最大，则∠OPB 最大，∵sin ∠OPB==， ∴只要OP 最小即可．则P 到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP 垂直直线3x+4y ﹣10=0，此时|OP|===2，|OA|=1，设∠APB=α，则∠APO=，即sin ==，此时cosα=1﹣2sin 2=1﹣2×（）2=1﹣=，即cos ∠APB=．故选：D ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．49.B【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合A、B，求出∁U A，再计算∁U A）∩B．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x+1＜0}={x|x＜﹣1}，∴∁U A={x|x≥﹣1}，又B={x|x2+3x＜0}={x|﹣3＜x＜0}，（∁U A）∩B={x|﹣1≤x＜0}．故选：B．50.C【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.5，＞1，0＜b=logπ3＜1，c=ln＜0，∴a＞b＞c．故选：C．51.A【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁R B），然后利用集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，则∁U B={x|x≥1}，由韦恩图中阴影部分表示的集合为A∩（∁U B），∴A∩（∁U B）={x|1≤x＜3}，故选：A．52.C【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式化简求解即可．【解答】解：函数y=2x+≥2=2，当且仅当x=时，等号成立．故选：C．53.B【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：1＜x＜3，即B={x|1＜x＜3}，∵A={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：B．54.B【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】求出函数的导数，得到c≥，a＞0，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．【解答】解：f′（x）=3ax2+2bx+c，若函数f（x）在R上是单调递增函数，则，解得：c≥，a＞0，故≥=≥=，当且仅当3a=2b﹣3a即b=3a时“=”成立，此时的最小值是==4，故选：B．【点评】本题考查了求函数的单调性问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．55.D【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出B中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：x2﹣x﹣2＜0，即为（x﹣2）（x+1）＜0，解的﹣1＜x＜2，即A={x|﹣1＜x＜2}，又A={x|x＞1}，则A∩B={x|1＜x＜2}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．56.B【考点】平面向量数量积的运算；简单线性规划．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，则P到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0，此时|OP|==2，|OA|=1，设∠APB=α，则sin=，=此时cosα=，•==．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，考查学生分析解决问题的能力，利用数形结合是解决本题的关键．57.B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．58.B【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由正项等比数列通项公式结合已知条件求出q=2，再由，求出m+n=6，由此利用均值定理能求出结果．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，∴，整理，得q2﹣q﹣2=0，又q＞0，解得，q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴，整理，得2m+n﹣2=16，即m+n=6，∴，当且仅当=取等号，但此时m，n∉N*．又m+n=6，所以只有当m=4，n=2时，取得最小值是．故选：B．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质和均值定理的合理运用．59.D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出集合A，∁U B，从而求出其交集．【解答】解：由＜0，即x（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜0，则A={x|﹣3＜x＜0}，∵B={x|x≤﹣1}，∴∁U B={x|x＞﹣1}，∴A∩（∁U B）={x|﹣1＜x＜0}，故选：D60.A【考点】交集及其运算．【专题】计算题；函数思想；定义法；集合．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合，∴A={x|x≤0或x＞1}，B={y|y≥1}，∴A∩B=（1，+∞）．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．61.B【考点】7F：基本不等式．【分析】由4=2a+b可求ab的范围，进而可求的最小值【解答】解：∵a＞0，b＞0，且4=2a+b∴ab≤2∴∴的最小值为故选B62.A【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A=x|x 2﹣2x ﹣3＞0}={x|x ＜﹣1或x ＞3}，集合B={x|0＜x ＜4}，∴∁R A={x|﹣1≤x ≤3}，∴（∁R A ）∩B={x|0＜x ≤3}=（0，3]．故选：A ．63.B【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出三角形的顶点坐标，再由三角形的面积公式求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B （2，3），∴平面区域的面积S=．故选：B ．64.D试题分析：如下图所示，阴影部分为),(y x 表示的可行域.。

专题6-6 不等式恒成立与存在性问题第02期-2018年高考

2018届高考数学大题狂练第六篇函数与导数专题06 不等式恒成立与存在性问题一、解答题1．已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，，的值；（2）当时，若，，求的取值范围.【答案】（1），，.（2）【解析】试题分析：（1）设切点的横坐标为，根据切线斜率的几何意义求出，再利用切点为公共点代入两个函数，即可求出m,n,c;（2）根据不等式化简可分离参数得对恒成立，构造函数，求其最大值即可.（2）由，得，即对恒成立，令，则，其中对恒成立，∴在上单调递增，在上单调递减，，∴.故的取值范围是.点睛：涉及函数型不等式恒成立的问题，可转化后分离参数，将问题等价于求新函数的最值问题，一般要使用导数为工具，将构造的函数求导后分析其极值，从而得到函数的最值，即可求出参数的取值范围. 2．已知函数（，为自然对数的底数）.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）由题知，，对a分类讨论，解关于的不等式，即可得函数的单调区间；（2）.依题意，当时，，即当时，.设，则，设，则.①当时，当时，，从而，∴在区间上单调递增，又∵，∴当时，，从而当时，，∴在区间上单调递减，又∵，从而当时，，即.于是当时，；②当时，令，得，∴，当时，，∴在区间上单调递减，综上所述，实数的取值范围为.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.3．已知函数在点处的切线过点．(1)求实数的值，并求出函数单调区间；(2)若整数使得在上恒成立，求的最大值．【答案】（1），在单调递减，在单调递增；（2）7.【解析】分析：（1）函数求导，由处的切线斜率为，利用点斜式得到切线方程，将代入求解的值，并根据导数的正负可得单调区间；（2）由等价于，记，求导得，记，继续求导可知在单调递增，易知存在，使得，从而得到，进而求范围即可.（2）∵时，，∴等价于记，∴记，有，∴在单调递增∴，由于，，可得因此，故又由零点存在定理可知，存在，使得，即①且时，，时，故时，单调递减，时，单调递增∴由①可得故的最大值为7．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.4．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）先求导数，再讨论符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于，所以1得右侧附近函数单调递增，再结合（1）可得且，即得的取值范围.试题解析：解：（1），当时，，∴在上单调递减.当时，令，得；令，得.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.当时，令，得；令，得.∴的单调递减区间为，单调递增区间为.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.5．已知函数,且曲线在点处的切线与轴垂直.(I)求函数的单调区间;(Ⅱ)若对任意(其中为自然对数的底数),都有恒成立,求的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调减区间为，单调增区间为.(Ⅱ) .【解析】试题分析：（Ⅰ）由导数的几何意义及条件可得，解得．然后由导函数大于（小于）零可得函数的单调区间．(Ⅱ)由（Ⅰ）可得，令，结合导数可得时，单调递减，故．由，可得．然后再验证当时，成立即可．本题也可分为和两种情况分别求出的取值范围，然后取其并集即可．试题解析：（Ⅰ）的定义域为，∵，定义域为，∴．由题意知，解得,∴，由，解得；由，解得，的单调减区间为，单调增区间为.下面证明当时，成立，即证成立，令，则，由，得在是增函数，时，，成立，即成立，故正数的取值范围是.当时，函数在上单调递增.故对任意恒成立，故符合题意.综合,得.②当时，，则问题转化为证明对任意恒成立.又，令得；令，得，∴函数在上单调递增，在上单调递减.当时，在上是增函数，所以当时，在上单调递增，在上单调递减，所以只需，即当时，在上单调递减，则需.因为不符合题意.综合可得.由①②得正数的取值范围是．点睛：（1）解答导数综合题时要注意转化思想方法在解题中的灵活利用，要善于将复杂的问题进行转化，化为简单易处理的问题解决．如把函数恒成立的问题转化为求函数的最值的问题处理，把函数单调性的问题化为不等式的问题解决等．（2）解题时对于含有参数的问题要注意分类讨论的运用，通过合理的分类将问题的解决逐步分解，但在对参数的分类时要做到分类合理、不重不漏．6．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，曲线总在曲线的下方，求实数的取值范围.【答案】(1) 当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减;(2) .试题解析：（1）由可得的定义域为，且，若，则，函数在上单调递增；若，则当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）原命题等价于不等式在上恒成立，即，不等式恒成立.∵当时，，∴，即证当时，大于的最大值.又∵当时，，∴，综上所述，.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的范围.。

第3讲不等式的恒成立与存在性问题(解析版)-高考数学复习《导数与解析几何》必掌握问题

第3讲不等式的恒成立与存在性问题典型例题构造中间值函数证明不等式【例1】已知函数()e x f x =,求证:曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方. 【分析】要证函数()f x 的图像恒在另一个函数()g x 图像的上方,即证()()f x g x >,可用作差法,构造新函数()()()h x f x g x =-,利用导数证明()0h x >.也可以考虑中间值法,找到一个函数()x ϕ使()()()f x x g x ϕ>>. 【解析】证法一构造中间值函数:1y x =+. 令()()e 1x F x x =-+,则()e 1x F x '=-.因为0x >,所以e 1x >,则e 10x ->,所以()0F x '>,故()F x 在()0,∞+上单调递增. 因为()00F =,所以()0F x >,即e 1x x >+. 令()()()12ln 1ln G x x x x x =+-+=--,则 ()111(0).x G x x x x'-=-=> 令()0G x '=,得1x =.当x 变化时,()(),G x G x '在()0,∞+上的变化情况见表3.1.表3.1所以当1x =时,()G x 有最小值()10G =.所以()0G x ,则12ln x x ++,即e 2ln x x >+,所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方.证法二构造中间值函数:e y x =.令()e e (0)x H x x x =->,则()e e x H x '=-.令()0H x '=,得1x =. 当x 变化时,()(),H x H x '在()0,∞+上的变化情况见表3.2.表3.2所以当1x =时,()H x 有最小值()10H =.所以()0H x ,即e e x x ,当且仅当1x =时,“=”成立. 令()()e 2ln x x x ϕ=-+,则()1e 1e .x x x xϕ-=-=' 令()0x ϕ'=,得1ex =.当x 变化时,()(),x x ϕϕ'在()0,∞+上的变化情况见表3.3表3.3则当1e x =时,()x ϕ有最小值1112ln 0e e ϕ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()0x ϕ,即e 2ln x x +,当且仅当1e x =时,"=”成立.所以e 2ln x x >+(=“”不能同时成立). 所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方. 证法三构造差函数.设()()()2ln e ln 2(0)x g x f x x x x =-+=-->,则()1e x g x x =-'.令()1e x h x x=-,则()21e 0x h x x=+>'.所以()h x 在()0,∞+上单调递增,即()g x '在()0,∞+上单调递增. 因为()121e 20,1e 102g g ''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以()g x '在()0,∞+上存在唯一的0x ,使得()0001e 0x g x x =-=',即001e x x =,则00ln x x =-,且0112x <<.当x 变化时,()g x '与()g x 在()0,∞+上的变化情况见表3.4表3.4则当0x x =时,()g x 取得最小值()000001e ln 22x g x x x x =--=+-. 因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以()0001220.g x x x =+->= 因此()0g x >,即()2ln (0)f x x x >+>,所以曲线e (0)x y x =>总在曲线2ln y x =+的上方.【点睛】因为不等式与函数关系密切,所以经常将证明不等式恒成立的问题转化为求对应函数或构造新函数问题,而研究什么函数、如何构造函数是解题的关键.本题给出了几种证明不等式的方法,前两种方法都用到中间值法,寻找某函数在某点处的切线方程,进而利用差函数判断这条切线是否位于两个函数之间.在证法一中,1y x =+是函数e x y =在()0,1处的切线方程,也恰好是函数2ln y x =+在()1,2处的切线方程;在证法二中,y ex =是函数e x y =在()1,e 处的切线方程.这两种方法只要找到不等号两边的中间值函数,往往就可以使问题变得容易处理.证法三是直接构造差函数,利用导数的性质,以及灵活运用极值点处导数为0的方程,将函数的最值转化成均值不等式求解.构造差函数是常用的方法,但是对于导函数性质的研究需要深入,并且需要综合不等式的相关知识,难度稍大些. 参变分离求参数取值范围【例2】已知函数()ln f x x x =,若对任意1x 都有()1f x ax -,求实数a 的取值范围. 【分析】对于不等式恒成立问题,可以考虑构造差函数,对参数进行分类讨论,利用导数研究差函数的取值范围;也可以考虑将参数分离出来,研究参数分离之后的新函数的图像和性质;还可以考虑将定义域内的特殊值代入不等式,首先限定参数的取值范围,再对参数进行分类讨论.【解析】解法一直接构造差函数,分类讨论.()()()1ln 1,g x f x ax x x ax =--=-+令则()()1ln .g x f x a a x =-=-+''(1)若1a ,当1x >时,()1ln 10g x a x a '=-+>-,故()g x 在()1,∞+上为增函数. 所以当1x 时,()()110g x g a =-,即()1f x ax -.(2)若1a >,方程()0g x '=的根为10e a x -=.此时,若()01,x x ∈,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.所以当()01,x x ∈时,()()110g x g a <=-<,即()1f x ax <-,与题设()1f x ax -相矛盾.综上所述,满足条件的a 的取值范围是(],1∞-. 解法二参变分离.依题意,得()1f x ax -在[)1,∞+上恒成立,即不等式1ln a x x+对于[)1,x ∞∈+恒成立.令()1ln g x x x=+,则 ()211111.g x x x x x '⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当1x >时,因为()1110g x x x '⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,故()g x 是()1,∞+上的增函数,所以()g x 的最小值为()11g =,因此a 的取值范围是(],1∞-. 解法三取特殊值.令()()()1ln 1g x f x ax x x ax =--=-+,由题意知对任意1x 都有()0g x ,所以()110g a =-,则1a ,因此()()1ln 0g x a x =-+',故()g x 在()1,∞+上为增函数. 所以当1x 时,()()min ()10g x g x g =,即()1f x ax -恒成立. 所以a 的取值范围是(],1∞-.【点睛】对于不等式恒成立问题,构造差函数、对参数进行分类讨论研究差函数的符号,是解决这类问题的常用方法.但是有时分类讨论过于烦琐,而参变分离构造的新函数由于脱离了参数的千扰,易于研究其图像和性质.适当使用特殊值,将参数的范围界定在更小的范围内,有时会得到意想不到的效果.构造差函数求解恒成立问题【例3】已知函数()ln f x x x =,若对于任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()1f x ax -,求实数a 的取值范围.【分析】对于不等式恒成立问题,通常转化为函数的问题来求解,构造差函数是最常用的一种解决办法.本题可直接构造差函数()()()1h x f x ax =--,问题即可转化为()0h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立时求a 的取值范围,可通过求()h x 的最大值来求解.【解析】解法一参变分离构造新函数. 当1e e x 时,不等式()ln 1f x x x ax =-,等价于1ln a x x+. 令()11ln ,e e g x x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,则()221111,e .e x g x x x x x ⎛⎫-⎡⎤=-=∈' ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭当1,1e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0g x '<,所以()g x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减;当(]1,e x ∈时,()0g x '>,所以()g x 在区间()1,e 上单调递增.因为()1111ln e e 1 1.5,e lne 1 1.5.e e e e g g ⎛⎫=+=->=+=+< ⎪⎝⎭所以()g x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1e 1e g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以当e 1a -时,对于任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()1f x ax -.所以实数a 的取值范围是e 1a -. 解法二直接构造差函数.设()()()1ln 1h x f x ax x x ax =--=-+,则()0h x 对任意1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.对()h x 求导,得()1ln .h x x a =+-'令()0h x '=,得ln 1x a =-,所以1e a x -=.当x 变化时,()(),h x h x '在()0,∞+上的变化情况见表3.5. 表3.5当11e e a -,即0a 时,()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以()max ()e e e 10h x h a ==-+,则11ea +,不满足0a ,舍去.当11e e e a -<<,即02a <<时,()h x 在11,e e a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在(1e ,e a -⎤⎦上单调递增, 于是(e)0,10,e h h ⎧⎪⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩所以11,e e 1.a a ⎧+⎪⎨⎪-⎩又因为02a <<,所以e 12a -<.当1e e a -,即2a 时,()h x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以max 1()0e h x h ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则e 1a -,满足2a .综上所述,实数a 的取值范围是e 1a -. 解法三先等价变形,再构造差函数.因为0x >,所以不等式()ln 1f x x x ax =-等价于1ln x a x-.设()11ln ln x x a x a x x ϕ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭,即()0x ϕ对任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.对()x ϕ求导,得()22111.x x x x xϕ-=-='由解法一知,()x ϕ在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在区间()1,e 上单调递增.所以()10,e e 0,ϕϕ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩即e 1,11,e a a -⎧⎪⎨+⎪⎩故e 1a -. 【点睛】对于含有参数的不等式恒成立问题,构造差函数后,分析导数的符号情况时,通常要对参数进行分类讨论.有时,对不等式进行等价变形后再构造差函数,会使问题更加容易解决利用二次函数性质判断参数取值范围【例4】已知函数()()321232af x x x x a =-+-∈R .若对于任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,求实数a 的取值范围.【分析】若原函数是三次函数,则其导数为二次函数.有关导数的不等式恒成立问题可以由二次函数的图像和性质直接求解,也可以利用参变分离结合构造的新函数的图像和性质求解.【解析】解法一参变分离构造新函数. 对函数()f x 求导,得()2 2.f x x ax '=-+-因为对于任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,即222x ax a -+-<-成立.因为10x ->,所以对于任意()1,x ∞∈+都有21x a x <-成立.令()()()21,1x g x x x ∞=∈+-,则 ()()()222222122.(1)(1)(1)x x x x x x x g x x x x ----===---' 令()0g x '=,得2x =.当x 变化时,()(),g x g x '在()1,∞+上的变化情况见表3.6.表3.6所以()min ()24g x g ==,故实数a 的取值范围是4a <. 解法二直接研究二次函数.对函数()f x 求导,得 ()2 2.f x x ax '=-+-若对任意()1,x ∞∈+都有()2f x a '<-成立,即222x ax a -+-<-成立,亦即20x ax a -+>成立.设()2h x x ax a =-+,则二次函数()h x 的图像是开口向上的抛物线,对称轴为2a x =.由题意,对于任意()1,x ∞∈+都有()0h x >,则()1,1,2210Δ0,a a h ⎧⎧>⎪⎪⎨⎨⎪⎪><⎩⎩或即2,2,04,a a a a ⎧>⎧⎨⎨∈<<⎩⎩R 或所以2a 或24a <<.所以实数a 的取值范围是4a <.解法三参变分离结合均值不等式.由解法一知,对于任意()1,x ∞∈+都有21x a x <-成立,则()()22(1)21111 2.111x x x x x x x -+-+==-++--- 因为10x ->,所以()()1122124,1x x x -++-=- 当且仅当11,11,x x x ⎧-=⎪-⎨⎪>⎩即2x =时,“=”成立.所以实数a 的取值范围是4a <.【点睛】二次函数是基本初等函数之一,在研究函数的导数符号时会经常遇到.二次函数与二次方程、二次不等式在有关函数问题的求解中起到重要作用,对二次函数的图像和性质要予以足够的重视. 等价转化求解恒成立或存在性问题【例5】已知函数()e x f x x =-,当[]0,2x ∈时,不等式()f x ax >恒成立,求实数a 的取值范围.【分析】我们在解决不等式恒成立问题时,可以将不等式等价变形,通过移项、去分母或者乘以(除以)某一正项,再分离参数、构造新函数,将不等式问题等价转化为函数问题,就可以利用导数来研究函数的图像和性质了. 【解析】解法一参变分离构造新函数. 由()f x ax >,得()1e x a x +<.当0x =时,上述不等式显然成立,则a ∈R .当02x <时,将()1e xa x +<等价变形得e 1x a x <-,令()e 1xg x x=-,则()()21e x x g x x-='. 令()0g x '>,解得1x >;令()0g x '<,解得1x <.所以()g x 在()0,1上单调递减,在()1,2上单调递增.所以当1x =时,()g x 取得最小值e 1-,因此所求实数a 的取值范围是(),1e ∞--.解法二等价变形后构造新函数.由题意,不等式()e x f x x ax =->,当0x =时,()010f =>恒成立,a ∈R .当02x <时,将()1e xa x +<等价变形得e 10xa x-->.设()e 1(02)xh x a x x=--<,则()()21e xx h x x -=',由解法一知,()min ()1e 10h x h a ==-->,所以e 1a <-,故所求实数a 的取值范围是(),e 1∞--.解法三直接构造差函数,分类讨论.设()()e x x f x ax x ax ϕ=-=--,则()e 1x x a ϕ=--'.由题意知,对于任意[]()0,2,0x x ϕ∈>恒成立,等价于min?()0x ϕ>.①当1a -时,10a --,因为e 0x >,所以()0x ϕ'>,则()x ϕ在[]0,2上单调递增,所以()min ()010x ϕϕ==>,故1a -满足题意.(2)当1a >-时,则()e 10x x a ϕ=--=',得e 1x a =+,所以()ln 1x a =+. 当x 变化时,()(),x x ϕϕ'在(),∞∞-+上的变化情况见表3.7.表3.7当()ln 10a +,即011,10a a <+-<时,()x ϕ在[]0,2上单调递增,则()min?()010x ϕϕ==>,所以10a -<,满足题意.当()0ln 12a <+<,即2211e ,0e 1a a <+<<<-时,()x ϕ在()()0,ln 1a +上单调递减,在()()ln 1,2a +上单调递增,则()()()()min ()ln 11ln 1ln 1x a a a a a ϕϕ=+=+-+-+()()11ln 10,a a ⎡⎤=+-+>⎣⎦ 因为()10,1ln 10a a +>-+>,所以01e a <+<,因此0e 1a <<-. 当()ln 12a +,即221e ,e 1a a +-时,()x ϕ在[]0,2上单调递减,则()min()2e 220x a ϕϕ==-->,所以2e 12a <-,不满足2e 1a -.综上所述,实数a 的取值范围是(),e 1∞--.【点睛】不等式恒成立或存在性问题常常转化为对应函数的最值问题,可以通过不等式的等价变形,找到易于研究的函数求解. 分类讨论研究函数的图像和性质【例6】设函数()e 1(0)x f x ax a =-+>,当1x <时,函数()f x 的图像恒在x 轴上方,求a 的最大值.【分析】函数()f x 的图像恒在x 轴上方(或下方)之类的问题,转化为代数语言即()0f x >(或()0)f x <恒成立的问题,本质上还是不等式问题.此时,求解参数的取值范围,一种思路是通过研究导数的零点而研究原函数的图像和性质,找到()f x 的最小值或取值范围,即可找到参数的取值范围;另一种思路是将参数直接分离出来,研究分离后的新函数的图像和性质.这两种思路通常都需要用到分类讨论的思想方法.【解析】解法一因导数零点的不确定性而分类讨论.对()f x 求导,得()e x f x a '=-.令()0f x '=,即e x a =,则ln x a =.①当ln 1a <,即0e a <<时,对于任意(),ln x a ∞∈-,有()0f x '<,故()f x 在(),ln a ∞-上单调递减;对于任意()ln ,1x a ∈,有()0f x '>,故()f x 在()ln ,1a 上单调递增.因此当ln x a =时,()f x 有最小值()()ln ln 11ln 10.f a a a a a a =-+=-+> 故0e a <<成立.②当ln 1a ,即e a 时,对于任意(),1x ∞∈-,有()0f x '<,故()f x 在(),1∞-上单调递减.因为()0f x >恒成立,所以()10f ,即e 10a -+,所以e 1a +,则e e 1a +. 综上所述,a 的最大值为e 1+. 解法二因分离参数而分类讨论.由题设知,当1x <时,()e 10x f x ax =-+>.① 当01x <<时,e 1x a x +<.设()e 1x g x x+=,则()()221e 1e e 10.xx x x x g x x x '----==<故()g x 在()0,1上单调递减,因此,()()1e 1g x g >=+,所以e 1a +. ② 当0x =时,()20f x =>成立.③ 当0x <时,e 1x a x +>,因为e 10x x +<,所以当e 1a =+时,e 1x a x +>成立. 综上所述,a 的最大值为e 1+.【点睛】何时需要分类讨论?是不是有参数就一定要分类讨论?其实,这是没有一定之规的,关键是按照研究的需要而定.本题的两种解法提供了两种分类讨论的角度,解法一讨论的是参数,解法二讨论的是自变量.因为解法一中导数的零点ln x a =含参数,所以无法确定其与定义域()(),1x ∞∈-的关系,于是就要按照ln a 与1的大小关系来分类讨论;而解法二是为了分离参数,由()0f x >得e 1x ax +,不等式两边同时除以x ,因确知x 的符号而进行分类讨论.解题时不要墨守成规,要根据实际情况灵活选用恰当的方法.关注特殊值,优化分类讨论【例7】已知函数()e ax f x x =-,当1a ≠时,求证:存在实数0x 使()01f x <. 【分析】为证明“存在实数0x 使()01f x <”,只需找到一个满足条件的实数0x 即可.因函数()f x 中含有参数a ,故考虑对参数a 进行分类讨论.当实数0x 容易寻找时,可直接得出结论;当实数0x 不能直接发现时,可以将不等式()01f x <等价转化为函数()f x 的最小值小于1.【解析】证法一当0a 时,显然有()1e 101a f =-<,即存在实数0x 使()01f x <. 当0,1a a >≠时,对函数()f x 求导,得()e 1.ax f x a =-' 由()0f x '=可得11ln x a a =.所以当11,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '<,则函数()f x 在11,ln a a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;当11ln ,x a a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,则函数()f x 在11ln ,a a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()111ln 1ln f a a a a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是()f x 的最小值.由函数()e ax f x x =-可得()01f =,由1a ≠可得11ln 0a a ≠,所以()11ln 01f f a a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 综上所述,当1a ≠时,存在实数0x 使()01f x <.证法二当0a 时,显然有()1e 101a f <-<,即存在实数0x 使()01f x <. 当0,1a a >≠时,由()0f x '=可得11ln x a a =.所以当11,ln x a a ∞⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '<,则函数()f x 在11,ln a a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减;当11ln ,x a a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,则函数()f x 在11ln ,a a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.所以111ln ln af a a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭是()f x 的极小值.设()1ln x g x x +=,则()2ln (0)xg x x x-=>'.令()0g x '=,得1x =. 当x 变化时,()(),g x g x '在()0,∞+上的变化情况见表3.8.表3.8所以当1x ≠时,()()11g x g <=,所以11ln 1f a a ⎛⎫< ⎪⎝⎭.综上所述,当1a ≠时,存在实数0x 使()01f x <.【点睛】证明存在性(或不存在性)问题,只需找到满足条件的变量即可,这时要注意观察函数结构,可以结合不等式性质、定义域等寻找特殊值.常取的自变量的值一般首先考虑0,1,1-,112,e,,2e,等等,还要注意端点的函数值以及极值、最值等,具体要根据实际情况而定.有时特殊值选取恰当,可以起到事半功倍的效果.另外,还要注意等价转化的恰当使用,如转化为求函数的最值问题等,可以使目标更加明确. 先找必要条件再证充分性【例8】设函数()2ln f x ax a x =--,其中a ∈R .确定a 的所有可能取值,使得()11e xf x x->-在区间()1,∞+内恒成立. 【分析】当()1,x ∞∈+时,211ln e xax a x x--->-恒成立,求参数a 的取值范围.常规的解法有两种.第一种:将所有项移到左边构造函数,令()211ln e x g x ax a x x -=---+,对该函数求导,求出在()1,∞+内的最小值(含参数a ),再令最小值大于0,求得a 的取值范围.第二种:分离参数得121ln e 1x x x a x -+->-,右边不含参数,利用导数求其最大值,则可得a 的取值范围.这两种方法容易想到,但操作过程异常复杂,利用高中知识很难解决,所以可以尝试变形改变结构,将该不等式的结构变为易于处理的形式,把对数、指数都移到一边:()212111ln e 1ln e .x x ax a x a x x x x---->-⇔->+- 这样至少左边的函数是我们比较熟悉的.猜想存在一个函数()h x 满足()()2111ln e x a x h x x x -->>+-,我们的想法是先证明()11ln e x h x x x->+-,然后再由()()21a x h x ->求得a 的取值范围.这种方法的本质是利用不等式的传递性,用切线作中间量,此外还有如下思路:设命题()211:ln e 0x p g x ax a x x -=---+>在区间()1,∞+内恒成立,易见()10g =,于是根据导数的定义,有()()()()1111lim lim 11x x g x g g x g x x ++→→'-==--(符号1x +→表示从1的右侧趋近于1),可知若命题p 成立,则有命题():10q g '成立.即命题q 是命题p 的必要条件,于是命题p 对应的范围是命题q 所对应的范围的子集.利用此方法我们可以得到一个大致的范围.【解析】解法一利用不等式的传递性,用切线作中间量. 由题意,有()212111ln e 1ln e .x x ax a x a x x x x---->-⇔->+- 设()11ln e x G x x x -=+-,则()1211e 0(1),x G x x x x-'=-+>> 所以函数()G x 在()1,∞+上单调递增.以点()1,0A 为切点,对应的切线为:1G l y x =-. 下面证明()G x 的图像位于直线G l 的下方,即11ln e 1xx x x-+-<-. ()()1111ln e 1ln e 1,x x H x x x x x x x --=+---=+--+则()1211e 1.x H x x x-'=-+- 因为ln 1x x <-, 则1111ln.x x e x x--<⇔< 所以()2122211111(1)e 110.xx H x x x x x x x --=-+-<'-+-=-<因此()H x 在()1,∞+上单调递减.因为()10H =,所以()0H x <,即结论成立. 于是()21111ln e xa x x x x-->->+-,则问题转化为()211(1)a x x x ->->,求参数a 的范围.化简上式可得()11a x +>,易得12a ,所以1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭. 解法二必要性先行.设()211ln e x g x ax a x x -=---+,则()10g =,对()g x 求导,得()12112e x g x ax x x -=-+-'由()10g ',得()1210g a =-',即12a. 下面再证明充分性,即当1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时,()211ln e 0x g x ax a x x -=---+>.因为12a,所以()()221112a x x --在()1,∞+上恒成立.于是不等式转化为()()21111ln e 2x g x x x x ----+,则只需证明()21111ln e 02x x x x----+>即可. 有以下两种证法: 证法一令()()21111ln e ,2x H x x x x -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭对()H x 求导,得()()()212221111111e 0,xx x x H x x x x x x x x x --+-=-+->-+-=>'其中指数函数的放缩技巧参考解法一.所以()H x 在()1,∞+上单调递增,故()()10H x H >=,即()21111ln e 2x x x x-->+- 证法二令()()21111ln e 2x H x x x x -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,则()1211e ,x H x x x x -=-'+- ()3112331221e e .xx x x H x x x x--'+-=+-+='+ 因为()1,x ∞∈+,所以320x x +->,则()0H x ''>,所以()H x '在()1,∞+上单调递增,而()10H '=,于是()0H x '>,则()H x 在()1,∞+上单调递增,所以()()10H x H >=.综上可知,a 的取值范围为1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.【点睛】解法一的核心思路是利用不等式的传递性,把切线作为中间量,既转化了问题,又降低了难度.也就是,先证明()11ln e x h x x x->+-,然后再由()()21a x h x ->求得a 的取值范围.最简单的函数就是一次函数了,这样我们就自然想到了切线,设()11ln e x G x x x-=+-,设想存在一条()G x 的切线y kx b =+满足()kx b G x +>,这样的话说明切线应该位千函数()G x 的图像上方,那究竟是不是这样呢? 我们先利用导数来判断()G x 的单调性,()1211e 0(1)x G x x x x-'=-+>>,说明该函数在()1,∞+上单调递增,那么它的形态到底是图3.1还是图3.2呢?图3.1图3.2事实上这里就涉及函数的“凹凸性”问题,但鉴于高中阶段的教学内容中没有“凹凸性”的定义,所以我们只能用代数方式来证明()G x 的图像是图3.2的形式,也就是说,()G x 图像上任意一点处的切线都在()G x 图像的“上方”,那么在这个问题里,我们选哪个点为切点呢?因为现在给定的区间是()1,∞+,所以我们选择了端点. 我们的目标是要证明()0H x '<,因为()10H '=,并且()1211e 1x H x x x-=-+-'中前面两个函数都是分式函数,于是考虑将指数1e x -放缩为分式函数.该解法最难的部分是“凹凸性”的代数证明,函数()G x 的“凹凸性”确保了该解法的正确性.如果函数()G x 是“向下凸”也即图3.1,则“切线法”就失效了,因此“切线法”有其局限性.解法二的精髄在于,先求得一个大致的范围,即寻找一个必要条件,再结合题千信息证明其充分性.对于比较难的题目,我们可通过弱化题目要求,先解决问题的一部分,自行降低难度,先获得一些简单的结论,再将其扩充至一般情形,这是一种“以退为进”的策略.。

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2018届高考数学大题狂练函数与导数专题不等式恒成立与存在性问题1．设函数．（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；（2）设，是的导函数．①若对任意的，求证：存在使；②若求证：．【答案】(1) ；(2)①.证明见解析；②证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意，对恒成立，对恒成立；（2）①，由题中条件得到令，则，代入表达式得到，得证；②，，即，，只需证，换元研究函数最值即可.∴，从而．（2）①，则．若，则存在，使，不合题意.∴．取，则．此时．∴存在，使．②依题意，不妨设，令，则．∴．下面证明，即证明，只要证明．设，则在恒成立．∴在单调递减，故，从而得证．∴，即．2．已知函数.（1）若在处取得极值，求的值；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1），由在处取到极值，可得，.经检验，时，在处取到极小值；（2），令，讨论三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，可得当时，不满足在上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果. 试题解析：（1），∵在处取到极值，∴，即，∴. 经检验，时，在处取到极小值.（2），令，①当时，，在上单调递减.又∵，∴时，，不满足在上恒成立.②当时，二次函数开口向上，对称轴为，过.a.当，即时，在上恒成立，∴，从而在上单调递增. 又∵，∴时，成立，满足在上恒成立.b.当，即时，存在，使时，，单调递减；时，，单调递增，∴.又∵，∴，故不满足题意. ③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，，∴，在上单调递减.又∵，∴时，，故不满足题意.综上所述，.3．设函数()ln mf x x x=+， m R ∈．（1）当m e =时，求函数()f x 的极小值；（2）讨论函数()()3xg x f x -'=零点的个数；（3）若对任意的0b a >>，()()1f b f a b a-<-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）极小值2；（2）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅲ）由题意原命题等价于()()f b b f a a -<-恒成立，设()ln (0)mh x x x x x=+->，进而转化为()h x 在()0,+∞上单调递减，利用导数，即可求得实数m 的取值范围．试题解析：（1）因为()2'(0)x ef x x x -=>，所以当()0,x e ∈时， ()0f x '<， ()f x 在()0,e 上单调递减；当(),x e ∈+∞时， ()0f x '>， ()f x 在(),e +∞上单调递增；所以当x e =时， ()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+=. （2）()()3x g x f x -'== 213m xx x -- (0)x >，令()0g x =，得31(0)3m x x x =-+>．设()31(0)3x x x x ϕ=-+>，则()21x x φ-'=+= ()()11x x --+．所以当()0,1x ∈时， ()0x φ'>， ()x φ在()0,1上单调递增；当()1,x ∈+∞时， ()0x φ'<， ()x φ在()1,+∞上单调递减；所以()x φ的最大值为()121133φ=-+=，又()00φ=，可知： ①当23m >时，函数()g x 没有零点；②当23m =或0m ≤时，函数()g x 有且仅有1个零点；③当203m <<时，函数()g x 有2个零.所以2m x x ≥-+= 21124x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ (0)x >恒成立，所以14m ≥．即m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．4．已知函数()f x 是偶函数，且满足()()220f x f x +--=，当(]0,2x ∈时， ()(1)xf x e ax a =+>，当(]4,2x ∈--时， ()f x 的最大值为2416e +.（1）求实数a 的值；（2）函数()()344203g x b x b x b =-+≠，若对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使不等式()()12f x g x <恒成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）2；（2）23384b e ≥+或23384b e ≤--使不等式()()12f x g x <恒成立”等价于“()()max max f x g x <”，故可将问题转化为求函数()(),f x g x 的最大值或其值域．试题解析：（1）∵()()220f x f x +-=，即()()22f x f x +=，∴()()224f x f x +=+， ∴()()44f x f x =+，当(]0,2x ∈时， ()(1)xf x e ax a =+>，∴当(]4,2x ∈--时， (]40,2x +∈， ∴()()()444444x f x f x e a x +=+=++.又1a >， ∴()4440x f x ea ++'=>恒成立，∴()f x 在(]4,2--上单调递增， ∴()()2max 248f x f e a =-=+，令2248416e a e +=+，解得2a =． ∴实数a 的值为2．（2）当()1,2x ∈时， ()2xf x e x =+，∴()20xf x e ='+>，∴函数()f x 在()1,2单调递增，∴当()1,2x ∈时， ()()224f x f e <=+．又当()1,2x ∈时， ()344203g x bx bx b =-+≠（）， ∴()()2244410g x bx b b x b =-='-≠（）．①当0b >时， ()0g x '>，函数()g x 在区间()1,2x ∈单调递增， ∴()()8223g x g b <=+． ∵对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使不等式()()12f x g x <恒成立，∴28423e b +≤+ 解得23384b e ≥+；解得23384b e ≤--；综上23384b e ≥+或23384b e ≤--． ∴实数b 的取值范围][223333,,8484e e ⎛⎫-∞--⋃++∞ ⎪⎝⎭． 5．设a R ∈,函数()()2x af x x a -=+.（Ⅰ）若函数()f x 在()()0,0f 处的切线与直线32y x =-平行,求a 的值; （Ⅱ）若对于定义域内的任意1x ,总存在2x 使得()()21f x f x <,求a 的取值范围. 【答案】（1）1a =±（2）[)0,+∞【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率为()0f '，解得a 的值;（2）先根据任意存在性含义转化不等式为对应函数最值关系： ()f x 在定义域内不存在最小值,再求导数，根据a 正负讨论导函数符号变化规律，进而确定单调性以及最小值取法，最后根据最小值情况确定a 的取值范围. 试题解析：解:（Ⅰ）函数()()2x af x x a -=+的导函数为()()()33a xf x x a x a +'-=≠-,则函数()f x 在()()0,0f 处的切线斜率为()230f a '=, 依题意有233a =, 解得1a =±.可得()f x 在(),a -∞-单调递增,在(),3a a -单调递增,在()3,a +∞单调递减, 即有()f x 在3x a =取得极大值,当x a >时, ()0f x >;当x a <时, ()0f x <. 取12,x a x a <≠-即可,当1x a <-时, ()f x 在(),a -∞-单调递减, 且11112x x x a a <++<-, ()11112f x f x x a ⎛⎫>++ ⎪⎝⎭, 故存在21112x x x a =++,使得()()21f x f x <, 同理当1a x a -<<时,令21112x x x a =-+使得()()21f x f x <,则有当0a >时, ()()21f x f x <成立;③当0a <时, ()f x 在(),3a -∞单调递减,在()3,a a -单调递增,在(),a -+∞单调递增, 即有()f x 在3x a =处取得极小值,当x a >时, ()0f x >;当x a <时()0f x <, 所以()()min 3f x f a =,当13x a =时,不存在2x 使得()()21f x f x <成立, 综上可得, a 的取值范围是[)0,+∞.6．已知函数()sin f x a x bx =+的图像在点ππ,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为π203x y +-=.（Ⅰ）求实数,a b 的值; （Ⅱ）当π02x <<时, ()()1f x m x >-恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1a =, 1b =-;（2）2,π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】试题分析： ()1求出()f x acosx b ='+，根据题意可得1322{33af b b f πππ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭⎛⎫=+⎪'⎝⎭，解出即可得到所以π1322{ππ33af b b f ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭⎛⎫=+⎪⎝⎭',解得1a =, 1b =-;（Ⅱ）由（Ⅰ）知()sin f x x x =-, 当π02x <<, ()()1f x m x >-恒成立等价于sin xm x <恒成立, 设()sin π,0,2x g x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,则()2cos sin x x x g x x -'=, 记()cos sin h x x x x =-,()sin 0h x x x '=-<, 所以()h x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减, ()()00h x h <=, 故()0g x '<, 所以()g x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, ()π22πg x g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭,所以2πm≤,实数m的取值范围为2,π⎛⎤-∞⎥⎝⎦.。